9.mostraxe

MÉTODOS ESTATÍSTICOS
E NUMÉRICOS

UNIDADE 9

MOSTRAXE

ÍNDICE
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas

Conceptos

1. Introdución á Inferencia Estatística.
2. Poboación e mostra
3. Mostraxe probabilística. Tipos de
mostraxe
4. Teorema central do límite
5. Distribución da media mostral dunha
poboación normal.
6. Distribución da proporción
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.

1. Introdución á Inferencia Estatística

As tres finalidades da Estatística son:
• A descripción: ordenar, agrupar e
representar a información. Desta parte
ocúpase a Estatística Descriptiva
• A predición: anticipación dos feitos
analizando previamente a súa frecuencia.
Disto ocúpase a Probabilidade
• A análise: búsqueda de teorías que expliquen
os fenómenos observados. Nisto traballa a
Inferencia Estatística



A Inferencia Estatística é a rama da
Estatística mediante a cal se trata de obter
conclusións dunha poboación en estudo,
apoiándose no Cálculo de Probabilidades, a partir
da información que proporciona unha mostra
representativa da mesma.

Tamén se denomina Estatística Indutiva ou
Inferencia Indutiva.



Estatística Descritiva Probabilidade

Século XIX
Galton, Pearson, Fisher

Inferencia


A unión entre o
Cálculo de
Probabilidades e a
Estatística xorde
polos problemas
teóricos e
metodolóxicos que
suscita o contraste
empírico da teoría de
Darwin.



F. Galton , primo de
Darwin propugna un novo
enfoque estatístico na súa
obra “Natural
Inheritance” para o estudo
dos problemas da evolución
que é aceptado con
entusiasmo por W Weldon,
quen busca colaboración no
matemático K.Pearson
para a resolución de novos
problemas.



O laboratorio de K. Pearson
convértese a principios do século
XX no centro de investigación de
análise empírica de datos. Entre
outros acode W.S. Gasset, que
propón a nova distribución t
(coñecida como t de Student).
Pearson, Galton e Weldon fundan
a revista Biométrica, que aínda
hoxe é unha das publicacións máis
prestixiosas de estatística



Os fundamentos da
Estatística actual débense a
R.A. Fisher (1890-1962) quen
escribe no seu libro
“Statistical Methods for
Research Workers” os
principios da Inferencia
Estatística.
En 1930 aparece a teoría
xeral sobre o contraste de
hipóteses elaborada por J.
Neyman (1894-1981) e E.S.
Pearson.


A partir de 1950
comeza unha nova
etapa no
desenvolvemento
da Estatística co
uso das
computadoras e a
posibilidade de
tratar grandes
cantidades de
datos


Diferenzas entre
a Inferencia e a Probabilidade

Aínda que a Inferencia Estatística se
apoia no Cálculo de Probabilidades, os fins
de ámbalas dúas disciplinas son ben
distintos.
Vexamos uns exemplos:



Experimento
Tirar unha moeda

Inferencia
Teoría de Probabilidade
Analizamos se a moeda está trucada
Supón que a moeda non comprobando se o modelo experimental
está trucada e deduce que a obtido tirando a moeda un certo
número de veces concorda co modelo
probabilidade de obter cara
probabilístico
ou cruz é 1/2


Probabilidade:
Sabendo o contido da caixa, intentar saber
o que teño na man (probabilidade de ter
unha certa cor)



Inferencia:
Sabendo o contido da man, tratar de saber o que
hai na caixa (proporcións de globos de cada cor)



Podemos concluír que:
A Inferencia Estatística é unha ciencia indutiva, é dicir,
xeneraliza unhas propiedades observadas nun conxunto
de datos a outro conxunto maior.

O proceso indutivo é un proceso “arriscado", xa que toda
inferencia indutiva exacta é imposible.

Trátase de conseguir técnicas que midan o grao de
incerteza producida. Tal medida faise mediante o Cálculo
de Probabilidades.



EXEMPLO:
Supoñamos que temos nun almacén 10 millóns de
sementes; sabemos que producen flores brancas ou
vermellas.
O que desexamos saber é cantos destes 10 millóns
producirán flores brancas



O único xeito
de dar unha
resposta
correcta a esa
pregunta é
sementar todas
as sementes e
observar
cantas saen
brancas.



A forma normal de proceder é seleccionar unhas poucas
sementes, as plantamos e observamos o número das que
producen flores brancas e,
baseándonos nestes datos, facemos unha predición.



Os procedementos da Inferencia
Estatística pódense clasificar en:

•procedementos de inferencia
paramétrica

•procedementos de inferencia non
paramétrica.


A Inferencia Paramétrica supón que a
distribución de probabilidade da
poboación obxecto de estudo é coñecida,
agás os valores que toman certos
parámetros.
Neste contexto, o obxectivo é estimar,
dar intervalos de confianza ou
contrastar hipóteses sobre ditos
parámetros.


Exemplo
No caso das sementes, podemos supoñer que
unha determinada característica (a cor da flor)
dunha poboación (10 millóns de sementes) segue
unha distribución de probabilidade cun
parámetro descoñecido (binomial con parámetro
descoñecido p: probabilidade de que a flor sexa
branca) e tomamos unha mostra. Calculamos o
valor de dita característica neste subconxunto
de elementos poboacionais para facer inferencias
sobre p.


Poboación 10 millóns de sementes

Característica Cor da flor

Distribución de Binomial con parámetro p
probabilidades descoñecido (probabilidade de
que a flor sexa branca)
Mostra Valor da característica nesta
mostra e inferimos p



A Inferencia non Paramétrica trata
problemas semellantes cando se ten
unha distribución poboacional
totalmente descoñecida, sobre a cal só
se realizan suposicións moi xerais (é
simétrica, continua, etc.)


2. Poboación e Mostra

Poboación
e
Mostra


Poboación: Colectivo: Universo:
conxunto de elementos obxecto do
estudo.
Exemplos: Pacientes que chegan a
urxencias dun hospital nun
determinado ano, pezas producidas
por unha máquina durante un certo
período de tempo…


Poboación



Nota
A poboación definirase sen ambigüidade,
de forma que sempre se poida clasificar un
elemento como pertencente ou non a ela.

Se podemos analizar toda a poboación
teremos un censo, e poderanse sacar
conclusións mediante técnicas descritivas
dos datos.


Individuo: Unidade Estatística:
cada un dos elementos da
poboación.



Individuo



Xeralmente non é doado estudar toda a
poboación por:
o custo económico que suporía

o estudo pode implicar a destrución dun
elemento (estudar a temperatura máxima
que pode soportar un cristal)

o tempo que se necesitaría.


Mostra: subconxunto extraído da poboación
cuxo estudo serve para inferir características
da poboación. Debe ser representativa e
suficiente numericamente.

Vexamos algúns exemplos no portal educativo
do Instituto Galego de Estatística



Mostra



A mostra debe ser o máis representativa
posible da poboación da que proceda, para que a
información que subministra poida usarse con
exito á hora de obter conclusións sobre a
poboación.

É importante que, cando existan diferenzas
coñecidas de antemán nos elementos da
poboación, a mostra as conteña tamén.



Mostraxe:
Proceso de tomar mostras
dunha poboación.
Tamaño mostral:
Número de elementos da
mostra


Mostra nesgada:
Unha mostra non representativa da poboación
Os nesgos nos que adoitamos incorrer son :

• Nesgo de selección: algúns membros da poboación
teñen unha probabilidade máis alta que outros de estar
representados na mostra.

• Nesgo por no resposta: unha parte da poboación non
está representada porque non proporciona resposta.



Exemplo
Supoñamos que no
campus universitario
da Coruña proponse a
eliminación da
circulación de
vehículos nalgunhas
zonas. Quérese
incluír un estudo
sobre a opinión das
persoas vinculadas á
universidade.



¿Canta xente está a favor
de prohibir a entrada de
coches no campus?



Definición da poboación

Consideraranse elementos da poboación:

 Todos os estudantes matriculados durante
este curso nos tres ciclos ou nun postgrao
oficial.
 Todo o persoal de administración e servizos.
 Todos os profesores a tempo completo.


Podemos estudar a opinión de toda a
poboación?

• SI facemos un CENSO estudo exhaustivo de
todos os elementos da poboación.

• NON collemos unha MOSTRA estudo nun
conxunto representativo da poboación.



Nesgos que poden aparecer na mostra:
• Nesgo de selección: Por exemplo, se só preguntamos
ás persoas que veñen en bus urbano a primeira hora.
SOLUCIÓN: Deseñar a mostra cun procedemento
obxectivo que garanta a representación de todos os
individuos da poboación.
• Nesgo por non resposta. Por exemplo, se enviamos un
cuestionario, pode que non contesten os que non teñan
coche propio por sentirse pouco afectados.
SOLUCIÓN: non sempre se pode evitar, pero débese
intentar controlar (incluír preguntas tipo: tes coche
propio . . . ?

3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe

Mostraxe
probabilística
Tipos de
mostraxe


Un método de mostraxe é o
procedemento empregado para a
obtención da mostra.

A teoría que estuda os métodos axeitados
a cada modelo é a teoría de mostraxe
ou técnicas de mostraxe.



Unha mostraxe dise probabilística ou
aleatoria se todos os individuos da
mostra se elixen ao azar, de modo que
todos os individuos da poboación teñen, a
priori, a mesma probabilidade de ser
elixidos



A calidade da mostra é tan importante
coma o seu tamaño. Ao substituír o
estudo da poboación polo da mostra,
cométense erros. Pero con eles xa
contamos e poden controlarse.
Se a mostra está mal elixida (non é
representativa) prodúcense erros
adicionais imprevistos e incontrolables
nesgos).


Na mostraxe probabilística
distínguense dúas modalidades,
dependendo do procedemento
aleatorio de extracción utilizado:

• Mostraxe con substitución.

• Mostraxe sen substitución.


Cando eliximos unha mostra de tamaño n
nunha poboación, a elección de cada un
dos elementos da mostra é unha variable
aleatoria.
Temos polo tanto X1, X2,...,Xn variables
aleatorias, chamadas variables mostrais.



Tanto na mostraxe con
substitución como sen ela, as
distribucións das variables
mostrais son iguais entre si e
iguais á distribución de
probabilidade da poboación da
cal proceden.


Non obstante, na mostraxe sen
substitución as variables mostrais
non se distribúen
independentemente, cousa que
sucede cando existe substitución.

Vexamos isto cun exemplo:



Sexa unha urna con 100 bólas, das cales :
20 están marcadas co número 1
30 co 2
50 co 3.
Extráense dúas bólas ao azar e mírase a
puntuación que teñen. Imos determinar a
distribución das variables mostrais X1 e X2
cando a mostra se extrae con e sen
substitución.



A variable poboacional:
X=Puntuación da bóla extraída

Ten como distribución de probabilidade:
P(X = 1) = 0, 20
P(X = 2) = 0, 30
P(X = 3) = 0, 50



Con substitución:
P(X1 = 1) = P(X1 = 1  X2 = 1) + P(X1 = 1  X2 = 2) + P(X1 = 1  X2 = 3)
= 0, 2 . 0, 2 + 0, 2 . 0 ,3 + 0, 2 . 0, 5 = 0, 2

P(X1 = 2) = P(X1 = 2  X2 = 1) + P(X1 = 2  X2 = 2) + P(X1 = 2  X2 = 3)
= 0, 3 . 0, 2 + 0, 3 . 0, 3 + 0, 3 . 0, 5 = 0, 3

P(X1 = 3) = P(X1 = 3  X2 = 1) + P(X1 = 3  X2 = 2) + P(X1 = 3  X2 = 3)
= 0, 5 0, 2 + 0, 5 0, 3 + 0, 5 0, 5 = 0, 5



X2 distribúese igual a X1 e igual a X.

Ademais as variables son independentes
xa que:
P(X1 = x1  X2 = x2 ) = P(X1 = x1 ) . P(X2 = x2 )



Sen substitución

P(X1 = 1) = P(X1 = 1  X2 = 1) + P(X1 = 1  X2 = 2) + P(X1 = 1  X2 = 3)
= 0,2 . 19/99 + 0,2.30/99 + 0,2. 50/99 = 0,2

P(X1 = 2) = P(X1 = 2  X2 = 1) + P(X1 = 2  X2 = 2) + P(X1 = 2  X2 = 3)
= 0,3. 20/99 + 0,3. 29/99 + 0,3. 50/99 = 0,3

P(X1 = 3) = P(X1 = 3  X2 = 1) + P(X1 = 3  X2 = 2) + P(X1 = 3  X2 = 3)
= 0,5. 20/99 + 0,5.30/99 + 0,5.49/99 = 0,5



X2 distribúese igual a X1 e igual a X.

As variables non son independentes xa que:

P(X1 = 1  X2 = 1) = 0, 2 ⋅ 19/99 ≠
0,2 ⋅ 0, 2 = P(X1 = 1) ⋅ P(X2 = 1)


Probabilísticos: •Aleatorio simple
Todos os individuos da poboación •Aleatorio sistemático
teñen a mesma probabilidade de simple
formar parte da mostra. •Estratificado
•Por conglomerados e
Tipos de áreas
mostraxe •Polietápico

Non aleatorio: •Intencional
•Por cotas
•Opinático
•Semialeatorio

•De xuízo
•Por bóla de neve



Mostraxes
probabilísticos
ou aleatorios


• Mostraxe aleatorio simple
•É o tipo de mostraxe máis simple
e no que se basean todos os
demais.
• É no que todos os individuos da
poboación teñen a mesma
probabilidade de ser escollidos.



Os individuos elixidos en
observacións anteriores a unha dada
reinsertaranse na poboación,
podendo aparecer novamente.

As variables aleatorias que
conforman a mostra poden
supoñerse independentes e
identicamente distribuídas.


A mostra aleatoria simple ten
dúas propiedades:
Inesgada: cada unidade ten a
mesma probabilidade de saír
elixida
Independencia: a selección dunha
unidade non inflúe na selección
das outras


Algunhas das posibles formas de
obter unha mostra por este método
son:
• A utilización de táboas de
números aleatorios.

• A simulación dunha variable
discreta equiprobable.


• As táboas de números aleatorios
son recopilacións de díxitos obtidos
como resultado dalgún procedemento
físico que garante a aparición de
cada posible valor (entre 0 e 9) coa
mesma probabilidade e de xeito que
sexan independentes entre si.



Por exemplo, un histórico dos números
premiados nos sorteos da Lotería Nacional.



Procedemento:
Numéranse os elementos da poboación.
Escóllese n como o enteiro máis pequeno que
garante que o número de elementos da
poboación non sobrepasa 10n.

Cada grupo de n díxitos aleatorios dá lugar a un
elemento da poboación, sempre que o número
non exceda o tamaño da poboación. Neste
último caso, rexéitase o número obtido e
continúase ata completar o tamaño da mostra
desexado.


Actualmente é moi común que
sexan obtidas mediante un
xerador de números aleatorios.
(Exemplo de xerador en:
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/
geogebra/figuras/azar_aleatorios.htm )



Exemplo
Queremos obter unha
mostra aleatoria simple, de
tamaño 10, dos días do ano
(nun ano non bisesto).
Numeramos os días do ano
correlativamente,
comezando polo 1 de
xaneiro (número 1) e
terminando polo 31 de
decembro (número 365).



3690 2492 7171 7720 6509 7549 2330 5733 4730
Agrupamos de 3 0813 6790 6858 1489 2669 3743 1901 4971 8280
6477 5289 4092 4223 6454 7632 7577 2816 9002
en 3 os díxitos da 0772 2160 7236 0812 4195 5589 0830 8261 9232

táboa de números
5692 9870 3583 8997 1533 6466 8830 7271 3809
2080 3828 7880 0586 8482 7811 6807 3309 2729

aleatorios e
1039 3382 7600 1077 4455 8806 1822 1669 7501
7227 0104 4141 1521 9104 5563 1392 8238 4882
8506 6348 4612 8252 1062 1757 0964 2983 2244
completamos a 5086 0303 7423 3298 3979 2831 2257 1508 7642
0092 1629 0377 3590 2209 4839 6332 1490 3092
mostra. 0935 5565 2315 8030 7651 5189 0075 9353 1921
2605 3973 8204 4143 2677 0034 8601 3340 8383
7277 9889 0390 5579 4620 5650 0210 2082 4664
5484 3900 3485 0741 9069 5920 4326 7704 6525
6905 7127 5933 1137 7583 6450 5658 7678 3444
8387 5323 3753 1859 6043 0294 5110 6340 9137
4094 4957



369 =) NON.
024 =) SI. Escollemos o 24 de xaneiro
927 =) NON.
171 =) SI. Escollemos o 20 de xuño.
772 =) NON.
065 =) SI. Escollemos o 6 de marzo.
097 =) SI. Escollemos o 7 de abril.
549 =) NON.
233=) SI. Escollemos o 22 de agosto.
057 =) SI. Escollemos o 26 de febreiro.
334 =) SI. Escollemos o 30 de novembro.


730 =) NON.
081 =) SI. Escollemos o 22 de marzo.
367 =) NON.
906 =) NON.
858 =) NON.
148 =) SI. Escollemos o 28 de maio.
926 =) NON.
693 =) NON.
743 =) NON.
190 =) SI. Escollemos o 9 de xullo.


Mostraxe sistemático
• Úsase frecuentemente cando os
individuos da poboación están ordenados
en listas.

Este tipo de mostraxe é máis sinxelo e
máis rápido computacionalmente
que a mostraxe aleatoria simple.



Dende un punto de vista probabilístico,
pode ser moi adecuado se os individuos
cercanos na lista presentan valores
dependentes entre si.

O gran inconveniente é que existan
periodicidades na lista que coincidan co
salto k.



Procedemento:
Temos unha poboación de tamaño N, da que
queremos extraer unha mostra de n
individuos, a mostraxe sistemática consiste
en:
1.Achar k, a parte enteira de N/n.
2.Elixir aleatoriamente l con
equiprobabilidade no conxunto 1, 2, 3, …, k
3.Considéranse os individuos nas posicións
l , k + l , 2k + l , …, (n - 1)k + l


Exemplo
Consideramos a poboación: “Recadación dun cine para cada día do
ano 2004 (N = 366)”.
Decidimos tomar unha mostra de 52 días, entón k=366/52=7, polo
tanto os 52 días da mostra corresponderán sempre ao mesmo día da
semana.



Así se o valor elixido ao azar
entre 1 e 7 é l = 6, a mostra
consistirá en todas as
recadacións dos sábados do
ano 2004.
Isto, obviamente producirá
un nesgo considerable nas
estimacións que se obteñan
desta mostra.



Mostraxe estratificado
Está indicado para aqueles casos nos que
temos información sobre as unidades obxecto
de estudo, de tal forma, que podemos dividir a
poboación en estratos ou grupos de individuos
entre os cales existen importantes diferenzas.
A mostraxe estratificada consiste en obter
un número de individuos (denominado afixación)
segundo unha mostraxe aleatoria simple dentro
de cada estrato


Existen tres formas de proceder:
•Afixación simple: Tómase o mesmo
número de individuos en cada estrato.

•Afixación proporcional: Elíxese o número
de individuos en cada estrato
proporcionalmente ao tamaño do estrato
na poboación.


• Afixación óptima: Suponse que se coñece
o tamaño de cada estrato dentro da
poboación, Ni, a desviación típica da
característica obxecto de estudo en cada
estrato, i , e o custo da mostraxe de cada
unidade para cada estrato, ci .



O número de individuos a elixir en cada
estrato é:
σi
Ni ⋅
ci
ni = K
σj
∑ Nj ⋅ c
j=1 j



Exemplo: para saber o número de persoas que
traballan no subsector pesqueiro en Galicia, no
IGE realízase unha mostraxe aleatoria
estratificada.



Divídese o sector en:
marisqueo a flota
pesca costeira
pesca de altura,
Cada unha destas secciónanse en diferentes estratos
segundo o TRB (toneladas de rexistro bruto) dos
buques.
Desta forma resultan un total de 9 estratos.

Podes atopar máis información na páxina do IGE
(
http://www.ige.eu/estatico/pdfs/s3/metodoloxias/met_macro_pesca_20
) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.


Mostraxe por conglomerado
Supón que a poboación pode dividirse en
conglomerados ou grupos que son homoxéneos entre si.

En lugar de elixir unha mostra en cada conglomerado,
elíxesen aleatoriamente algúns conglomerados e
tómanse censos ou mostras neles. Isto abarata o
procedemento de mostraxe.

Dentro de cada conglomerado, a forma de elixir
mostras pode seguir calquera outro procedemento que
se considere axeitado.



Exemplo: unha enquisa nos fogares galegos.
A enquisa divide a Galicia en seccións censais
(conglomerados), aleatoriamente obtén
mostras de seccións censais e estuda cada
un dos fogares nas seccións censais
pertencentes á mostra



Mostraxe polietápica

A mostraxe polietápica fai referencia a
plans de mostraxe máis complexos que se
levan a cabo en varias etapas.



Exemplo:
Supoñamos que se
quere analizar a
vixencia dos equipos
informáticos nun
conxunto de
empresas dun certo
ramo.



Poderiamos facer primeiro unha
mostraxe estratificada seleccionando
empresas de acordo ao seu tamaño:
pequena
mediana
grande



Dentro de cada estrato da mostra,
poderíase facer unha mostraxe por
conglomerados, para seleccionar só unhas
cantas empresas.
En cada empresa, mediante estratos,
seleccionaranse os equipos informáticos a
analizar :
portátiles, equipos de mesa e
multifuncións.



•Portátiles
Empresa pequena •Equipos de mesa
•Multifuncións

•Portátiles
Empresas •Equipos de mesa
Empresa mediana
dun certo •Multifuncións

ramo
. Portátiles
•Equipos de mesa
Empresa grande •Multifuncións



Mostraxes
non aleatorios



En ocasións, as propiedades aleatoriedade
desexables para calquera mostra
sacrifícanse co fin de gañar rapidez ou
de aforrar custo.

Nestes casos a incerteza dos resultados
nunca se poderá medir co mesmo rigor
que no caso de mostras aleatorias.



• Mostraxes non aleatorios:
•Mostrase opinática: Cada elemento elíxese
subxectivamente, por consideralo representativo
dentro da poboación.

•Mostraxe por cotas: Limita a subxectividade do
entrevistador, obrigándolle a elixir un certo número de
individuos da mostra con certa característica.

•Mostraxe semialeatoria: Nalgunha fase da mostraxe
aleatoria déixase á elección do entrevistador os
individuos que deben seleccionarse.



• Mostraxes non aleatorias:
•Mostraxe por rutas: Consiste en especificar as pautas
a seguir nun itinerario para desembocar no individuo
enquisado. Utilízase moi frecuentemente en traballo de
campo en enquisas de opinión.

•Mostraxe por bóla de neve: Consiste en lograr
identificar a algún individuo representativo, e este
levará a outro e así sucesivamente. É
unha técnica utilizada en estudos de colectivos
marxinais, seitas, etc.



O teorema
central
do límite


• O teorema central do límite é un dos teoremas
fundamentais da Estatística.
• Estuda o comportamento da suma de variables
aleatorias, cando crece o número de sumandos,
asegurando a súa converxencia cara a unha
distribución normal en condicións moi xerais.
• O teorema central do límite establece o que pasa
cando temos a suma dun grande número de
variables aleatorias independentes.



Este teorema ten unha gran aplicación na inferencia
estatística, xa que moitos parámetros de diferentes
distribucións de probabilidade, como a media, poden
expresarse en función dunha suma de variables.

Permite tamén aproximar moitas distribucións de uso
frecuente: binomial, Poisson, chi cuadrado, t-student,
gamma, etc., cando os seus parámetros crecen e o
cálculo faise difícil.
Vexamos un exemplo
www.terra.es/personal2/jpb00000/ttcentrallimite.htm)



Teorema Central do Límite:
Se nunha poboación con media μ e desviación
típica σ, tomamos mostras aleatorias de tamaño
n, a distribución de probabilidade da media
mostral X tende a unha normal de media μ e
desviación típica σ cando n tende a infinito;
n
é dicir:
Para n grande, distribúese aproximadamente
coma unha σ
N(μ( )
n


• Exemplo:
Supoñamos que a
temperatura de
Carballo é unha
variable aleatoria
continua con
media descoñecida μ
e desviación típica
σ = 256



Fanse 64 observacións aleatorias de temperatura.
Cal é a probabilidade de que a temperatura media observada
exceda en máis de 1,5 graos á μ ?



Exemplo: Como temos un número suficientemente
grande de observacións, podemos asumir que a
temperatura media observada, X , distribúese coma:
 256 
N μ,  = N( μ,2)
 64 
 
X −μ
Polo tanto a variable aleatoria Z = é unha N( 0,1)
2
 X − μ (μ + 1.5) - μ 
P  = P( Z > 0.75 ) = 1 − P( Z < 0.75 ) = 1 − 0,7734 = 0,2266
 2 > 2 
 



O obxectivo do noso estudo
é poder estender á poboación
o que obteñamos dunha
mostra.


5. Distribución da media mostral

Distribución
da
media mostral


Supón que da poboación formada por
todos os alumnos/as do instituto, extraes
aleatoriamente unha mostra de 40
alumnos/as, e pregúntaslles pola súa
idade, atopando que a idade media obtida
é 15,8 anos .



Pero,...
Que ocorrería, se
extraésemos outra
mostra?
Coincidirían as
medias ?
Coincidirían esas
medias coa media da
poboación?



Parece lóxico pensar que aínda que non
teñan porqué coincidir, si deberían estar
bastante próximas.

Pero,...
canto de próximas?
dependería esta proximidade do tamaño
das mostras que eliximos?


Para poder responder a estas cuestións é
necesario que estudemos a variabilidade
das medias obtidas das mostras que
repetidamente se extraian.

O seguinte resultado, responde
claramente ás preguntas formuladas.


6. Distribución da media mostral dunha poboación
normal

Resultado:
Supoñamos que queremos estudar unha
variable (lonxitude, peso, idade,..) nunha
poboación de tamaño N na que a media da
poboación para esa variable é μ e a súa
desviación típica é σ


normal

Extraemos aleatoriamente todas as posibles mostras
de tamaño n.
Obtemos a media de cada unha destas mostras
x1 , x2 ,...., xj , e as consideramos unha distribución

de datos (a distribución mostral de medias)

•Verifícase que:
a) A media dos datos é a media da poboación μ , é dicir,
a media das medias das mostras é igual ca media da
poboación.


6. Distribución da media mostral dunha poboación normal

b) Estas medias distribúense arredor da media da
poboación, cunha desviación típica (chamada desviación
típica da media, ) igual á da poboación dividida pola raíz
de n, é dicir, a desviación da media mostral é: σ
n

c) A distribución das medias mostrais é unha
distribución de tipo "normal" sempre que a poboación de
procedencia o sexa, ou incluso se non o é, sempre que o
tamaño das mostras sexa N = 30 ou maior.



• En consecuencia, se unha poboación ten media μ e
desviación típica σ, e tomamos mostras de tamaño n
(de tamaño cando menos 30, ou calquera tamaño, se a
poboación é "normal"), as medias destas mostras seguen
aproximadamente a distribución

 σ 
X ≡ N μ, 
 n



• Canto maior é o valor de n, mellor é a
aproximación "normal"
A desviación típica da media é o grao de variabilidade das
medias mostrais. Canto menor sexa, máis axustadas á
media da poboación serán as medias que obteñamos dunha
mostra. Da propia definición desta desviación típica
conclúese que canto maior é o tamaño da mostra, menor é
este grao de variabilidade e, polo tanto, máis similar á
media da poboación será a media obtida da mostra.



Nesta páxina podes atopar unha aplicación
interactiva que o ilustra
http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducati



Exemplo
Unha compañía aérea sabe que a bagaxe dos seus
pasaxeiros ten como media 25 kg. cunha desviación típica
de 6 kg.
Un dos seus avións transporta a 50 pasaxeiros, cal é a
probabilidade de que o peso medio para estes pasaxeiros
sexa superior a 26 kg?


normal

Exemplo
Se o avión non debe
cargar máis de 1300 kg
nas súas bodegas para
non superar a marxe
de seguridade, en que
tanto por cen os avións
desta compañía
superan a marxe de
seguridade?


normal

O peso medio das bagaxes de dito grupo estará
na distribución mostral de medias
 6 
N 25,  = N( 25,0,84 )
 50 

A probabilidade de que o peso medio para estes
pasaxeiros sexa superior a 26 kg sería:

( ) 
P X > 26 = P Z >
26 − 25 
0,84 
 = P( Z > 1,18) = 0,119 ≈ 11,9%



normal
Se o avión non debe cargar máis de 1300 kg nas
súas bodegas, a media do conxunto dos 50
pasaxeiros non debe superar os

1300
= 26
50

Polo tanto nun 11,9% dos casos os avións desta
compañía superan a marxe de seguridade.



Distribución
da
Proporción


A distribución binomial B(n,p), permítenos
coñecer como se distribúe o número de éxitos
correspondente a un experimento realizado n
veces, e no que a probabilidade de éxito en cada
experimento é p. Dita distribución ten media e
desviación típica:
μ = n ⋅p
σ = n ⋅p⋅q


Supoñamos que X é a variable que mide o número
de éxitos. Os posibles valores de X
son: 0,1,2,...,n.
Se definimos unha nova variable,
X
Y=
n
esta tomaría os valores correspondentes ás
proporcións (en tanto por un) de éxito.



X
Se por exemplo n=200, como Y= teríase:
n

X=0 , (0 éxitos ) equivale a Y=0 ( é dicir, un 0%
de éxitos)
X=1 , (1 éxito ) equivale a Y=0,005 ( 0,5% de
éxitos)
X=2 , Y=0,01 ( é dicir, 2 éxitos equivalen a un 1%
de éxitos)
....
X=n , Y=1 ( n éxitos = 100% de éxitos)


Dividindo por n, obteremos a media e a
desviación típica da variable Y que representa a
proporción de éxitos:

n ⋅p⋅q p⋅q
σ= =
n n
n ⋅p
μ= =p
n



Se np>5, nq>5, utilizando a aproximación normal á
binomial, poderemos afirmar que as proporcións
de éxito, para un experimento binomial de n
probas con probabilidade de éxito p en cada
proba, distribúense segundo:

 p⋅q 
N p,


 n 



Polo tanto, se nunha poboación, unha determinada
característica de tipo binomial (a poboación divídese
entre os que a teñen e os que non), preséntase nunha
proporción p, ao tomar mostras de tamaño n, as
proporcións p' obtidas, distribuiranse segundo

 p⋅q 
N p,


 n 
(a partir deste momento suporemos sempre que np>5,nq>5).

Esta distribución denomínase distribución
da proporción mostral


EXEMPLO:
Nunha empresa está
establecido que unha máquina
opera correctamente cando,
como máximo un 5% da súa
produción é defectuosa.
Elíxese aleatoriamente unha
mostra de 100 artigos
producidos por unha certa
máquina e 40 deles son
defectuosos.
Existe razón para pensar que a
máquina está estragada?.


EXEMPLO:
As proporcións mostrais para mostras de tamaño 40
nunha máquina normal distribúense segundo

 0,05 ⋅ 0,95 
N 0,05;  = N( 0,05;0,0218)
 100 
 

é dicir, distribúense de forma "normal" arredor do 5%
cunha desviación típica do 2,18%.



En consecuencia, a probabilidade de valores como o
rexistrado
40
= 0,4 ≈ 40%
100

resulta ser:
 0,4 − 0,05 
P( Y > 0,4 ) = P Z >  = p( Z > 16,05 ) = 0
 0,0218 

e podemos asegurar "estatisticamente" que a máquina
está estragada.


9.mostraxe

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Mehr von German Mendez

Mehr von German Mendez (14)

9.mostraxe