SlideShare ist ein Scribd-Unternehmen logo
1 von 12
Downloaden Sie, um offline zu lesen
NAMA ANGGOTA KELOMPOK :
1. Gerian Dwiki Sakti Sanusi Putra
2. Rafiz Arma Fashia
3. Susandi
III
INTEGRASI
Pada dasarnya , integrasi adalah proses membalikkan hasil diferensiasi .
Dalam Bagian III Anda akan bekerja dengan rumus integrasi untuk dasar tertentu
jenis fungsi , bersama dengan berlatih berbagai teknik integrasi.itu
Bahan dimulai dengan fokus pada integral tak tentu , dan kemudian pindah ke yang pasti
integral dan kemenangan penobatan kalkulus integral, Fundamental Pertama
Teorema kalkulus . Teorema Fundamental Kedua sangat berguna Kalkulus
dan Berarti Nilai Teorema untuk Integral juga disajikan .
Integral tak tentu dan
integrasi dasar
rumus dan aturan
Antiturunan dan terbatas terpisahkan
Sebuah antiturunan dari fungsi f pada interval I adalah fungsi F sehingga
F’(x) =
𝑑
𝑑𝑥
[ 𝐹(𝑥)] 𝐎 = 𝐹( 𝑥) 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑥 𝑑𝑖 𝐌.
Dengan demikian, sebuah antiturunan merupakan hasil membalikkan proses diferensiasi,boleh
dikatakan. Contoh berikut menggambarkan konsep ini.
 5𝑥3
𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 15𝑥2
𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎
𝑑
𝑑𝑥
(5𝑥3) = 15𝑥2
.
 5𝑥3
− 20 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 15𝑥2
𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎
𝑑
𝑑𝑥
(5𝑥3
− 20) = 15𝑥2
− 0 = 15𝑥2
.
 5𝑥3
+ 100 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 15𝑥2
𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎
𝑑
𝑑𝑥
(5𝑥3
+ 100) = 15𝑥2
+ 0 =
15𝑥2
.
 tan 𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎
𝑑
𝑑𝑥
(tan 𝑥) = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥.
 tan 𝑥 + 4 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎
𝑑
𝑑𝑥
(tan 𝑥 + 4) = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 + 0 =
𝑠𝑒𝑐2
𝑥.
 tan 𝑥 − 30 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎
𝑑
𝑑𝑥
(tan 𝑥 − 30) = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 − 0 =
𝑠𝑒𝑐2
𝑥.
Dari contoh-contoh ini, Anda dapat melihat bahwa, meskipun fungsi memiliki paling banyak
satu derivatif, mereka mungkin memiliki banyak (pada kenyataannya,tak terhingga banyaknya)
antiturunan. Jadi, jika F adalah antiturunan dari fungsi f pada interval I,
Maka 𝑓( 𝑥) + 𝑐 merupakan set antiturunan dari f, di mana C adalah konstanta sembarang.
Integral tak tentu dari f adalah himpunan semua antiturunan dari f dan dinotasikan
Oleh ∫𝑓(𝑥)dx. Dengan demikian,∫𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)+ 𝑐,
di mana F adalah antiturunan dari f pada interval I dan C adalah konstanta sembarang.
Proses penentuan integral tak tentu disebut integrasi. Itu ekspresi 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 dibaca "integral dari f dari x
terhadap x"; f (x) adalah disebut integran, dx disebut diferensial, dan C disebut konstan integrasi. Catatan:
diferensial dx menunjukkan bahwa integrasi berlangsung sehubungan dengan variabel x . Akhir , akan
dimengerti bahwa dalam ekspresi 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)+ 𝑐, F adalah antiturunan dari f pada interval .Anda
mungkin telah menduga bahwa integrasi " Membatalkan " proses diferensiasi ke dalam nilai konstan .
Dengan cara seperti , diferensiasi " Membatalkan " proses integrasi . mengikuti contoh menggambarkan
terbalik ini ( " kehancuran " ) hubungan antara integrasi dan diferensiasi .
Masalah Pastikan ∫15 𝑥2
𝑑𝑥 = 15𝑥3
+ 𝑐 dengan membedakan anggota yang tepat .
Solusi
𝑑
𝑑𝑥
(15𝑥3
+ 𝑐) = 15 𝑥2
+ 0 = 15 𝑥2
Masalah Pastikan ∫𝑠𝑒𝑐 𝑥2
𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝑐 dengan membedakan anggota yang tepat .
Solusi
𝑑
𝑑𝑥
(tan 𝑥 + 𝑐) = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 + 0 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥2
7 · 1
LATIHAN
Verifikasi pernyataan berikut dengan membedakan anggota yang tepat .
1. ∫ 100 𝑑𝑥 = 100𝑥 + 𝑐
2. ∫ 6𝑥 𝑑𝑥 = 3𝑥2
+ 𝑐
3. ∫( 3𝑥2
+ 4𝑥 − 5) 𝑑𝑥 = 𝑥3
+ 2𝑥 − 5𝑥 + 𝑐
4. ∫( 𝑥2
+ 1)√ 𝑥 𝑑𝑥 =
2
7
𝑥2
1
+
2
3
𝑥2
3
+ 𝑐
5. ∫( 𝑥 𝑒
+ 𝑒 𝑥 ) 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑒+1
𝑒+1
+ 𝑒 𝑥
+ 𝑐
6. ∫(10𝑥 + 30)3
10 𝑑𝑥 =
(10𝑥+30)4
4
+ 𝑐
7. ∫(𝑥2
− 3)4
2𝑥 𝑑𝑥 =
(𝑥2−3)5
5
+ 𝑐
8. ∫(𝑠𝑖𝑛2
𝑥cos 𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑠𝑖𝑛3
3
𝑥 + 𝑐
9. ∫ 𝑥2
− 𝑠𝑖𝑛 𝑥3
𝑑𝑥 =
− cos 𝑥3
3
+ 𝑐
10. ∫ 𝐌𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝐌𝑛 𝑥 = 𝑥 𝐌𝑛 𝑥 − 𝑥 + 𝑐
penyelesaian :
1. =
𝑑
𝑑𝑥
(100𝑥 + 𝑐) = 100𝑥 + 𝑐 = 100
2. =
𝑑
𝑑𝑥
(3𝑥2
+ 𝑐) = 6𝑥 + 0
3. =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥3
+ 2𝑥2
− 5𝑥 + 𝑐) = 3𝑥2
+ 4𝑥 − 5 + 0 = 3𝑥2
+4x-5
4. =
𝑑
𝑑𝑥
(
2𝑥
1
2
7
+
2𝑥
3
2
3
+ c)=
2𝑥
−1
2
14
+
6𝑥
1
2
6
+ 0 =
1𝑥
−1
2
7
+ 𝑥
1
2
5. =
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑥 𝑒+1
𝑒+1
+ 𝑒 𝑥
+ 𝑐) =
𝑒+1.𝑥 𝑒+1−1
1𝑒1−1+0
+ 𝑥𝑒 𝑥−1
+ 𝑐 =
𝑒+𝑥 𝑒
1
+ 𝑥𝑒 𝑥−1
+ 0 = 𝑒 +
𝑥 𝑒
+ 𝑥𝑒 𝑥−1
6. =
𝑑
𝑑𝑥
(10𝑥+30)4
4
+ 𝑐 =
10𝑥4
4
+
304
4
+ 𝑐 =
40𝑥3
4
+ 0 = 10𝑥3
7. =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥2−3)5
5
+ c =
𝑥10
5
−
35
5
+ 𝑐 =
10𝑥9
5
+ 0 = 2𝑥9
8. =
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑠𝑖𝑛3
3
𝑥 + 𝑐) =
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
3
.
sin 𝑥
3
+ 0 =
(1−𝑐𝑜𝑠2 𝑥) .
3
sin 𝑥
3
9. =
𝑑
𝑑𝑥
(
− cos 𝑥3
3
+ 𝑐) =
−3 sin 𝑥2
3
+ 0 = −sin 𝑥2
10. =
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑥 𝐌𝑛 𝑥 − 𝑥 + 𝑐) = 𝑥.
𝑑𝑥
𝑥
− 1 =
𝑥−1𝑑𝑥
𝑥
Integrasi fungsi konstan
Jika k adalah setiap konstan, maka ∫ k dx= k x + c, di mana C adalah konstanta sembarang .
 ∫ 3 dx = 3x + c
 ∫ √7 dx = √7 + c
 ∫ dx = ∫ 1dx = 1x + c = x + c
Catatan : Solusi ini biasanya ditulis ∫ dx = x + c
7 · 2
LATIHAN
Cari integral tak tentu yang paling umum .
1. ∫8 𝑑𝑥
2. ∫
3
4
𝑑𝑥
3. ∫9.75 𝑑𝑥
4. ∫√3𝑑𝑥
5. ∫(
√40
3
√10+15
)𝑑𝑥
6. ∫16 √2 𝑑𝑡
7. ∫ 𝑒2
𝑑𝑥
8. ∫2𝜋 𝑑𝑟
9. ∫−21𝑑𝑢
10.∫
6
𝑒
𝑑𝑥
Penyelesaian :
1. = 8x+c
2. =
3
4
𝑥 + 𝑐
3. = 9𝑥. 75𝑥 + 𝑐
4. = √3 x+c
5. =
40𝑥
2
3
10𝑥
1
2+15𝑥
+ 𝑐
6. = 16𝑡. √2 𝑡 + c
7. = 𝑒𝑥2
+ c
8. = 2𝑟. 𝜋𝑟 + c
9. = -21 u + c
10.=
6𝑥
𝑒𝑥
+ c
Integrasi fungsi kekuasaan
Rumus terpisahkan berikut untuk fungsi daya dapat diperoleh dari rumus untuk membedakan
fungsi listrik ( lihat Bab 4 ) dan fungsi logaritma natural ( lihat Bab 6 ) :
∫ 𝑥 𝑛
𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛+1
𝑛+1
+ 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑛 ≠ −1;
Dan
∫𝑥−1
𝑑𝑥 = ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = 𝐌𝑛 | 𝑥| + 𝑐,
di mana C adalah konstanta sembarang .
 ∫ 𝑥2
𝑑𝑥 =
𝑥3
3
+ 𝑐
 ∫√ 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥
1
2 𝑑𝑥 =
𝑥
3
2
3
2⁄
+ 𝑐 =
2𝑥
3
2
3
+ 𝑐
 ∫
1
𝑥5 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥−5
𝑑𝑥 =
𝑥−4
−4
+ 𝑐 = −
1
4𝑥4 + 𝑐
 ∫𝑥 𝜋
𝑑𝑥 =
𝑥 𝜋+1
𝜋+1
+ 𝑐
 ∫
1
𝑑𝑢
= 𝐌𝑛 | 𝑢| + 𝑐
7 · 3
LATIHAN
Cari integral tak tentu yang paling umum .
1. ∫ 𝑥5
𝑑𝑥
2. ∫ √ 𝑥34
𝑑𝑥
3. ∫ 𝑥√2
𝑑𝑥
4. ∫
1
𝑥2
𝑑𝑥
5. ∫ 𝑡100
𝑑𝑡
6. ∫ 𝑢2𝜋
𝑑𝑢
7. ∫
1
√𝑥
𝑑𝑥
8. ∫
𝑥5
𝑥2
𝑑𝑥
9. ∫ 𝑟−1
𝑑𝑟
10.∫
1
𝑡
𝑑𝑡
Penyelesaian :
1. =
𝑥6
6
+ 𝑐
2. = ∫ 𝑥
3
4 𝑑𝑥 =
𝑥
7
4
7
4
+ c =
4𝑥
7
4
7
+ 𝑐
3. =
𝑥√2+1
√2+1
+ 𝑐
4. =∫ 𝑥−2
𝑑𝑥 =
𝑥−1
−1
+ 𝑐 = −
1
𝑥
+ 𝑐
5. =
𝑡101
101
+ 𝑐
6. =
42𝜋+1
2𝜋+1
+ 𝑐
7. = ∫ 𝑥
−1
2 𝑑𝑥 =
𝑥
1
2
1
2
+ 𝑐 =
2𝑥
1
2
1
+ 𝑐
8. =
𝑥6
𝑥3
+ 𝑐
9. =
𝑟−1+1
−1+1
+ 𝑐 = ∞
10.∫ 𝑡−1
𝑑𝑡 =
𝑡−1+1
−1+1
+ 𝑐 = ∞
Integrasi fungsi eksponensial
Rumus terpisahkan berikut untuk fungsi eksponensial dapat diturunkan dari aturan untuk
membedakan fungsi eksponensial ( lihat Bab 6 ) dan aturan rantai ( lihat Bab 5 ) :
∫𝑒 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥
+ 𝑐;
∫𝑒 𝑘𝑥
𝑑𝑥 =
1
𝑘
𝑒 𝑘𝑥
+ 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑘 ≠ 0;
∫𝑏 𝑥
𝑑𝑥 =
1
𝐌𝑛𝑏
𝑏 𝑥
+ 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1; 𝑑𝑎𝑛
∫𝑏 𝑘𝑥
𝑑𝑥 =
1
𝑘𝐌𝑛𝑏
𝑏 𝑘𝑥
+ 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1, 𝑘 ≠ 0,
di mana C adalah konstanta sembarang .
 ∫𝑒 𝑢
𝑑𝑥 = 𝑒 𝑢
+ 𝑐
 ∫ 𝑒5𝑥
𝑑𝑥 =
1
5
𝑒5𝑥
+ 𝑐 =
𝑒5𝑥
5
+ 𝑐
 ∫ 2 𝑥
𝑑𝑥 =
1
𝐌𝑛2
2 𝑥
+ 𝑐 =
2 𝑥
𝐌𝑛2
+ 𝑐
 ∫ 25𝑥
𝑑𝑥 =
1
5𝐌𝑛2
25𝑥
+ 𝑐 =
25𝑥
5𝐌𝑛2
+ 𝑐
7 · 4
LATIHAN
Cari integral tak tentu yang paling umum .
1. ∫ 𝑒 𝑡
𝑑𝑡
2. ∫ 𝑒20𝑥
𝑑𝑥
3. ∫ 𝑒 𝜋𝑥
𝑑𝑥
4. ∫ 𝑒0,25𝑥
𝑑𝑥
5. ∫ 𝑒
𝑥
5 𝑑𝑥
6. ∫ 𝑒√3𝑥
𝑑𝑥
7. ∫4 𝑥
𝑑𝑥
8. ∫23𝑥
𝑑𝑥
9. ∫1000,25𝑥
𝑑𝑥
10.∫ 𝜋
𝑥
5 𝑑𝑥
Penyelesaian :
1. = 𝑒 𝑡
+ 𝑐
2. =
1
20
𝑒20𝑥
+ 𝑐 =
𝑒20𝑥
5
+ 𝑐
3. =
1
𝜋
𝑒 𝜋𝑥
+ 𝑐 =
𝑒 𝜋𝑥
𝜋
+ 𝑐
4. =
1
0,25
𝑒0,25𝑥
+ 𝑐 =
𝑒0,25𝑥
0,25
+ 𝑐
5. =
1
𝑥
5
𝑒
𝑥
5 + 𝑐 =
5
𝑥
𝑒
𝑥
5 + 𝑐
6. =
1
√3
𝑒√3𝑥
+ 𝑐 =
𝑒√3𝑥
√3
+ c
7. =
1
𝐌𝑛 4
4 𝑥
+ 𝑐 =
4 𝑥
𝐌𝑛 4
+ 𝑐
8. =
1
3 𝐌𝑛 2
23𝑥
+ 𝑐 =
23𝑥
3 𝐌𝑛 2
+ 𝑐
9. =
1
0,25 𝐌𝑛 100
1000,25𝑥
+ 𝑐 =
1000,25𝑥
0,25 𝐌𝑛 100
+ 𝑐
10.=
1
𝑥
5
𝜋
𝑥
5 + 𝑐 =
5
𝑥
𝜋
𝑥
5 +
Integrasi turunan fungsi trigonometri
Rumus terpisahkan berikut dapat diturunkan dari aturan untuk membedakan enam
trigonometri fungsi (lihat Bab 6) dan aturan rantai (lihat Bab 5):
∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝑐;
∫ sin (kx)dx = −
1
𝑘
cos( 𝑘𝑥)+ 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑘 ≠ 0;
∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝑐;
∫ cos (kx)dx =
1
𝑘
sin(kx) + 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑘 ≠ 0;
∫𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝑐;
∫ 𝑠𝑒𝑐2
(kx)dx =
1
𝑘
tan(kx) + 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑘 ≠ 0;
∫𝑐𝑠𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 = −cot 𝑥 + 𝑐;
∫ 𝑐𝑠𝑐2
(kx)dx = −
1
𝑘
cot(kx) + 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑘 ≠ 0;
∫sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝑐;
∫sec(𝑘𝑥)tan( 𝑘𝑥) 𝑑𝑥 =
1
𝑘
sec(kx)+ 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑘 ≠ 0;
∫csc 𝑥 cot 𝑥 𝑑𝑥 = −csc 𝑥 + 𝑐; 𝑑𝑎𝑛
∫csc(𝑘𝑥)cot( 𝑘𝑥) 𝑑𝑥 = −
1
𝑘
csc(kx) + 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑘 ≠ 0;
di mana C adalah konstanta sembarang.
 sin 𝑢 𝑑𝑢 = −cos 𝑢 + 𝑐;
 ∫ cos (10x)dx =
1
10
sin(10x) + 𝑐
 ∫sec2(0.5𝑥) 𝑑𝑥
1
0.5
tan(0.5x) + 𝑐 =
tan(0.5𝑥)
0.5
+ 𝑐
 ∫ 𝑐𝑠𝑐2
𝑡 𝑑𝑡 = −cot 𝑡 + 𝑐;
 ∫sec(
3𝑥
4
) tan(
3𝑥
4
) 𝑑𝑥 = ∫ sec(
3
4
𝑥)tan (
3
4
𝑥) 𝑑𝑥 =
1
3
4⁄
sec (
3
4
𝑥) + 𝑐 =
4
3
sec(
3𝑥
4
) + 𝑐
Catatan: teknik khusus diperlukan untuk menentukan integral berikut:
∫ tan 𝑥 𝑑𝑥, ∫ cot 𝑥 𝑑𝑥,∫ sec 𝑥 𝑑𝑥, 𝑎𝑛𝑑 ∫ csc 𝑥 𝑑𝑥. Integral ini dapat ditentukan dengan
menggunakan teknik yang disajikan dalam Bab 8.
7 · 5
LATIHAN
Cari integral tak tentu yang paling umum .
1. ∫cos 𝑣 𝑑𝑣
2. ∫sin(
1
2
𝜋𝑥)𝑑𝑥
3. ∫cos(18) 𝑑𝑥
4. ∫ 𝑠𝑒𝑐2
(√3𝑥)𝑑𝑥
5. ∫ 𝑐𝑠𝑐2
(2,5) 𝑑𝑥
6. ∫sec (
5
6
𝑥)tan(
5
6
𝑥)𝑑𝑥
7. ∫csc
x
3
𝑐𝑜𝑡
𝑥
3
𝑑𝑥
8. ∫csc(ex) cot(𝑒𝑥)𝑑𝑥
9. ∫sin 3𝜃 𝑑𝜃
10.∫cos(25𝜋𝑥) 𝑑𝑥
Penyelesaian :
1. = Sin v + c
2. = −
1
1
2𝜋
cos (
1
2
𝜋𝑥) + 𝑐 = −2𝜋cos (
1
2
𝜋𝑥) + 𝑐
3. =
1
8
sin(18𝑥) + 𝑐
4. =
1
√3
tan(√3𝑥) + 𝑐 =
tan(√3𝑥)
√3
+ 𝑐
5. = −
1
2,5
cot(2,5 𝑥) + 𝑐 =
−cot(2,5𝑥)
2,5
+ 𝑐
6. =
1
5
6
sec(
5
6
𝑥) + 𝑐 =
6
5
sec (
5
6
𝑥) + 𝑐
7. =
1
1
3
csc(
x
3
) + c = 3 csc (
𝑥
3
) + 𝑐
8. = −
1
𝑒
csc (ex) + c =
− csc( 𝑒𝑥)
𝑒
+ 𝑐
9. = −
1
3
cos(3𝜃) + 𝑐 =
−cos(3𝜃)
3
+ c
10.=
1
25𝜋
sin(25𝜋𝑥) + 𝑐 =
sin(25 𝜋𝑥)
25𝜋
+ c
Integrasi turunan dari terbalik
fungsi trigonometri
Rumus terpisahkan berikut dapat diturunkan dari aturan untuk membedakan enam terbalik
fungsi trigonometri (lihat Bab 6) dan aturan rantai (lihat Bab 5):
∫
1
√1 − 𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛−1
𝑥 + 𝑐 = −𝑐𝑜𝑠−1
𝑥 + 𝑐;
∫
1
√𝑎2 − 𝑎2
𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛−1
(
𝑥
𝑎
) + 𝑐 = −𝑐𝑜𝑠−1
(
𝑥
𝑎
) + 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑎 > 0;
∫
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝑥 + 𝑐 = −𝑐𝑜𝑡−1
𝑥 + 𝑐;
∫
1
𝑎2 − 𝑥2
𝑑𝑥 =
1
𝑎
𝑡𝑎𝑛−1
(
𝑥
𝑎
) + 𝑐 = −
1
𝑎
𝑐𝑜𝑡−1
(
𝑥
𝑎
) + 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑎 > 0;
∫
1
| 𝑥|√𝑥2−1
dx =𝑠𝑒𝑐−1
𝑥 + 𝑐 = −𝑐𝑠𝑐−1
𝑥 + 𝑐; 𝑑𝑎𝑛
∫
1
| 𝑥|√𝑥2−𝑎2dx =
1
𝑎
𝑠𝑒𝑐−1
(
𝑥
𝑎
) + 𝑐 = −
1
𝑎
𝑐𝑠𝑐−1
(
𝑥
𝑎
) + 𝑐,𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑎 > 0;
di mana C adalah konstanta sembarang.
Seperti yang dapat Anda lihat dari rumus di atas, untuk setiap integran yang
merupakan turunan dari salah satu dari enam fungsi trigonometri invers, Anda memiliki
sepasang antiturunan sesuai dari yang untuk memilih. Kondisi ini terjadi karena turunan dari
enam trigonometri invers fungsi jatuh ke tiga pasang. Di masing-masing pasangan, derivatif
hanya berbeda dalam tanda. Untuk Misalnya,
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑠𝑖𝑛−1
𝑥) =
1
√1−𝑥2 𝑑𝑎𝑛
𝑑
𝑑𝑥
(𝑐𝑜𝑠−1
𝑥 =
−
1
√1−𝑥2. . Ketika Anda mengintegrasikan integral yang merupakan turunan dari fungsi
trigonometri invers, Anda memilih hanya satu anggota dari yang sesuai sepasang antiturunan.
Meskipun secara matematis anggota baik benar,Integral tak tentu dan dasar formula integrasi
dan aturan 49 adalah kebiasaan untuk memilih sinus terbalik, tangen terbalik, dan fungsi garis
potong terbalik atas negative dari cosinus invers, kotangens terbalik, dan fungsi kosekans
terbalik, masing-masing.
 ∫
𝑑𝑢
√1−𝑢2 𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑢
√1−𝑢2 𝑑𝑢 = 𝑠𝑖𝑛−1
𝑢 + 𝑐
 ∫
1
√9−𝑥2 𝑑𝑥 = ∫
1
√32 −𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛−1
(
𝑥
3
) + 𝑐
 ∫
1
5+𝑥2 𝑑𝑥 = ∫
1
(√5)
2
+𝑥2
𝑑𝑥 =
1
√5
𝑡𝑎𝑛−1
(
𝑥
√5
) + 𝑐
 ∫
1
√ 𝑥2( 𝑥2−
36
25
)
𝑑𝑥 = ∫
1
| 𝑥|√ 𝑥2
−
(6)2
5
𝑑𝑥 =
1
6
5⁄
𝑠𝑒𝑐−1
(
𝑥
6
5⁄
) + 𝑐 =
5
6
𝑠𝑒𝑐−1
(
5𝑥
6
) + 𝑐
7 · 6
LATIHAN
Cari integral tak tentu yang paling umum .
1. ∫
1
1+𝜃2
𝑑𝜃
2. ∫
𝑑𝑥
√16−𝑥2
3. ∫
1
49+𝑥2
𝑑𝑥
4. ∫
𝑑𝑡
0,25+𝑡2
5. ∫
𝑑𝑢
√𝑢2(𝑢2−1)
6. ∫
1
|𝑥|√𝑥2−41
𝑑𝑥
7. ∫
1
√
81
100
−𝑥2
𝑑𝑥
8. ∫ 𝜋2+𝑥2
𝑑𝑥
9. ∫
𝑑𝑡
√𝑡2(𝑡2−
1
4
)
10.∫
1
|𝑥|√𝑥2−7
𝑑𝑥
Penyelesaian :
1. = 𝑡𝑎𝑛−1
𝜃 + 𝑐 = −𝑐𝑜𝑡−1
𝜃 + 𝑐
2. = ∫
1
√42−√𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛−1
(
𝑥
4
) + 𝑐
3. = ∫
1
√492+𝑥2
𝑑𝑥 =
1
√49
𝑡𝑎𝑛−1
(
𝑥
√49
) + 𝑐
4. = ∫
1
√0,252+𝑡2
𝑑𝑡 =
1
√0,25
𝑡𝑎𝑛−1
(
𝑡
√0,25
)+ 𝑐
5. = ∫
1
|𝑢|√𝑢2−√12
𝑑𝑢 =
1
1
𝑠𝑒𝑐−1
(
𝑢
1
) + 𝑐 = 𝑠𝑒𝑐−1( 𝑢) + 𝑐
6. = 𝑠𝑒𝑐−1
(
𝑥
41
) + c = - 𝑐𝑠𝑐−1
(
𝑥
41
) + c
7. = ∫
1
√
(9)2
10
−𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛−1
(
𝑥
9
10
) + 𝑐 =𝑠𝑖𝑛−1
(
10𝑥
9
) + 𝑐 = −𝑐𝑜𝑠−1
(
10𝑥
9
) +
𝑐
8.
1
𝜋
𝑡𝑎𝑛−1 𝑥
𝜋
+ 𝑐 = −
1
𝜋
𝑐𝑜𝑡−1
(
𝑥
𝜋
)+c
9.= ∫
1
| 𝑡|√ 𝑡2−
(1)
2
2
𝑑𝑥 =
1
1
2
𝑠𝑒𝑐−1
(
𝑡
1
2
) + 𝑐 = 2𝑠𝑒𝑐−1(2𝑡) + 𝑐
10.𝑠𝑒𝑐−1
(
𝑥
7
) + 𝑐 = −𝑐𝑠𝑐−1
(
𝑥
7
) + 𝑐

Weitere Àhnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Kalkulus diferensial dan integral
Kalkulus diferensial dan integralKalkulus diferensial dan integral
Kalkulus diferensial dan integralsyawalia pramita dewi
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.1
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.1Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.1
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.1Arvina Frida Karela
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3Arvina Frida Karela
 
Deret taylor and mac laurin
Deret taylor and mac laurinDeret taylor and mac laurin
Deret taylor and mac laurinMoch Hasanudin
 
Analisis bab1 bab2
Analisis bab1 bab2Analisis bab1 bab2
Analisis bab1 bab2Charro NieZz
 
Relasi rekursif
Relasi rekursifRelasi rekursif
Relasi rekursifEssa Novalia
 
Pelajari Konsep Dasar Integral dalam Penyelesaian Masalah
Pelajari Konsep Dasar Integral dalam Penyelesaian MasalahPelajari Konsep Dasar Integral dalam Penyelesaian Masalah
Pelajari Konsep Dasar Integral dalam Penyelesaian MasalahnadyaGB21
 
K alkulus perumuman teorema stokes
K alkulus   perumuman teorema stokesK alkulus   perumuman teorema stokes
K alkulus perumuman teorema stokesAlen Pepa
 
Matematika diskrit
Matematika diskritMatematika diskrit
Matematika diskritPawit Ngafani
 
Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan
Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan PengintegralanKonvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan
Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan PengintegralanAnzilina Nisa
 

Was ist angesagt? (14)

Kalkulus diferensial dan integral
Kalkulus diferensial dan integralKalkulus diferensial dan integral
Kalkulus diferensial dan integral
 
ANALISIS REAL
ANALISIS REALANALISIS REAL
ANALISIS REAL
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.1
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.1Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.1
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.1
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
 
Jawaban Soal Latihan
Jawaban Soal LatihanJawaban Soal Latihan
Jawaban Soal Latihan
 
Deret taylor and mac laurin
Deret taylor and mac laurinDeret taylor and mac laurin
Deret taylor and mac laurin
 
Analisis bab1 bab2
Analisis bab1 bab2Analisis bab1 bab2
Analisis bab1 bab2
 
Relasi rekursif
Relasi rekursifRelasi rekursif
Relasi rekursif
 
Pelajari Konsep Dasar Integral dalam Penyelesaian Masalah
Pelajari Konsep Dasar Integral dalam Penyelesaian MasalahPelajari Konsep Dasar Integral dalam Penyelesaian Masalah
Pelajari Konsep Dasar Integral dalam Penyelesaian Masalah
 
Contoh-soal-kalkulus-iii
Contoh-soal-kalkulus-iiiContoh-soal-kalkulus-iii
Contoh-soal-kalkulus-iii
 
K alkulus perumuman teorema stokes
K alkulus   perumuman teorema stokesK alkulus   perumuman teorema stokes
K alkulus perumuman teorema stokes
 
teorema limit
teorema limitteorema limit
teorema limit
 
Matematika diskrit
Matematika diskritMatematika diskrit
Matematika diskrit
 
Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan
Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan PengintegralanKonvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan
Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan
 

Ähnlich wie TUGAS MTK BUKU KALKULUS

Tugas mtk blog
Tugas mtk blogTugas mtk blog
Tugas mtk blogsandiperlang
 
Tugas mtk blog
Tugas mtk blogTugas mtk blog
Tugas mtk blogsandiperlang
 
Tugas mtk blog
Tugas mtk blogTugas mtk blog
Tugas mtk blogsandiperlang
 
Tugas mtk blog
Tugas mtk blogTugas mtk blog
Tugas mtk blogsandiperlang
 
Bab 7 tugas lint ar
Bab 7 tugas lint arBab 7 tugas lint ar
Bab 7 tugas lint aredfin31
 
Integral trigonometri
Integral trigonometriIntegral trigonometri
Integral trigonometriAndry Lalang
 
Terjemahan mtk
Terjemahan mtkTerjemahan mtk
Terjemahan mtknovia22
 
Kalkulus MTK
Kalkulus MTKKalkulus MTK
Kalkulus MTKRizky Arya
 
Deret fourier kelompok 3
Deret fourier kelompok 3Deret fourier kelompok 3
Deret fourier kelompok 3ditayola
 
materi - Integral.pptx
materi - Integral.pptxmateri - Integral.pptx
materi - Integral.pptxNoviYannidah
 
text book
text booktext book
text bookfahmihid
 
text book
text booktext book
text bookfahmihid
 
Beberapa Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
Beberapa Metode Penyelesaian Sistem Persamaan LinearBeberapa Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
Beberapa Metode Penyelesaian Sistem Persamaan LinearTaridaTarida1
 
Makalah
MakalahMakalah
Makalaharsi cahn
 
analisa kompleks kelompok 1.pptx
analisa kompleks kelompok 1.pptxanalisa kompleks kelompok 1.pptx
analisa kompleks kelompok 1.pptxSaddamHusain440750
 
Kalkulus modul 3b turunan fungsi transendent
Kalkulus modul 3b turunan fungsi transendentKalkulus modul 3b turunan fungsi transendent
Kalkulus modul 3b turunan fungsi transendentPrayudi MT
 
Materi Pemfaktoran Persamaan Kuadrat
Materi Pemfaktoran Persamaan KuadratMateri Pemfaktoran Persamaan Kuadrat
Materi Pemfaktoran Persamaan KuadratIndah Lestari
 

Ähnlich wie TUGAS MTK BUKU KALKULUS (20)

Tugas mtk blog
Tugas mtk blogTugas mtk blog
Tugas mtk blog
 
Tugas mtk blog
Tugas mtk blogTugas mtk blog
Tugas mtk blog
 
Tugas mtk blog
Tugas mtk blogTugas mtk blog
Tugas mtk blog
 
Tugas mtk blog
Tugas mtk blogTugas mtk blog
Tugas mtk blog
 
Bab 7 tugas lint ar
Bab 7 tugas lint arBab 7 tugas lint ar
Bab 7 tugas lint ar
 
Materi integral tak tentu
Materi integral tak tentuMateri integral tak tentu
Materi integral tak tentu
 
Integral trigonometri
Integral trigonometriIntegral trigonometri
Integral trigonometri
 
Terjemahan mtk
Terjemahan mtkTerjemahan mtk
Terjemahan mtk
 
Kalkulus MTK
Kalkulus MTKKalkulus MTK
Kalkulus MTK
 
Deret fourier kelompok 3
Deret fourier kelompok 3Deret fourier kelompok 3
Deret fourier kelompok 3
 
materi - Integral.pptx
materi - Integral.pptxmateri - Integral.pptx
materi - Integral.pptx
 
text book
text booktext book
text book
 
text book
text booktext book
text book
 
Beberapa Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
Beberapa Metode Penyelesaian Sistem Persamaan LinearBeberapa Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
Beberapa Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
 
Makalah
MakalahMakalah
Makalah
 
Mtk
MtkMtk
Mtk
 
analisa kompleks kelompok 1.pptx
analisa kompleks kelompok 1.pptxanalisa kompleks kelompok 1.pptx
analisa kompleks kelompok 1.pptx
 
Mtk oke(1)
Mtk oke(1)Mtk oke(1)
Mtk oke(1)
 
Kalkulus modul 3b turunan fungsi transendent
Kalkulus modul 3b turunan fungsi transendentKalkulus modul 3b turunan fungsi transendent
Kalkulus modul 3b turunan fungsi transendent
 
Materi Pemfaktoran Persamaan Kuadrat
Materi Pemfaktoran Persamaan KuadratMateri Pemfaktoran Persamaan Kuadrat
Materi Pemfaktoran Persamaan Kuadrat
 

Mehr von geriandssp30

Tugas5 gerian[1]
Tugas5 gerian[1]Tugas5 gerian[1]
Tugas5 gerian[1]geriandssp30
 
Tugas4 gerian[2]
Tugas4 gerian[2]Tugas4 gerian[2]
Tugas4 gerian[2]geriandssp30
 
Tugas4 gerian[2]
Tugas4 gerian[2]Tugas4 gerian[2]
Tugas4 gerian[2]geriandssp30
 
Tugas3 gerian[1]
Tugas3 gerian[1]Tugas3 gerian[1]
Tugas3 gerian[1]geriandssp30
 
Artikel mesin
Artikel mesinArtikel mesin
Artikel mesingeriandssp30
 
TUGAS KELOMPOK MTK2 KALKULUS
TUGAS KELOMPOK MTK2 KALKULUSTUGAS KELOMPOK MTK2 KALKULUS
TUGAS KELOMPOK MTK2 KALKULUSgeriandssp30
 
Tugas mtk blog[1]
Tugas mtk blog[1]Tugas mtk blog[1]
Tugas mtk blog[1]geriandssp30
 
Tugas Kalkulus MTK
Tugas Kalkulus MTKTugas Kalkulus MTK
Tugas Kalkulus MTKgeriandssp30
 
Tugas MTK 2 Kisi-kisi
Tugas MTK 2 Kisi-kisiTugas MTK 2 Kisi-kisi
Tugas MTK 2 Kisi-kisigeriandssp30
 
Tugas Perbaikan Nilai Matematika Kuis 3
Tugas Perbaikan Nilai Matematika Kuis 3Tugas Perbaikan Nilai Matematika Kuis 3
Tugas Perbaikan Nilai Matematika Kuis 3geriandssp30
 
Tugas Perbaikan Nilai Matematika Kuis 2
Tugas Perbaikan Nilai Matematika Kuis 2Tugas Perbaikan Nilai Matematika Kuis 2
Tugas Perbaikan Nilai Matematika Kuis 2geriandssp30
 
Tugas Perbaikan Nilai Matematika Kuis 1
Tugas Perbaikan Nilai Matematika Kuis 1Tugas Perbaikan Nilai Matematika Kuis 1
Tugas Perbaikan Nilai Matematika Kuis 1geriandssp30
 
Tugas 2 MTK 2
Tugas 2 MTK 2Tugas 2 MTK 2
Tugas 2 MTK 2geriandssp30
 
Tugas 2 matematika 2
Tugas 2  matematika 2Tugas 2  matematika 2
Tugas 2 matematika 2geriandssp30
 
Tugas 1 matematika 2
Tugas 1 matematika 2Tugas 1 matematika 2
Tugas 1 matematika 2geriandssp30
 

Mehr von geriandssp30 (18)

Tugas5 gerian[1]
Tugas5 gerian[1]Tugas5 gerian[1]
Tugas5 gerian[1]
 
Tugas4 gerian[2]
Tugas4 gerian[2]Tugas4 gerian[2]
Tugas4 gerian[2]
 
Tugas4 gerian[2]
Tugas4 gerian[2]Tugas4 gerian[2]
Tugas4 gerian[2]
 
Tugas3 gerian[1]
Tugas3 gerian[1]Tugas3 gerian[1]
Tugas3 gerian[1]
 
Artikel mesin
Artikel mesinArtikel mesin
Artikel mesin
 
Tugas 2
Tugas 2Tugas 2
Tugas 2
 
Tugas 1
Tugas 1Tugas 1
Tugas 1
 
TUGAS KELOMPOK MTK2 KALKULUS
TUGAS KELOMPOK MTK2 KALKULUSTUGAS KELOMPOK MTK2 KALKULUS
TUGAS KELOMPOK MTK2 KALKULUS
 
Kuis 1 MTK
Kuis 1 MTKKuis 1 MTK
Kuis 1 MTK
 
Tugas mtk blog[1]
Tugas mtk blog[1]Tugas mtk blog[1]
Tugas mtk blog[1]
 
Tugas Kalkulus MTK
Tugas Kalkulus MTKTugas Kalkulus MTK
Tugas Kalkulus MTK
 
Tugas MTK 2 Kisi-kisi
Tugas MTK 2 Kisi-kisiTugas MTK 2 Kisi-kisi
Tugas MTK 2 Kisi-kisi
 
Tugas Perbaikan Nilai Matematika Kuis 3
Tugas Perbaikan Nilai Matematika Kuis 3Tugas Perbaikan Nilai Matematika Kuis 3
Tugas Perbaikan Nilai Matematika Kuis 3
 
Tugas Perbaikan Nilai Matematika Kuis 2
Tugas Perbaikan Nilai Matematika Kuis 2Tugas Perbaikan Nilai Matematika Kuis 2
Tugas Perbaikan Nilai Matematika Kuis 2
 
Tugas Perbaikan Nilai Matematika Kuis 1
Tugas Perbaikan Nilai Matematika Kuis 1Tugas Perbaikan Nilai Matematika Kuis 1
Tugas Perbaikan Nilai Matematika Kuis 1
 
Tugas 2 MTK 2
Tugas 2 MTK 2Tugas 2 MTK 2
Tugas 2 MTK 2
 
Tugas 2 matematika 2
Tugas 2  matematika 2Tugas 2  matematika 2
Tugas 2 matematika 2
 
Tugas 1 matematika 2
Tugas 1 matematika 2Tugas 1 matematika 2
Tugas 1 matematika 2
 

KÃŒrzlich hochgeladen

slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024ssuser82320b
 
2024 - PSAJ PAI SMK Kisi-kisi Utama.docx
2024 - PSAJ PAI SMK Kisi-kisi Utama.docx2024 - PSAJ PAI SMK Kisi-kisi Utama.docx
2024 - PSAJ PAI SMK Kisi-kisi Utama.docxaljabarkoho
 
Jalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptx
Jalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptxJalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptx
Jalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptxPutriSoniaAyu
 
Tanqihul Qoul Bab 14 - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptx
Tanqihul Qoul Bab 14  - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptxTanqihul Qoul Bab 14  - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptx
Tanqihul Qoul Bab 14 - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptxMMuminSholih
 
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptxPaket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptxDarmiahDarmiah
 
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama Islam
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama IslamKELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama Islam
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama IslamabdulhamidalyFKIP
 
power point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuran
power point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuranpower point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuran
power point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuranapriandanu
 
Aksi Nyata Modul 3.3.pdf tentang kepemimpinan murid
Aksi Nyata Modul 3.3.pdf tentang kepemimpinan muridAksi Nyata Modul 3.3.pdf tentang kepemimpinan murid
Aksi Nyata Modul 3.3.pdf tentang kepemimpinan muridYusnelMarni
 
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASIBMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASIwanalifhikmi
 
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi IbrahimpptxNasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi IbrahimpptxSuGito15
 
Implementasi Model pembelajaran STEAM Holistik-Integratif Berbasis Digital Me...
Implementasi Model pembelajaran STEAM Holistik-Integratif Berbasis Digital Me...Implementasi Model pembelajaran STEAM Holistik-Integratif Berbasis Digital Me...
Implementasi Model pembelajaran STEAM Holistik-Integratif Berbasis Digital Me...Shoffan shoffa
 
DSKP KSSM Kurikulum Bersepadu Dini LAM Tingkatan 3
DSKP KSSM Kurikulum Bersepadu Dini LAM Tingkatan 3DSKP KSSM Kurikulum Bersepadu Dini LAM Tingkatan 3
DSKP KSSM Kurikulum Bersepadu Dini LAM Tingkatan 3sekolah9304
 
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptxDinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptxFritzPieterMichaelNa
 
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrahmateri pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrahkrisdanarahmatullah7
 
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptx
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptxMateri Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptx
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptxnursamsi40
 
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdfMakna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdfAdindaRizkiThalia
 
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdfK1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf2210130220024
 
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...Aminullah Assagaf
 

KÃŒrzlich hochgeladen (20)

slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024
 
2024 - PSAJ PAI SMK Kisi-kisi Utama.docx
2024 - PSAJ PAI SMK Kisi-kisi Utama.docx2024 - PSAJ PAI SMK Kisi-kisi Utama.docx
2024 - PSAJ PAI SMK Kisi-kisi Utama.docx
 
Jalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptx
Jalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptxJalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptx
Jalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptx
 
DEFINISI DAN KONTEKS MANAJEMEN ISU DAN KRISIS.pptx
DEFINISI DAN KONTEKS MANAJEMEN ISU DAN KRISIS.pptxDEFINISI DAN KONTEKS MANAJEMEN ISU DAN KRISIS.pptx
DEFINISI DAN KONTEKS MANAJEMEN ISU DAN KRISIS.pptx
 
Tanqihul Qoul Bab 14 - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptx
Tanqihul Qoul Bab 14  - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptxTanqihul Qoul Bab 14  - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptx
Tanqihul Qoul Bab 14 - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptx
 
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptxPaket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
 
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama Islam
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama IslamKELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama Islam
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama Islam
 
power point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuran
power point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuranpower point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuran
power point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuran
 
Aksi Nyata Modul 3.3.pdf tentang kepemimpinan murid
Aksi Nyata Modul 3.3.pdf tentang kepemimpinan muridAksi Nyata Modul 3.3.pdf tentang kepemimpinan murid
Aksi Nyata Modul 3.3.pdf tentang kepemimpinan murid
 
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASIBMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
 
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi IbrahimpptxNasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
 
Implementasi Model pembelajaran STEAM Holistik-Integratif Berbasis Digital Me...
Implementasi Model pembelajaran STEAM Holistik-Integratif Berbasis Digital Me...Implementasi Model pembelajaran STEAM Holistik-Integratif Berbasis Digital Me...
Implementasi Model pembelajaran STEAM Holistik-Integratif Berbasis Digital Me...
 
DSKP KSSM Kurikulum Bersepadu Dini LAM Tingkatan 3
DSKP KSSM Kurikulum Bersepadu Dini LAM Tingkatan 3DSKP KSSM Kurikulum Bersepadu Dini LAM Tingkatan 3
DSKP KSSM Kurikulum Bersepadu Dini LAM Tingkatan 3
 
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptxDinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
 
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrahmateri pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
 
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptx
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptxMateri Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptx
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptx
 
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdfMakna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
 
Persiapandalam Negosiasi dan Loby .pptx
Persiapandalam  Negosiasi dan Loby .pptxPersiapandalam  Negosiasi dan Loby .pptx
Persiapandalam Negosiasi dan Loby .pptx
 
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdfK1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
 
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...
 

TUGAS MTK BUKU KALKULUS

  • 1. NAMA ANGGOTA KELOMPOK : 1. Gerian Dwiki Sakti Sanusi Putra 2. Rafiz Arma Fashia 3. Susandi III INTEGRASI Pada dasarnya , integrasi adalah proses membalikkan hasil diferensiasi . Dalam Bagian III Anda akan bekerja dengan rumus integrasi untuk dasar tertentu jenis fungsi , bersama dengan berlatih berbagai teknik integrasi.itu Bahan dimulai dengan fokus pada integral tak tentu , dan kemudian pindah ke yang pasti integral dan kemenangan penobatan kalkulus integral, Fundamental Pertama Teorema kalkulus . Teorema Fundamental Kedua sangat berguna Kalkulus dan Berarti Nilai Teorema untuk Integral juga disajikan . Integral tak tentu dan integrasi dasar rumus dan aturan Antiturunan dan terbatas terpisahkan Sebuah antiturunan dari fungsi f pada interval I adalah fungsi F sehingga F’(x) = 𝑑 𝑑𝑥 [ 𝐹(𝑥)] 𝐎 = 𝐹( 𝑥) 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑥 𝑑𝑖 𝐌. Dengan demikian, sebuah antiturunan merupakan hasil membalikkan proses diferensiasi,boleh dikatakan. Contoh berikut menggambarkan konsep ini.  5𝑥3 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 15𝑥2 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑑 𝑑𝑥 (5𝑥3) = 15𝑥2 .  5𝑥3 − 20 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 15𝑥2 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑑 𝑑𝑥 (5𝑥3 − 20) = 15𝑥2 − 0 = 15𝑥2 .  5𝑥3 + 100 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 15𝑥2 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑑 𝑑𝑥 (5𝑥3 + 100) = 15𝑥2 + 0 = 15𝑥2 .  tan 𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑑 𝑑𝑥 (tan 𝑥) = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥.  tan 𝑥 + 4 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑑 𝑑𝑥 (tan 𝑥 + 4) = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 + 0 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥.  tan 𝑥 − 30 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑑 𝑑𝑥 (tan 𝑥 − 30) = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 − 0 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥. Dari contoh-contoh ini, Anda dapat melihat bahwa, meskipun fungsi memiliki paling banyak satu derivatif, mereka mungkin memiliki banyak (pada kenyataannya,tak terhingga banyaknya) antiturunan. Jadi, jika F adalah antiturunan dari fungsi f pada interval I, Maka 𝑓( 𝑥) + 𝑐 merupakan set antiturunan dari f, di mana C adalah konstanta sembarang. Integral tak tentu dari f adalah himpunan semua antiturunan dari f dan dinotasikan Oleh ∫𝑓(𝑥)dx. Dengan demikian,∫𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)+ 𝑐,
  • 2. di mana F adalah antiturunan dari f pada interval I dan C adalah konstanta sembarang. Proses penentuan integral tak tentu disebut integrasi. Itu ekspresi 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 dibaca "integral dari f dari x terhadap x"; f (x) adalah disebut integran, dx disebut diferensial, dan C disebut konstan integrasi. Catatan: diferensial dx menunjukkan bahwa integrasi berlangsung sehubungan dengan variabel x . Akhir , akan dimengerti bahwa dalam ekspresi 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)+ 𝑐, F adalah antiturunan dari f pada interval .Anda mungkin telah menduga bahwa integrasi " Membatalkan " proses diferensiasi ke dalam nilai konstan . Dengan cara seperti , diferensiasi " Membatalkan " proses integrasi . mengikuti contoh menggambarkan terbalik ini ( " kehancuran " ) hubungan antara integrasi dan diferensiasi . Masalah Pastikan ∫15 𝑥2 𝑑𝑥 = 15𝑥3 + 𝑐 dengan membedakan anggota yang tepat . Solusi 𝑑 𝑑𝑥 (15𝑥3 + 𝑐) = 15 𝑥2 + 0 = 15 𝑥2 Masalah Pastikan ∫𝑠𝑒𝑐 𝑥2 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝑐 dengan membedakan anggota yang tepat . Solusi 𝑑 𝑑𝑥 (tan 𝑥 + 𝑐) = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 + 0 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥2 7 · 1 LATIHAN Verifikasi pernyataan berikut dengan membedakan anggota yang tepat . 1. ∫ 100 𝑑𝑥 = 100𝑥 + 𝑐 2. ∫ 6𝑥 𝑑𝑥 = 3𝑥2 + 𝑐 3. ∫( 3𝑥2 + 4𝑥 − 5) 𝑑𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥 − 5𝑥 + 𝑐 4. ∫( 𝑥2 + 1)√ 𝑥 𝑑𝑥 = 2 7 𝑥2 1 + 2 3 𝑥2 3 + 𝑐 5. ∫( 𝑥 𝑒 + 𝑒 𝑥 ) 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑒+1 𝑒+1 + 𝑒 𝑥 + 𝑐 6. ∫(10𝑥 + 30)3 10 𝑑𝑥 = (10𝑥+30)4 4 + 𝑐 7. ∫(𝑥2 − 3)4 2𝑥 𝑑𝑥 = (𝑥2−3)5 5 + 𝑐 8. ∫(𝑠𝑖𝑛2 𝑥cos 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛3 3 𝑥 + 𝑐 9. ∫ 𝑥2 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥3 𝑑𝑥 = − cos 𝑥3 3 + 𝑐 10. ∫ 𝐌𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝐌𝑛 𝑥 = 𝑥 𝐌𝑛 𝑥 − 𝑥 + 𝑐
  • 3. penyelesaian : 1. = 𝑑 𝑑𝑥 (100𝑥 + 𝑐) = 100𝑥 + 𝑐 = 100 2. = 𝑑 𝑑𝑥 (3𝑥2 + 𝑐) = 6𝑥 + 0 3. = 𝑑 𝑑𝑥 (𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 + 𝑐) = 3𝑥2 + 4𝑥 − 5 + 0 = 3𝑥2 +4x-5 4. = 𝑑 𝑑𝑥 ( 2𝑥 1 2 7 + 2𝑥 3 2 3 + c)= 2𝑥 −1 2 14 + 6𝑥 1 2 6 + 0 = 1𝑥 −1 2 7 + 𝑥 1 2 5. = 𝑑 𝑑𝑥 ( 𝑥 𝑒+1 𝑒+1 + 𝑒 𝑥 + 𝑐) = 𝑒+1.𝑥 𝑒+1−1 1𝑒1−1+0 + 𝑥𝑒 𝑥−1 + 𝑐 = 𝑒+𝑥 𝑒 1 + 𝑥𝑒 𝑥−1 + 0 = 𝑒 + 𝑥 𝑒 + 𝑥𝑒 𝑥−1 6. = 𝑑 𝑑𝑥 (10𝑥+30)4 4 + 𝑐 = 10𝑥4 4 + 304 4 + 𝑐 = 40𝑥3 4 + 0 = 10𝑥3 7. = 𝑑 𝑑𝑥 (𝑥2−3)5 5 + c = 𝑥10 5 − 35 5 + 𝑐 = 10𝑥9 5 + 0 = 2𝑥9 8. = 𝑑 𝑑𝑥 ( 𝑠𝑖𝑛3 3 𝑥 + 𝑐) = 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 3 . sin 𝑥 3 + 0 = (1−𝑐𝑜𝑠2 𝑥) . 3 sin 𝑥 3 9. = 𝑑 𝑑𝑥 ( − cos 𝑥3 3 + 𝑐) = −3 sin 𝑥2 3 + 0 = −sin 𝑥2 10. = 𝑑 𝑑𝑥 ( 𝑥 𝐌𝑛 𝑥 − 𝑥 + 𝑐) = 𝑥. 𝑑𝑥 𝑥 − 1 = 𝑥−1𝑑𝑥 𝑥 Integrasi fungsi konstan Jika k adalah setiap konstan, maka ∫ k dx= k x + c, di mana C adalah konstanta sembarang .  ∫ 3 dx = 3x + c  ∫ √7 dx = √7 + c  ∫ dx = ∫ 1dx = 1x + c = x + c Catatan : Solusi ini biasanya ditulis ∫ dx = x + c 7 · 2 LATIHAN Cari integral tak tentu yang paling umum . 1. ∫8 𝑑𝑥 2. ∫ 3 4 𝑑𝑥 3. ∫9.75 𝑑𝑥
  • 4. 4. ∫√3𝑑𝑥 5. ∫( √40 3 √10+15 )𝑑𝑥 6. ∫16 √2 𝑑𝑡 7. ∫ 𝑒2 𝑑𝑥 8. ∫2𝜋 𝑑𝑟 9. ∫−21𝑑𝑢 10.∫ 6 𝑒 𝑑𝑥 Penyelesaian : 1. = 8x+c 2. = 3 4 𝑥 + 𝑐 3. = 9𝑥. 75𝑥 + 𝑐 4. = √3 x+c 5. = 40𝑥 2 3 10𝑥 1 2+15𝑥 + 𝑐 6. = 16𝑡. √2 𝑡 + c 7. = 𝑒𝑥2 + c 8. = 2𝑟. 𝜋𝑟 + c 9. = -21 u + c 10.= 6𝑥 𝑒𝑥 + c Integrasi fungsi kekuasaan Rumus terpisahkan berikut untuk fungsi daya dapat diperoleh dari rumus untuk membedakan fungsi listrik ( lihat Bab 4 ) dan fungsi logaritma natural ( lihat Bab 6 ) : ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑛+1 𝑛+1 + 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑛 ≠ −1; Dan ∫𝑥−1 𝑑𝑥 = ∫ 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐌𝑛 | 𝑥| + 𝑐,
  • 5. di mana C adalah konstanta sembarang .  ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥3 3 + 𝑐  ∫√ 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 1 2 𝑑𝑥 = 𝑥 3 2 3 2⁄ + 𝑐 = 2𝑥 3 2 3 + 𝑐  ∫ 1 𝑥5 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥−5 𝑑𝑥 = 𝑥−4 −4 + 𝑐 = − 1 4𝑥4 + 𝑐  ∫𝑥 𝜋 𝑑𝑥 = 𝑥 𝜋+1 𝜋+1 + 𝑐  ∫ 1 𝑑𝑢 = 𝐌𝑛 | 𝑢| + 𝑐 7 · 3 LATIHAN Cari integral tak tentu yang paling umum . 1. ∫ 𝑥5 𝑑𝑥 2. ∫ √ 𝑥34 𝑑𝑥 3. ∫ 𝑥√2 𝑑𝑥 4. ∫ 1 𝑥2 𝑑𝑥 5. ∫ 𝑡100 𝑑𝑡 6. ∫ 𝑢2𝜋 𝑑𝑢 7. ∫ 1 √𝑥 𝑑𝑥 8. ∫ 𝑥5 𝑥2 𝑑𝑥 9. ∫ 𝑟−1 𝑑𝑟 10.∫ 1 𝑡 𝑑𝑡 Penyelesaian : 1. = 𝑥6 6 + 𝑐 2. = ∫ 𝑥 3 4 𝑑𝑥 = 𝑥 7 4 7 4 + c = 4𝑥 7 4 7 + 𝑐 3. = 𝑥√2+1 √2+1 + 𝑐
  • 6. 4. =∫ 𝑥−2 𝑑𝑥 = 𝑥−1 −1 + 𝑐 = − 1 𝑥 + 𝑐 5. = 𝑡101 101 + 𝑐 6. = 42𝜋+1 2𝜋+1 + 𝑐 7. = ∫ 𝑥 −1 2 𝑑𝑥 = 𝑥 1 2 1 2 + 𝑐 = 2𝑥 1 2 1 + 𝑐 8. = 𝑥6 𝑥3 + 𝑐 9. = 𝑟−1+1 −1+1 + 𝑐 = ∞ 10.∫ 𝑡−1 𝑑𝑡 = 𝑡−1+1 −1+1 + 𝑐 = ∞ Integrasi fungsi eksponensial Rumus terpisahkan berikut untuk fungsi eksponensial dapat diturunkan dari aturan untuk membedakan fungsi eksponensial ( lihat Bab 6 ) dan aturan rantai ( lihat Bab 5 ) : ∫𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑐; ∫𝑒 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝑘 𝑒 𝑘𝑥 + 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑘 ≠ 0; ∫𝑏 𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝐌𝑛𝑏 𝑏 𝑥 + 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1; 𝑑𝑎𝑛 ∫𝑏 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝑘𝐌𝑛𝑏 𝑏 𝑘𝑥 + 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1, 𝑘 ≠ 0, di mana C adalah konstanta sembarang .  ∫𝑒 𝑢 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑢 + 𝑐  ∫ 𝑒5𝑥 𝑑𝑥 = 1 5 𝑒5𝑥 + 𝑐 = 𝑒5𝑥 5 + 𝑐  ∫ 2 𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝐌𝑛2 2 𝑥 + 𝑐 = 2 𝑥 𝐌𝑛2 + 𝑐  ∫ 25𝑥 𝑑𝑥 = 1 5𝐌𝑛2 25𝑥 + 𝑐 = 25𝑥 5𝐌𝑛2 + 𝑐
  • 7. 7 · 4 LATIHAN Cari integral tak tentu yang paling umum . 1. ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 2. ∫ 𝑒20𝑥 𝑑𝑥 3. ∫ 𝑒 𝜋𝑥 𝑑𝑥 4. ∫ 𝑒0,25𝑥 𝑑𝑥 5. ∫ 𝑒 𝑥 5 𝑑𝑥 6. ∫ 𝑒√3𝑥 𝑑𝑥 7. ∫4 𝑥 𝑑𝑥 8. ∫23𝑥 𝑑𝑥 9. ∫1000,25𝑥 𝑑𝑥 10.∫ 𝜋 𝑥 5 𝑑𝑥 Penyelesaian : 1. = 𝑒 𝑡 + 𝑐 2. = 1 20 𝑒20𝑥 + 𝑐 = 𝑒20𝑥 5 + 𝑐 3. = 1 𝜋 𝑒 𝜋𝑥 + 𝑐 = 𝑒 𝜋𝑥 𝜋 + 𝑐 4. = 1 0,25 𝑒0,25𝑥 + 𝑐 = 𝑒0,25𝑥 0,25 + 𝑐 5. = 1 𝑥 5 𝑒 𝑥 5 + 𝑐 = 5 𝑥 𝑒 𝑥 5 + 𝑐 6. = 1 √3 𝑒√3𝑥 + 𝑐 = 𝑒√3𝑥 √3 + c 7. = 1 𝐌𝑛 4 4 𝑥 + 𝑐 = 4 𝑥 𝐌𝑛 4 + 𝑐 8. = 1 3 𝐌𝑛 2 23𝑥 + 𝑐 = 23𝑥 3 𝐌𝑛 2 + 𝑐 9. = 1 0,25 𝐌𝑛 100 1000,25𝑥 + 𝑐 = 1000,25𝑥 0,25 𝐌𝑛 100 + 𝑐 10.= 1 𝑥 5 𝜋 𝑥 5 + 𝑐 = 5 𝑥 𝜋 𝑥 5 +
  • 8. Integrasi turunan fungsi trigonometri Rumus terpisahkan berikut dapat diturunkan dari aturan untuk membedakan enam trigonometri fungsi (lihat Bab 6) dan aturan rantai (lihat Bab 5): ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝑐; ∫ sin (kx)dx = − 1 𝑘 cos( 𝑘𝑥)+ 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑘 ≠ 0; ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝑐; ∫ cos (kx)dx = 1 𝑘 sin(kx) + 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑘 ≠ 0; ∫𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝑐; ∫ 𝑠𝑒𝑐2 (kx)dx = 1 𝑘 tan(kx) + 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑘 ≠ 0; ∫𝑐𝑠𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 = −cot 𝑥 + 𝑐; ∫ 𝑐𝑠𝑐2 (kx)dx = − 1 𝑘 cot(kx) + 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑘 ≠ 0; ∫sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝑐; ∫sec(𝑘𝑥)tan( 𝑘𝑥) 𝑑𝑥 = 1 𝑘 sec(kx)+ 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑘 ≠ 0; ∫csc 𝑥 cot 𝑥 𝑑𝑥 = −csc 𝑥 + 𝑐; 𝑑𝑎𝑛 ∫csc(𝑘𝑥)cot( 𝑘𝑥) 𝑑𝑥 = − 1 𝑘 csc(kx) + 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑘 ≠ 0; di mana C adalah konstanta sembarang.  sin 𝑢 𝑑𝑢 = −cos 𝑢 + 𝑐;  ∫ cos (10x)dx = 1 10 sin(10x) + 𝑐  ∫sec2(0.5𝑥) 𝑑𝑥 1 0.5 tan(0.5x) + 𝑐 = tan(0.5𝑥) 0.5 + 𝑐  ∫ 𝑐𝑠𝑐2 𝑡 𝑑𝑡 = −cot 𝑡 + 𝑐;  ∫sec( 3𝑥 4 ) tan( 3𝑥 4 ) 𝑑𝑥 = ∫ sec( 3 4 𝑥)tan ( 3 4 𝑥) 𝑑𝑥 = 1 3 4⁄ sec ( 3 4 𝑥) + 𝑐 = 4 3 sec( 3𝑥 4 ) + 𝑐 Catatan: teknik khusus diperlukan untuk menentukan integral berikut: ∫ tan 𝑥 𝑑𝑥, ∫ cot 𝑥 𝑑𝑥,∫ sec 𝑥 𝑑𝑥, 𝑎𝑛𝑑 ∫ csc 𝑥 𝑑𝑥. Integral ini dapat ditentukan dengan menggunakan teknik yang disajikan dalam Bab 8. 7 · 5 LATIHAN Cari integral tak tentu yang paling umum . 1. ∫cos 𝑣 𝑑𝑣 2. ∫sin( 1 2 𝜋𝑥)𝑑𝑥 3. ∫cos(18) 𝑑𝑥 4. ∫ 𝑠𝑒𝑐2 (√3𝑥)𝑑𝑥 5. ∫ 𝑐𝑠𝑐2 (2,5) 𝑑𝑥
  • 9. 6. ∫sec ( 5 6 𝑥)tan( 5 6 𝑥)𝑑𝑥 7. ∫csc x 3 𝑐𝑜𝑡 𝑥 3 𝑑𝑥 8. ∫csc(ex) cot(𝑒𝑥)𝑑𝑥 9. ∫sin 3𝜃 𝑑𝜃 10.∫cos(25𝜋𝑥) 𝑑𝑥 Penyelesaian : 1. = Sin v + c 2. = − 1 1 2𝜋 cos ( 1 2 𝜋𝑥) + 𝑐 = −2𝜋cos ( 1 2 𝜋𝑥) + 𝑐 3. = 1 8 sin(18𝑥) + 𝑐 4. = 1 √3 tan(√3𝑥) + 𝑐 = tan(√3𝑥) √3 + 𝑐 5. = − 1 2,5 cot(2,5 𝑥) + 𝑐 = −cot(2,5𝑥) 2,5 + 𝑐 6. = 1 5 6 sec( 5 6 𝑥) + 𝑐 = 6 5 sec ( 5 6 𝑥) + 𝑐 7. = 1 1 3 csc( x 3 ) + c = 3 csc ( 𝑥 3 ) + 𝑐 8. = − 1 𝑒 csc (ex) + c = − csc( 𝑒𝑥) 𝑒 + 𝑐 9. = − 1 3 cos(3𝜃) + 𝑐 = −cos(3𝜃) 3 + c 10.= 1 25𝜋 sin(25𝜋𝑥) + 𝑐 = sin(25 𝜋𝑥) 25𝜋 + c
  • 10. Integrasi turunan dari terbalik fungsi trigonometri Rumus terpisahkan berikut dapat diturunkan dari aturan untuk membedakan enam terbalik fungsi trigonometri (lihat Bab 6) dan aturan rantai (lihat Bab 5): ∫ 1 √1 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛−1 𝑥 + 𝑐 = −𝑐𝑜𝑠−1 𝑥 + 𝑐; ∫ 1 √𝑎2 − 𝑎2 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛−1 ( 𝑥 𝑎 ) + 𝑐 = −𝑐𝑜𝑠−1 ( 𝑥 𝑎 ) + 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑎 > 0; ∫ 1 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝑥 + 𝑐 = −𝑐𝑜𝑡−1 𝑥 + 𝑐; ∫ 1 𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 1 𝑎 𝑡𝑎𝑛−1 ( 𝑥 𝑎 ) + 𝑐 = − 1 𝑎 𝑐𝑜𝑡−1 ( 𝑥 𝑎 ) + 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑎 > 0; ∫ 1 | 𝑥|√𝑥2−1 dx =𝑠𝑒𝑐−1 𝑥 + 𝑐 = −𝑐𝑠𝑐−1 𝑥 + 𝑐; 𝑑𝑎𝑛 ∫ 1 | 𝑥|√𝑥2−𝑎2dx = 1 𝑎 𝑠𝑒𝑐−1 ( 𝑥 𝑎 ) + 𝑐 = − 1 𝑎 𝑐𝑠𝑐−1 ( 𝑥 𝑎 ) + 𝑐,𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑎 > 0; di mana C adalah konstanta sembarang. Seperti yang dapat Anda lihat dari rumus di atas, untuk setiap integran yang merupakan turunan dari salah satu dari enam fungsi trigonometri invers, Anda memiliki sepasang antiturunan sesuai dari yang untuk memilih. Kondisi ini terjadi karena turunan dari enam trigonometri invers fungsi jatuh ke tiga pasang. Di masing-masing pasangan, derivatif hanya berbeda dalam tanda. Untuk Misalnya, 𝑑 𝑑𝑥 ( 𝑠𝑖𝑛−1 𝑥) = 1 √1−𝑥2 𝑑𝑎𝑛 𝑑 𝑑𝑥 (𝑐𝑜𝑠−1 𝑥 = − 1 √1−𝑥2. . Ketika Anda mengintegrasikan integral yang merupakan turunan dari fungsi trigonometri invers, Anda memilih hanya satu anggota dari yang sesuai sepasang antiturunan. Meskipun secara matematis anggota baik benar,Integral tak tentu dan dasar formula integrasi dan aturan 49 adalah kebiasaan untuk memilih sinus terbalik, tangen terbalik, dan fungsi garis potong terbalik atas negative dari cosinus invers, kotangens terbalik, dan fungsi kosekans terbalik, masing-masing.  ∫ 𝑑𝑢 √1−𝑢2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑢 √1−𝑢2 𝑑𝑢 = 𝑠𝑖𝑛−1 𝑢 + 𝑐  ∫ 1 √9−𝑥2 𝑑𝑥 = ∫ 1 √32 −𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛−1 ( 𝑥 3 ) + 𝑐  ∫ 1 5+𝑥2 𝑑𝑥 = ∫ 1 (√5) 2 +𝑥2 𝑑𝑥 = 1 √5 𝑡𝑎𝑛−1 ( 𝑥 √5 ) + 𝑐  ∫ 1 √ 𝑥2( 𝑥2− 36 25 ) 𝑑𝑥 = ∫ 1 | 𝑥|√ 𝑥2 − (6)2 5 𝑑𝑥 = 1 6 5⁄ 𝑠𝑒𝑐−1 ( 𝑥 6 5⁄ ) + 𝑐 = 5 6 𝑠𝑒𝑐−1 ( 5𝑥 6 ) + 𝑐
  • 11. 7 · 6 LATIHAN Cari integral tak tentu yang paling umum . 1. ∫ 1 1+𝜃2 𝑑𝜃 2. ∫ 𝑑𝑥 √16−𝑥2 3. ∫ 1 49+𝑥2 𝑑𝑥 4. ∫ 𝑑𝑡 0,25+𝑡2 5. ∫ 𝑑𝑢 √𝑢2(𝑢2−1) 6. ∫ 1 |𝑥|√𝑥2−41 𝑑𝑥 7. ∫ 1 √ 81 100 −𝑥2 𝑑𝑥 8. ∫ 𝜋2+𝑥2 𝑑𝑥 9. ∫ 𝑑𝑡 √𝑡2(𝑡2− 1 4 ) 10.∫ 1 |𝑥|√𝑥2−7 𝑑𝑥 Penyelesaian : 1. = 𝑡𝑎𝑛−1 𝜃 + 𝑐 = −𝑐𝑜𝑡−1 𝜃 + 𝑐 2. = ∫ 1 √42−√𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛−1 ( 𝑥 4 ) + 𝑐 3. = ∫ 1 √492+𝑥2 𝑑𝑥 = 1 √49 𝑡𝑎𝑛−1 ( 𝑥 √49 ) + 𝑐 4. = ∫ 1 √0,252+𝑡2 𝑑𝑡 = 1 √0,25 𝑡𝑎𝑛−1 ( 𝑡 √0,25 )+ 𝑐 5. = ∫ 1 |𝑢|√𝑢2−√12 𝑑𝑢 = 1 1 𝑠𝑒𝑐−1 ( 𝑢 1 ) + 𝑐 = 𝑠𝑒𝑐−1( 𝑢) + 𝑐 6. = 𝑠𝑒𝑐−1 ( 𝑥 41 ) + c = - 𝑐𝑠𝑐−1 ( 𝑥 41 ) + c
  • 12. 7. = ∫ 1 √ (9)2 10 −𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛−1 ( 𝑥 9 10 ) + 𝑐 =𝑠𝑖𝑛−1 ( 10𝑥 9 ) + 𝑐 = −𝑐𝑜𝑠−1 ( 10𝑥 9 ) + 𝑐 8. 1 𝜋 𝑡𝑎𝑛−1 𝑥 𝜋 + 𝑐 = − 1 𝜋 𝑐𝑜𝑡−1 ( 𝑥 𝜋 )+c 9.= ∫ 1 | 𝑡|√ 𝑡2− (1) 2 2 𝑑𝑥 = 1 1 2 𝑠𝑒𝑐−1 ( 𝑡 1 2 ) + 𝑐 = 2𝑠𝑒𝑐−1(2𝑡) + 𝑐 10.𝑠𝑒𝑐−1 ( 𝑥 7 ) + 𝑐 = −𝑐𝑠𝑐−1 ( 𝑥 7 ) + 𝑐