επαναληπτικά θέματα μαθηματικά γενικής παιδείας 2015

- 1 –
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//
ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

- 2 –
Το γκράφιτι στο εξώφυλλο µε τον Αϊνστάιν και τον Καραθεωδορή βρίσκεται στην Ιερά Οδό αριθµός 23 σε παρκινγκ στον
Κεραµικό ,από µια ιδέα που προέκυψε από το TEDx Athens, και υλοποιήθηκε µε τη βοήθεια του οργανισµού designwars και
του street artist ino
"Φτασµένες οι προλήψεις σε µια καθαρότητα µαθηµατική, µας οδηγούν στη
βαθύτερη γνώση του κόσµου."
Οδυσσέας Ελύτης, 1911-1996
ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΑΝΑΠΑΡΑΧΘΕΙ ΚΑΙ ΝΑ ΔΙΑΝΕΜΗΘΕΙ ΕΛΕΥΘΕΡΑ

- 3 –
Oδηγίες επανάληψης προς ναυτιλλομένους στα μαθηματικά γενικής παιδείας !!
• Προσοχή στην εύρεση μέγιστης και ελάχιστης τιμής του ρυθμού μεταβολής συνάρτησης f(x) ή
του συντελεστή διεύθυνσης εφαπτομένης, όπου πρέπει να εξετάσουμε τη δεύτερη παράγωγο .
• Από το κεφάλαιο της στατιστικής είναι πολύ πιθανό να ζητηθεί η συμπλήρωση ελλιπούς
πίνακα συχνοτήτων ή σχετικών συχνοτήτων απολύτων και αθροιστικών (κυρίως
ομαδοποιημένων παρατηρήσεων!). Συνδυαστικά πάντα με την αντίστοιχη γραφική παράσταση
στο mm χαρτί του τετραδίου! Ενδεχομένως να απατηθεί η χρήση της τελευταίας
χιλιοστομετρικής σελίδας (ακόμα και για την εύρεση διαμέσου). Όπως επίσης και το εμβαδό που
περικλείεται από την πολυγωνική γραμμή στο ιστόγραμμα συχνοτήτων ή σχετικών συχνοτήτων
και τον οριζόντιο άξονα!
Δώστε βάση στην κανονική κατανομή, καθώς επίσης και την σχέση διαμέσου-μέσης τιμής όταν
έχουμε θετική ή αρνητική ασυμμετρία .
• Προσοχή στις ανισοτικές σχέσεις στις πιθανότητες είτε με χρήση των βασικών σχέσεων των
πιθανοτήτων, είτε σε συνδυασμό με χρήση μονοτονίας ή ακροτάτων συνάρτησης ή σε
συνδυασμό με τον πίνακα. Ο αξιωματικός ορισμός στις πιθανότητες επιβάλλει να
χρησιμοποιηθεί όταν δεν αναφέρεται ότι τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα.
• Κάποια άλλα σημεία που θα πρέπει να προσέξετε είναι : άσκηση 3 σελίδα 146 ομάδα β΄, μην
ξεχάσετε τα προβλήματα των σελίδων 45 και 46 –οι εφαρμογές του σχολικού: σελίδα 34
εφαρμογή 2 – σελίδα 98 εφαρμογή 2 – σελίδα 99 εφαρμογή 3, πως εξετάζουμε αν τα ενδεχόμενα
Α, Β είναι ασυμβίβαστα, τους τύπους της αριθμητικής και της γεωμετρικής
προόδου 1[2 ( 1) ]
2
v
a v
S
ω ν+ −
= και 1
1
1
vS a
ν
λ
λ
−
=
−
.
•Οι αγωνιστές της τελευταίας στιγμής μπορούν να επαναλάβουν την θεωρία στο φυλλάδιο:
http://mathhmagic.blogspot.gr/2011/03/blog-post_30.html ή στον παρακατω σύνδεσµο:
http://cutemaths.wordpress.com/2014/03/03/%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE
%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%B1-%CE%B3%CF%80-%CE%B3-
%CE%BB%CF%85%CE%BA%CE%B5%CE%B9%CE%BF%CF%85-%CF%84%CE%BF-
%CE%B1-%CE%B8%CE%B5%CE%BC%CE%B1/
από το µαθηµατικό Βαγγέλη Νικολακάκη
•Εξαιρετική συλλογή επαναληπτικών ασκήσεων από το mathematica μπορείτε να βρείτε και
στο σύνδεσμο http://mathhmagic.blogspot.gr/2012/05/mathematica.html
Διαβάζουμε προσεκτικά τα θέματα αρκετές φορές και δεν αποχωρούμε προτού εξαντλήσουμε
το τρίωρο της εξέτασης όσο σίγουροι και αν είμαστε.
Καλή επιτυχία σε όλους!

- 4 –
Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους
1.Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος.
1) Όταν έχουμε κανονική κατανομή η μέση τιμή συμπίπτει με την διάμεσο.
2) Η μέση τιμή των παρατηρήσεων ενός δείγματος είναι μεγαλύτερη ή ίση της μικρότερης
παρατήρησης και μικρότερη ή ίση της μεγαλύτερης τιμής των παρατηρήσεων του δείγματος.
3)Η διάμεσος των παρατηρήσεων ενός συνόλου δεδομένων δεν επηρεάζεται από τις ακραίες
τιμές .
4) Όταν ελαττώσουμε τις τιμές όλων των παρατηρήσεων ενός δείγματος κατά c , τότε η τυπική
απόκλιση ελαττώνεται κατά c.
5) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και f '(x) 0< για κάθε εσωτερικό
σημείο x ∈∆ τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.
6)Υπάρχουν ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια ώστε
1
P( )
5
Α = ,
4
P(B)
5
= ,
3
P(A B)
5
∩ = .
7)Αν ' BΑ ⊆ τότε P( ) P(B) 1Α + < .
8)Αν για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει P( ) 0.5Α = και P(B) 0.6= , τότε τα Α και Β είναι
ασυμβίβαστα.
9)Σε ένα σύνολο παρατηρήσεων αντικαθιστούμε την μικρότερη τιμή με μια μικρότερη τότε
μεταβάλλεται η μέση τιμή αλλά όχι η διάμεσος .
10)Είναι δυνατό να υπάρξει δειγματικός χώρος πειράματος τύχης που να αποτελείται από ένα
μόνο απλό ενδεχόμενο.
11)Ένα τοπικό μέγιστο στην γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι δυνατό να είναι
μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο της ίδιας γραφικής παράστασης.
12) Στην καμπύλη συχνοτήτων μιας κανονικής κατανομής, το 68% περίπου των παρατηρήσεων
βρίσκεται στο διάστημα ( x 2s− , x 2s+ )
13) Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής ονομάζεται ομοιογενές όταν ο συντελεστής μεταβολής
του CV δεν ξεπερνά το 10%
14) Το εύρος R ενός δείγματος ν παρατηρήσεων είναι μέτρο θέσης .
15) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής
μεταβλητής.
16) Το άθροισμα όλων των σχετικών συχνοτήτων των τιμών μιας μεταβλητής X είναι ίσο με το
μέγεθος του δείγματος.

- 5 –
17) Πλάτος μιας κλάσης ονομάζεται η διαφορά του κατώτερου από το ανώτερο όριο της κλάσης.
18) Για την κλάση [α , β) η κεντρική τιμή είναι
α-β
2
.
19) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν
για οποιαδήποτε σημεία 1x , 2x ∈Δ με 1x < 2x ισχύει f( 1x )<f( 2x ).
20) Η συχνότητα της τιμής xi μιας μεταβλητής Χ μπορεί είναι αρνητικός αριθμός.
ΚΑΛΟ ΕΙΝΑΙ ΝΑ ΞΕΡΩ ΟΤΙ….
Μέση τιμή Διάμεσος
Πλεονεκτήματα
▪ Για τον υπολογισμό της χρησιμοποιούνται
όλες οι τιμές.
▪ Είναι μοναδική για κάθε σύνολο δεδομένων.
▪ Είναι εύκολα κατανοητή.
▪ Ο υπολογισμός της είναι σχετικά εύκολος
▪ Έχει μεγάλη εφαρμογή για περαιτέρω
στατιστική ανάλυση.
Μειονεκτήματα
▪ Επηρεάζεται πολύ από τις ακραίες τιμές .
▪ Συνήθως δεν αντιστοιχεί σε τιμή της
μεταβλητής .
▪ Δεν υπολογίζεται για ποιοτικά δεδομένα.
▪ Είναι εύκολα κατανοητή.
▪ Δεν επηρεάζεται από ακραίες τιμές.
▪ Ο υπολογισμός της είναι απλός .
▪ Είναι μοναδική για κάθε σύνολο δεδομένων.
▪ Δεν χρησιμοποιούνται όλες οι τιμές για τον
υπολογισμό της .
▪ Είναι δύσκολη η εφαρμογή της για περαιτέρω
στατιστική ανάλυση.
▪ Δεν υπολογίζεται για ποιοτικά δεδομένα.
Εύρος Διακύμανση-τυπική απόκλιση Συντελεστής μεταβολής
▪ Ο υπολογισμός του
είναι σχετικά εύκολος .
▪ Χρησιμοποιείται συχνά
στον έλεγχο ποιότητας .
▪ Είναι δυνατόν να
χρησιμοποιηθεί για την
εκτίμηση της τυπικής
απόκλισης .
▪ Λαμβάνονται υπόψη για τον
υπολογισμό τους όλες οι παρατηρήσεις .
▪ έχουν μεγάλη εφαρμογή στην
στατιστική συμπερασματολογια.
▪ Σε πληθυσμούς που ακολουθουν την
κανονική κατανομή το 68%, το 95% και
99,7% των παρατηρήσεων ανήκουν στα
διαστήματα
▪ Είναι καθαρός αριθμός.
▪ Χρησιμοποιείται ως
μέτρο σύγκρισης της
μεταβλητότητας ,όταν
έχουμε ίδιες η και
διαφορετικές μονάδες
μέτρησης
▪ Χρησιμοποιείται ως

- 6 –
▪ Δεν θεωρείται
αξιόπιστο μέτρο
διασποράς επειδή
βασίζεται μόνο στις δυο
ακραίες παρατηρήσεις .
▪ Δεν χρησιμοποιείται
για περαιτέρω
στατιστική ανάλυση
( ),− +x s x s ,( )2 , 2− +x s x s ,( )3 , 3− +x s x s
αντίστοιχα.
▪ Απαιτούνται περισσότερες αλγεβρικές
πράξεις για τον υπολογισμό τους από
άλλα μέτρα.
▪ Το κυριότερο μειονέκτημα της
διακύμανσης είναι ότι δεν εκφράζεται
στις ίδιες μονάδες με το χαρακτηριστικό
ως προς το οποίο εξετάζουμε το δείγμα.
▪ Το μειονέκτημα αυτό παύει να υπάρχει
με την χρησιμοποίηση της τυπικής
απόκλισης.
μέτρο ομοιογένειας ενός
στατιστικού πληθυσμού.
▪ Δεν ενδείκνυται στην
περίπτωση που η μέση
τιμή είναι κοντά στο
μηδέν.
●
2.Έστω 1 2 3 4 5{ , , , , }ω ω ω ω ωΩ = ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και
1 2 3{ , , }ω ω ωΑ = , 3 4 5{ , , }ω ω ωΒ = δυο ενδεχόμενα του Ω με
1
( )
2
P Α = .Αν είναι 1 2( ) , ( ) ,P a Pω ω β= = με
2 2
26 10 2 1 0α α αβ β− − + + = , 3( )P ω γ= και η συνάρτηση 3
4( ) ( ) ,g x P x xω= ∈ℝ ,τότε :
Α)Να αποδείξετε ότι
1
5
α β= = και
1
10
γ = .
Β)Να βρείτε το 4( )P ω , αν η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της g,στο σημείο
(1,g(1)), είναι παράλληλη προς την ευθεία y=x,και στην συνέχεια να βρείτε το 5( )P ω .
Γ)Αν είναι 4
1
( )
3
P ω = , 5
1
( )
6
P ω = , τότε να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων Κ,Λ, όπου:
Κ: «Ένα μόνο από τα Α και τα Β να πραγματοποιείται»
Λ: «Να πραγματοποιείται το Α ή να μην πραγματοποιείται το Β.»
(Επαναληπτικές 2012)
●
3.Ο Γιάννης μπορεί να πάει στην δουλειά του από το σπίτι του επιλέγοντας ανάμεσα στο
αστικό λεωφορείο της γραμμής Α ή το τρόλεϊ της γραμμής Β.Ο χρόνος που χρειάζεται και
στις δυο περιπτώσεις ακολουθεί την κανονική κατανομή. Το αστικό λεωφορείο της
γραμμής Α έχει μέσο χρόνο διαδρομής 20Ax = λεπτά με τυπική απόκλιση 3As = λεπτά ενώ
το τρόλεϊ της γραμμής Β έχει μέσο χρόνο διαδρομής 21Bx = λεπτά με τυπική απόκλιση
2Bs = λεπτά. Ποιο από τα δύο μέσα πρέπει να επιλέξει ο Γιάννης για να φτάσει στο σπίτι
του
Α) το λιγότερο σε 23 λεπτά. Β) το αργότερο σε 17 λεπτά.
●

- 7 –
4.Σε μια εταιρεία με 400 υπαλλήλους πραγματοποιήθηκαν σε διαφορετικές ημερομηνίες
δυο σεμινάρια επαγγελματικής κατάρτισης , το σεμινάριο Α και το σεμινάριο Β. Κάθε
υπάλληλος ήταν υποχρεωμένος να παρακολουθήσει τουλάχιστον ένα από τα δυο
σεμινάρια. Από τους 400 υπαλλήλους είναι γνωστό ότι 340 παρακολούθησαν το σεμινάριο
Α και 240 το σεμινάριο Β. Επιλέγουμε τυχαία έναν υπάλληλο της παραπάνω εταιρείας .
Α) να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα A και Β είναι ασυμβίβαστα.
Β) Να αποδείξετε ότι
3
( )
20
P B A− = .
Γ) Να βρείτε την πιθανότητα ο υπάλληλος να παρακολούθησε μόνο το σεμινάριο Α.
Δ) Να βρείτε την πιθανότητα ο υπάλληλος να παρακολούθησε ακριβώς ένα από τα δυο
σεμινάρια.
●
5.Δίνεται ο παρακάτω πίνακας με τις τιμές ix μιας διακριτής μεταβλητής και οι
αντίστοιχες συχνότητες.
ix iν
1x 1ν
2x 2ν
3x 3ν
4x 4ν
ν
Είναι γνωστό ότι 3x x= και για την διάμεσο δ του δείγματος ισχύει:
2
2
2 2
2
lim
2 1 2x x
x xx
x x
δ
→
−
=
− + −
Α) Να δείξετε ότι 2xδ =
Β)Αν επιλέξουμε στην τύχη μια παρατήρηση και 1 2 3 4( ), ( ), ( ), ( )P x P x P x P x είναι οι αντίστοιχες
πιθανότητες να επιλέξουμε παρατήρηση 1 2 3 4, , ,x x x x .
i)Να αποδείξετε ότι 1
1
( )
2
P x ≤ .
ii)Να δείξετε ότι η παράσταση 1 1 2 2 4 4
1 2 4
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x P x x P x x P x
A
P x P x P x
+ +
=
+ +
είναι μια από τις παρατηρήσεις
στου δείγματος .
●

- 8 –
6.Έστω Α,Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με
1
( )
6
P A B∩ = .Στον παρακάτω
πίνακα δίνονται οι τιμές μιας μεταβλητής Χ με μέση τιμή 3x = και οι αντίστοιχες
συχνότητες τους.
Α)Να αποδείξετε ότι
1
( )
2
P B = .
Β)Αν η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα μόνο από τα Α και Β
είναι
1
2
, να βρεθεί η πιθανότητα ( )P A . Στη συνέχεια αν επιλέξουμε
τυχαία κάποια από τις παρατηρήσεις της μεταβλητής Χ, να βρεθεί
η πιθανότητα αυτή να είναι μικρότερη του 3.
Γ) Να βρεθεί η διάμεσος, η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής μεταβολής της
μεταβλητής Χ.
●
7.Δίνεται η μεταβλητή Χ με τιμές 0 και 1 και αντίστοιχες συχνότητες 1 2,v v .Το μέγεθος του
δείγματος είναι ν.Δίνεται ότι
1
2
x = .
Α) Να δείξετε ότι 1 2v v= .
B) Βρείτε την τυπική απόκλιση του δείγματος.
Γ) Εξετάστε αν το δείγμα είναι ομοιογενές.
Δ) Να εξετάσετε ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση:
2 2
( ) 2f x s x xx= −
Ε) Να βρείτε την μέση τιμή των τετραγώνων των παρατηρήσεων του δείγματος .
Δίνεται ο τύπος:
2
12 2
1
1
i
i
i
i
t
s t
ν
ν
ν ν
=
=
  
  
  = − 
 
 
 
∑
∑
●
ix iν
1 3 ( )P B A−
2 2 ( )P B
3 3 ( ) 2P A +
4 3

- 9 –
8. Δίνεται ο πίνακας συχνοτήτων.
Α) Να βρεθούν τα α, β, γ.
Β) ; ;x δ= =
●
9. Έστω 1 2 6, ,...,x x x 6 παρατηρήσεις με 15x = και 3xS = . Αν στο παραπάνω δείγμα
επισυνάψουμε και το 7 8x = , να βρεθεί η , yy S .Ποια είναι η ποσοστιαία μεταβολή του x ;
●
10. Αν {1,2,3,4,5}Ω = και ,Α Β ⊆ Ω :
( )( ) ( )2
{ / 0 ln( 1) ln 3}
{ / 5 1 6 1 }
A x x
B x x x x x
= ∈Ω ≤ − <
= ∈Ω − − = − −
Α) ( ) ;P A B− = , ( ) ;P B A′∪ =
Β) Αν
1
( )
4
P A = , ( ) ;P A B′ ′∪ =
Γ) Αν
1
( )
4
P A = και ( )
1
8
P B A− = , να βρεθεί η μικρότερη και η μεγαλύτερη τιμή του ( )P x
ώστε A X B∪ = .
●
11. Έστω οι 11 τιμές: 7,5, ,2,5, ,8,6, ,5,3a β γ όπου , ,α β γ φυσικοί με α β γ< < . Αν 6, 6x δ= =
και 8R =
Α) 2 2 2
; ; ; : 217α β γ α β γ= = = + + =
ix iv
11 2
10 50a γ− +
3 2
2aβ −
4 2
6γ β−
Σύνολα 15

- 10 –
Β) Για τις τιμές των , ,α β γ που βρέθηκαν, να δειχθεί ότι
58
11
Sx = και να εξεταστεί αν το
δείγμα είναι ομοιογενές.
Γ) Έστω 1 2 11, ,...,y y y παρατηρήσεις που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουμε τις 1 2 11, ,...,x x x
επί μία θετική σταθερά 1C , και στη συνέχεια προσθέσουμε μία σταθερά 2C . Αν 9y = και
2Sy Sx= να βρεθούν τα 1C , 2C .
●
12. Έστω 1 2, ,...,x x xκ τιμές μιας x. Αν ( )
2
22 10
1 , 1,2,..., , 0
Ni Ni a
Fi Fi i a
a
κ
− +
+ − = = ≠
Α) Δείξτε ότι 10v = .
Β) Αν
2
2
1 1
10 i i i i
i i
x v x v
κ κ
= =
 
⋅ = ⋅ 
 
∑ ∑ , δείξτε ότι:
i) 0s =
ii) 1 2 ...x x xκ= = =
●
13. ( ) ln ln( 1)f x x x= − + , { }2,3,...,vΩ = . Αν 9 ( ) 22 ( ) (1)′= ∈ΩP f άκ κ για κ θε κ , δείξτε ότι:
10v = .
●
14. Δίνεται η συνάρτηση ( )
3
( ) 2f x x= + και τα σημεία της καμπύλης f 1 2 10, ,...,A A A με
τετμημένες 1 2 10, ,...,x x x που έχουν μέση τιμή -2 και διασπορά 20.
Α) Να βρείτε την μέση τιμή των συντελεστών διεύθυνσης των εφαπτομένων της καμπύλης
f στα σημεία 1 2 10, ,...,A A A .
Β) Να δείξετε: 1 2 10( ) ( ) ... ( ) 0f x f x f x′′ ′′ ′′+ + + = .
Γ) Αν τα σημεία 1 2 10, ,...,B B B έχουν τετμημένες 1 2 10, ,...,x x x και ανήκουν στην καμπύλη της
f ′′ να εξετάσετε αν ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής των τεταγμένων των σημείων
1 2 10, ,...,B B B .
●

- 11 –
15. Έστω η συνάρτηση 2
( ) ( 2)f x x= − και τα σημεία της καμπύλης f, 1 2 10, ,...,A A A με
τετμημένες 1 2 10, ,...,x x x .
Α) Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
Β) Αν η τυπική απόκλιση των τετμημένων των σημείων 1 2 10, ,...,A A A είναι 3s = και 2x = ,
να βρείτε την μέση τιμή των τεταγμένων τους.
Γ) Αν η μέση τιμή των 1 2 10, ,...,x x x είναι 3x = , να βρείτε τη μέση τιμή των εφαπτομένων των
γωνιών που σχηματίζουν οι εφαπτομένες στην καμπύλη f στα σημεία 1 2 10, ,...,A A A .
Δ) Αν ισχύουν 1 2 10... 2x x x< < < ≤ , το εύρος των 1 2 10, ,...,x x x είναι 5 και 2 2
10 1 15x x= − , να βρείτε
το εύρος των τεταγμένων των σημείων 1 2 10, ,...,A A A .
●
16. Δίνεται η συνάρτηση
9
( )f x x
x
= + .
Α) Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
Β) Να βρείτε την εφαπτομένη ε στην καμπύλη της f στο 0 1x = .
Γ) Έστω τα σημεία 1 2 10, ,...,A A A της ε που έχουν τετμημένες 1 2 10, ,...,x x x με μέση τιμή 4x =
και διασπορά 2 1
4
s = . Να βρείτε τον συντελεστή μεταβλητότητας των τεταγμένων των
σημείων 1 2 10, ,...,A A A .Ποια σταθερά θα πρέπει να προσθέσουμε στις παραπάνω τιμές,ώστε
το δείγμα μας να γίνει ομοιογενές;
Δ) Έστω 1 2 100 ... 3x x x< < < < < .
i) Αν η διάμεσος των 1 2 9, ,...,x x x είναι 2, να βρείτε τη διάμεσο των αριθμών
( )1 2 9( ), ,..., ( )f x f x f x .
ii) Αν 10 1
5
4
x x⋅ = και 10 1 2x x− = , να βρείτε το εύρος των ( )1 2 10( ), ,..., ( )f x f x f x .
●

- 12 –
17. Έστω ο δειγματικός χώρος { }1 2 100, ,...,ω ω ωΩ = ενός πειράματος τύχης και η συνάρτηση
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 2 100( ) ( ) ( ) ... ( )f x P x P x P xω ω ω= − + − + + − .
Α) Να βρείτε τη μέση τιμή των αριθμών 1 2 100( ), ( ),..., ( )P P Pω ω ω .
Β) Να δείξετε ότι: 21
300
100
f s
 
′ = − 
 
, όπου s η τυπική απόκλιση των ( ), 1,2,..,100iP iω = .
Γ) Αν η ευθεία
1
75
y = − είναι εφαπτομένη στην καμπύλη της f ′ , να βρείτε το συντελεστή
μεταβολής των αριθμών 1 2 100( ), ( ),..., ( )P P Pω ω ω .
●
18. Έστω ο δειγματικός χώρος { }1 2, ,..., vω ω ωΩ = ενός πειράματος τύχης και η συνάρτηση
3
1
( )
9
f x x
 
= − 
 
. Δίνεται ότι η μέση τιμή των αριθμών 1 2( ), ( ),..., ( )vP P Pω ω ω είναι
1
9
.
Α) Να βρείτε το πλήθος των απλών ενδεχομένων.
Β) Να αποδείξετε ότι για τη διάμεσο δ των αριθμών 1 2( ), ( ),..., ( )vP P Pω ω ω , ισχύει 0,2δ ≤ .
Γ) Αν ( ) ( ) ( )1 2
1
( ) ( ) ... ( )
12
vf P f P f Pω ω ω′ ′ ′+ + + = , να βρείτε τον συντελεστή μεταβολής.
●
19. Έστω ,f g συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο ℝ τέτοιες ώστε
2 2
( ) (3 2) ( 1)g x f x f x x= − + − + για κάθε x∈ℝ και (1) 1f = − , (1) 1f ′ = .
Α) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης της g στο
σημείο ( )1, (1)A g είναι η 5 5y x= − + .
Β) Αν πάρουμε 2004 διαφορετικά σημεία ( ) ( ) ( )1 1 2 2 2004 2004, , , ,..., ,x y x y x y της προηγούμενης
εφαπτομένης και οι τετμημένες τους έχουν μέση τιμή 400x = και τυπική απόκλιση 200s = ,
αν βρεθούν:
i) Η μέση τιμή των τεταγμένων.
ii) Η μέση τιμή των τετραγώνων των τετμημένων, δηλαδή των 2 2 2
1 2 2004, ,...,x x x .
●

- 13 –
20. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln 2011f x x x= − + και η κατανομή x με παρατηρήσεις 1 2, ,..., vt t t
με μέση τιμή x και τυπική απόκλιση s. Αν η μέση τιμή των τετραγώνων των
παρατηρήσεων είναι 10 και η μέση τιμή x είναι η θέση στην οποία η ( )f x παρουσιάζει
ακρότατο, τότε:
Α) Να μελετηθεί η ( )f x ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
Β) Να υπολογισθεί η x , η s και ο CV.
Γ) Αν 1 2 ... vt t t< < < να εξεταστεί η κατανομή ως προς την ασυμμετρία της, αν επιπλέον
ισχύει ( )3
2
,..., 1,v vt t− ∈ +∞ .
●
21. Δίνεται η συνάρτηση
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 2 ...
( )
3
vt x t x t x
f x
v
− + − + + −
= , όπου 1 2, ,..., vt t t είναι
παρατηρήσεις ενός δείγματος με τυπική απόκλιση s και μέση τιμή x . Η μέγιστη κλίση της
( )f x εμφανίζεται στο σημείο ( )4, 4A − .
Α) Δείξτε ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές.
Β) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC ′ στο σημείο ( )2,4B .
Γ) Αν 1 2 9, ,...,M M M είναι 9 σημεία στην παραπάνω εφαπτομένη με μέση τιμή των
τεταγμένων 7 και τυπική απόκλιση των τεταγμένων 2, να βρείτε την μέση τιμή και την
τυπική απόκλιση των τετμημένων. Επίσης βρείτε την μέση τιμή των τετραγώνων των
τεταγμένων.
●
22.Έστω { },2, , 3x y xΑ = + ένα σύνολο που αποτελείται από παρατηρήσεις που παίρνουμε
από την μελέτη ενός δείγματος με μέση τιμή 2.5x = και διάμεσο 2.5δ = .
( ,x y∈ℝ , 2 3x y x< < < + ).
A) Να βρεθούν οι αριθμοί , .x y
B) Εκλέγουμε τυχαία έναν αριθμό α από το σύνολο Α και ένα αριθμό β από το σύνολο
}{2,4,8Β = .Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος .
Γ) Να βρεθεί η πιθανότητα να ισχύει :
2 2 2 3
2 2
2
lim lim
2 23 2x x
x ax a x
xx a aα β
β β
β→ →
+ − −
≥
−+ −

- 14 –
●
23. Δίνεται η συνάρτηση : 2
1 2 10( ) ( ... ) 5f x t t t x x= + + + − όπου 1 2 10, ,..,t t t οι παρατηρήσεις ενός
δείγματος .
Α) Μελετήστε την συνάρτηση ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα της .
Β)Αν 2 2 2
1 2 10( ) ( ) ( ) .... ( )g x t x t x t x= − + − + + − μια άλλη συνάρτηση και ( ) 810g a = όπου α το x για
το οποίο παρουσιάζει ακρότατο η f και '(0) 2000g = να εξετάσετε αν το δείγμα είναι
ομογενές .
●
24.Δίνεται η συνάρτηση
3 3 3
1 2( ) ( ) .... ( )
( )
3
t x t x t x
f x ν
ν
− + − + + −
= όπου 1 2, ,..,x x xν οι παρατηρήσεις ενός δείγματος με
τυπική απόκλιση s και μέση τιμή x .
Α) Αποδείξτε ότι 2
'( )f x s= −
Β) Βρείτε την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης f .
Γ) Μελετήστε την μονοτονία της συνάρτησης f.
Δ)Μελετήστε την μονοτονία της πρώτης παραγώγου της συνάρτηση f .
Ε) Βρείτε για ποια τιμή του x η f’ παρουσιάζει μέγιστη κλίση.
●
25. Θεωρούμε την συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο ℝ και την συνάρτηση g για
την οποία ισχύει:
3
( ) ( ) ( 1),g x f x x f x x= − − − ∈ℝ
Η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο που τέμνει τον άξονα y’y έχει
εξίσωση y=2x+2011.
Α)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης (ε) της καμπύλης της g στο σημείο της
Μ(1, g(1))
Β) Πάνω στην (ε )παίρνουμε τα σημεία 1 1 2 2 3 3 11 11( 5, ), ( 4, ), ( 3, ),..... (5, )A y A y A y A y− − − .Να βρείτε την
μέση τιμή y , την τυπική απόκλιση y
S και τον συντελεστή μεταβολής yCV των
1 2 3 11, , ,.....,y y y y .
Γ)Παίρνουμε στην τύχη ένα από τα σημεία 1 2 3 11, , ,.....A A A A .Να βρείτε την πιθανότητα να
βρίσκεται «κάτω» από τον άξονα 'x x
●

- 15 –
26.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω , που αποτελείται από 15.000 στοιχεία , τα οποία είναι
ισοπίθανα . Θεωρούμε και τα συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α’ του Ω , με 0 ( ) 1P A< < .
Α) Να αποδείξετε ότι
( ) 1
4 5
( ') ( )
P A
a
P A P A
⋅ + ≥ .
Όπου
2
4 2
lim , , 0
2 2x
x
xλ
λ
α λ λ
λ→
−
= ∈ >
−
ℤ
Β) Αν στην σχέση του ερωτήματος (Α) ισχύει η ισότητα , τότε:
i) να βρείτε το Ν(Α) , δηλαδή το πλήθος των στοιχείων του Α .
ii) αν κάποιο ενδεχόμενο Β του Ω έχει 10.500 στοιχεία , να αποδείξετε ότι τα Α και Β δεν
είναι ασυμβίβαστα.
●
27. Δίνεται η συνάρτηση 2
( ) 10 11,f x s x x x x= ⋅ + ⋅ + ∈ℝ , όπου x η μέση τιμή και s η τυπική
απόκλιση των παρατηρήσεων ενός δείγματος .Αν η εφαπτόμενη της καμπύλης της f στο
σημείο Α(-1,f(-1)) είναι παράλληλη στην : 2011yε = τότε :
Α) Να υπολογίσετε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f .
B) Να δείξετε ότι το δείγμα είναι ομοιογενές.
Γ)Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο.
Δ) Αν η ελάχιστη τιμή της f είναι ίση με 1 τότε:
i)Να βρείτε την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων του δείγματος .
ii)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο Α.
●
28.Σε ένα δείγμα μεγέθους 20 μιας μεταβλητής Χ έχουμε :
20
1
100i
i
t
=
=∑ και
20
2
1
1000i
i
t
=
=∑
Έστω δείγμα του ίδιου μεγέθους μιας μεταβλητής Y , που συνδέεται με το Χ με την
σχέση 2 5Y X= + .Να υπολογιστεί η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση κάθε μεταβλητής .
●
29.Σε ένα χωριό υπάρχουν ν άνθρωποι που ο καθένας είναι 1 2, ,..., vx x x ετών.
Α) Αν το δείγμα 1 2, ,..., vx x x των ηλικιών τους έχει συντελεστή μεταβλητότητας 20% και μετά
από 25 χρόνια γίνεται για πρώτη φορά ομοιογενές .
i) Να βρείτε την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των ηλικιών τους .
ii) Να βρείτε την μέση τιμή του δείγματος 2 2 2
1 2, ,..., vx x x .
iii) αν ο μικρότερος σε ηλικία είναι 10 ετών , να βρείτε προσεγγιστικά την μεγαλύτερη
ηλικία, αν υποθέσουμε ότι η κατανομή είναι κανονική.
Β) Στο παραπάνω χωριό υπάρχουν μονό 2 καφενεία , το Α και το Β. Αν το 30% των
κατοίκων πηγαίνει στο Α καφενείο και το 60% δεν πηγαίνει στο Β ενώ το 50% πηγαίνει σε
ένα τουλάχιστον από τα δυο καφενεία, να βρείτε:

- 16 –
i) Τι ποσοστό των κατοίκων πηγαίνει και στα δύο καφενεία.
ii) Απ’ αυτούς που πηγαίνουν μονο στο ένα καφενείο, ποιοι είναι οι περισσότεροι , αυτοί
που πηγαίνουν μόνο στο Α ή αυτοί που πηγαίνουν μόνο στο Β.
Γ) Καθένα από τα ν άτομα αγοράζει ένα λαχνό. Οι λαχνοί είναι αριθμημένοι από το 1 έως
το ν και έχουν ίδια πιθανότητα κλήρωσης .Αν η πιθανότητα να κληρωθεί περιττός αριθμός
είναι κατά 0.8% μεγαλύτερη από το να κληρωθεί άρτιος να βρείτε ποσά άτομα έχει το
χωριό. (οεφε 2007)
●
30 (Θέμα διασαφήνισης συντελεστή μεταβολής )
Α)Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος ,για τον
συντελεστή μεταβολής CV ενός δείγματος .
i) Κάθε δείγμα έχει συντελεστή μεταβολής .
ii) Ο τύπος
s
CV
x
= ισχύει και όταν 0x < .
iii) Ο CV έχει ως μονάδα μέτρησης την ίδια με τις παρατηρήσεις .
iv) Ένα δείγμα είναι ομοιογενές , αν και μονό αν έχει 50%CV = .
v) Όταν ορίζεται ο CV , τότε πάντα 100%CV ≤ .
vi) Είναι δυνατόν να έχουμε και 0CV < .
vii) Αν σε δείγμα παρατηρήσεων η μέση τιμή και η διάμεσος είναι ίσες, μπορούμε να
πούμε ότι η κατανομή είναι κανονική.
●
31.Μια βιομηχανία παράγει εξαρτήματα πλοίων .Το αναμενόμενο κέρδος P(x) (σε
χιλιάδες ευρώ) από την πώληση x εξαρτημάτων μηνιαίως δίνεται από την συνάρτηση
3 2
( ) 15 600 300,0 30P x x x x x= − + + − < <
Α) Να υπολογίσετε το αναμενόμενο κέρδος από την πώληση 10 εξαρτημάτων μηνιαίως .
Β) Να βρείτε τον αριθμό των εξαρτημάτων που πρέπει να πουληθούν μηνιαίως για να έχει
η βιομηχανία αυτή το μέγιστο κέρδος καθώς και την μέγιστη τιμή του κέρδους .
Γ) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του κέρδους για 10x = .
Δ) Να βρείτε την μέγιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής του κέρδους .
●
32.Α)Δίνονται τα Α ,Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω.Αν A B⊆ και ( ) 0.2P A = και
2
2
( ) 4 ( )
( ) lim
2x
x P A B P A
P B
x→
∪ −
=
−
, να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων ( ')P B και ( )P B A∩ .
Β) Δίνονται ο δειγματικός χώρος }{1,2,..,1.000Ω = με ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα.
Αν Α ,Β δυο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα του Ω για τα οποία ισχύει:
2
16[ ( )] 25 ( ) ( ) 10 0(1)P B P B P− − Α + = να βρείτε:
i) τις πιθανότητες ( ), ( )P B P Α
ii) το πλήθος των στοιχείων Α και Β.
Τι συμπέρασμα βγαίνει για τα Α και Β.

- 17 –
33.Το IQ αποτελεί το δείκτη ευφυΐας των ατόμων και ακόλουθει την κανονική κατανομή
με μέσο x και διασπορά 2
s .Αν είναι γνωστό ότι το IQ μικρότερο του 85 έχει το 16% του
πληθυσμού και μεγαλύτερο από του 130 έχει το 2.5% του πληθυσμού, να βρείτε:
Α) την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση της κατανομής, το συντελεστή
μεταβλητότητας. Είναι ομοιογενές το δείγμα;
Β) το ποσοστό του πληθυσμού που έχει IQ μεγαλύτερο του 145.
●
34.Μια γαλακτοβιομηχανία παρασκευάζει παγωτό το οποίο το συσκευάζει σε πλαστικά
κύπελλα χωρητικότητας 210 gr .Σε δειγματοληπτικό έλεγχο που έγινε για το βάρος του
παγωτού που περιέχεται στα κυπελλάκια πρόεκυψε ο παρακάτω πίνακας κατανομής
σχετικών συχνοτήτων.
Βάρος παγωτού %if
[ )195 197− 10
[ )197 199− 10
[ )199 201− 55
[ )201 203− 20
[ )203 205− 5
Α) Να δείξετε ότι το μέσο βάρος του παγωτού που περιέχεται στα κύπελλα είναι 200 gr.
Β)Να βρείτε την διάμεσο του δείγματος .
Γ) Παίρνουμε στην τύχη ένα από τα κύπελλα του δείγματος .Να βρείτε την πιθανότητα να
περιέχει παγωτό βάρους μικρότερου των 200 gr.
Δ)Λόγω λανθασμένου προγραμματισμού μια ημέρα το βάρος του παγωτού που περιείχαν
τα κύπελλα αυξήθηκε κατά 8 gr. Παίρνουμε ένα από τα κύπελλα παγωτού που είχαν
συσκευαστεί εκείνη την μέρα .Ποια η πιθανότητα το κύπελλο να ξεχειλίσει.
●
35.θεωρούμε 8 ευθύγραμμα τμήματα που έχουν μήκη όχι μικρότερα από 1 και όχι
μεγαλύτερα από 10.
Α) Να βρείτε την μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το εύρος R.
B) Να αποδείξετε ότι για την μέση τιμή x των μηκών των 8 ευθυγράμμων τμημάτων
ισχύει [ ]1,10x∈ .
Γ)Αν 10x = να υπολογίσετε τα μήκη των 8 τμημάτων.

- 18 –
36.Έστω ο δειγματικός χώρος { }1, 2 3 4, ,ω ω ω ωΩ = .Αν το δείγμα των αριθμών
1 2 3 4
1 1 1 1
( ) , ( ) , ( ) , ( )
4 4 4 4
P P P Pω ω ω ω+ + + + έχει τυπική απόκλιση
1
9
. Να δείξετε ότι:
2 2 2 2 2
1 2 3 4
1 1 1 1 2
( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )
4 4 4 4 9
P P P Pω ω ω ω− + − + − + − = και μετά να υπολογίσετε τον
συντελεστή μεταβολής CV του δείγματος .
●
37.Μια εταιρεία που κατασκευάζει υπολογιστές παράγει την ημέρα κ υπολογιστές τύπου
Α, 6 υπολογιστές τύπου Β και λ υπολογιστές τύπου Γ. Επιλεγούμε τυχαία ένα υπολογιστή
της εταιρείας .Η πιθανότητα να είναι τύπου Α είναι
1
2
και η πιθανότητα να είναι τύπου Γ
είναι
1
5
.Αν οι τιμές πώλησης των υπολογιστών τύπου Α και Γ είναι 1400 ευρώ και 2000 ευρώ
αντίστοιχα, τότε:
Α) Να βρεθεί το πλήθος των υπολογιστών τύπου Α και Γ.
Β)Να βρεθεί η τυπική απόκλιση s των τιμών πώλησης όλων των υπολογιστών της
εταιρείας , ώστε ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος να είναι 20% και η τιμή πώλησης
των υπολογιστών τύπου Β να είναι 3000 ευρώ.
Γ)Αν η εταιρεία αποφασίσει να διακόψει την παραγωγή υπολογιστών τύπου Γ και να
αυξήσει την παραγωγή υπολογιστών τύπου Α κατά 80% , πόση πρέπει να είναι η τιμή
πώλησης των υπολογιστών τύπου Β, ώστε ο συντελεστής μεταβολής να παραμείνει ο ίδιος
και η τυπική απόκλιση s των τιμών πώλησης όλων των υπολογιστών να είναι 300 ευρώ.
●
38.Σε μια φανταστική χώρα ο ασφαλιστικός φορέας Μ.Ι.Κ.Α αύξησε τις συντάξεις όλων
των συνταξιούχων του κατά 15%.Ταυτοχρονα παρακράτησε ένα σταθερό ποσό από την
νέα σύνταξη κάθε συνταξιούχου ως εισφορά για την υγειονομική περίθαλψη του ,ώστε ο
συντελεστής μεταβολή των συντάξεων να είναι 10% μεγαλύτερος από τον αρχικό. Αν η
αρχική μέση σύνταξη είναι 1000 ευρώ (είπαμε είναι μια φανταστική χώρα), να βρείτε:
Α) Το ποσό της εισφοράς που ο ασφαλιστικός φορέας παρακράτησε από κάθε
συνταξιούχο.
Β) Βγήκαν κερδισμένοι οι συνταξιούχοι την απόφαση του Μ.Ι.Κ.Α;
●

- 19 –
39.Από ένα φύλλο λαμαρίνας σχήματος τετραγώνου πλευράς 6 μέτρων κατασκευάζεται
μια δεξαμενή σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, ανοικτή από πάνω. Από τις
γωνίες του φύλλου λαμαρίνας κόβονται τέσσερα ίσα τετράγωνα πλευράς x μέτρων,
0 x 3< < και στην συνέχεια οι πλευρές της διπλώνονται προς τα πάνω, όπως φαίνεται στο
παρακάτω σχήμα:
Α) Να αποδείξετε ότι ο όγκος της δεξαμενής ως συνάρτηση του x είναι:
2
f(x) 4x(3 x) ,0 x 3= − < <
(δίνεται ο όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου διαστάσεων α,β,γ είναι V = αβγ ).
Β) Να βρείτε για ποια τιμή του x η δεξαμενή έχει μέγιστο όγκο.
Γ) Να βρείτε το όριο
x 0
f(x 2) 8
lim
x→
+ −
.
Δ) Θεωρούμε τις τιμές i iy f(x ),i 1,2,3,4,5= = με 1 2 3 4 51 x x x x x 2= < < < < = , οι οποίες έχουν μέση
τιμή y 12= ,τυπική απόκλιση ys 2= και συντελεστή μεταβολής yCV .Να βρείτε το εύρος R των
τιμών iy , i 1,2,3,4,5= .Στην συνέχεια να βρείτε τον αριθμό α∈ℝ με 12 0− < α < ο οποίος , αν
προστεθεί σε καθεμία από τις τιμές iy προκύπτει δείγμα με συντελεστή μεταβολής CV
τέτοιον ώστε y
R
CV 2CV
12
= + .
Ε) Έστω Α,Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Αν
είναι A ≠ ∅ , B ≠ ∅ και A B⊆ , να αποδείξετε ότι ισχύει:
2
P(A) 3 P(B)
P(B) 3 P(A)
 −
≤  
− 
●

- 20 –
40.Εστω ο δειγματικός χώρος {1,2,3,4,5,6}Ω = του πειράματος ρίψης ενός αμερόληπτου
ζαριού. Έστω επίσης η συνάρτηση ( ) (4 ) 4,= − + − ∈ℝx
f x e x xλ
λ λ όπου ∈ℝλ .
Α)Nα βρείτε τις συναρτήσεις '( ), ''( )f x f x
Β)Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη (ε) της καμπύλης της f στο σημείο (0, (0))M f έχει
εξίσωση
2
(5 )= − −y xλ λ λ
Γ)Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων
Α={ /λ ∈Ω η ευθεία (ε) είναι κάθετη στην ευθεία (η) με εξίσωση
1
2014
4
= − +y x }
Β={ /λ ∈Ω η συνάρτηση 'f είναι γνησίως φθίνουσα }
E) Για 1λ = να υπολογίσετε:
i)τις τιμές '(0), (0)f f
ii)το όριο
0
3 3
lim
→
+ −h
h
e h
h
.
●
41.( Μεζεδάκια θεωρίας)
A)Να χαρακτηρίσετε ως αληθής ή ψευδής τις παρακάτω προτάσεις
1)Ο λόγος της μέσης τιμής προς την τυπική απόκλιση καλείται συντελεστής μεταβολής
και είναι καθαρός αριθμός. Σ Λ
2)Σε κάθε κατανομή το 50% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες της μέσης τιμής και το
50% είναι μεγαλύτερες της μέσης τιμής Σ Λ
3)Αν σε ένα δείγμα 3 0x s= ≠ , τότε το δείγμα είναι ομοιογενές . Σ Λ
4)Αν όλες οι παρατηρήσεις ενός δείγματος έχουν την ίδια τιμή ,τότε η τυπική απόκλιση
αυτών είναι ίση με μηδέν. Σ Λ
B)Τα παρακάτω διαγράμματα παρουσιάζουν την κατανομή του σωματικού βάρους των
αθλητών σε δυο ομάδες ποδοσφαίρου.
i) Ποιο είναι το μέσο βάρος των δυο ομάδων;
ΟΜΑ∆Α Α ΟΜΑ∆Α Β
70 90 75 85

- 21 –
ii) Ποια ομάδα έχει την μεγαλύτερη διασπορά;
iii) Ποια ομάδα έχει μεγαλύτερη ομοιογένεια στο σωματικό βάρος των παικτών;
●
42.Έστω ο δειγματικός χώρος {1,2,3,....,2 }νΩ = ενός πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά
ενδεχόμενα. Αν το εύρος R και η διάμεσος δ των αριθμών 1,2,3,..,2ν συνδέονται με την
σχέση 2 40R δ+ = .Να υπολογίσετε:
Α)τους αριθμούς R,δ,ν.
Β)την πιθανότητα του ενδεχομένου {1,2,3,...., }A R=
Γ)την πιθανότητα λαμβάνοντας τυχαία ένα αριθμό λ από το σύνολο Ω η συνάρτηση
2
( ) ln( 5 )f x x x λ= + +
Να έχει πεδίο ορισμού το ℝ .
Δ) Αν
20
2
1
2870i
i
x
=
=∑ να δείξετε ότι η τυπική απόκλιση των αριθμών 1,2,3,…,2ν ( ω η τιμή που
υπολογίσατε στο ερώτημα α) είναι 33.25s = .
●
43.Δίνεται η συνάρτηση ( ) 39,x
f x e xα λ= − + ∈ℝ με α πραγματικό αριθμό.
Α) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α( 0,f(0)) είναι
παράλληλη στον άξονα x΄x να βρείτε την τιμή του α.
Β) Δίνονται οι παρατηρήσεις 1 2 100( ), ( ),..., ( )f x f x f x με 1 2 100( ) ( ) ... ( )f x f x f x< < < οι οποίες
ακολουθούν περίπου κανονική κατανομή με μέση τιμή x και τυπική απόκλιση s.Αν το
δείγμα δεν είναι ομοιογενές να αποδείξετε ότι
i) η ελάχιστη τιμή της f είναι 40.
ii) 40δ >
iii) 4s >
iv)Η συνάρτηση 3 2
( ) 6 3 ,g x x x sx x x= + + + ∈ℝ είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .
●
44.Δίνεται η συνάρτηση 2
( ) 1 ln( ), 0f x x a a= + + > .
Α)Αν η εφαπτομένη της fC στο σημείο Α(1,f(1)) σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία 45o να
υπολογίσετε την τιμή του α.
Β)Για α=1 να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα .
Γ)Εστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και Α,Β δυο ενδεχόμενα του για τα
οποία ισχύει η σχέση f(P(A))=P(B).Να αποδείξετε ότι το Β είναι το βέβαιο ενδεχόμενο και το
Α το αδύνατο ενδεχόμενο.

- 22 –
●
45.Να χαρακτηρίσετε ως αληθής ή ψευδής τις παρακάτω προτάσεις
1)Αν Α ,Β ενδεχόμενα ενός δ,χ Ω ενός πειράματος τύχης και ισχύει A B≠ τότε ( ) ( )P A P B≠ .Σ
Λ
2)Οι σχετικές αθροιστικές συχνότητες %iF μιας κατανομής εκφράζουν το ποσοστό των
παρατηρήσεων που είναι μεγαλύτερες ή ίσες της τιμής ix .Σ Λ
3)Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για την γραφική παράσταση μόνο ποιοτικών
δεδομένων. Σ Λ
4)Η καμπύλη συχνοτήτων του παρακάτω σχήματος εκφράζει μια ασύμμετρη κατανομή
με θετική ασυμμετρία. Σ Λ
5)Το εύρος ενός δείγματος βασίζεται στις δυο ακραίες παρατηρήσεις . Σ Λ
●
46.(Μεζεδάκια θεωρίας)
Α) Εξετάζουμε δυο δείγματα μεγέθους ν και μ ως προς μια ποσοτική μεταβλητή Χ.Αν x και
y είναι οι μέσες τιμές των παρατηρήσεων των δυο δειγμάτων , να δείξετε ότι η μέση τιμή
του συνόλου των παρατηρήσεων των δυο δειγμάτων ισούται με:
x y
z
ν µ
µ ν
+
=
+
Β)Να αποδείξετε ότι σε μια κατανομή συχνοτήτων η διακύμανση 2
s δίνεται και από την
σχέση :
2
22 1
v
i i
i
x
s x
ν
ν
=
= −
∑
Γ)Αν σε ένα δείγμα μεγέθους ν( *
v∈ℕ ) η μεταβλητή x παίρνει μόνο τις τιμές 1 και 0, να
αποδείξετε ότι για την διακύμανση 2
s ισχύει 2 1
4
s ≤ ( Υπόδειξη: χρησιμοποιήστε το
ερώτημα (β)).
Δ)Να αποδείξετε ότι αν από τις παρατηρήσεις 1 2, ,...., vx x x αφαιρέσουμε την μέση τιμή τους
x και στην συνέχεια διαιρέσουμε με την τυπική τους απόκλιση xs , τότε οι νέες
παρατηρήσεις που προκύπτουν έχουν μέση τιμή 0 και τυπική απόκλιση 1, δηλαδή αν
i
i
x
x x
y
s
−
= , τότε 0y = και 1ys = ( δίνεται ότι 0xs ≠ ).
Ε) Αν σε ένα δείγμα μεγέθους ν( *
v∈ℕ ) με θετικές παρατηρήσεις η μεταβλητή x ακολουθεί
την κανονική κατανομή τότε για το συντελεστή μεταβολής CV ισχύει:
Do or do not… there
is no try.
Yoda

- 23 –
1
3
CV < .
●
47)Αν ε η εφαπτομένη (όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα) της fC στο σημείο της Α(1,1)
και 1 2 9....x x x< < < οι τετμημένες των σημείων 1 2 9, ,..,M M M αντίστοιχα με μέση τιμή -2 και
διάμεσο -1.
Α)Να βρείτε την μέση τιμή των τεταγμένων των σημείων 1 2 9, ,..,M M M .
Β)Την διάμεσο των τεταγμένων των σημείων 1 2 9, ,..,M M M .
Γ)το όριο
0
(1 ) (1)
lim
h
f h f
h→
+ −
1
x1 x2 x9
A(1,1)
Cf
M1
M2
M9
1
120ο
Όταν ήµουν µικρός, κόµπαζα για
το πόσο πολλές σελίδες διάβαζα
σε µία ώρα. Στο κολέγιο έµαθα
πόσο βλακώδες ήταν αυτό. Το να
διαβάζεις δέκα σελίδες
µαθηµατικά την ηµέρα µπορεί να
είναι ένας εξαιρετικά γοργός
ρυθµός. Ακόµα και µία σελίδα,
όµως, µπορεί να είναι αρκετή.
William Paul Thurston
Μετάλλιο Fields 1982

- 24 –
48)Δινεται η συνάρτηση 2 2 21
( ) ( 20 ( 1) ( )),
60
g x x x xγ β α γ= + + + − + ∈ℝ
με α,β,γ πραγματικές παραμέτρους.Αν η γραφική παράσταση της g τεμνει τον αξονα y’y
στο σημείο A(0,
1
3
) και ισχύει : 20
(1 )
lim
1
x
x
e x
x x
συν
γ
ηµ συν→
−
=
+ −
Α)Να βρείτε τις τιμές των α,β,γ.
Β) Για α=1,β=0 και γ=1.
Αν έχουμε ένα δείγμα 30 παρατηρήσεων ως προς μια μεταβλητή Χ με 1 2 3, ,x x x τις
διακεκριμένες τιμές της μεταβλητές Χ, 1 2 3, ,ν ν ν οι αντίστοιχες συχνότητες και 1 2 3, ,f f f οι
αντίστοιχες σχετικές συχνότητες. Να αποδείξετε ότι:
α) 1 2 3( ) ( ) ( ) 1g΄ g΄ g΄ν ν ν+ + =
β) 1 2 3
1
( ) ( ) ( )
30
g΄ f g΄ f g΄ f+ + =
γ)αν x η μέση τιμή και s η τυπική απόκλιση του δείγματος ,τότε:
i) 1 1 2 2 3 3( )g΄ v x v x v x x+ + =
ii)
2
1 1 2 2 3 3
20
( ) ( ) ( )
2
s
v g x x v g x x v g x x
+
− + − + − =
Γ) Έστω μια συνάρτηση h δυο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ με ( 1) 7h − = .Αν
( ) (180 ( 2) 20) (2 5),f x g x h x x= − − ⋅ − ∈ℝ τότε:
α) Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της Cf στο (2, (2))A f είναι παράλληλη στον άξονα χ’χ.
β)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο (2, (2))A f .
γ)Να υπολογίσετε την ''(2)f .

- 25 –
49.Εστω Α,Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω.Αν
1
( )
4
P B = και
1
( )
6
P A B∩ = ,τότε:
Α) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες ( )P B A− , ( ')P B .
Β)Να δείξετε ότι
1
( ' ') ( )
12
P A B P B A− = − =
Γ)Να δείξετε ότι
11
( )
12
P A ≤
50. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθουν ως σωστές ή λάθος .
1. lim( )
ox x
x xσυν συν
→
= Σ Λ
2. ( )( ) ' '( )cf x cf x= Σ Λ
3.Σε μια ποσοτική διακριτή μεταβλητή αντί του ραβδογράμματος χρησιμοποιείται το
διάγραμμα συχνοτήτων . Σ Λ
4.Ενα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής Χ χαρακτηρίζεται ομοιογενές όταν ο συντελεστής
μεταβολής ξεπερνά το 10%. Σ Λ
5.Δυο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω λέγονται ασυμβίβαστα , όταν
A B∩ ≠ ∅ Σ Λ
●
51.Εστω Α,Β δυο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω.
Α)Να δείξετε ότι : ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A B P A P B∩ + ∪ = +
Β)Αν ( ') 0.4P A ≤ και ( ') 0.5P B ≥ να δείξετε ότι :
i) ( ) 0.6P A ≥ και ( ) 0.5P B ≥ ii) ( ) ( ) 1.1P A B P A B∩ + ∪ ≥
iii)Να δείξετε ότι A B∩ ≠ ∅ .
52.Αν η μεταβλητή Χ παίρνει μόνο δυο τιμές 1 2,x x με συχνότητες 1 2,ν ν αντίστοιχα ,
αποδείξετε ότι :
i)η τυπική απόκλιση s δίνεται από τον τύπο 1 2
1 2
1 2
v v
s x x
v v
⋅
= −
+
ii)Αν 1 2v v= τότε 1 2
1 2
x x
CV
x x
−
=
+
“May the Force be
with you.”
Yoda

- 26 –
53.i)(άσκηση μπριαμ) Να εξετάσετε την συνάρτηση
ln
( ) , 0
x
f x x
x
= > ως προς την
μονοτονία και τα ακρότατα στο πεδίο ορισμού της .
iii) Αν ,A B ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με ,A B A B⊆ ≠ τότε να αποδείξετε ότι η
συνάρτηση
( )3 2 ( ) ( )1
( ) ( ) ( ) 1 1974
3
P A B P A B
g x x x P A B P A B x∩ ∪
= − + ∪ − ∩ + + είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .
(Υπόδειξη: να χρησιμοποιήσετε το ερώτημα(i))
iii)Αν η μέση τιμή των παρατηρήσεων
3 3 4 4 5 5 1 1
2 (2), ( ), ( ), ( ),...., ( )
2 2 3 3 4 4
v
f f f f f
ν
ν ν
+ +
είναι
ln 2014
x
ν
= .Να βρείτε το πλήθος ν του δείγματος .
●
54.Αν 1 2, ,...,t t tν οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ με μέση τιμή x και διάμεσο δ ,
τυπική απόκλιση s και η συνάρτηση:
2
1
( ) ( )i
i
f x t x
ν
=
= −∑
Α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα 'y y στο σημείο
22
(0, ( ))A s xν +
Β)Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα 'x x , να δείξετε ότι xδ = .
Γ) Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα και να αποδείξετε ότι για
κάθε x∈ℝ ισχύει 2
( )f x sν≥ .
●
55.Εστω 1 2, ,...,t t tν οι ηλικίες σε ακέραιο αριθμό ετών των μελών του συλλόγου Σ.Ο.Κ.Ο.Ν το
2014.
Θεωρούμε την συνάρτηση
3 3 3
1 2
1
( ) [( ) ( ) ... ( ) ]
3
f x t x t x t xν= − − + − + + −
Α) Να δείξετε ότι 2 '( )f x
s
ν
= , όπου 2
s η διακύμανση και x η μέση τιμή των τιμών της
μεταβλητής.
Β) Αν ισχύει ''(2 ) 3 5f x a= − , να βρείτε το
1
i
i
t
ν
=
∑ αν
3 2
21
1
lim
( 3 2)x
x x x
a
x→
− − +
=
+ −
Γ)Αν 3
1
6042i
i
t
ν
=
=∑ , να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης
της f στο σημείο (0, (0))fΑ είναι
22
( ) 2014y s x xν= + −

- 27 –
Δ)Αν 1 2, ,...,t t tκ , (κ ν< ) οι ηλικίες σε ακέραιο αριθμό ετών των ιδρυτικών μελών του
συλλόγου Σ.Ο.Κ.Ο.Ν το 2014 και το δείγμα έχει συντελεστή μεταβολής 16% ενώ το 2029 θα
γίνει πρώτη φορά ομοιογενές .
i) να βρείτε την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των ηλικιων των κ ιδρυτικών μελών.
ii) Αν η κατανομή του δείγματος των κ ηλικιών είναι περίπου κανονική να βρείτε κατά
προσέγγιση την μικρότερη ηλικία αν το μικρότερο σε ηλικία άτομο είναι 13 ετών.
iii)Να βρείτε το πλήθος των κ ατόμων που ίδρυσαν τον σύλλογο Σ.Ο.Κ.Ο.Ν αν 8 υδρυτικά
μέλη το 2014 έχουν ηλικία άνω των 29 ετών.
●
56.Α)Δίνεται η συνάρτηση 2
( ) (0.6 ) ,0 0.6g x x x x= − ≤ ≤ .
Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα στο πεδίο ορισμού της.
Β)Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανομή των σχετικών συχνοτήτων της βαθμολογίας
ν μαθητών μιας τάξης στο μάθημα της Χημείας .Τα δεδομένα έχουν ομαδοποιηθεί σε 4
κλάσεις .
i)Να δείξετε ότι 2
3 4 0.032f f ≤ .
( Υπόδειξη :μπορείτε να χρησιμοποιήσετε
το ερώτημα (Α))
ii) Αν 4 0.3f = να βρείτε την μέση τιμή των
παραπάνω βαθμολογιών και να βρείτε την
διάμεσο. Ακολουθούν οι βαθμολογίες την
κανονική κατανομή; Αιτιολογήστε την
απάντηση σας.
iii) Αν επιλέξουμε τυχαία έναν από τους
παραπάνω μαθητές, να βρεθεί η πιθανότητα ώστε να έχει βαθμολογία στα διαστήματα:
α) [ )16,20 β) [ )17,19 γ) [ )12,15
●
Βαθμολογία [ )− Σχετικές
συχνότητες if
12-14 0.1
14-16 0.3
16-18 3f
18-20 4f
Πωλ Έρντος
Ένας µαθηµατικός είναι
µια µηχανή που µε την
χρήση καφέ παράγει
θεωρήµατα.

- 28 –
57.Εξετάζουμε ένα δείγμα μεγέθους ν ως προς μία ποσοτική μεταβλητή Χ και
ομαδοποιούμε τις παρατηρήσεις του δείγματος σε 5 ισοπλατείς κλάσεις πλάτους c, όπως
φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:
Δίνεται ότι οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες 3F και 5F είναι οι ρίζες της εξίσωσης :
2
5 8 3 ,x x κ κ− + ∈ℝ
α) Να αποδείξετε κ =1 και λ=10.
β)Να αποδείξετε ότι 1 2 3 4% 10, % 30, % 20, % 30f f f f= = = = και 5 % 10f = .
γ)Αν το 25% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες του 16 και το 25% των παρατηρήσεων
είναι μεγαλύτερες ή ισες του 24 , τότε να αποδείξετε ότι α=10 και c =4. Να συμπληρώσετε
τον πίνακα.
δ)Αν το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μεγαλύτερες ή ισες του 22 είναι 800, τότε να
υπολογίσετε το μέγεθος των δείγματος .
●
58.Εστω ο δ.χ Ω και τα ενδεχόμενα του Α,Β.Αν για τις πιθανότητες των ενδεχομένων
, , ,A B A B A B B A∪ ∩ − − ισχύουν:
( ) ( )
( )
2 2
P B P A
P A B< ∩ < ,
1
( )
8
P A B∩ = ,
η μέση τιμή τους είναι
5
16
x =
η διάμεσος τους είναι
1
4
δ = ,να βρείτε:
Α) τη πιθανότητα του ενδεχομένου A B∪ .
Β) τη πιθανότητα των ενδεχομένων ,A B .
Γ) τη πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα ,A B .
Δ)την διακύμανση των αριθμών ( ), ( ), ( ), ( )P A B P A P B P B A∪ −
"Είναι κάτι που οι µαθηµατικοί δεν
µπορούν να αντιληφτούν πλήρως .
Τα µαθηµατικά στην
πραγµατικότητα είναι σχεδόν εξ
ολοκλήρου ζήτηµα αισθητικής!!"
John H.Conway

- 29 –
58.Επικαιρο!!!!
Στο εκλογικό τμήμα του χωριού Άνω Πλατανιά κάθε κάτοικος - με δικαίωμα ψήφου-
ψήφισε ένα από τα κόμματα Α,Β,Γ και Δ. Κατά την καταμέτρηση διαπιστώθηκε ότι δεν
υπήρξαν λευκά ή άκυρα .Το πλήθος των ψηφοφόρων του κόμματος Α είναι το 150% του
αριθμού των ψηφοφόρων του κόμματος Β, οι ψηφοφόροι του κόμματος Γ είναι το 10%
όλων των κατοίκων του χωριού που ψήφισαν .Ενώ είναι γνωστό ότι το πλήθος των
ψηφοφόρων του κόμματος Δ είναι το 200% των ψηφοφόρων του κόμματος Β. Επιλέγουμε
τυχαία ένα κάτοικο του χωριού που ψήφισε. Ποια είναι η πιθανότητα
i)Να ψήφισε το κόμμα Α ή το κόμμα Γ.
ii)Να ψήφισε το κόμμα Γ.
iii)Να ψήφισε το κόμμα Γ ή να μην ψήφισε το κόμμα Β.
●
59.Εστω {0,1,2,3}Ω = είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης έτσι ώστε
4 (0) (1) 2 (2) 4 (3)P P P P= = =
i)Να βρείτε τις πιθανότητες όλων των απλών ενδεχομένων.
ii)Δίνεται η συνάρτηση 2 23
( ) ( 3 5) 666
2
f x x xλ λ= − − + + , λ ∈Ω , x∈ℝ .Να βρείτε την
πιθανότητα του ενδεχομένου
{ / 1}f xλ η συναρτηση παρουσιαζει ελαχιστο γιαΑ = ∈Ω =
iii) Οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είναι οι παρακάτω:
2
1,1,6, ,3,3,2,6 3λ λ− λ απλό ενδεχόμενο του Ω. Αν x η μέση τιμή των παραπάνω
παρατηρήσεων να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου
{ / 2.5}B xλ η µεση τιµη= ∈Ω ≥
iv)Να βρείτε τις πιθανότητες :
( ), ( ), ( ), ( ), ( ' ), ( ' ), ( ' '), ( ' ')P A B P A B P A B P B A P B A P A B P A B P A B∩ ∪ − − − − ∩ −

- 30 –
60.Σε ένα δείγμα μεγέθους ν , οι 1ν παρατηρήσεις έχουν την τιμή 0 και οι 2ν παρατηρήσεις
την τιμή 1, με 1 2ν ν ν+ = . Θεωρούμε τον δ.χ. Ω ενός πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά
ενδεχόμενα και τα ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α,Β του Ω, για τα οποία υποθέτουμε ότι ισχύει
1
( )P
ν
ν
Α = , 2
( )P B
ν
ν
= .
Να δείξετε ότι:
Α) 'Α = Β .
Β) το δείγμα έχει μέση τιμή ίση με ( )P Β .
Γ) η διακύμανση του δείγματος ισούται με ( ) ( )P PΒ ⋅ Α .
Δ) Αν ν άρτιος, να βρείτε για ποιά τιμή του ( )P Α η διακύμανση του δείγματος γίνεται
μέγιστη.
●
61.Δίνεται η συνάρτηση ( ) , , 1x x
f x e e xλ
λ λ= − ∈ >ℝ
Α) Να βρείτε τις '( ), ''( )f x f x
Β)Να δείξετε ότι ''( ) ( 1) '( ) ( )f x f x f xλ λ= + −
Γ)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο της Α(0,f(0)).
Δ)Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε τα ακρότατα της .
Ε)Να δείξετε ότι 1x x
e eλ
λ λ+ ≥ + για κάθε x∈ℝ .
●
62.Οι πωλήσεις, σε χιλιάδες ευρώ, που έγιναν από τους πωλητές μιας εταιρείας κατά τη
διάρκεια ενός έτους ομαδοποιήθηκαν σε πίνακα συχνοτήτων με κλάσεις ίσου πλάτους. Το
αντίστοιχο πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων fi % έχει διαδοχικές κορυφές τις:
A(8,0),B(10,10),Γ(12,20),Δ(14,yΔ),Ε(16,yΕ) Z(18,10),H(20,0)
όπου yΔ , yΕ οι τεταγμένες των κορυφών Δ και Ε του πολυγώνου ABΓΔΕΖΗ.
A) Να υπολογιστούν οι τεταγμένες yΔ , yΕ των κορυφών Δ και Ε, αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι
το ευθύγραμμο τμήμα ΔΕ είναι παράλληλο προς τον οριζόντιο άξονα
B) Να σχεδιαστεί το πολύγωνο των σχετικών συχνοτήτων fi%.
Γ) Να κατασκευαστεί ο πίνακας των σχετικών συχνοτήτων( fi, fi %Fi, Fi%) της κατανομής
των πωλήσεων που έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους.
Το ενεργητικό άτοµο
µαθαίνει µόνο του!!
Φ.Νίτσε

- 31 –
Δ) Να βρείτε την μέση τιμή x και την διάμεσο δ του δείγματος .
Ε) Η διεύθυνση της εταιρείας αποφάσισε τη χορήγηση ενός επιπλέον εφάπαξ ποσού σε
όσους πωλητές έχουν κάνει ετήσιες πωλήσεις τουλάχιστον 15000 ευρώ. Να υπολογιστεί το
ποσοστό των πωλητών που θα λάβουν αυτό το ποσό.
ΣΤ) Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων της κατανομής
των πωλήσεων οι οποίες έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός
έτους και του οριζόντιου άξονα είναι 80. Να βρείτε τον αριθμό των πωλητών που
δικαιούνται το εφάπαξ ποσό που αναφέρεται στο προηγούμενο ερώτημα.
63.ΜΕΖΕΔΑΚΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ
Α)Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που
αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση.
1.Αν 2
( ) ln 2f x x= + , τότε η '( )f x είναι :
Α.
1
2
2
x + Β. x Γ. 2x Δ.
1
2
2
x
x
+
2.Αν για την συνάρτηση ( ) x x
f x e ηµ+
= ισχύει : ( ) '( )f a f a= , τότε
Α.
1
2
a = Β. 0α = Γ. ,
2
π
α κπ κ= + ∈ℤ Δ. ,α κπ κ= ∈ℤ
3.Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
2
( ) x
f x e= στο
σημείο της (1, (1))fΑ είναι:
Α. 2y x e= + Β. 2y ex e= + Γ. 2y ex e= − Δ. 2y x e= − +
2
( )f x
x
= .Η κάθετη στην εφαπτομένη της fC στο σημείο
1
(2, )
2
A
έχει συντελεστή διεύθυνσης :
Α.-2 Β.
1
2
Γ.
1
2
− Δ. 1 Ε. 2
5.Δίνεται η συνάρτηση 1 ( )
( ) x
f x e ηµ π+
= τότε '(1)f =
Α.0 Β. e Γ. eπ Δ. eπ− Ε. 1
●

- 32 –
Β)Στην στήλη του πίνακα Α αναγράφονται διάφορες σχέσεις για τα ενδεχόμενα Α και Β
διατυπωμένες στη καθημερινή γλώσσα , και στην στήλη Β αναγράφονται οι ίδιες σχέσεις
αλλά διατυπωμένες στην γλώσσα των συνολων.Να κάνετε την αντιστοίχιση.
Στήλη Α Στήλη Β
1.Το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται. Α. ω ∈ Α ∩Β
2.Το ενδεχόμενο Α δεν πραγματοποιείται. Β. ω ∈ Α ∪Β
3.Ενα τουλάχιστον από τα Α και Β
πραγματοποιείται.
Γ. ω ∈ Α − Β
4.Πραγματοποιούνται αμφότερα τα Α και Β. Δ. ( )'ω ∈ Α ∪Β
5.Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β Ε. 'ω ∈ Α
6. Πραγματοποιείται μόνο το Α ΣΤ. Α ⊆ Β
7.Η πραγματοποίηση του Α συνεπάγεται την
πραγματοποίηση του Β
Ζ. ω ∈Α
●
( ) ,f x ax xβ= + ∈ℝ , α,β πραγματικές παράμετροι.
Α)Αν η fC έχει κοινά σημεία με την y x= τα σημεία Α(0,0) και Β(1,1) ,να υπολογίσετε τις
τιμές των α,β.
B)Για α=1 και β=0 ,να βρείτε
i) το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της fC στο σημείο Α(3,f(3)).
ii) το όριο
2014 2014
0
(3 ) 3
lim
( 2014)h
h
h h→
+ −
+
iii) την εξίσωση της εφαπτομένης της fC που είναι παράλληλη στην ευθεία
(η): 2014y x=
iv)Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δυο εφαπτόμενες της fC οι οποίες διέρχονται από το
σημείο Μ(0,-2013).

- 33 –
65.Η προϋπηρεσία των συμβασιούχων μιας δημόσιας υπηρεσίας έχει ομαδοποιηθεί σε 4
κλάσεις ίσου πλάτους όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Το εύρος είναι R=16.
Α)Να δείξετε ότι το πλάτος των
κλάσεων είναι c=4 και α=20.
Β)Να συμπληρώσετε τον πίνακα
με στήλες :
2
, , %, , %, ,i i i i i i i i ix f f F F x f x f
Γ)Να βρείτε την μέση τιμή x , την
τυπική απόκλιση s και να
εκτιμήσετε το ποσοστό των
συμβασιούχων που έχουν χρόνια
υπηρεσίας τουλάχιστον x s− και
το πολύ x s+ .
Δ)Η πολιτεία αποφασίζει να απολύσει τους συμβασιούχους που έχουν προϋπηρεσία
λιγότερη από 4 έτη. Να βρείτε την νέα μέση τιμή του χρόνου προϋπηρεσίας .
Χρόνια υπηρεσίας Κέντρα κλάσεων fi%
[ )−
2
a
[ )− a
[ )− 10 3
2
a
[ )− 2a
Σύνολο
G.H.Hardy
Είναι γεγονός ότι υπάρχουν λίγα µόνο αντικείµενα µελέτης πιο
"δηµοφιλή" από τα µαθηµατικά .Οι περισσότεροι άνθρωποι
τρέφουν κάποια εκτίµηση γι’ αυτά ,όπως ακριβώς οι
περισσότεροι απολαµβάνουν ένα ευχάριστο µουσικό σκοπό. Και
πιθανό να υπάρχουν περισσότεροι που να ενδιαφέρονται
πραγµατικά για τα µαθηµατικά απ ΄ότι για την µουσική .Τα
φαινόµενα ίσως να δείχνουν το αντίθετο , αλλά αυτό µπορεί
εύκολα να εξηγηθεί.Η µουσική µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να
ενεργοποιήσει το συναίσθηµα των µαζών,ενώ τα µαθηµατικά
δεν µπορούν .Και ενώ η µουσική ανικανότητα αναγνωρίζεται
(σωστά, χωρίς αµφιβολία) ως ελαφρώς επικριτέα , οι
περισσότεροι φοβούνται τόσο πολύ το όνοµα των µαθηµατικών
ώστε είναι διατεθειµένοι, χωρίς να τους υποχρεώνει κανείς, να
υπερβάλλουν την µαθηµατική τους ανοησία.

- 34 –
66.Εστω Α,Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χωρου Ω και μια συνάρτηση
3 21 9 1
( ) 2014,
2 40 20
f x x x x x= − + − + ∈ℝ
Οι πιθανότητες ( ), ( ), ( ), ( )P A P B P A B P A B∩ ∪ είναι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ με
διάμεσο δ την θέση τοπικού μέγιστου της f και οι πιθανότητες
( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )P A P B P A B P B A P A B P A B∩ − − ∪ έχουν μέση τιμή x την θέση τοπικού ελαχίστου
της f. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες ( ), ( )P A B P A B∩ ∪ .
●
67Εστω ο δειγματικός χώρος Ω και ένα ενδεχόμενο του Α, A ≠ ∅ .
Α) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης 2
( ) 2 2 1,f x x x x= − + ∈ℝ .
Β) Θεωρούμε τις παρατηρήσεις: ( ), ( '), ( ), ( )P A P A P P∅ Ω
i)Να υπολογίσετε την μέση τιμή και την διάμεσο τους .
ii)Να δείξετε ότι η διακύμανση τους είναι:
2 21
(2 ( ) 2 ( ) 1)
4
s P A P A= − +
iii)Να δείξετε ότι
2
2
CV ≥ και ότι η ισότητα ισχύει όταν ( ) ( ')P A P A=
●
68.A)Έστω x η μέση τιμή και s η τυπική απόκλιση 30 θετικών παρατηρήσεων
1 2 30, ,....,x x x .Αν ισχύει
30
2 2
1
3030i
i
x s
=
=∑ τότε να βρείτε το συντελεστή μεταβολής του δείγματος
και να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές .
Β) Έστω , , 'A B B A≠ ∅ ≠ δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω .Δίνονται οι
συναρτήσεις:
3 240
( ) 2 ( ) ( ) 2,
3
f x CVx P A B x P A B x x= − ∪ + ∪ + ∈ℝ , με CV το συντελεστή μεταβολής του
ερωτήματος (Α) και
23
( ) 666,
2
g x x ax x= − + ∈ℝ , α πραγματική παράμετρος .
i) Να αποδείξετε ότι η f δεν παρουσιάζει ακρότατα.

- 35 –
ii)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Α(0,f(0)).
iii)Αν η παραπάνω εφαπτομένη σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού 4 τ.μ, τότε να
αποδείξετε ότι
1
( )
2
P A B∪ = .
iv)Αν
0
(1 ) (1)
lim 2
h
g h g
h→
+ −
= να βρείτε την τιμή του α.
v) Αν η g παρουσιάζει ελάχιστο στην θέση ( )x P A B= − να βρείτε την πιθανότητα ( )P B .
●
69.Α.Εξετάσαμε ένα δείγμα ως μια μεταβλητή Χ και πρόεκυψε ο παρακάτω πίνακας
αθροιστικών συχνοτήτων
Η μέση τιμή και η διάμεσος του δείγματος διαφέρουν κατά
0.46
A1.Να δείξετε ότι λ=16.
A2.Να βρείτε την μέση τιμή x και την διάμεσοδ του δείγματος.
B. Δίνεται μια συνάρτηση
2
( ) 1,x
f x e xα
α α= − + ∈ℝ και ο
δειγματικός χώρος ( )3
{ / 3.31}
2
xα α δΩ = ∈ ≤ − +ℤ .
Β1) Να βρείτε τις ', ''f f .
Β2)Για ποια τιμή του α το '(0)f γίνεται ελάχιστο ;
ix iN
1 λ
2 30
3 50
4 100
Το να γνωρίζεις δεν είναι απολύτως τίποτα.
Το να φαντάζεσαι είναι το παν.
Ανατόλ Φρανς

- 36 –
Β3) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α,Β με ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα έτσι ώστε να ισχύει:
{ / '(0) (0)}A f fλ= ∈Ω > και { / ''(0) 256}B fλ= ∈Ω <
Να βρείτε τις πιθανότητες:
i) ( )P A B∩ ii) ( )P A B−
iii) ( )P B A− iv) ( )( ) ( )P A B B A− ∪ −
δ)Αν x είναι μέση τιμή 5 , 6 ,3 ,10α α α α− με α ∈Ω,να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου
1
{ / 1}
1
x
x
λ
−
Γ = ∈Ω >
+
.
●
70. Έστω 1 2, ,..., νx x x οι ν παρατηρήσεις ενός δείγματος με μέση τιμή 0≠x και τυπική
απόκλιση s. Θεωρούμε τη συνάρτηση f με ( )21
( ) 1
8
f x xx s x= − + .
Α. Αν η εφαπτομένη της Cf στο σημείο της Α(1, f(1)) είναι παράλληλη στην ευθεία
2y x= − + , να υπολογίσετε το συντελεστή CV του δείγματος και να εξετάσετε αν το
δείγμα είναι ομοιογενές.
Β. Αν είναι γνωστό ότι
2
lim ( ) 2
x s
f x
→
= − , να βρείτε τη μέση τιμή x και την τυπική απόκλιση s.
Γ. Αν 4 και 1x s= = και γνωρίζουμε ότι ισχύει ο τύπος
2
12 2
1
1
ν
iν
i
i
i
X
s X
ν ν
=
=
  
  
  = − 
 
 
 
∑
∑ , να
υπολογίσετε το άθροισμά 1 2( ) ( ) ... ( )νf x f x f x+ + + , συναρτήσει του πλήθους ν των
παρατηρήσεων.
Δ. Εάν υποθέσουμε ότι η καμπύλη κατανομής του δείγματος είναι περίπου κανονική, να
βρείτε το ποσοστό των παρατηρήσεων του δείγματος που περιέχονται στο διάστημα (2, 5)
καθώς και το εύρος R των τιμών του δείγματος.

- 37 –
71. Στα δυο τμήματα Γ1 και Γ2 της Γ τάξης ενός Λυκείου ο μέσος όρος της βαθμολογίας στο
πρώτο τετράμηνο στο μάθημα των Μαθηματικών Γενικής Παιδείας ήταν 12x = και η
διακύμανση 4. Στο δεύτερο τετράμηνο όλοι οι μαθητές του Γ1 αύξησαν τη βαθμολογία τους
στο μάθημα κατά 1 μονάδα, ενώ οι μαθητές του Γ2 αύξησαν τη βαθμολογία τους στο
μάθημα κατά 10%.
Α. Να βρείτε τη νέα μέση τιμή και τη νέα τυπική απόκλιση για το κάθε τμήμα.
Β. Ποιου τμήματος η βαθμολογία παρουσιάζει μεγαλύτερη ομοιογένεια κατά το δεύτερο
τετράμηνο;
Γ. Αν το άθροισμα των τετραγώνων των βαθμών στο μάθημα των Μαθηματικών Γενικής
Παιδείας για τους μαθητές του Γ1 κατά το δεύτερο τετράμηνο ήταν 4325, να βρείτε το
πλήθος των μαθητών του Γ1.
Δ. Αν οι βαθμολογίες των μαθητών του Γ1 ακολουθούν κανονική περίπου κατανομή, να
βρείτε το πλήθος των μαθητών που είχε βαθμό τουλάχιστον 14 στο πρώτο τετράμηνο.
Ε. Αν σε ένα μαθητή του Γ1 κατά λάθος αντί 15 που ήταν ο βαθμός του στο δεύτερο
τετράμηνο είχε σημειωθεί 11, να υπολογίσετε την κανονική μέση τιμή και διακύμανση
των βαθμών των μαθητών στο Γ1.
●
72. Δίνεται η συνάρτηση f με ( ) ( )2
2 1, 0,f x x x x Rα α α µε και α= − + + ∈ ∈ +∞ .
Α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της fC στο σημείο της ( )( )0, 0fΜ
Β 1) Να δείξετε ότι το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζει η (ε) με τους άξονες
x x′ και y y′ είναι ( )
( )
2
1
4
E
+
=
α
α
α
.
2) Να βρείτε για ποιες τιμές του α το εμβαδό αυξάνεται και για ποιες μειώνεται.
3) Να βρείτε για ποια τιμή του α το εμβαδό γίνεται ελάχιστο και ποια είναι η ελάχιστη
τιμή του.
4) Να δείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού αυξάνεται συνεχώς
Γ. Αν οι τετμημένες 10 σημείων της ευθείας (ε) του Α ερωτήματος έχουν μέση τιμή 4 και
διακύμανσή
1
4
να βρείτε την τιμή του α ώστε οι τεταγμένες των παραπάνω 10 σημείων
να έχουν συντελεστή μεταβλητότητας 10%.
●

επαναληπτικά θέματα μαθηματικά γενικής παιδείας 2015

επαναληπτικά θέματα μαθηματικά γενικής παιδείας 2015

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Andere mochten auch

Andere mochten auch (20)

Ähnlich wie επαναληπτικά θέματα μαθηματικά γενικής παιδείας 2015

Ähnlich wie επαναληπτικά θέματα μαθηματικά γενικής παιδείας 2015 (20)

Mehr von Θανάσης Δρούγας

Mehr von Θανάσης Δρούγας (20)

Kürzlich hochgeladen

Kürzlich hochgeladen (20)

επαναληπτικά θέματα μαθηματικά γενικής παιδείας 2015