Este documento presenta información sobre matrices y determinantes. Explica conceptos clave como orden de una matriz, diagonal principal, suma y multiplicación de matrices, y tipos especiales de matrices como la matriz identidad y la matriz nula. El documento contiene ejemplos para ilustrar cada concepto y operación con matrices.
DIDÁCTICA DE LA EDUCACIÓN SUPERIOR- DR LENIN CARI MOGROVEJO
Álgebra Superior: Matrices y Determinantes
1. ÁLGEBRA SUPERIOR
MATRICES Y DETERMINANTES
ELABORADO Y REVISADO POR LOS PROFESORES DE LA MATERIA EN EL 2007
• Martha G. Canales LeyvaRocío Patricia Rivas Llanas
• Leticia Lizette Espinosa Fahl
• Joaquín Gilberto Treviño Dávila
• José Santos García
• Claudio Hiram Carmona Jurado
• Abraham Leonel López León
• Carlos Alfonso Gameros Morales
• Kluis Roberto Fernández Guillén
• Arturo Córdova González
1
2. MATRICES Y DETERMINANTES
Antecedentes de conocimientos, actitudes o habilidades
Lectura comprensiva
Operaciones con quebrados
Cálculo de determinante de matrices de 2do y 3er orden
Números Complejos
Cálculo de permutaciones
2
3. MATRICES Y DETERMINANTES
5.1. Generalidades
Definición:
Es un arreglo de elementos
dispuestos en “m” filas y “n”
columnas.
El nombre de la matriz se escribe con
letra mayúscula entre paréntesis
rectangulares (corchetes).
La cantidad de las filas y de
columnasde una matriz, se indican
como subíndice despúes del
nombre de la matriz. El primer
índice corresponde a las filas y el
segundo a las columnas.
Ejemplo:
[B] m,n
Los elementos de una matriz
también se presentan entre
paréntesis rectangulares
(corchetes).
−−
−
−
6
7
4
8
0
1
070
985
[B] 4,3=
3
4. MATRICES Y DETERMINANTES
5.1. Generalidades
Orden de una matriz
Es la cantidad de filas y
columnas de la matriz.
Se lee: matriz de orden m por n
Ejemplo:
[B] m,n
Matriz de 4 por 3
−−
−
−
6
7
4
8
0
1
070
985
[B] 4,3=
4
5. MATRICES Y DETERMINANTES
5.1. Generalidades
Matriz Cuadrada
Es aquella matriz cuyo
número de filas es igual al
número de columnas.
Ejemplo [B] 3,3
1 -4 5
-2 4 0
4 5 2
Se lee matriz de tercer orden
5
6. MATRICES Y DETERMINANTES
5.1. Generalidades
Matriz Rectangular
Es aquella matriz cuyo
número de filas es
diferente al número de
columnas.
Ejemplo [B]3,4
1 -4 5 3
-2 4 0 -2
4 5 2 6
6
7. MATRICES Y DETERMINANTES
5.1. Generalidades
Diagonal Principal
Es la línea en que quedan ubicados los elementos a11, a22,a33,a44 ...
(número de columna = número de la fila) de la matriz.
La Diagonal principal.
Ejemplos:
Elementos de la diagonal principal:
5, -7 y 7
−
−
7810
070
985
7
8. MATRICES Y DETERMINANTES
5.1. Generalidades
Diagonal Secundaria
Cualquier diagonal de una matriz, que no sea la Diagonal
Principal.
Ejemplo:
Elementos de la diagonal secundaria indicada:
0, 8, -4
−−
−
−
6
7
4
8
0
1
070
985
8
9. MATRICES Y DETERMINANTES
5.1. Generalidades
Traza
De una matriz cuadrada, es la suma algebraica de los
valores de los elementos de la diagonal principal.
Ejemplo:
La traza de la matriz es traza = 5 –7 +7 = 5
−
−
7513
070
985
9
10. MATRICES Y DETERMINANTES
5.2. Operaciones con Matrices
Suma de dos matrices
Sean dos matrices
conformables para la suma
(mismo orden), se define la
suma como:
[C] m,n = [A] m,n + [B] m,n
La matriz [C] tendrá el mismo
orden de [A] ó [B].
Cada elemento de C es la suma
del correspondiente elemento
de [A] y [B]
ci,j = ai,j + bi,j
Para i = 1,2 .....m y j = 1,2 ......n
+ =
−
97
23
−
−
57
48
−
140
25
10
11. MATRICES Y DETERMINANTES
5.2. Operaciones con Matrices
Resta de dos matrices
Sean dos matrices
conformables para la resta
(mismo orden), se define la
resta como:
[C] m,n= [A] m,n - [B] m,n
La matriz [C] tendrá el mismo
orden de [A] ó [B].
Cada elemento de C es la resta algebraica
de los correspondientes elementos de
[A] y [B]
ci,j = ai,j - bi,j
Para i = 1,2 .....m y j = 1,2 ......n
Ejemplo
- =
−
97
23
−
−
57
48
−
414
611
11
12. MATRICES Y DETERMINANTES
5.2. Operaciones con Matrices
Propiedades de la Suma y Resta Matricial
Sean tres matrices conformables para la suma y k un escalar
[A]m,n , [B]m,n, [C]m,n
[A] + [B] = [B] + [A] Ley Conmutativa
[A] +( [B] + [C] ) = ( [A] + [B] )+ [C] Ley Asociativa
k ( [A] + [B] ) = k [A] + k [B] = ( [A] + [B] )k Ley Distributiva de un
escalar por la izquierda o derecha en la suma
Existe una matriz [C] tal que [A] + [C] = [B] 12
13. MATRICES Y DETERMINANTES
5.2. Operaciones con Matrices
Producto de una matriz por un escalar
Sea k un escalar y la matriz [A]m,n,se define la muliplicación de una
matriz por un escalar como
[C]m,n = k [A]m,n
En donde ci,j= k ai,j (i=1,2,3....m; j=1,2,3...n)
Ejemplo
[C] = 3 [A]
3 =
−
97
23
−
2721
69
13
14. MATRICES Y DETERMINANTES
5.2. Operaciones con Matrices
Producto de dos matrices
Dos matrices se dice ser
conformables para la
multiplicación si:
[A]ma,na [B]mb,nb
El número de columnas de [A] es
igual al número de filas de [B]
El producto de dos matrices
es
[C]ma,nb= [A]ma,nx [B]mb,nb
Con
ci,j= Σk=1ai,kx bk,j
(i=1,2,3....ma; j=1,2,3...na)
=
na
14
15. MATRICES Y DETERMINANTES
5.2. Operaciones con Matrices
x =
Ejemplo
[C]ma,nb= [A]ma,nax [B]mb,nb
Son conformables para la multiplicación ya que na = mb
132
201
0
1
1
2
2
5
0
3
1
4
15
16. MATRICES Y DETERMINANTES
5.2. Operaciones con Matrices
Leyes de la suma y la Multiplicación
Sean tres matrices [A] [B] [C]
conformables para la suma y
multiplicación
Primera Ley Distributiva
[A]( [B] + [C] ) = [A] [B] + [A] [C]
Segunda Ley Distributiva
([A] + [B]) [C] = [A] [C] +[B] [C]
Ley Asociativa
[A] ( [B] [C] ) = ( [A] [B] ) [C]
En general
1) [A] [B] [B] [A]
2) [A] [B] = [0]
No necesariamente
[A] = [0] o [B] = [0]
3) [A] [B] = [A] [C]
No necesariamente
[B] = [C]
≠
16
17. MATRICES Y DETERMINANTES
5.2. Operaciones con Matrices
Matriz Transpuesta
Sea la matriz [A]ma,na, la matriz transpuesta se define como:
[A]mb,nb en donde ai,j = aj,i Para i = 1,2 .....ma j = 1,2 ......na
mb = na y nb = ma
También se denotar como [A]’
[A] = [A] =
T
TT
−
− 5
4
7
1
3
2
−
− 5
7
3
4
1
2
17
18. MATRICES Y DETERMINANTES
5.2. Operaciones con Matrices
Propiedades de la Matriz Transpuesta
Sean las matrices [A] [B]
con sus respectivas transpuestas [A]’ [B]’ y k un escalar
i) [A’]’= [A]
ii) (k [A])’ = k [A]’
La transpuesta de la suma de dos matrices es la suma de sus
transpuestas
( [A]+ [B] )’ = [A]’ + [B]’
La transpuesta del producto de dos matrices es el producto en orden
inverso de sus transpuestas.
( [A] [B] )’ = [B]’ [A]’ 18
19. MATRICES Y DETERMINANTES
5.3. Matrices especiales
Matriz Identidad [ Ι ] o Unidad
Es una matriz cuadrada cuyo valor de los elementos de la diagonal
principal es uno y valor cero en todos los demás elementos.
[ Ι ] =
100
010
001
19
20. MATRICES Y DETERMINANTES
5.3. Matrices especiales
Matriz Cero o Nula
Es una matriz cuadrada en
la cual el valor de todos los
elementos es cero.
Ejemplo
000
000
000
[ 0 ] =
[ 0 ] =
20
21. MATRICES Y DETERMINANTES
5.3. Matrices especiales
Matriz Opuesta o Negativa.
- [A]
Se obtiene de la matriz [A]
multiplicando cada
elemento por el escalar -1
−
−
128
954
421
Ejemplo
Sea la matriz
[A] =
-1 [A] =
−−
−−
−−−
128
954
421
21
22. MATRICES Y DETERMINANTES
5.3. Matrices especiales
Matrices Iguales
Son aquellas que tienen el mismo orden y cada
elemento de una es igual al correspondiente
elemento de la otra.
[A] = [B] ai,j = bi,j para i =1,2,3.... m j =1, 2,3... n
Ejemplo
−
−
075
876
243
−
−
075
876
243=
22
23. MATRICES Y DETERMINANTES
5.3. Matrices especiales
Matrices Conmutativas
Son aquellas matrices para las cuales se cumple :
Sean [A] y [B] matrices cuadradas tales que
[A] x [B] = [B] x [A]
=
14
41
14
41
36
63
36
63
23
24. MATRICES Y DETERMINANTES
5.3. Matrices especiales
Matriz Diagonal
Es una matriz cuadrada en la cual el valor de todos los
elementos son cero excepto en la diagonal.
[ F ] =
−
2100
0100
004
B
24
25. MATRICES Y DETERMINANTES
5.3. Matrices especiales
Matriz Escalar
Es una matriz cuadrada en la cual el valor de todos los
elementos son cero excepto en la diagonal principal, que
tienen el mismo valor.
a11 =a22 =a33 =a44 = k donde k es un escalar
−
−
−
400
040
004
B=
B
B = -4 [ I ]
25
26. MATRICES Y DETERMINANTES
5.3. Matrices especiales
Matriz Triangular Superior
Es una matriz cuadrada cuyos
elementos en la parte superior de
la diagonal principal y en ella, el
valor es diferente de cero.
El valor de los elementos abajo de
la diagonal principal es cero
aij = 0 para i > j
Ejemplo
−
200
470
642
26
27. MATRICES Y DETERMINANTES
5.3. Matrices especiales
Ejemplo
Matriz Triangular Inferior
Es una matriz cuadrada cuyos
elementos en la parte inferior de la
diagonal principal y en ella, el valor es
diferente de cero.
El valor de los elementos arriba de la
diagonal principal es cero.
aij = 0 para i < j
−
276
041
002
27
28. MATRICES Y DETERMINANTES
5.3. Matrices especiales
Matrices simétricas
Aquellas que cumplen con:
[A]’ = [A].
Propiedad
Si [A] es una matriz
cuadrada
[A] + [A]’ es simétrica
Ejemplo:
la matriz [A] es simétrica ya que:
−
258
514
843
−
258
514
843[A]’ =
[A] =
28
29. MATRICES Y DETERMINANTES
5.3. Matrices especiales
Matriz Antisimétrica o
Hemisimétrica
Es una matriz cuadrada que es
igual a la opuesta (o negativa)
de su transpuesta.
Necesariamente los elementos
de la diagonal principal tienen
el valor de cero.
[A] = - 1 [A]’
Ejemplo
La matriz [A] es antisimétrica ya que:
058
504
840
−−
−−
−−
058
504
840
-1 [A]’ =
[A] =
29
30. MATRICES Y DETERMINANTES
5.3. Matrices especiales
Matriz Periódica
Aquella matriz [A] para la cual
[A]k+1
= [A]
Donde k es un entero positivo
Se dice que la matriz es de un
periodo k
−−
−
−−
321
431
422
[A]x [A] = [A]
[A] =
Ejemplo:
[A] es periódica, con
periodo 1
30
31. MATRICES Y DETERMINANTES
5.3. Matrices especiales
Matriz Idempotente
Es una matriz Periódica con período 1
Ejemplo
−−
−
−−
321
431
422
[A]x [A] = [A]
[A] =
31
32. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinante
Conceptos generales
Las matrices cuadradas tienen un valor asociado denominado
determinante.
Se denota por
|A| ó ∆
El valor del determinante se puede calcular por medio de varios
métodos.
32
33. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinante
Permutación de n elementos P= n!
Permutaciones de los elementos 1 y 2
P = 2! = 2 y son 12, 21
Permutaciones de los elementos 1, 2 y 3
P = 3!= 6 y son 123 132 213 231 312 321
Permutaciones de los elementos 1,2,3 y 4
P= 4! = 24 considerar las siguientes 1234 2134 3124 4123
1324 2314 3214 4213
33
34. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinante
Inversión
En una disposición cualquier cantidad de dígitos, es una
inversión cuando un dígito se encuentra a la izquierda de otro
dígito menor.
Inversion par, es cuando la cantidad de las inversiones es un
número par, de otra forma de llama inversión impar.
Ejemplo: De la siguiente disposición de dígitos se tiene que hay
6 inversiones
4 3 1 6 2
El 4 es mayor que 3 1 y 2
El 3 es mayor que 1 y 2
El 6 es mayor que el 2
34
35. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinante
Definición de determinante usando las inversiones de una permutación
|A | = ∑r εj1 j2...... Jn a 1j1a 2j2 ..... a njn
Es la suma de
las Permutaciones r= n! j1 j2...... Jn delosenteros1,2,3 ....N
εj1 j2...... Jn = +1 o bien –1 según la permutación tenga inversion
par o impar
a 1j1a 2j2 ..... a njn es un producto de n de los elementos elegidos de
manera que solo exista un elemento de cada fila y de cada columna
35
36. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinante
Definición de determinante de segundo orden usando las
inversiones de una permutación
|A| = ε12a11a22+ε21a12a21 ε21 permutacion impar
ε12 permutacion par
= a11a22- a12a21 a11a12
a21a22
36
37. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinante
Definición de determinante de tercer orden usando las inversiones
de una permutación.....
|A| = ε123a11a22a33+ε132a11a23a32+ε213a12a21a33+ε231a12a23a31 +ε312a13a21a32+ε321
a13a22a31
Permutaciones par ε123ε231ε312
Permutaciones impares ε132ε213ε321
Re acomodando queda
|A| =a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23 -(a13a22a31+a23a32a11+a33a12a21)
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33
37
38. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinante
Definición de determinante de tercer orden usando las inversiones
de una permutación
Y también queda:
|A| = a11(a22a33-a23a32)-a12(a21a33-a23a31) + a13(a21a32-a22a31)
= a11 - a12 +a13
aa
aa
3332
2322
aa
aa
3331
2321
aa
aa
3231
2221
38
39. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinante
Menor
De un elemento de una Matriz de orden n, es el
valor del determinante de orden n-1 formado al
suprimir la fila y la columna de ese elemento.
Se representa por | Mij|
Ejemplo: Sea la matriz
El menor del elemento a11
|M11| = = - 9 +8 =-1
−−
−
−−
321
431
422
32
43
−−
39
40. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4.Determinante
Matriz de Menores
Es la matriz cuadrada cuyos elementos con los menores de cada uno
de los elementos.
Ejemplo
−−
−
572
024
331
[M]= 57
02
−
57
33
−
−
02
33−
52
04
−
52
31
− 72
31
−−
−
04
31
24
31 −
72
24
−−
[M]=
=
−−
−
−
14126
13116
242010
40
41. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinante
Cofactor
Es un valor asociado a cada elemento de una matriz cuadrada y es:
αi,j = ( - 1 )i+j
|M|i,j
Donde | Mi,j| es el menor del elemento ai,j
Yel signo dependerá de la suma de i +j:
será + si la suma es par ó - si la suma es impar
Signos por el lugar que ocupa el elemento
+ - + - + - . . . . .
- + - + - . . . . .
+ - + - + - . . . .
- + - + - . . . . . 41
42. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinantes
Matriz de Cofactores
Es la matriz cuadrada formada por los cofactores de cada uno de sus
elementos.
Ejemplo
−−
−
572
024
331
[A]=
-
Con [M] =
−−
−
−
14126
13116
242010
Aplicando los signos correspondientes a cada elemento:
−
−
−−
14126
13116
242010
Cofactores [A] =
42
43. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinantes
Propiedades....
1 Si se intercambian las filas por las columnas en un
determinante, el valor del determinante no se modifica.
Por lo anterior se hará la referencia como línea la fila o
columna.
43
44. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinantes
Propiedades....
2 Si el valor de todos los elementos de una línea son nulos, el
determinante vale cero.
44
45. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinantes
Propiedades....
3 Si se permutan dos líneas, el valor del determinante cambia
de signo.
45
46. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinantes
Propiedades....
4 Si un determinante tiene dos líneas iguales, el valor del
determinante es cero.
46
47. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinantes
Propiedades....
5 Si todos los elementos de una línea se multiplican por un
mismo número “q”, el valor del determinante resultará
multiplicado por “q”.
47
48. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinantes
Propiedades....
6. Si todos los elementos de una línea son la suma de dos (o más)
términos el determinante es igual a la suma de dos (o mas)
determinantes.
48
49. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinantes
Propiedades
7. Si todos los elementos de una línea se suman con los
elementos correspondientes de otra línea multiplicados
por un numero k, el valor del determinante no varía.
49
50. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinantes
Cálculo de determinantes de orden superior, empleando cofactores
Es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea
multiplicados cada uno por su respectivo adjunto.
Sea un determinante de orden n:
1 Seleccionar una línea
2 Multiplicar cada elemento de la línea seleccionada, por su
correspondiente cofactor.
3 Se realizar las operaciones, y se reduce debido al paso 1, el
orden del determinante a n-1
4 Aplicar repetitivamente los pasos 1 y 2 hasta reducir en un
determinante de segundo orden. 50
51. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinantes
Cálculo de determinantes de orden superior, empleando cofactores
Ejemplo: Calcular |G| de la matriz [G] =
1.- Seleccionar una línea, tercera columna
2.- Multiplicar cada elemento de la línea seleccionada, por su
correspondiente cofactor.
= 3 - 0 +5 = 3(-72) –0 + 5(14) = -2
3.- Se realizar las operaciones, y se reduce debido al paso 1, el orden
del determinante a n-1
|G| = -2
−−
−
572
024
331
72
24
−− 72
31
−−
−
24
31 −
51
52. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinante
100
010
001
Determinante de la matriz Identidad
El valor del determinante de la matriz Idenidad tiene el valor de 1.
| Ι | = ∆Ι = 1
Calcular el determinante de:
[ Ι ] = ∆Ι = 1
52
53. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinante
Determinante de la matriz Cero o Nula
El valor del determinante de la matriz Cero o Nula tiene el valor
de 0.
|0| = ∆0 = 0
Calcular el determinante de:
[0] = |0|= 0
000
000
000
53
54. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinante
Determinante de la matriz Diagonal
El valor del determinante de la matriz Diagonal es el valor del
producto algebraico de los valores de los elementos de la
diagonal principal.
|H| = ∆H = h11 h22h33 h44......
Calcular el determinante de:
[H]=
|H| =∆H = (10)(4)(5) = 200
500
040
0010
54
55. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinante
Determinante de la matriz Escalar
El valor del determinante de la matriz Escalar es igual a (k)n
donde
n es el orden de la matriz Escalar y k el valor de la diagonal
principal.
Calcular el determinante de:
[S] =
|S| = ∆S = (2)n
= (2)3
= 8
200
020
002
55
56. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinante
Determinante de la matriz Triangular Superior
El valor del determinante de la matriz Triangular Superior es igual
al producto algebraico de los valores de los elementos de su
diagonal principal.
|K| = ∆K = k11 k22k33 k44......
Calcular el determinante de:
[K]=
|K| =∆k = (1)(−4)(5) = −20
−−
500
540
7401
56
57. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinante
Determinante de la matriz Triangular Inferior
El valor del determinante de la matriz Triangular Inferior es igual
al producto algebraico de los valores de los elementos de su
diagonal principal.
|K| = ∆K = k11 k22k33 k44......
Calcular el determinante de:
[K]=
|K| =∆k = (1)(4)(5) = 20
− 569
047
001
57
58. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinante
Rango r de una matriz
Para matrices cuadradas que [A] ≠ [0]
Es el orden del determinante de valor diferente de cero, el orden de
ese determinante debe ser el de mayor orden de la matriz [A]
La matriz cero [0] tiene r = 0
Ejemplo
−
−
−−
141324
121120
6610
[A] =
r= 3 ya que |A| 0≠
58
59. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinante
Rango r de una matriz
Ejemplo: Calcular el rango de
El rango r no es 3 (orden de [A]) ya que |A| = 0
Entonces se procede a revisar si por lo menos uno de los 9
determiantes de segundo orden tiene valor diferente a cero.
Y el menor de a11 = = -32 y el orden es 2
Por lo tanto el rango de [A] es r =2
−−
−−
−
42424
22020
61010
[A] =
424
220
−
−
59
60. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinante
Matriz Singular
Es una matriz de orden n en la cual se cumple que:
r < n
Ejemplo: De la matriz
Determinar si la matriz es singular
Como |A| = 0 y a21= ≠ 0 y el orden es 2
Entonces r = 2 por lo que 2 < 3
La matriz es Singular
−
−
−−
141324
662
662
[A]=
1413
66 −−
60
61. MATRICES Y DETERMINANTES
5.4. Determinante
Matriz No Singular
Aquella matriz de orden n en la cual se cumple que:
r = n
El rango de la matriz es igual al orden de la matriz
Ejemplo: De la matriz [A]=
Determinar si la matriz es no singular
Como |A| ≠ 0 Entonces r = 3 entonces 3 = 3
La matriz es No Singular
−
−
−−
141324
121120
6610
61
62. MATRICES Y DETERMINANTES
5.5. Matriz Inversa
Matriz Inversa
Si [A] y [B]-1
son matrices cuadradas, conformables para la
multiplicación, la matriz Inversa [B]-1
es aquella que cumple con:
[A] x [B]-1
= [B]-1
[A] = [ Ι ]
A la matriz [B]-1
se le llama matriz Inversa de [A]
Ejemplo de matrices Inversas:
421
331
321
−
−
−−
101
011
326
x =
100
010
001
62
63. MATRICES Y DETERMINANTES
5.5. Matriz Inversa
Matriz Adjunta
Es aquella matriz que se forma de una matriz cuadrada.
La manera de construirla es la siguiente:
1. Construir la matriz de cofactores. cofactores[M]
2. Transponer la matriz de cofactores. ( cofactores [M] )T
adj [A]= ( cofactores [M] )T
63
66. MATRICES Y DETERMINANTES
5.5. Matriz Inversa
Propiedades de la Matriz Adjunta
La Matriz Adjunta de un producto matricial es igual al
producto de las adjuntas de las matrices
adj ( [A] x [B] ) = adj [B] x adj [A]
66
67. MATRICES Y DETERMINANTES
5.5. Matriz Inversa
Matriz Inversa por medio de la Matriz Adjunta
Con base en el concepto de Matriz Adjunta se tiene que
[A] x adj [A] = | A | [ Ι ]
Si [A] es no singular entonces | A |=0 despejando:
[A] = [Ι]
Entonces [A] –1
=
||
][
A
Aadj
||
][
A
Aadj
67
68. MATRICES Y DETERMINANTES
5.5.2. Matriz Inversa
Ejemplo
Calcular la Matriz inversa por medio de la matriz adjunta
Sea [A] = y la Adj [A] = y |A| = - 2
Entonces [A] –1
=(-1/2)
−−
−
572
024
331
−
−
−−
141324
121120
6610
−
−
−−
141324
121120
6610
68
69. MATRICES Y DETERMINANTES
5.5. Matriz Inversa
Transformaciones elementales en una matriz....
Al realizarse las transformaciones elementales en una matriz, no
se cambia el valor del orden ni del rango de la matriz.
Se k un escalar diferente a 0
1. El intercambio de filas. Ejemplo intercambiar los elementos de
la fila uno por los elementos de la fila tres.
2. El intercambio de columnas. Mismo concepto de las filas.
3. La multiplicación de cada elemento de una fila por un escalar k .
69
70. MATRICES Y DETERMINANTES
5.5. Matriz Inversa
Transformaciones elementales en una matriz
4. La multiplicación de cada elemento de una columna por un
escalar k.
5. La suma a los elementos de una fila de k veces los
correspondientes elementos de otra fila.
6. La suma a los elementos de una columna de k veces los
correspondientes elementos de otra columna.
70
71. MATRICES Y DETERMINANTES
5.5. Matriz Inversa
Matrices Equivalentes
Dos matrices [A] y [B] son equivalentes, si una puede ser obtenida de
la otra por una secuencia de transformaciones elementales.
Se denotan como [A] ≈ [B]
Ambas matrices tienen el mismo orden y el mismo rango
71
72. MATRICES Y DETERMINANTES
5.5.3. Matriz Inversa
Matriz Inversa por medio de Transformaciones elementales
Pasos:
1. A la matriz [A] cuadrada, de orden m se le agrega en la parte
derecha la matriz identidad, de orden m .
[ [ A ] [ Ι ] ] quedando una matriz aumentada
2. Por medio de transformaciones elementales, se obtiene la matriz
identidad [ Ι ] en el lugar en que estaba la matriz [A].
Y en el lugar en que estaba la matriz [ Ι ] queda la matriz inversa
[ [ Ι ] [ A ]-1
]
72
73. MATRICES Y DETERMINANTES
5.5.3. Matriz Inversa
Ejemplo Matriz Inversa por Transformaciones Elementales….
Sea [A] =
1. Se forma la matriz aumentada [ [ A ] [ Ι ] ] =
2 Se realizan las transformaciones elementales para obtener [Ι]
Se intercambian los renglones 1 y 2 ≈
2da fila = 2da fila + 3 1era fila ≈
1
0
0
1
4
5
1
3
0
1
1
0
5
4
3
1
−− 3
1
1
0
7
4
0
1
41
53
73