1. BÖLÜM 3:
MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
Hazırlayan
GülĢah BaĢol
TOKAT - 2013
T.C.
GAZĠOSMANPAġAÜNĠVERSĠTESĠ
EĞĠTĠMFAKÜLTESĠ

2. Konu BaĢlıkları
• BÖLÜM 3: KONUM ÖLÇÜLERĠ
• 3.1. Nicel Verilerde Konum Ölçüleri
• 3.1.1. Aritmetik Ortalama
• 3.1.2. Geometrik Ortalama
• 3.1.3. Harmonik Ortalama
• 3.1.4. Ağırlıklı Ortalama
• 3.1.5. Tepe Değeri (Mod)
• 3.1.6. Ortanca (Medyan)
• 3.1.7. Yüzdelikler
• 3.1.8. Çeyreklikler
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

3. • 3.2. Nicel Verilerde DeğiĢim Ölçüleri
• 3.2.1. DeğiĢim Aralığı (Range)
• 3.2.2. Varyans
• 3.2.3. Standart Sapma
• 3.2.4. Standart Hata
• 3.2.5. Çeyrekler Arası Sapma
• 3.2.6. Mutlak Sapma
• 3.2.7. DeğiĢim Katsayısı
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

4. Kazanımlar
• KONUM ÖLÇÜLERĠ
• Aritmetik Ortalamayı hesaplar.
• Geometrik Ortalamayı hesaplar.
• Harmonik Ortalamayı hesaplar.
• Ağırlıklı Ortalamayı hesaplar.
• Tepe Değeri (Mod) hesaplar.
• Ortancayı (Medyanı) hesaplar.
• Yüzdelikleri hesaplar.
• Çeyreklikleri hesaplar.
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

5. …..
DEĞĠġĠM ÖLÇÜLERĠ
• Dizi geniĢliği (Range) hesaplar.
• Varyansı hesaplar.
• Standart Sapmayı hesaplar.
• Standart Hatayı hesaplar.
• Çeyrekler Arası Sapmayı hesaplar.
• Mutlak Sapmayı hesaplar.
• DeğiĢim Katsayısını hesaplar.
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

6. 3.1.1. Aritmetik Ortalama
• Genellikle ortalama Ģeklinde ifade edilmesine alıĢık
olduğumuz aritmetik ortalama, dağılımda uç değer
olmadığı sürece merkezî eğilim ölçüleri arasında en
güvenilir olanıdır. Aritmetik ortalamayı elde etmek için
gruptaki puanlar toplanır ve kiĢi sayısına bölünür.
Aritmetik ortalama puanların eğilimi hakkında karar
vermede en sık kullanılan merkezî eğilim ölçüsüdür.
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

7. 3.1.1. Aritmetik Ortalama
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
Puanların aritmetik ortalaması=
∑X (Tüm puanların toplamı)/n(KiĢi sayısı)

8. 3.1.1. Aritmetik Ortalama
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
Puanların aritmetik ortalaması=
∑fX0 (Tüm puanların toplamı frekansları ile
çarpımlarının toplamı)/n(KiĢi sayısı)

9. 3.1.2. Geometrik Ortalama
• n sayının çarpımının n. kuvvetten kökü bu sayıların
geometrik ortalamasıdır. Diğer bir deyiĢle her bir değerin
birbirleriyle çarpımlarının, n'inci dereceden köküne
geometrik ortalama denir. Gözlem sonuçları arasındaki
göreceli farklar mutlak farklardan önemli ise geometrik
ortalama hesaplanmalıdır. Gözlem sonuçlarının her biri bir
önceki gözlem sonucuna bağlı olarak değiĢtiğinde bu
değiĢimin hızını saptamada geometrik ortalamadan
yararlanılır (veride sıfır olmayacak tamamı pozitif olacak).
•
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

10. 3.1.3. Harmonik Ortalama
• Harmonik ortalama, gözlem sonuçlarının terslerinin
aritmetik ortalamasının tersidir.
• Genellikle ekonomide kullanılır. Bir birimin üretimi için
gereken harcamayı gösterir.
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

11. 3.1.4. Ağırlıklı Ortalama
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
Bazı durumlarda daha önceden alınan birkaç ölçümün ortalamasını
almaya ihtiyaç duyarız. Ancak elde etmek için harcanan çabayla
orantılı olarak bazı puan değerlerine, diğerlerinden daha çok ağırlık
vermek istenebilir. Bu gibi durumlarda puanlara kendi içinde
ağırlıklar verilerek ortalamalarının alınması yoluna gidilir. Bir bütün
% 100 olarak ifade edildiğine göre, tek tek ortalaması alınacak
değerler önem derecesine göre 100’e bölüĢtürülür. Örneğin;
kapsamı daha fazla olan II. arasınavın ağırlığı % 40 iken, I.
arasınava % 20 ve final sınavına % 40 ağırlık verilebilir.

12. 3.1.5. Tepe Değeri (Mod)
• Bir dizi puan arasında en sık tekrarlanan değere denir.
Dağılımda uç değer olduğunda merkezî eğilimi aritmetik
ortalamadan daha güvenilir Ģekilde kestiren bir değerdir.
Bir dağılımda tepe değer birden çok olabilir. Dağılımda iki
tepe değer varsa dağılım iki modlu, üç tepe değer varsa
üç modlu olarak adlandırılır.
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

13. 3.1.6. Ortanca (Medyan)
• Ortanca değer, puanlar büyükten küçüğe ya da küçükten
büyüğe sıralandığında orta noktadaki değerdir. Puan
adedi tek sayıysa tıpkı ortanca parmak ya da ortanca
çocuk durumlarında olduğu gibi ortanca tam ortada yer
alan değerdir. Ortancası aranan grup mevcudu tek sayıyla
ifade edildiğinde bir eklenerek ikiye bölünür, elde edilen
sıra değerine karĢılık gelen kiĢinin puanı ortanca olarak
alınır. Örneğin; 35 kiĢilik bir grupta ortanca değer
(35+1)/2=18’dir. Yani ortanca 18. inci kiĢinin puanıdır.
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

14. 3.1.7. Yüzdelikler
• Yüzdelik puanlar standart değerlerden biridir. Yüzdelik
puan bireyin norm grubundaki bireylerin yüzde ne
kadarının üzerinde puan aldığını yani bulundukları
yüzdelik dilimi verir. Yüzdelik değerlere çevirerek aynı
testi alan grubun ölçümleri kıyaslanabilir. Bir testin
normlarını bulmak uzun süreli ve yorucu bir süreçtir.
Ancak normlar elde edildiğinde yaĢlarına göre, cinsiyete
göre veya ilgili olabilecek her türlü özelliğe göre gruplar
arasında kıyaslama yapmak mümkün olur.
• Doktor kontrollerinde kullanılan norm tabloları bu Ģekilde
hazırlanır. Çocukların yaĢ düzeyine göre zeka
geliĢimleri, hormon seviyeleri, kan sayımı değerleri vb
gibi.
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

15. Yüzdelik Hesabı
L: hangi yüzdelik bulunmak isteniyorsa ilgili puanın isabet ettiği aralığa ait alt
limittir.
y: hesaplanmak istenen yüzdelik,
n: gruptaki kiĢi sayısı, a: aralık geniĢliği,
fa: En düĢük puandan baĢlayarak ilgili yüzdeliğin yer aldığı alt puana kadar olan
puanların frekansı,
fb: yüzdeliğin bulunduğu aralıktaki frekans değeri.
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

16. 3.1.8. Çeyrekler
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

17. Sola Çarpık Dağılımda Merkezi Eğilim
Ölçüleri
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

18. Sağa Çarpık Dağılımda Merkezi Eğilim
Ölçüleri
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

19. 3.2. Nicel Verilerde DeğiĢim Ölçüleri
• 3.2.1. Dizi GeniĢliği(Range)
• 3.2.2. Varyans
• 3.2.3. Standart Sapma
• 3.2.4. Standart Hata
• 3.2.5. Çeyrekler Arası Sapma
• 3.2.6. Mutlak Sapma
• 3.2.7. DeğiĢim Katsayısı
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

20. 3.2.1. Dizi GeniĢliği (Range)
• Dizi geniĢliği dağılımdaki puanların geniĢliği hakkında
kabaca fikir veren bir ölçüdür. Bu değer en yüksek ve en
düĢük puan dikkate alınarak hesaplandığından, dağılımda
uç değerler varken, puanların dağılımını ortaya koymakta
yetersiz kalacaktır.
• GruplandırılmıĢ verilerde dizi geniĢliğini hesaplamak
içinse en yüksek ve en düĢük puan aralıklarının orta
noktaları arasındaki fark alınır.
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

21. 3.2.2. Varyans
• Varyans puanların dağılımı hakkında bilgi verir. Puanların
aritmetik ortalamadan farkları kareleri toplamının kiĢi
sayısının bir eksiğine bölünmesi ile elde edilen varyans
standart sapmanın karesidir.
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

22. 3.2.3. Standart Sapma
• Standart sapma, puanların aritmetik ortalamadan ne
derece farklılaĢtığının ölçüsüdür. Puanların aritmetik
ortalamadan sapmaları alındığında bunların mutlak
değerlerinin toplamı birbirine eĢit olacaktır. ĠĢaretleri
dikkate alınarak toplandığında ise toplamları 0 olur.
Puanların aritmetik ortalamadan farklar karesi toplamı kiĢi
sayısının bir eksiğine bölündüğünde, ortalama farklar
karesi yani varyans elde edilir. Bu değerin karekökü ise
standart sapmayı verir.
• Puanların % 68’i aritmetik ortalama artı eksi bir standart
sapma arasında olacaktır. Buna göre öğrencilerin
puanlarının üçte ikisi A.O+ 1SS aralığındadır.
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

23. Standart Sapma
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

24. 3.2.4. Standart Hata
• Standart hata bir örneklemi kullanarak örneklemler üzeri
kestirimde bulunurken yapılabilecek olası hatanın
oranıdır.
• Zaman, para ve olanakların sınırlılığından dolayı evren
yerine örneklem üzerinde çalıĢılır. Ancak örneklemden
alınacak verilerin güvenirliği örneklemin evreni temsililiği
ile sınırlıdır.
• Standart hata ne kadar küçükse örneklem istatistiği evren
parametresine o derece yakın olacaktır. Böylece yapılan
kestirime de güvenilebilir.
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

25. Standart Hata
Aritmetik ortalamadan olan sapma kareleri
ortalamasının karekökü kiĢi sayısının
kareköküne bölünerek aritmetik
ortalamanın standart hatası elde edilir.
Puanların standart hatası ölçümlerin
güvenirlik katsayısının birden farkının
kareköküyle çarpılarak ilgili ölçüm için
standart hata hesaplanır.
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

26. 3.2.5. Çeyrekler Arası Sapma
• Dağılımda uç değerler varken merkezî eğilim ölçüsünü
ortaya koymak için aritmetik ortalama yerine ortanca,
puanlar arasındaki ortalama farklılaĢmayı ortaya koymak
içinse standart sapma yerine ise çeyrek sapma daha
güvenilirdir. Çarpıklık söz konusuyken çeyrek sapma
dağılımdaki sapma miktarını daha doğru yansıtacaktır
(Tekin, 1996). Çeyrek sapma üçüncü çeyrek ve birinci
çeyrek arasındaki geniĢliğin yarısıdır.
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

27. 3.2.5. Çeyrekler Arası Sapma
Dağılım çeyrekler olarak ele alınırsa,
bir dağılımda 4 çeyrek vardır. Birinci
çeyrek 25. yüzdelik, ikinci çeyrek 50.
yüzdelik, üçüncü çeyrek 75. yüzdelik
ve 4. çeyrek 100. yüzdelik
hesaplanarak bulunabilir. Formül
incelenirse Çeyrek sapma 25. ve 75.
yüzdelikten 50. yüzdeliğe olan
ortalama mesafedir. Bu değer ne
kadar büyükse ortalama ile sağındaki
ve solundaki çeyrekler arasında
puanlar o kadar açılmıĢtır. Formülden
çeyrek sapmanın 25. yüzdeliğin altını
ve 75. yüzdeliğin üzerini hesaba
katmadığı görülür.
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

28. Çeyrek Sapma mı Standart Sapma mı?
• Çeyrek sapma mı standart sapma mı denilecek olursa,
dağılımda uç değerler olmadığı sürece ve diğer tüm
koĢullar sabit tutularak bir dağılımın değiĢkenlik ölçüsü
hesaplanmak isteniyorsa standart sapmanın daha
güvenilir bir tercih olacağı söylenebilir.
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

29. Dizi geniĢliği mi çeyrek sapma mı?
• Dizi geniĢliği mi çeyrek sapma mı denildiğinde ise dizi
geniĢliği sadece iki uç değeri dikkate alarak dağılımın
sapması hakkında fikir verdiğinden, çeyrek sapma önerilir.
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

30. 3.2.6. Mutlak Sapma
• Bilindiği gibi ortalamadan sapmalar toplanırsa 0 değeri
elde edilir. Bu nedenle sapmaların iĢareti dikkate
alınmaksızın toplanarak gözlem sayısına bölünüp mutlak
sapma değeri elde edilir. Böylece gözlem noktalarının
ortalamadan toplam ne kadar uzaklaĢtıklarını görmek
mümkün olacaktır.
)0( XXi
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

31. 3.2.7. DeğiĢim Katsayısı
• Aynı aritmetik ortalamalara sahip iki örneklem farklı
değiĢim katsayılarına sahip olabilir.
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

32. DeğiĢim Katsayısı
100
x
s
DK
Farklı birimlere sahip verilerin dağılımını karĢılaĢtırmak için değiĢim
katsayısından yararlanılır.
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

33. Sorular
• 1. Bir grup veri için merkezi eğilim ölçülerini hesaplayınız.
• 2. Bir grup veri için merkezi dağılım ölçülerini
hesaplayınız.
• 3. Hesapladığınız merkezi dağılım ölçülerini bir histogram
üzerinde göstererek yorumlayınız.
• 4. Verilerinizin merkezi eğilimini ortaya koymada hangi
merkezi eğilim ölçüsü daha uygundur?
• 5. Verilerinizin merkezi dağılımı hakkında ne
söyleyebilirsiniz?
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI