.

1. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ……………….0
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII
ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Μήταλας Γ , Δρούγας Α. Χάδος Χ. Γερμανός Ξ. Πάτσης Σ.
Ο ΤΣΕΛΕΜΕΝΤΕΣ ΤΟΥ ΥΠΟΨΗΦΙΟΥ
ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ
ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ………………. 1
Το χόμπι μου είναι η μαγειρική και ενίοτε παθαίνω εκρήξεις φαιδρότητας και κυνισμού.
Ηρεμήστε, δεν προτίθεμαι να παραθέσω συνταγές μαγειρικής, πλην όμως, τα τελευταία
χρόνια έχω πολλές ενστάσεις για τον τρόπο που εξετάζονται τα μαθηματικά στις
πανελλαδικές εξετάσεις. Γιατί να το κρύψουμε άλλωστε, η επιτροπή θεμάτων τα
τελευταία χρόνια πίνει νερό στο όνομα του Αλ Κβαρίσμι και έχει αγιοποιήσει την
μεθοδολογία.Διάβαζα,πρόσφατα σε γνωστό μέσο κοινωνικής δικτύωσης ότι
«μεθοδολογία στα μαθηματικά είναι ένα τέχνασμα που έγινε viral”,ένας on line
εξωραϊσμός του γνωστού αφορισμού του Τζωρτζ Πόλυα. Παρόλα αυτά, το παρόν είναι
απόλυτα εναρμονισμένο στην λογική ενός τσελεμεντέ τεχνικών επίλυσης ασκήσεων. Το
εγχειρίδιο του επιτήδειου στα μαθηματικά θετικού προσανατολισμού.Πέρα και μακριά
από την μαθηματική σκέψη στις παρακάτω σελίδες θα βρείτε μια σειρά από
τυφλοσούρτες–ωδή στην περιπτωσιολογία- για να λύνετε τα θέματα των πανελληνίων.
Το παρόν συμπληρώνει το σχολικό βιβλίο. Που και που, θα βρίσκετε αγαπημένες
συνταγές!!
Σ.Ο.Κ.Ο.Ν
• Δίνεται συνάρτηση f με τύπο f(x)=2g(x)-1 όπου g(x)=αx-(-b) με α και b τέτοια ώστε
2
2
lim( 1)
x
a x
→
= − και
1
1 2
b
δ
=
−
όπου γ και δ είναι:
1
0
xdxγ κ= ∫ και δ=λ με k και λ τέτοια ώστε:
2k z i= − και λ = ΟΜ όπουz=2ν-i και
1
µ 
ΟΜ  
− 
ώστε τα ν και μ να είναι: ν=max{0,ρ} με ρ>0
και 1
( )Pµ ω= όπου ρ η τεταγμένη του σημείου που η ευθεία y=2x-τ τέμνει τον y'y
και 1
( )
6
P
ϕ
ω = .Αν τ=h’(3) καιφ=2d-1 όπου
2
( )
2
bx
h x = και d η μικρότερη ρίζα της εξίσωσης
2
5 2 0x x l− + = ώστε για τα b και l να ισχύουν 3b=l και l=S(x) όπου S(x) μία σταθερή
συνάρτηση που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο A(x,θ) με θ τετμημένη
του κέντρου του κύκλου που έχει εξίσωση ( ) ( )
2 2 2
0 1
1 lim(4 )
x
x x y x
→
− + − = και 0
x η τετμημένη
του σημείου επαφής της f(x)=cx2 και y=6x-9 όπου 1 2 4 3 5
3 ( 3)c c c c c c= + − − − και
C1 το ατομικό βάρος του οξυγόνου
C2=KC η ηλεκτρική σταθερά του Coulomb
C3το Ph του ουδέτερου υδατικού διαλύματος άλατος
C4 το φορτίο Q= 1 nCb σε Cb και
C5 το πλήθος των γραμμάτων της λέξης ντροπή
Να αποδειχθεί ότι η f είναι 1-1.
Άσκηση τερατούργημα από τον μαθηματικό-εκδότη Χάρη Βαφειάδη με την οποία
σατίριζε τη κοπτική-ραπτική από κάθε κομμάτι της ύλης προκειμένου να
κατασκευαστούν πρωτότυπα θέματα την εποχή των δεσμών.

3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ……………….2
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
1)Μαθηματικα Θετικού προσανατολισμού, Ανδρεαδάκης,Κατσαργύρης,Μέτης.Ο.Ε.Δ.Β
2) Μαθηματικά Γ Λυκείου, Μπάρλας Α., Εκδόσεις Ελληνοεκδοτική
3)Μαθηματικα Γ Λυκείου, Κατσαρός Δ. ,Εκδόσεις Ελληνοεκδοτική
4)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Στεργίου –Νάκης ,Εκδόσεις Σαββάλα
5)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Μαυρίδης Γ., Εκδόσεις Μαυρίδη
6)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Σκομπρής Γ., Εκδόσεις Σαββάλα
7)Μαθηματικά Γ Λυκείου ,Μιχαηλίδης Γ., Εκδόσεις Μαυρίδη
8)Αναλυση Μαθηματικά, Αχτσαλωτίδης Χ. ,Εκδόσεις Μεταίχμιο
9)Μαθηματικά Γ Λυκείου ,Παπαδάκης ,Εκδόσεις Σαββάλα
10)Μαθηματικά Γ Λυκείου ,Ξένος. Θ. ,Εκδόσεις Ζήτη
11)Μαθηματικα-Αναλυση Μαντάς Γ. ,Εκδόσεις Μαντά
12)Μαθηματικα-Αναλυση Ευρυπιώτης Σ.Γ. ,Εκδόσεις Πατάκη
13)Μαθηματικα-Αναλυση Μπαιλάκης Σ.Γ., Εκδόσεις Σαββάλα
14) Ανάλυση 1,2 ,Γκατζούλη Κ., Εκδόσεις Γκατζούλη
15) 1000+1 ασκήσεις στις παραγώγους, Ξηνταβελώνης Π., Εκδόσεις Λιβάνη
16)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Β &Ρ Σπανδάγου., Εκδόσεις Αίθρα
17)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Αρχείο Σ.Ο.Κ.Ο.Ν
18)ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β
19)Συναρτήσεις, Ποστάντζης Β.
20)Βιβλιο του διδάσκοντος. Για το μάθημα ανάλυση της Γ λυκείου,Γ.Παντελίδη, Εκδόσεις Ζήτη
21)Θεωρημα μέσης τιμής ,Γιαννιτσιώτης-Καραγιώργος, Εκδόσεις Κωστόγιαννος
22)Συναρτήσεις Θ.Ν. Καζαντζής. Εκδόσεις Τυποεκδοτική
23)Αναλυση,Ντζιωρας.Η, Εκδόσεις Πατάκη
24)Αναλυση,Μπαραλός Γ. Εκδόσεις Παπαδημητρόπουλου
25) Απειροστικός λογισμός, Spivak M. , Παν. Εκδόσεις Κρήτης
26)Μαθηματική ανάλυση Ρασσιάς Μ. ,Εκδόσεις Σαββάλα
24)Problems in Calculus ,Ι.Μ.Maron,Mir Publisher
25)Θέματα μαθηματικών κατεύθυνσης,Πανουσάκης Ν. ,Εκδοτικός όμιλος Συγγραφέων
καθηγητών
26) Το Φ
27) Η διδασκαλία του Απειροστικού λογισμού, μέσω αντιπαραδειγμάτων, Πλάταρος Γιάννης
27)Οδηγος επανάληψης στα μαθηματικά Γ λυκείου, Χ.Πατήλας, εκδόσεις Κωστόγιαννος
28)Γενικα θέματα μαθηματικών, Βλαχος. Β., Κουτσούκος Π. ,Ξηροκώστας Π. ,Πλατής Χ.
29)Problem book: Algebra and Elementary functions, Kutepov A.,Rubanov, MIR Publishers
30) Θέματα για πανελλήνιες εξετάσεις πρώτης δέσμης,Σάκης Λιπορδέζης
31)The theory of functions of a real variable, R.L.Jeffery
32)A Problem book in mathematical analysis,G.N Berman
33) Bad problems in Calculus, A.G .Drolkun
34) Μαθηματικά 1,2,3 Γ.Δεμερτζής,Δ.Γουβίτσας Εκδόσεις Όλυμπος
35)Μεθοδολογία για ασκήσεις και προβλήματα μαθηματικών, Α.Καλομητσίνης, Εκδόσεις Σμίλη
36)Διδακτικη των θετικών επιστημών, Δ.Λ. Καραγεώργος.
Τα σχήματα επιμελήθηκε ο Ντόναλντ Ντάκ ενώ τους γραμμοκώδικες ( qr-code) δημιούργησε ο
Οβελίξ σε συνεργασία με τον Κακοφωνίξ.
.

4. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ………………. 3
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
79 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ – ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ
80 ΕΥΡΕΣΗ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑΣ – ΣΗΜΕΙΩΝ ΚΑΜΠΗΣ.
81 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ
82 ΟΧΙ Σ.Κ.
83 ΚΑΝΟΝΕΣ DE L’ HOSPITAL
0
,
0
∞
∞
84 ΚΑΝΟΝΕΣ DE L’ HOSPITAL ( ) ( )0 ή⋅∞ ∞ − ∞
85 ΚΑΝΟΝΕΣ DE L’ HOSPITAL
0 0
0 , , 1∞
∞
86 ΚΑΝΟΝΕΣ DE L’ HOSPITAL ΣΥΝΕΧΕΙΑ – ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ
87 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ
88 ΕΥΡΕΣΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΩΝ
89 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ
90 ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΤΙΜΩΝ (ΕΠΑΝΑΦΟΡΑ)
91 ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ ΕΞΙΣΩΣΗΣ
92 ΕΥΡΕΣΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ
93 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ
94 ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO (ΕΠΑΝΑΦΟΡΑ ΚΑΘΩΣ ΣΥΝΔΥΑΖΕΤΑΙ ΠΟΛΥ ΜΕ ΤΗΝ ΠΑΡΟΥΣΑ ΥΛΗ)
95 ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ ΜΕ BOLZANO
96 ΥΠΑΡΞΗ 0x ΠΟΥ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ ΣΥΝΘΗΚΗ – ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΜΗΣ
97 ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R
98 ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ ΑΠΟ ΠΕΔΙΟ ΤΙΜΩΝ
100 ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΩΝ
101 ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ – ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ
102 ΥΠΑΡΞΗ ΤΟ ΠΟΛΥ ΜΙΑΣ ΡΙΖΑΣ
103 ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE
104 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΩΣΤΕ ΝΑ ΙΣΧΥΕΙ ΤΟ Θ. ROLLE
105 Θ.Μ.Τ.
106 ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ( ) ( )f x 0,f x 0,...′ ′′= =
107 ΥΠΑΡΞΗ ( )ξ α,β∈ ΠΟΥ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ ΟΡΙΣΜΕΝΗ ΣΥΝΘΗΚΗ ΑΡΧΙΚΗ
108 ΥΠΑΡΞΗ ( )ξ α,β∈ :ΩΣΤΕ ΝΑ ΙΣΧΥΕΙ ΜΙΑ ΣΧΕΣΗ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΤΑ ( ) ( )f ξ ,f ξ′
109 ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΜΗΣ f gC ,C
110 Θ.Μ.Τ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
111 Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΣ
112 ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ
113 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΘΜΤ
114 MΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑ ΡΙΖΑΣ
115 FERMAT: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ⇒ ΙΣΟΤΗΤΑ
116 ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
117 ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
118 ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

5. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ……………….4
79 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ – ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ
ΟΡΙΣΜΟΣ
Έστω f ορισμένη και συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ.
Θα λέμε ότι :
• Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα άνω ή είναι κυρτή στο Δ αν η f’ είναι γνησίως αύξουσα στο
εσωτερικό του Δ.
• Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ αν η f’ είναι γνησίως φθίνουσα στο
εσωτερικό του Δ.
(Δηλαδή η εφαπτομένη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ έχει θετική ή αρνητική κλίση αντίστοιχα).
ΘΕΩΡΗΜΑ
Έστω f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ.
• Αν ( )f x 0′′ > για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ.
• Αν ( )f x 0′′ < για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι κοίλη στο Δ.
Το αντίστροφο δεν ισχύει: δηλαδή αν f κυρτή τότε ( )f x 0′′ ≥ , ή f κοίλη τότε ( )f x 0′′ ≤ .
Παράδειγμα
Η συνάρτηση ( ) 4
f x x= είναι κυρτή, ( ) ( )3 2
f' x 4x ,f'' x 12x= = ,όμως ( )f'' 0 0= .
Αν ( )f x 0′′ ≥ για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ και η ισότητα ισχύει για μεμονωμένες τιμές, τότε
( )f x κυρτή στο Δ.
ΟΡΙΣΜΟΣ
Έστω f παραγωγίσιμη σε διάστημα ( )α,β με εξαίρεση ίσως ένα σημείο 0x . Αν
• Η f είναι κυρτή στο ( )0α,x και κοίλη στο ( )0x ,β ή αντίστροφα
• Η fC έχει εφαπτομένη στο ( )( )0 0x ,f xΑ
ΤΟΤΕ
Το σημείο ( )( )0 0x ,f xΑ ονομάζεται σημείο καμπής της fC .
Πιθανές θέσεις σημείων καμπής: τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f’’ μηδενίζεται.
Για να δημιουργηθεί σημείο καμπής πρέπει να αλλάξει εκατέρωθεν του 0x πρόσημο η ( )f x′′ .
ΘΕΩΡΗΜΑ
Αν το ( )( )0 0x ,f xΑ είναι σημείο καμπής της fC και η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη τότε ( )0f x 0′′ =
(αντίστοιχο Fermat).
( )
0
0 0
0
το x εσωτερικό
στο x δύο φορές παραγωγίσιμη f x 0
στο x σημείοκαμπής


′′⇒ =


• Το αντίστροφο δεν ισχύει. Μπορεί δηλαδή ( )0f x 0′′ = , χωρίς απαραίτητα να δημιουργηθεί σημείο
καμπής.
• Το αντιθετοαντίστροφο ισχύει: αν ( )0f x 0′′ ≠ τότε στο 0x ΟΧΙ σημείο καμπής. Αυτό είναι
κριτήριο ώστε η fC να μην παρουσιάζει σημείο καμπής.
ΟΡΙΣΜΟΣ
f γνησίως αύξουσα στο f κυρτή στο
f γνησίως φθίνουσα στο f κοίλη στο
′ Α ⇔ Α
′ Α ⇔ Α

6. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ………………. 5
ΘΕΩΡΗΜΑ
( )
( )
f x 0 f κυρτή f γνησίως αύξουσα
f x 0 f κοίλη f γνησίως φθίνουσα
′′ ′> ⇒ ⇔  
′′ ′< ⇒ ⇔  
Το ακρότατο της f’ είναι σημείο καμπής της fC , δηλαδή:
( )
0
Fermat
0 0
0
το x εσωτερικό
στο x παραγωγίσιμη η f f x 0
στο x ακρότατο η f


′ ′′⇒ =
′ 
.
Αλλάζει μονοτονία η f’ άρα αλλάζει πρόσημο η ( )f x′′ .
• Σε διάστημα όπου η f είναι κυρτή, η εφαπτομένη σε κάθε σημείο του Δ αφήνει τη fC προς τα
πάνω.
• Σε διάστημα όπου η f είναι κοίλη, η εφαπτομένη σε κάθε σημείο του Δ αφήνει τη fC προς τα
κάτω.
• Στο σημείο καμπής η εφαπτομένη διαπερνά τη fC .
ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΑ
( )
( )
0 0
0
0
0
ν f x 0 στο x όχι ακρότατο η f.
στο x όχι ακρότατο η f
ν f x 0
στο x όχι καμπή η f
′Α ≠ ⇒
′
′′Α ≠ ⇒ 

80-1α. Να μελετηθούν ως προς τα κυρτά και τα κοίλα οι συναρτήσεις
( ) ( ) ( ) ( )
ημxln x π π
1 . f x 2 . f x ,x ,0 0,
x x 2 2
   
= = ∈ − ∪   
   
Λύση
1)Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού ( )0,Α = +∞ ,είναι συνεχής και δυο φορές παραγωγίσιμη
( ) 2
ln x 1 ln x
f' x '
x x
  −
= = 
 
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
22 2
2 4 4
4 4 3
1
x 1 lnx 2x1 lnx 'x 1 lnx x '1 ln x xf'' x '
x x x
x 1 lnx 2x x(1 2 1 lnx ) 2lnx 3
x x x
− −− − − − 
= = = = 
 
− − − − −
= = =
( )
3
2
3
f'' x 0 2lnx 3 0 lnx x e
2
= ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
( )
3x 0
2
3
f'' x 0 2lnx 3 0 lnx x e
2
>
> ⇔ − > ⇔ > ⇔ >
( )
3x 0
2
3
f'' x 0 2lnx 3 0 lnx 0 x e
2
>
< ⇔ − < ⇔ < ⇔ < <
H f είναι κυρτή στο διάστημα
3
2
e ,
 
+∞  
 
και κοίλη στο διάστημα
3
2
0,e
 
  
 

7. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ……………….6
(Μεζεδάκι θεωρίας) Έστω μια συνάρτηση f : →ℝ ℝ , με συνεχή παράγωγο και 0
x κρίσιμο
σημείο της f.Να αποδείξετε ότι αν η f είναι κυρτή τότε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0
x .
Λύση
Επειδή η f είναι κυρτή, η f’ είναι συνεχής ,προκύπτει ότι η f’ είναι γνησίως αύξουσα.
Το 0
x είναι κρίσιμο σημείο της f είναι παραγωγίσιμη. Θα ισχύει: 0
f'(x ) 0= .Ακόμα f ր στο ℝ κατά
συνέπεια το 0
x είναι μοναδική ρίζα της f'(x) .
Για 0 0
x x f'(x) f'(x ) 0 f'(x) 0< ⇔ < = ⇔ <
Για 0 0
x x f'(x) f'(x ) 0 f'(x) 0> ⇔ > = ⇔ >
Οπότε από τον διπλανό πίνακα συμπεραίνουμε ότι η f παρουσιάζει ( ολικό ) ελάχιστο στο 0
x .
Bonus
Όταν μια συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα Α τότε η γραφική παράσταση της βρίσκεται
πάνω από την εξίσωση της εφαπτομένης της σε οποιοδήποτε σημείο της Μ(ξ,f(ξ)), ξ ∈ Α
Η εξίσωση της εφαπτομένης στο Μ είναι:
y f(ξ) f'(ξ)(x ξ) y f'(ξ)(x ξ) f(ξ)− = − ⇔ = − +
Άρα έχουμε:
f(x) y f(x) f'(ξ)(x ξ) f(ξ)≥ ⇔ ≥ − + για κάθε ξ ∈ Α
Αν η f είναι κοίλη σε ένα διάστημα Α όμοια έχουμε
f(x) y f(x) f'(ξ)(x ξ) f(ξ)≤ ⇔ ≤ − + για κάθε ξ ∈ Α
Αυτό μας βοηθά στην επίλυση ανισοτήτων , δείτε και ένα παράδειγμα.
80-1β. Να δείξετε ότι ln x x 1≤ − για κάθε x 0>
Απόδειξη
Θεωρούμε την συνάρτηση f(x) ln x= στο ( )0,+∞ η οποία έχει
2
1 1
f'(x) ,f''(x) 0
x x
= = − < για κάθε x 0>
Άρα η f στρέφει τα κοίλα κάτω στο διάστημα ( )0,+∞
Στο σημείο (1,0) η εξίσωση της εφαπτομένης της είναι : ε : y x 1= − και εφόσον η καμπύλη της f
είναι κάτω από την εφαπτομένη της (ε) θα έχουμε:
f(x) y ln x x 1≤ ⇔ ≤ −
Δοκιμάστε ομοίως την παρακάτω άσκηση
80-1γ. Δίνεται η συνάρτηση f(x) συνx ln(συνx)= − ορισμένη στο
π π
,
2 2
 
− 
 
α) Να μελετήσετε τη f ως προς κυρτότητα στο
π π
,
2 2
 
− 
 
.
β) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Α(0,1).
γ) Να δείξετε ότι συνx ln(συνx)> για κάθε
π π
,
2 2
 
− 
 
.
x −∞ xo +∞
( )f' x + -
( )f x ց ΕΛΑΧ ր

8. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ………………. 7
80 ΕΥΡΕΣΗ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑΣ – ΣΗΜΕΙΩΝ ΚΑΜΠΗΣ.
1.Απλός Τύπος
• Βρίσκω πεδίο ορισμού.
• Βρίσκω ( ) ( )f x , f x′ ′′ .
• Μηδενίζω την ( )f x′′ και βρίσκω το πρόσημό της.
• Κάνω πίνακα κυρτών – κοίλων – σ.κ.
ΓΕΝΙΚΑ ΟΤΙ ΚΑΝΑΜΕ ΓΙΑ ΤΗΝ f’ ΣΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΝΟΥΜΕ ΓΙΑ ΤΗΝ f’’
Παράδειγμα 1: Να βρεθούν τα διαστήματα κυρτών – κοίλων και τα σημεία καμπής της συνάρτησης
( ) 5 3
f x 3x 10x 2x 1= − + + .
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
80-1δ. Να βρεθούν τα διαστήματα κυρτών – κοίλων και τα σημεία καμπής των συναρτήσεων:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 2
2
x
1 . f x 2 . f x e x 1
x 1
= = +
−
.
Λύση
(1). Το πεδίο ορισμού της f είναι το { }R 1− ± . Έχουμε:
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
2 2 2
2 22 2
x 1 2x x 1 x 3
f x , f x
x 1 x 1
− + − +
′ ′′= =
− −
.
Το πρόσημο της ( )f x′′ είναι ίδιο με το πρόσημο του ( )2
x x 1− :
Πίνακας κυρτών – κοίλων:
x −∞ -1 0 1 +∞
( )f x′′ - + - +
( )f x ∩ ∪ Σ. Κ. ∩ ∪
Υπάρχει ένα μόνο σημείο καμπής, το ( )0,0
(2). ( ) ( ) ( ) ( )( )2x x
f x e x 1 , f x e x 1 x 3′ ′′= + = + + .
Πρόσημο της ( )f x′′ :
Πίνακας κυρτών και κοίλων:
80-1ε.Η συνάρτηση f : →ℝ ℝ ικανοποίει την σχέση : 2
2f(x) f( x) x 2x 3+ − = + + για κάθε x∈ℝ (1)
α) Να υπολογίσετε τον τύπο της f.
β)Να δειχθεί ότι η f είναι κυρτή.
Λύση
α) Στην (1) που ισχύει για κάθε x∈ℝ αντί για x θέτουμε –x έχουμε:
2 2
2f( x) f(x) ( x) 2( x) 3 2f( x) f(x) x 2x 3− + = − + − + ⇔ − + = − +
Οπότε
−∞ -1 0 1 +∞
- + - +
-3 -1
+ - +
x −∞ -3 -1 +∞
( )f x′′ + - +
( )f x ∪
3
10e
σ.κ.
−
∩
1
2e
σ.κ.
−
∪

9. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ……………….8
2 2 ( )
2
2 2
2f(x) f( x) x 2x 3 4f(x) 2f( x) 2x 4x 6
3f(x) x 6x 3
2f( x) f(x) x 2x 3 2f( x) f(x) x 2x 3
+ + − = + + − − − = − − − 
⇔ ⇒− = − − − ⇔ 
− + = − + − + = − +  
2 21
3f(x) x 6x 3 f(x) x 2x 1
3
− = − − − ⇔ = + +
β) Τότε:
21 2 2 2
f'(x) x 2x 1 ' x 2 , f''(x) x 2 ' 0
3 3 3 3
   
= + + = + = + = >   
   
Εφόσον f''(x) 0> για κάθε x∈ℝ η f στρέφει τα κοίλα άνω για κάθε x∈ℝ .
80-1στ.Αν η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ, παίρνει τιμές στο
διάστημα ( )0,+∞ και ισχύει 2
f(x)f''(x) (f'(x))> να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g με g(x) lnf(x)=
στρέφει τα κοίλα άνω.
Λύση
Επειδή η συνάρτηση g είναι σύνθεση της συνάρτησης f και της lnx, θα είναι δυο φορές
παραγωγίσιμη. Έτσι έχουμε:
( ) f'(x)
g'(x) lnf(x) '
f(x)
= =
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2 2
f''(x)f(x) f'(x) f''(x)f(x) f'(x)f'(x) f''(x)f(x) f'(x)f'(x)
g''(x) ' 0
f(x) f(x) f(x) f(x)
− −  −
= = = = > 
 
Εφόσον ισχύει 2
f(x)f''(x) (f'(x))> .Συνεπώς η g στρέφει τα κοίλα άνω στο διάστημα Δ.
80-1ζ.Μια συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και για κάποιο 0
x ∈∆
είναι 0
f'(x ) 0= και (3)
0
f (x ) 0≠ .Να αποδείξετε ότι το σημείο 0 0
A(x ,f(x )) είναι σημείο καμπής της f.
Λύση
Είναι
0 0 0
(3) 0
0 x x x x x x
0 0 0
f''(x) f''(x ) f''(x) 0 f''(x)
f (x ) lim lim lim (1)
x x x x x x→ → →
− −
= = =
− − −
Διακρίνουμε περιπτώσεις.
α) (3)
0
f (x ) 0> .Τότε από την (1):
0x x
0
f''(x)
lim 0
x x→
>
−
.Άρα για τα x κοντα στο 0
x είναι
0
f''(x)
0
x x
>
−
(2)
▪ Αν 0 0
x x x x 0< ⇔ − < από την (2) προκύπτει f'(x) 0<
▪ Αν 0 0
x x x x 0> ⇔ − > από την (2) προκύπτει f'(x) 0>
Παρατηρούμε ότι η f’ μηδενίζεται στο 0
x και αλλάζει πρόσημο εκατερωθεν του 0
x άρα το σημειο
0
x είναι θέση σημείου καμπής της f.
b) (3)
0
f (x ) 0> .Όμοια με προηγουμένως.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
80-2. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία οι παρακάτω συναρτήσεις είναι κυρτές ή κοίλες και να
προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σημεία καμπής των γραφικών τους παραστάσεων
253)( 45
+−= xxxf 3
2
23
)(
x
x
xg
−
= . x
xexf −
= 1
)( )5ln2()( 2
−= xxxg
80-3. Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα τη συνάρτηση: ( ) 3 2
f x =x -6x +15 .
80-4. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 4 3 2
f x =x +2x -12x +12x+5. Να βρείτε:
i) Την f’’,
ii) Τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη,
iii) Τα σημεία καμπής της fC , αν υπάρχουν.

10. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ………………. 9
80-5. Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση: ( ) 4 3 2
f x =x -8x +18x +12x-24, x R∈ είναι
κυρτή ή κοίλη και να βρεθούν τα σημεία καμπής της fc .
80-6. Η συνάρτηση θέσης ενός σωματιδίου που κινείται πάνω στον άξονα x’x είναι: ( )
t
t
e +2
S t =
e +3
(σε
m) όπου t 0≥ είναι ο χρόνος (σε sec).
α) Να αποδείξετε ότι το σωματίδιο κινείται συνέχεια προς τα δεξιά.
β) Να προσδιορίσετε το χρονικό διάστημα κατά το οποίο η συνάρτηση θέσης είναι κυρτή. Τι
σημαίνει
αυτό για την κίνηση του σωματιδίου;
γ) Να βρείτε τη θέση και την ταχύτητα του σωματιδίου τη χρονική στιγμή κατά την οποία η
επιτάχυνσή του είναι ίση με το μηδέν.
80-7. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση C της συνάρτησης θέσεως )(tSx = ενός
κινητού που κινείται πάνω σε έναν άξονα. Αν η C παρουσιάζει καμπή τις χρονικές στιγμές
1t και 3t , να βρείτε:
i) Πότε το κινητό κινείται κατά τη θετική φορά και πότε κατά την αρνητική φορά.
ii) Πότε η κίνηση του κινητού είναι επιταχυνόμενη και πότε επιβραδυνόμενη.
x=S(t)
x=S(t)
O
t2
t3t1 t
2.Πολλαπλός Τύπος
• Βρίσκω την πρώτη και δεύτερη παράγωγο για 0x x< και στη συνέχεια βρίσκω το πρόσημο της
( )f x′′ για 0x x< .
• Βρίσκω την πρώτη και δεύτερη παράγωγο για 0x x> και στη συνέχεια βρίσκω το πρόσημο της
( )f x′′ για 0x x> .
• Κάνω ενιαίο πίνακα κυρτών – κοίλων – σ.κ.
Να βρεθούν τα διαστήματα κυρτών– κοίλων και τα σημεία καμπής της συνάρτησης
3
3
2 , 1
( )
2( 2) , 1
x x
f x
x x
 <
= 
− − ≥
Λύση
Η f είναι συνεχής στα διαστήματα ( ),0−∞ και ( )1,+∞ , επειδή σε αυτά είναι πολυωνυμική .Επίσης
είναι
x 1 x 1
lim f(x) lim f(x) 2 f(1)− +
→ →
= = = .Άρα είναι συνεχής στο ℝ .Έτσι έχουμε:
2
2
6 , 1
'( )
6( 1) , 1
x x
f x
x x
 <
= 
− − ≥
και
12 , 1
'( )
12( 1) , 1
x x
f x
x x
 <
= 
− − ≥
Είναι
''( ) 0 12 0 0f x x x= ⇔ = ⇔ = για 1x <
''( ) 0 12( 2) 0 2f x x x= ⇔ − − = ⇔ = για 1x ≥

11. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ……………….10
Σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα πρόσημων για την f’’
x −∞ 0 1 2 +∞
( )f x′′ - + + -
( )f x ∩ ∪ Σ. Κ. ∩ ∪
Παρατηρούμε ότι η f είναι κοίλη σε καθένα από τα διαστήματα ( ,0−∞  και )2, +∞ και κυρτή σε
καθένα από τα διαστήματα 0,1   , 1,2   .
Η f’’ όπως είδαμε μηδενίζεται για x 0= και x 2= ενώ η f’’ δεν ορίζεται στο 1.Επομενως ,πιθανές
θέσεις σημείων καμπής είναι οι θέσεις 0,1,2 .Όπως φαίνεται στον πίνακα, το 1 δεν είναι θέση
σημείου καμπής , αφού η f δεν αλλάζει κυρτότητα ( δηλαδή η f’’ δεν αλλάζει πρόσημο) Ενώ για x=0
και x=2 έχουμε αλλαγή κυρτότητας και ορίζεται η εφαπτομένη ( έχει εξίσωση y=0) Άρα θέσεις
σημείου καμπής είναι το 0 και το 2.
Παράδειγμα 2: Να βρεθούν τα διαστήματα κυρτών – κοίλων και τα σημεία καμπής της συνάρτησης



≥++−
<+−
=
0,13
0,13
)( 23
2
xxx
xx
xh . (Στην τάξη)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
80-8. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία οι παρακάτω συναρτήσεις είναι κυρτές ή κοίλες και να
προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σημεία καμπής των γραφικών τους παραστάσεων
i)
2
)( x
exf −
= ii) 





−∈=
2
,
2
,εφ)(
ππ
xxxg
80-9. Δίνεται η συνάρτηση ( )
3 2
2
-x -6x +x, x<0
f x =
x +x, x 0


≥
. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι
κυρτή ή κοίλη καθώς και τα σημεία καμπής της fc
81 ΠΡΟΣ∆ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ
1.Κυρτή ή κοίλη συνάρτηση στο R
• Βρίσκω την πρώτη και δεύτερη παράγωγο.
• Θέτω ( )f x 0 για κάθε x R′′ ≥ ∈ για κυρτή και ( )f x 0 για κάθε x R′′ ≤ ∈ για κοίλη.
• Συνήθως η ( )f x′′ είναι τριώνυμο, οπότε δουλεύω με πρόσημο τριωνύμου.
Παράδειγμα1: Να προσδιοριστούν οι τιμές της παραμέτρου α ώστε να είναι κοίλη στο R (τα κοίλα
κάτω) η συνάρτηση: ( ) ( ) ( )4 3 2
f x α 2 x 8x 6 α 1 x 2α 3= − + + + + + .
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
81-1. Να προσδιοριστούν οι τιμές της παραμέτρου α, ώστε να είναι κυρτή στο R (στρέφει τα κοίλα
άνω) η γραφική παράσταση της συνάρτησης: ( ) ( )4 3 2
f x 2x 4αx 3 4α 3 x 1= + + − + .
Λύση
Βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο:
( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 2
f x 8x 12αx 6 4α 3 x, f x 24x 24αx 4α 3 6 4x 4αx 4α 3′ ′′  = + + − = + + − = + + −  .
Για να είναι κυρτή σε όλο το R θα πρέπει για κάθε x R∈ να ισχύει
( ) 2
f x 0, 4x 4αx 4α 3 0 για κάθεx R′′ ≥ + + − ≥ ∈ .
Αυτό ισχύει μόνο στην περίπτωση που είναι 0∆ ≤ .
( )2 2
0 16α 16 4α 3 0, α 4α 3 0, 1 α 3∆ ≤ ⇔ − − ≤ − + ≤ ≤ ≤ .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
1ος Κλάδος 2ος Κλάδος

12. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ………………. 11
81-2. Να αποδείξετε ότι για κάθε )2,2(−∈α η συνάρτηση 1262)( 234
+++−= xxxαxxf είναι κυρτή
σε όλο το R.
81-3. Δίνεται η συνάρτηση ( )
4 3 2
x λx x
f x = - + +x+1, λ R
12 6 2
∈ .
i) Να βρεθεί η δεύτερη παράγωγος της f.
ii) Να βρεθούν οι τιμές του λ R∈ , ώστε η f να είναι κυρτή.
2. Αν γνωρίζω ότι στη θέση 0
x παρουσιάζει σημείο καμπής.
• ( ) ( )
0
0 0
0
το x εσωτερικό του
στο x καμπή f x 0 1
στο x δύο φορές παραγωγίσιμη
∆ 

′′⇒ =


.
• Λύνω την εξίσωση (1) με άγνωστο την παράμετρο.
Παράδειγμα2: Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) 5 4 3 2
f x =x +5αx +10βx +x +x+1 παρουσιάζει
τρία σημεία καμπής, να αποδείξετε ότι 2
α >β .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
81-4. Αν για τη συνάρτηση ( ) 3 2
f x =αx +βx , α 0≠ , είναι γνωστό ότι το σημείο Α(1,6) είναι σημείο
καμπής της γραφικής της παράστασης, να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α και β.
81-5. Αν η fC έχει καμπή στο 0x 3= να βρεθεί ο α, αν ( ) ( ) ( )3 2
f x α 1 x α 7 x 2α 1= − − + + + .
3. Εύρεση παραμέτρων ώστε να παρουσιάζει καμπή στο 0x .
• Απαιτώ ( )0f x 0′′ = .
• Λύνω την εξίσωση.
• Μετά την εύρεση των παραμέτρων ελέγχω αν η f′′ αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του 0x
Παράδειγμα3: Να βρεθούν οι τιμές των α και β ώστε η
συνάρτηση ( ) ( ) ( )4 3 2
f x x α 1 x 4β 2 x 3= − − − + + , να έχει σ.κ. στο x 1 και x 3= − = .
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
81-6. Να βρεθούν οι τιμές των α και β ώστε η συνάρτηση ( ) ( ) ( )5 3
f x αx 4β 2 x α 1 x 1= − + + − + να έχει
σ.κ. το ( )1, 4− .
Λύση
Το σ.κ. ( )1, 4− είναι σημείο της καμπύλης ( )y f x= , συνεπώς ισχύει ( )f 1 4 α 2β 1= − ⇔ − = − (1).
Επίσης πρέπει ( )f x 0′′ = και εκατέρωθεν του 1 η ( )f x′′ να αλλάζει πρόσημο.
Είναι ( ) ( )3
f x 20αx 6 4β 2 x′′ = − + , οπότε για x 1= έχουμε: ( )20α 6 4β 2 0 5α 6β 3− + = ⇔ − = (2).
Από τις (1) και (2) βρίσκουμε ότι είναι α 3 και β 2= = για τις τιμές αυτές η ( )f x′′ αλλάζει πρόσημο
εκατέρωθεν του x 1= .
81-7. Να βρεθεί η τιμή του α ώστε η συνάρτηση f με ( ) ( ) ( )4 3 2
f x x 2 α 1 x 6 α 1 x 5= − − + − + να έχει ή
ένα ή δύο ή κανένα σημείο καμπής.
Λύση
Η δεύτερη παράγωγος είναι: ( ) ( )( )2
f x 12 x α 1 x α 1′′ = − − + − .
Για να έχει η συνάρτηση f ένα ή δύο ή κανένα σημείο καμπής θα πρέπει η ( )f x′′ να έχει μία ή δύο ή
καμία αντίστοιχα ρίζα. Είναι: ( ) ( ) ( )( )2
α 1 4 α 1 α 1 α 5∆ = − − − = − − .
Ένα σημείο καμπής: 0 α 1 ή α 5∆ = ⇔ = = .
Δύο σημεία καμπής: 0 α 1 ή 5 α∆ > ⇔ < < .
Κανένα σημείο καμπής: 0 1 α 5∆ < ⇔ < < .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
81-8. Να βρείτε τις τιμές των α, β R∈ , ώστε η συνάρτηση ( ) 3 2
f x =αx +βx -36x+5 να έχει στο σημείο
0x =3 τοπικό ακρότατο και η γραφική της παράσταση fC να έχει σημείο καμπής το
σημείο
1 1
M ,f .
2 2
  
  
  

13. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ……………….12
81-9. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( )4 3 2 2
f x =x +2βx +6 β +β x +2αx+1, α,β R∈ . Να βρεθούν οι α και β, ώστε η
γραφική παράσταση της f να έχει σημείο καμπής το Μ(0,1) και η fC να δέχεται στο σημείο Ν(1,f(1))
οριζόντια εφαπτομένη.
81-10.
Να βρείτε τις τιμές των α, β R∈ , ώστε η συνάρτηση ( ) 3 2
f x =αx +βx +1 να έχει σημείο καμπής το
Μ(1,3).
4. Εύρεση παραμέτρων ώστε το σημείο καμπής να ικανοποιεί συνθήκη.
• Βρίσκω τα σ.κ.
• Εκφράζω τη σχέση της άσκησης με εξίσωση ή ανίσωση.
• Λύνω την εξίσωση ή ανίσωση.
Παράδειγμα4: Να δειχτεί ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) 2
4x
f x
x 1
=
+
έχει τρία σημεία
καμπής τα οποία είναι συνευθειακά.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
81-11. Να βρείτε τα σημεία καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης:
1
)( 2
+
=
x
x
xf
και να αποδείξετε ότι δύο από αυτά είναι συμμετρικά ως προς το τρίτο.
81-12. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης: 2
2)( xexf αx
−= −
έχει για κάθε
τιμή του ∈α R, ακριβώς ένα σημείο καμπής που βρίσκεται στην παραβολή 22
+−= xy .
81-13. Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) 3 2
f x =αx +βx +γx+δ με
2
α 0 και β =3αγ≠ δέχεται στο σημείο καμπής της οριζόντια εφαπτομένη.
81-14. Δίνεται η συνάρτηση 23)( 23
+−= xxxf .
i)Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο
καμπής.
ii) Aν 21 , xx είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων και 3x η θέση του σημείου καμπής, να
αποδείξετε ότι τα σημεία ))(,( 11 xfxA , ))(,( 22 xfxB και ))(,( 33 xfxΓ είναι συνευθειακά.
81-15. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 2 3
f x = -2x +6μx -9μx+10μ -4μ . Να αποδείξετε ότι η γραφική
παράσταση της f έχει για κάθε τιμή του μ R∈ ακριβώς ένα σημείο καμπής που βρίσκεται στην
παραβολή 2
y=x .
81-16. Δίνεται η συνάρτηση: ( ) ( )4 3 21 5 λ
f x = x - λ-2 x +3λx + x-
2 2 3
, Rλ ∈ η οποία υποθέτουμε ότι έχει δύο
σημεία καμπής διαφορετικά μεταξύ τους. Να αποδείξετε ότι:
λ
-2 > 3
2
.

14. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ………………. 13
82 ΟΧΙ Σ.Κ.
Αν θέλω να δείξω ότι η fC δεν έχει σ.κ. στο 0x :
• Υποθέτω ότι έχει σ.κ. στο 0x .
• Παραγωγίζω δύο φορές τη συνάρτηση ή τη σχέση.
• Διαπιστώνω ότι ισχύουν:
( )
0
0 0
0
στο x δύο φορές παραγωγίσιμη
το x εσωτερικό του f x 0
στο x σ.κ.


′′∆ ⇒ =


.
• Καταλήγω σε αδύνατη εξίσωση.
Παράδειγμα1: Έστω f μια συνάρτηση, δυο φορές παραγωγίσιμη στο ]2,2[− , για την οποία ισχύει
03)(2)( 22
=−+− xxfxf . Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει σημεία καμπής.
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
82-1. Να δειχτεί ότι για κάθε α R∈ δεν έχει σημείο καμπής η γραφική παράσταση της συνάρτησης
( ) ( )4 3 2 2
f x x 2αx 6 α α 1 x 2α 1= − + − + − + .
Λύση
Αν 0x είναι θέση σημείου καμπής τότε θα ισχύει ( )0f x 0′′ = (1).
Είναι: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 2 2 2 2
f x 4x 6αx 12 α α 1 x, f x 12x 12αx 12 α α 1 12 x αx α α 1′ ′′= − + − + = − + − + = − + − + .
Για το τριώνυμο 2 2
x αx α α 1− + − + είναι ( )2 2 2
α 4 α α 1 3α 4α 4 0∆ = − − + = − + − < , γιατί η διακρίνουσά
του 2
3α 4α 4− + − είναι αρνητική ( )32− , συνεπώς το πρόσημό του είναι πάντοτε ομόσημο του 2
3α− .
Επειδή ( )0 η f x′′∆ < δεν έχει ρίζες, άρα δεν υπάρχει 0x που να επαληθεύει την (1), δεν υπάρχει
σημείο καμπής.
Επειδή ( )0 η f x′′∆ < είναι πάντοτε θετική (ομόσημη του 2
12x ), οπότε η συνάρτηση f είναι κυρτή στο
R.
82-1b.Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης
( )
2 3
2 2 3 2x 2αx 5
f x (α 2α )x (α 7)x 5α ,α
2 3 2
= + + − + + + − ∈ℝ
Δεν έχει σημείο καμπής. (Εισαγωγικές εξετάσεις 1990)
Λύση
Το πεδίο ορισμού της f είναι f
D = ℝ
Είναι:
( )
2 3
2 2 3 2
3 2 2 3
x 2αx 5
f' x (α 2α )x (α 7)x 5α '
2 3 2
2x 2αx (2α 4α 5)x (α 7)
 
= + + − + + + − = 
 
= + + − + + +
Και
( ) ( )3 2 2 3 2 2
f'' x 2x 2αx (2α 4α 5)x (α 7) ' 6x 4αx (2α 4α 5),x= + + − + + + = + + − + ∈ ℝ
Η διακρίνουσα Δ του τριωνύμου ( )f'' x είναι:
2
α 4α 5∆ = − + − που όπως είναι πάντα αρνητική για κάθε πραγματικό α .( ' 4 0∆ = − < )
Άρα ( )f'' x 0≠ για κάθε x∈ℝ , πράγμα που σημαίνει ότι η Cf δεν έχει σημείο καμπής.
82-2b.Έστω μια συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ τέτοια ώστε:
2 2
f (x) xf(x) x 5f(x)+ + = για κάθε x∈ℝ (1)
Να αποδείξετε ότι η Cf δεν έχει σημείο καμπής.
Λύση
Παραγωγίζουμε και τα δυο μέλη της (1)
2f(x)f'(x) f(x) xf'(x) 2x 5f'(x)+ + + =

15. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ……………….14
Παραγωγίζουμε ξανά
( )
( )
( )
2
2
2
2 f'(x) 2f(x)f''(x) 2f'(x) xf''(x) 2 5f''(x)
2 f'(x) 2f'(x) 2 5f''(x) 2f(x)f''(x) xf''(x)
2 f'(x) 2f'(x) 2 (5 2f(x) x)f''(x) (2)
+ + + + = ⇔
+ + = − − ⇔
+ + = − −
Υποθέτουμε ότι η Cf έχει σημείο καμπής το 0 0
(x ,f(x )) , τότε, επειδή η f είναι δυο φορές
παραγωγίσιμη, θα ισχύει:
0
f''(x ) 0 (3)=
Για 0
x x= η (2) γίνεται:
( )
2
0 0 0 0 0
2 f'(x ) 2f'(x ) 2 (5 2f(x ) x )f''(x )+ + = − −
Και λόγω της (3) προκύπτει:
( ) ( )
2 2
0 0 0 0
2 f'(x ) 2f'(x ) 2 0 f'(x ) f'(x ) 1 0+ + = ⇔ + + = .Το 0
f'(x ) είναι ρίζα της εξίσωσης
2
ω ω 1 0+ + = άτοπο για τη διακρίνουσα της είναι Δ=-3 < 0.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
82-2. Έστω μια συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει:
( )( ) ( )
3 x 3
f x +f x =e +x , x R′ ′ ∈ . Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σημείο καμπής.
82-3. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και τέτοια ώστε:
( )( ) ( )3 x 3 2
f x +2f x =e +x +x +x+2′ ′ για κάθεx R∈ . Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει σημεία καμπής.
82-4. Μια συνάρτηση f:R R→ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και για κάθεx R∈ ισχύει
( )( ) ( )( ) ( )
3 2 x
f x + f x +f x =e +x-1.′ ′ ′ Να αποδείξετε ότι:
i) Υπάρχει ακριβώς ένα σημείο της γραφικής παράστασης της f με οριζόντια εφαπτομένη,
ii) Η f είναι κυρτή στο R.
82-5. Αν η συνάρτηση f:R R→ ικανοποιεί τη σχέση ( ) ( )f x 2 x
f x +e =1+x-x -e για κάθεx R∈ , να
αποδείξετε ότι:
i) Η γραφική παράσταση της f δεν έχει σημεία καμπής,
ii) Η f έχει ακριβώς ένα κρίσιμο σημείο τοπικού ακρότατου.
83 ΚΑΝΟΝΕΣ DE L’ HOSPITAL
0
,
0
∞
∞
ΘΕΩΡΗΜΑ 1.
Αν ( ) ( ) { }0 0
0x x x x
lim f x 0 και lim g x 0, x ,
→ →
= = ∈ ∪ −∞ +∞ℝ και υπάρχει το όριο
( )
( )0x x
f x
lim
g x→
′
′
, τότε
( )
( )
( )
( )0 0x x x x
f x f x
lim lim
g x g x→ →
′
=
′
.
ΘΕΩΡΗΜΑ 2.
Αν ( ) ( ) { }
0 0
0
x x x x
lim f x και lim g x , x R ,
→ →
= ∞ = ∞ ∈ ∪ −∞ +∞ και υπάρχει το όριο
( )
( )0x x
f x
lim
g x→
′
′
, τότε
( )
( )
( )
( )0 0x x x x
f x f x
lim lim
g x g x→ →
′
=
′
.
Για να υπολογίσω το όριο με κανόνα De L’ Hospital:

16. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ………………. 15
1. Διαπιστώνω ότι το όριο αριθμητή και παρονομαστή είναι 0 (ή ∞ ), οπότε έχω απροσδιοριστία
της μορφής
0
ή
0
∞ 
 
∞ 
.
2. Υπολογίζω το όριο του λόγου των παραγώγων αριθμητή και παρονομαστή.
3. Εφαρμόζω το θεώρημα De L’ Hospital.
4. Αν έχω πάλι απροσδιοριστία επαναλαμβάνω τα ίδια.
Παράδειγμα 1: Να βρεθεί το όριο
x 0
ημ4x ημ2x
lim
ημ5x ημ2x→
+
−
.
Παράδειγμα 2: Να βρεθεί το όριο
x
2 xx
x e
lim
x e→∞
+
+
.
Παρατήρηση:
Τα θεωρήματα Hospital εφαρμόζονται μόνο στην περίπτωση όπου υπάρχει το
( )
( )0x x
f x
lim
g x→
′
′
, αν δεν
υπάρχει ακολουθώ άλλο τρόπο για τον υπολογισμό.
Παράδειγμα3: Να βρεθεί το όριο
x
x ημx
lim
x ημx→∞
+
−
.
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
83-1. Να βρεθεί το όριο
2
3 2x 0
ημx x x
lim
x x→
− −
−
.
Λύση
( )
( )
( )
( )
 
 
 
→
 
 
 
→ →
→ →
− −
=
−
′
− − − −
= =
′ −
−
′− − − −
= =
−′
−
0
2 0
13 2x 0
0
2
0
22x 0 x 0
3 2
x 0 x 0
2
ημx x x
lim L
x x
ημx x x συν2x 2x 1
lim lim L
3x 2x
x x
συν2x 2x 1 ημx 2
lim lim 1
6x 2
3x 2x
.
Άρα από θεώρημα De L’ Hospital έχω L1=L2=1
83-2. Να βρεθεί το όριο
x x
x xx
e e
lim
e e
−
−→∞
+
−
.
Λύση
( )
( )
( )
( )
∞ ∞
− −− − −∞ ∞
− − −→∞ →∞ →∞ →∞ →∞
− −
′ ′
+ −+ − +
= = = =
′ ′− + −
− +
x x x xx x x x x x
x x x x x xx x x x x
x x x x
e e e ee e e e e e
lim lim lim lim lim
e e e e e e
e e e e
Βρίσκουμε συνεχώς το ίδιο όριο! Η συνάρτηση γράφεται:
x
2xx
2x
x
x
1
e
e 1e
1 e 1e
e
+
+
=
−−
.
Είναι:
2x 2x
2x 2xx x
e 1 2e
lim lim 1
e 1 2e
∞
∞
→∞ →∞
+
= =
−
.

17. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ……………….16
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
83-3. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:
)1ln(
ηµ
lim
0 +→ x
x
x
, 4
2
0
συν1
lim
x
x
x
−
→
,
x
xx
x συν1
ηµ
lim
0 −
−
→
,
→
x 2
3x 0
2e -x -2x-2
lim
x
→ 2x 0
xημx-συνx+1
lim
x
,
→
x
xx 0
e -x-1
lim
xe -x
,
→
2
x 0
x ημx
lim
x-ημx
,
→x 0
εφx-ημx
lim
x-ημx
,
→ 2x 0
1+xημx-συν2x
lim
ημ x
,
→x 0
x-εφx
lim
1-συν2x
, +
−
→
1/x
x 0
e
lim
x
83-4. Να υπολογιστούν τα όρια:
+
→x 0
lnx
lim
σφx
,
( )
( )→ ∞x +
ln x+1
lim
ln x+2
,
( )
→ ∞
3 2
2xx +
x +x +x+1 lnx
lim
e
,
→ ∞
2
2x +
ln x+lnx+1
lim
ln x+1
,
→ ∞
2 2
2x +
x +ln x
lim
x +lnx
,
→ ∞x +
3x+lnx
lim
x+lnx
→+∞
x
2x
e
lim
x
,
x
2016x
e
lim
x→+∞
84 ΚΑΝΟΝΕΣ DE L’ HOSPITAL ( ) ( )0 ή⋅∞ ∞ − ∞
1. Μορφή ( )0⋅∞
• Ζητάω το όριο ( ) ( )
0x x
lim f x g x
→
(όριο γινομένου) όταν ( ) ( )
0 0x x x x
lim f x 0 και lim g x
→ →
= = ±∞ .
• Γράφω ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
g x f x
f x g x ή f x g x
1 1
f x g x
= = , οπότε έχω απροσδιοριστία της μορφής:
0
ή
0
∞
∞
.
• Εφαρμόζω Θ. Hospital.
Παράδειγμα1: Να βρεθεί το όριο ( )x 2
x
lim e 2 x
→−∞
− .
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
84-1. Να βρεθούν τα όρια: ( ) ( ) ( ) ( )x 2
x 0 x 0
1 . lim e 1 σφx 2 . lim xln x+ +
→ →
− .
Λύση
( ) ( )
( ) ( )
( )
0
xx x x0 0
x x 2
x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
2
e 1e 1 e 1 e
1 . lim e 1 σφx lim lim lim lim lim e συν x 1
1 1εφx εφx
σφx συν x
+ + + + + +
⋅∞
→ → → → → →
′−− −
− = = = = = =
′
.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
220 0
2
x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
2
1
2ln xln xln x 2lnxx2 . lim xln x lim lim lim lim 2x lnx lim
1 1 1
1
x x x
x
+ + + + + +
∞ ∞
⋅∞ ⋅∞∞ ∞
→ → → → → →
′
= = = = − ⋅ = =
′ − 
 
 
( ) 2
x 0 x 0 x 0
2
2
2lnx 2xxlim lim lim 0
1 x1
x
x
+ + +
→ → →
′
− = − = − =
′ − 
 
 
.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
84-2. Να υπολογιστούν τα όρια: ( )+
→x 0
lim xlnx ( )→ +
2
x 0
lim x lnx
→ ∞
3 x
x -
lim x e .
84-3. Να βρεθεί το
1
x
x +
lim x e -1
→ ∞
 
 
 
,
→
2
-1
x
2x 0
1
lim e
x

18. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ………………. 17
2. Μορφή ( )∞ − ∞ .
• Ζητάω το όριο ( ) ( )( )0x x
lim f x g x
→
− , όταν ( ) ( )
0 0x x x x
lim f x lim g x
→ →
= = ∞ .
• Γράφω: ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
g x f x
f x g x f x 1 ή f x g x g x 1
f x g x
   
− = − − = −   
   
.(βγάζω κοινό παράγοντα)
• Για τα
( )
( )
( )
( )0 0x x x x
f x g x
lim ή lim
g x f x→ →
, έχω απροσδιοριστία
∞
∞
και εφαρμόζω Θ. Hospital.
Παράδειγμα2: Να βρεθεί το όριο ( )x
x
lim lnx e
→∞
− .
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
84-4. Να βρεθεί το όριο ( )x 3
x
lim e x−
→−∞
+ .
Λύση
Έχουμε απροσδιοριστία της μορφής ( )∞ − ∞ . Είναι: ( ) ( )
x
x 3 3
3x x
e
lim e x lim x 1 1
x
−
→−∞ →−∞
 
+ = + = −∞⋅ −∞ + = ∞ 
 
γιατί είναι:
x x x x
3 2x x x x
e e e e
lim lim lim lim
x 3x 6x 6
∞ −∞ ∞     
     − − −−∞ ∞ −∞     
→−∞ →−∞ →−∞ →∞
− −
= = = = −∞ .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
84-5. Να βρεθούν τα όρια ( )−
→+∞
−x
x
lim e x ( )→+∞
 + − x
lim ln x 1 x ( )→−∞
 + +
 
2
x
lim x ln x 1 ( )→∞
 − +
 x
lim x ln x 1
84-6. Να βρεθούν τα όρια +
→
 
− 
 x 0
1 1
lim
x εφx +
→
 
− 
 π
x
2
x π
lim
σφx 2συνx
85 ΚΑΝΟΝΕΣ DE L’ HOSPITAL 0 0
0 , , 1∞
∞
• Ζητάω όριο της μορφής ( ) ( )
0
g x
x x
lim f x
→
.
• Διαπιστώνω απροσδιοριστία 0 0
0 , , 1∞
∞ .
• Εφαρμόζω την ιδιότητα lnθ
θ e= δηλαδή ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )g x
g x lnf x g x ln f x
f x e e= = .
• Θέτω u τον εκθέτη ( ) ( )u g x lnf x= και υπολογίζω το ( ) ( )
0
0
x x
u lim g x lnf x
→
= . (το όριο αυτό θα είναι
μία από τις μορφές ( )
0
0 ή ή
0
∞
⋅∞
∞
).
• Το αρχικό όριο είναι 0u
e .
Παράδειγμα 1: Να βρεθεί το όριο ημx
x 0
lim x+
→
.
Παράδειγμα 2: Να βρεθεί το όριο
εφx
x 0
1
lim
x+
→
 
 
 
.
Παράδειγμα 3: Να βρεθεί το όριο ( )
1
x
x 0
lim 1 x+
→
+ .
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
85-1. Να βρεθεί το όριο ( )
εφx
x 0
lim ημx+
→
.
Λύση
Έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0
0 . Είναι: ( )
( ) ( )
εφx
ln ημxεφx εφx ln ημx
x 0 x 0 x 0
lim ημx lim e lim e+ + +
 
⋅  
→ → →
= = .
Έχουμε: ( )
( ) ( ) ( )( )
( )
[ ]
0
x 0 x 0 x 0 x 0
ln ημxln ημx
lim εφx ln ημx lim lim lim συνx ημx 1 0 0
1
σφx
εφx
+ + + +
∞
⋅∞ ∞
→ → → →
′
 ⋅ = = = − ⋅ = − ⋅ =  ′
.
Συνεπώς είναι ( )
εφx 0
x 0
lim ημx e 1+
→
= = .

19. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ……………….18
85-2. Να βρεθεί το όριο
x
x
1
lim 1
x→∞
 + 
 
.
Λύση
Έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0
∞ . Ο τύπος γράφεται:
x
1 1x ln 1 xln 1x x1
1 e e
x
    +   +       + = = 
 
.
Είναι:
( )
0
0 0
x xx 0
1
ln 1
1 xx
lim x ln 1 lim lim 1
1x x 1
x
+
⋅∞
→∞ →∞→
 + 
   ⋅ + = = = 
+ 
.
Συνεπώς είναι:
x
1
x
1
lim 1 e e
x→∞
 + = = 
 
.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
85-3. Να βρεθούν τα όρια (μορφή 0
0 ): +
→
x
x 0
lim x , ( )+
→
x
x 0
lim ημx
85-4. Να βρεθούν τα όρια (μορφή 0
∞ ): ( )+
→
x
x 0
lim σφx , ( )+
→
x
x 0
lim lnx
85-5. Να βρεθούν τα όρια (μορφή1∞
): ( )+
→
+
σφx
x 0
lim 1 εφx +
→
 
+ 
 
2
x
x 0
1
lim 1
x
( )
→
+
εφx
π
x
2
lim ημx
86 ΚΑΝΟΝΕΣ DE L’ HOSPITAL ΣΥΝΕΧΕΙΑ – ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ
1.Συνέχεια-Παραγωγισιμότητα
Κατά τον υπολογισμό των ορίων της συνέχειας ή της παραγώγου, ενδέχεται να εφαρμόζω τα θ.
Hospital.
Παράδειγμα 1: Να δειχτεί ότι είναι συνεχής στη θέση x 0= η συνάρτηση ( )
x x
e e x, x 0
f x x ημx
, 0 x
xημx
−
 − − ≤

= −
<

.
Παράδειγμα 2: Να δειχτεί ότι είναι παραγωγίσιμη στη θέση 0x 1= η συνάρτηση ( )
2
2x x , x 1
f x
x lnx, 1 x
 − ≤
= 
− <
.
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
86-1. Να δειχτεί ότι είναι παραγωγίσιμη στο 0x 0= η συνάρτηση ( )
2
x 2
1 x x , x 0
f x
e x , 0 x
 + − ≤
= 
+ <
.
Λύση
Είναι ( )f 0 1= ,
( ) ( ) ( )2
x 0 x 0 x 1
f x f 0 x 1 x1 x x 1
lim lim lim 1
x x x− − −
→ → →
− −+ − −
= = = .
( ) ( )
0
x 2 x
0
0
x 0 x 0 x 0
f x f 0 e x 1 e 2x
lim lim lim e 0 1
x x 1+ + +
→ → →
− + − +
= = = + = .
Είναι παραγωγίσιμη στη θέση x 0= με ( )f 0 1′ = .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
86-2. Nα βρείτε τις τιμές των ∈βα, R, ώστε η συνάρτηση



>
≤+
=
0,
0,ηµ
)(
xe
xαx
xf xβ

20. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ………………. 19
να είναι παραγωγίσιμη στο 00 =x .
86-3. Δίνεται η συνάρτηση





=−
≠<
−=
1,1
10,
1
ln
)(
x
x
x
xx
xf . Να αποδείξετε ότι:
i) η f είναι συνεχής ii)
2
1
)1( −=′f .
86-4. Δίνονται οι συναρτήσεις





=
≠
−
+−
=
1αν,0
1αν,
1
)22ln(
)(
2
x
x
x
xx
xf και





>+
≤
=
1αν,
ln
1
1αν,
)(
2
x
x
x
xx
xg .
Να αποδείξετε ότι:
i) Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο 10 =x , ενώ
ii) Η g είναι συνεχής αλλά μη παραγωγίσιμη στο 10 =x .
86-5. Δίνεται η συνάρτηση



∈−
=
= −
]1,0(,ln)1(
0,0
)(
xxe
x
xf x
.
i) Να υπολογίσετε τα όρια
x
e x
x
−
→
−1
lim
0
και xx
x
lnlim
0→
ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0.
iii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο )0,0(O .
2.Τέχνασμα
ΤΕΧΝΑΣΜΑ αν ( )x
limf x λ
→∞
= , τότε
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
x x x x
xf xxf x f x xf x
λ limf x lim lim lim
x x 1
∞
∞
→∞ →∞ →∞ →∞
′ ′+
= = = =
′
( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
xx x x
x xx x x x xx
e f xe f x e f x e f x
λ lim f x lim lim lim lim f x f x
e ee
∞
∞
→∞ →∞ →∞ →∞ →∞
′
′+
′= = = = = +
′
.
Παράδειγμα 3: Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει: ( )x
limf x λ
→∞
= , να δειχτεί ότι
είναι ( )x
lim f x 0
→∞
′ = .
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
86-6. Η συνάρτηση f έχει δεύτερη συνεχή παράγωγο και ισχύουν ( ) ( ) ( )f 0 f 0 1 και f 0 2′ ′′= = − = .
Να βρεθεί το όριο
( )
x 0
f x x 1
lim
1 συνx→
+ +
−
.
Λύση
Είναι:
( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )
( )
( )
0 0
0 0
x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
f x x 1 f x 1f x x 1 f x 1 f x 2
lim lim lim lim lim 2
1 συνx ημx συνx 11 συνx ημx
→ → → → →
′ ′′+ + +′ ′′+ + +
= = = = =
− ′ ′−
86-6β. Έστω συνάρτηση *
f : →ℝ ℝ η οποία είναι παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε
x 0
lim f(x) 0
→
= και 2 2
1 x f'(x) 1 x− ≤ ≤ + για κάθε *
x∈ ℝ
Να αποδείξετε ότι:
i)
x 0
limf'(x) 1
→
= ii)
x 0
f(x)
lim 1
x→
=
Λύση
i)Έχουμε
2 2
1 x f'(x) 1 x− ≤ ≤ + για κάθε *
x∈ ℝ

21. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ……………….20
( ) ( )2 2
x 0 x 0
lim 1 x lim 1 x 1
→ →
− = + = άρα σύμφωνα με το κριτήριο της παρεμβολής ισχύει η σχέση
x 0
lim f'(x) 1
→
=
ii)Επειδή
x 0 x 0
lim f(x) 0,lim x 0
→ →
= = τότε
( )x 0 D.H.L x 0 x 0
f(x) f'(x)
lim lim lim f'(x) 1
x x '→ → →
= = =
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
86-7. Αν για τη συνάρτηση f:R R→ ισχύουν: ( ) ( ) ( ) *
x + x +
lim f x +f x =2016 και lim f x =L R ,
→ ∞ → ∞
 ′ ∈  να
αποδειχθεί ότι L=2016.
86-8. Αν η f παραγωγίζεται στο 0x =0 και είναι f(0)=0 και f’(0)=1, να βρεθεί το
( )
xx 0
xf x
L=lim
ημx-xe→
.
86-9. Η συνάρτηση f:R R→ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύει η σχέση
( )
( )f x
e +f x =ημx-x για κάθεx R∈ . Να αποδείξετε ότι
( )
4x 0
f x
lim = -
x→
′
∞ .
Άσκηση Μίνι Επανάληψη De L΄ Hospital
1)Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια
i)
x
x 0
e 1
lim
ημx→
−
ii) 2 x
x
lim(2x x 1)e−
→+∞
+ − iii) ( )x
x
lim e 3x
→+∞
− iv)
x 0
ln(1 x) x
lim
συνx 1→
+ −
−
v)
x 0
εφx x
lim
ημx x→
−
−
vi) 5x 0
εφx x
lim
x→
−
vii)
x 1
x 1
e x
lim
x 1
−
→
−
−
viii) ( )
1
x
x 0
lim 1 x
→
+ ix)
2x
x
1
lim 1
x→+∞
 
+ 
 
Λύση
i)
( )
( )
0
xx x0
x 0 D.L.H x 0 x 0
e 1 'e 1 e
lim lim lim 1
ημx συνxημx '→ → →
−−
= = =
ii)
( )
( )
( )
( )
22
2 x
x x xx xx x D.L.H x x D.L.H x x
2x x 1 ' 4x 1 '2x x 1 4x 1 4
lim(2x x 1)e lim lim lim lim lim 0
e e ee ' e '
∞ ∞
∞ ∞
−
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞
+ − ++ − +
+ − = = = = = =
iii) ( )x x
xx x
3x
lim e 3x lim e 1
e
∞−∞
→+∞ →+∞
 
− = − 
 
όπου x
x
lim e
→+∞
= +∞
( )
( )x x xxx x x D.L.H x
3x '3x 3x 3
lim 1 1 lim 1 lim 1 lim 1 0 1
e e ee '
∞
∞
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
   
− = − = − = − = − =   
   
άρα ( )x x x
x xx x x x
3x 3x
lim e 3x lim e 1 lim e lim 1 ( ) 1
e e
∞−∞
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
   
− = − = − = +∞ ⋅ = +∞   
   
iv)
( )
( )
0
0
x 0 D.H.L x 0 x 0 x 0 x 0
1 1 1 x x
1ln(1 x) x 'ln(1 x) x 1 x 1 x 1 xlim lim lim lim lim
συνx 1 ημx ημx ημxσυνx 1 '→ → → → →
− −
−+ −+ − + + += = = = =
− − −−
( ) ( ) ( ) ( )x 0 x 0
x 0 x 0
x 1 1 1
lim lim 1
ημx ημx1 x ημx 1 0 1
1 x lim 1 x lim
x x
→ →
→ →
= = = = =
+ +
+ +
v)
( )
( ) ( )
( )( )
( )
2
22 2
2 2x 0 D.H.L x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
1 1 συν x
1εφx x ' 1 συνx 1 συνxεφx x 1 συν xσυν x συν xlim lim lim lim lim lim
ημx x συνx 1 συνx 1ημx x ' συν x συνx 1 συν x συνx 1
∞
∞
→ → → → → →
−
−− − +− −
= = = = = = =
− − −− − −

22. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ………………. 21
( )( )
( )
( )
2 2x 0 x 0
συνx 1 1 συνx 1 συνx
lim lim 2
συν x συνx 1 συν x→ →
− − + − +
= = = −
−
vi)
( )
( )
22
2 2 2
5 4 4 45x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
ημ x1 1 συν x
1εφx x 'εφx x συν x συν x συν xlim lim lim lim lim
x 5x 5x 5xx '
∞
∞
→ → → → →
−
−−−
= = = = =
2 2
4 2 2 2 2x 0 x 0
ημ x ημ x 1 1
lim lim
5x συν x x x 5συν x→ →
 
= ⋅ ⋅ = +∞  
 
vii)
x 1
x 1
e x
lim
x 1
−
→
−
−
θέτουμε u x 1 u 1 x= − ⇔ + = άρα ( )
2
u 1 x+ =
( )
( )
0
u 2u 2 0
u 0
u 0 u 0 u 0
e (u 1) 'e (u 1)
lim lim lim e 2(u 1) e 2(0 1) 1
u u'→ → →
− +− +
= = − + = − + = −
viii) ( )
1
x1 x 0+ > για κάθε ( ) ( )x 1,0 0,∈ − ∪ +∞
( ) ( ) ( )
( )1
x
ln 1 x11 ln 1 xln 1 x x xx1 x e e e
+
++
+ = = = για κάθε ( ) ( )x 1,0 0,∈ − ∪ +∞
( )
( )
0
0
x 0 x 0 x 0 x 0
1
ln(1 x)ln(1 x) 1x 1lim lim lim lim 1
x 1 x 1x '→ → → →
++ += = = =
+
Άρα
( )ln 1 x
x
x 0
lim e e
+
→
=
ix)
2x
x
1
lim 1
x→+∞
 
+ 
 
θέτουμε
1 1
u x
x u
= ⇔ =
οπότε ,αν x 0→ ,τότε u 0→ Επομένως
( ) ( )
22x viii)1 1
2 2u u
x u 0 u 0
1
lim 1 lim 1 u lim 1 u e
x→+∞ → →
  
+ = + = + =  
   
Κίτρινος μαθηματικός τύπος. Κανόνας De L΄ Hospital ή κανόνας Bernoulli ;
Ο L' Hospital θεωρούνταν ικανός μαθηματικός.Καταγόταν από αριστοκρατική στρατιωτική
oικογένεια.Με την ενηλικίωση του έγινε λοχαγός του ιππικού, αλλά
είχε ήδη αναπτύξει το πάθος του για τα Μαθηματικά .Ύστερα από
την παραίτηση του από τον στρατό, ο L' Hospital αφοσιώθηκε εξ
ολοκλήρου στα Μαθηματικά. Μαθήτευσε υπό τον Johann Bernoulli
(1667-1748). Συνέγραψε το πρώτο βιβλίο Διαφορικού Λογισμού, το
οποίο γνώρισε μεγάλη επιτυχία.Ο λεγόμενος κανόνας L' Hospital
ανακαλύφθηκε από τον Johann Bernoulli.Οι L' Hospital και Bernoulli
είχαν υπογράψει ένα συμβόλαιο, σύμφωνα με το οποίο ο L'
Hospital είχε το ελεύθερο δικαίωμα να χρησιμοποιεί τις ανακαλύψεις
του Bernoulli όπως αυτός ήθελε, με αντάλλαγμα έναν σταθερό
μισθό.

23. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ……………….22
87 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ
• Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια ( ) ( )
0 0x x x x
lim f x , lim f x+ −
→ →
είναι ή+∞ − ∞ τότε η ευθεία 0x x= λέγεται
κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της ( )f x .
• Αν ( ) ( )( )→+∞ →−∞
= =
x x
lim f x L αντίστοιχα lim f x L , τότε η ευθεία =y L λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της
γραφικής παράστασης της ( )f x στο ( )αντίστοιχα στο+∞ − ∞ .
• Η ευθεία y λx β= + λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης στο +∞
αν ( ) ( )→+∞
 − + = x
lim f x λx β 0 , ή στο −∞ αν ( ) ( )→−∞
 − + = x
lim f x λx β 0 .
ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΕΣ.
• Οι πολυωνυμικές δεν έχουν κατακόρυφες.
• Τις κατακόρυφες τις αναζητώ στα σημεία που μηδενίζει ο παρονομαστής, στα σημεία που
μηδενίζει η παράσταση στον λογάριθμο, στα μεμονωμένα σημεία που δεν ανήκουν στο πεδίο
ορισμού ή η συνάρτηση δεν είναι συνεχής.
• Στα ανοικτά άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού ή στα σημεία που σπάει ο τύπος σε
δίκλαδη.
ΠΛΑΓΙΕΣ – ΟΡΙΖΟΝΤΙΕΣ.
• Η οριζόντια είναι η πλάγια ασύμπτωτη με συντελεστή διεύθυνσης 0. Γι’ αυτό η fC δεν μπορεί
να έχει και πλάγια και οριζόντια στο +∞ (αντ. στο −∞ ). Μπορεί να έχει πλάγια στο +∞ και
οριζόντια στο −∞ (ή αντίστροφα).
• Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2 δεν έχουν ασύμπτωτες.
• Οι ρητές
( )
( )
P x
Q x
με βαθμό αριθμητή μεγαλύτερο τουλάχιστον κατά 2 του βαθμού του
παρονομαστή δεν έχουν πλάγιες-οριζόντιες.
4 2
2
x 5x 6
x 1
+ +
+
.
• Αν βαθμός αριθμητή < βαθμός παρονομαστή τότε έχει οριζόντια την y 0= .
• Αν βαθμός αριθμητή = βαθμός παρονομαστή τότε έχει οριζόντια ασύμπτωτη.
• Αν βαθμός αριθμητή = βαθμός παρονομαστή + 1 τότε έχει πλάγια ασύμπτωτη.
Αν σε ασκήσεις μας λέει: ‘’Απέδειξε ότι η y λx β= + είναι πλάγια ασύμπτωτη της fC ’’, αρκεί να
επαληθεύσουμε τον ορισμό, δηλαδή ( ) ( ) ( ) ( )x x
lim f x λx β 0 ή lim f x λx β 0
→+∞ →−∞
   − + = − + =    .
Παράδειγμα 1: Με βάση τον ορισμό να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση ( )
1
x
f x x e= ⋅ έχει πλάγια
ασύμπτωτη την ευθεία y x 1, x= + → +∞ .
Παράδειγμα 2: Με βάση τον ορισμό να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση ( ) ( )x
f x ln e 1= − έχει πλάγια
ασύμπτωτη την ευθεία y x, x= → +∞ .
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
87-1. Με βάση τον ορισμό να αποδειχθεί ότι οι επόμενες συναρτήσεις έχουν πλάγιες ασύμπτωτες
τις αντίστοιχες ευθείες:
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
y 2x 3 y 2x 32x 5x 7
1 . f x , 2 . f x x 5 x 3,
x xx 1
= − = +− +
= = + + +
→ +∞ → +∞−
Λύση
(1). Αρκεί να δείξουμε ότι ισχύει ( ) ( )x
lim f x 2x 3 0
→∞
− − =   .
Είναι:
2 2 2
x x x
2x 5x 7 2x 5x 7 2x 5x 3 4
lim 2x 3 lim lim 0
x 1 x 1 x 1→∞ →∞ →∞
 − + − + − + −
− + = = = − − − 
.

24. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ………………. 23
(2). Αρκεί να δείξουμε ότι ισχύει ( ) ( )x
lim f x 2x 3 0
→∞
− + =   .
Είναι: ( ) ( )
2 2
2 2
2 2x x x x
x 5 x 5
lim x 5 x 3 2x 3 lim x 5 x lim lim 0
x 5 x x 5 x→∞ →∞ →∞ →∞
+ − + + + − + = + − = = =
  + + + +
.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
87-2. Δίνεται η συνάρτηση 22)( 2
++= xxxf και οι ευθείες 1:1 −−= xyε και 1:2 += xyε .
Να αποδείξετε ότι
i) H 1ε είναι ασύμπτωτη της fC στο −∞ , ενώ η 2ε είναι ασύμπτωτη της fC στο +∞ .
ii) Για κάθε ∈x R ισχύει 0)1(22 22
≥+>++ xxx και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η fC
βρίσκεται πάνω από την 1ε κοντά στο −∞ και πάνω από την 2ε κοντά στο +∞ .
87-3. Με βάση τον ορισμό να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση ( )
2
x
f x
x 1
=
+
έχει πλάγια ασύμπτωτη την
ευθεία y x 1, x= − → +∞ .
87-4. Με βάση τον ορισμό να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση ( )
2
x 1
f x
x 2
−
=
−
έχει πλάγια ασύμπτωτη την
ευθεία y x 2, x= + → −∞ .
88 ΕΥΡΕΣΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΩΝ
1.Κατακόρυφες
• Αναζητώ 0x και υπολογίζω τα όρια ( ) ( ) ( )
0 0 0x x x x x x
lim f x η lim f x ή lim f x+ −
→ → →
.
• Αν ένα από αυτά τα όρια είναι άπειρο τότε η 0x x= κατακόρυφη.
Παράδειγμα1: Να βρεθούν οι κατακόρυφες ασύμπτωτες της συνάρτησης ( )
2
3
3x 5
f x
x 3x 2
−
=
− +
.
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
88-1. Να βρεθούν οι κατακόρυφες ασύμπτωτες της συνάρτησης ( )
x 1
f x ln
3 x
−
=
−
.
Λύση
Πεδίο ορισμού: ( )1,3Α = [στο Α είναι x 1 0 και 3 x 0− > − > ].
x 1+
→ :
x 1
x 1 0
lim 0
3 x 2+
→
−
= =
−
, οπότε
x 1
x 1
lim ln
3 x+
→
 −
= −∞ 
− 
, άρα η ευθεία x 1= είναι κατακόρυφη
ασύμπτωτη του τύπου /− ∞ .
x 3−
→ :
x 3
x 1
lim
3 x−
→
−
= +∞
−
, οπότε
x 3
x 1
lim ln
3 x−
→
 −
= ∞ 
− 
, άρα η ευθεία x 3= είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη
του τύπου /∞ .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
88-2. Να βρείτε (αν υπάρχουν) τις κατακόρυφες ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των
συναρτήσεων:
i)
2
1
)(
−
=
x
xf ii) xxf εφ)( = , 





−∈
2
,
2
ππ
x iii)
1
23
)(
2
−
+−
=
x
xx
xf iv)





>
≤
=
0,
1
0,
)(
x
x
xx
xf .
88-3. Να βρεθούν οι κατακόρυφες ασύμπτωτες της συνάρτησης ( ) 2
3x 4
f x
x 3x 2
−
=
− +
.

25. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ……………….24
2.Οριζόντιες
• Βρίσκω το πεδίο ορισμού. Αν είναι της μορφής ( )0x ,+∞ ή( )0,x−∞ τότε ενδέχεται να έχει
οριζόντια ασύμπτωτη.
• Βρίσκω το όριο ( )x
lim f x
→+∞
. Αν το όριο αυτό είναι πραγματικός αριθμός λ τότε η ευθεία y λ= είναι
οριζόντια ασύμπτωτη στο +∞ ( )όμοια αν x → −∞ .
Παράδειγμα2: Να βρεθούν οι οριζόντιες ασύμπτωτες της συνάρτησης ( ) + −
= −
− +
2 2
x 1 x 2
f x
x 1 x 1
.
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
88-4. Να βρεθούν οι οριζόντιες ασύμπτωτες της συνάρτησης ( )
x 1
f x ln
4 x
−
=
−
Λύση
Πεδίο ορισμού: ( )1,4Α = .
Δεν υπάρχουν οριζόντιες ασύμπτωτες γιατί δεν έχουν νόημα οι εκφράσεις x → ±∞ .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
88-5. Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
( ) 2
f x = 4x +1+2x-1 .
88-6. Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων:
i)
1
1
)( 2
2
+
++
=
x
xx
xf ii) xxxf −+= 1)( 2
.
88-7. Να βρείτε τις κατακόρυφες και τις οριζόντιες ασύμπτωτες της συνάρτησης ( )
2
2
3x +2x+5
f x =
x -4x+4
.
88-8. Δίνεται η συνάρτηση ( )
2
2
x +1
f x =
x -3x+2
. Να βρεθούν:
i) Οι κατακόρυφες ασύμπτωτες της fC ,
ii) Οι οριζόντιες ασύμπτωτες της fC .
3.Πλάγιες
• Βρίσκω το πεδίο ορισμού το οποίο πρέπει να περιέχει διάστημα ( ) ( )0 0x , ή ,x+∞ −∞ .
• Υπολογίζω το
( )
( )x x
f x
λ lim και το β lim f x λx
x→+∞ →+∞
= = −  .
αν λ 0 και β R έχω οριζόντια ασύμπτωτη y β.
αν λ 0 και β R έχω πλάγια ασύμπτωτη y λx β.
αν τα όρια λ ή κ δεν υπάρχουν ή είναι τότε δεν έχω ασύμπτωτη.
= ∈ =
≠ ∈ = +
± ∞
Παράδειγμα3: Να βρεθούν οι πλάγιες και οι οριζόντιες ασύμπτωτες της
συνάρτησης ( )
2
6x 2x 1
f x
2x 4
+ +
=
−
.
Παράδειγμα4: Δίνεται η συνάρτηση ( )
x
x
5e
f x =2x+3+
1+e
. Να βρείτε τις πλάγιες ασύμπτωτες:

26. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ………………. 25
ΣΥΝΟΨΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑΚΙ ΡΟΗΣ
Όμοια στο −∞ .
( )x
lim f x β
→+∞
=
β R∈
ΝΑΙ
Οριζόντια ασύμπτωτη
στο +∞ της y β=
( )
x
f x
lim λ
x→+∞
=
λ R∈
( )x
lim f x λx κ
→+∞
− =  
κ R∈
Όχι πλάγια ΟΧΙ ΝΑΙ
η y λx β= +
πλάγια στο + ∞
ΟΧΙ
ΝΑΙ
όχι πλάγιαΟΧΙ

27. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ……………….26
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
88-9. Να βρεθούν οι πλάγιες ή οριζόντιες ασύμπτωτες της συνάρτησης ( ) 2
f x x 2x 4= − + .
Λύση
Πεδίο ορισμού: RΑ = . Έστω y λx k= + η ασύμπτωτη όταν x → +∞ .
Είναι:
( ) 2 2
x x x
2 4
x 1
f x x 2x 4 x xλ lim lim lim 1
x x x→∞ →∞ →∞
− +
− +
= = = =
( ) 2
2x x x x
2
4
x 2
2x 4 2x
k lim f x λx lim x 2x 4 x lim lim 1
22 4x 2x 4 x
x 1 1
x x
→∞ →∞ →∞ →∞
 − + − + −  = − = − + − = = = = −      − + +
− + + 
 
.
Έτσι η ασύμπτωτη είναι y x 1 όταν x= − → +∞ .
Όταν x → −∞ βρίσκουμε πλάγια ασύμπτωτη την y x 1= − + .
88-9β.Να βρείτε τις ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων
ln
) ( )
x
i f x
x
= ii) 2
ln( 2)
( )
4
x x
f x
x
+
=
−
iii)
2
9
) ( )
x
i f x
x
ηµ
=
Λύση
i)Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού ( )0,Α = +∞
Οριζόντιες ασύμπτωτες
1
ln 1
lim ( ) lim lim lim 0
1x x x x
x xf x
x x
∞
∞
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
= = = =
Η Cf έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο +∞ την ευθεία y=0 δηλαδή τον άξονα 'x x .
Η συνάρτηση δεν ορίζεται στο διάστημα ( ,0−∞  , οπότε δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο −∞ .
Κατακόρυφες ασύμπτωτες
( )0 0 0 0
ln 1
lim ( ) lim lim lim ln ( )( )
x x x x
x
f x x
x x+ + + +
→ → → →
= = = +∞ −∞ = −∞
Η Cf έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία 0x = , δηλαδή τον άξονα 'y y .
Πλάγιες ασύμπτωτες
2 2
1
( ) ln 1
lim lim lim lim 0
2 2x x x x
f x x x
x xx x
∞
∞
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
= = = =
Η Cf δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο διάστημα ( ,0−∞  , οπότε δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο
−∞ .
ii)Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού ( ) ( )2,2 2,Α = − ∪ +∞
Οριζόντιες ασύμπτωτες
2 . .
ln( 2)
ln( 2) 2lim ( ) lim lim
24
ln( 2) ln( 2) 12lim lim lim lim (1)
2 2 2 2( 2)
x x D H L x
x x x x
x
x
x x xf x
xx
x
x xx
x x x x
∞
∞
→+∞ →+∞ →+∞
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
+ +
+ += = =
−
+ ++= + = +
+

28. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ………………. 27
. .
1
ln( 2) 12lim lim lim 0
2 2 2( 2)x D H L x x
x x
x x
∞
∞
→+∞ →+∞ →+∞
+ += = =
+
(2)
Άρα από (1) ,(2) :
ln( 2) 1
lim ( ) lim lim 0
2 2( 2)x x x
x
f x
x x→+∞ →+∞ →+∞
+
= + =
+
Η Cf έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο +∞ την ευθεία y=0 δηλαδή τον άξονα 'x x .
Η συνάρτηση δεν ορίζεται στο διάστημα ( , 2−∞ −  , οπότε δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο −∞ .
Κατακόρυφες ασύμπτωτες
( )2 2
2 2 2 2 2
ln( 2) 1
lim ( ) lim lim lim lim ln( 2) ( 2)( )( )
4 4x x x x x
x x
f x x x
x x+ + + + +
→− →− →− →− →−
+
= = ⋅ ⋅ + = − −∞ −∞ = −∞
− −
2 2
2 2 2 2
ln( 2) 1
lim ( ) lim lim ln( 2) lim 2ln 4 ( )
4 4x x x x
x x
f x x x
x x− − − −
→ → → →
+
= =  +  = ⋅ −∞ = −∞ − −
2 2
2 2 2 2
ln( 2) 1
lim ( ) lim lim ln( 2) lim 2ln 4 ( )
4 4x x x x
x x
f x x x
x x+ + + +
→ → → →
+
= =  +  = ⋅ +∞ = +∞ − −
Η Cf έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες τις ευθείες 2x = − , 2x =
Πλάγιες ασύμπτωτες
2 . .
1
( ) ln( 2) 12lim lim lim lim 0
2 2 ( 2)4x x D H L x x
f x x x
x x x xx
∞
∞
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
+ += = = =
+−
Η Cf δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο διάστημα ( , 2−∞ −  , οπότε δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο
−∞ .
ii)Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού
*
Α = ℝ
Οριζόντιες ασύμπτωτες
( )2
9
lim ( ) lim
x x
x
f x
x
ηµ
→+∞ →+∞
=
( ) ( )22
99 1xx
x x x
ηµηµ
= ≤ οπότε
( )2
91 1x
xx x
ηµ
− ≤ ≤ και
1 1
lim lim 0
x xx x→∞ →∞
 
− = = 
 
 
άρα από το κριτήριο της παρεμβολής
( )2
9
lim 0
x
x
x
ηµ
→+∞
=
Η Cf έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο +∞ την ευθεία y=0 δηλαδή τον άξονα 'x x .
Ανάλογα αποδεικνύεται ότι η Cf έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο −∞ την ευθεία y=0

29. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ……………….28
Κατακόρυφες ασύμπτωτες
( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
2
0
. .0 0 0 0
9
lim ( ) lim lim 2 9 9 9 lim 18 9 9 0
D H Lx x x x
x
f x x x x x
x
ηµ
ηµ συν ηµ συν− − − −
→ → → →
   = = = =   
( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
2
0
. .0 0 0 0
9
lim ( ) lim lim 2 9 9 9 lim 18 9 9 0
D H Lx x x x
x
f x x x x x
x
ηµ
ηµ συν ηµ συν+ + + +
→ → → →
   = = = =   
Η Cf δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες
Πλάγιες ασύμπτωτες
( )
( )
2
2
2
9
9( )
lim lim lim 0
x x x
x
xf x x
x x x
ηµ
ηµ
→+∞ →+∞ →+∞
= = = και
( )
( )
2
2
2
9
9( )
lim lim lim 0
x x x
x
xf x x
x x x
ηµ
ηµ
→−∞ →−∞ →−∞
= = =
Η Cf δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο διάστημα −∞ και στο +∞ .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
88-10. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f όταν:
i) x
x
xf
2
)(
2
= ii)
1
( ) x
f x xe= .
88-11. Να βρείτε τις ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων:
i)
1
2
)(
2
−
−−
=
x
xx
xf ii)
2
3
)(
2
−
−
=
x
x
xf iii) xxxf += 2
)( .
88-12. Δίνεται η συνάρτηση ( )
3 2
2
x +2x -5x+6
f x =
x -1
. Να βρείτε:
i) Τις κατακόρυφες ασύμπτωτες της fC ,
ii) Τις πλάγιες ασύμπτωτες της fC .
88-13. Δίνεται η συνάρτηση ( )
ημx
g x =3x-2+
x
. Να βρείτε τις πλάγιες ασύμπτωτες:
88-14. Για μια συνάρτηση f:R R→ ισχύει ότι ( )
3 2
2
2x +3x +1
2x+3 f x
x
≤ ≤ *
για κάθεx R∈ . Να εξεταστεί
αν η fC έχει πλάγια ασύμπτωτη.
4.Πολύκλαδες
Σε πολύκλαδες βρίσκω χωριστά σε κάθε κλάδο τις ασύμπτωτες.
Παράδειγμα5: Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της συνάρτησης ( )
2
3x x 5
, x 1
x 1f x
6x 5
, 1 x 2
2x 4
 − +
< −= 
− ≤ ≠
 −
.

30. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ………………. 29
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
88-15. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της συνάρτησης ( ) x
f x x e 1= − − .
Λύση
Πεδίο ορισμού: RΑ = άρα δεν υπάρχουν κατακόρυφες ασύμπτωτες.
Η συνάρτηση γράφεται: ( )
x
x
x 1 e , x 0
f x
x 1 e , 0 x
 − + ≤
= 
+ − ≤
.
Έστω y λx k= + η ασύμπτωτη για x → −∞ . Έχουμε:
( )
( )
x
x x
x x x x x
f x e 1
λ lim lim 1 1 0 1 και k lim f x λx lim x 1 e x lim e 1 1
x x→−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞
 −
   = = + = + = = − = − + − = − = −       
 
.
Έτσι η ευθεία y x 1= − είναι πλάγια ασύμπτωτη για x → −∞ .
Για x → +∞ έχουμε:
( ) x x
x x x
f x 1 e e
λ lim lim 1 lim 1
x x 1
∞
∞
→+∞ →+∞ →+∞
   − −
= = + = + = −∞   
   
. Συνεπώς δεν υπάρχει
ασύμπτωτη για x → +∞ .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
88-16. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της συνάρτησης ( )
2
x 1
, x 0
x 1f x
x 1, 0 x
+ < −= 
 − ≤
.
88-17. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της συνάρτησης ( )
2
2
x 3x 4
, x 2
x 2f x
x 4, 2 x
 − +
<
−= 
 − ≤
.

31. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ……………….30
89 ΠΡΟΣ∆ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ
1.Προσδιορισμός παραμέτρων ώστε η ευθεία y=αx+β να είναι ασύμπτωτη
• Θέτω ( ) ( )x
lim f x αx β 0
→+∞
 − + =  .
• Μεταφέρω τους σταθερούς όρους εκτός του ορίου ( )x
lim f x αx β R
→+∞
− = ∈   .
• Με την προϋπόθεση ότι το όριο είναι πραγματικός προκύπτουν οι τιμές των παραμέτρων α, β
Παράδειγμα1: Να βρεθούν οι τιμές των α και β ώστε η ευθεία y βx 4= − να είναι ασύμπτωτη της
συνάρτησης ( )
2
αx 13x 6
f x
3x 1
− +
=
−
όταν x → ∞ .( Στην τάξη)
Παράδειγμα 2: Αν y 5x 2= − είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( )f x να
βρεθεί η τιμή της παραμέτρου α, όταν:
( )
( )
2
x
xf x 5x αx 4 1
lim
αf x 10x 2 4→∞
− − +
=
+ −
. ( Στην τάξη)
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
89-1. Να βρεθούν οι τιμές των α και β ώστε η ευθεία y αx β= + να είναι ασύμπτωτη της συνάρτησης
( ) 2
f x x 5 3x 1 όταν x= + + − → ±∞ .
Λύση
Θα πρέπει
( ) ( ) ( ) ( )2 2
x x x
lim f x αx β 0 ή lim x 5 3x 1 αx β 0 ή lim x 5 α 3 x β 1 0
→∞ →∞ →∞
    − + = + + − − − = + − − − + =     
( )2
x
ή lim x 5 α 3 x β 1
→∞
 + − − = +
 
.
Είναι ( ) ( ) ( ) ( )2
2 2x x x
5 5
lim x 5 α 3 x lim x 1 α 3 x lim x 1 α 3 4 α
x x→∞ →∞ →∞
    + − − = + − − = + − − = ∞ −        
.
Θα πρέπει 4 α 0, α 4− = = γιατί διαφορετικά το όριο θα είναι ±∞ και όχιβ 1 R+ ∈ .
Για α 4= έχουμε: ( )
( )( )2 2
2
2 2x x x
x 5 x x 5 x 5
lim x 5 x lim lim 0
x 5 x x 5 x→∞ →∞ →∞
+ − + +
+ − = = =
+ + + +
.
Έτσι είναιβ 1 0, οπότε β 1+ = = − .
Για x → −∞ βρίσκουμε α 2 και β 1= = − .
89-1b.Να βρεθούν οι πραγματικοί α,β,γ ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης
3 2
(3 α)x 2βx (γ 5)x 8
f(x)
x 4
− + + + +
=
−
Να έχει πλάγια ασύμπτωτη στο +∞ την ευθεία y 8x 7= + .
Λύση
Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού ( ) ( )A ,4 4,= −∞ ∪ +∞
3 2
2
(3 α)x 2βx (γ 5)x 8f(x)
x x 4x
− + + + +
=
−
Αν 3 α 0 α 3− ≠ ⇔ ≠ , τότε το όριο
x
f(x)
lim
x→+∞
είναι +∞ ή −∞ οπότε η Cf δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη
στο +∞ ή −∞ .
Επομένως πρέπει α=3, οπότε
2
2
2βx (γ 5)x 8f(x)
x x 4x
+ + +
=
−
2 2
2 2x x x
2βx (γ 5)x 8 2βxf(x)
lim lim lim 2β
x x 4x x→+∞ →+∞ →+∞
+ + +
= = =
−

32. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ………………. 31
Πρέπει 2β 8 β 4= ⇔ = .Τότε
2
8x (γ 5)x 8
f(x)
x 4
+ + +
=
−
και
2
8x (γ 5)x 8 (γ 37)x 8
f(x) 8x 8x ...
x 4 x 4
+ + + + +
− = − = =
− −
x x x
(γ 37)x 8 (γ 37)x
lim f(x) 8x lim lim γ 37
x 4 x→+∞ →+∞ →+∞
+ + +
 −  = = = +  −
Πρέπει γ 37 7 γ 30+ = ⇔ = −
89-1c.Δίνεται η συνάρτηση
3 2
2
x 2x 3x 5
f(x) αx β
x 4
− + +
= − −
−
i)Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α,β ώστε
x
lim f(x) 0
→+∞
=
ii)Για α 1= και β 2= − να βρεθούν οι ασύμπτωτες της Cf.
Λύση
Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού { 2,2}Α = − −ℝ
i)Αν
3 2
2
x 2x 3x 5
g(x)
x 4
− + +
=
−
, x { 2,2}∈ − −ℝ
x x
lim f(x) 0 lim g(x) (αx β) 0
→+∞ →+∞
= ⇔  − +  =  ,
Δηλαδή η ευθεία y αx β= + είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +∞ .
Όμως
3 2 3
3 3x x x
g(x) x 2x 3x 5 x
lim lim lim 1
x x 4x x→+∞ →+∞ →+∞
− + +
= = =
−
και
3 2 2
2 2x x x
2 2
2 2x x
x 2x 3x 5 2x 7x 5
lim g(x) x lim x lim
x 4 x 4
2x 7x 5 2x
lim lim 2
x 4 x
→+∞ →+∞ →+∞
→+∞ →+∞
   − + + − + +
 −  = − = =     − −   
− + + −
= = = −
−
Άρα πρέπει α 1= και β 2= − .
ii)Για α 1= και β 2= − είναι
3 2
2 2
x 2x 3x 5 7x 3
f(x) x 2 f(x)
x 4 x 4
− + + −
= − + ⇔ =
− −
Οριζόντιες ασύμπτωτες
lim ( ) 0
x
f x
→+∞
= και lim ( ) 0
x
f x
→−∞
=
Η Cf έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο +∞ και −∞ την ευθεία y=0 δηλαδή τον άξονα 'x x .
Κατακόρυφες ασύμπτωτες
( )2 2
2 2 2
7 3 1
lim ( ) lim lim 7 3 ( 17)( )
4 4x x x
x
f x x
x x− − −
→− →− →−
 −  
= = − = − +∞ = −∞  
− −  
Η Cf έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη τις ευθεία 2x = − , όμοια έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την
2x =
Πλάγιες ασύμπτωτες
Η Cf δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο −∞ , +∞ , αφού στο −∞ , +∞ έχει οριζόντια ασύμπτωτη.

33. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ……………….32
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
89-2. Αν η ευθεία ε:2x-y+β=0 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
( )
( ) 2
α+1 x -2αx+3
f x =
3x-2
, να αποδείξετε ότι α=5 και β= -2.
89-3. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2
f x =ln x-xlnx+x-1.
i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα.
ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f(x) =0.
iii) Να εξετάσετε αν η fC έχει ασύμπτωτες.
iv) Να υπολογίσετε το
( )
( )
2x 1
f x
lim
x-1→
.
89-4. Να βρεθούν οι τιμές των α και β ώστε η συνάρτηση ( )
2
αx βx 5
f x
x 2
+ +
=
+
να έχει ασύμπτωτη την
ευθεία y x 1= − , όταν x → ∞ .
2.Γνωστές Ασύμπτωτες ⇒ Υπολογισμός Ορίων
• Αν η ευθεία y αx β= + είναι ασύμπτωτη τότε
( )
( )x x
f x
lim α και lim f x αx β (1)
x→∞ →∞
= − =   .
• Μετασχηματίζω την παράσταση του ορίου κατά τρόπο ώστε να εμφανιστούν οι παραστάσεις
( )
( )
f x
και f x αx
x
− (διαιρώ με x ή προσθέτω και αφαιρώ κατάλληλες παραστάσεις).
• Αντικαθιστώ τις τιμές των σχέσεων (1).
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
89-5. Αν y 3x 6= + είναι η ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( )f x ,
όταν x → +∞ , να βρεθούν τα όρια:
( )
( )
( )
( )2 2
2x x
f x 4x 1 x xf x 3x
1 . lim και 2 . lim
x x x 1 x→∞ →∞
+ + − −
+ + +
.
Λύση
Σύμφωνα με τη θεωρία ισχύουν:
( )
( )x x
f x
lim 3 και lim f x 3x 6
x→∞ →∞
= − =   .
(1). Αναλύουμε το κλάσμα κατάλληλα σε άθροισμα κλασμάτων.
Είναι
( ) ( ) ( )2 2 2
x x x
1
x 4
f x 4x 1 x f x f x4x 1 xlim lim 1 lim 1 3 2 1 4
x x x x x→∞ →∞ →∞
 
+  + + − +
 = + − = + − = + − = 
   
  
.
(2). Μετασχηματίζουμε το κλάσμα ως εξής:
( ) ( )( )
( ) ( )
2
2 2 2x x x x
2
x f x -3xxf x -3x x x 1
lim =lim =lim f x -3x lim f x -3x =6 =3
21 1x +x+1+x x +x+1+x x +x+1+x
x 1+ + +1
x x
→∞ →∞ →∞ →∞
=      
 
 
 
.
89-5β. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει πλάγια ασύμπτωτη στο +∞ την ευθεία
2 3y x= + .
Να βρεθεί το όριο
2
2 3
( ) 13 3 2
lim
( ) 2x
xf x x x x
x f x x
ηµ
→+∞
+ ⋅ +
−
Λύση

34. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙII Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΤΑΡΘ ΒΕΙΝΤΕΡ, ΛΕΞ ΛΟΥΘΟΡ………………. 33
Αφού η Cf έχει πλάγια ασύμπτωτη στο +∞ την ευθεία 2 3y x= + άρα
( )
lim 2
x
f x
x→+∞
= , lim ( ) 2 3
x
f x x
→+∞
 −  =  .Επομένως
( ) ( )
2
2
2 3 2
( ) ( )13 3 3
2 13 2
( ) 13 3 2
lim lim lim
( ) 2( ) 2 ( ) 2x x x
f x f xx x
x
x x x xxf x x x x
f x xx f x x x f x x
ηµ ηµ
ηµ
→+∞ →+∞ →+∞
   
+ + + +   
+ ⋅ +    = = =
−− −
( )
( )
( ) 3
lim 13 lim 2
2 13 0 2 4
3 3lim ( ) 2
x x
x
f x x
x x
f x x
ηµ
→+∞ →+∞
→+∞
 
+ +  + ⋅ +  = =
−
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
89-6. Έστω ότι η ευθεία ψ=2x+5 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο
+∞ .
α) Να βρείτε τα:
( )
( )x + x +
f x
lim και lim f x -2x
x→ ∞ → ∞
  
β) Να βρείτε τον
( )
( ) 2x +
μf x +4x
μ R αν: lim =1.
xf x -2x +3x→ ∞
∈
89-7. Αν y 3x 5= − είναι η ασύμπτωτη της καμπύλης ( )y f x= , όταν x → ∞ , να βρεθεί η τιμή της
παραμέτρου α όταν:
( ) ( )
( ) ( )
2
2x
α 1 f x 5αx 7
lim 1
xf x 3x α 2 x 3→∞
− − +
=
− + + −
.
89-8. Αν y 3x 2= − είναι η ασύμπτωτη της καμπύλης ( )y f x= , όταν x → +∞ να βρεθεί το όριο
( ) 2 2
2x
xf x x 1 3x x
lim
x 1 x→+∞
+ − − +
+ +
.