1. Álgebra Moderna – Funciones
Función (Definición 1)
Sean los conjuntos A y B, se llama función a toda relación de A X B donde
a cada elemento del conjunto A se lo relaciona con uno y sólo un elemento
del conjunto B.-
Toda función se la denota con las siguientes letras: f, g, h, F, G, H, etc.
Teniendo en cuenta la definición, podemos asegurar que si f es una
función, entonces f AXB, y se denota:
f: AB se lee “f es una función o aplicación del conjunto A en el B”
A f B
a f(a) =f(b)
b
c f(c)
x f(x)
A: conjunto de partida D(f)=A “dominio de la función f”
B: conjunto de llegada o codominio.- I(f)B “Imagen de la función f”
2. Álgebra Moderna – Funciones
Función (Definición 2):
La relación fAXB es una función si cumple con las siguientes condiciones
de existencia y unicidad:
Existencia
Todo elemento de A se relaciona con algún elemento de B
xA,yB/(x,y)f
Unicidad
Los elementos de A tienen una sola imagen en B
(x,y)f (x,z)f y = z
Función (Definición 3):
Se define función como la relación entre las variables “x” e “y”, donde a cada uno
de los valores que pueda tomar “x”, lo relaciona con uno y solo un valor de “y”
y=f(x)
3. Álgebra Moderna – Funciones
CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES
FUNCIÓN INYECTIVA
f:AB es inyectiva si y sólo si elementos distintos del dominio tienen
imágenes distintas. O sea:
f : A B es inyectiva x1 , x2 : x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
f : A B es inyectiva x1 , x2 : f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
4. Álgebra Moderna – Funciones
FUNCIÓN SOBREYECTIVA O SURYECTIVA
f:AB es sobreyectiva si y sólo si todos los elementos del Codominio
tienen preimagen. O sea:
f : A B es sobreyecti y B, x A / f ( x) y
va
5. Álgebra Moderna – Funciones
FUNCIÓN BIYECTIVA
Una función es biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva.
CONCLUSIÓN:
Haciendo un análisis sobre la clasificación de las funciones, podemos
concluir que:
• Una función puede ser inyectiva, solamente
• Una función puede ser sobreyectiva, solamente
• Una función puede ser inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)
• Una función puede no ser inyectiva ni sobreyectiva
6. Álgebra Moderna – Funciones
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Sean dos funciones, f:AB g:BC, se llama composición de las
funciones f y g a la función gof:AC/gof(x)=g[f(x)], siempre que exista un
elemento yB tal que y=f(x), y z=g(y), con zC y xA,
A B C
f g
x y=f(x) z=g[f(x)]
gof
7. Álgebra Moderna – Funciones
POR EJEMPLO
Sean las funciones
1
f : R R / f ( x) x 2 g : (2, ) R / g ( x) log( x 2)
3
Determinar gof:(2,)R
gof ( x) g f x
gof ( x) log f ( x) 2
1
gof ( x) log x 2 2
3
1
gof ( x) log x 4
3
8. Álgebra Moderna – Funciones
PROPIEDADES DE LA COMPOSICIÓN
1. ASOCIATIVIDAD DE LAS COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
La composición de funciones es asociativa.
H) Sean las funciones
f :A B
g:BC
h:C D
T) ho( gof ) (hog)of
D) Como la composición de funciones está definida sólo para tres conjuntos, o dos
funciones, debemos trabajar éstas para poder aplicar dicha definición para las tres
funciones. Para ello desarrollamos ambos miembros de la igualdad de la Tesis:
gof : A C
ho( gof )(x) hog f x hg f x (A)
h:C D
f : A B
(hog )of ( x) (hog ) f ( x) hg f x (B)
hog : B D
ho(gof)=(hog)of
9. Álgebra Moderna – Funciones
2. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES INYECTIVAS
La composición de funciones inyectivas es inyectiva
H) Sea f:AB g:BC inyectivas
T) gof:AC es inyectiva
D) Teniendo en cuenta que y=f(x) y z=g(y) son inyectivas, entonces:
x1 , x2 : f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 y1 , y 2 : g ( y1 ) g ( y 2 ) y1 y 2
Ahora
gof ( x1 ) gof ( x2 )
g f ( x1 ) g f ( x2 )
f ( x1 ) f ( x2 )
x1 x 2
gof:AC es inyectiva (por definición de inyectividad).-
10. Álgebra Moderna – Funciones
3. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES SOBREYECTIVAS
La composición de funciones sobreyectivas, es sobreyectiva
H) Sea f:AB g:BC sobreyectivas
T) gof:AC es sobreyectiva
D) Como y=f(x) y z=g(y) son sobreyectivas, entonces:
y B, x A / f ( x) y z C, y B / g ( y) z
Ahora, teniendo en cuenta la composición de funciones y por hipótesis y
por las aseveraciones hechas anteriormente, tenemos:
z C , x A / g f ( x) g ( y) z
Pero,
g f ( x) gof ( x)
por definición de composición de funciones, lo que se tiene que
gof ( x) z
Luego, gof:AC es sobreyectiva
11. Álgebra Moderna – Funciones
4. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES BIYECTIVAS
La composición de funciones biyectivas, es biyectiva
H) Sea f:AB g:BC biyectivas
T) gof:AC es biyectiva
D) Por definición, una función es biyectiva solamente si es inyectiva y
sobreyectiva, y teniendo en cuenta las demostraciones de composición de
funciones inyectivas y composición de funciones sobreyectivas, se
demuestra esta propiedad.-
12. Álgebra Moderna – Funciones
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES INVERSAS
Una función admite inversa si y sólo si es biyectiva
f:AB admite inversa es biyectiva
Para demostrar este teorema, debemos desdoblar la doble implicación, o sea
H) f:AB admite inversa
T) f es biyectiva
D) Como la función admite inversa (hipótesis), entonces:
gof(x)=iA(x)=x fog(y)=iB(y)=y
Hacemos:
gof ( x1 ) gof ( x2 )
i A ( x1 ) i A ( x 2 )
x1 x 2
Lo que significa que f es INYECTIVA
13. Álgebra Moderna – Funciones
Ahora:
y i B ( y) fog ( y) B, x i A ( x) gof ( x) A / f ( x) f gof ( x)
f ( x) fo gof ( x)
Pero por la propiedad asociativa de la composición de funciones, queda:
f ( x) ( fog )of ( x)
Y aplicando la definición de composición, se tiene:
f ( x) ( fog ) f ( x)
f ( x) ( fog)( y)
f ( x) y
Esto demuestra que la función f es SOBREYECTIVA
Luego, la función f es BIYECTIVA (por definición de función biyectiva)
14. Álgebra Moderna – Funciones
Demostremos ahora la segunda parte:
H) f:AB es biyectiva
T) f admite inversa
D) Para poder demostrar esta parte del teorema, debemos encontrar una
función g:BA, siempre que exista f:AB de tal forma que x=g(y), si
y=f(x).-
Ahora, para que g sea función debe cumplir con las condiciones de
existencia y unicidad.-
Bajo las condiciones descriptas anteriormente, como f es biyectiva, y en
particular sobreyectiva, entonces todos los elementos de B tienen
antecedente en A por f, lo que significa que todos los elementos de B
tienen imagen en A por g (existencia).
Por otro lado, como f es inyectiva, entonces distintos elementos de A tienen
imagen distinta en B por f, lo que significa que por g, los elementos de B
tienen una y sólo una imagen (unicidad).
Luego g:AB es función
15. Álgebra Moderna – Funciones
Ahora como f y g son funciones, podemos hacer la composición de ellas y
obtener una conclusión:
gof ( x) g f ( x)
Pero por lo dicho anteriormente y=f(x), entonces:
gof ( x) g ( y)
Por la misma razón que la anterior x=g(y), entonces
gof ( x) x i A ( x)
Por otro lado se tiene: fog ( y) f g ( y)
Pero por lo dicho anteriormente x=g(y), entonces:
fog( y) f ( x)
Por la misma razón que la anterior y=f(x), entonces
fog ( y) y i B ( y)
Luego la función f admite inversa, y es la función g
Habiendo demostrado estas dos partes, quedó demostrado el teorema.-
16. REALIZACION
Prof. LUIS ERNESTO VALDEZ
Departamento de Matemática
Instituto de Estudios Superiores de Andalgalá
2008 - 2012