7.variablesaleatoriasdiscretas.distribuciónbinomial

MÉTODOS ESTATÍSTICOS
E NUMÉRICOS

UNIDADE 7

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.

1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.
2. Función de probabilidade dunha variable aleatoria
discreta.
3. Función de distribución dunha variable aleatoria
discreta.
4. Media, varianza e desviación típica dunha variable
aleatoria discreta.
5. Distribución binomial ou de Bernouilli
6. Función de probabilidade dunha distribución
binomial.
7. Función de distribución dunha distribución binomial.
8. Media ou esperanza matemática, varianza e
desviación típica dunha distribución binomial.



Variable aleatoria:
Chámase variable aleatoria a toda lei
(función) que asocia a cada elemento do
espazo mostral E dun experimento
aleatorio un número real.



Exemplo 1: 1ª moeda

Consideramos o
experimento aleatorio 2ª moeda

lanzar 3 moedas, e a cada C X

posible resultado de dito 3ª

experimento asignámoslle C X
moeda
C X
o número real que indica o
número de caras que
obtivemos. C X C X C X C X

Esta función que
denotamos por X (X=nº
de caras obtidas) é unha
CCC CCX CXC CXX XCC XCX XXC XXX

variable aleatoria e ten
por percorrido {0, 1, 2, 3} 3 2 2 1 2 1 1 0



Exemplo 2:
Consideramos o experimento aleatorio “lanzar
dous dados de distinta cor”, e a cada un dos
puntos mostrais asociámoslle un número real
que é a suma dos puntos obtidos entre os dous
dados.

Esta función X=“puntos obtidos entre os dous
dados” é unha variable aleatoria e ten por
percorrido {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}



1º dado

1 2 3 4 5 6
2º dado

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

(4,2)

(4,5)

(6,4)
(6,5)
(4,3)
(4,4)

(4,6)

(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)

(6,2)
(6,3)

(6,6)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)

(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)

(6,1)
(5,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)

(3,1)
(1,1)

2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 1011 7 8 9 101112



Exemplo 3:
Consideremos o experimento
aleatorio “elixir ao chou un alumno
do noso instituto”; os puntos
mostrais son os 700 alumnos do
instituto.
A cada posible resultado
asignámoslle un número real que
será a estatura de dito alumno.
X=estatura do alumno é unha
variable aleatoria; o percorrido
desta variable aleatoria é máis
complicado de establecer, aínda que
podemos supor que se trata dun
intervalo, por exemplo [1.40, 1.95]
m, a variable podería tomar
calquera valor entre os infinitos do
intervalo.



Exemplo 4:
Consideramos o experimento aleatorio “elixir ao chou un paquete de café dunha
certa marca etiquetado como 1Kg “.
Os puntos mostrais do experimento son todos os paquetes de café de dita marca e
etiquetados con ese peso.
Asignámoslle a cada resultado do experimento un número real que será o peso real
do paquete.
X=peso real do paquete, é unha variable aleatoria; o seu percorrido podemos
consideralo como o intervalo [0.800, 1.200]Kg, e pode tomar calquera valor dos
infinitos de dito intervalo.



Discretas O percorrido da
variable aleatoria
é finito ou
infinito
numerable
Tipos de
variables Continuas O percorrido, ao
menos teórico,
aleatorias está formado
polos infinitos
valores dun
intervalo ou de
varios.


Exemplos:
No experimento aleatorio “lanzar 3 moedas” a
variable aleatoria X=nº de caras obtidas é
unha variable aleatoria discreta, pois o seu
percorrido {0,1,2,3} é finito.
No experimento aleatorio “lanzar dous dados
de distinta cor”, a variable aleatoria
X=“puntos obtidos entre os dous dados” é
unha variable aleatoria discreta, pois o seu
percorrido {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} é finito.



No experimento aleatorio “elixir ao chou un
alumno do noso instituto”; X=estatura do
alumno é unha variable aleatoria continua pois
o seu percorrido é un intervalo [1.40, 1.95] m

No experimento aleatorio “elixir ao chou un
paquete de café dunha certa marca
etiquetado como 1Kg”; X=peso real do
paquete, é unha variable aleatoria continua
pois o seu percorrido podemos consideralo
como o intervalo [0.800, 1.200]Kg


2. Función de probabilidade dunha variable
aleatoria discreta.

Función de probabilidade X pi=p(X=xi)
dunha variable aleatoria
discreta x1 p1
Chámase función de
probabilidade dunha variable x2 p2
aleatoria discreta X á aplicación . .
que asocia a cada un dos valores
que pode tomar dita variable, e . .
que denotamos como xi, a súa . .
probabilidade.
Dita función pódese expresar xn pn
mediante unha táboa, e soe
representarse mediante un
diagrama de barras. 1


aleatoria discreta.

Exemplo 1
No experimento aleatorio “lanzar 3 moedas”
consideramos a variable aleatoria discreta
X=“nº de caras obtidas” con percorrido
{0,1,2,3}.

Calculemos a súa función de probabilidade:


aleatoria discreta.

X=nº de caras pi=p(X=xi)
obtidas

x1=0 P1=p(X=0)=p(“nºde caras obtidas sexa 0”)=
=p({XXX})=1/8=0.125
x2=1 p2=p(X=1)=p(“nº de caras obtidas sexa 1”)=
=p({CXX, XCX, XXC})=3/8=0.375
=p({CCX, CXC, XCC})=3/8=0.375
=p({CCC})=1/8=0.125

p1+p2+p3+p4=1


aleatoria discreta.

0.4
0.375 0.375

0.3

0.2
probabilidade

0.125 0.125

0.1

0
0 1 2 3

nº de caras


aleatoria discreta.

Exemplo 2:
No experimento aleatorio “lanzar dous dados
de distinta cor”, a variable aleatoria
X=“puntos obtidos entre os dous dados” é
unha variable aleatoria discreta e o seu
percorrido é {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

Calculemos a súa función de probabilidade:


aleatoria discreta.
X= suma pi=p(X=xi)
dos puntos
dos dous
dados

x1=2 p1=p(X=2)=p(“a suma de puntos sexa 2”)=p({(1,1)})=1/36=0.028
x2=3 p2=p(X=3)=p(“a suma de puntos sexa 3”)=p({(1,2),(2,1)})=2/36=0.056
x3=4 p3=p(X=4)=p(“a suma de puntos sexa 4”)=p({(1,3),(2,2),(3,1)})=3/36=0.083
x4=5 p4=p(X=5)=p(“a suma de puntos sexa 5”)=p({(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)})=4/36=0.111
x5=6 p5=p(X=6)=p(“a suma de puntos sexa 6”)=
=p({(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)})=5/36=0.139
=p({(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)})=6/36=0.167
=p({(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)})=5/36=0.139
x8=9 p8=p(X=9)=p(“a suma de puntos sexa 9”)=p({(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)})=4/36=0.111
x9=10 p9=p(X=10)=p(“a suma de puntos sexa 10”)=p({(4,6),(5,5),(6,4)})=3/36=0.083
x10=11 p10=p(X=11)=p(“a suma de puntos sexa 11”)=p({(5,6),(6,5)})=2/36=0.056
x11=12 p11=p(X=12)=p(“a suma de puntos sexa 12”)=p({(6,6)})=1/36=0.028

p1+p2+p3+p4+...+p11=1

aleatoria discreta.

0.17 0.167

0.16
0.15
0.139 0.139
0.14
0.13
0.12 0.111 0.111
0.11
0.1
0.09 0.083 0.083
0.08
probabilidade

0.07
0.06 0.056 0.056
0.05
0.04
0.028 0.028
0.03
0.02
0.01
0
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

suma de puntos


discreta.

Función de distribución dunha variable aleatoria
discreta X.

A función de distribución, F, dunha variable aleatoria
discreta X é aquela que a cada valor x, nº real, lle
asigna a probabilidade de que a variable aleatoria X
tome valores menores ou iguais que x.

F(x)=p(X≤x)

Como consecuencia desta definición:

0≤F(xi)=p(X≤xi)=p(X=x1)+p(X=x2)+...+p(X=xi)≤1


discreta.

Exemplo 1:
Calculemos a función de
X=nº
de caras
pi=p(X=xi)
distribución F para a obtidas

variable aleatoria X=“nº 0 p1=p(X=0)=1/8=0.125
de caras” no experimento 1 p2=p(X=1)=3/8=0.375
aleatorio “lanzar 3 2 p3=p(X=2)=3/8=0.375
moedas”.
3 p4=p(X=3)=1/8=0.125

Lembremos a súa función p1+p2+p3+p4=1
de probabilidade:


discreta.

A súa función de distribución ten como dominio todo
R e, é unha especie de probabilidade acumulada:

p( X x) 0 se x 0
1
p( X x) p( X 0) p( X 0) se 0 x 1
8
1 3 4 1
F x p( X x) p( X 1) p( X 0) p( X 1) se 1 x 2
8 8 8 2
1 3 3 7
p( X x) p( X 2) p( X 0) p( X 1) p( X 2) se 2 x 3
8 8 8 8
1 3 3 1
p( X x) p( X 3) p( X 0) p( X 1) p( X 2) p( X 3) 1 se 3 x
8 8 8 8


discreta.
y f(x)=0

E a súa gráfica é escalonada:
f(x)=1/8
f(x)=1/2
1.8
f(x)=7/8
f(x)=1
Serie 1
1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

x
8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.

discreta.

Exemplo 2: X= suma
dos puntos
pi=p(X=xi)

Calculemos a función de dos dous
dados
distribución F para a 2 p1=p(X=2)=1/36
variable aleatoria X=“suma 3 p2=p(X=3)=2/36
dos puntos das caras 4 p3=p(X=4)=3/36
5 p4=p(X=5)=4/36
superiores” no 6 p5=p(X=6)=5/36
experimento aleatorio 7 p6=p(X=7)=6/36
“lanzar 2 dados”. 8 p7=p(X=8)=5/36
9 p8=p(X=9)=4/36
Lembremos a súa función 10 p9=p(X=10)=3/36
de probabilidade: 11 p10=p(X=11)=2/36
12 p11=p(X=12)=1/36
p1+p2+p3+p4+...+p11=1


discreta.

A súa función de distribución ten como dominio todo R e, é unha
especie de probabilidade acumulada:
0 se x 2

1
p( X 2) p( X 2) se 2 x 3
36
1 2 3
p( X 3) p( X 2) p( X 3) se 3 x 4
36 36 36
1 2 3 6
p( X 4) p( X 2) p( X 3) p( X 4) se 4 x 5
36 36 36 36
1 2 3 4 10
p( X 5) p( X 2) p( X 3) p( X 4) p( X 5) se 5 x 6
36 36 36 36 36
1 2 3 4 5 15
p( X 6) p( X 2) p( X 3) ... P( X 6) se 6 x 7
36 36 36 36 36 36
F x p( X x)
1 2 3 4 5 6 21
p( X 7) p( X 2) p( X 3) ... p ( X 7) se 7 x 8
36 36 36 36 36 36 36
1 2 3 4 5 6 5 26
p( X 8) p( X 2) p( X 3) ... p( X 8) se 8 x 9
36 36 36 36 36 36 36 36
1 2 3 4 5 6 5 4 30
p( X 9) p( X 2) p( X 3) ... p ( X 9) se 9 x 10
36 36 36 36 36 36 36 36 36
1 2 3 4 5 6 5 4 3 33
p( X 10) p( X 2) p( X 3) ... p( X 10) se 10 x 11
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 35
p( X 11) p( X 2) p( X 3) ... p( X 11) se 11 x 12
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36
p( X 12) p( X 2) p( X 3) ... p( X 12) 1 se 12 x
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36


discreta.
y f(x)=0
f(x)=1/36
1.4 f(x)=3/36

E a súa gráfica é escalonada:
f(x)=6/36
1.3 f(x)=10/36
f(x)=15/36
f(x)=21/36
1.2
f(x)=26/36
f(x)=30/36
1.1 f(x)=33/36
f(x)=35/36
1 f(x)=1
Serie 1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

x
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4


discreta.

Propiedades da función de distribución:

F(x) é constante en cada intervalo [xi,xi-1) e a súa gráfica é, polo
tanto, escalonada.

F(x) é discontinua en xi
F(x) é crecente pois é unha suma acumulativa de probabilidades e
estas son sempre positivas.

p(a<X≤b)=F(b)-F(a). A probabilidade de que a variable aleatoria X
tome valores no intervalo (a, b] é a diferenza entre os valores da
función de distribución nos extremos do intervalo.


4. Media, varianza e desviación típica dunha
variable aleatoria discreta.
Media, esperanza e desviación típica dunha variable aleatoria
discreta.

Retomemos agora o noso primeiro exemplo:
Experimento aleatorio=“lanzar 3 moedas”
Variable aleatoria discreta X=“nº de caras obtidas”

E realicemos de xeito empírico 40 veces, por exemplo, dito
experimento anotando de cada vez o nº de caras obtidas.

Supoñamos que o nº de caras obtidas en cada un dos 40
experimentos é:
2, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 0, 1, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 0,
1, 2, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1.



X é entón unha variable estatística discreta, e os
resultados obtidos pódense colocar nunha táboa de
frecuencias. Tamén podemos calcular a súa media
aritmética e a súa varianza.
Á hora de calcular a media aritmética, empregaremos a
fórmula: n
xi f i n n n
i 1 xi f i f
x xi i xi hi
N i 1 N i 1 N i 1

Do mesmo xeito, á hora de calcular a varianza:
n
2
xi fi n 2 n n
2 i 1
2 xi fi 2 2 fi 2 2 2
s x x xi x xi hi x
N i 1 N i 1 N i 1



xi fi hi=fi/N xi.hi x i2 xi2.hi
0 3 3/40 0 0 0
1 15 15/40 15/40 1 15/40
2 18 18/40 36/40 4 72/40
3 4 4/40 12/40 9 36/40
N=40 1 ∑ xi.hi ∑ xi2.hi
=63/40 =123/40

Obtemos:
4
63
x xi hi 1.575
i 1 40
4 2
2 2 123
s2 xi hi x 1.575 0.594
i 1 40



Pero se lembrades a lei dos grandes números,
cando un experimento aleatorio se repite un nº
de veces moi elevado, as frecuencias relativas
dun suceso estabilízanse ao redor dun número
ao que chamábamos probabilidade.

Traballemos coas probabilidades e pensemos
nos resultados esperados á vista de ditas
probabilidades.



Se pensamos teoricamente no que acontecería ao
realizar o experimento aleatorio “lanzar 3 moedas” 40
veces, de acordo coas probabilidades obteríamos:

xi fi hi=pi xi.hi=xi.pi xi2 xi2.hi=xi2.pi
0 5 5/40=1/8 0 0 0
1 15 15/40=3/8 3/8 1 3/8
2 15 15/40=3/8 6/8 4 12/8
3 5 5/40=1/8 3/8 9 9/8
N=40 1 ∑ xi.hi=∑xi.pi ∑ xi2.hi=∑xi2.pi
=12/8=1.5 =24/8=3



Calculando a media aritmética e a varianza desta
situación absolutamente teórica obtemos:
4 4
12
x xi hi xi pi 1.5
i 1 i 1 8
4 4 2
2 2 2 2 2 24
s xi hi x x
i pi x 1.5 3 2.25 0.75
i 1 i 1 8

A media aritmética desta situación teórica chámase
media ou esperanza da variable aleatoria X e
represéntase por μ, e a varianza desta situación teórica
chámase varianza da variable aleatoria X e
represéntase por σ2.


Media ou esperanza matemática dunha variable aleatoria
discreta X.
Chámase media ou esperanza matemática dunha variable aleatoria
discreta X, e represéntase por μ, á expresión :
n
x1 p1 x2 p2 ... xn pn xi pi
i 1
Varianza dunha variable aleatoria discreta
Chámase varianza dunha variable aleatoria discreta X e
represéntase por σ2, á expresión:
n
2 2 2 2 2
x1 p1 x2 p2 ... x n pn xi2 pi 2

i 1 n
Ou ben : 2
( x1 ) p1 ( x2 2
) p2 ... ( xn ) pn 2
( xi 2
) 2 pi
Desviación típica dunha variable aleatoria discreta
i 1

É a raíz cadrada da súa varianza
2


Exemplo 2:
Calculemos agora a media ou esperanza matemática μ e a varianza
σ2 da variable aleatoria X=“suma dos puntos” asociada ao
experimento aleatorio “lanzar dous dados”
xi pi xipi xi2 xi2.pi
2 1/36 2/36 4 4/36
3 2/36 6/36 9 18/36
4 3/36 12/36 16 48/36
5 4/36 20/36 25 100/36
6 5/36 30/36 36 180/36
7 6/36 42/36 49 294/36
8 5/36 40/36 64 320/36
9 4/36 36/36 81 324/36
10 3/36 30/36 100 300/36
11 2/36 22/36 121 242/36
12 1/36 12/36 144 144/36
1 Μ = ∑ xipi = 252/36 = 7 ∑xi2.pi = 1974/36



Obtemos 11
xi pi 7
i 1

2
11
2 2 1974 2  
x
i pi 7 54.83 49 5.83
i 1 36

2

5.83 2.41



Distribución binomial ou de Bernouilli
(Ars coniectandi 1713)

Unha variable aleatoria discreta X dise que segue
unha distribución binomial se se verifica:

O experimento aleatorio é un experimento composto
de varios simples iguais ou probas.

Estes experimentos simples ou probas teñen só dous
posibles resultados, A e B.



O resultado obtido en cada un dos
experimentos simples é independente dos
obtidos nos exp. simples anteriores.

A probabilidade do resultado A, e polo tanto
a de B, non varia ao longo do experimento.

Se chamamos p á probabilidade de que se
verifique o resultado A e q á de que se
verifique B, p+q=1



Unha variable aleatoria binomial X queda
perfectamente determinada coñecendo o
nº de probas (n) e a probabilidade (p) de
que se verifique o suceso que contabiliza
e, polo tanto, exprésase B(n,p), n e p
reciben o nome de parámetros de
distribución.



Exemplo 1:
A variable aleatoria X=“nº de caras obtidas” asociada
ao experimento aleatorio “lanzar 3 moedas”, segue
unha distribución binomial.

O experimento aleatorio está composto por tres
experimentos simples iguais “lanzar unha moeda”.

Cada experimento simple “lanzar unha moeda” ten
dous posibles resultados A=“saír cara” e B=“saír cruz”.



O resultado de cada lanzamento dunha moeda
é independente do acontecido nos lanzamentos
anteriores.

As probabilidades dos sucesos A e B non
varían nos tres lanzamentos.
p=p(A)=p(“saír cara”)=1/2
q=p(B)=p(“saír cruz”)=1/2

Vemos tamén que p+q=1



O esquema do experimento, como
podemos obter nesta aplicación obtida na
páxina de recursos educativos do ITE,
sería:


binomial.

Función de probabilidade dunha variable
aleatoria discreta de tipo binomial.

Sexa X unha variable aleatoria discreta de tipo
binomial, é dicir:

Está asociada a un experimento aleatorio formado por
n probas iguais.
Cada proba ten dous posibles resultados A ou B, con
probabilidades p e q que se manteñen constantes en
tódalas probas, pois o acontecido nunha proba é
independente do acontecido nas anteriores.
X contabiliza o número de veces que acontece A (ou B)


binomial.

O espazo mostral do experimento aleatorio está
formado por 2.2.2...2=2n elementos.

Cada un destes elementos é do tipo ABBAAB...AB onde
A repítese k veces e B n-k veces.

Tomemos un destes elementos onde as A estean
agrupadas, e polo tanto as B tamén AAA...ABBB...B,
repetíndose A k veces e B n-k veces.

Como os sucesos son independentes:
p(AA...ABB...B)=p(A).p(A)...p(A).p(B).p(B)...p(B)=
=p.p...p.q.q...q=pk.qn-k


binomial.

Aínda que ocupen distintos postos, todos
aqueles elementos do espazo mostral
formados por k veces A e n-k veces B teñen
a mesma probabilidade pk.qn-k.

E cantos elementos temos nesta situación?
Dito número son as permutacións con
repetición de n elementos onde A repítese k
veces e B repítese k-n veces: PRnk,n-k .

Como k ,n k n! n
PR n
k! n k ! k

binomial.

Concluímos que a función de probabilidade da
variable aleatoria binomial X vén dada pola
fórmula:

p(X=k)=
=p(“o nº de veces que aconteza A sexa k”)=
n
pk qn k

k


binomial.

Nota:

O termo obtido para a función de
probabilidade deste tipo de variables
aleatorias lembra o termo xeral do
desenvolvemento do binomio de Newton.
n
n n
p q pi q n i

i 0 i
De aí o nome de distribución binomial.

binomial
Experimento de Galton.

Unha idea de distribución binomial pode obterse a partir do
experimento realizado por Sir Francis Galton (1822-1911), quen
construíu un enxeñoso trebello (chamado máquina Quincunx ou
quincunce):
Consistía nun taboleiro inclinado cunha serie de cravos
distribuídos regularmente.
Sobre dito taboleiro deslizábanse un grande número de bólas
procedentes dun depósito superior que ao chocar cos cravos
afastábanse en maior ou menor medida da liña central de caída
dependendo do azar.
Unha bóla tiña a mesma probabilidade de chocar con cada un dos
cravos e seguir un camiño (1/2)
As bólas recollíanse en compartimentos estreitos distribuídos no
borde inferior; as alturas alcanzadas polas bólas dan unha idea da
función de probabilidade dunha binomial B(n,1/2).
Vexamos unha aplicación onde se reproduce dito experimento.

binomial.

Exemplo:
Nun cuestionario de 8 preguntas só hai que
contestar SI ou NON.

Acha a probabilidade de, sen coñecer a
resposta, acertar 5 preguntas.

Acha a probabilidade de acertar polo menos 6.


binomial.


binomial.

Ao non coñecer ningunha
resposta, ante unha das
cuestións temos a mesma
probabilidade de acertala
(A) que de errala (E).

Esta situación repítese
ao longo das 8 preguntas
do cuestionario.


binomial.

O experimento aleatorio consiste en
responder ao chou as 8 cuestións, consta de 8
probas onde as probabilidades permanecen
estables; ademais o acontecido nunha das
preguntas non inflúe nas posteriores.

A variable aleatoria discreta asociada a este
experimento X=“nº de respostas acertadas” é
unha variable aleatoria binomial B(8,½)


binomial.

Acha a probabilidade de, sen coñecer a
resposta, acertar 5 preguntas.

p(“acertar 5 preguntas”)=p(X=5)=
5 8 5 8
8 8 1 1 8! 1 56 56 7
= 5
p q 8 5

5 5 2 2 5! 3! 2 28 256 32


binomial.

Acha a probabilidade de acertar polo menos 6.

p(“acertar polo menos 6 preguntas”)=
=p(“acertar 6,7 ou 8”)=
=p(X=6)+p(X=7)+p(x=8)=
6 2 7 1 8 0
8 1 1 8 1 1 8 1 1
6 2 2 7 2 2 8 2 2
8 8 8
8! 1 8! 1 8! 1
6! 2! 27! 1! 2 8! 0! 2
1 1 1 37
28 8 1
256 256 256 256


binomial.

Nota:
Cando nunha binomial o parámetro n aumenta,
os cálculos empezan a ser complicados polo que
se recorre ás táboas da binomial para poder
traballar


6. Función de probabilidade
dunha distribución binomial.
TÁBOA DISTRIBUCIÓN
BINOMIAL

Exemplo:
Nunha binomial B(9,0.25),
calcula p(X=6).

Búscase n=9,k=6 en vertical
e p=0.25 en horizontal.

P(X=6)=0.9987

Na páxina web
http://personal5.iddeo.es/zt
t/Tem/t19_distribucion_bin
omial.htm atopamos unha
aplicación que dá os
resultados directamente.


discreta binomial.

Función de distribución dunha variable aleatoria
discreta binomial.

Sexa X unha variable aleatoria discreta de tipo
binomial, é dicir:

Está asociada a un experimento aleatorio formado por
n probas iguais.
Cada proba ten dous posibles resultados A ou B, con
probabilidades p e q que se manteñen constantes en
todas as probas, pois o acontecido nunha proba é
independente do acontecido nas anteriores.
X contabiliza o número de veces que acontece A (ou B)
• X toma valores enteiros (0, 1, 2,....)

discreta binomial.

Atendendo á definición de función de distribución
dunha variable aleatoria discreta, dado x un número
real calquera:

F(x)=p(X≤x)=p(X≤t)=
sendo t o nº enteiro maior non superior a x
=p(X=0)+p(X=1)+...+P(x=t)=
n 0 n n 1 n 1 n
p q p q ... pt q n t

0 1 t
n
pk qn k
sendo k=0,1,2.....
k x k


discreta binomial.

Exemplo:
Nunha urna hai 4 bólas
brancas e 6 bólas negras.
O experimento consiste en
facer catro extraccións
con devolución. Calcula a
función de probabilidade e
a función de distribución
da variable “nº de bólas
brancas”.


discreta binomial.
O experimento aleatorio “extracción con devolución de 4 bólas
dunha urna que contén catro bólas brancas e seis bólas
negras”:

Consta de 4 probas con dous posibles resultados (bóla branca ou bóla
negra).

As probabilidades permanecen estables; ademais o acontecido nunha das
probas non inflúe nas posteriores.
p=p(“sacar bóla branca”)=4/10=0.4
q=p(“sacar bóla negra”)=6/10=0.6

A variable aleatoria discreta asociada a este experimento X=“nº
de bólas brancas” é unha variable aleatoria binomial (B(4,0.4))


discreta binomial.

Por ser unha variable aleatoria binomial,
a súa función de probabilidade é:
n
p( X k) pk qn k

k

Como o número de extraccións é 4 entón:

4
p( X k) pk q4 k

k


discreta binomial.

Polo tanto:
0 4
4
p(X=0)=p(“non obter brancas”)=
4 6 4!
1 0.1296 0.1296
0 10 10 0! 4!
1 3
4 4 6 4!
P(X=1)=p(“obter 1 branca”)= 1 10 10 1! 3!
0.4 0.216 0.3456
2 2
4 4 6 4!
P(X=2)=p(“obter 2 brancas”)= 2 10 10 2! 2!
0.16 0.36 0.3456
3 1
4 4 6 4!
0.064 0.6 0.1536

4 0
4 4 6 4!
0.0256 1 0.1256


discreta binomial.

xi p(X=xi) 0.36
0.34
0.3456 0.3456

0.32
0.3

0 p(X=0)=0.1296 0.28
0.26

1 p(X=1)=0.3456
0.24
0.22
0.2
2 p(X=2)=0.3456 0.18
0.1536

probabilidade
0.16

3 p(X=3)=0.1536 0.14
0.12
0.1296

4 P(X=4)=0.0256
0.1
0.08
0.06
0.04 0.0256
0.02
0
1 2 3 4 5

nº de bolas brancas
6


discreta binomial.

A súa función de distribución será:
F ( x) p( X k)
k x

0 x 0
p( X 0) 0.1296 0 x 1
p( X 0) p( X 1) 0.1296 0.3456 0.4752 1 x 2
F ( x) se
p( X 0) p( X 1) p( X 2) 0.4752 0.3456 0.8208 2 x 3
p( X 0) p( X 1) p( X 2) p( X 3) 0.8208 0.1536 0.9744 3 x 4
p( X 0) p( X 1) p( X 2) p( X 3) p( X 4) 0.9744 0.0256 1 4 x


discreta binomial.
y f(x)=0
f(x)=0
1.4 f(x)=0.1296
f(x)=0.4752
1.3 f(x)=0.8208
f(x)=0.9744
f(x)=1
1.2
Serie 1

1.1

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

x
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4



Media ou esperanza matemática dunha
distribución binomial.

A media μ dunha distribución binomial B(n,p) é:

μ=n.p



Sexa X unha distribución binomial B(n,p) sendo n o nº
de probas e p a probabilidade do suceso que X
contabiliza.

X toma valores 0,1,2,3....,n con probabilidades:
n
px=p(X=x)= x
p x qn x

Aplicamos a definición de media ou esperanza
matemática dunha variable aleatoria discreta:
n
x px
x 0



Obtendo:
n n 0 n n n 1 n
x px 0 p q 1 p q ... n pn q0
x 0 0 1 n
n n x n x
n
n!
x p q x p x qn x

x 1 x x 1 x! n x !
n n
x n! n!
p x qn x
p x qn x

x 1 x x 1! n x ! x 1 x 1! n x !
n n
n n 1! n 1!
p px 1
q n x
n p px 1
qn x

x 1 x 1! n x ! x 1 x 1! n x !
n n 1 n 1
n p px 1
qn x
n p p q
x 1 x 1
n p 1n 1
n p


Varianza dunha distribución binomial:

A varianza dunha distribución binomial B(n,p)
é:
σ2=n.p.q



Sexa X unha distribución binomial B(n,p) sendo n o nº
de probas e p a probabilidade do suceso que X
contabiliza.

X toma valores 0,1,2,3....,n con probabilidades:
n
px=p(X=x)= x
p x qn x

Aplicamos a definición de varianza dunha variable
aleatoria discreta:
n
2
(x ) 2 px
x 0


Obtemos
n n n
2 2
x px x2 2x 2
px x x 1 x 2x 2
px
x 0 x 0 x 0
n n n n n n
2 2
x x 1 px 1 2 x px px x x 1 px 1 2 x px px **
x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0

Com o
n n n n n
n!
x x 1 px x x 1 px x x 1 p x qn x
x x 1 p x qn x

x 0 x 2 x 2 x x 2 x! n x !
n n
n! n!
x x 1 p x qn x
p x qn x

x 2 x x 1 x 2! n x! x 2 x 2! n x!
n n
n n 1 n 2! 2 x 2 n x 2 n 2!
p p q n n 1 p px 2
qn x

x 2 x 2! n x! x 2 x 2! n x!
n n 2 n 2
n n 1 p2 px 2
qn x
n n 1 p2 p q n n 1 p 2 1n 2
n n 1 p2
x 2 x 2

** n n 1 p 2 1 2 2
1 n n 1 p 2 1 2 n p n p n2 p 2
n p n 1 p 1 2 n p n p n p n p p 1 2 n p n p
n p 1 p n p q


Desviación típica dunha distribución binomial.

A desviación típica dunha distribución binomial
B(n,p) é:
2
n p q



Retomando o exemplo anterior:
Nunha urna hai 4 bólas brancas e 6 bólas
negras. O experimento consiste en facer catro
extraccións con devolución. Calcula a media ou
esperanza matemática, a varianza e a
desviación típica da variable “nº de bólas
brancas”.



Lembra que a variable aleatoria X=“nº de bólas
brancas” correspondía a unha distribución binomial
onde o número de probas n era 4, a probabilidade p de
extraer unha bóla branca era 0.4 e a probabilidade q de
extraer unha bóla negra era 0.6; é dicir, trátase dunha
distribución binomial B(4, 0.4).

Polo tanto
μ = n.p = 4·0.4 = 1.6
σ2= n.p.q = 4·0.4·0.6=0.96
σ = √0.96 =0.98



Lembremos o primeiro exemplo co que
traballamos:

No experimento aleatorio “lanzar 3
moedas” consideramos a variable aleatoria
discreta X=“nº de caras obtidas”.

Xa observamos con anterioridade que se
trata dunha distribución binomial; de feito
é unha distribución binomial B(3, ½)



Calcularamos a súa media e a súa varianza atendendo á
definición xeral para unha variable aleatoria discreta.

Vexamos agora que se as calculamos de acordo co dito
para unha binomial obtemos igual resultado.

μ=n.p=3.1/2=3/2=1,5
σ2=n.p.q=3.1/2.1/2=3/4=0,75

2
n p q 0.75 0.87


7.variablesaleatoriasdiscretas.distribuciónbinomial

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Andere mochten auch

Andere mochten auch (20)

Mehr von German Mendez

Mehr von German Mendez (14)

7.variablesaleatoriasdiscretas.distribuciónbinomial