Remainder and Factor Theorem

1. 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898

2. 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 GETTING INTO IT Your mother bought an entire pizza and instructed you that it must be divided to the three of you equally. If the pizza was sliced into 8, how many slices should one of you receive?

3. 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 GETTING INTO IT 8 ÷ 3 = 2 remainder 2

4. 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 GETTING INTO IT 8 = 3 x 2 + 2 which can be rewritten as,

5. 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 WE ALSO DIVIDE POLYNOMIALS GETTING INTO IT

6. 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 GETTING INTO IT

7. 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 GETTING INTO IT

8. 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 GETTING INTO IT

9. 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 EASIER WAY! GETTING INTO IT

10. 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 f(x) = (x-c)·q(x) + r(x) DERIVATION

11. 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 f(x) = (x-c)·q(x) + r DERIVATION

12. 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 f(c) = (c-c)·q(c) + r f(c) = (0)·q(c) + r f(c) = r DERIVATION

13. 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 DEFINITION When we divide a polynomial f(x) by x-c the remainder r equals f(c)

14. 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 METHOD f(c) = 2x2 - 5x - 1 x - 3 by equate x – 3 to zero to get c x – 3 = 0 c = 3 then substitute… (x – c)

15. 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 METHOD f(c) = 2x2-5x-1 x - 3 by f(3) = 2(3)2 – 5(3) -1 f(3) = 2(9) – 15 - 1 f(3) = 18 – 15 - 1 f(3) = 2 Since f(c) is equal to the ‘r’ remainder…

16. 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 EXAMPLE f(c) = 2x3-7x2-2x+22 x - 4 by equate x – 4 to zero to get c x – 4 = 0 c = 4 then substitute…

17. 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 EXAMPLE by f(4) = (2)(43)-(7)(42)-(8)(4)+12 = 128 – 112 – 32 + 22 f(4) = 6 f(c) = 2x3-7x2-2x+22 x - 4

18. 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898

19. 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 GETTING INTO IT What if f(c) which is equal to the remainder, ‘r’ is zero?

20. 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 DEFINITION therefore… (x – c) is a FACTOR OR THE POLYNOMIAL

21. 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 DEFINITION Factor thereom can also be stated as… When x-c is a factor of the polynomial then f(c)=0

22. 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 METHOD f(c) = 4x3- x2 - 2x - 3by f(-1) = 4(-1)3 – (-1)2 - 2(-1) - 3 f(-1) = 4(-1) – 1 + 2 + 3 f(3) = -4 – 1 + 2 + 3 f(3) = 0 Since f(c) is equal to the ‘r’ remainder… Simply substitute c to f(c) x + 1

23. 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 EXAMPLE f(x) = x3+4x2+x-6 x + 3 by f(-3) = (-33)+(4)(-3)2+(-3)-6 = -27 + 36 – 3 - 6 = 0

24. 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 21236597259025435173890509568473216563890847215630984 3726587098653424586490352941374586970859384723435896 70896574583677605848317950648352847135468975308652123 6597259025435173890509568473216563890847215630984372 6587098653424586490352941374586970859384723435896708 9657458367760584831795064835221236597259025435173890 5095684732165638908472156309843726587098653424586490 3529413745869708593847234358967089657458367760584831 79506483528471354682123659725902543517389050956847321 6563890847215630984372658709865342458649035294137458 6970859384723435896708965745836776058483179506483528 47135468212365972590254351738905095684732165638908472 1563098437265870986534245864903529413745869708593847 2343589670896574583677605848317950648352847135468212 3659725902543517389050956847321656389084721563098437 2658709865342458649035294137458697085938472343589670 8965745836776058483179506483528471354682123659725902 5435173890509568473216563890847215630984372658709898 EXAMPLE f(x) = x3+4x2+x-6 x + 3 by f(-3) = (-33)+(4)(-3)2+(-3)-6 = -27 + 36 – 3 - 6 = 0

Remainder and Factor Theorem

Giorjia Mae Veran

Remainder and Factor Theorem