1. CALIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES. <br />Número irracional <br />Es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser expresado como una fracción m/n, donde m y n son enteros, con n diferente de cero. <br />Número algebraico <br />Es cualquier número real o complejo que es solución de una ecuación polinómica de la forma: <br />anxn + an-1xn-1 + … + a1×1 + a0 = 0 <br />Donde n > 0, cada ai es entero y an es distinto de cero. <br />Todos los números racionales son algebraicos porque todas las fracciones de la forma a / b es solución de bx - a = 0. Algunos números irracionales como 21/2 (la raíz cuadrada de 2) y 31/3/2 (la mitad de la raíz cúbica de 3) también son algebraicas porque son soluciones de x2 - 2 = 0 y 8×3 - 3 = 0, respectivamente. Pero no todos los números reales son algebraicos. Los ejemplos más conocidos son π y e. Si un número real o complejo no es algebraico, se dice que es un número trascendente. <br />Si un número algebraico es solución de una ecuación polinómica de grado n, pero no puede serlo de una ecuación polinómica de grado menor, entonces se dice que es un número algebraico de grado n. <br />Número trascendente <br />Tipo de número irracional que no proviene de una simple relación algebraica sino que se define como una propiedad fundamental de las matemáticas. Un número es trascendente (o trascendental) si no es raíz de ningún polinomio (no nulo) con coeficientes enteros (o racionales). En este sentido, número trascendente es antónimo de número algebraico. <br />En general, si tenemos dos cuerpos y de forma que el segundo es extensión del primero, diremos que es trascendente sobre K si no existe ningún polinomio del que α es raíz (p(α) = 0). <br />El conjunto de números algebraicos es numerable, mientras el conjunto de números reales es incontable; por lo tanto, el conjunto de números transcendentes es también incontable, entonces es verdad que hay muchos más números transcendentes que algebraicos. Sin embargo, existen muy pocos números transcendentes conocidos, y demostrar que un número es trascendente puede ser extremadamente difícil. Por ejemplo, todavía no se sabe si la constante de Euler Γ lo es, Γ siendo: , cuando . La propiedad de la normalidad de un número puede contribuir a demostrar si es trascendente o no. <br />Números enteros <br />Los números naturales (también llamados enteros positivos) son los números de contar 1, 2, 3, 4, 5,…. El número 2 surge al agregar una unidad al número 1, el número 3 surge al añadir una unidad al número 2 y así sucesivamente. El conjunto de números naturales se designa por la letra N: N= {1,2,3,4,5,6,…}. <br />Los números enteros son el conjunto formado por los números naturales, sus negativos (también llamados enteros negativos) y el 0. El conjunto de los números enteros se designa por Z: <br />Z={…,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,…} <br />Obsérvese que el número 0 no se considera un número natural. El conjunto de los números enteros no negativos será designado por N U {0}. (U=Unión). <br />Sean a y b dos números enteros. A partir de las operaciones suma y producto, a + b y a b (ó a.b) es fácil definir otras operaciones llamadas diferencia (también resta o sustracción) y división… <br />CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS <br />Números pares e impares <br />En matemática la paridad de un objeto se refiere a si éste es par o impar. En particular, cualquier número entero es par o impar. <br />Un número par es un número entero múltiplo de 2, es decir, un número entero m es número par si y solo si existe otro número entero n tal que: m = 2 × n <br />Por lo tanto, si multiplicamos cualquier número entero por un número par obtendremos un nuevo número par. Los siguientes son números pares: 0, 2, 4, 6, …, y también: −2, −4, −6 … . <br />Los números impares son aquellos números enteros que no son pares y por tanto no son múltiplos de 2. Los siguientes son números impares: 1, 3, 5, 7, 9 …, y también: −1, −3, −5, … . Sumando o restando 2 a un número impar se obtiene otro número impar. Sumando o restando una unidad a un número impar se obtiene otro número par. <br />Se dice que un número entero, m, es impar si y solo si existe otro número entero, n, tal que: <br />m = 2 × n + 1 <br />Número racional <br />En sentido amplio se llama número racional o fracción común a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero; el término “racional” alude a “ración” o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional, para no confundir este término con un atributo del pensamiento humano. <br />En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada. De todas ellas se toma como representante canónico del número racional en cuestión a la fracción irreducible, la de términos más sencillos. Las fracciones equivalentes entre sí -número racional- son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia al conjunto de números fraccionarios. El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b cuando a y b son números enteros. <br />El conjunto de los racionales se denota por , que significa quotient, “cociente” en varios idiomas europeos. Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un subconjunto de los números reales. <br />Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, para cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos, propiedad que no estaba presente en los números enteros, por lo que los números racionales son densos en la recta de los números reales. <br />Número irracional <br />Es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser expresado como una fracción m/n, donde m y n son enteros, con n diferente de cero. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan los números racionales. Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen un periodo definido. <br />LOS NÚMEROS IRRACIONALES SE CLASIFICAN EN DOS TIPOS <br />1.- IRRACIONALES ALGEBRAICOS <br />Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados; si x representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. <br />Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica: <br />x2 − x − 1 = 0, por lo que es un número irracional algebraico. <br />2.- IRRACIONALES TRASCENDENTES: <br />No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido, respectivamente, como los dos siguientes: <br />0.193650278443757 … <br />0.101001000100001 … <br />Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes: <br />1.- No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc) de números negativos en números reales, razón por la que existe otro conjunto de números donde estas operaciones están definidas: los imaginarios. <br />2.- No existe la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie, es decir, no existe la operación de dividir entre nada. <br />Estas dos restricciones tienen repercusiones importantes en ramas más avanzadas de las matemáticas: existen asíntotas verticales en los lugares donde una función se indefine, es decir, en aquellos valores de la variable en los que se presenta una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten números negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas en geometría analítica. <br />Con origen en el término latino relatĭo, el concepto de relación tiene múltiples usos. Se trata, por ejemplo, de la exposición que se hace un hecho. En el sentido de relato, una relación es, en literatura, la narración de los hechos de un viaje. Para el folclore musical, en países como Argentina y Uruguay, una relación es un tipo de diálogo en verso entre el hombre y la mujer.<br />Por otra parte, una relación es una correspondencia o conexión entre algo o alguien con otra cosa u otra persona. De esta forma, la noción de relación se utiliza en diversas ciencias para explicar todo tipo de fenómenos.<br />En el lenguaje coloquial, las relaciones refieren especialmente al vínculo afectivo o sexual que mantienen las personas. Existen las relaciones de amistad, las relaciones laborales y las relaciones familiares, entre muchas otras.<br />Hablar de relaciones es, muchas veces, hablar de relaciones sexuales. Por ejemplo: “Armando me contó que tuvo relaciones con Claudia”. La relación sexual es el conjunto de comportamientos más o menos complejos que realizan dos o más seres de distinto o igual sexo, y que suelen concluir en el coito.<br />En este sentido, las relaciones pueden ser heterosexuales, homosexuales, ménage à trois (trío) o grupales, por ejemplo. Existen otras clasificaciones, como relaciones prematrimoniales, relaciones extramatrimoniales o relaciones conyugales.<br />Por último, cabe destacar que la idea de relación hace referencia a las amistades o conocidos influyentes: “Llegó a la presidencia de la empresa gracias a sus relaciones” (es decir, se justifica el éxito por los vínculos).<br />Función matemática<br />De Wikipedia, la enciclopedia libre<br />Saltar a: navegación, búsqueda <br />mn<br />En la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto de números. A cada polígono le corresponde su número de lados.<br />En matemáticas, una función, aplicación o mapeo es una relación entre dos conjuntos de objetos cualesquiera, que a cada elemento del primer conjunto le asigna un único objeto en el segundo. Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):<br /> ... −2 -> +4 , −1 -> +1 , ±0 -> ±0 , +1 -> +1 , +2 -> +4 , +3 -> +9 , ...<br />Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. La manera habitual de denotar una función f es:<br />f : X -> Y<br /> x -> f(x) ,<br />donde X es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; e Y es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(x) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario x del dominio X, es decir, el (único) objeto de Y que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, la función cuadrado se denotaría entonces como:<br />f : Z -> N<br /> k -> k2<br />o sencillamente como f(k) = k2. Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores —como la mostrada arriba—, o como una gráfica.<br />Definición<br />Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento con un (y sólo un) se denota , en lugar de <br />Formalmente, pedimos que se cumplan las siguientes dos condiciones:<br />Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y, es decir, Condición de unicidad: Cada elemento de X está relacionado con un único elemento de Y, es decir, si <br />Notación y nomenclatura<br />Al dominio también se le llama conjunto de entrada o conjunto inicial. Se denota por o . A los elementos del dominio se les llama habitualmente argumento de la función.<br />Al codominio, también llamado, conjunto de llegada, conjunto final o rango de f se le denota por<br />o codomf<br />Cabe señalar que el término rango es ambiguo en la literatura, ya que puede hacer referencia tanto al codominio como al conjunto imagen. Por ello, es aconsejable usar el término codominio.<br />Si x es un elemento del dominio al elemento del codominio asignado por la función y denotado por f(x) se le llama valor o imagen de la función f de x. Al subconjunto del codominio formado por todos los valores o imágenes se le llama imagen, alcance o recorrido de la función. Se denota por o o .<br />Una preimagen de un es algún tal que .<br />Note que puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del dominio, pero que cada elemento del dominio es preimagen de al menos un elemento del codominio.<br />Producto cartesiano<br />De Wikipedia, la enciclopedia libre<br />Saltar a: navegación, búsqueda <br />En teoría de conjuntos, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer elemento del par del primer conjunto, y el segundo elemento del segundo conjunto.<br />Por ejemplo, dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b}, su producto cartesiano es:<br />A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b)}<br />El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto<br />Definición<br />Un par ordenado es una colección de dos objetos distuinguidos como primero y segundo, y se denota como (a, b), donde a es el quot;
primer elementoquot;
y b el quot;
segundo elementoquot;
. Dados dos conjuntos A y B, su producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados que pueden formarse con estos dos conjuntos:<br />El producto cartesiano de A y B es el conjunto A × B cuyos elementos son los pares ordenados (a, b), donde a es un elemento de A y b un elemento de B:<br />Puede definirse entonces el cuadrado cartesiano de un conjunto como A2 = A × A.<br />El conjunto Z2 puede visualizarse como el conjunto de puntos en el plano cuyas coordenadas son números enteros.<br />[editar] Ejemplos<br />Ejemplo 1<br />Sean los conjuntos R = {A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K} y P = {♠, ♥, ♦, ♣} (los rangos y palos de la baraja inglesa). El producto cartesiano de estos conjuntos, B , es el conjunto de todas las parejas rango-palo:<br />B = R × P = {(A, ♠), (2, ♠), ..., (K, ♠), (A, ♥), ... (K, ♥), (A, ♦), ..., (K, ♦), (A, ♣), ..., (K, ♣) }<br />El conjunto B puede entenderse entonces como el conjunto de las 52 cartas de la mencionada baraja.<br />Ejemplo 2<br />Sea el conjunto de los números enteros Z = {..., −2, −1, 0, +1, +2, ...}. El producto cartesiano de Z consigo mismo es Z2 = Z × Z = {(0,0), (0, +1), (0, −1), (0, +2), ..., (+1, 0), ... (−1, 0), ...} es el conjunto de los pares ordenados cuyas componentes son enteros. Para representar los números enteros se utiliza la recta numérica, y para representar el conjunto Z2 se utiliza un plano cartesiano (en la imagen).<br />Función matemática<br />De Wikipedia, la enciclopedia libre<br />Saltar a: navegación, búsqueda <br />En la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto de números. A cada polígono le corresponde su número de lados.<br />En matemáticas, una función, aplicación o mapeo es una relación entre dos conjuntos de objetos cualesquiera, que a cada elemento del primer conjunto le asigna un único objeto en el segundo. Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):<br /> ... −2 -> +4 , −1 -> +1 , ±0 -> ±0 , +1 -> +1 , +2 -> +4 , +3 -> +9 , ...<br />Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. La manera habitual de denotar una función f es:<br />f : X -> Y<br /> x -> f(x) ,<br />donde X es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; e Y es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(x) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario x del dominio X, es decir, el (único) objeto de Y que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, la función cuadrado se denotaría entonces como:<br />f : Z -> N<br /> k -> k2<br />o sencillamente como f(k) = k2. Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores —como la mostrada arriba—, o como una gráfica.<br />Contenido[ocultar]1 Definición2 Notación y nomenclatura 2.1 Ejemplos3 Igualdad de funciones4 Representación de funciones5 Clasificación de las funciones 5.1 Aplicación inyectiva y no sobreyectiva 5.1.1 Ejemplo5.1.2 Segundo ejemplo5.2 Aplicación no inyectiva y sobreyectiva 5.2.1 Ejemplo5.2.2 Segundo ejemplo5.3 Aplicación inyectiva y sobreyectiva (biyectiva) 5.3.1 Ejemplo5.3.2 Segundo ejemplo5.4 Aplicación no inyectiva y no sobreyectiva 5.4.1 Ejemplo5.4.2 Segundo ejemplo5.5 Resumen6 Álgebra de las funciones 6.1 La composición de funciones6.2 La función identidad6.3 La restricción de una función6.4 Función inversa6.5 El grupo simétrico o grupo de las funciones biyectivas7 Terminología, tradición y convenios 7.1 La notación funcional8 Funciones (con valores) reales 8.1 Álgebra de Funciones9 Funciones numéricas 9.1 Funciones acotadas9.2 Funciones pares e impares9.3 Funciones monótonas9.4 Funciones periódicas9.5 Funciones cóncavas y convexas9.6 Funciones reales y funciones discretas10 Véase también11 Referencia12 Enlaces externos<br />Definición<br />Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento con un (y sólo un) se denota , en lugar de <br />Formalmente, pedimos que se cumplan las siguientes dos condiciones:<br />Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y, es decir, Condición de unicidad: Cada elemento de X está relacionado con un único elemento de Y, es decir, si <br />Notación y nomenclatura<br />Al dominio también se le llama conjunto de entrada o conjunto inicial. Se denota por o . A los elementos del dominio se les llama habitualmente argumento de la función.<br />Al codominio, también llamado, conjunto de llegada, conjunto final o rango de f se le denota por<br />o codomf<br />Cabe señalar que el término rango es ambiguo en la literatura, ya que puede hacer referencia tanto al codominio como al conjunto imagen. Por ello, es aconsejable usar el término codominio.<br />Si x es un elemento del dominio al elemento del codominio asignado por la función y denotado por f(x) se le llama valor o imagen de la función f de x. Al subconjunto del codominio formado por todos los valores o imágenes se le llama imagen, alcance o recorrido de la función. Se denota por o o .<br />Una preimagen de un es algún tal que .<br />Note que puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del dominio, pero que cada elemento del dominio es preimagen de al menos un elemento del codominio.<br />Ejemplos<br />La función definida por , tiene como dominio, codominio e imagen a todos los números reales <br />Función con Dominio X y Rango Y<br />Para la función tal que , en cambio, si bien su dominio y codominio son iguales a , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞.<br />En la figura se puede apreciar una función , con<br />Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,<br />Esta función representada como relación, queda: <br />Igualdad de funciones<br />Sean las funciones f: A -> B y g: C -> D, decimos que f es igual a g y escribimos f=g si y sólo si se cumple que ambas funciones:<br />tienen igual dominio, A=C,<br />tienen igual codomino, B=D, y<br />tiene la misma asignación, es decir que para cada x se cumple que f(x)=g(x).<br />Representación de funciones<br />Las funciones se pueden presentar de distintas maneras:<br />usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la forma y = f(x). Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda condición de la definición de función, se puede definir una función que se dice definida por la relación, A menos que se indique lo contrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusión) y que el codominio son todos los Reales. El dominio seleccionado se llama el dominio natural, de la función.<br />Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales.<br />Ejemplo: quot;
Para todo x, número entero, y vale x más dos unidadesquot;
.<br />Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.<br />Ejemplo:<br /> X| -2 -1 0 1 2 3<br /> Y| 0 1 2 3 4 5<br />Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos.<br />Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3), ... (x, x+2)}<br />Como gráfica: gráfica que permite visualizar las tendencias en la función. Muy utilizada para las funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas.<br />Ejemplo:<br />5X4X3X2X1X0Xy / x-2-10123<br />Clasificación de las funciones<br />Dados dos conjuntos X, Y, consideremos a todas las posibles aplicaciones (funciones) que pueden formarse entre estos dos conjuntos. Podemos diferenciar los siguientes casos:<br />Si a cada imagen le corresponde una única preimagen, inyectiva.<br />Si la imagen de la función es igual al codominio, sobreyectiva o suprayectiva.<br />Una función que sea inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva .<br />Puede haber funciones que sean biyectivas, inyectivas pero no suprayectivas, supreyectiva pero no inyectiva o que no se cumple ninguna de esas condiciones, en cuyo caso no tiene un nombre específico.<br />'Definiciones alternas: sea dada y sea b un elemento cualquiera del codominio Y. Consideremos la ecuación<br />.<br />la función es suprayectiva o sobreyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) siempre tiene al menos una solución.<br />la función es inyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) tiene a lo más una solución.<br />la función es biyectiva cuando, y sólo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.<br />Vamos a ilustrar esos diferentes tipos de funciones (aplicaciones) en un Diagrama de Venn, el conjunto universal U, representado por un rectángulo, es el conjunto de todas las posibles aplicaciones, el conjunto A es aquel de las aplicaciones inyectivas, y el conjunto B aquel de las sobreyectivas, esto nos permite ver los distintos tipos de aplicaciones de un modo gráfico.<br />Aplicación inyectiva y no sobreyectiva<br />En una función inyectiva, cada elemento imagen tiene única preimágen. Un función que no sea inyectiva, tendrá al menos dos elementos diferentes del dominio que tienen la misma imagen.<br />En una función suprayectiva (sobreyectiva) cada elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio. Una función no será suprayectiva, cuando al menos un elemento del codominio (conjunto final) no tenga una preimagen.<br />En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de A y B: A-B.<br />En estas aplicaciones la cardinalidad de X es siempre menor que la de Y, esto es el conjunto Y tendrá mayor número de elementos que X cuando tratamos de compararlos.<br />Ejemplo<br />en el diagrama de la figura:<br />todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un único origen, esto hace que la aplicación sea inyectiva<br />el elemento d de Y, no tiene ningún origen por lo que esta aplicación no es sobreyectiva.<br />Segundo ejemplo<br />Partiendo del conjunto de pinceles con pintura de colores:<br />,,<br />Sobre el conjunto de caras pintadas:<br />,,,<br />Asociando cada pincel con la cara correspondiente:<br />Dado que cada pincel tiene una cara y solo una cara de su color esta correspondencia es una aplicación, como las caras que tiene pincel de su color, tienen un solo pincel de su color, la aplicación es inyectiva, y como la cara pintada de amarillo, no tiene ningún pincel de este color, la aplicación no es sobreyectiva.<br />Aplicación no inyectiva y sobreyectiva<br />Una aplicación no inyectiva tiene al menos un elemento imagen que tiene dos o más orígenes y una sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen al menos un elemento origen.<br />En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y si pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de B y A: B-A.<br />Para esta aplicación el conjunto X ha de tener mayor número de elementos que Y, la cardinalidad de X ha de ser mayor que la de Y.<br />Ejemplo<br />en el diagrama de la figura:<br />el elemento c de Y, tiene dos orígenes: el 3 y el 4, por lo que esta aplicación no es inyectiva.<br />todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva.<br />Segundo ejemplo<br />Igual que en el ejemplo anterior partiremos del conjunto de pinceles con pintura de colores:<br />,,,<br />En este caso hay dos pinceles con pintura azul, pero a pasar de tener el mismo color de pintura son dos pinceles distintos.<br />Como conjunto final tenemos el conjunto de caras pintadas:<br />,,<br />Asociando cada pincel con la cara del mismo color, vemos que cada pincel tiene una cara pintada de su color y solo una, esto hace que la correspondencia sea una aplicación, la cara azul tiene dos pinceles de su mismo color, por lo que no es inyectiva, todas las caras tiene un pincel con su color, luego la aplicación es sobreyectiva.<br />Aplicación inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)<br />Si una aplicación es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva. Por ser inyectiva los elementos que tienen origen tienen un único origen y por ser sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen origen.<br />En el diagrama de Venn el conjunto A es el de las aplicaciones inyectiva y el conjunto B el de las aplicaciones sobreyectiva, las aplicaciones biyectiva, que son inyectiva y sobreyectiva, será la intersección de A y B.<br />Estas dos circunstancias dan lugar a que el conjunto X e Y tengan el mismo número de elementos, la cardinalidad de X es la misma que la de Y, esto tiene una gran importancia cuando se pretende comparar dos conjuntos:<br />Si dados dos conjuntos podemos encontrar una aplicación biyectiva entre ellos, podemos afirmar, que los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos. La cardinalidad de X es igual a la de Y.<br />Ejemplo<br />en el diagrama de la figura:<br />todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un único origen, esto hace que la aplicación sea inyectiva<br />todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva.<br />Si tomaremos por conjunto inicial el conjunto de los números naturales:<br />y por conjunto final el de los números naturales pares:<br />Podemos ver que la relación<br />Por el que a cada número natural x de X, le asociamos un número par 2x de Y, se cumple:<br />f: es una aplicación, dado que a cada uno de los valores x de X le corresponde un único valor 2x de Y.<br />esta aplicación es inyectiva dado que a cada número par 2x de Y le corresponde un único valor x de X.<br />y es sobreyectiva porque todos los números pares tienen un origen<br />Esto nos permite afirmar que hay el mismo número de números naturales que de números naturales pares, se da la paradoja de que los números naturales pares en un subconjunto propio de los números naturales, esta circunstancia solo se da con los conjuntos infinitos.<br />Segundo ejemplo<br />Tomando el conjunto de pinceles como conjunto inicial:<br />,,,<br />y el de caras como conjunto final:<br />,,,<br />La correspondencia que asocia cada pincel con la cara de su mismo color es una aplicación porque todos los pinceles tienen una cara con su color y solo una cara de ese color, la aplicación es inyectiva porque un pincel corresponde con una sola cara, y es sobreyectiva porque todas las caras tiene un pincel de su color, al ser inyectiva y sobreyectiva simultáneamente esta aplicación es biyectiva.<br />Una aplicación biyectiva hace corresponder los elementos del conjunto inicial con los del conjunto final uno a uno, pudiéndose decir que hay el mismo número de elementos en el conjunto inicial que en el final.<br />Aplicación no inyectiva y no sobreyectiva<br />Una aplicación no inyectiva tendrá al menos un elemento imagen que tenga dos o más orígenes y una no sobreyectiva tendrá al menos un elemento del conjunto final que no tenga elemento origen. Este tipo de aplicaciones no tiene un nombre específico y quizá sean las que presenten, desde el punto de vista matemático, un menor interés.<br />Para esta aplicación los conjuntos X e Y no son comparables, y no podemos plantear ningún supuesto sobre su cardinalidad, partiendo de su comparación, ni sobre su número de elementos.<br />En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que no pertenecen a la unión de A y B.<br />Ejemplo<br />en el diagrama de la figura:<br />el elemento b de Y, tiene dos orígenes: 1 y 2, esto hace que esta aplicación no sea inyectiva<br />el elemento a de Y, no tiene ningún origen por lo que esta aplicación no es sobreyectiva<br />el elemento se obtiene cuando dos funciones con el mismo numerador se conectan de forma biyectiva y no se utiliza en ningún momento la sobreyectiva por medidas de aseguracion la función se emplea de forma rotativa y no se representa en las gráficas<br />Segundo ejemplo<br />Si tomamos como conjunto inicial el de pinceles de colores:<br />,,,<br />y como conjunto final el de caras coloreadas:<br />,,,<br />Vemos que todos los pinceles tiene una cara y solo una cara de su mismo color, luego esta correspondencia es una aplicación matemática.<br />Como la cara azul tiene dos pinceles de su color la aplicación no es inyectiva, y como la cara amarilla no tiene ningún pincel de ese color no es sobreyectiva, luego esta aplicación es no inyectiva y no sobreyectiva.<br />Resumen<br />Sobreyectiva, no inyectivaInyectiva, no sobreyectivaBiyectivaNo sobreyectiva, no inyectiva<br />Álgebra de las funciones<br />La composición de funciones<br />Artículo principal: Función compuesta<br />Dadas las funciones f: A -> B y g: B -> C, (o sea, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g), se define una función composición (g ο f ): A -> C tal que (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de A.<br />La función identidad<br />Artículo principal: Función identidad<br />Dado un conjunto , la función que asigna a cada x de el mismo x de A, se denomina función identidad. También se simboliza por 1A o idA.<br />Dada cualquier función , se cumple que es igual a f y que es también igual a , puesto que tenemos que para todo y también <br />Se verifica que<br />la composición de dos funciones inyectivas es inyectiva.<br />la composición de dos funciones suprayectivas es suprayectiva.<br />la composición de dos funciones biyectivas es biyectiva.<br />La restricción de una función<br />Sea C un subconjunto de A. La inclusión de C en A permite definir una función de C en A que asigna a cada elemento de C el mismo elemento, pero considerado como elemento de A. Decimos que tal función es la función definida por la inclusión.<br />Sea y sea un subconjunto de . Sea i la función definida por la inclusión. La composición define una función de en que se llama la restricción de f a C y que se denota por .<br />Advertencia: muchas veces, especialmente con funciones numéricas, se usa la misma notación para la función y su restricción, esperando que del contexto pueda deducirse la diferencia.<br />Función inversa<br />Artículo principal: Función recíproca<br />Dada una función , se llama una (función) inversa de , a una función tal que se cumple las siguientes condiciones:<br />.<br />Decimos también que la función f es invertible<br />Cuando existe una función inversa de f, se demuestra que esa función es única, por lo que se habla de la inversa y se la denota por .<br />Se verifica también las siguientes propiedades.<br />Una función tiene inversa si, y sólo si, es biyectiva.<br />La función inversa de una función es invertible, y su inversa es la función original. O sea que (f − 1) − 1 = f.<br />La composición de dos funciones invertibles es invertible, y su inversa es la composición de las inversas de los factores pero con el orden invertido.<br />.<br />El grupo simétrico o grupo de las funciones biyectivas<br />Sea A un conjunto no vacío y Biy(A) el conjunto formado por todas las funciones biyectivas de A en sí mismo. El conjunto Biy(A) no es vacío, porque al menos la función identidad está en ese conjunto. Además, recordando que las funciones biyectivas coinciden con las funciones invertibles, tenemos que la composición de funciones define una operación algebraica en Biy(A). Se verifica que<br />La composición es una operación asociativa, es decir, dadas tres funciones cualesquiera se cumple que <br />La función identidad es un neutro respecto a la operación. O sea, , tenemos que .<br />Cada elemento f de Biy(A) tiene un inverso respecto a la operación: la función inversa de f. O sea que .<br />Estas tres condiciones determinan lo que se llama un grupo. Por lo que el conjunto de las funciones biyectivas , Biy(A) es un grupo con respecto a la operación de composición de funciones que recibe el nombre de grupo simétrico de .<br />Cuando A es un conjunto finito, digamos con n elementos, las biyecciones de A se llaman también permutaciones, por lo que el grupo simétríco de A se llama también grupo de permutaciones.<br />Terminología, tradición y convenios<br />La noción de función es fundamental en matemáticas. la noción ha evolucionado desde su introducción en el siglo XVII hasta el presente, al igual que muchas otras de las nociones de matemáticas. Una de las fuentes de la noción es el estudio del movimiento cinemática, de donde hemos heredado terminologías tales como constante, variable y parámetro.<br />Sea una función. La notación y definición dadas son posteriores a la invención de la teoría de conjuntos, o sea posterior a los finales del siglo XIX. ¿Cómo se decía anteriormente que x era un elemento de ? Diciendo que x era una variable real. Por extensión del concepto, se llamaba variables tanto a los elementos del dominio como aquellos del codominio; para distinguir entre ellos, los elementos del dominio eran las variables independientes mientras que aquellos del codominio eran las variables dependientes.<br />Por esa razón, funciones cuyo dominio sea un subconjunto de los Reales se denominan funciones de una variable real. ¿Por que quot;
unaquot;
? Porque funciones cuyo dominio eran subconjuntos de o se llamaban funciones de dos o tres variables (reales) respectivamente. Actualmente, preferimos decir que se trata de funciones definidas sobre pares o tríos de números (usualmente considerados como vectores bidimensionales o tridimensionales, respectivamente).<br />En algunos contextos, la terminología está adaptada al tema de estudio, por ejemplo, en Física es usual la siguiente terminología.<br />Función escalar: Función del tipo <br />Campo escalar: Función del tipo <br />Función vectorial: Función del tipo <br />Campo vectorial: Función del tipo <br />La notación funcional<br />En muchos campos aplicados, inclusive a veces en textos de matemáticas, se encuentra la expresión quot;
la función f(x)quot;
. De acuerdo a nuestra definición actual, lo anterior no hace sentido, ya que f(x) es una notación para el elemento del codominio. Otras veces, nos encontramos con algo así como quot;
la función f(x) = x^2 - 3x + 7quot;
. Aunque aquí hay una posible asignación, no se ha especificado ni el dominio ni el codominio, por lo que en rigor la función f no está bien definida.<br />En ciertos contextos, por ejemplo de funciones numéricas (dominio y codominio son subconjuntos de los Reales), hay una serie de convenios para simplificar la escritura. La expresión quot;
la función quot;
se debe entender como una abreviación de lo siguiente: La función f definida por dicha igualdad, que suponemos una relación funciona (a cada x corresponde un único y) es una función cuyo dominio, llamado dominio natural, es el máximo subconjunto para él cual tiene sentido la expresión, y cuyo codominio son todos los Reales. En la quot;
funciónquot;
citada, la aparición del radical nos dice que el dominio natural consiste de todos los reales no negativos.<br />Para evitar ambigüedades, a veces se usa la notación para indicar la regla de asignación.<br />Igualmente, por restricciones adecuadas de dominio y codominio se trabaja la composición de funciones numéricas. Por ejemplo: si y , podemos considerar a como la composición de las funciones g y f, a pesar que esto es i'nconsistente con la definición dada de composición. En efecto, f es una función de en cuya imagen es todo . Por su parte, g es una función de los reales no negativos en los Reales, por lo que no se cumple que la imagen de f sea un subconjunto del dominio de 'g. Sin embargo, como prácticamente o para efectos de otras necesidades matemáticas queremos considerar a la función h como una composiciónd de g con f, suponemos que f está restringido al intervalo .<br />Funciones (con valores) reales<br />Los anteriores apartados se han referido a funciones entre conjuntos cualesquiera. Las funciones entre conjuntos de números son particularmente relevantes por la diversidad de sus aplicaciones prácticas y por sus particulares propiedades matemáticas. En algunos textos se reserva para las funciones entre conjuntos de números el término función mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones o transformaciones.<br />Llamamos función real o función con valores reales a cualquier función cuyo codominio sea un subconjunto de los Reales.<br />Álgebra de Funciones<br />Sea X un conjunto cualquiera no vacío y sea el conjunto formado por todas las funciones de X en . Muchas de las operaciones y propiedades algebraicas de los Reales se pueden extender a , como veremos a continuación.<br />Sean elementos de . Definimos operaciones entre funciones, punto a punto por<br />Suma de Funciones.<br />Resta de Funciones.<br />Producto de Funciones.<br />Extendemos relaciones punto a punto.<br />.<br />La manera en que hacemos la extensión garantiza que muchas de las propiedades de los Reales se extienden a . Indicamos a continuación aquellas más importantes.<br />La suma de funciones es asociativa, conmutativa, con neutro la función constante , con opuesto aditivo − f para cada función f.<br />La resta es tal que f − g = f + ( − g).<br />La multiplicación es asociativa, conmutativa, con neutro la función constante , pero solamente las funciones que nunca tiene valor nulo, tienen recíprocos.<br />La multiplicación es distributiva respecto a la suma.<br />Note que todas las anteriores propiedades son propiedades de los números reales. Hay, sin embargo, propiedades quot;
extrañasquot;
. Por ejemplo, Si el conjunto X tiene a lo menos dos elementos, hay divisores de cero en . En efecto, supongamos que X = {a,b} y definamos tales que y . Se ve, inmediatamente, que fg es la función constantemente 0, o sea la función cero, aunque ninguno de los factores lo es.<br />El conjunto junto con sus operaciones es importante por la gran cantidad de ejemplos diversos que se obtienen al seleccionar el conjunto X.<br />Sea . Entonces, cada función de define una pareja de números f(1),f(2) que si consideramos el orden natural en X, podemos escribir como el para ordenado (f(1),f(2)). Esto nos dice que, en este caso, podemos identificar con el conjunto de todos los pares posibles de números reales, o sea con .<br />Sea Razonado como arriba, podemos identificar a con .<br />Sea Razonado como arriba, podemos identificar a con .<br />Note que en cada uno de los ejemplos anteriores, el conjunto de pares, tríos, n-uplas ordenadas aparece provisto de una suma y multiplicación. La suma coincide con la suma vectorial usual y la multiplicación por constantes con la multiplicación por escalar.<br />Sea , los Naturales. En este caso, es el conjunto de todas las sucesiones de números reales provisto cono la suma y multiplicación usual de sucesiones.<br />Funciones numéricas<br />Llamamos funciones numéricas a funciones cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los Reales. Estas funciones son aquellas que aparecen más frecuentemente en las aplicaciones elementales.<br />Funciones acotadas<br />Una función se denomina acotada si su conjunto imagen está acotado. Por ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen por conjunto imagen el intervalo [-1,1]. Si su conjunto imagen está acotado sólo superior o inferiormente, se dice que la función está acotada superior o inferiormente, respectivamente. Por ejemplo, f(quot;
xquot;
)=|x| tiene por conjunto imagen , por lo que está acotada inferiormente.<br />Funciones pares e impares<br />Artículo principal: Función par<br />Artículo principal: Función impar<br />Se dice que una función es par cuando presenta simetría sobre el eje de ordenadas, esto es, si<br />Una función es impar si presenta simetría con respecto al origen de coordenadas, esto es si<br />Una función que no presenta simetría par no tiene necesariamente simetría impar. Algunas funciones no presentan ninguno de los dos tipos de simetría o bien la presentan frente a focos o ejes distintos del origen de coordenadas o el eje de ordenadas (o eje Y). Dichas funciones se dice que no poseen paridad.<br />La importancia de los conceptos reside en que funciones cuyo dominio es simétrico respecto al origen, se cumple que son iguales a la suma de una función par con una función impar<br />Funciones monótonas<br />Artículo principal: Función monótona<br />La función f es estrictamente creciente en <br />f es estrictamente decreciente en <br />Si una función es estrictamente creciente o decreciente entonces es inyectiva.<br />f es creciente en <br />f es decreciente en <br />Si una función verifica cualquiera de las cuatro propiedades anteriores se dice que es monótona.<br />Funciones periódicas<br />Artículo principal: función periódica<br />Una función es periódica si se cumple: donde es el período.<br />En particular, una función es periódica alternada cuando se cumple: . Estas últimas también son conocidas como funciones simétricas de media onda y constan de dos semiondas iguales de sentidos opuestos.<br />Funciones cóncavas y convexas<br />Artículo principal: Función convexa<br />Artículo principal: Función cóncava<br />Función convexa.<br />Una función es convexa en un intervalo si la rectas tangentes a la función en ese intervalo están por debajo de la función. Una función es cóncava en un intervalo si la rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima.<br />La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función quot;
desde arribaquot;
o quot;
desde abajoquot;
. Por ello, algunos textos denominan convexas a las funciones que se curvan quot;
hacia abajoquot;
, al contrario de la definición que se acaba de dar en los anteriores párrafos. Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones convexa hacia arriba y concava hacia abajo para evitar las ambigüedades.<br />Las técnicas del análisis diferencial permiten determinar si una función es creciente, decreciente, concava o convexa a través del estudio de las derivadas sucesivas de la función.<br />Funciones reales y funciones discretas<br />Artículo principal: Función real<br />Artículo principal: Función discreta<br />Si el dominio de una función es un intervalo de la recta real la función se denominará real. En cambio, si la función está definida para los números enteros se denominará función discreta. Un ejemplo de una función discreta son las sucesiones.<br />