Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...
Â
TUGAS MTK BUKU KALKULUS
1. NAMA ANGGOTA KELOMPOK :
1. Gerian Dwiki Sakti Sanusi Putra
2. Rafiz Arma Fashia
3. Susandi
III
INTEGRASI
Pada dasarnya , integrasi adalah proses membalikkan hasil diferensiasi .
Dalam Bagian III Anda akan bekerja dengan rumus integrasi untuk dasar tertentu
jenis fungsi , bersama dengan berlatih berbagai teknik integrasi.itu
Bahan dimulai dengan fokus pada integral tak tentu , dan kemudian pindah ke yang pasti
integral dan kemenangan penobatan kalkulus integral, Fundamental Pertama
Teorema kalkulus . Teorema Fundamental Kedua sangat berguna Kalkulus
dan Berarti Nilai Teorema untuk Integral juga disajikan .
Integral tak tentu dan
integrasi dasar
rumus dan aturan
Antiturunan dan terbatas terpisahkan
Sebuah antiturunan dari fungsi f pada interval I adalah fungsi F sehingga
Fâ(x) =
ð
ðð¥
[ ð¹(ð¥)] ðŽ = ð¹( ð¥) ð¢ðð¡ð¢ð ð ððð¢ð ð¥ ðð ðŒ.
Dengan demikian, sebuah antiturunan merupakan hasil membalikkan proses diferensiasi,boleh
dikatakan. Contoh berikut menggambarkan konsep ini.
ï· 5ð¥3
ðððððâ ððð¡ð ð¡ð¢ðð¢ððð ðððð 15ð¥2
ðððððð
ð
ðð¥
(5ð¥3) = 15ð¥2
.
ï· 5ð¥3
â 20 ðððððâ ððð¡ð ð¡ð¢ðð¢ððð ðððð 15ð¥2
ðððððð
ð
ðð¥
(5ð¥3
â 20) = 15ð¥2
â 0 = 15ð¥2
.
ï· 5ð¥3
+ 100 ðððððâ ððð¡ð ð¡ð¢ðð¢ððð ðððð 15ð¥2
ðððððð
ð
ðð¥
(5ð¥3
+ 100) = 15ð¥2
+ 0 =
15ð¥2
.
ï· tan ð¥ ðððððâ ððð¡ð ð¡ð¢ðð¢ððð ðððð ð ðð2
ð¥ ðððððð
ð
ðð¥
(tan ð¥) = ð ðð2
ð¥.
ï· tan ð¥ + 4 ðððððâ ððð¡ð ð¡ð¢ðð¢ððð ðððð ð ðð2
ð¥ ðððððð
ð
ðð¥
(tan ð¥ + 4) = ð ðð2
ð¥ + 0 =
ð ðð2
ð¥.
ï· tan ð¥ â 30 ðððððâ ððð¡ð ð¡ð¢ðð¢ððð ðððð ð ðð2
ð¥ ðððððð
ð
ðð¥
(tan ð¥ â 30) = ð ðð2
ð¥ â 0 =
ð ðð2
ð¥.
Dari contoh-contoh ini, Anda dapat melihat bahwa, meskipun fungsi memiliki paling banyak
satu derivatif, mereka mungkin memiliki banyak (pada kenyataannya,tak terhingga banyaknya)
antiturunan. Jadi, jika F adalah antiturunan dari fungsi f pada interval I,
Maka ð( ð¥) + ð merupakan set antiturunan dari f, di mana C adalah konstanta sembarang.
Integral tak tentu dari f adalah himpunan semua antiturunan dari f dan dinotasikan
Oleh â«ð(ð¥)dx. Dengan demikian,â«ð( ð¥) ðð¥ = ð(ð¥)+ ð,
2. di mana F adalah antiturunan dari f pada interval I dan C adalah konstanta sembarang.
Proses penentuan integral tak tentu disebut integrasi. Itu ekspresi ð( ð¥) ðð¥ dibaca "integral dari f dari x
terhadap x"; f (x) adalah disebut integran, dx disebut diferensial, dan C disebut konstan integrasi. Catatan:
diferensial dx menunjukkan bahwa integrasi berlangsung sehubungan dengan variabel x . Akhir , akan
dimengerti bahwa dalam ekspresi ð( ð¥) ðð¥ = ð(ð¥)+ ð, F adalah antiturunan dari f pada interval .Anda
mungkin telah menduga bahwa integrasi " Membatalkan " proses diferensiasi ke dalam nilai konstan .
Dengan cara seperti , diferensiasi " Membatalkan " proses integrasi . mengikuti contoh menggambarkan
terbalik ini ( " kehancuran " ) hubungan antara integrasi dan diferensiasi .
Masalah Pastikan â«15 ð¥2
ðð¥ = 15ð¥3
+ ð dengan membedakan anggota yang tepat .
Solusi
ð
ðð¥
(15ð¥3
+ ð) = 15 ð¥2
+ 0 = 15 ð¥2
Masalah Pastikan â«ð ðð ð¥2
ðð¥ = tan ð¥ + ð dengan membedakan anggota yang tepat .
Solusi
ð
ðð¥
(tan ð¥ + ð) = ð ðð2
ð¥ + 0 = ð ðð ð¥2
7 · 1
LATIHAN
Verifikasi pernyataan berikut dengan membedakan anggota yang tepat .
1. â« 100 ðð¥ = 100ð¥ + ð
2. â« 6ð¥ ðð¥ = 3ð¥2
+ ð
3. â«( 3ð¥2
+ 4ð¥ â 5) ðð¥ = ð¥3
+ 2ð¥ â 5ð¥ + ð
4. â«( ð¥2
+ 1)â ð¥ ðð¥ =
2
7
ð¥2
1
+
2
3
ð¥2
3
+ ð
5. â«( ð¥ ð
+ ð ð¥ ) ðð¥ =
ð¥ ð+1
ð+1
+ ð ð¥
+ ð
6. â«(10ð¥ + 30)3
10 ðð¥ =
(10ð¥+30)4
4
+ ð
7. â«(ð¥2
â 3)4
2ð¥ ðð¥ =
(ð¥2â3)5
5
+ ð
8. â«(ð ðð2
ð¥cos ð¥) ðð¥ =
ð ðð3
3
ð¥ + ð
9. â« ð¥2
â ð ðð ð¥3
ðð¥ =
â cos ð¥3
3
+ ð
10. â« ðŒð ð¥ ðð¥ = ð¥ ðŒð ð¥ = ð¥ ðŒð ð¥ â ð¥ + ð
3. penyelesaian :
1. =
ð
ðð¥
(100ð¥ + ð) = 100ð¥ + ð = 100
2. =
ð
ðð¥
(3ð¥2
+ ð) = 6ð¥ + 0
3. =
ð
ðð¥
(ð¥3
+ 2ð¥2
â 5ð¥ + ð) = 3ð¥2
+ 4ð¥ â 5 + 0 = 3ð¥2
+4x-5
4. =
ð
ðð¥
(
2ð¥
1
2
7
+
2ð¥
3
2
3
+ c)=
2ð¥
â1
2
14
+
6ð¥
1
2
6
+ 0 =
1ð¥
â1
2
7
+ ð¥
1
2
5. =
ð
ðð¥
(
ð¥ ð+1
ð+1
+ ð ð¥
+ ð) =
ð+1.ð¥ ð+1â1
1ð1â1+0
+ ð¥ð ð¥â1
+ ð =
ð+ð¥ ð
1
+ ð¥ð ð¥â1
+ 0 = ð +
ð¥ ð
+ ð¥ð ð¥â1
6. =
ð
ðð¥
(10ð¥+30)4
4
+ ð =
10ð¥4
4
+
304
4
+ ð =
40ð¥3
4
+ 0 = 10ð¥3
7. =
ð
ðð¥
(ð¥2â3)5
5
+ c =
ð¥10
5
â
35
5
+ ð =
10ð¥9
5
+ 0 = 2ð¥9
8. =
ð
ðð¥
(
ð ðð3
3
ð¥ + ð) =
ð ðð2 ð¥
3
.
sin ð¥
3
+ 0 =
(1âððð 2 ð¥) .
3
sin ð¥
3
9. =
ð
ðð¥
(
â cos ð¥3
3
+ ð) =
â3 sin ð¥2
3
+ 0 = âsin ð¥2
10. =
ð
ðð¥
( ð¥ ðŒð ð¥ â ð¥ + ð) = ð¥.
ðð¥
ð¥
â 1 =
ð¥â1ðð¥
ð¥
Integrasi fungsi konstan
Jika k adalah setiap konstan, maka â« k dx= k x + c, di mana C adalah konstanta sembarang .
ï· â« 3 dx = 3x + c
ï· â« â7 dx = â7 + c
ï· â« dx = â« 1dx = 1x + c = x + c
Catatan : Solusi ini biasanya ditulis â« dx = x + c
7 · 2
LATIHAN
Cari integral tak tentu yang paling umum .
1. â«8 ðð¥
2. â«
3
4
ðð¥
3. â«9.75 ðð¥
4. 4. â«â3ðð¥
5. â«(
â40
3
â10+15
)ðð¥
6. â«16 â2 ðð¡
7. â« ð2
ðð¥
8. â«2ð ðð
9. â«â21ðð¢
10.â«
6
ð
ðð¥
Penyelesaian :
1. = 8x+c
2. =
3
4
ð¥ + ð
3. = 9ð¥. 75ð¥ + ð
4. = â3 x+c
5. =
40ð¥
2
3
10ð¥
1
2+15ð¥
+ ð
6. = 16ð¡. â2 ð¡ + c
7. = ðð¥2
+ c
8. = 2ð. ðð + c
9. = -21 u + c
10.=
6ð¥
ðð¥
+ c
Integrasi fungsi kekuasaan
Rumus terpisahkan berikut untuk fungsi daya dapat diperoleh dari rumus untuk membedakan
fungsi listrik ( lihat Bab 4 ) dan fungsi logaritma natural ( lihat Bab 6 ) :
â« ð¥ ð
ðð¥ =
ð¥ ð+1
ð+1
+ ð, ð¢ðð¡ð¢ð ð ððð¢ð ð â â1;
Dan
â«ð¥â1
ðð¥ = â«
1
ð¥
ðð¥ = ðŒð | ð¥| + ð,
10. Integrasi turunan dari terbalik
fungsi trigonometri
Rumus terpisahkan berikut dapat diturunkan dari aturan untuk membedakan enam terbalik
fungsi trigonometri (lihat Bab 6) dan aturan rantai (lihat Bab 5):
â«
1
â1 â ð¥2
ðð¥ = ð ððâ1
ð¥ + ð = âððð â1
ð¥ + ð;
â«
1
âð2 â ð2
ðð¥ = ð ððâ1
(
ð¥
ð
) + ð = âððð â1
(
ð¥
ð
) + ð, ð¢ðð¡ð¢ð ð ððð¢ð ð > 0;
â«
1
1 + ð¥2
ðð¥ = ð¡ððâ1
ð¥ + ð = âððð¡â1
ð¥ + ð;
â«
1
ð2 â ð¥2
ðð¥ =
1
ð
ð¡ððâ1
(
ð¥
ð
) + ð = â
1
ð
ððð¡â1
(
ð¥
ð
) + ð, ð¢ðð¡ð¢ð ð ððð¢ð ð > 0;
â«
1
| ð¥|âð¥2â1
dx =ð ððâ1
ð¥ + ð = âðð ðâ1
ð¥ + ð; ððð
â«
1
| ð¥|âð¥2âð2dx =
1
ð
ð ððâ1
(
ð¥
ð
) + ð = â
1
ð
ðð ðâ1
(
ð¥
ð
) + ð,ð¢ðð¡ð¢ð ð ððð¢ð ð > 0;
di mana C adalah konstanta sembarang.
Seperti yang dapat Anda lihat dari rumus di atas, untuk setiap integran yang
merupakan turunan dari salah satu dari enam fungsi trigonometri invers, Anda memiliki
sepasang antiturunan sesuai dari yang untuk memilih. Kondisi ini terjadi karena turunan dari
enam trigonometri invers fungsi jatuh ke tiga pasang. Di masing-masing pasangan, derivatif
hanya berbeda dalam tanda. Untuk Misalnya,
ð
ðð¥
( ð ððâ1
ð¥) =
1
â1âð¥2 ððð
ð
ðð¥
(ððð â1
ð¥ =
â
1
â1âð¥2. . Ketika Anda mengintegrasikan integral yang merupakan turunan dari fungsi
trigonometri invers, Anda memilih hanya satu anggota dari yang sesuai sepasang antiturunan.
Meskipun secara matematis anggota baik benar,Integral tak tentu dan dasar formula integrasi
dan aturan 49 adalah kebiasaan untuk memilih sinus terbalik, tangen terbalik, dan fungsi garis
potong terbalik atas negative dari cosinus invers, kotangens terbalik, dan fungsi kosekans
terbalik, masing-masing.
ï· â«
ðð¢
â1âð¢2 ðð¥ = â«
ðð¢
â1âð¢2 ðð¢ = ð ððâ1
ð¢ + ð
ï· â«
1
â9âð¥2 ðð¥ = â«
1
â32 âð¥2 ðð¥ = ð ððâ1
(
ð¥
3
) + ð
ï· â«
1
5+ð¥2 ðð¥ = â«
1
(â5)
2
+ð¥2
ðð¥ =
1
â5
ð¡ððâ1
(
ð¥
â5
) + ð
ï· â«
1
â ð¥2( ð¥2â
36
25
)
ðð¥ = â«
1
| ð¥|â ð¥2
â
(6)2
5
ðð¥ =
1
6
5â
ð ððâ1
(
ð¥
6
5â
) + ð =
5
6
ð ððâ1
(
5ð¥
6
) + ð