3. • (a +b)2 = a2 + 2*a*b + b2
• (a - b)2 = a2 – 2*a*b + b2
Cuadrado de binomio:
• (a + b)∙(a – b) = a2 – b2
Suma por su diferencia
• (a + b)3 = a3 + 3*a2* b+ 3*a*b2 + b3
• (a - b)3 = a3 - 3*a*b2+ 3*a2 *b - b3
Cubo de binomio
• (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Cuadrado de trinomio
Productos Notables
4. Factorización
• factorizar una expresión en la cual todos los
términos tienen algo en común (puede ser un
número, una letra, o la combinación de los dos).
Factor Común
• no todos los términos tienen un factor común, se
agrupan convenientemente obteniendo factores
comunes en cada grupo.
Factor común
compuesto
• a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Diferencia de
cubos
• a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
Suma de
cubos
Ejemplo:
2∙x∙y + 2∙2∙x∙y∙y – 2∙3∙x∙x∙y
Al descomponer...
(El factor común es : 2xy)
2xy + 4xy2 – 6x2y =
= 2xy(1 + 2y – 3x)
Agrupando
Factorizando por partes
Factorizando por (z+w)
xz + xw + yz + yw =
= (xz + xw) + (yz + yw)
= x(z + w) + y(z + w)
= (z + w)(x + y)
Aplicando la fórmula
Desarrollando
8x3 – 64y3 = (2x)3 – (4y)3
= (2x – 4y)((2x)2 + 2x ∙ 4y + (4y)2 )
= (2x – 4y)(4x2 + 8xy + 16y2 )
Aplicando la fórmula...
Desarrollando...
27x3 + 8y3 = (3x)3 + (2y)3
= (3x + 2y)((3x)2 – 3x ∙ 2y + (2y)2)
= (3x + 2y)( 9x2 – 6xy + 4y2)
5. Para simplificar expresiones algebraicas es necesario expresarlas mediante productos, es decir, factorizar.
Simplificación
Ejemplos
x2 + x – 20
x2 - 25
(x + 5)(x – 4)
(x + 5)(x – 4)
(x – 4)
(x – 5)
𝑎 + 𝑏 2
𝑎2 − 𝑏2
÷
1
𝑎 − 𝑏
𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏
𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏
×
𝑎 − 𝑏
1
𝑎 + 𝑏
Recuerda que NO se puede realizar lo siguiente:
(x – 4)
(x – 5)
6. MCM
Entre monomios
El MCM entre
3x5y2, 18x2yz6 y 9y3
Es 18x5y3z6
El MCM entre
x4y2z3 , x2y , xy6z
Es: x4y6z3
Entre
polinomios
Factorizando
Mínimo Común Múltiplo MCM
x2 + 2x +1
x2 + x y
m.c.m. :
x(x +1) (x +1)2
x(x +1)2
9. División de polinomios
• Existe una estrecha analogía entre el cociente de polinomios y la
división de números enteros.
• Recordemos algunas definiciones de la división entre números
enteros.
9
10. División entre números enteros
En el conjunto de números enteros, si D es el dividendo y d0 es el divisor
Existen y son únicos dos enteros, c (cociente) y r (resto) tales que
𝐷 = 𝑑 × 𝐶 + 𝑟
0 ≤ r < |d|
• Si r=0 se dice que D es divisible por d.
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11. División entre números enteros
Ejemplo
29 ÷ 4 = 6 × 4 + 5
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Dividendo Divisor Resto
Cuociente
12. División de polinomios
• Dados los polinomios
D(x) = 6x3 – 17x2+15x-8
d(x) = 3x – 4
determinar, si es posible, dos polinomios c(x) y r(x) tales que
D(x) = d(x). C(x) + r(x)
de modo que el grado de r(x) sea menor que el grado de d(x) o bien
r(x)=Op(x)
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15. División de un polinomio por otro de la forma (x-a)
3x3 – 2x2 – 5x – 9 x – 2 = 3x2 + 4x + 3
- 3x3 + 6x2
- 4x2 – 5x
- 4x2 + 8x
3x – 9
-3x + 6
-3
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Regla de Ruffini
3 -2 -5 -9
2
-3
3
6
4
8
3
6
3x3 – 2x2 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x2 + 4x + 3) + (-3)
16. • División de P(x) = 3x3 – 2x2 – 5x – 9 por (x-2)
realizada por la Regla de Ruffini
3 -2 -5 -9
2 6 8 6
3 4 3 -3
1º operación : 3.2 -2 = 4
2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3
3º operación : [3(2) 2 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3
Por lo tanto 3.(2)2 -2.(2)2 -5.2 -9 = -3
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División de un polinomio por otro de la forma (x-a)
17. Raíces de un polinomio
• Un número real a es raíz de un polinomio P(x) si y solo si P(a) = 0
• Ejercicio:
Verifique que x=1 es raíz del polinomio P(x) = 3x2 + 2x – 5
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18. Raíces de un Polinomio
• Si un polinomio tiene coeficientes enteros y a es una raíz entera del
polinomio entonces a divide al término independiente.
• Ejercicio: Calcular las raíces de
P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24
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19. Ejercicio: Calcular las raíces de
P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24
• Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe ser divisor de 24.
• Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)
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2x3 – 2x2 – 16x + 24 = ( x – 2)(2x2 + 2x -12)
Ver x=2 también
es raíz de
2x2 + 2x -12
2x2 + 2x -12 = (x-2)(2x+6)
