.

1. Το φαινόμενο της ασκησιολογίας και η
επίδρασή του στη μαθηματική
εκπαίδευση
Γιάννης Θωμαΐδης
Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών
Αφιερώνεται στη μνήμη των
Θεόδωρου Καζαντζή (1937 – 1999)
& Πέτρου Οικονόμου (1952 – 2011)

2. Διαχρονικά “πάθη” της Ελληνικής μαθηματικής
εκπαίδευσης…
Αποφοιτών [ο μαθητής] του σχολείου μένει με την εντύπωσιν ότι
τα μαθηματικά συνίστανται από την Γεωμετρίαν των αρχαίων
Ελλήνων και αυτήν ως την ηρμήνευσαν οι μαθηματικοί της εποχής
του Legendre, δηλαδή χωρίς την ακριβολογίαν του Ευκλείδου και
του Αρχιμήδους, από την Αριθμητικήν, την Άλγεβραν και την
Τριγωνομετρίαν και μία κατά κόρον “ασκησεολογίαν”, την οποίαν
επέβαλον εις την Γαλλίαν αι αυστηραί εξετάσεις του baccalaureat,
εις δε την χώραν μας αι αυστηραί εισιτήριοι εξετάσεις των
ανωτάτων εκπαιδευτικών ιδρυμάτων και κυρίως του
Πολυτεχνείου.

3. Δ. Κάππος (1905–1985): Η Μαθηματική Λογική και η Θεωρία Συνόλων. Ο ρόλος
των εις την διδασκαλίαν των σχολείων Μέσης Παιδείας. Διαλέξεις Ε.Μ.Ε. (1966)
Αν βραδύτερον ούτος εισέλθη εις το Πανεπιστήμιον ή άλλην
ανωτάτην σχολήν και πρόκειται να σπουδάση επιστήμην, σχέσιν
έχουσαν με τα μαθηματικά, διαπιστώνει ότι η μακροχρόνιος
απασχόλησίς του με την ασκησεολογίαν εις τίποτε δεν τον
ωφέλησεν.
Τουναντίον διαπιστώνει ότι στερείται βασικών γνώσεων, αι
οποίαι θα τον εβοήθουν να κατανοήση τον τρόπον της
μαθηματικής σκέψεως των συγχρόνων μαθηματικών.

4. Μια νεώτερη εξιστόρηση των “παθών” …
Όλα αυτά απαιτούν βέβαια ενθουσιασμό και ιδιαίτερη προσπάθεια
από τον δάσκαλο και, κυρίως, παίρνουν χρόνο, και αναγκαστικά
περιορίζουν την ύλη που μπορεί να διδαχθεί. Δεν πειράζει, ας
περιοριστεί η ύλη. Είναι ήδη πολλή. Επίσης, είναι δύσκολο να
αξιολογηθούν, με αντικειμενικό τρόπο, με τις εξετάσεις για την
εισαγωγή στην τριτοβάθμια εκπαίδευση, όπως γίνονται σήμερα.
Τα παιδιά, σήμερα, ασκούνται να κατατάσσουν τα μαθηματικά
ερωτήματα (και γρήγορα μάλιστα) σε κατηγορίες διδαγμένων
ασκήσεων, που έχουν ενδεχομένως και αποστηθίσει, με στόχο να
τις ανασύρουν εύκολα από τη μνήμη τους για να αποδώσουν τα
μέγιστα την ημέρα της κρίσεως.

5. Αυτή είναι η περίφημη «ασκησιολογία» ή «μεθοδολογία λύσης των
ασκήσεων», το κυριότερο πρόβλημα της εκπαίδευσης στα
μαθηματικά στο Λύκειο σήμερα.
Και υπαγορεύεται, βέβαια, από τη σημερινή μορφή των εξετάσεων
και τις ανάγκες ενός ομοιόμορφου τρόπου βαθμολογίας. Δεν βλέπω
άλλη λύση για την πάταξη αυτής της συνταγολογίας από το
αδυνάτισμα του ρόλου των εισαγωγικών εξετάσεων και την
αντικατάσταση ορισμένων ασκήσεων από πιο σύνθετα
προβλήματα.
Δεν είμαι όμως σίγουρος αν το εκπαιδευτικό σύστημα – και η
ελληνική κοινωνία – είμαστε ακόμα ώριμοι για μια τέτοια
μετεξέλιξη.
Εν τω μεταξύ θα πρέπει εμείς στα πανεπιστήμια να
αντιμετωπίσουμε πρακτικά το πρόβλημα των αποτελεσμάτων της
«ασκησιολογίας» στο πρώτο έτος και να δώσουμε μεγάλη προσοχή
στο πώς θα εισαγάγουμε τους νέους φοιτητές στα μαθηματικά.

6. Β. Δουγαλής: Μερικές σκέψεις για τη διδασκαλία των Μαθηματικών. Ομιλία
κατά την τελετή απονομής του βραβείου εξαίρετης πανεπιστημιακής
διδασκαλίας Ξανθόπουλου – Πνευματικού (2000)
Πώς θα καλύψουμε τα κενά των γνώσεών τους, και το κυριότερο,
πώς θα τους βοηθήσουμε να γεφυρώσουν την οδυνηρή
ασυνέχεια από τις ασκήσεις της προετοιμασίας για τις εξετάσεις
στην κατανόηση των εννοιών των μαθηματικών, την ιστορία τους
και τη χρήση τους με ακρίβεια, αυστηρότητα, αλλά και
αποτελεσματικότητα.
Αυτό είναι δική μας δουλειά και δεν ωφελεί να διαμαρτυρόμαστε
για το επίπεδο των πρωτοετών. Θα πρέπει να προσαρμοστούμε
και ν’ αντιμετωπίσουμε αυτό ακριβώς το επίπεδο που υπάρχει
σήμερα, ελαττώνοντας π.χ. την ύλη που διδάσκουμε, για να
βρούμε καιρό για τα βασικά.

7. Ευρήματα μιας έρευνας για τις επιδόσεις των πρωτοετών
φοιτητών στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Νομίζω ότι αυτή η τόσο μακρά περίοδος προσαρμογής των
φοιτητών, η οποία καλύπτει το 30 ή το 40 επί τοις εκατό της
συνολικής διάρκειας των σπουδών τους, θα πρέπει να
διερευνηθεί συστηματικά, είναι δε βέβαιο ότι επηρεάζεται από
πολλούς παράγοντες.
Όμως πιστεύω ότι κατά μεγάλο ποσοστό οφείλεται στο σύστημα
επιλογής των υποψηφίων και στη γενικότερη προετοιμασία για
την εισαγωγή τους στα πανεπιστήμια.

8. Το ισχύον σύστημα επιλογής, στην προσπάθειά του να επιτύχει
κατά τρόπο αδιάβλητο ένα ποσοτικό διαχωρισμό των
υποψηφίων, οδηγείται στην ισοπέδωση των παιδαγωγικών
αρχών, με αποτέλεσμα τη στρέβλωση της σκέψης των φοιτητών
και την υποκατάσταση της προσπάθειας για ουσιαστική
κατάκτηση της γνώσης με προσπάθεια επιτυχίας σε κάποιας
μορφής τυπικές εξετάσεις.
Είναι φανερό ότι η αντίληψη αυτή ακολουθεί τους φοιτητές
τουλάχιστον στην πρώτη περίοδο της πανεπιστημιακής τους ζωής.
Ν. Σπυρέλλης: Επιδράσεις του συστήματος των Γενικών Εξετάσεων στην
εκπαιδευτική διαδικασία της Τριτοβάθμιας Εκπαίδευσης. Μηχανισμοί και
όροι επιλογής για την τριτοβάθμια εκπαίδευση, 1995 σσ.71 – 79.
Ο καθηγητής του Ε.Μ.Π. Νίκος Σπυρέλλης ήταν πρόεδρος
της Κ.Ε.Γ.Ε. στη διάρκεια της δεκαετίας του 1990

9. Σύνοψη του προβλήματος από μια σπουδαία
προσωπικότητα του φροντιστηριακού χώρου
Η σειρά επιτυχίας κατά τας εισαγωγικάς εξετάσεις όπως αύται
διεξάγονται σήμερον ουδεμίαν αξίαν έχει δι’ ημάς. Είναι τις πάσι
γνωστόν ότι πλείστοι των εισαχθέντων ως πρώτων απέτυχον
παταγωδώς εις τας τμηματικάς εξετάσεις.
Αριστείδης Πάλλας: Ετήσιον Δελτίον Θεμάτων, σ.94
1951

10. Μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες προσεγγίσεις στο θέμα:
Μαθηματικά – Εξετάσεις – Ασκησιολογία
● Ν. Μάργαρης: Το σύστημα πάσχει από σαβουρομανία.
Ελευθεροτυπία, Δευτέρα 8 Ιουλίου 1991, σ.46
● Ν. Μαρκάτος: Το εκπαιδευτικό σύστημα στην Ελλάδα και τα
προβλήματα που δημιουργεί. Διαπαιδαγώγηση 80, 1994,
σ.1&18
● Κ. Γαβρόγλου: Μια συγκεκριμένη πρόταση για τον τρόπο
εισαγωγής στην τριτοβάθμια εκπαίδευση. Μηχανισμοί και όροι
επιλογής για την τριτοβάθμια εκπαίδευση, 1995 σσ.149 – 156.
● Π. Οικονόμου & Π. Ξωχέλλης: Μεθόδευση της διδασκαλίας
και αξιολόγηση της σχολικής επίδοσης στο Γυμνάσιο και Λύκειο.
Μέρος ΙΙΙ: Μαθηματικά. Σύγχρονη Εκπαίδευση, τεύχος 27,
Μάρτιος – Απρίλιος 1986, σσ.17–31.

11. Μια ουσιώδης παρανόηση με άμεση επίπτωση στη
διδασκαλία και μάθηση των Μαθηματικών:
► Υπάρχει μια διαδεδομένη αντίληψη ότι η συστηματική
ενασχόληση των μαθητών με τη μεθοδολογία επίλυσης
ασκήσεων καλλιεργεί τη μαθηματική ικανότητα.
► Ουσιαστικά αυτό που καλλιεργεί είναι, κατά μία προσφυή
έκφραση του Αριστείδη Πάλλα, η “τέχνη του επιτυγχάνειν” σε
διάφορες εξετάσεις (Πάλλας, 1959).
► Αυτό το τελευταίο καθόλου δεν αποδεικνύει την απόκτηση
ουσιαστικής μαθηματικής παιδείας, αν δεν έχει προηγηθεί
βαθειά κατανόηση της αντίστοιχης θεωρίας (ορισμοί των
εννοιών, λογική δομή και αποδείξεις των προτάσεων).

12. Ένα παράδειγμα: Οι ορισμοί των εννοιών
Εξετάσεις Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
Δευτέρα 16 Μαΐου 2011
ΘΕΜΑ Α
Α2. Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο R. Πότε η ευθεία y = λx + β
λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +;
(Μονάδες 5)
ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Α2. Θεωρία σελ. 280 σχολικού βιβλίου

13. Τι υπάρχει στη σελίδα 280 του σχολικού βιβλίου;
ΕΝΑΣ ΟΡΙΣΜΟΣ …
Η ευθεία y = λx + β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης
της f στο +, αντιστοίχως στο –, αν
αντιστοίχως
 x
lim f(x) (λx β) 0,

  
 x
lim f(x) (λx β) 0.

  

14. … ΚΑΙ ΕΝΑ ΘΕΩΡΗΜΑ – ΚΡΙΤΗΡΙΟ
Για τον προσδιορισμό των ασυμπτώτων μιας συνάρτησης ισχύει
το παρακάτω θεώρημα, του οποίου η απόδειξη παραλείπεται.
ΘΕΩΡΗΜΑ
Η ευθεία y = λx + β είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης
της f στο +, αντιστοίχως στο –, αν και μόνο αν
αντιστοίχως
 x x
f(x)
lim λ R και lim f(x) λx β R
x 
    
 x x
f(x)
lim λ R και lim f(x) λx β R
x 
    

15. Δύο μέρες μετά τις εξετάσεις, και αφού είχαν προηγηθεί
έντονες συζητήσεις και αντιπαραθέσεις στα
Βαθμολογικά Κέντρα …
ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
Τετάρτη 18 Μαΐου 2011 (ώρα 12:10)
ΠΡΟΣ ΟΛΑ ΤΑ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΚΑ ΚΕΝΤΡΑ
ΟΔΗΓΙΑ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ
Μαθηματικά Κατεύθυνσης
Στο θέμα Α2 ζητείται ο ορισμός του σχολικού βιβλίου
Από την Κ.Ε.Ε.

16. Ένα δεύτερο παράδειγμα
Εξετάσεις Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
Πέμπτη 29 Μαΐου 2007
ΘΕΜΑ 1ο
Α2. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; (Μονάδες 4)
ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Α2. Θεωρία σελ. 141 σχολικού βιβλίου

17. Τι υπάρχει στη σελίδα 141 του σχολικού βιβλίου;
ΟΡΙΣΜΟΣ
Δύο συναρτήσεις λέγονται ίσες όταν
● έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και
● για κάθε x  A ισχύει f(x) = g(x)
Τι έδωσε ως απάντηση ένας πολύ μεγάλος αριθμός μαθητών;
Δύο συναρτήσεις λέγονται ίσες όταν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού
Α και τον ίδιο τύπο.
ή
Δύο συναρτήσεις λέγονται ίσες όταν έχουν τον ίδιο τύπο.

18. Η κατανόηση των βασικών εννοιών της Ανάλυσης
Πλαίσιο Προγράμματος Σπουδών Μαθηματικής Ανάλυσης
Το αντικείμενο της Ανάλυσης που διδάσκεται στην Γ΄ Λυκείου
είναι πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής.
Συνεπώς, για να προχωρήσει ένας μαθητής στην μελέτη της
Ανάλυσης απαιτείται να κατέχει σε επαρκή βαθμό τη δομή του
συνόλου των πραγματικών αριθμών καθώς και την έννοια της
συνάρτησης.
Ζητήματα που συνδέονται με την κατανόηση του R, όπως
διάκριση ρητών-αρρήτων, πυκνότητα, διάκριση αριθμήσιμου-
συνεχούς, καθώς και η κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης όχι
απλά ως μια διαδικασία αντιστοίχησης αλλά ως μαθηματικό
αντικείμενο και η λειτουργική διάκριση μεταβλητών, παραμέτρων
και αγνώστων, αποτελούν την αφετηρία της διδασκαλίας της
Ανάλυσης.

19. Η έννοια του ορίου αποτελεί την θεμελιώδη έννοια της Ανάλυσης,
είναι μια ιδιαίτερα δύσκολη έννοια και ο τυπικός εψιλοντικός
ορισμός ξεπερνάει τις δυνατότητες των μαθητών του Λυκείου.
Συνέπεια αυτού είναι η διδασκαλία της Ανάλυσης στο Λύκειο να
εκφυλίζεται σε απλή εφαρμογή τύπων με αξιοποίηση κυρίως
αλγεβρικών δεξιοτήτων και να μην αποτελεί μια ουσιαστική
εισαγωγή στον τρόπο σκέψης αυτής της μαθηματικής περιοχής.
Αποτέλεσμα αυτής της διδασκαλίας, όπως έχει προκύψει από
έρευνες στην Ελλάδα και στο εξωτερικό, είναι ένα μεγάλο
ποσοστό μαθητών να δημιουργεί παρανοήσεις και να σχηματίζει
λανθασμένες αντιλήψεις και εικόνες για τις έννοιες και τα
θεωρήματα της Ανάλυσης με συνέπεια να αντιμετωπίζουν
σοβαρά εμπόδια στη μετέπειτα πορεία τους στην τριτοβάθμια
εκπαίδευση.
Επιτροπή Εμπειρογνωμόνων για την εκπόνηση Π.Σ. Μαθηματικών
(Αύγουστος 2014)

20. Μια χαρακτηριστική παρανόηση της έννοιας “μεταβλητή”
(όταν Διδασκαλία = Ασκησιολογία + Μεθοδολογία )
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2008, ΘΕΜΑ 4(α)
Έστω f μια συνάρτηση συνεχής στο R για την οποία ισχύει
Να αποδείξετε ότι f(x) = 20x3
+ 6x – 45 (Μονάδες 8)
Για την επίλυση αρκεί να θέσουμε:
Τότε η υπόθεση γίνεται:
Αντικαθιστώντας στην ισότητα (1) παίρνουμε την εξίσωση:
2
3
0
f(x) (10x 3x) f(t)dt 45  
2
0
f(t)dt k (1)
3
f(x) 10kx 3kx 45  
   
2 22 4 2
23
0
0 0 0
x x
10kx 3kx 45 dt k 10k 3k 45 x k
4 2
   
         
   


21. Μια “απόδειξη” με χρήση ισχυρών θεωρημάτων της Ανάλυσης
ΘΕΜΑ 4ο/α
Αρκεί να δείξω ότι
Έστω η με F(0) = 0. Η F είναι συνεχής και
παρ/μη στο [0, 2]. Από ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ για την F στο [0, 2]
Όμως Άρα
Δηλαδή Αρκεί νδο ότι τέτοιο ώστε f(ξ) = 1
2
3
0
f(x) (10x 3x) f(t)dt 45   
2 2
3
0 0
f(x) 10x f(t)dt 3x f(t)dt 45 , x R.    
2
0
f(t)dt 2
x
0
F(x) f(t)dt , x R 
F(2) F(0) F(2)
ξ (0, 2): F (ξ)
2 2

   
F (ξ) f(ξ) 
F(2)
f(ξ) F(2) 2f(ξ).
2
  
2
0
f(t)dt 2f(ξ). ξ R 

22. f(0) = –45
Εφόσον η συνάρτηση f είναι συνεχής και εφόσον για x = 0 είναι
f(0) = –45, ενώ καθώς η f τείνει στο άπειρο παίρνει απείρως
μεγάλη τιμή, σύμφωνα με το ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙAΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ, και
επειδή το 1 βρίσκεται μεταξύ του –45 και του Μ >>>0, θα υπάρχει
κάποιος ξ μεταξύ του 0 και του + όπου f(ξ) = 1.
Άρα και f(x) = 20x3
+ 6x – 45
2
0
f(t)dt 2
2
3
x x
0
limf(x) lim(10x 3x) f(t)dt 45
 
    
Πώς θα βαθμολογούσατε αυτή την “απόδειξη”;

23. Μερικές παρατηρήσεις στην προηγούμενη “απόδειξη”
Γνωρίζει ότι πρέπει να αποδείξει F(2) = 2.
Με εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. στη συνάρτηση – ολοκλήρωμα F
αποδεικνύει ότι υπάρχει αριθμός ξ του διαστήματος (0, 2) τέτοιος,
ώστε F(2) = 2f(ξ).
Άρα αρκεί, για το συγκεκριμένο ξ, να αποδείξει ότι f(ξ) = 1.
Με εφαρμογή του Θ.Ε.Τ. στη συνάρτηση f αποδεικνύει ότι
υπάρχει αριθμός του διαστήματος (0, +∞) για τον οποίο η
αντίστοιχη τιμή της f είναι ίση με 1.
Δηλαδή ταυτίζονται τα ξ δύο διαφορετικών υπαρξιακών
θεωρημάτων, που εφαρμόζονται σε διαφορετικές συναρτήσεις
και σε διαφορετικά διαστήματα!
Τα σύμβολα ξ και f(ξ) δεν χρησιμοποιούνται σαν αριθμητικές
μεταβλητές που κάθε μία έχει ένα ιδιαίτερο σύνολο αναφοράς,
αλλά σαν ονόματα συγκεκριμένων, σταθερών ποσοτήτων.

24. Μεταβλητές και παράμετροι στον υπολογισμό των ορίων
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2008, ΘΕΜΑ 4(β)
Δίνεται μια συνάρτηση g δύο φορές παραγωγίσιμη στο R. Να
αποδείξετε ότι:
(Μονάδες 4)
Επίδοση σε τυχαίο δείγμα 1000 γραπτών στο 53ο Βαθμολογικό
Κέντρο Δυτικής Θεσσαλονίκης
h 0
g (x) g (x h)
g (x) lim
h
  
 
Μονάδες Γραπτά Ποσοστό
0 742 74%
1 151 15%
2 35 3,5%
3 15 1,5%
4 57 6%

25. Η αντίστοιχη άσκηση του σχολικού βιβλίου
2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ (ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β΄ ΟΜΑΔΑΣ)
8. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο xo,
τότε
Η λύση της άσκησης στο τεύχος λύσεων:
Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο xo ισχύει:
Για h ≠ 0 είναι Επομένως
(θέσαμε k = – h)
o o
o
h 0
f(x h) f(x )
lim f (x )
h
 
 
o o
o
h 0
f(x h) f(x )
f (x ) lim
h
 
 
 o oo o
f x ( h) f(x )f(x h) f(x )
h h
   
 

   o o o o
h 0 k 0
f x ( h) f(x ) f x k f(x )
lim lim
h k  
    
   

of (x ) 
o o
h 0
f(x h) f(x )
lim
h
 

26. Ποια κρίσιμη διαφορά παρατηρείτε;
ΑΣΚΗΣΗ 8 ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ
Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο xo,
τότε
ΘΕΜΑ 4(β) ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
Δίνεται μια συνάρτηση g δύο φορές παραγωγίσιμη στο R. Να
αποδείξετε ότι:
o o
o
h 0
f(x h) f(x )
lim f (x )
h
 
 
h 0
g (x) g (x h)
g (x) lim
h
  
 

27. Η επίσημη απόδειξη της Κ.Ε.Ε.
Δίνεται μια συνάρτηση g δύο φορές παραγωγίσιμη στο R. Να
αποδείξετε ότι:
Είναι:
Θέτω –h = u. Όταν h→0, τότε και u →0
Άρα (1)
επειδή η g είναι 2 φορές παραγωγίσιμη.
h 0
g (x) g (x h)
g (x) lim
h
  
 
h 0 h 0
g (x) g (x h) g (x h) g (x)
lim lim
h h 
      


u 0
g (x u) g (x)
lim g (x)
u
  
 

28. Η “απόδειξη” που δόθηκε από τους περισσότερους μαθητές
(από το “ζητούμενο”, σε “κάτι που ισχύει”)
Έστω x = xo+ h. Όταν h→0 το x →xo με x ≠ xo.
Η
θα γίνει
που ισχύει αφού η g είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο R.
h 0
g (x) g (x h)
g (x) lim
h
  
 
o
o
o
x x o
g (x) g (x )
g (x) lim g (x )
x x
 
  


29. Μερικές παρατηρήσεις στην προηγούμενη “απόδειξη”
Στην αποδεικτέα ισότητα
το h είναι μεταβλητή και το x παράμετρος (σε ρόλο σταθεράς)
Όταν γράφουν
ουσιαστικά μετατρέπουν τη σταθερά x σε μεταβλητή και
εισάγουν τη νέα σταθερά xo.
Αυτό που “αποδεικνύουν” είναι ότι δηλαδή η δεύτερη
παράγωγος της συνάρτησης g είναι σταθερή.
h 0
g (x) g (x h)
g (x) lim
h
  
 
o
o
x x h
o
o
h 0 x x o
g (x) g (x )g (x) g (x h)
lim lim g (x )
h x x
 
 
    
 

og (x) g (x ) 

30. Η προηγούμενη απόδειξη με διατήρηση του x σε
ρόλο σταθεράς
h 0
x h u
h 0
u x
g (x) g (x h)
lim
h
g (x h) g (x)
lim
h
g (u) g (x)
lim g (x)
u x

 


  

  


 


(Αναγωγή της ζητούμενης σχέσης στον ορισμό της παραγώγου)

31. Μια άλλη απόδειξη, όπως ακριβώς δόθηκε από ένα
μαθητή στις εξετάσεις
Μια προσεκτική αλλαγή μεταβλητών:
Θέτω u = –x
Θέτω
Επειδή το xo είναι τυχαίο, θα ισχύει
o
o
o
x x o
g (x) g (x )
g (x ) lim
x x
 
 

o
o
u x o
g ( u) g (x )
lim
u x
  

 
o o o o
h 0 h 0
g (x h) g (x ) g (x ) g (x h)
lim lim
h h 
      
 

h 0
g (x) g (x h)
g (x) lim
h
  
 
o oh u x u x h     

32. Άλλες αποδείξεις, όπως ακριβώς δόθηκαν από τους
μαθητές στις εξετάσεις
Εφαρμογή του κανόνα De l’ Hospital:
Εφόσον παραγωγίζουμε ως προς h, θεωρείται αριθμός.
 
 
0
0
h 0 h 0 h 0
g (x) g (x h)g (x) g (x h) 0 g (x h)(x h)
lim lim lim
h 1
h
  
         
  

h 0 h 0
lim g (x h)( 1) limg (x h) g (x)
 
        
 g (x) 0 

33. Άλλες αποδείξεις, όπως ακριβώς δόθηκαν από τους
μαθητές στις εξετάσεις
Εφαρμογή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής:
Η είναι συνεχής στο R άρα και στο διάστημα [x – h, x]
Η είναι παραγωγίσιμη στο R άρα και στο διάστημα [x – h, x]
Αφού είναι 2 φορές παραγωγίσιμη και από Θ.Μ.Τ. ισχύει υπάρχει
ένα ώστε:
και επειδή η είναι συνεχής στο ξ ισχύει
g (x)
g (x)
ξ (x h,x) 
g (x) g (x h) g (x) g (x h)
g (ξ)
x x h h
      
  
 
x ξ
g (ξ) limg (x)

 g (ξ)
h 0
g (x) g (x h)
g (ξ) lim
h
  
 

34. Μια απόπειρα “διάσωσης” της προηγούμενης απόδειξης
Επειδή x – h < ξ < x, συμπεραίνουμε ότι (1)
Άρα από τη σχέση του Θ.Μ.Τ.
προκύπτει ότι
(αν βέβαια η ήταν συνεχής συνάρτηση…)
ΕΙΝΑΙ ΣΩΣΤΗ ΑΥΤΗ Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ;
h 0 ξ x  
g (x) g (x h)
g (ξ)
h
  
 
h 0 h 0 ξ x
g (x) g (x h)
lim limg (ξ) limg (ξ) g (x)
h  
  
    
g

35. τ
ε
M
A B
φ ω
Μια γεωμετρική ερμηνεία και αιτιολόγηση
Δίνεται μια συνάρτηση g δύο φορές παραγωγίσιμη στο R. Να
αποδείξετε ότι:
h 0
g (x) g (x h)
g (x) lim
h
  
 
xx h
g (x)
g (x h) 
y g (x)
Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή (;)

36. ΑΣΚΗΣΙΟΛΟΓΙΑ
Η Σκύλλα και η Χάρυβδη της
διδασκαλίας των Μαθηματικών
ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΛΟΓΙΑ

37. Η εξέταση της θεωρίας σύμφωνα με το Π.Δ. 60/2006
“Αξιολόγηση των μαθητών του Ενιαίου Λυκείου”
Τα τέσσερα θέματα που δίνονται στους μαθητές διαρθρώνονται
ως εξής:
α) Το πρώτο θέμα αποτελείται από ερωτήματα θεωρίας που
αφορούν έννοιες, ορισμούς, λήμματα, προτάσεις, θεωρήματα και
πορίσματα.
Με το θέμα αυτό ελέγχεται η κατανόηση των βασικών εννοιών,
των σπουδαιότερων συμπερασμάτων, καθώς και η σημασία τους
στην οργάνωση μιας λογικής δομής.

38. Τι γράφουν οι μαθητές στο θέμα θεωρίας των
Εξετάσεων;
Εξετάσεις Κατεύθυνσης Μαΐου 2009, Θέμα 1ο
(Μονάδες 10)
Α.1 Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f
είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ ισχύει
f(x) = 0, να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.
Εξετάσεις Κατεύθυνσης Μαΐου 2008, Θέμα 1ο
(Μονάδες 10)
Α. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση είναι
παραγωγίσιμη στο και ισχύει:
f(x) ln x , x R
 
  1
ln x
x
 
R

39. Η επίδοση των μαθητών στο 1ο θέμα της θεωρίας
Επίδοση σε τυχαίο δείγμα 1000 γραπτών στο 53ο Βαθμολογικό
Κέντρο
2009
Μονάδες Γραπτά Ποσοστό
0 452 45%
1 13 1%
2 17 2%
3 22 2%
4 11 1%
5 12 1%
6 12 1%
7 25 3%
8 27 3%
9 71 7%
10 338 34%
2008
Μονάδες Γραπτά Ποσοστό
0 492 49%
1 23 2%
2 13 1%
3 7 1%
4 41 4%
5 25 2,5%
6 15 1,5%
7 15 1,5%
8 15 1,5%
9 18 2%
10 336 34%

40. Γιατί οι περισσότεροι μαθητές έχουν κακή επίδοση
στο θέμα της θεωρίας;
• Πολλοί μαθητές προσέρχονται στις εξετάσεις χωρίς να έχουν
διαβάσει τη θεωρία του σχολικού βιβλίου και δεν ασχολούνται
καθόλου με το αντίστοιχο θέμα Α.
• Αρκετοί μαθητές, που φαίνεται ότι έχουν απομνημονεύσει όλες
τις αποδείξεις του σχολικού βιβλίου, γράφουν την απόδειξη
διαφορετικού θεωρήματος από αυτό που ζητήθηκε.
• Αρκετοί μαθητές δεν θυμούνται τις λεπτομέρειες της απόδειξης,
και παραλείπουν ουσιώδη σημεία.
• Ορισμένοι μαθητές, που αγνοούν την απόδειξη του σχολικού
βιβλίου, επιχειρούν να επινοήσουν μια δική τους. Η προσπάθεια
αυτή περιέχει συχνά ευφυείς ιδέες αλλά καταλήγει σχεδόν
πάντοτε σε “αποδεικτικό κύκλο”.
• Η διδασκαλία της θεωρίας είναι γενικά πολύ υποβαθμισμένη.

41. Η σημασία και ο ρόλος των γραμμάτων σε μια εξίσωση
Μια εξίσωση που οι μαθητές συναντούν από τη Β΄ Γυμνασίου μέχρι
την Γ΄ Λυκείου
Η γενική εξίσωση της ευθείας σε ένα σύστημα συντεταγμένων είναι
y = αx + β
Α. Ποια είναι η γεωμετρική σημασία του κάθε γράμματος στην
εξίσωση;
Β. Να γράψετε σε ποια από τις παρακάτω κατηγορίες ανήκει κάθε
γράμμα της εξίσωσης:
1. Μεταβλητή 2. Παράμετρος
3. Άγνωστος 4. Σταθερά

42. Η σημασία και ο ρόλος των γραμμάτων στην εξίσωση
της ευθείας y = αx + β
Το x συμβολίζει την τετμημένη ενός τυχαίου σημείου της ευθείας.
Το y συμβολίζει την αντίστοιχη τεταγμένη.
Το α συμβολίζει το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας.
Το β συμβολίζει την τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον
άξονα y΄y.
Όλα τα γράμματα είναι μεταβλητές με σύνολο αναφοράς το R.
Στην εξίσωση υπάρχουν δύο “αιτίες μεταβολής” που καθορίζονται
από τα ζεύγη (x, y) και (α, β) αντίστοιχα:

43. Η σημασία και ο ρόλος των γραμμάτων στην εξίσωση
της ευθείας y = αx + β
Α. Κάθε ζεύγος τιμών των x, y προσδιορίζει ένα σημείο ή ένα
σύνολο σημείων.
Παράδειγμα: αν x = 0, τότε y = β
(ένα σύνολο σημείων του άξονα y΄y)
Β. Κάθε ζεύγος τιμών των α, β προσδιορίζει μια ευθεία ή ένα
σύνολο ευθειών.
Παράδειγμα: αν α = 0, τότε y = β
(ένα σύνολο ευθειών παράλληλων στον x΄x)

44. Διάκριση μεταβλητών και παραμέτρων σε μια εξίσωση
H. Freudenthal:Didactical Phenomenology of Mathematical Structures (σ.508)
Μεταβλητές και παράμετροι στην εξίσωση y = αx + β
Όταν η μεταβολή καθορίζεται από τα x, y τότε αυτά λειτουργούν
ως πρωτεύουσες μεταβλητές και τα α, β ως δευτερεύουσες
μεταβλητές (παράμετροι).
(Μια οικογένεια συνευθειακών σημείων)
Όταν η μεταβολή καθορίζεται από τα α, β τότε αυτά λειτουργούν
ως πρωτεύουσες μεταβλητές και τα x, y ως δευτερεύουσες
μεταβητές (παράμετροι).
(Μια οικογένεια ευθειών)

45. Μια εφαρμογή της διάκρισης μεταβλητών και παραμέτρων στον
ορισμό της παραγώγου
T. Apostol: Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός (Τόμος Ι, σ.130)
Όταν εφαρμόζουμε την ιδέα του ορίου για τον ορισμό της παραγώγου,
γράφουμε
Στην περίπτωση αυτή φανταζόμαστε το x σταθερό και μελετάμε το πηλίκο
διαφορών σαν συνάρτηση του h, για μικρές τιμές του h.
Θεωρούμε δηλαδή μια συνάρτηση Q που ορίζεται από την εξίσωση
για όλους τους h ≠ 0 και τέτοιους ώστε x + h να ανήκει στο πεδίο της f.
Αν η Q(h) έχει όριο όταν h→0 , το όριο αυτό είναι η παράγωγος της f στο x.
Η εξίσωση που ορίζει την μπορεί επίσης να γραφεί και στη μορφή
ή και με κάποιον ανάλογο τρόπο.
h 0
f(x h) f(x)
f (x) lim
h
 
 
f(x h) f(x)
Q(h)
h
 

t x
f(t) f(x)
f (x) lim
t x

 

f (x)

46. 1956 1996

47. Θ. Ν. Καζαντζής: Συνδυαστική (1997, Πρόλογος)
Καταβλήθηκε κάθε προσπάθεια ώστε να αποφύγουμε τις δύο
εκείνες ακρότητες, που αποτελούν τη Σκύλλα και τη Χάρυβδη κάθε
διδακτικής παρουσίασης, δηλαδή την υπερεπιστημονικότητα και
την υπεραπλούστευση, που είναι το ίδιο απαράδεκτες.
 Υπεραπλούστευση
“Φτηνή” φρασεολογία, που δίνει
εντελώς ασαφή εικόνα αυτού που
θέλει να περιγράψει. Φραστικός
“εκχυδαϊσμός” της περιγραφής, η
κενότητα της οποίας φαίνεται όταν
προσπαθήσουμε να
προσαρμόσουμε σ’ αυτή τον τρόπο
επίλυσης και μέτριων ακόμα
προβλημάτων.
 Υπερεπιστημονικότητα
Βαρύς συμβολισμός,
εξεζητημένο λεξιλόγιο,
περιγραφή με φράσεις που δεν
έχουν αντίκρυσμα στο μυαλό
του διδασκόμενου. Λατρεία του
αφηρημένου για το αφηρημένο
και μόνο, εκμηδενίζουν την
περιγραφή αφαιρώντας την
εποπτεία, νόημα και ομορφιά.

48. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ
Δύο πρόσφατα κείμενα για το θέμα
Μαθηματικά – Εξετάσεις – Ασκησιολογία
α) Μιας καθηγήτριας Μαθηματικών στο Πολυτεχνείο
β) Ενός εκπαιδευτικού και συγγραφέα πολύ γνωστών
βιβλίων Μαθηματικών για τις πανελλαδικές εξετάσεις

49. Μια πρόσφατη επιστολή σε διαδικτυακό forum για τα
Μαθηματικά
Καλημέρα σας,
Εδώ και λίγο καιρό παρακολουθώ τις συζητήσεις σας και τα
ενδιαφέροντα προβλήματα που θέτετε.
Ως διδάσκουσα σε ελληνικό ΑΕΙ, εδώ και πολύ καιρό απορώ:
Πως είναι δυνατόν κάποιοι υποψήφιοι να καταφέρνουν δύσκολες
ασκήσεις στις πανελλήνιες και να περνάνε σε σχολές με υψηλή βάση
(π.χ. Πολυτεχνικές) και την ίδια στιγμή να μη γνωρίζουν κάποια βασικά
πράγματα, π.χ.:
Τον όγκο κύβου ακμής x
Πρόσθεση κλασμάτων
Ιδιότητες δυνάμεων
Αναρωτιέμαι εάν θα πρέπει να περάσουμε σε ένα νέο τύπο ερωτήσεων
για τις πανελλήνιες, που θα εξετάζει γενικές γνώσεις στα μαθηματικά,
με ύλη που θα ξεκινά από τα μαθηματικά του Δημοτικού.
Ευχαριστώ για τη φιλοξενία

50. Ένα εκπληκτικό κείμενο “αυτοκριτικής” που
δημοσιεύτηκε πρόσφατα στο ίδιο forum
Δεν φταίνε τα μαθηματικά για όλα τα παράλογα που έχουμε βάλει
στη μαθηματική μας ζωή!
Φταίμε μόνο εμείς που στην ξέφρενη και αδηφάγα αναζήτηση
νέων ασκήσεων, νέων ιδεών και νέων θεμάτων, καταλήξαμε σε
νέες ανοησίες και εκτρώματα, τα οποία σε λίγα χρόνια θα τα
βλέπουμε και θα αηδιάζουμε.
Όλα τα πράγματα έχουν μέτρο (...όπως και οι μιγαδικοί) αλλά
εμείς αυτό το μέτρο το παραβιάζουμε, χωρίς λόγο, χωρίς
περίσκεψη, χωρίς αιδώ, όπως θα έλεγε κι ο ποιητής.
Το αποτέλεσμα είναι τραγικό αλλά και κωμικό μαζί:

51. Ξεκινάμε από σχέσεις, καταλήγουμε σε άλλες που ισχύουν μόνο για
πεπερασμένες τιμές, ξαφνικά αυτές τις κάνουμε αυθαίρετα να
ισχύουν για άπειρες τιμές, κάνουμε τα μεμονωμένα σημεία
συνεχείς καμπύλες, συνεχίζουμε με γεωμετρικούς τόπους μέσω
απεικονίσεων και σαν να μη φτάνουν όλα αυτά ζητάμε από πάνω
και ένα ακρότατο.
Ζητάμε, ζητάμε κι όλο ζητάμε! Λίγη λογική όμως και λίγο σεβασμό
στο έργο του δασκάλου και στους μαθητές μας θα ζητήσουμε καμιά
φορά;
Αρχίζω από καιρό να ντρέπομαι για όλο αυτό το χάλι, στο οποίο
έχω και εγώ βάλει το χέρι μου, με τον έναν ή τον άλλο τρόπο.
Όσοι έχουμε κάνει το τόλμημα να γράψουμε κάποιο βιβλίο, έχουμε
μεγαλύτερο μερίδιο ευθύνης. Αντί να δείξουμε το περίγραμμα που
θα κινηθεί το μάθημα, φορτώσαμε τη ζωή μαθητών και
συναδέλφων με υπέρογκο όγκο ασκήσεων και περιπτώσεων, που
μέσα σε αυτόν έχουν γεννηθεί τέρατα και διαστροφές.

52. Έρχονται και τα θέματα των Πανελληνίων και η βλακεία
απογειώνεται!
Τι δουλειά έχει ο καϋμένος ο μιγαδικός να μπει με κάποιον
έξυπνο τρόπο μέσα στον τύπο μιας συνάρτησης και εκεί
ανάμεσα να μπει ο Bolzano (πώς να αγιάσει ο δυστυχής με την
τόση προσβολή που του κάνουμε και στη συνέχεια να έρθει
από πάνω από τη συνάρτηση ένα ολοκλήρωμα με μεταβλητά
μάλιστα άκρα που ικανοποιεί όμως και μια ανισοτική σχέση,
ώστε εμείς να επικαλεστούμε τον Fermat και να πάρουμε
ισότητα, για να ζητήσουμε γεωμετρικό τόπο, μέγιστα και
ελάχιστα;
Μακάρι να έρθει μια ριζική εκδίωξη και απομάκρυνση όλων
αυτών των πραγμάτων για να γλυτώσουμε όλοι! Δεν φτάνει
όμως αυτό: πρέπει το νέο που έρθει να είναι καλύτερο.

53. Επιπλέον, πρέπει να εκδιωχθούν από τις επιτροπές θεμάτων και
όλοι αυτοί που μέχρι τώρα υποδαύλισαν με τις επιλογές τους την
ανάδειξη του παράλογου και άθλιου, σε αρετή και κανόνα.
Αρκεί να δούμε τα θέματα στη γενική παιδεία! Τι σχέση έχουν με τη
στατιστική ή τις πιθανότητες αυτά τα ερωτήματα;
Τα θέματα πρέπει να είναι αισθητικά ωραία και βασισμένα στον
ρόλο και το σκοπό του μαθήματος. Μέχρι εκεί!
Δεν πρέπει να μας νοιάζει ούτε το ποσοστό των άριστων, ούτε οι
βάσεις, ούτε τίποτα, παρά μόνο η καλή κατανόηση των εννοιών και
η απόκτηση των πολιτισμικών αγαθών που μεταδίδουν στις νέες
γενιές τα μαθηματικά. Ένα δύσκολο αλλά ωραίο ερώτημα για να
ξεχωρίσει ο πιο άξιος, δεν αλλοιώνει την παραπάνω γενική αρχή.
Ζητάω συγνώμη για όσες φορές ξεπέρασα το μέτρο και σας
κούρασα με απαιτητικές ασκήσεις. Το ότι αυτό το επέβαλαν τα
θέματα ή ότι είναι και αυτό μέρος του καθημερινού μαθήματος που
ο μαθητής το έχει ανάγκη, δεν αποτελεί δικαιολογία!