OpenFOAMの壁関数

Fumiya Nozaki
最終更新日: 2015年2月8日
日本語版
OpenFOAM
壁関数
Wall Functions

2
Chapter 0. 壁関数とは？
乱流計算で使用される壁関数の基本を理解しましょう．
Keywords:
• 乱流
• 対数速度分布
• 𝑦+
• 𝑢+

 乱流では，特に壁近傍において，流速が場所により大きく変化します．
 この流速の大きな勾配を計算でどのように扱えば良いでしょうか？
3
壁近傍の流速の分布
https://www.linkedin.com/pulse/20140725081243-58050580-y-wall-function-in-cfd

4
基本的な２つのアプローチ
 物体近傍の流速の大きな勾配を取り扱う方法は，大きく次の２種類に分類できます．
 高Reモデル (壁関数)
• 物体境界に隣接するセルの中心点が
対数則領域にあるようなメッシュを
使用します．
目安： 30 < 𝑦 𝑃
+
< 200
• 壁関数のアプローチでは，境界条件は
上記の仮定 (下線部) を用いて
導出されています．
• 高Re型の乱流モデルで使用します．
wall
 低Reモデル
• 空間勾配を解像するために，物体近傍にお
いて，壁側に密のメッシュを使用します．
目安： 𝑦 𝑃
+
~1
• 低Re型の乱流モデルで使用します．
wall
𝑦 𝑃
+
> 30
対数則領域
バッファー層
& 粘性底層
𝑦 𝑃
+
~1

5
壁関数の説明の前に
 壁面上の流速の勾配は，N-S 方程式の拡散項を離散化する際に，
壁面せん断応力 (wall shear stress) 𝜏 𝑤 を計算するのに必要です．
 壁面に隣接する計算格子が壁面法線方向に粗い場合，
通常の差分では，流速の壁面法線方向 𝒏 の勾配が正しく評価できません．
勾配を上式のように近似した場合，壁面せん断応力も正しく計算できません．
wall
∆𝑦
𝑈 𝑃
𝜏 𝑤
𝜕𝑈
𝜕𝒏 𝑤𝑎𝑙𝑙
≠
∆𝑈
∆𝑦
=
𝑈 𝑃
𝑦 𝑃
𝜏 𝑤 = 𝜇
𝜕𝑈
𝜕𝒏 𝑤𝑎𝑙𝑙
≠ 𝜇
𝑈 𝑃
𝑦 𝑃
𝒏

6
対数速度分布
 対数則領域 (log-law layer) では，
一般的に次の対数速度分布を示すことが知られています．
𝑈+ =
1
𝜅
ln 𝐸𝑦+
• 無次元量
𝑦+ =
𝑦𝑢 𝜏
𝜈
, 𝑈+ =
𝑈
𝑢 𝜏
• 摩擦速度 (friction velocity)
𝑢 𝜏 =
𝜏 𝑤
𝜌
• カルマン定数 κ = 0.41
• 𝐸 = 9.8
1
例外がある点に注意（剥離流れなど）

7
壁関数の基本的なアプローチ
 壁関数では，速度分布に関する関係式を使用します．
 前のページに記載した摩擦速度の定義式と式を使うと，壁面せん断応力 𝜏 𝑤 は，
次のように表現できます．
𝜏 𝑤 = 𝜌𝑢 𝜏
2 =
𝜌𝜅𝑢 𝜏 𝑈
ln 𝐸𝑦+
 この関係式を壁面に隣接するセルの中心点で考えると，添え字P を付けて，
𝜏 𝑤 =
𝜌𝜅𝑢 𝜏 𝑦 𝑃
ln 𝐸𝑦 𝑃
+
𝑈 𝑃
𝑦 𝑃
=
𝜇𝜅𝑦 𝑃
+
ln 𝐸𝑦 𝑃
+
𝑈 𝑃
𝑦 𝑃
と変形できます．
 この式と５ページの式とを見比べると，
速度勾配を赤枠内の精度の低い差分式で計算した場合でも，壁面での実効的な
粘性係数を青枠内のように計算すれば，壁面せん断応力を正しく評価できるこ
とが分かります．
1
1
次ページに続きます．

 流体の粘性係数 𝜇 と乱流の渦粘性係数 𝜇 𝑡 の和を 𝜇 𝑒𝑓𝑓 と表すと，
𝜇 𝑒𝑓𝑓
𝑤𝑎𝑙𝑙
= 𝜇 + 𝜇 𝑡
𝑤𝑎𝑙𝑙
=
𝜇𝜅𝑦 𝑃
+
ln 𝐸𝑦 𝑃
+
 これを渦粘性係数について解くと，次式が得られます．
𝜇 𝑡
𝑤𝑎𝑙𝑙
= 𝜇
𝜅𝑦 𝑃
+
ln 𝐸𝑦 𝑃
+ − 1
𝑘𝑔
𝑚 ∙ 𝑠
 この式の両辺を密度 𝜌 で割れば，渦動粘性係数の関係式が得られます．
𝜈𝑡
𝑤𝑎𝑙𝑙
= 𝜈
𝜅𝑦 𝑃
+
ln 𝐸𝑦 𝑃
+ − 1
𝑚2
𝑠
8
壁関数の基本的なアプローチ
非圧縮性流体計算
で使用する式 2
圧縮性流体計算
で使用する式

9
渦動粘性係数の境界条件 (非圧縮性流れ計算用)
 OpenFOAMで壁関数を使用する場合，渦動粘性係数 𝜈𝑡 (“nut” と表記) の
境界条件として以下のものが使用できます．
 名前の先頭に ”nut” が付いています．
 この中で，
“nutkWallFunction” と
“nutUWallFunction” の
２つが，8ページの関係式を
使用しています．
 ソースコードのディレクトリ
src/turbulenceModels/incompressible
/RAS/derivedFvPatchFields
/wallFunctions/nutWallFunctions
 名前に “Rough” と付いているものは，
壁面粗さを考慮した計算用です．
nut 用の境界条件
nutLowReWallFunction
nutURoughWallFunction
nutUSpaldingWallFunction
nutUTabulatedWallFunction
nutUWallFunction
nutWallFunction
nutkAtmRoughWallFunction
nutkRoughtWallFunction
nutkWallFunction

10
乱流変数の境界条件 (非圧縮性流れ計算用)
 OpenFOAMで壁関数を使用する場合，乱流変数 (乱流エネルギー 𝑘 や
エネルギー散逸率 𝜀 など) についても適切な境界条件を使用する必要があります．
乱流変数用の境界条件
kqRWallFunction
kLowReWallFunction
epsilonWallFunction
epsilonLowReWallFunction
omegaWallFunction
v2WallFunction
fWallFunction
alphatJayatillekeWallFunction
 名前の先頭に変数名が付いています．
 ソースコードのディレクトリ
src/turbulenceModels/incompressible
/RAS/derivedFvPatchFields
/wallFunctions
次章から，それぞれの境界条件を見ていきましょう．

11
Chapter 1. nutkWallFunction
スタンダードな壁関数です．

12
壁面上の渦動粘性係数の計算
tmp<scalarField> nutkWallFunctionFvPatchScalarField::calcNut() const
{
const label patchi = patch().index();
const turbulenceModel& turbModel =
db().lookupObject<turbulenceModel>("turbulenceModel");
const scalarField& y = turbModel.y()[patchi];
const tmp<volScalarField> tk = turbModel.k();
const volScalarField& k = tk();
const tmp<volScalarField> tnu = turbModel.nu();
const volScalarField& nu = tnu();
const scalarField& nuw = nu.boundaryField()[patchi];
const scalar Cmu25 = pow025(Cmu_);
tmp<scalarField> tnutw(new scalarField(patch().size(), 0.0));
scalarField& nutw = tnutw();
forAll(nutw, faceI)
{
label faceCellI = patch().faceCells()[faceI];
scalar yPlus = Cmu25*y[faceI]*sqrt(k[faceCellI])/nuw[faceI];
if (yPlus > yPlusLam_)
{
nutw[faceI] = nuw[faceI]*(yPlus*kappa_/log(E_*yPlus) - 1.0);
}
}
return tnutw;
}
nutw[faceI]は，
faceI番目のフェイスでの
渦粘性係数の値です．
nutkWallFunctionFvPatchScalarField.C
2 式です．

13
壁面上の渦粘性係数の計算
𝜈𝑡 𝑤𝑎𝑙𝑙
=
𝜈
𝜅𝑦+
ln 𝐸𝑦+
− 1
0
𝑦+ > 𝑦𝑙𝑎𝑚
+
𝑦+ ≤ 𝑦𝑙𝑎𝑚
+
𝑦+ =
𝐶𝜇
1 4
𝑦 𝑘
𝜈
 壁面上の渦動粘性係数の値を， 𝑦+
と 𝑦𝑙𝑎𝑚
+
の大小関係により場合分けして計算します．
𝑦+
> 𝑦𝑙𝑎𝑚
+
𝑦+
≤ 𝑦𝑙𝑎𝑚
+
ここで，
𝑢 𝜏 = 𝐶𝜇
1 4
𝑘
という関係式を使用しています．
これが，”nutkWallFunction”
の名前の由来です．
yPlusLam

14
yPlusLamの計算
scalar nutWallFunctionFvPatchScalarField::yPlusLam
(
const scalar kappa,
const scalar E
)
{
scalar ypl = 11.0;
for (int i=0; i<10; i++)
{
ypl = log(max(E*ypl, 1))/kappa;
}
return ypl;
}
nutWallFunctionFvPatchScalarField.C
 yPlusLamは，次の２つの関数の交点での 𝑦+
の値を表します．
𝑈+
= 𝑦+
𝑈+
=
1
𝜅
ln 𝐸𝑦+

15
yPlusLamの計算
 yPlusLamの値は反復法 [1] により計算しています．
𝐸 = 9.8，𝜅 = 0.41 の場合に実際に計算してみると，
• 初期値 ypl = 11
• i=0 ypl = 11.415311362133
• i=1 ypl = 11.505702297229
• i=2 ypl = 11.524939390450
• i=3 ypl = 11.529013940444
• i=4 ypl = 11.529876085585
• i=5 ypl = 11.530058470168
• i=6 ypl = 11.530097051410
• i=7 ypl = 11.530105212724
• i=8 ypl = 11.530106939131
• i=9 ypl = 11.530107304327
 小数点以下7桁目まで一致しているのが確認できます．
𝑈+ =
1
𝜅
𝑙𝑛 𝐸𝑦+ = 11.53010738

16
𝑦 + の計算
tmp<scalarField> nutkWallFunctionFvPatchScalarField::yPlus() const
{
const tmp<volScalarField> tk = turbModel.k();
const volScalarField& k = tk();
tmp<scalarField> kwc = k.boundaryField()[patchi].patchInternalField();
return pow025(Cmu_)*y*sqrt(kwc)/nuw;
}
 “yPlusRAS” ユーティリティを使用して，𝑦 + の値を計算する際に，各境界条件で定義
されている yPlus() が呼ばれます．
nutkWallFunctionFvPatchScalarField.C

17
yPlusRAS
const volScalarField::GeometricBoundaryField nutPatches =
RASModel->nut()().boundaryField();
bool foundNutPatch = false;
forAll(nutPatches, patchi)
{
if (isA<wallFunctionPatchField>(nutPatches[patchi]))
{
foundNutPatch = true;
const wallFunctionPatchField& nutPw =
dynamic_cast<const wallFunctionPatchField&>
(nutPatches[patchi]);
yPlus.boundaryField()[patchi] = nutPw.yPlus();
const scalarField& Yp = yPlus.boundaryField()[patchi];
Info<< "Patch " << patchi
<< " named " << nutPw.patch().name()
<< " y+ : min: " << gMin(Yp) << " max: " << gMax(Yp)
<< " average: " << gAverage(Yp) << nl << endl;
}
}
yPlusRAS.C
ここから呼ばれます．

18
Chapter 2. nutUWallFunction
対数速度分布の式を直接的に使用した
もっともシンプルな壁関数です．

 この壁関数では，𝑦+
の値を対数速度分布の式から計算します．
𝑈 𝑃
𝑢 𝜏
=
1
𝜅
ln 𝐸𝑦 𝑃
+
 両辺 𝑦 𝑃 𝜈 倍して，整理すると次式が得られます．
𝑦 𝑃
+
ln 𝐸𝑦 𝑃
+
=
𝜅𝑈 𝑃 𝑦 𝑃
𝜈
 前のステップの流速場 𝑈 𝑃 を上式に代入して解けば，𝑦 𝑃
+
の値を計算できます．
この非線形方程式の解を，Newton-Raphson 法を使用して求めます．
 得られた 𝑦 𝑃
+
の値を次式に代入して，壁面上の渦動粘性係数の値を計算します．
19
壁面上の渦動粘性係数の計算
𝜈𝑡 𝑤𝑎𝑙𝑙 = 𝜈
𝜅𝑦+
ln 𝐸𝑦+
− 1
0
𝑦+ > 𝑦𝑙𝑎𝑚
+
𝑦+ ≤ 𝑦𝑙𝑎𝑚
+
3

20
Newton-Raphson 法による解法
 方程式の解 𝑦 𝑃
+
を，Newton-Raphson 法により求めます．
𝑓 𝑦 𝑃
+
= 𝑦 𝑃
+
ln 𝐸𝑦 𝑃
+
−
𝜈
= 0
Newton-Raphson 法の漸化式
𝑦 𝑛+1
+
= 𝑦𝑛
+ −
𝑓 𝑦𝑛
+
𝑓′ 𝑦𝑛
+
= 𝑦𝑛
+ −
𝑦𝑛
+
ln 𝐸𝑦𝑛
+
−
𝜈
1 + ln 𝐸𝑦𝑛
+
=
𝜈
+ 𝑦𝑛
+
1 + ln 𝐸𝑦𝑛
+
 この反復計算が，calcYPlus に実装されています．
3
この添え字は，
反復回数です．

21
calcYPlus
forAll(yPlus, facei)
{
scalar kappaRe = kappa_*magUp[facei]*y[facei]/nuw[facei];
scalar yp = yPlusLam_;
scalar ryPlusLam = 1.0/yp;
int iter = 0;
scalar yPlusLast = 0.0;
do
{
yPlusLast = yp;
yp = (kappaRe + yp)/(1.0 + log(E_*yp));
} while (mag(ryPlusLam*(yp - yPlusLast)) > 0.01 && ++iter < 10 );
yPlus[facei] = max(0.0, yp);
}
𝑦 𝑛+1
𝑃
=
𝜈
+ 𝑦𝑛
+
1 + ln 𝐸𝑦𝑛
+
nutUWallFunctionFvPatchScalarField.C

22
Chapter 3. nutUSpaldingWallFunction

23
Spalding則
𝑦+ = 𝑢+ +
1
𝐸
𝑒 𝜅𝑢+
− 1 − 𝜅𝑢+ −
1
2
𝜅𝑢+ 2 −
1
6
𝜅𝑢+ 3
 Eugene de Villiers 博士の博士論文 [2]
Spalding 則

24
Spalding則
 この 𝑦+
と 𝑢+
の関係式は，粘性底層での関係式 𝑢+
= 𝑦+
と対数則領域での関係式
𝑢+
=
1
𝜅
ln 𝐸𝑦+
をうまくフィッテイングした関数です．
𝑦+
𝑢+
Spalding 則
𝑢+
= 𝑦+
𝑢+ =
1
𝜅
ln 𝐸𝑦+

25
tmp<scalarField> nutUSpaldingWallFunctionFvPatchScalarField::calcNut() const
{
const label patchI = patch().index();
const fvPatchVectorField& Uw = turbModel.U().boundaryField()[patchI];
const scalarField magGradU(mag(Uw.snGrad()));
const scalarField& nuw = nu.boundaryField()[patchI];
return max
(
scalar(0),
sqr(calcUTau(magGradU))/(magGradU + ROOTVSMALL) - nuw
);
}
=
𝑢 𝜏
2
𝜕𝒖
𝜕𝒏
− 𝜈
nutUSpaldingWallFunctionFvPatchScalarField.C
壁面摩擦速度 𝑢 𝜏 を Spalding則
から計算します．

26
壁面摩擦速度 𝑢 𝜏 の計算
tmp<scalarField> nutUSpaldingWallFunctionFvPatchScalarField::calcUTau
(
const scalarField& magGradU
) const
{
const label patchI = patch().index();
const scalarField& y = turbModel.y()[patchI];
const fvPatchVectorField& Uw = turbModel.U().boundaryField()[patchI];
const scalarField magUp(mag(Uw.patchInternalField() - Uw));
const scalarField& nuw = nu.boundaryField()[patchI];
const scalarField& nutw = *this;
tmp<scalarField> tuTau(new scalarField(patch().size(), 0.0));
scalarField& uTau = tuTau();
次のページに続く．

27
forAll(uTau, faceI)
{
scalar ut = sqrt((nutw[faceI] + nuw[faceI])*magGradU[faceI]);
if (ut > ROOTVSMALL)
{
int iter = 0;
scalar err = GREAT;
do
{
scalar kUu = min(kappa_*magUp[faceI]/ut, 50);
scalar fkUu = exp(kUu) - 1 - kUu*(1 + 0.5*kUu);
scalar f =
- ut*y[faceI]/nuw[faceI]
+ magUp[faceI]/ut
+ 1/E_*(fkUu - 1.0/6.0*kUu*sqr(kUu));
scalar df =
y[faceI]/nuw[faceI]
+ magUp[faceI]/sqr(ut)
+ 1/E_*kUu*fkUu/ut;
scalar uTauNew = ut + f/df;
err = mag((ut - uTauNew)/ut);
ut = uTauNew;
} while (ut > ROOTVSMALL && err > 0.01 && ++iter < 10);
uTau[faceI] = max(0.0, ut);
}
}
Newton-Raphson法を
使用して壁面摩擦速度 𝑢 𝜏
を反復計算で求めています．
漸化式
反復継続条件

28
 calcUTau() では，Spalding則を満たす 𝑢 𝜏 を Newton-Raphson法により求めます．
𝑓 𝑢 𝜏, 𝑦, 𝑢 = −𝑦+
+ 𝑢+
+
1
𝐸
𝑒 𝜅𝑢+
− 1 − 𝜅𝑢+
−
1
2
𝜅𝑢+ 2
−
1
6
𝜅𝑢+ 3
= 0
Newton-Raphsonの漸化式
𝑢 𝜏
𝑛+1 = 𝑢 𝜏
𝑛 −
𝑓 𝑢 𝜏
𝑛, 𝑦, 𝑢
𝑓′ 𝑢 𝜏
𝑛
, 𝑦, 𝑢
 壁面隣接セル中心における
• 𝑦 の値，つまり壁面からの距離と
• 各時間ステップでの流速 𝑢
が既知なので，ただ１つの未知数である 𝑢 𝜏 について解くことができます．
ソースコードの中では -df

29
𝑦 + の計算
tmp<scalarField> nutUSpaldingWallFunctionFvPatchScalarField::yPlus() const
{
const fvPatchVectorField& Uw = turbModel.U().boundaryField()[patchi];
return y*calcUTau(mag(Uw.snGrad()))/nuw;
}

30
Chapter 4. nutLowReWallFunction

31
tmp<scalarField> nutLowReWallFunctionFvPatchScalarField::calcNut() const
{
return tmp<scalarField>(new scalarField(patch().size(), 0.0));
}
nutLowReWallFunctionFvPatchScalarField.C
 ヘッダーファイルの説明文
Description
This boundary condition provides a turbulent kinematic viscosity
condition for use with low Reynolds number models. It sets nut to zero,
and provides an access function to calculate y+.
 calcNut() で壁面上の渦粘性係数を０に設定しています．
= 0
1
2
1

32
𝑦 + の計算
tmp<scalarField> nutLowReWallFunctionFvPatchScalarField::yPlus() const
{
const fvPatchVectorField& Uw = turbModel.U().boundaryField()[patchi];
return y*sqrt(nuw*mag(Uw.snGrad()))/nuw;
}
nutLowReWallFunctionFvPatchScalarField.C
 前のスライドで見たように，“fixedValue” 条件で nut の値を 0 に規定した場合と同じ
計算になります．
 １つの違いは，”nutLowReWallFunction” 条件を使用した場合には，”yPlusRAS”
ユーティリティを使って 𝑦+
の値を計算できる点です．
2
𝑦+ =
𝑦 𝑢 𝜏
𝜈
=
𝑦 𝜏 𝑤 𝜌
𝜈
=
𝑦 𝜈 𝜕𝒖 𝜕𝒏 𝑤𝑎𝑙𝑙
𝜈

33
Chapter 5. kqRWallFunction
Keywords:
• 乱流エネルギー 𝑘
• 𝑞 − 𝜁 モデルの変数 𝑞
• レイノルズ応力テンソル 𝑅

34
概要
template<class Type>
void kqRWallFunctionFvPatchField<Type>::evaluate
(
const Pstream::commsTypes commsType
)
{
zeroGradientFvPatchField<Type>::evaluate(commsType);
}
 kqRWallFunction は，
• 乱流エネルギー 𝑘
• 𝑞 − 𝜁 (qZeta) モデルの変数 𝑞
• Launder-Reece-Rodi RSTM (LRR) のレイノルズ応力テンソル 𝑅
に対して，法線方向勾配値が0 (zeroGradient) の条件を課します．
𝒏 ∙ 𝛻𝑘 = 0 𝑒𝑡𝑐.
 ソースコードを見ると，zeroGradient 条件を呼んでいるのが確認できます．
kqRWallFunctionFvPatchField.C

35
Chapter 6. kLowReWallFunction
Keywords:
• 𝑣2 − 𝑓 (v2f) モデル

36
概要
 kLowReWallFunction は，
• 𝑣2
− 𝑓 (v2f) モデルの乱流エネルギー 𝑘
に対して，以下の条件を設定します [3]．
 𝑦+ > 𝑦𝑙𝑎𝑚
+
のとき (壁面隣接セル中心点が対数則領域にある場合)
𝑘+ =
𝐶 𝑘
𝜅
ln 𝑦+ + 𝐵 𝑘
 𝑦+
≤ 𝑦𝑙𝑎𝑚
+
のとき
𝑘+
=
2400
𝐶ε2
2
1
𝑦+ + 𝐶 2
+
2𝑦+
𝐶3
−
1
𝐶2
ここで，
𝑘+
=
𝑘
𝑢 𝜏
2
, 𝐶 𝑘 = −0.416, 𝐵 𝑘 = 8.366, 1𝐶 = 11.0, 𝐶𝜀2 = 1.9
𝑦𝑙𝑎𝑚
+
については
第１章を
ご覧ください．

37
ソースコード
// Set k wall values
forAll(kw, faceI)
{
label faceCellI = patch().faceCells()[faceI];
scalar uTau = Cmu25*sqrt(k[faceCellI]);
scalar yPlus = uTau*y[faceI]/nuw[faceI];
if (yPlus > yPlusLam_)
{
scalar Ck = -0.416;
scalar Bk = 8.366;
kw[faceI] = Ck/kappa_*log(yPlus) + Bk;
}
else
{
scalar C = 11.0;
scalar Cf = (1.0/sqr(yPlus + C) + 2.0*yPlus/pow3(C) - 1.0/sqr(C));
kw[faceI] = 2400.0/sqr(Ceps2_)*Cf;
}
kw[faceI] *= sqr(uTau);
kLowReWallFunctionFvPatchScalarField.C
𝐶𝜀2 以外の定数は
ハードコードされています．

38
Chapter 7. epsilonWallFunction
Keywords:
• 乱流エネルギー散逸率 𝜀

39
概要
 epsilonWallFunction は，高Re型の乱流モデルにおいて使用し，
乱流エネルギー散逸率 𝜀 の境界条件を設定します．
 他の境界条件とは異なり，この条件は，境界上での値ではなく，
境界に隣接するセルの中心点での値を計算します．
𝜀 𝑃 =
𝐶𝜇
3 4
𝑘 𝑃
3 2
𝜅𝑦 𝑃
 エッジ上や角部にあるセルのように，複数のフェイスが
この条件を指定した壁面上にある場合，算術平均を計算します．
wall
wall
例えば左図のように，
２つのフェイスが壁面上にある場合，
それぞれのフェイスで上式を使用すると，
２つの値 𝜀 𝑃
1
， 𝜀 𝑃
2
を計算できます．
この場合，これを次式のように平均します．
𝜀 𝑃 =
𝜀 𝑃
1
+ 𝜀 𝑃
2
2
𝜀 𝑃
1
𝜀 𝑃
2

40
ソースコード
// Set epsilon and G
forAll(nutw, faceI)
{
label cellI = patch.faceCells()[faceI];
scalar w = cornerWeights[faceI];
epsilon[cellI] += w*Cmu75*pow(k[cellI], 1.5)/(kappa_*y[faceI]);
G[cellI] +=
w
*(nutw[faceI] + nuw[faceI])
*magGradUw[faceI]
*Cmu25*sqrt(k[cellI])
/(kappa_*y[faceI]);
}
 セル中心値 𝜀 𝑃 の計算
cornerWeights の値が，epsilonWallFunction 条件を指定した
境界上にあるフェイス数の逆数です．
乱流エネルギー生産率 𝐺
の値も計算しています．
epsilonWallFunctionFvPatchScalarField.C

41
連立方程式での取り扱い
 例えば，標準 𝑘 − 𝜀 モデルの場合，エネルギー散逸率 𝜀 の支配方程式を離散化して解く
ので，epsilonWallFunction を指定した境界に隣接するセルで特別な処理が必要です．
// Update epsilon and G at the wall
epsilon_.boundaryField().updateCoeffs();
// Dissipation equation
tmp<fvScalarMatrix> epsEqn
(
fvm::ddt(epsilon_)
+ fvm::div(phi_, epsilon_)
- fvm::laplacian(DepsilonEff(), epsilon_)
==
C1_*G*epsilon_/k_
- fvm::Sp(C2_*epsilon_/k_, epsilon_)
);
epsEqn().relax();
epsEqn().boundaryManipulate(epsilon_.boundaryField());
solve(epsEqn);
bound(epsilon_, epsilonMin_);
epsilonWallFunction 条件を
指定した境界に隣接するセル
では，連立方程式を解かず，
35ページの計算式から
乱流エネルギー散逸率を計算．
boundaryManipulate は，
setValues 関数を呼び出して，
これらのセルでの離散化式を
連立方程式から取り除く操作を
行っています．
kEpsilon.C

42
付録
Keywords:
• wallShearStress ユーティリティ

43
壁面せん断応力ベクトル
 N-S 方程式の拡散項の離散化
𝜕
𝜕𝑥𝑗
𝜈 + 𝜈𝑡
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖
𝑑𝑉
∆𝑉
~ 𝜈 + 𝜈𝑡 𝑓 𝑛 𝑓 𝑗
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖
∆𝑆𝑓
𝑓
戻る
せん断応力ベクトル
𝜈 + 𝜈𝑡
𝜕𝑢1
𝜕𝑥1
+
𝜕𝑢1
𝜕𝑥1
𝜕𝑢1
𝜕𝑥2
+
𝜕𝑢2
𝜕𝑥1
𝜕𝑢1
𝜕𝑥3
+
𝜕𝑢3
𝜕𝑥1
𝜕𝑢2
𝜕𝑥1
+
𝜕𝑢1
𝜕𝑥2
𝜕𝑢2
𝜕𝑥2
+
𝜕𝑢2
𝜕𝑥2
𝜕𝑢2
𝜕𝑥3
+
𝜕𝑢3
𝜕𝑥2
𝜕𝑢3
𝜕𝑥1
+
𝜕𝑢1
𝜕𝑥3
𝜕𝑢3
𝜕𝑥2
+
𝜕𝑢2
𝜕𝑥3
𝜕𝑢3
𝜕𝑥3
+
𝜕𝑢3
𝜕𝑥3
𝑇
𝑛1
𝑛2
𝑛3
添え字 f を省略しています．
4

44
wallShearStress ユーティリティ
 RANS 計算を行った場合には，wallShearStress ユーティリティを使用して，
境界上のせん断応力ベクトルの計算が可能です．
singlePhaseTransportModel laminarTransport(U, phi);
autoPtr<incompressible::RASModel> model
(
incompressible::RASModel::New(U, phi, laminarTransport)
);
const volSymmTensorField Reff(model->devReff());
forAll(wallShearStress.boundaryField(), patchI)
{
wallShearStress.boundaryField()[patchI] =
(
-mesh.Sf().boundaryField()[patchI]
/mesh.magSf().boundaryField()[patchI]
) & Reff.boundaryField()[patchI];
}
応力テンソルの計算
各 RANS モデルのクラス
で定義されています．
4 式を使用しています．
wallShearStress.C

45
応力テンソルの計算
tmp<volSymmTensorField> kEpsilon::devReff() const
{
return tmp<volSymmTensorField>
(
new volSymmTensorField
(
IOobject
(
"devRhoReff",
runTime_.timeName(),
mesh_,
IOobject::NO_READ,
IOobject::NO_WRITE
),
-nuEff()*dev(twoSymm(fvc::grad(U_)))
)
);
}
 deVReff() は，それぞれの RANS モデルのクラスで実装されており，
応力テンソルを計算します．
kEpsilon.C
− 𝜈 + 𝜈𝑡
𝜕𝑢1
𝜕𝑥1
+
𝜕𝑢1
𝜕𝑥1
𝜕𝑢1
𝜕𝑥2
+
𝜕𝑢2
𝜕𝑥1
𝜕𝑢1
𝜕𝑥3
+
𝜕𝑢3
𝜕𝑥1
𝜕𝑢2
𝜕𝑥1
+
𝜕𝑢1
𝜕𝑥2
𝜕𝑢2
𝜕𝑥2
+
𝜕𝑢2
𝜕𝑥2
𝜕𝑢2
𝜕𝑥3
+
𝜕𝑢3
𝜕𝑥2
𝜕𝑢3
𝜕𝑥1
+
𝜕𝑢1
𝜕𝑥3
𝜕𝑢3
𝜕𝑥2
+
𝜕𝑢2
𝜕𝑥3
𝜕𝑢3
𝜕𝑥3
+
𝜕𝑢3
𝜕𝑥3
非圧縮性流れ
計算の場合
dev は，偏差応力テンソルを計算します．

46
偏差応力テンソルの計算
 非圧縮性流れの場合には，連続の式より，トレースの値が 0 なので，
dev(twoSymm(fvc::grad(U_))) = twoSymm(fvc::grad(U_))
の関係が成り立っています．
 dev は，偏差応力テンソル (deviatoric stress tensor) を計算します ([4] 20ページ)．

47
参考資料
[1] http://www.index-press.co.jp/books/excel/ex-nv06.pdf
[2] http://powerlab.fsb.hr/ped/kturbo/OpenFOAM/docs/EugeneDeVilliersPhD2006.pdf
[3] http://www.os-
cfd.ru/cfd_docs/wall_funcs/Near_wall_behaviour_of_RANS_and_implications_for
_wall_functions.pdf
[4] OpenFOAM Programmer’s Guide
http://foam.sourceforge.net/docs/Guides-a4/ProgrammersGuide.pdf

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