Resumen de los principales métodos para el cálculo de primitivas.

1. Cálculo de
Primitivas
¿Qué método elegir?
IES Pirámide Fernando Salamero

2. f (x) dx

3. La resolución de una integral indefinida
requiere un ejercicio de pensamiento
creativo.
f (x) dx

4. La intuición, una vez desarrollada, cobra
un papel fundamental.
f (x) dx

5. f (x) dx
En el entreacto, debemos ir reflexionando,
siguiendo un proceso metódico.

6. f (x) dx
Así que vamos a ir haciéndonos
preguntas para llegar al método
correcto...

7. f (x) dx

9. 1. ¿Se trata de una integral
inmediata?

10. 1. ¿Se trata de una integral
inmediata?
Primero nos hemos de preguntar si aparece
directamente en nuestras tablas...

11. 1. ¿Se trata de una integral
inmediata?
dx
x

12. 1. ¿Se trata de una integral
inmediata?
dx
= ln |x| + k
x

13. 1. ¿Se trata de una integral
inmediata?
dx
= ln |x| + k
x
2x
dx
1+x 2

14. 1. ¿Se trata de una integral
inmediata?
dx
= ln |x| + k
x
2x
dx = ln |1 + x2 | + k
1 + x2

15. 1. ¿Se trata de una integral
inmediata?
dx
= ln |x| + k
x
2x
dx = ln |1 + x2 | + k
1 + x2
dx
1 + x2

16. 1. ¿Se trata de una integral
inmediata?
dx
= ln |x| + k
x
2x
dx = ln |1 + x2 | + k
1 + x2
dx
= arctan x + k
1+x 2

17. 1. ¿Se trata de una integral
inmediata?
dx
= ln |x| + k
x
2x
dx = ln |1 + x2 | + k
1 + x2
dx
= arctan x + k
1+x 2
cos x
dx
1 + sin2 x

18. 1. ¿Se trata de una integral
inmediata?
dx
= ln |x| + k
x
2x
dx = ln |1 + x2 | + k
1 + x2
dx
= arctan x + k
1+x 2
cos x
dx = arctan(sin x) + k
1 + sin2 x

20. ... o si lo hace con una pequeña modificación.

21. ... o si lo hace con una pequeña modificación.
x 1 2x 1
dx = dx = ln(1 + x2 ) + k
1 + x2 2 1 + x2 2

22. ... o si lo hace con una pequeña modificación.
x 1 2x 1
dx = dx = ln(1 + x2 ) + k
1 + x2 2 1 + x2 2
sin 3x
dx
1 + cos2 3x

23. ... o si lo hace con una pequeña modificación.
x 1 2x 1
dx = dx = ln(1 + x2 ) + k
1 + x2 2 1 + x2 2
sin 3x
dx
1 + cos2 3x
1 −(3 sin 3x)
=− dx
3 1 + cos2 3x

24. ... o si lo hace con una pequeña modificación.
x 1 2x 1
dx = dx = ln(1 + x2 ) + k
1 + x2 2 1 + x2 2
sin 3x
dx
1 + cos2 3x
1 −(3 sin 3x)
=− dx
3 1 + cos2 3x
1
= − arctan(cos 3x) + k
3

25. ... o si lo hace con una pequeña modificación.
x 1 2x 1
dx = dx = ln(1 + x2 ) + k
1 + x2 2 1 + x2 2
sin 3x
dx
1 + cos2 3x
1 −(3 sin 3x)
=− dx
3 1 + cos2 3x
1
= − arctan(cos 3x) + k
3
¿Te sabes las derivadas?

27. 2. ¿Se trata de una integral
por partes?

28. 2. ¿Se trata de una integral
por partes?
Ésta es la siguiente pregunta que nos podemos
hacer, ya que reconocer este tipo de integral
es relativamente sencillo.

29. 2. ¿Se trata de una integral
por partes?
¿Qué tipo de funciones son nuestras sospechosas?

30. 2. ¿Se trata de una integral
por partes?
Alpes
Arcosenos, ... Senos, ...
(f. trigonométricas inversas) (f. trigonométricas)
Exponenciales
Logaritmos
Polinomios
¿Qué tipo de funciones son nuestras sospechosas?

31. Arcosenos, ...
(f. trigonométricas inversas)
Logaritmos
Polinomios
Exponenciales
Senos, ...
(f. trigonométricas)

32. Arcosenos, ... arctan x dx
(f. trigonométricas inversas)
Logaritmos
Polinomios
Exponenciales
Senos, ...
(f. trigonométricas)

33. Arcosenos, ... arctan x dx
(f. trigonométricas inversas)
Logaritmos ln(x − 3) dx
Polinomios
Exponenciales
Senos, ...
(f. trigonométricas)

34. Arcosenos, ... arctan x dx
(f. trigonométricas inversas)
Logaritmos ln(x − 3) dx
Polinomios (x − 1) ln x dx
2
Exponenciales
Senos, ...
(f. trigonométricas)

35. Arcosenos, ... arctan x dx
(f. trigonométricas inversas)
Logaritmos ln(x − 3) dx
Polinomios (x − 1) ln x dx
2
Exponenciales ex ln x dx
Senos, ...
(f. trigonométricas)

36. Arcosenos, ... arctan x dx
(f. trigonométricas inversas)
Logaritmos ln(x − 3) dx
Polinomios (x − 1) ln x dx
2
Exponenciales ex ln x dx ex−1 x dx
Senos, ...
(f. trigonométricas)

37. Arcosenos, ... arctan x dx
(f. trigonométricas inversas)
Logaritmos ln(x − 3) dx
Polinomios (x − 1) ln x dx
2
Exponenciales ex ln x dx ex−1 x dx
Senos, ... ex sin x dx
(f. trigonométricas)

38. Arcosenos, ... arctan x dx
(f. trigonométricas inversas)
Logaritmos ln(x − 3) dx
Polinomios (x − 1) ln x dx
2
Exponenciales ex ln x dx ex−1 x dx
Senos, ... ex sin x dx cos x ln x dx
(f. trigonométricas)

39. arctan x dx
ln(x − 3) dx
ex ln x dx
(x − 1) ln x dx
2
x−1
e x dx
ex sin x dx
cos x ln x dx

40. arctan x dx
ln(x − 3) dx
ex ln x dx
(x − 1) ln x dx
2
x−1
e x dx
ex sin x dx
cos x ln x dx

41. arctan x dx
ln(x − 3) dx
u = arctan x
ex ln x dx
(x − 1) ln x dx
2
x−1
e x dx
ex sin x dx
cos x ln x dx

42. u = ln(x − 3)
arctan x dx
ln(x − 3) dx
u = arctan x
ex ln x dx
(x − 1) ln x dx
2
x−1
e x dx
ex sin x dx
cos x ln x dx

43. u = ln(x − 3)
arctan x dx
ln(x − 3) dx
u = arctan x
ex ln x dx
(x − 1) ln x dx
2 u = ln x
x−1
e x dx
ex sin x dx
cos x ln x dx

44. u = ln(x − 3)
arctan x dx
ln(x − 3) dx
u = arctan x
ex ln x dx
(x − 1) ln x dx
2 u = ln x
u = ln x
x−1
e x dx
ex sin x dx
cos x ln x dx

45. u = ln(x − 3)
arctan x dx
ln(x − 3) dx
u = arctan x
ex ln x dx
(x − 1) ln x dx
2 u = ln x
u=x
u = ln x
x−1
e x dx
ex sin x dx
cos x ln x dx

46. u = ln(x − 3)
arctan x dx
ln(x − 3) dx
u = arctan x
ex ln x dx
(x − 1) ln x dx
2 u = ln x
u=x
u = ln x
e x−1
x dx u = ln x
ex sin x dx
cos x ln x dx

47. u = ln(x − 3)
arctan x dx
ln(x − 3) dx
u = arctan x
ex ln x dx
(x − 1) ln x dx
2 u = ln x
u=x
u = ln x
e x−1
x dx u = ln x
ex sin x dx
cos x ln x dx
¡Oscilante!

48. ¡Oscilante!
e sin x dx
x

49. ¡Oscilante!
u = sin x du = cos x dx
e sin x dx
x
dv = ex dx v= ex dx = ex + k

50. ¡Oscilante!
u = sin x du = cos x dx
e sin x dx
x
dv = ex dx v= ex dx = ex + k
= ex sin x − ex cos x dx

51. ¡Oscilante!
u = sin x du = cos x dx
e sin x dx
x
dv = ex dx v= ex dx = ex + k
= ex sin x − ex cos x dx
u = cos x du = − sin x dx
dv = e dx
x
v= ex dx = ex + k

52. ¡Oscilante!
u = sin x du = cos x dx
e sin x dx
x
dv = ex dx v= ex dx = ex + k
= ex sin x − ex cos x dx
u = cos x du = − sin x dx
dv = e dx
x
v= ex dx = ex + k
= ex sin x − ex cos x + ex (− sin x)dx

53. ¡Oscilante!
u = sin x du = cos x dx
e sin x dx
x
dv = ex dx v= ex dx = ex + k
= ex sin x − ex cos x dx
u = cos x du = − sin x dx
dv = e dx
x
v= ex dx = ex + k
= ex sin x − ex cos x + ex (− sin x)dx
= ex sin x − ex cos x − ex sin x dx

54. ¡Oscilante!
e sin x dx
x
= e sin x − e cos x −
x x
e sin x dx
x

55. ¡Oscilante!
e sin x dx
x
= e sin x − e cos x −
x x
e sin x dx
x

56. ¡Oscilante!
e sin x dx
x
= e sin x − e cos x −
x x
e sin x dx
x
I = e sin x − e cos x−
x x
I

57. ¡Oscilante!
e sin x dx
x
= e sin x − e cos x −
x x
e sin x dx
x
I = e sin x − e cos x−
x x
I
2I = ex sin x − ex cos x

58. ¡Oscilante!
e sin x dx
x
= e sin x − e cos x −
x x
e sin x dx
x
I = e sin x − e cos x−
x x
I
2I = ex sin x − ex cos x
e sin x − e cos x
x x
I= e sin x dx =
x
+k
2

60. 3. ¿Se trata de una integral
racional?

61. 3. ¿Se trata de una integral
racional?
x−3
2 + 5x − 6
dx
x
Las integrales compuestas por cocientes de
polinomios, tienen un tratamiento especial...

62. x−3
2 + 5x − 6
dx
x

63. x−3 x−3
dx = dx
x2 + 5x − 6 (x + 6)(x − 1)

64. x−3 x−3
dx = dx
x2 + 5x − 6 (x + 6)(x − 1)
x−3 A B
= +
(x + 6)(x − 1) x+6 x−1
x − 3 = A(x − 1) + B(x + 6)
2
x=1→ −2 = 7B B=−
7
9
x = −6 → −9 = −7A A=
7

65. x−3 x−3
dx = dx
x2 + 5x − 6 (x + 6)(x − 1)
9
−2
= + 77
dx
x+6 x−1

66. x−3 x−3
dx = dx
x2 + 5x − 6 (x + 6)(x − 1)
9
−2
= + 77
dx
x+6 x−1
9 dx 2 dx
= −
7 x+6 7 x−1

67. x−3 x−3
dx = dx
x2 + 5x − 6 (x + 6)(x − 1)
9
−2
= + 77
dx
x+6 x−1
9 dx 2 dx
= −
7 x+6 7 x−1
9 2
= ln |x + 6| − ln |x − 1| + k
7 7

68. x−3 x−3
dx = dx
x2 + 5x − 6 (x + 6)(x − 1)
9
−2
= + 77
dx
x+6 x−1
9 dx 2 dx
= −
7 x+6 7 x−1
9 2
= ln |x + 6| − ln |x − 1| + k
7 7
Así que el truco está en la descomposición
de fracciones... ¿Cómo hacerlo?

70. En primer lugar, asegúrate que el polinomio del
denominador tiene mayor grado que el numerador,
dividiéndolos si es necesario.

71. En primer lugar, asegúrate que el polinomio del
denominador tiene mayor grado que el numerador,
dividiéndolos si es necesario.
x2 + 1 4x − 12
dx = 1+ 2 dx
x2 − 4x + 13 x − 4x + 13
x−3
=x+4 dx
x2 − 4x + 13

72. En primer lugar, asegúrate que el polinomio del
denominador tiene mayor grado que el numerador,
dividiéndolos si es necesario.
x2 + 1 4x − 12
dx = 1+ 2 dx
x2 − 4x + 13 x − 4x + 13
x−3
=x+4 dx
x2 − 4x + 13
El siguiente paso es factorizar el denominador,
calculando sus raíces. Nos pueden aparecer de
tres tipos...

73. Raíces Reales Simples
Raíces Reales Múltiples
Raíces Complejas
El siguiente paso es factorizar el denominador,
calculando sus raíces. Nos pueden aparecer de
tres tipos...

74. Raíces Reales Simples

75. Raíces Reales Simples
x−3 A B
= +
(x + 6)(x − 1) x+6 x−1
La fracción se separa en tantas fracciones como
factores simples, siendo sus numeradores constantes
que debemos calcular.

76. Raíces Reales Simples
x−3 A B
= +
(x + 6)(x − 1) x+6 x−1
La fracción se separa en tantas fracciones como
factores simples, siendo sus numeradores constantes
que debemos calcular.
Raíces Reales Múltiples Raíces Complejas

77. Raíces Reales Múltiples

78. Raíces Reales Múltiples
x A B C
= + +
(x − 2)2 (x + 1) x − 2 (x − 2)2 x+1
En este caso, el factor múltiple se separa en tantas
fracciones como indica su exponente, aumentando el
grado del denominador progresivamente.

79. Raíces Reales Múltiples
x A B C
= + +
(x − 2)2 (x + 1) x − 2 (x − 2)2 x+1
En este caso, el factor múltiple se separa en tantas
fracciones como indica su exponente, aumentando el
grado del denominador progresivamente.
Raíces Reales Simples Raíces Complejas

80. Raíces Complejas

81. Raíces Complejas
5 Ax + B C
= 2 +
(x2 + x + 1)(x − 8) x + x + 1 (x − 8)
En este tipo, el factor de segundo grado, irreducible, se
separa en una fracción cuyo numerador es un
polinomio de primer grado.

82. Raíces Complejas
5 Ax + B C
= 2 +
(x2 + x + 1)(x − 8) x + x + 1 (x − 8)
En este tipo, el factor de segundo grado, irreducible, se
separa en una fracción cuyo numerador es un
polinomio de primer grado.
Raíces Reales Simples Raíces Reales Múltiples

84. Naturalmente, rizando el rizo, puedes tener mezcla de
todo... Prueba a adivinar la descomposición siguiente:

85. Naturalmente, rizando el rizo, puedes tener mezcla de
todo... Prueba a adivinar la descomposición siguiente:
x2 − 2x − 2
=
(x + 1)(x − 8)3 (3x2 + 2x + 1)2
... ¡aunque resolver esto nos dejaría exhaustos!

86. Naturalmente, rizando el rizo, puedes tener mezcla de
todo... Prueba a adivinar la descomposición siguiente:
x2 − 2x − 2
=
(x + 1)(x − 8)3 (3x2 + 2x + 1)2
A
= +
x+1
... ¡aunque resolver esto nos dejaría exhaustos!

87. Naturalmente, rizando el rizo, puedes tener mezcla de
todo... Prueba a adivinar la descomposición siguiente:
x2 − 2x − 2
=
(x + 1)(x − 8)3 (3x2 + 2x + 1)2
A B C D
= + + + +
x + 1 x − 8 (x − 8)2 (x − 8)3
... ¡aunque resolver esto nos dejaría exhaustos!

88. Naturalmente, rizando el rizo, puedes tener mezcla de
todo... Prueba a adivinar la descomposición siguiente:
x2 − 2x − 2
=
(x + 1)(x − 8)3 (3x2 + 2x + 1)2
A B C D
= + + + +
x + 1 x − 8 (x − 8)2 (x − 8)3
Ex + F Gx + H
+
3x2 + 2x + 1 (3x2 + 2x + 1)2
... ¡aunque resolver esto nos dejaría exhaustos!

90. Finalmente, observa que en el desarrollo obtendrás
integrales típicas, que te deben resultar familiares:

91. Finalmente, observa que en el desarrollo obtendrás
integrales típicas, que te deben resultar familiares:
dx
= ln |x − 4| + k
x−4

92. Finalmente, observa que en el desarrollo obtendrás
integrales típicas, que te deben resultar familiares:
dx
= ln |x − 4| + k
x−4
dx 1
=− +k
(x + 2)3 2(x + 2)2

93. Finalmente, observa que en el desarrollo obtendrás
integrales típicas, que te deben resultar familiares:
dx
= ln |x − 4| + k
x−4
dx 1
=− +k
(x + 2)3 2(x + 2)2
dx dx
= = arctan(x + 1) + k
x2 + 2x + 2 (x + 1)2 + 1

94. x+2
dx =
x2 + 2x + 3

95. x+2 1 2x + 4
dx = dx =
x2 + 2x + 3 2 x2 + 2x + 3

96. x+2 1 2x + 4
dx = dx =
x2 + 2x + 3 2 x2 + 2x + 3
1 2x + 2 1 2
dx + dx =
2 x2 + 2x + 3 2 x2 + 2x + 3

97. x+2 1 2x + 4
dx = dx =
x2 + 2x + 3 2 x2 + 2x + 3
1 2x + 2 1 2
dx + dx =
2 x2 + 2x + 3 2 x2 + 2x + 3
1 dx
ln |x + 2x + 3| +
2
=
2 (x + 1)2+2

98. x+2 1 2x + 4
dx = dx =
x2 + 2x + 3 2 x2 + 2x + 3
1 2x + 2 1 2
dx + dx =
2 x2 + 2x + 3 2 x2 + 2x + 3
1 dx
ln |x + 2x + 3| +
2
=
2 (x + 1)2+2
1 1 dx
ln |x + 2x + 3| +
2
=
2 2 (x+1)2
+1
2

99. x+2 1 2x + 4
dx = dx =
x2 + 2x + 3 2 x2 + 2x + 3
1 2x + 2 1 2
dx + dx =
2 x2 + 2x + 3 2 x2 + 2x + 3
1 dx
ln |x + 2x + 3| +
2
=
2 (x + 1)2+2
1 1 dx
ln |x + 2x + 3| +
2
=
2 2 (x+1)2
+1
2
√ 1
1 2 √
2
ln |x + 2x + 3| +
2
dx =
2 2 x+1 2
( √2 ) +1

100. x+2 1 2x + 4
dx = dx =
x2 + 2x + 3 2 x2 + 2x + 3
1 2x + 2 1 2
dx + dx =
2 x2 + 2x + 3 2 x2 + 2x + 3
1 dx
ln |x + 2x + 3| +
2
=
2 (x + 1)2+2
1 1 dx
ln |x + 2x + 3| +
2
=
2 2 (x+1)2
+1
2
√ 1
1 2 √
2
ln |x + 2x + 3| +
2
dx =
2 2 2
( √2 ) + 1
x+1
√
1 2 x+1
ln |x + 2x + 3| +
2
arctan √ + k
2 2 2

102. 4. Entonces, el método correcto
es el de sustitución.

103. 4. Entonces, el método correcto
es el de sustitución.
e3x
dx =
1 + ex
Un cambio de variable, nos permite transformar una
integral árida en otra más familiar...

104. 4. Entonces, el método correcto
es el de sustitución.
e3x
dx =
1 + ex
t = ex
Un cambio de variable, nos permite transformar una
integral árida en otra más familiar...

105. 4. Entonces, el método correcto
es el de sustitución.
e3x
dx =
1 + ex
t = ex
dt
dt = e dx
x
dx = x
e
Un cambio de variable, nos permite transformar una
integral árida en otra más familiar...

106. 4. Entonces, el método correcto
es el de sustitución.
e3x e3x dt
dx = =
1 + ex 1 + t ex
t = ex
dt
dt = e dx
x
dx = x
e
Un cambio de variable, nos permite transformar una
integral árida en otra más familiar...

107. 4. Entonces, el método correcto
es el de sustitución.
e3x e3x dt e2x
dx = = dt =
1 + ex 1 + t ex 1+t
t = ex
dt
dt = e dx
x
dx = x
e
Un cambio de variable, nos permite transformar una
integral árida en otra más familiar...

108. 4. Entonces, el método correcto
es el de sustitución.
e3x e3x dt e2x t2
dx = = dt = dt
1 + ex 1 + t ex 1+t 1+t
t = ex
dt
dt = e dx
x
dx = x
e
Un cambio de variable, nos permite transformar una
integral árida en otra más familiar...

109. 4. Entonces, el método correcto
es el de sustitución.
e3x e3x dt e2x t2
dx = = dt = dt
1 + ex 1 + t ex 1+t 1+t
t = ex
dt
dt = e dx
x
dx = x
e
La cuestión es:
¿Qué cambio de variable realizar?

110. ¿Qué cambio de variable realizar?

111. ¿Qué cambio de variable realizar?
La elección depende mucho del aspecto concreto de
nuestra integral indefinida.

112. ¿Qué cambio de variable realizar?
La elección depende mucho del aspecto concreto de
nuestra integral indefinida.
Un consejo: Suele ser un buen cambio tomar la parte del
integrando cuya derivada (salvo un factor constante)
aparezca multiplicando.

113. ¿Qué cambio de variable realizar?
La elección depende mucho del aspecto concreto de
nuestra integral indefinida.
Un consejo: Suele ser un buen cambio tomar la parte del
integrando cuya derivada (salvo un factor constante)
aparezca multiplicando.
2 x3
x e dx =

114. ¿Qué cambio de variable realizar?
La elección depende mucho del aspecto concreto de
nuestra integral indefinida.
Un consejo: Suele ser un buen cambio tomar la parte del
integrando cuya derivada (salvo un factor constante)
aparezca multiplicando.
2 x3
x e dx =
t=x 3

115. ¿Qué cambio de variable realizar?
La elección depende mucho del aspecto concreto de
nuestra integral indefinida.
Un consejo: Suele ser un buen cambio tomar la parte del
integrando cuya derivada (salvo un factor constante)
aparezca multiplicando.
2 x3
x e dx =
t=x 3
dt = 3x dx
2

116. ¿Qué cambio de variable realizar?
La elección depende mucho del aspecto concreto de
nuestra integral indefinida.
Un consejo: Suele ser un buen cambio tomar la parte del
integrando cuya derivada (salvo un factor constante)
aparezca multiplicando.
2 x3 dt 1 1 t 1 x3
x e dx = 2 t
x e = e dt = e + k = e + k
t
2x2 2 2 2
(no olvides deshacer el cambio)
t=x 3
dt = 3x dx
2

117. ¿Qué cambio de variable realizar?
La elección depende mucho del aspecto concreto de
nuestra integral indefinida.
Un consejo: Suele ser un buen cambio tomar la parte del
integrando cuya derivada (salvo un factor constante)
aparezca multiplicando.
2 x3 dt 1 1 t 1 x3
x e dx = 2 t
x e = e dt = e + k = e + k
t
2x2 2 2 2
(no olvides deshacer el cambio)
t=x 3
dt = 3x dx
2
En el resto, tendrás que guiarte por tu intuición.

118. intuición

119. Pero a la intuición hay que entrenarla.

120. Pero a la intuición hay que entrenarla.
A veces, hay que manipular primero la expresión.

121. Pero a la intuición hay que entrenarla.
A veces, hay que manipular primero la expresión.
En otras ocasiones, deberás imaginar el aspecto que
tendrá tu integral una vez efectuado el cambio.

122. Pero a la intuición hay que entrenarla.
A veces, hay que manipular primero la expresión.
En otras ocasiones, deberás imaginar el aspecto que
tendrá tu integral una vez efectuado el cambio.
Hmm...
Vale, de acuerdo, existen algunas técnicas de ayuda.

123. Pero a la intuición hay que entrenarla.
A veces, hay que manipular primero la expresión.
En otras ocasiones, deberás imaginar el aspecto que
tendrá tu integral una vez efectuado el cambio.
Hmm...
Vale, de acuerdo, existen algunas técnicas de ayuda.
Las más conocidas son las que incluyen a las...

124. Funciones Trigonométricas
(por cambio de variable)

125. Funciones Trigonométricas
(por cambio de variable)
Con el mismo argumento
Con diferente argumento
Cambios Universales

126. Funciones
Con el mismo argumento
Trigonométricas

127. Funciones
Con el mismo argumento
Trigonométricas
sin x cos x dx
m n

128. Funciones
Con el mismo argumento
Trigonométricas
sin x cos x dx
m n
El proceso a seguir, depende del tipo de exponentes:

129. Funciones
Con el mismo argumento
Trigonométricas
sin x cos x dx
m n
Si alguno de ellos es impar, haremos el cambio de
variable con la otra función trigonométrica.

130. Funciones
Con el mismo argumento
Trigonométricas
sin x cos x dx
m n
Si alguno de ellos es impar, haremos el cambio de
variable con la otra función trigonométrica.
sin x cos3 x dx
2

131. Funciones
Con el mismo argumento
Trigonométricas
sin x cos x dx
m n
Si alguno de ellos es impar, haremos el cambio de
variable con la otra función trigonométrica.
sin x cos3 x dx
2
t = sin x

132. Funciones
Con el mismo argumento
Trigonométricas
sin x cos x dx
m n
Si alguno de ellos es impar, haremos el cambio de
variable con la otra función trigonométrica.
sin x cos3 x dx
2
t = sin x
sin x dx
5

133. Funciones
Con el mismo argumento
Trigonométricas
sin x cos x dx
m n
Si alguno de ellos es impar, haremos el cambio de
variable con la otra función trigonométrica.
sin x cos3 x dx
2
t = sin x
sin x dx
5
t = cos x

135. ¡Prueba en este caso!
sin3 x cos5 x dx

136. ¡Prueba en este caso!
sin3 x cos5 x dx
Como ambos exponentes son t = sin x
impares, funcionará
cualquiera de los dos cambios: t = cos x

137. ¡Prueba en este caso!
sin3 x cos5 x dx
Como ambos exponentes son t = sin x
impares, funcionará
cualquiera de los dos cambios: t = cos x

138. ¡Prueba en este caso!
sin3 x cos5 x dx
Como ambos exponentes son t = sin x
impares, funcionará
cualquiera de los dos cambios: t = cos x
dt
= t cos x
3 5
= t3 cos4 x dt
cos x

139. ¡Prueba en este caso!
sin3 x cos5 x dx
Como ambos exponentes son t = sin x
impares, funcionará
cualquiera de los dos cambios: t = cos x
dt
= t cos x
3 5
= t cos x dt =
3 4
t (1 − sin x)2 dt
3 2
cos x

140. ¡Prueba en este caso!
sin3 x cos5 x dx
Como ambos exponentes son t = sin x
impares, funcionará
cualquiera de los dos cambios: t = cos x
dt
= t cos x
3 5
= t cos x dt =
3 4
t (1 − sin x)2 dt
3 2
cos x
= t3 (1 − t2 )2 dt

141. ¡Prueba en este caso!
sin3 x cos5 x dx
Como ambos exponentes son t = sin x
impares, funcionará
cualquiera de los dos cambios: t = cos x
dt
= t cos x
3 5
= t cos x dt =
3 4
t (1 − sin x)2 dt
3 2
cos x
= t3 (1 − t2 )2 dt = t3 + t7 − 2t5 dt

142. Funciones
Con el mismo argumento
Trigonométricas
sin x cos x dx
m n

143. Funciones
Con el mismo argumento
Trigonométricas
sin x cos x dx
m n
Por otra parte, si todos los exponentes son pares,
el truco es ir reduciendo su grado mediante las
siguientes fórmulas trigonométricas:

144. Funciones
Con el mismo argumento
Trigonométricas
sin x cos x dx
m n
Por otra parte, si todos los exponentes son pares,
el truco es ir reduciendo su grado mediante las
siguientes fórmulas trigonométricas:
1 1
cos a = + cos 2a
2
2 2
1 1
sin a = − cos 2a
2
2 2

146. ¡Prueba en este caso!
sin4 x dx

147. ¡Prueba en este caso!
sin4 x dx = (sin2 x)2 dx

148. ¡Prueba en este caso!
1 1
sin x dx =
4
(sin x) dx =
2 2
( − cos 2x)2 dx
2 2

149. ¡Prueba en este caso!
1 1
sin x dx =
4
(sin x) dx =
2 2
( − cos 2x)2 dx
2 2
1 1 1
= + cos 2x − cos 2x dx
2
4 4 2

150. ¡Prueba en este caso!
1 1
sin x dx =
4
(sin x) dx =
2 2
( − cos 2x)2 dx
2 2
1 1 1
= + cos 2x − cos 2x dx
2
4 4 2
1 1 1 1 1
= + ( + cos 4x) − cos 2x dx
4 4 2 2 2

151. ¡Prueba en este caso!
1 1
sin x dx =
4
(sin x) dx =
2 2
( − cos 2x)2 dx
2 2
1 1 1
= + cos 2x − cos 2x dx
2
4 4 2
1 1 1 1 1
= + ( + cos 4x) − cos 2x dx
4 4 2 2 2
1 1 1 1
= x+ x+ cos 4x dx − cos 2x dx
4 8 8 2

152. Funciones Con diferente argumento
Trigonométricas

153. Funciones Con diferente argumento
Trigonométricas
sin ax cos bx dx

154. Funciones Con diferente argumento
Trigonométricas
sin ax cos bx dx
Estas integrales se pueden resolver transformando
los productos de funciones trigonométricas en
sumas gracias a las relaciones siguientes:

155. Funciones Con diferente argumento
Trigonométricas
sin ax cos bx dx
Estas integrales se pueden resolver transformando
los productos de funciones trigonométricas en
sumas gracias a las relaciones siguientes:
1
sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)]
2
1
cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)]
2
1
sin a sin b = − [cos(a + b) − cos(a − b)]
2

157. ¡Observa la transformación!

158. ¡Observa la transformación!
sin x sin 2x sin 3x dx

159. ¡Observa la transformación!
sin x sin 2x sin 3x dx
1
sin x sin 2x = − (cos 3x − cos x)
2

160. ¡Observa la transformación!
sin x sin 2x sin 3x dx
1
sin x sin 2x = − (cos 3x − cos x)
2
1
sin x sin 2x sin 3x = − (cos 3x − cos x) sin 3x
2
1
= − (cos 3x sin 3x − cos x sin 3x)
2
1
= − (sin 6x − sin 4x − sin 2x)
4

161. ¡Observa la transformación!
sin x sin 2x sin 3x dx
1
=− sin 6x − sin 4x − sin 2x dx
4

162. ¡Observa la transformación!
sin x sin 2x sin 3x dx
1
=− sin 6x − sin 4x − sin 2x dx
4
1 cos 6x cos 4x cos 2x
= − (− + + )+k
4 6 4 2
cos 6x cos 4x cos 2x
= − − +k
24 16 8

163. Funciones
Cambios Universales
Trigonométricas

164. Funciones
Cambios Universales
Trigonométricas
Si una integral trigonométrica no sale por otro camino,
hay dos cambios de variable “multiusos”:

165. Funciones
Cambios Universales
Trigonométricas
Si una integral trigonométrica no sale por otro camino,
hay dos cambios de variable “multiusos”:
2t 2t
tan x = sin x =
x 1 − t2 1 + t2
tan = t
2
2dt 1−t 2
dx = cos x =
1 + t2 1 + t2

166. Funciones
Cambios Universales
Trigonométricas
Si una integral trigonométrica no sale por otro camino,
hay dos cambios de variable “multiusos”:
2t 2t
tan x = sin x =
x 1 − t2 1 + t2
tan = t
2
2dt 1−t 2
dx = cos x =
1 + t2 1 + t2
Éste es un cambio algo complicado, pero
tiene la virtud de convertir cualquier
trigonométrica en racional.

167. Funciones
Cambios Universales
Trigonométricas
Si una integral trigonométrica no sale por otro camino,
hay dos cambios de variable “multiusos”:
t
sin x = √
dt 1 + t2
tan x = t dx =
1 + t2 1
cos x = √
1 + t2

168. Funciones
Cambios Universales
Trigonométricas
Si una integral trigonométrica no sale por otro camino,
hay dos cambios de variable “multiusos”:
Y éste otro, en apariencia más lógico,
deberás aplicarlo cuando veas que esas
raíces pueden eliminarse...
t
sin x = √
dt 1 + t2
tan x = t dx =
1 + t2 1
cos x = √
1 + t2

170. ¡Prueba y adivina cuál hacer!

171. ¡Prueba y adivina cuál hacer!
1
dx
1 + sin x

172. ¡Prueba y adivina cuál hacer!
1 x
dx El cambio correcto es tan = t
1 + sin x 2

173. ¡Prueba y adivina cuál hacer!
1 x
dx El cambio correcto es tan = t
1 + sin x 2
1 2dt dt
= =2
1+ 2t
1+t2
1 + t2 1 + t2 + 2t

174. ¡Prueba y adivina cuál hacer!
1 x
dx El cambio correcto es tan = t
1 + sin x 2
1 2dt dt
= =2
1+ 2t
1+t2
1 + t2 1 + t2 + 2t
cos x
dx
sin x + cos x

175. ¡Prueba y adivina cuál hacer!
1 x
dx El cambio correcto es tan = t
1 + sin x 2
1 2dt dt
= =2
1+ 2t
1+t2
1 + t2 1 + t2 + 2t
cos x
dx El cambio correcto es tan x = t
sin x + cos x

176. ¡Prueba y adivina cuál hacer!
1 x
dx El cambio correcto es tan = t
1 + sin x 2
1 2dt dt
= =2
1+ 2t
1+t2
1 + t2 1 + t2 + 2t
cos x
dx El cambio correcto es tan x = t
sin x + cos x
√ 1 dt
1+t2 dt
= =
√ t + √ 1 1 + t2 (t + 1)(1 + t2 )
1+t2 1+t2

177. Y finalmente...

178. Y finalmente...
9− x2 dx

179. Y finalmente...
9− x2 dx
Este último modelo de integral sugiere
también un (oculto) cambio trigonométrico.

180. Y finalmente...
9− x2 dx
Este último modelo de integral sugiere
también un (oculto) cambio trigonométrico.
Recuerda...
sin x + cos x = 1
2 2 cos x = 1 − sin x
2 2

181. Y finalmente...
9− x2 dx
Y con esto en mente, prueba el siguiente cambio:

182. Y finalmente...
9− x2 dx
Y con esto en mente, prueba el siguiente cambio:
x = 3 sin t
dx = 3 cos t dt
Vamos allá (enseguida verás por qué)...

183. 9 − x2 dx

184. 9 − x2 dx = 9 − (3 sin t)2 3 cos t dt

185. 9 − x2 dx = 9 − (3 sin t)2 3 cos t dt
=3 9 − 9 sin2 t cos t dt

186. 9 − x2 dx = 9 − (3 sin t)2 3 cos t dt
=3 9 − 9 sin2 t cos t dt = 3 9(1 − sin2 t) cos t dt

187. 9 − x2 dx = 9 − (3 sin t)2 3 cos t dt
=3 9 − 9 sin2 t cos t dt = 3 9(1 − sin2 t) cos t dt
=9 1 − sin2 t cos t dt

188. 9 − x2 dx = 9 − (3 sin t)2 3 cos t dt
=3 9 − 9 sin2 t cos t dt = 3 9(1 − sin2 t) cos t dt
=9 1 − sin2 t cos t dt =9 cos2 t dt

189. 9 − x2 dx = 9 − (3 sin t)2 3 cos t dt
=3 9 − 9 sin2 t cos t dt = 3 9(1 − sin2 t) cos t dt
=9 1 − sin2 t cos t dt =9 cos2 t dt
1 1
=9 + cos 2t dt
2 2

190. 9 − x2 dx = 9 − (3 sin t)2 3 cos t dt
=3 9 − 9 sin2 t cos t dt = 3 9(1 − sin2 t) cos t dt
=9 1 − sin2 t cos t dt =9 cos2 t dt
1 1 9 9
=9 + cos 2t dt = t + sin 2t + k
2 2 2 4

191. 9 9
= t + sin 2t + k
2 4

192. 9 9 Fíjate que, para acabar,
= t + sin 2t + k deshacer el cambio es algo más
2 4 elaborado...

193. 9 9 Fíjate que, para acabar,
= t + sin 2t + k deshacer el cambio es algo más
2 4 elaborado...
Recuerda:
x x
x = 3 sin t sin t = t = arcsin
3 3

194. 9 9 Fíjate que, para acabar,
= t + sin 2t + k deshacer el cambio es algo más
2 4 elaborado...
Recuerda:
x x
x = 3 sin t sin t = t = arcsin
3 3
9 x 9 x
= arcsin + sin(2 arcsin ) + k
2 3 4 3

195. 9 9 Fíjate que, para acabar,
= t + sin 2t + k deshacer el cambio es algo más
2 4 elaborado...
Recuerda:
x x
x = 3 sin t sin t = t = arcsin
3 3
9 x 9 x
= arcsin + sin(2 arcsin ) + k
2 3 4 3
Pero hay una manera más elegante de expresarlo...

196. x = 3 sin t
x x
sin t = t = arcsin
3 3
9 9
= t + sin 2t + k
2 4

197. x = 3 sin t
x x
sin t = t = arcsin
3 3
9 9
= t + sin 2t + k
2 4
9 9
= t + sin t cos t + k
2 2

198. x = 3 sin t
x x
sin t = t = arcsin
3 3
9 9
= t + sin 2t + k
2 4
9 9 9 9
= t + sin t cos t + k = t + sin t 1 − sin t + k
2
2 2 2 2

199. x = 3 sin t
x x
sin t = t = arcsin
3 3
9 9
= t + sin 2t + k
2 4
9 9 9 9
= t + sin t cos t + k = t + sin t 1 − sin t + k
2
2 2 2 2
9 x 9x x 2
= arcsin + 1−( ) +k
2 3 23 3

200. x = 3 sin t
x x
sin t = t = arcsin
3 3
9 9
= t + sin 2t + k
2 4
9 9 9 9
= t + sin t cos t + k = t + sin t 1 − sin t + k
2
2 2 2 2
9 x 9x x 2
= arcsin + 1−( ) +k
2 3 23 3 ¡Soy más
9 x x elegante!
= arcsin + 9 − x2 + k
2 3 2

201. Para integrar
debes ser
creativo

202. Para integrar
debes ser
creativo
¡Buena Suerte!