Este documento describe las características morfométricas y fisiográficas de una cuenca hidrográfica. Define una cuenca como un área delimitada por una línea divisoria que determina el drenaje superficial. Explica que el área, perímetro, longitud, forma, relieve y altitud de la cuenca son parámetros importantes para caracterizarla e influyen en su respuesta hidrológica. Describe diversos índices y métodos para medir y analizar estas características morfométricas de una cuenca.

1. 2 LA CUENCA HIDROGRÁFICA
2.1 CARACTERÍSTICAS MORFOMÉTRICAS Y FISIOGRÁFICAS DE LA CUENCA
Para el concepto de cuenca hidrográfica se tienen varias definiciones. Según Heras (1972), se entiende
por cuenca vertiente, o cuenca de drenaje de un río, considerado en un punto dado de su curso, al área
limitada por el contorno en el interior del cual el agua precipitada corre por su superficie, se encuentra y
pasa por el punto determinado del cauce.
Otra definición es la de LLamas (1993), según la cual una cuenca es un espacio geográfico cuyos aportes
son alimentados exclusivamente por las precipitaciones y cuyos excedentes en agua o en materias
sólidas transportadas por el agua forman, en un punto espacial único, una desembocadura, una estación
de aforo, o un punto arbitrario.
Se define como línea divisoria o línea de divorcio a una línea imaginaria que delimita la cuenca.
Generalmente se considera que la línea divisoria es la línea de cresta que separa dos vertientes teniendo
en cuenta el drenaje superficial, pero en algunos casos se debe considerar la línea definida por las
elevaciones más altas de la capa freática (almacenamiento de agua gravitacional en el suelo – agua libre
en el suelo ) . Sin embargo, dado que dicho límite generalmente no difiere mucho del que está
determinado por el drenaje superficial y cuando difiere un poco es muy difícil de detectar, se suele
considerar como cuenca la determinada por el límite de las aguas superficiales.
Dos cuencas sometidas a las mismas condiciones climáticas similares, pueden tener regímenes de flujo
totalmente distintos. Esta diferencia se debe principalmente a las diversas características físicas de ambas
cuencas. Aunque resulta evidente que factores como el tipo de suelo y el espesor de la capa permeable
ejercen un gran efecto sobre el régimen de flujo, la fisiografía puede ser importante en la respuesta de la
cuenca a las precipitaciones. A continuación se hacer una presentación de las características fisiográficas
que se han considerado más importantes.
2.1.1 EL AREA.
El área de la cuenca es quizá el parámetro más importante, siendo determinante de la escala de varios
fenómenos hidrológicos tales como, el volumen de agua que ingresa por precipitación, la magnitud de los
caudales, etc. El área de la cuenca se define como la proyección horizontal de la superficie de la misma y
se puede medir directamente del mapa topográfico. Desde el punto de vista hidrológico es más importante
esta proyección horizontal que la superficie real de la cuenca. Las gotas de lluvia caen verticalemente y no
ortogonales a la ladera, igualmente el crecimiento de los arboles es vertical, etc.
El “área superficial real” o el “área de la superficie real”considera la pendiente de la cuenca se puede
relacionar con el área de la cuenca mediante la siguiente expresión:
i
A
=
AS
cos
1
(2. 0)
1

2. siendo A la superficie medida en el mapa e i el ángulo que define la pendiente media de la cuenca. Como
este ángulo de inclinación de las laderas es, en general, pequeño, los valores de AS y A son
prácticamente iguales excepto en las cuencas de orografía muy abrupta.
El área superficial real puede parecer una medida representativa de la magnitud de la cuenca pero en
realidad es una medida ambigua que se puede prestar a equivocaciones. Así por ejemplo haciendo
huecos y montículos se puede aumentar el área superficial real de la cuenca y no cambia su magnitud. La
proyección horizontal, que es perpendicular a la aceleración de la gravedad es mucho más coherente, los
procesos de intercambio con la atmósfera son generalmente verticales, el crecimiento de los árboles es
vertical, etc.
2.1.2 PERÍMETRO
 El perímetro (P)es la longitud del límite exterior de la cuenca y depende de la superficie y la forma de
la cuenca.
2.1.3 LOS PARÁMETROS ASOCIADOS A LA LONGITUD
 Longitud de la cuenca.
Es la longitud de una línea recta con dirección “paralela” al cauce principal
 Longitud del cauce principal.
La longitud de un río es la distancia entre la desembocadura y el nacimiento.
 Longitud máxima (Lm) o recorrido principal de la cuenca.
La longitud máxima o recorrido principal de la cuenca (Lm), es la distancia entre el punto de desagüe y
el punto más alejado de la cuenca siguiendo la dirección de drenaje. El recorrido principal, es la
máxima distancia recorrida por el flujo de agua dentro de la cuenca.
2

3. Longitud de la cuenca
Ilustración 2.1. Longitud de la cuenca, Cauce principal y recorrido principal de la cuenca.
La diferencia entre éstas longitudes: la longitud de la cuenca, la longitud del cauce principal y la longitud
del recorrido principal se ilustra en la figura 2.1. La longitud del recorrido principal añade al cauce principal
el recorrido en ladera hasta el punto de la cuenca más alejado del desagüe siguiendo la dirección de
drenaje.
Las longitudes se obtienen generalmente de la medición en mapas topográficos, cuando el mapa está en
papel se pueden medir con un compás, una regla, una rueda para mapas (opisometro), o leyendo las
coordenadas en los puntos de cambio de dirección y calculando las distancias entre los puntos con
coordenadas conocidas o se digitalizan y las longitudes se calculan en el mapa digital.
Los resultados de la medición de la longitud de un mapa puede tener variaciones en dependiendo de la
escalas de los mapas y la precisión de la medición. De hecho la verdadera longitud de línea sinuosa como
la de una corriente se plantea como una pregunta filosófica ¿cuál es la verdadera longitud?. Es la
distancia medida por el medio de la corriente? O por alguna de las orillas, cuál y porqué? o por la línea de
mayor profundidad (Thalweg)? O se sigue la trayectoria del flujo siguiendo los contornos de la piedras y
los obstáculos en el cauce?
Gan et al (1989) argumentan que la longitud de una línea intrínsecamente sinuosa tiende a incrementarse
a medida que ella se mide con mayor precisión. Ellos sugieren que se debe utilizar la Longitud Fractal de
la Corriente (Lf ) como una medida estandarizada. En un mapa la corriente se puede medir utilizando un
compás con una abertura determinada como un número determinado de tramos de igual longitud. De esta
manera para cada abertura del compás X es necesario un número Z de veces para obtener la longitud L,
repitiendo la medida para distintos valores de X se obtienen distintos valores de L con los que se puede
hacer una regresión simple en el espacio logaritmico de L en función de X y se obtiene una ecuación de
ajuste del tipo
3

4. b
aX
L 
(2. 0)
donde a y b son las constantes de la regresión y la longitud fractal Lf es igual a la constante a
a
Lf 
(2. 0)
la dimensión fractal D está dada por la expresión
b
D 
 1
(2. 0)
 Longitud del cauce hasta el punto más cercano al centroide. La determinación del centroide puede
hacerse analíticamente, como para el cálculo del momento de inercia de una superficie.
Empiricamente, se hace aprovechando el hecho de que el centroide debe coincidir con el centro de
gravedad de un cuerpo con la forma de la cuenca y un espesor contante.
 Coeficientes de sinuosidad topográfica e hidráulica
El coeficiente de sinuosidad topográfica, St, es el cociente entre la longitud del valle Lv, y la del eje del río
Le, y el de sinuosidad hidráulica, Sh, es el cociente entre la longitud directa Ld, en línea recta entre las
extremidades y la del eje del río. (En los tres casos, las longitudes son las proyecciones de los valores
reales sobre un plano horizontal).
L
L
=
S
;
L
L
=
S
e
d
h
e
v
t 2 (2. 0)
2.1.4 LA FORMA DE LA CUENCA
La forma de la cuenca es la configuración geométrica de la cuenca tal como está proyectada sobre el
plano horizontal. Tradicionalmente se pensaba que era de gran importancia y que podía incidir
sensiblemente en el tiempo de respuesta de la cuenca, es decir, al tiempo de recorrido de las aguas a
través de la red de drenaje, y, por consiguiente, a la forma del hidrograma resultante de una lluvia dada.
En la actualidad no se da tanta importancia a la forma de la cuenca.
Para determinar la forma de una cuenca se utilizan varios índices asociados a la relación área-perímetro.
Los más comunes son:
 Índice o coeficiente de compacidad
4

5. El índice o coeficiente de compacidad Kc se debe a Gravelius, y es la relación entre el perímetro
de la cuenca y el perímetro de un círculo de igual área que la cuenca. LLamas (1993) da la
siguiente expresión:
A
P
0.28
=
Kc
(2. 0)
siendo P y A el perímetro y el área de la cuenca, respectivamente. En cualquier caso, el
coeficiente será mayor que la unidad, tanto más próximo a ella cuanto la cuenca se aproxime más
a la forma circular, pudiendo alcanzar valores próximos a 3 en cuencas muy alargadas.
 Factor de forma
El factor de forma, Rf. fué definido por Horton, como el cociente entre la superficie de la cuenca y el
cuadrado de su longitud:
2
L
A
=
Rf 3 (2. 0)
donde Lm es la longitud máxima o recorrido principal de la cuenca. Mediante este parámetro se
relacionan otros parámetros morfométricos de la cuenca, según LLamas (1993), el perímetro
puede estimarse mediante la expresión:
R
A
K
=
P m
f
n
4 (2. 0)
siendo A la superficie de la cuenca, Rf el factor de forma (que más adelante será estudiado) y k,n
y m coeficientes cuyos valores medios son, respectivamente, 4, 0.5 y 0.5 .
 Coeficiente de forma
Coeficiente de forma, Kf. Es la relación entre la anchura media Bm de la cuenca y la longitud (L) :
L
B
=
K
m
f (2. 0)
 Radio o relación de elongación
El radio o la relación de elongación (Re.) Definido por Schumm, es la relación entre el diámetro de
un círculo de área igual a la cuenca y la longitud de la cuenca (L). Expresando el diámetro en
función del área de la cuenca (A) queda:
L
A
1.128
=
Re 5 (2. 0)
 Radio o relación de circularidad.
El radio o la relación de circularidad, (Rci), es el cociente entre el área de la cuenca (A) y la del
círculo cuyo perímetro (P) es igual al del la cuenca:
5

6. P
A
4
=
R 2
ci

6 (2. 0)
 Rectángulo equivalente
Para poder comparar el comportamiento hidrológico de dos cuencas, se utiliza la noción de rectángulo
equivalente o rectángulo de Gravelius. Se trata de una transformación puramente geométrica en virtud
de la cual se asimila la cuenca a un rectángulo que tenga el mismo perímetro y superficie, y, por tanto,
igual coeficiente de Gravelius (coeficiente de compacidad, Kc). Así, las curvas de nivel se transforman
en rectas paralelas al lado menor del rectángulo, y el desagüe de la cuenca, que es un punto, queda
convertido en el lado menor del rectángulo.
Para la construcción del rectángulo, se parte del perímetro, P, y el área de la cuenca, A. Si los lados
menor y mayor del rectángulo son, respectivamente, L1 y L2 , entonces:
0.28
A
K
=
)
L
+
L
(
2
=
P c
2
1 7
(2. 0)
siendo
A
=
L
L 2
1 8 (2. 0)
La solución de este sistema de ecuaciones es:














K
1.12
-
1
-
1
1.12
A
K
=
L
c
2
c
1 9 (2. 0)














K
1.12
-
1
+
1
1.12
A
K
=
L
c
2
c
2 10 (2. 0)
Para que esta representación sea posible es necesario que se cumpla la condición:
1.12
Kc  11 (2. 0)
2.1.5 RELIEVE Y ALTITUD DE LA CUENCA
La influencia del relieve sobre la respuesta hidrológica de la cuenca es importante, puesto que a mayores
pendientes corresponden mayores velocidades del agua en las corrientes y menor será el tiempo de
concentración de la cuenca.
6

7.  La altitud media, el rango de alturas, la elevación de la cuenca, la altitud es determinante de la
temperatura y la precipitación. LLamas (1993)
 La relación de relieve
Schumm (1956) propone una expresión muy simple para la descripción del relieve, (Relif Ratio) la
Relación de Relieve (Rr ) en función de la longitud de la cuenca L y de la diferencia de altura entre la
salida de la cuenca y el punto más alto en la divisoria de la cuenca (h) :
L
h
=
Rr
 La curva hipsométrica
La curva hipsométrica sugerida por Langbein et al. (1947), proporciona una información sintetizada
sobre la altitud de la cuenca, que representa gráficamente la distribución de la cuenca vertiente por
tramos de altura. Dicha curva presenta, en ordenadas, las distintas cotas de altura de la cuenca, y en
abscisas la superficie de la cuenca que se halla por encima de dichas cotas, bien en Km2
o en tanto
por cien de la superficie total de la cuenca. La ilustración 2.1 muestra una curva hipsométrica tipo.
Ilustración 2.1. Curva hipsométrica. (fuente: LLamas, J., Hidrología general, figura 2-2).
De esta curva se puede extraer una importante relación, y es la
7

8. RELACIÓN HIPSOMÉTRICA :
S
S
=
R
i
s
h 12
(2.8)
donde Ss y Si son, respectivamente, las áreas sobre y bajo la curva hipsométrica. Según Strahler
(LLamas,1993), la importancia de esta relación reside en que es un indicador del estado de equilibrio
dinámico de la cuenca. Así, cuando Rh = 1, se trata de una cuenca en equilibrio morfológico. La siguiente
ilustración muestra tres curvas hipsométricas correspondientes a otras tantas cuencas que tienen
potenciales evolutivos distintos.
Iliustración 2.2. Curvas hipsométricas características del ciclo de erosión (según Strahler).
(fuente: LLamas, J., Hidrología general, figura 2-6).
La curva superior (curva A) refleja una cuenca con un gran potencial erosivo; la curva intermedia
(curva B) es característica de una cuenca en equilibrio; y la curva inferior (curva C) es típica de una
cuenca sedimentaria. Quedarían, así, representadas distintas fases de la vida de los ríos:
- curva A: fase de juventud
- curva B: fase de madurez
- curva C: fase de vejez
8

9. Scheidegger (1987) rechaza esta clasificación aduciendo que el levantamiento (uplifting) tectónico
es un proceso continuo y que, a lo largo de la historia de la cuenca, hay una tendencia a equilibrar
las fuerzas antagónicas de construcción tectónica y degradación por erosión u otros mecanismos.
Si un paisaje muestra un carácter permanente, estos dos procesos opuestos están en equilibrio
dinámico. Scheidegger entonces atribuye las diversas formas de la curva hipsométrica a los
niveles de actividad de los ya citados procesos. Así, la curva A se corresponde con una alta
actividad, la curva B con una actividad media y la curva C con una actividad baja. El nivel de
actividad no tiene por qué estar relacionado con la edad de la cuenca.
 Pendiente
Tiene una gran importancia porque, indirectamente, a través de la velocidad del flujo de agua, influye
en el tiempo de respuesta de la cuenca.
Según Heras (1972), entendemos por pendiente media de una cuenca a la media ponderada de
todas las pendientes correspondientes a áreas elementales en las que pudiéramos considerar
constante la máxima pendiente.
El método más antiguo para obtener la pendiente media consiste en ponderar las pendientes medias
de superficies o bandas de terreno en las que queda dividida la cuenca por las curvas de nivel.
Resulta finalmente la expresión:
A
L
h
=
S cn

13 (2.9)
donde S es la pendiente media de la cuenca, h la equidistancia entre curvas de nivel, Lcn la
longitud de todas las curvas de nivel y A el área total de la cuenca.
También se puede obtener la pendiente media de una cuenca como el cociente entre la diferencia
de elevación máxima medida entre el punto mas alto del límite de la cuenca y la desembocadura
del río principal, y la mitad del perímetro de la cuenca (LLamas, 1993):
P
H
2
=
S 14 (2.10)
donde H es la citada diferencia de cota y P el perímetro de la cuenca.
Según Benson (1959), la pendiente media de una cuenca puede asimilarse a la pendiente de la
recta trazada entre los puntos que se encuentran al 85 % y al 10 % de distancia a partir del punto
más alejado del punto de desagüe siguiendo el curso principal.
9

10. 1
Ilustración 2.3. Cálculo de la pendiente media de una cuenca según Benson. (fuente: LLamas, J.,
Hidrología general, figura 2-7).
Por consiguiente, la pendiente media de la cuenca es la pendiente entre los puntos B y C:
BC
H
-
H
=
S c
b
15 (2.11)
siendo:
AD
0.85
=
AC
;
AD
0.10
=
AB 16 (2.12)
Sin embargo, la pendiente media puede resultar un índice poco significativo, pues se pueden tener
cuencas con igual valor de pendiente media pero con perfiles hipsométricos distintos.
Es más descriptivo, y útil, tener una idea precisa de la distribución de las pendientes de una cuenca.
Ello se refleja en el histograma de frecuencias, cuya obtención, antiguamente, consistía en elegir
aleatoriamente una serie de puntos de la cuenca, cuyo número depende de las dimensiones de la
misma, hacer pasar por cada uno de ellos el segmento más corto que intercepte a las dos curvas de
nivel que enmarcan dicho punto, y determinar la pendiente de esa recta, utilizando los valores así
obtenidos para construir el histograma de frecuencias.
Así, en lugar de representar toda la cuenca por un valor de pendiente único, se tiene una distribución
de frecuencias. Se puede así hablar de un valor medio, de una mediana, de un valor más probable,
etc.
Actualmente, con el desarrollo en los últimos años de numerosos sistemas de información geográfica,
se han incorporado en muchos de ellos aplicaciones que permiten la obtención de campos de
10

11. pendientes, a partir de un modelo de elevación digital del terreno, cuya única limitación es el tamaño o
resolución de las áreas elementales de información o celdas.
 Orientación de la cuenca
Por orientación de la cuenca, según LLamas (1993), hay que entender su dirección geográfica según
la resultante de la pendiente general.
Este concepto es importante por que distintos elementos pueden relacionarse con la orientación de la
superficie y entre ellos se tienen:
- El número de horas que está soleada la cuenca. Este es un elemento bastante importante en la
medida que aumenta la latitud de la cuenca. Puede ser el factor principal en el cálculo de la
evaporación y la evapotranspiración.
- Las horas en a las que incide el sol sobre la ladera de la cuenca.
- La dirección de los vientos dominantes
- La dirección del movimiento de los frentes de lluvia
- Los flujos de humedad
 La pendiente media del cauce principal
corriente
la
de
Longitud
salida
la
a
Elevación
nacimiento
el
en
Elevación
Sc
_
_
_
)
_
_
_
_
_
_
( 

 El perfil del cauce principal
2.1.6 LA RED DE DRENAJE
 Densidad de drenaje
Horton (1945) definió la densidad de drenaje de una cuenca como el cociente entre la longitud total de
los canales de flujo pertenecientes a su red de drenaje y la superficie de la cuenca:
A
L
=
D T
17 (2.18)
Este parámetro es, en cierto modo, un reflejo de la dinámica de la cuenca, de la estabilidad de la red
hidrográfica y del tipo de escorrentía de superficie, así como de la respuesta de la cuenca a un
chubasco.
11

12. Carlston (1963) determinó que el drenaje está relacionado con los aspectos hidrológicos del sistema
de canales de la cuenca. Así, la densidad de drenaje la asoció con la transmisividad del suelo, el
caudal o flujo base, el caudal medio anual por unidad de área y la recarga.
También la densidad de drenaje depende de las condiciones climáticas; por ejemplo, de la
precipitación anual media o de la intensidad de lluvia. Chorley (1957) relacionó la densidad de drenaje
con el clima y la vegetación, según la expresión:
I
1
D 18 (2.20)
siendo:
lluvia
de
intensidad
*
n
i
precipitac
n
vegetaci
de
cantidad
=
I 19
(2.21)
La densidad de drenaje es un indicador de la respuesta de la cuenca ante un aguacero, y, por tanto,
condiciona la forma del hidrograma resultante en el desagüe de la cuenca. A mayor densidad de
drenaje, más dominante es el flujo en el cauce frente al flujo en ladera, lo que se traduce en un menor
tiempo de respuesta de la cuenca y, por tanto, un menor tiempo al pico del hidrograma.
 Constante de estabilidad del río
La constante de estabilidad de un río, propuesta por Schumm (1956) como el valor inverso de la
densidad de drenaje:
D
1
=
L
A
=
C
T
20 (2.19)
representa, físicamente, la superficie de cuenca necesaria para mantener condiciones hidrológicas
estables en una unidad de longitud de canal. Puede considerarse, por tanto, como una medida de la
erodabilidad de la cuenca. Así, regiones con suelo rocoso muy resistente, o con suelos altamente
permeables que implican una elevada capacidad de infiltración, o regiones con densa cobertura
vegetal, tienen valores altos de la constante de estabilidad y bajos de densidad de drenaje. Por el
contrario, una baja constante de estabilidad, o una elevada densidad de drenaje, es característica de
cuencas con rocas débiles, escasa o nula vegetación y baja capacidad de infiltración del suelo.
 Densidad hidrográfica
Se define como el cociente entre el número de segmentos de canal de la cuenca y la superficie de la
misma:
A
N
=
F T
21 (2.22)
donde NT es la suma de todos los segmentos de canal que forman la red hidrográfica de la cuenca,
entendiendo como tales a todo tramo de canal que no sufre aporte alguno de otro canal. Aunque la
densidad hidrográfica y la densidad de drenaje miden propiedades distintas, Melto (1958) propuso una
relación, que ha resultado muy acertada, entre ellas:
D
*
=
F 2
 22 (2.23)
 es un coeficiente adimensional que se aproxima generalmente a un valor de 0.7 (0.694).
12

13. 2.1.7 LA ESTRUCTURA DE LA RED DE DRENAJE
El análisis cuantitativo de redes hidrográficas se basa en el método de Horton (1945) de clasificación de la
red de canales, basado en el sistema de Gravelius.
Horton (1945) propuso un esquema de ordenamiento para la red de drenaje, con base en este
ordenamiento, encontró algunas regularidades existentes en la red de drenaje, relacionadas con la
estructura de bifurcación, y su distribución espacial. Los primeros resultados empíricos sobre estas
regularidades se conocen como las Leyes de Horton: las llamadas ley de los números de corriente y ley de
las longitudes de corriente.
 Modelo de ordenación de Horton - Strahler
Strahler (1952, 1957), revisó y perfeccionó el esquema de Horton dando lugar al esquema de
ordenación o de clasificación de Horton-Strahler, hoy en día el más utilizado en hidrología (hay otros
modelos, como el de Shreve (1966), Mock (1971), etc).
Las redes de drenaje pueden ser modeladas o representadas como arboles, los cuales están
conformados por un conjunto de nodos conectados unos a otros por segmentos de recta de manera
que cada nodo tiene solo una ruta hacia la salida. Los nodos que se conectan a un solo segmento son
llamados fuentes y los que conectan a más de uno son llamados uniones. Además los segmentos que
se conectan a una fuente y a una unión se los denomina tramos exteriores o externos y a aquellos
que se conectan a dos uniones se les denomina tramos interiores o internos
Se considera que la cuenca tiene una única salida o punto de desagüe; Los puntos en los que se
unen dos segmentos de canal son los nudos internos; Los nudos externos son aquellos a partir de los
cuales se origina un segmento de canal (es decir, la cabecera de todos los tributarios de la cuenca);
Según Strahler una corriente puede tener uno o más segmentos. Un canal es una unión arbitraria de
segmentos (e.j. canal principal). Strahler ordena las corrientes de acuerdo los siguientes criterio:
1. Los segmentos que se originan en un nudo externo son definidos como tramos de primer orden.
Los segmentos que están unidos a una fuente (los que no tienen tributarios), son definidos como
de primer orden.
2. Cuando dos segmentos del mismo orden, i, se unen en un nudo interior dan lugar a un segmento
de orden superior, i+1, aguas abajo. Cuando se unen dos corrientes de orden crean una
corriente de orden 
3. Cuando se unen dos tramos de distinto orden en un nudo interior dan lugar a un tramo que
conserva el mayor de los órdenes. Cuando se unen dos tramos de distinto orden el orden del
segmento resultante es el máximo orden de los segmentos que la preceden. Cuando a una
corriente se le une otra de menor orden, la primera continúa y conserva su número de orden.
13

14. 4. El orden de la cuenca, , es el de la corriente de mayor orden.
En la ilustración siguiente, se muestra un sencillo ejemplo de ordenación de una red hidrográfica
según el criterio de Strahler.
Ilustración 2.5. Ordenación de una red de canales según Strahler.
 La ley de los números de corriente
La ley de los números de corriente establece que el número de corrientes de un determinado orden
sigue una relación geométrica inversa con dicho orden:
R
=
N
i
-
B
i

(2.32)
donde Ni es el número de canales de orden i,  es el mayor orden de los canales de la cuenca y RB
es una constante característica de la cuenca llamada Relación de Bifurcación. Los pares de puntos
( i , log Ni ) de todos los órdenes de la cuenca se ajustan a una línea recta de pendiente negativa. El
valor absoluto de dicha pendiente es el logaritmo de RB. Obsérvese que, utilizando la ley de los
números de corriente, el número total de tramos de canal de una cuenca se puede obtener como:
1
-
R
1
-
R
=
R
=
R
+
...
+
R
+
R
+
1
=
N
=
N
B
B
i
-
B
=1
i
1
-
B
2
B
B
i
=1
i
T






 23
(2.33)
14

15. Así mismo, la ley de los números de corriente se puede expresar como:
N
N
=
R
i
1
-
i
B 24 =2,3,... , 25 (2.34)
El valor típicos de RB es igual a 4 variando en un rango de 3 a 5.
 La ley de las longitudes de corriente.
La ley de Horton para la longitud de las corrientes se expresa como
R
L
L
L
1
-
i
i
 ó
1


i
L
i R
L 26 =2,3,... , (2.35)
donde Li es la longitud promedia de las corrientes de orden i y RL es otra constante característica de la
cuenca llamada Relación de longitud. La longitud promedia de las corrientes de cada orden viene
dada por la expresión:
L
N
1
=
L i
N
=1
n
i
i n
i
 27 (2.36)
donde Lin es la longitud de un canal de orden i. El valor típico de RL es de 2 variando en un rango de
1.5 a 3.5
 La ley de las áreas de corriente
Con el mismo fundamento que las dos leyes anteriormente establecidas por Horton, Schumm (1956)
propuso la ley de las áreas de corriente:
R
=
A
A
A
1
-
i
i
28 (2.37)
donde A i es el área el área de drenaje promedio de las corrientes de orden i y RA es la relación de
áreas. El área drenante media a los canales de cada orden se obtiene como:
A
N
1
=
A i
N
=1
n
i
i n
i
 29 (2.38)
siendo Ain el área de la cuenca que drena al canal n de orden i y a todos sus tributarios; de tal forma
que A_ es el área total de la cuenca. El valor típico de RA esta alrededor de 5.
Los valores para las relaciones (ratios) de longitud y área se consiguen, al igual que para los de la
relación de bifurcación, ajustando sendas rectas a los pares de puntos ( i , logLi ) e ( i , log Ai ) y
obteniendo las pendientes de dichas rectas.
 La ley de las pendientes de corriente
Morisawa (1962) propuso la ley de pendientes de corrientes y, cuya expresion es:
S
R
=
S i
i
-
S
i 1


30 (2.39)
donde RS es la relación de pendiente, Si es la pendiente media de los canales de orden i.
 La ley del relieve de la cuenca
Igualmente Morisawa (1962) propuso la ley del relieve de la cuenca
15

16. E
R
=
E i
1
-
i
E
i 1
 31 (2.40)
donde RE es la relación del Relieve y Ei es la altura o elevación media de las cuencas de orden i.
 El numero de segmentos de la corriente
Es posible definir una relación semejante para el número de segmentos en una corriente de orden 
c
R
C
C

 )
1
(
)
(


ó
1



 C
R
C =2, 3, ... ,
donde C() es el numero de segmentos en una corriente de orden  El valor usualmente
encontrado en estudios de campo para RC esta alrededor de 2.
 Magnitud de una cuenca
Se entiende por magnitud de una cuenca, M, el número de tramos de canal exteriores (tramos de
canal que unen un nudo externo y un nudo interno); es decir, según la ordenación Horton-Strahler, el
número de tramos de canal de orden 1. En una cuenca, el número de tramos de canal interiores es M-
1, por lo que el número total de tramos es 2M-1.
Es importante resaltar que hay una relación lineal muy ajustada entre el número de tramos de canal y
el área total de la cuenca, como se muestra en la siguiente figura:
Ilustración 2.7. Relación entre el número de tramos de canal y el área de la cuenca obtenida en la cuenca
del río Walnut Gulch, en Arizona. (fuente: Bras, R.L., Hydrology, figura 12.9).
 El diámetro de la cuenca
El diámetro de la cuenca D, es la máxima longitud topológica existente en la cuenca; es decir, se
refiere a la ruta, según la dirección del drenaje, que mayor número de tramos contenga, entre una
16

17. cabecera de la red y el desagüe de la cuenca. En otras palabras se define como diámetro topológico
al número de segmentos que contiene el canal principal.
 La ley de Hack y otras propiedades de escalamiento múltiple
Hack (1957) demostró la aplicabilidad de una función potencial que relaciona la longitud del canal
principal de una cuenca con su área. En su estudio para distintas cuencas del mundo encontróando
un exponente cercano a 0.6. encontró la ecuación
L=1.4 A 0.6
Siendo L la longitud del canal principal (en millas) y A el área de la cuenca (en millas cuadradas).
Hack adelantó este estudio para otras Mas adelante en 1961, Gray publicó los resultados de una
investigación sobre este tema, reportando que L  A 0.568
. A partir de esta fecha otros investigadores
han verificado la relación, que se conoce actualmente como la Ley de Hack (LAh
, donde h es el
exponente de Hack ). El valor esperado del exponente de Hack a partir del análisis dimensional es
0.5, razón por la cual, el valor típicamente encontrado cercano a 0.6, ha sido objeto de diversas
investigaciones. Las explicaciones que se han están relacionadas con la elongación de las cuencas
con el aumento de su tamaño (i.e. cuencas pequeñas tendrían forma aproximadamente circular y
cuencas grandes forma de tabaco), con el carácter fractal del canal principal y con el aumento de la
sinuosidad hacia aguas abajo. Adicionalmente Shreve propone que el exponente observado por Hack
es el resultado de un proceso preasintótico.
Con base en el modelo de Sreve sobre la red de drenaje Mesa y Gupta (1987) obtuvieron además un
valor teórico para el exponente de Hack en función de la magnitud de la cuenca (n)










 

1
2
1
2
1
2
1
)
(
n
n
n
h



Así, para n=10, 100, 500 la pendiente h(n) es 0.68, 0.53, 0.513, respectivamente. Las conclusiones
de este modelo pueden ser interpretadas en dos sentidos:
Las redes de drenaje naturales son topológicamente aleatorias y su formación depende, por lo
tanto, de las leyes del azar.
Las leyes de Horton RB, RL y RA, así como otras relaciones empíricas como la ley de Hack existen
en la mayoría de redes de drenaje posibles y por lo tanto estas no dicen mucho acerca de los
procesos que controlan su crecimiento y desarrollo.
La explicación del exponente anómalo de Hack continua siendo un problema abierto en hidrología y la
pregunta sobre si sus causas son geométricas, topológicas o morfológicas abre camino a diversos
campos de estudio.
En hidrología, hay varios asuntos con este tipo de exponentes anómalos, por ejemplo la relación entre los
cuantiles de caudal y el área de drenaje de la cuenca. El caudal de banca llena, por ejemplo, tiene un
periodo de retorno de aproximadamente 1.5 años (Leopold y Miller, 1964) y su relación con el área esta
dada por QA 0.75
. Otro caudal que caracteriza el comportamiento de la cuenca es el caudal medio
anual el cual tiene una relación aproximada Q A. El estudio detallado de la relación de caudal y área
para un cuantil  dado Q= c()A()
adquiere gran importancia para el estudio de cuencas no
17

18. instrumentadas en las cuales se puede dar un buen estimado de diversas cantidades como función de su
área. Esta relación a sido estudiada recientemente por Gupta et al (1994) a la luz de la teoría de
multiescalamiento.
 La función ancho
Es un cuantificador de las características de la cuenca que pueden tener una relación directa con la forma
y el pico del hidrograma (Mesa , 1986, Bras, 1990). La función ancho N(x) mide el número de tramos de
canal a cada distancia x desde el desagüe de la cuenca. La distancia x puede ser la distancia real según
el curso del agua, la distancia en línea recta entre nudos o la distancia topológica (medida en términos de
número de tramos de canal). La siguiente ilustración muestra un ejemplo de obtención de la función ancho
utilizando la distancia topológica, así como su relación con la respuesta de la cuenca:
Ilustración 2.6. Función ancho medida en términos de distancia topológica. (fuente: Bras, R.L.,
Hydrology, figura 12.7).
Suponiendo que la cuenca tiene la propiedad de que el tiempo de viaje del agua es constante en todo
tramo de canal, es sencillo ver la estrecha relación de la función peso con el tipo de respuesta de la
cuenca. Así, una gota de agua que esté dos tramos de canal aguas arriba del desagüe tardará dos
unidades de tiempo en alcanzar dicho desagüe. Evidentemente, la cantidad de agua que saldrá por el
desagüe de la cuenca en cada intervalo de tiempo equivalente al tiempo constante de viaje del agua
en cada tramo de canal, viene dada por la función ancho. Es decir, la función ancho sería
proporcional al hidrograma unitario.
El modelo de Horton-Strahler ha recibido muchas críticas, tanto para el propio sistema de ordenación
como para las leyes resultantes.
En cuanto al sistema de ordenación, porque ignora los cambios que ocurren en un canal cuando se une a
él un tributario de orden inferior; esto es, según el sistema de Horton-Strahler, el orden sólo cambia
18

19. cuando se unen dos corrientes del mismo orden, mientras que las propiedades físicas e hidráulicas de los
cauces cambian en todas las uniones.
En lo referente a las leyes derivadas del modelo, algunos autores (por ejemplo Smart, 1978) afirman que
no siempre son válidas, y que cuando lo son, es como resultado del propio proceso de ordenación.
Schumm (1956) y otros autores han encontrado que las gráficas de pares de puntos orden-número de
canales y orden-longitud media de los canales presentan desviaciones sistemáticas de una línea recta.
Aún así, modelo de jerarquización de Horton-Strahler es al más utilizado en la actualidad. Es la base de
varios procedimientos en hidrología como los llamados hidrogramas unitarios geomorfológicos, como el de
Rodríguez-Iturbe y Valdés (1979) o el de Rosso(1984), modificado por García Bartual (1990).
2.1.8 EL TIEMPO DE CONCENTRACIÓN DE UNA CUENCA
También denominado tiempo de respuesta o de equilibrio, LLamas (1993) lo define como el tiempo
requerido para que, durante un aguacero uniforme, se alcance el estado estacionario; es decir, el tiempo
necesario para que todo el sistema (toda la cuenca) contribuya eficazmente a la generación de flujo en el
desagüe. Se atribuye muy comúnmente el tiempo de concentración al tiempo que tarda una partícula de
agua caída en el punto de la cuenca más alejado (según el recorrido de drenaje) del desagüe en llegar a
éste. Esto no se corresponde con el fenómeno real, pues puede haber puntos de la cuenca en los que el
agua caída tarde más en llegar al desagüe que el más alejado. Además, debe tenerse claro que el tiempo
de concentración de una cuenca no es constante; depende, como indican Marco y Reyes (1992), de la
intensidad del chubasco, aunque muy ligeramente.
Por tener el concepto de tiempo de concentración una cierta base física, han sido numerosos los autores
que han obtenido formulaciones del mismo, a partir de características morfológicas y geométricas de la
cuenca. A continuación, se muestran algunas de esas fórmulas empíricas:
 Fórmula de Kirpich.
Calcula el tiempo de concentración, Tc, en minutos, según la expresión
S
L
0.01947
=
T
-0.385
0.77
c 32 (2.27)
siendo L la longitud del cauce principal de la cuenca, en metros, y S la diferencia entre las dos
elevaciones extremas de la cuenca, en metros, dividida por L (es decir, la pendiente promedio del
recorrido principal en m/m).
 Fórmula Californiana (del U.S.B.R.).
Es la expresión utilizada para el tiempo de concentración en el cálculo del hidrograma triangular
del U.S. Bureau of Reclamation. Obtiene el tiempo de concentración de la cuenca según la
expresión
)
J
L
(
0.066
=
T 1/2
0.77
c 33 (2.26)
19

20. donde Tc es también en horas, y L y J la longitud y la pendiente promedio del cauce principal de la
cuenca, en Km y en m/m, respectivamente.
 Fórmula de Giandotti.
Proporciona el tiempo de concentración de la cuenca, Tc , en horas.
L
J
25.3
L
1.5
+
A
4
=
Tc 34 (2.28)
siendo L y J los definidos anteriormente y A la superficie de la cuenca en Km2
.
 Fórmula de Ventura-Heras.
0.13
0.04
J
A
=
T
0.5
c 

 35 (2.29)
siendo Tc el tiempo de concentración en horas y A y J los ya definidos anteriormente.
 Fórmula de Passini.
0.13
0.04
J
)
L
(A
=
T 0.5
1/3
c 


36 (2.30)
donde Tc el tiempo de concentración en horas y A, L y J los definidos anteriormente.
 Fórmula de Témez.
Es la recomendada en España, para el método racional modificado, en la Instrucción 5.2 - I.C. de
Drenaje Superficial (M.O.P.U., 1990). Se utiliza en el cálculo del hidrograma triangular de
J.R.Témez. Se deriva de la fórmula del U.S.Army Corps of Engineers.
)
J
L
(
0.3
=
T 1/4
0.76
c 37 (2.25)
donde L es la longitud del cauce principal de la cuenca, en Km, J es la pendiente promedio de
dicho recorrido en m/m, y Tc es el tiempo de concentración de la cuenca, en horas.
 Fórmula California Culvert Practice.
)
H
L
11.9
(
60
=
T
3
c 38 (2.31)
donde Tc es el tiempo de concentración en minutos, L la longitud del curso de agua más largo, en
millas, y H la diferencia de nivel entre la divisoria de aguas y el desagüe de la cuenca, en pies.
2.1.9 THE TOPOGRAPHIC INDEX (TOMADO DE: ELEMENTS OF PHYSICAL HYDROLOGY. HORNBERGER
G.M., RAFFENSPERGER J.P. Y WIBERG P. L., 1998).
The important characteristics of a hillslope that influence the likelihood of areas of saturation developing
are the upslope "contributing area" and the slope of the block. The topographic index, defined as:
20

21. (9.19)
where a is the upslope contributing area per unit contour length (A/c) and tan is the local slope,
quantitatively captures the effect of topography. The upslope contributing area is determined by drawing
streamlines representing flow paths through the catchment, based only on the catchment topography. The
contributing area is related to the size of the streamtube above each point.
Figure 9.8 The water balance for a catchment hillslope segment. Throughfall at rate p falls on the
segment of area A and thickness D. A portion, R, of this recharges the subsurface. Subsurface flow
from the segment occurs at rate qsubsurface. Surface flow, qoverland, occurs from saturated areas
(saturation-excess overland flow). The local slope at the outflow point, , is considered to be equal
to the slope of the water table.
A map of topographic indices for a catchment reveals areas where runoff processes such as saturation-
excess overland flow are likely to occur (Figure 9.9a). High values of the topographic index indicate areas
with large contributing areas and relatively flat slopes, typically at the base of hillslopes and near the
stream. These areas also correspond with expected groundwater discharge areas. Low TI values are
found at the tops of hills, where there is relatively little upslope contributing area and slopes are steep.
These areas correspond generally with groundwater recharge areas.
21

22. Figure 9.9 Topographic indices for a catchment in Shenandoah National Park. The spatial pattern
(a) indicates a likelihood of saturation in the central valley of the catchment. The distribution of
values (b) is used in TOPMODEL calculations.
2.2 HYDROLOGY AND GEOLOGY: WATER AS A GEOMORPHIC AGENT (TOMADO DE
Geomorphology, the study of landforms, is intimately tied to hydrology. While tectonic processes are
largely responsible for elevating the ground surface, the processes that erode the landscape into the
features we see today are related to surface and subsurface flows of water. Surface runoff during
precipitation events is concentrated into channels where it can cause erosion of the channel bed and
banks if the discharge is sufficiently high. Landsliding on steep hillslopes typically occurs in localized areas
where the soils are saturated and the water pressure in the pore spaces is high. Sediment delivered to the
channels by landsliding and other mass wasting processes on hillslopes is carried downstream during
large floods. Through these processes, the landscape is slowly lowered and carved into drainage
networks.
Understanding where, when, and at what rate these erosional processes operate in a drainage basin or
catchment depends on knowledge of hydrological processes. Landslides occur in regions where the local
slope of the ground surface exceeds a critical angle. This critical angle depends on soil characteristics as
22

23. well as the volumetric moisture content. Surface runoff most often occurs when soils become saturated so
that precipitation can no longer infiltrate (saturation-excess overland flow; Section 9.4.2). If the surface
runoff is deep enough and/or the slope steep enough, the flow can dislodge and carry soil particles from
the hillslope to the channel, resulting in erosion of the hillslope.
Dietrich et al. (1992) combined simple expressions describing the thresholds of saturation-excess overland
flow, landsliding, and hillslope erosion with detailed digital elevation data and careful field observations to
predict locations within a catchment where each of these processes dominates. Assuming a constant
transmissivity T of the surface soil layer, the saturated subsurface soil discharge across a contour line of
length c is Qsubsurface [L3
T1
] = TcM where M is the surface slope [see equation (9.6)]. The water-table slope
is assumed to be equal to the surface slope. The total amount of water reaching that length of contour over
a specified period of time is Aqtotal, where qtotal = R (the recharge rate, [L T1
]) and A is the upslope
contributing area. In other words, qtotal is the volume of water per unit surface area (or depth) that is moving
through the hillslope per unit time. The difference between total runoff past a contour interval (qtotal) and
saturated subsurface discharge (qsubsurface) is saturation-excess overland flow. Thus, overland flow occurs
when:
(10.6)
or,
(10.7)
The term A/c is a geomorphic topographic index that can be defined for each point within a catchment if
the topography of a catchment is known. (You will recall from our discussion of TOPMODEL, Section 9.5.1,
that the term a = A/c appeared in the definition of the TOPMODEL topographic index.) Although it would be
possible to estimate A/c from a high-resolution topographic map, most studies of this sort use DEM data
that can be used in conjunction with a computer algorithm to determine the topographic index (A/c) for
each point in the catchment. It is important to note that the results of an analysis such as this are highly
dependent on the quality and resolution of the digital elevation data. Accurate identification of the channel
network, in particular, depends on using high-resolution elevation data.
To define c and A, elevation contours are drawn at a specified contour interval (for example, 10 m) for the
catchment. Beginning at the base of the catchment, lines are drawn perpendicular to each contour they
cross, forming a network of curves similar to the flow nets. The lines perpendicular to the contour lines
represent flow lines. In areas of the catchment with a uniform slope (planar sections) the flow lines will
have a constant spacing. In areas where the hillslope is concave the flow lines tend to converge as one
follows them downslope (Figure 10.5). In contrast, convex areas of locally high relief lead to flow lines that
diverge as they are traced downslope. The surface soil layer between two flow lines on a concave, or
convergent slope, is something like a converging channel (Figure 10.5). As the upstream subsurface flow
gets funneled into a smaller area, its depth increases and, with sufficient supply, can saturate the soil and
run out over the surface. The opposite happens in a divergent section. The increasing distance between
23

24. flow lines allows the subsurface flow to spread out and thin. It is clear that convergent sections will be most
prone to saturation overland flow.
Figure 10.5 Depiction of hillslope styles determined by contours of the land surface.
Erosion by overland flow will only occur in the parts of the catchment where the overland flow is deep
enough (large A/c) or the slope is steep enough (large M) for the flow to dislodge the soil grains. Dietrich et
al. (1992) propose the following expression for the erosion threshold:
(10.8)
where  [L2
T-1
] characterizes the resistance of the soil to erosion.
Cohesionless material on a sloping surface becomes unstable, leading to shallow landsliding, when the
slope of the surface exceeds a critical value dependent on the soil and water properties and the degree of
saturation described by:
(10.9)
where  is the water density, s is the soil density,  is the degree of saturation, and f is the internal angle
of friction. When the soil is saturated [equation (10.7)], this reduces to tan > 0.5tanf for typical values of
soil and water density. When the soil is unsaturated,
 = Aqtotal/(TcM), as suggested by equation (10.6).
24

25. These expressions for thresholds of saturation overland flow [equation (10.7)], erosion [equation(10.8)],
and landsliding [equation (10.9)] all depend on the geomorphic topographic index A/c and the slope M. A
plot of the curves defining each threshold in terms of these parameters shows their relationship to each
other and the topographic parameters. In Figure 10.6, these threshold curves are plotted for a total runoff
qtotal = 50 mm day1
, assuming T = 104
m2
s1
, f = 35°, and  = 8106
m2
s1
, which produces good
agreement between predictions and observations of hillslope hydrologic characteristics in a small (1.2 km2
)
northern California catchment studied by Dietrich et al. (1992).
Figure 10.6 Regions of saturation overland flow, erosion, and landsliding.
A diagram such as Figure 10.6 can be used to determine areas of a catchment that are susceptible to
erosion and landsliding, which may serve a variety of purposes including guiding land-use decisions. The
threshold most susceptible to land-use practices is the erosion threshold. The value of the parameter 
characterizing the resistance of the soil to erosion decreases rapidly with removal of vegetative soil covers
and soil disturbance. As the value decreases, the erosion threshold shifts to the left in Figure 10.6,
resulting in a larger portion of the catchment that is prone to erosion.
2.3 LA FORMA DEL TERRENO Y LA EROSIÓN LAMINAR
Se han desarrollado varios modelos que describen la relación entre la erosión y los principales factores
que la controlan. El modelo más conocido es la ecuación universal de la pérdida de suelo, la cual fue
inicialmente desarrollada para predecir la tasa de erosión en el medio oeste de los Estados Unidos y
25

26. ahora se usa en todo el mundo para varios propósitos. La ecuación se basa en datos de muchos estudios
orientados por U.S. Agricultural Scientists. Esta ecuación tiene la siguiente forma:
P
C
S
L
K
R
E 
(1)
en el cual, R es el factor de erosividad de la lluvia, K es el factor de erodabilidad del suelo, L es un factor
adimensional de la longitud de la pendiente, S es el factor de inclinación de la pendiente, y generalmente
se evalúa en combinación del factor L, C es el factor adimensional para la cubierta del suelo que relaciona
la efectividad de la cubierta vegetal en reducir la erosión, P es un factor adimensional para la práctica de
conservación y E es la pérdida anual de suelo por unidad de área. Este modelo conceptual demuestra
que la tasa de erosión es una función de las magnitudes relativas de la resistencia de la superficie de la
tierra a la erosión y las fuerzas erosivas aplicadas y que la topografía, la vegetación, y la actividad
humana pueden modificar este balance (Laronne and Mosley, 1982).
2.4 EL EQUILIBRIO FLUVIAL
La idea de equilibrio en el desarrollo de los paisajes fluviales fue presentada por primera vez por Gilbert
en 1877 y luego fue modificada por Mackin (1948), Leopold y Maddock (1953), Wolman (1955).
El cauce del río se va modelando de acuerdo a su capacidad de transporte y al régimen de caudales y de
sedimentos que se producen en la cuenca. Se puede pensar así que en el mediano plazo se establece un
equilibrio entre la cuenca, el río y su cauce. En los sistemas fluviales, no existe equilibrio el sentido
estricto de la palabra, pero los ríos tienden a desarrollar un comportamiento promedio en el ajuste de la
forma de la sección transversal, en el patrón de alineamiento y en el perfil longitudinal del canal. Se
considera que en la escala de tiempo de interés para la hidrología y la geomorfología el sistema fluvial
está en un cuasi equilibrio dinámico
2.4.1 GEÓMETRÍA HIDRÁULICA.
Leopold y Maddock (1953) sentaron las bases del estudio de las propiedades hidráulicas de los cauces
naturales; propusieron las ecuaciones básicas, que han sido objeto de multitud de estudios posteriores.
Dichas ecuaciones describen la morfología de los cauces mediante relaciones básicas determinadas
empíricamente, pero que se basan en la ecuación de continuidad supuesta para canal rectangular:
V
D
W
=
Q (2.41)
donde Q es el caudal desaguado, W es la anchura del flujo en el canal, D es el calado del flujo de agua y V es
la velocidad de flujo, que vienen dadas a su vez por las expresiones:
Q
k
=
V
Q
c
=
D
Q
a
=
W
m
f
b
(2.42)
donde, considerando la ecuación de continuidad, se cumple que:
26

27. 1
=
k
c
a
1
=
f
+
b
+
m
(2.43)
Además:
Q
t
=
S
z
Q
r
=
n
y
(2.44)
siendo S la pendiente y n la rugosidad.
Así, establecieron unas leyes de variación de la velocidad, el ancho y el calado del flujo, la pendiente y la
rugosidad con respecto al caudal desaguado. Realizaron dos estudios distintos:
i ) Variación de las propiedades hidráulicas en diferentes secciones aguas abajo de la cuenca para
descargas correspondientes a un mismo período de retorno (análisisdownstream).
ii ) Variación de las propiedades hidráulicas en cada sección para diferentes caudales desaguados
correspondientes a distintos períodos de retorno (análisisat-a-station).
En el análisis at-a-station los exponentes son muy variables, dependiendo de las condiciones locales;
M.Morisawa (1985) apunta la dependencia de los exponentes de factores como la forma de la sección
transversal del canal, si ésta está en un tramo recto, curvo o un meandro, los materiales del lecho y la ribera,
etc. En los canales de forma rectangular hay cambios pequeños en el ancho al incrementarse el caudal
desaguado, mientras que la variación del ancho en canales de sección asimétrica es mucho más sensible al
incremento de caudal, como se puede apreciar en la figura 2.8.
Las secciones en meandros o en tramos curvos implican la existencia de rugosidad, turbulencia y una
mayor resistencia al flujo, por lo que tendrán mayores valores del exponente b y menores valores de m
que las secciones en tramos rectos. La existencia de materiales cohesivos en la ribera de la sección
tiende a restringir los cambios en el ancho; si están en el lecho del río lo que tiende a reducirse es la
profundidad (aunque es importante apuntar que los cambios en el calado se refieren al nivel de agua, y no
necesariamente reflejan cambios en el lecho del río). Por tanto, si los materiales de los márgenes son
cohesivos, el exponente b de la ecuación 2.43 será menor; y, por el contrario, aumentará si los materiales
son más erosionables. Con respecto a la velocidad, si los materiales tanto de las márgenes como del
lecho son cohesivos, se incrementa rápidamente.
27

28. Ilustración 2.8. Variación del ancho del flujo en una sección de canal con el caudal desaguado.
(fuente: Morisawa, M., Geomorphology texts (7): Rivers, figura 6.3).
En cuanto a los cambios en la dirección de la corriente - aguas abajo - (downstream), y debido a las
distintas condiciones locales, se puede esperar que unas veces ancho, calado (profundidad) y velocidad
decrezcan aguas abajo y otras crezcan. Estadísticamente, sin embargo, la variación media aguas abajo
viene expresada por los exponentes b, f y m, pendientes de las líneas de regresión a las que se ajustan,
en escala logarítmica, los caudales medios anuales en cada sección y los valores de ancho, calado y
velocidad (Leopold y Maddock, 1953). En general, el ancho crece más rápido que el calado o la velocidad
aguas abajo. El exponente de la velocidad, m, es normalmente el más bajo; de hecho, a menudo se
aproxima a 0. A pesar de la aseveración de Leopold de que la velocidad del flujo crece aguas abajo,
Carlston (1969), tras un estudio en 39 ríos, observó que la mitad mostraban un decrecimiento en la
velocidad aguas abajo o un mantenimiento constante de la misma. De hecho, la mayor parte de los
autores adoptan la hipótesis de velocidad constante en toda la cuenca en cada instante. Sin embargo, en
el presente trabajo, en el capítulo 4, se realiza un interesante estudio de la variabilidad espacial de las
velocidades del flujo de agua en la cuenca que se aplica al módulo de deducción del hidrograma unitario
mediante isocronas con unos resultados razonables.
Son muchas las tablas de valores de los exponentes de variación de las propiedades hidráulicas de los
cauces naturales, tanto en análisis at-a-station como downstream, fruto de numerosos estudios en las
más diversas regiones. Leopold y Maddock (1953) propusieron unos valores medios para regiones
semiáridas en los Estados Unidos:
aguas abajo 0.4
=
f
0.5
=
b
0.1
=
m
en cada sección 0.4
=
f
0.26
=
b
0.34
=
m
Así mismo, Smith (1975) propuso unos valores teóricos para el análisis aguas abajo:
28

29. 0.3
=
f
0.6
=
b
0.1
=
m
2.4.2 EL CAUDAL DOMINANTE
Las medidas de la carga de sedimentos en suspensión y la carga disuelta permiten evaluar el trabajo
realizado por la corriente en erosionar el lecho y en transportar el material. El análisis realizado por
Wolman y Miller (1960) sugiere que en muchas cuencas de drenaje una gran parte del trabajo
geomorfológico es realizado por eventos de magnitud moderada y relativamente frecuentes.
Puesto que el movimiento del sedimento depende del esfuerzo de fricción, la tasa de transporte (por aire o
por agua) se puede describir según la ecuación:
 n
c
s k
q 


(2.44)
donde qs es la tasa de transporte, k una constante relacionada con las características del material
transportado,  es el esfuerzo cortante debido al flujo de agua, c es el esfuerzo cortante crítico requerido
para mover el material y n es un exponente. Si la frecuencia de distribución de tales esfuerzos,
determinada por los eventos climáticos y meteorológicos sigue una distribución log-normal, entonces el
producto de la frecuencia y el peso del material movido siempre alcanzará un máximo de tal forma que la
máxima cantidad de material es transportada por eventos frecuentes mas bien que por eventos extremos.
El intervalo de recurrencia de la frecuencia donde ocurre este máximo está controlado por las tasas de
cambio de la tasa de movimiento con el esfuerzo [qs = f ()] y del esfuerzo con el tiempo [ = f (t)]. Este
máximo es el intervalo de frecuencia durante el cual se realiza la máxima cantidad de trabajo erosionante
sobre el paisaje.
2.5 LOS MAPAS DE ISOCRONAS
Las isocronas son líneas imaginarias que cubre los sitios de la cuenca en los que el agua tendría un
mismo tiempo de viaje hasta la salida.
2.5.1 LA VARIABILIDAD ESPACIAL DE LA VELOCIDAD DEL FLUJO
Muchos autores argumentan que, dada la escasa variabilidad espacial de la velocidad de flujo sobre
superficie de la cuenca, se puede considerar la velocidad uniforme en toda la cuenca hidrográfica en cada
instante durante una crecida correspondiente a un chubasco.
Como pudo verse en el apartado 2.1.3, Leopold y Maddock (1953) y Smith (1975) proponen un valor de
0.1 para el exponente que relaciona la velocidad con el caudal desaguado en las distintas secciones del
cauce hacia aguas abajo para una descarga correspondiente a una frecuencia determinada:
Q
K
=
v
0.1
Bras (1990) resalta este resultado, y afirma que refleja el hecho de que, para un instante dado, la
velocidad de flujo en la cuenca es aproximadamente constante; así mismo, cita algunas investigaciones,
como la de Pilgrim (1977), que confirman la veracidad de este argumento.
29

30. Por otro lado, Rodríguez-Iturbe y Valdés (1979) asumen también esta hipótesis en la conceptuación del
Hidrograma Unitario Instantáneo Geomorfológico hidrograma triangular caracterizado por dos parámetros,
el caudal y el tiempo al pico.
Estos parámetros se expresan en función de características geomorfológicas hortonianas de la cuenca y
de la velocidad de la misma, la llamada velocidad al pico, característica de la cuenca y estimada para
cada evento. Las expresiones del caudal y el tiempo al pico trabajan, pues, bajo el supuesto de que la
velocidad de flujo en un instante determinado, para una lluvia uniforme, puede ser razonablemente
tomada constante en toda la cuenca.
Utilizan la misma suposición Rodríguez-Iturbe y González-Sanabria (1982) para desarrollar el Hidrograma
Unitario Instantáneo Geomorfoclimático, en el que la velocidad es expresada analíticamente como una
función de la intensidad del chubasco y su duración, y de las características geomorfológicas de la
cuenca.
Garrote y Bras (1995) introducen la diferenciación entre el flujo en ladera y el flujo en el cauce en el
modelo DBSIM (acrónimo de Distributed Basin Simulator). Es un modelo distribuido de simulación de lluvia
- escorrentía.
En su modelo, la función de respuesta distribuida instantánea es asumida como una función delta de
Dirac, con un retraso igual al tiempo de viaje desde la localización geográfica de cada elemento espacial
unitario al desagüe de la cuenca. El recorrido de drenaje tiene dos fracciones:
- Flujo en ladera o flujo difuso en pequeños canales.
- Flujo en canales concentrados.
Así, para obtener el tiempo de viaje, deben obtenerse primeramente las velocidades. Según estos
autores, las velocidades en ladera y en canal varían espacialmente y deben estar fuertemente
correlacionadas con la pendiente del terreno. Esto implicaría la necesidad de obtener un campo de
velocidades en la cuenca. Sin embargo, Garrote y Brass argumentan la ausencia de una base teórica
consistente para estimar la distribución espacial de la velocidad, con lo que trabajan con valores medios
de la velocidad de flujo en cada instante. Sí consideran, sin embargo, la velocidad variable en el tiempo,
según progresa la tormenta, de acuerdo con el cambio en las condiciones de flujo en los canales de la
cuenca.
En el modelo DBSIM, se asume que las velocidades en canal y en ladera son uniformes para toda la
cuenca en cada instante, y que el ratio que relaciona ambas velocidades es constante:
K
cauce
en
vel.
=
ladera
en
vel.
(2.44)
Valores de K que sitúan entre 10 y 15, que han dado buenos resultados en casi todos los casos que
comprobaron.
30

31. Se presentan unas expresiones de la variabilidad espacial de la velocidad del flujo de agua en la cuenca,
obtenidas mediante sencillos desarrollos matemáticos a partir de relaciones fundamentales de geometría
hidráulica.
La variabilidad espacial de la velocidad de flujo, se puede expresar en función de la pendiente del terreno
y del caudal drenante en cada punto de la cuenca. Para esto es necesario tener el campo de pendientes
topográficas de la cuenca, el campo de áreas drenantes acumuladas en cada punto de la cuenca y el
recorrido principal de la misma.
Con la ayuda de un SIG se pueden obtener estos inputs, como capas de mapas raster en los que cada
localización geográfica viene determinada por un área elemental de información o celda que tiene
asociada unas coordenadas que la georreferencian y unos valores que representan la pendiente
topográfica en ese punto, el número de celdas drenantes acumuladas en dicho punto y la pertenencia o
no del mismo al recorrido principal de la cuenca.
Hay que destacar que los diversos campos de velocidad de flujo que se ofrecen a continuación, se
obtienen a partir del tiempo de concentración de la cuenca, parámetro que se puede calibrar, o calcular
mediante una de las muchas fórmulas empíricas que se encuentran en la bibliografía
Es decir, se fija el tiempo de concentración, que consideramos característico de la cuenca, y se obtiene el
campo de velocidades, según las diversas expresiones, de manera que el tiempo que tarde la celda
pertenciente al recorrido principal más alejada del desagüe de la cuenca en llegar a éste sea igual al
tiempo de concentración impuesto, según la expresión:
v
d
=
T
i
i
ppal.
recorrido
c  39
(2.44)
donde Tc es el tiempo de concentración, di la distancia intercelda de la celda i (que representa la longitud
recorrida por el flujo de agua en dicha celda y que varía según la dirección de drenaje o de máxima
pendiente de la misma; ver apartado 5.3.4) y Si la pendiente del terreno en la celda i.
2.5.2 VELOCIDAD CONSTANTE EN TODA LA CUENCA
La velocidad de flujo, constante en toda la cuenca, se puede obtener de dos formas:
i ) Mediante calibración o por el conocimiento de datos específicos acerca de la velocidad característica de
la cuenca. En este caso, la velocidad no se obtiene a partir del tiempo de concentración de la cuenca.
ii ) Fijando el tiempo de concentración de la cuenca: se calcula el tiempo de concentración de la cuenca
como ya se ha indicado en el apartado anterior. Este es el parámetro característico de la cuenca a partir
del cual se va a obtener la velocidad media característica de la cuenca.
Una vez obtenido el recorrido principal y el campo de distancias interceldas de la cuenca, la velocidad v
constante en toda la cuenca se calcula aplicando la ecuación:
31

32. v
d
=
T
i
ppal.
recorrido
c

(4.2)
donde Tc es el tiempo de concentración de la cuenca y di es la distancia intercelda de la celda i.
Despejando, la velocidad característica de la cuenca, resulta:
T
d
=
v
c
i
r.p.

40 (4.3)
2.5.3 VELOCIDAD EN FUNCIÓN DE LA PENDIENTE DEL TERRENO.
Es generalmente aceptada en la bibliografía la relación entre la velocidad del flujo de agua y la pendiente
del terreno, según la expresión:
S
K
=
v (4.4)
En primer lugar, se ha de obtener el tiempo de concentración de la cuenca mediante una de las muchas
fórmulas empíricas que existen o mediante calibración u otro procedimiento.
Así, una vez se tiene el recorrido principal y el campo de distancias interceldas de la cuenca, se obtiene
la constante K característica de la cuenca a partir de la ecuación 4.2 como sigue:
;
S
d
K
1
=
v
d
=
T
i
i
r.p.
i
i
ppal.
recorrido
c 
 41
S
d
T
1
=
K
i
i
r.p.
c
 (4.5)
siendo Tc el tiempo de concentración, di la distancia intercelda de la celda i y Si la pendiente del terreno
en la celda i.
Obteniéndose finalmente el campo de velocidades en la cuenca, según la ecuación 4.4, como:
S
K
=
v i
i 42 (4.6)
siendo vi la velocidad en cada punto (celda) de la cuenca.
2.5.4 LA VELOCIDAD EN FUNCIÓN DE LA PENDIENTE DEL TERRENO Y DEL ÁREA DRENANTE ACUMULADA EN
CADA PUNTO.
Para la obtención de las dos expresiones de la velocidad resultado final de este apartado, se parte de
relaciones básicas de geometría hidráulica fluvial . Relaciones que, en la mayoría de los casos, se refieren
al flujo en canal de la cuenca, y que aquí se van a aplicar indistintamente a todos los puntos de la cuenca,
ya pertenezcan a algún canal de la red de drenaje de la cuenca o no.
2.5.4.1 Ecuación obtenida a partir de las relaciones de la geomorfología fluvial
Según Leopold y Maddock (1953):
32

33. Q
t
=
S
Q
K
=
v
z
m
43
(4.7)
siendo v y S la velocidad y la pendiente del terreno en cada sección, respectivamente, y Q el caudal
desaguado en la sección. K, t, m y z son constantes a determinar.
Para sucesos correspondientes a un mismo período de retorno, el valor propuesto por Leopold y Maddock
(1953) y también por Smith (1975) para el exponente m, que refleja la variación de la velocidad de flujo en
diferentes secciones aguas abajo de la cuenca, es de 0.1.
Según Hack y Brush (1961), en función de la litología :
para areniscas
L
0.046
=
S -0.67
para pizarras
L
0.034
=
S -0.81
para calizas
L
0.019
=
S -0.71
donde L es la longitud desde la cabecera del canal hasta el punto considerado. Así, multiplicando y
dividiendo por S1/2
la ecuación de Leopold y Maddock que relaciona la velocidad y el caudal desaguado
(ecuación 4.7), y sustituyendo en el denominador S por la relación de Hack y Brush para terreno calizo
(ecuación 4.8), queda:
)
L
(0.019
S
Q
K
=
v 1/2
0.71
1/2
0.1
(4.9)
Por otro lado, según Leopold (1953):
A
K
=
Q n
1
d 44 (4.10)
donde Qd es el caudal a sección llena o caudal dominante en una determinada sección, A es el área
drenante acumulada en esa sección y K1 y n son constantes. Leopold propone para el exponente n un
valor teórico que se aproxime a 0.75.
El caudal a sección llena representa el caudal medio de los máximos: sirve de referencia cuando se
estudia el fenómeno de las crecidas. Por ello, es este el caudal que se va a suponer desagua cada
sección en este modelo.
Además, la relación 4.10 permite eliminar de la expresión de la velocidad el caudal desaguado en cada
punto, y sustituirlo por el área drenante acumulada en cada punto de la cuenca, un dato mucho más
sencillo de obtener, sobre todo con la ayuda de un SIG.
33

34. También Leopold (1953) estableció una relación entre la longitud de canal desde la cabecera hasta una
sección del mismo aguas abajo y el área drenante acumulada en dicho punto, según la expresión:
A
K
=
L 0.64
2 45 (4.11)
Así, sustituyendo las ecuaciones 4.10 y 4.11 en la expresión de la velocidad y agrupando todos los
términos constantes en una única constante, resulta finalmente:
S
A
=
v 1/2
0.315
 (4.12)
Ecuación que expresa la velocidad del flujo de agua en función de la pendiente del terreno y del área
drenante acumulada en cada punto de la cuenca.
La obtención de la constante  se lleva a cabo con un planteamiento análogo al del apartado anterior, según
la ecuación 4.1:







S
A
d
T
1
= 1/2
i
0.315
i
i
ppal.
recorrido
c
 (4.13)
donde Tc es el tiempo de concentración de la cuenca, y di, Ai y Si la distancia intercelda, el área drenante
acumulada y la pendiente del terreno, respectivamente, de una celda i perteneciente al recorrido principal
de la cuenca. Una vez obtenida la constante , la velocidad en cada punto (celda) de la cuenca, vi se
obtiene según la expresión 4.12 como:
S
A
=
v
1/2
i
0.315
i
i  46 (4.13)
 Ecuación obtenida aplicando las relaciones de la geomorfología fluvial a la ecuación de Manning
Otra posibilidad es aplicar las relaciones geomorfológicas de Leopold y Maddock a la ecuación de Manning:
S
R
n
1
=
v 1/2
2/3
H (4.14)
donde n es el número de Manning, RH el radio hidráulico y S la pendiente del terreno.
Se asumen las siguientes simplificaciones:
- El ancho de la sección es mucho mayor que el calado (RH  y).
- La rugosidad es constante en toda la cuenca (n = cte.).
Según Leopold y Maddock (1953), la relación entre el calado de una sección y el caudal que desagua es la
siguiente:
Q
K
=
y
f
(4.15)
proponiendo Smith (1975) un valor teórico para la constante f de 0.3. Así, introduciendo las ecuaciones 4.10 y
4.15 en la ecuación de Manning, queda finalmente:
S
A
=
v 1/2
0.15
 (4.16)
34

35. Ecuación que expresa también la variabilidad de la velocidad del flujo del agua en función de la pendiente del
terreno (S) y del área drenante acumulada en cada punto de la cuenca (A).
La constante  se obtiene, con el mismo criterio que en los casos anteriores, según la ecuación 4.1:







S
A
d
T
1
= 1/2
i
0.15
i
i
ppal.
recorrido
c
 (4.17)
siendo Tc, di, Ai y Si los indicados anteriormente. El campo de velocidad de flujo en la cuenca, una vez
obtenida la constante , queda, según 4.16:
S
A
=
v
1/2
i
0.15
i
i  (4.18)
Esta expresión de la velocidad hace una "distinción" entre celdas ladera y cauce mediante el valor del
área drenante acumulada que cada punto (celda).
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