1. El documento describe diferentes sólidos geométricos como prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas. Define sus elementos y propiedades. 2. Incluye ejercicios de cálculo de áreas, volúmenes, longitudes y otros parámetros geométricos de estos sólidos. 3. Proporciona información sobre el teorema de Pitágoras y trigonometría para resolver los ejercicios.

1. SÓLIDOS: APLICACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS, TEOREMA DE
THALES Y TRIGONOMETRÍA.
PRISMAS:Los prismas son poliedros que tienen dos caras paralelas e iguales
llamadas bases y sus caras laterales son paralelogramos.
Elementos de un prisma
Desarrollo de un prisma

2. Prismas regulares
Son los prismas cuyas
bases son polígonos
regulares
Prismas
irregulares
Son los prismas
cuyas bases son
polígonos
irregulares.
Prismas
rectos
Son los prismas
cuyas caras
laterales son
rectángulos o
cuadrados.
Prismas
oblicuos
Son los
prismas cuyas
caras laterales
son romboides
o rombos.

3. Paralelepípedos
Los paralelepípedos son los
prismas cuyas bases son
paralelogramos.
Los
prismas
paralelogramos
Ortoedros
Los ortoedros son
paralelepípedos que
tienen todas sus
caras rectangulares.
Los
tienen todas sus
Prisma
triangular
Prisma
cuadrangular
Prisma
pentagonal
Prisma
hexago
nal
PIRÁMIDES:Poliedros cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos
con un vértice común, que es el vértice de la pirámide.
Elementos de una pirámide
La altura de la pirámide es el segmento perpendicular a la base, que une la base con
el vértice.

4. La apotema de la pirámide es la altura de cualquiera de sus caras laterales.
Las aristas de la base se llaman aristas básicas y las aristas que concurren en el
vértice, aristas laterales.
Desarrollo de una pirámide

5. Pirámide convexa
La pirámide convexa tiene de base un
polígono convexo
Pirámide irregular
La pirámide
irregular tiene de base un
polígono irregular.
La
convexa
de base un
polígono
convexo
Pirámide cóncava
La pirámide convexa tiene de base
un polígono cóncavo
Pirámide regular
La pirámide regular tiene
de base un polígono regular
y sus caras laterales iguales.
La
convexa
base un
cóncavo
Pirámide
recta
En la pirámide
recta todas sus
caras laterales
son triángulos
isósceles y la
altura cae al
punto medio de la
base.
Pirámide
oblicua
En la pirámide
oblicua alguna de
sus caras laterales
no es un triángulo
isósceles.
En la
caras laterales
TRONCOS DE PIRAMIDES.ELEMENTOS

6. Es el cuerpo geométrico que resulta al cortar una pirámide por un plano paralelo a
la base y separar la parte que contiene al vértice.
La sección determinada por al corte es la base menor.
Las caras laterales son trapecios isósceles.
Las apotemas son las alturas de los trapecios isósceles.
La altura es la distancia entre las bases.
Pirámide deficiente es la parte de la pirámide determinada por la base menor y el
vértice.
Desarrollo de un pirámide truncada
Área y volumen de prismas.

7. Área y volumen de pirámides.

8. AREAS Y VOLUMENES DE TRONCOS DE PIRAMIDES.
CILINDRO Es el cuerpo de revolucion obtenido alk hacer girar un rectangulo
alrededor de uno de sus lados.
Desarrollo del cilindro
Elementos del cilindro

9. Eje
Es el lado fijo alrededor del cual gira el rectángulo.
Bases
Son los círculos que engendran los l ados perpendiculares al eje.
Altura
Es la distancia entre las dos bases.
Generatriz
Es el lado opuesto al eje, y es el lado que engendra el cilindro .
La generatriz del cilindro es igual a la altura .
h = g
CONO:Es el cuerpo de revolución obtenido al hacer girar un triángulo rectángulo
alrededor de uno de sus catetos.
Elementos del cono

10. Eje:Es el cateto fijo alrededor del cual gira el triángulo.
Base:Es el círculo que forma el otro cateto.
Generatriz:Es la hipotenusa del triángulo rectángulo.
Desarrollo del cono
Definición de tronco de cono
El tronco de cono o cono truncado es el cuerpo geométrico que resulta al
cortar un cono por un plano paralelo a la base y separar la parte que
contiene al vértice.
Desarrollo de un tronco de cono

11. Elementos del tronco de cono
La sección determinada por al
corte es la base menor.
La altura es el segmento
que une
perpendicularmente las dos
bases
Los radios son los
radios de sus bases.
La generatriz es el
segmento que une dos
puntos del borde de
las dos bases.
Obtenemos la
generatriz del
tronco de cono
aplicando el
teorema de
Pitágoras en el
triángulo
sombreado:

12. Superficie esférica
Es la superficie engendrada por una circunferencia que gira sobre su diámetro.
ESFERA: Es la región del espacio que se encuentra en el interior de una superficie
esférica.
Elementos de la esfera
Centro:Punto interior que equidista de cualquier punto de la esfera.
Radio:Distancia del centro a un punto de la esfera.
Cuerda:Segmento que une dos puntos de la superficie.
Diámetro:Cuerda que pasa por el centro.
Polos:Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie
esférica.
Circunferencias en una esfera

13. Paralelos:Circunferencias obtenidas al cortar la superficie esférica con
planos perpendiculares al eje de revolución.
Ecuador:Circunferencia obtenida al cortar la superficie esférica con el
plano perpendicular al eje de revolución que contiene al centro de la
esfera.
Meridianos:Circunferencias obtenidas al cortar la superficie
esférica con planos que contienen el eje de revolución.
Área y volumen del cilindro
Área y volumen del cono.

14. Area y volumen de tronco de cono
Área lateral de un tronco de cono
Área de un tronco de cono
Volumen de un tronco de cono
Área y volumen de la esfera.

15. CUBOS Y ORTOEDROS.
1.- Las tres aristas que concurren en los vértices de un ortoedro miden 8, 10 y 12 cm.
Calcular la longitud de la diagonal.
Ángulo que forma la diagonal con la base del cubo.
2.- Hallar la longitud de la arista de un cubo, sabiendo que su diagonal mide 15 cm
3.-La diagonal de una cara de un cubo mide 24 cm. Hallar la diagonal del cubo.
4.- La diagonal de un cubo mide 12 mm. Hallar su área.
PRISMAS.
1. Hallar el área lateral y total de un prisma hexagonal regular cuyo lado de la base mide 6 cm. y la
arista lateral 24 cm.
2. Hallar el área lateral y total de un prisma recto que tiene por base un triángulo rectángulo cuya
hipotenusa mide 25 cm. y uno de los catetos 7 cm., siendo la altura del prisma igual a 30 cm.
3. Hallar el área lateral de un prisma hexagonal regular cuya apotema de la base mide 35 m. y la
altura del prisma 14 m.
4. Hallar el volumen de un prisma triangular regular cuyo lado de la base mide 6 cm. y la altura del
prisma 12 cm.
5. Hallar el área total de un prisma triangular regular cuyo volumen es igual a 38 cm3
y el lado de la
base 2 cm.
PIRAMIDES.
1.-Una pirámide regular de 13 mm. de altura tiene 338 mm2
de área de su base.
a)Si se corta por un plano paralelo a la base distante 6 mm. del vértice, hallar el área de esta
sección.
b)¿Qué ángulos forman las caras laterales con la base?
2.- Una pirámide regular de base cuadrada tiene 18 cm. de altura y 9 cm. de lado de la base. Si se corta
por un plano distante 12 cm. de la base, hallar el lado de la sección producida.
3.- ¿A qué distancia del vértice deberá cortarse una pirámide regular de 15 cm. de altura para que el área
de la sección producida sea los 2/3 del área de la base de la pirámide.
4.- Dos secciones hechas a una pirámide hexagonal regular por planos paralelos que cortan a todas las
aristas laterales tienen 48 cm2
y 12 cm2
, respectivamente. Si la distancia entre ellas es de 4 cm, hallar la
distancia de la sección menor al vértice.
5.- Hallar el área lateral de una pirámide pentagonal regular cuya base tiene 3 cm de lado y la apotema de
la pirámide mide 12 cm.
6.- Hallar el área total de una pirámide cuadrangular regular cuyo lado de la base mide 4 cm. y cuya altura
tiene 10 cm. Obtén la inclinación de las caras laterales con respecto a la base.

16. 7.- Hallar el volumen de una pirámide regular cuya base es un triángulo equilátero de 8 cm. de lado y la
altura de la pirámide mide 24 cm.
7.-Hallar el volumen de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de 4 m. de lado y la arista lateral
mide 12 cm.¿qué ángulo formas dos caras alaterales no contiguas?
8.-El área lateral de una pirámide cuadrangular regular es 1736 m2
y el lado de la base mide 6 m.
Hallar el volumen de la pirámide.
ESFERA
1. Hallar el área de una esfera de radio igual a 2 m.
2. Hallar el radio de una esfera cuya superficie mide 314 cm2
.
3. Hallar el área de una superficie esférica que pasa por los vértices de un cubo cuya área total mide
216 cm2
.
4. El área de una superficie esférica es 256π. Hallar el área del círculo máximo de esta esfera.
5. Hallar el área de una esfera sabiendo que un círculo máximo de la misma tiene 9π cm2
de área.
6. Obtén el área de la sección de una esfera de radio 3 que dista 2 cm. del polo.
7. En una esfera de radio 5 se tiene una sección de área igual a 4. ¿a qué distancia se ha hecho el corte
del polo más próximo?
8. El paralelo que se encuentra a una latitud de 30º ¿qué radio teiene?. Radio de la tierra 6370 km.
CONO.
1. Hallar el área lateral de un cono circular de 3 cm. de radio de la base y 9 cm. de generatriz.
Obtén el ángulo en su vértice.
2. Hallar el área total de un cono circular de 5 m. de radio de la base y 12 m. de altura. Obtén el
ángulo en su vértice.
3. Hallar el volumen de un cono circular cuyo radio de la base mide 2 cm. y la altura 5 cm. Obtén
el ángulo en su vértice.
4. Un cono circular tiene 5 cm. de radio de la base y la generatriz mide 12 cm. Hallar su volumen.
Obtén el ángulo en su vértice.
5. El volumen de un cono circular de 10 m. de altura es 30π. Hallar el radio de su base y el ángulo
en su vértice.
6. El área total de un cono circular es 384π y el radio de la base 12. Hallar su volumen y el ángulo
en el vértice.

17. Ejercicios
1Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm
de ancho y 2500 mm de alto.
2Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la piscina a
razón de 6 € el metro cuadrado.
1 Dibujando su desarrollo plano determina cuánto costará pintarla.
2Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla.
3En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar
cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuantas cajas podremos
almacenar?.
Queremos colocar una cuerda que una l vértice inferior izquierdo del almacén con el superior
derecho.
¿Qué longitud tendrá la cuerda? ¿Qué ángulo formará la cuerda con el suelo?
4 Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 12 dm2
y 48 l de capacidad.
Si el prisma tiene como base triángulos equiláteros determina su lado.
5 Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10
cm de diámetro y 20 cm de altura.
6Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura
mide 125.66 cm. Calcular:
1 El área total. 2 El volumen
7En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿A qué
altura llegará el agua cuando se derritan?
8 La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de diámetro 50 m. Si restaurarla tiene un
coste de 300 € el m2
, ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración?
9¿Cuántas losetas cuadradas de 20 cm de lado se necesitan para recubrir las caras de una piscina
de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de profundidad?
10Un recipiente cilíndrico de 5 cm de radio y y 10 cm de altura se llena de agua. Si la masa del
recipiente lleno es de 2 kg, ¿cuál es la masa del recipiente vacío? ( 1 litro de agua pesa 1 kg.)
11Para una fiesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. ¿Cuánto cartón habrá
utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz?
¿Qué ángulo tiene ese cono en su vértice?
12Un cubo de 20 cm de arista está lleno de agua. ¿Cabría esta agua en una esfera de 20 cm de
radio? ¿Y en un cilindro de 20 cm de radio y 20 cm de altura?

18. 13 Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma cuya base es un rombo de
de diagonales 12 y 18 cm.
14Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de
arista básica y 12 cm de altura. Determina igualmente la inclinación de sus caras laterales en
relación al suelo.
Si la pirámide está apoyada en su base se rellena de un líquido que alcanza los 6 cm de altura,
¿cuál es el volumen de ese líquido?
15Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide hexagonal de 16 cm de arista
básica y 28 cm de arista lateral. Determina igualmente la inclinación de sus caras laterales en
relación al suelo.
16Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular de
aristas básicas 24 y 14 cm, y de arista lateral 13 cm.
Dibuja su desarrollo.
17Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el
radio de la base es de 5 cm.
18Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya altura mide 4 cm y el radio de
la base es de 3 cm.
19Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de cono de radios 6 y 2 cm, y
de altura 10 cm.
20Calcular el área lateral, el área total y el volumen del tronco de cono de radios 12 y 10
cm, y de generatriz 15 cm.
21Calcular el área del círculo resultante de cortar una esfera de 35 cm de radio mediante un
plano cuya distancia al centro de la esfera es de 21 cm.
22Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de 2 m de altura.
23Calcular el volumen de una semiesfera de 10 cm de radio.