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  1. 1. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17 ` Exerc´cios Resolvidos de Teoria Eletromagn´ tica ı e Jason Alfredo Carlson Gallas Professor Titular de F´sica Te´ rica ı o Doutor em F´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha ı Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´sica ı Mat´ ria para a PRIMEIRA prova. Numeracao conforme a quarta edicao do livro e ¸˜ ¸˜ “Fundamentos de F´sica”, Halliday, Resnick e Walker. ı   Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas clicando-se em ‘ENSINO’Conte´ udo 23.2.1 Lei de Coulomb . . . . . . . . 3 23.2.2 A Carga e Quantizada . . ´ . . . 823 Carga El´ trica e 2 23.2.3 A Carga e Conservada . . ´ . . . 10 23.1 Quest˜ es . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2 23.2.4 As Constantes da F´sica: ı Um 23.2 Problemas e Exerc´cios . . . . . . . . . ı 3 Aparte . . . . . . . . . . . . . . 10 Coment´ rios/Sugest˜ es e Erros: favor enviar para a o jgallas @ if.ufrgs.br (lista1.tex)http://www.if.ufrgs.br/ jgallas   P´ gina 1 de 11 a
  2. 2. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17 `23 Carga El´ trica e Q 23-3 Uma barra carregada atrai fragmentos de cortica que, as- ¸ sim que a tocam, s˜ o violentamente repelidos. Explique a23.1 Quest˜ es o a causa disto. ¡ Como os dois corpos atraem-se inicialmente, deduzi- Q 23-1 mos que eles possuem quantidades de cargas com sinaisSendo dadas duas esferas de metal montadas em supor- diferentes. Ao tocarem-se a quantidade de cargas menorte port´ til de material isolante, invente um modo de car- a e equilibrada pelas cargas de sinal oposto. Como a carga ´reg´ -las com quantidades de cargas iguais e de sinais a que sobra reparte-se entre os dois corpos, estes passam aopostos. Vocˆ pode usar uma barra de vidro ativada com e repelir-se por possuirem, ent˜ o, cargas de mesmo sinal. a ´seda, mas ela n˜ o pode tocar as esferas. E necess´ rio a a ¢ Note que afirmar existir repuls˜ o ap´ s os corpos a oque as esferas sejam do mesmo tamanho, para o m´ todo tocarem-se equivale a afirmar ser diferente a quantida- efuncionar? de de cargas existente inicialmente em cada corpo.¡ Um m´ todo simples e usar inducao el´ trost´ tica: ao e ´ ¸˜ e aaproximarmos a barra de vidro de qualquer uma das es- Q 23-4feras quando ambas estiverem em contato iremos indu-zir (i) na esfera mais pr´ xima, uma mesma carga igual As experiˆ ncias descritas na Seccao 23-2 poderiam ser o e ¸˜e oposta a carga da barra e, (ii) na esfera mais afastada, ` explicadas postulando-se quatro tipos de carga, a saber,uma carga igual e de mesmo sinal que a da barra. Se a do vidro, a da seda, a do pl´ stico e a da pele do animal. asepararmos ent˜ o as duas esferas, cada uma delas ir´ fi- a a Qual e o argumento contra isto? ´car com cargas de mesma magnitude por´ m com sinais e ¡ ´ a E f´ cil verificar experimentalmente que os quatro ti-opostos. Este processo n˜ o depende do raio das esfe- pos ‘novos’ de carga n˜ o poderiam ser diferentes umas a aras. Note, entretanto, que a densidade de cargas sobre das outras. Isto porque e poss´vel separar-se os quatro ´ ıa superf´cie de cada esfera ap´ s a separacao obviamente tipos de carga em dois pares de duas cargas que s˜ o in- ı o ¸˜ adepende do raio das esferas. distingu´veis um do outro, experimentalmente. ı Q 23-2Na quest˜ o anterior, descubra um modo de carregar as Q 23-6 aesferas com quantidades de carga iguais e de mesmo si- Um isolante carregado pode ser descarregado passando-nal. Novamente, e necess´ rio que as esferas tenham o o logo acima de uma chama. Explique por quˆ ? ´ a emesmo tamanho para o m´ todo a ser usado? e¡ ´¡ E que a alta temperatura acima da chama ioniza o ar, O enunciado do problema anterior n˜ o permite que tornando-o condutor, permitindo o fluxo de cargas. atoquemos com o bast˜ o nas esferas. Portanto, repeti- amos a inducao eletrost´ tica descrita no exerc´cio ante- ¸˜ a ırior. Por´ m, mantendo sempre a barra pr´ xima de uma Q 23-9 e odas esferas, removemos a outra, tratando de neutralizar Por que as experiˆ ncias em eletrost´ tica n˜ o funcionam e a aa carga sobre ela (por exemplo, aterrando-a). Se afas- bem em dias umidos? ´tarmos o bast˜ o da esfera e a colocarmos novamente em acontato com a esfera cuja carga foi neutralizada, iremos ¡ Em dias umidos existe um excesso de vapor de ´permitir que a carga possa redistribuir-se homogenea- agua no ar. Conforme ser´ estudado no Cap´tulo 24, a ´ a ımente sobre ambas as esferas. Deste modo garantimos mol´ cula de agua, e ´ §¥£ ¦¤ , pertence a classe de mol´ culas ` eque o sinal das cargas em ambas esferas e o mesmo. Pa- que possui o que se chama de ‘momento de dipolo ´ra que a magnitude das cargas seja tamb´ m idˆ ntica e el´ trico’, isto e, nestas mol´ culas o centro das cargas e e ´ e ´ e a ´necess´ rio que as esferas tenham o mesmo raio. E que a positivas n˜ o coincide com o centro das cargas nega- adensidade superficial comum as duas esferas quando em tivas. Este desequil´brio faz com que tais mol´ culas ` ı econtato ir´ sofrer alteracoes diferentes em cada esfera, sejam el´ tricamente ativas, podendo ser atraidas por a ¸˜ eap´ s elas serem separadas, caso os raios sejam diferen- superf´cies carregadas, tanto positiva quanto negativa- o ıtes. mente. Ao colidirem com superf´cies carregadas, as ıhttp://www.if.ufrgs.br/ jgallas   P´ gina 2 de 11 a
  3. 3. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17 `mol´ culas agem no sentido de neutralizar parte da car- das duas cargas. Como vocˆ poderia testar este fato no e ega na superf´cie, provocando deste modo efeitos inde- laborat´ rio? ı osej´ veis para os experimentos de eletrost´ tica. Isto por- a a ¡que n˜ o se tem mais certeza sobre qual a quantidade de a Estudando de que modo varia a forca necess´ ria para ¸ acarga que realmente se encontra sobre a superf´cie. ı levar-se cargas de distintos valores at´ uma distˆ ncia , e a ¨ constante, de uma outra carga fixa no espaco. ¸ Q 23-13 Q 23-18Uma pessoa em p´ sobre um banco isolado toca um con- edutor tamb´ m isolado, mas carregado. Haver´ descarga Um el´ tron (carga e a e ) gira ao redor de um n´ cleo © ucompleta do condutor? (carga ) de um atomo de h´ lio. Qual das © ´ e ¡ part´culas exerce maior forca sobre a outra? ı ¸ N˜ o. Haver´ apenas uma redistribuicao da carga entre a a ¸˜o condutor e a pessoa. ¡ Se realmente vocˆ n˜ o souber a resposta correta, ou e a faz e entende o Exerc´cio E 23-2 ou tranca o curso bem ı Q 23-14 r´ pido! a(a) Uma barra de vidro positivamente carregada atrai umobjeto suspenso. Podemos concluir que o objeto est´ Q 23-15 extra A forca el´ trica que uma carga exerce a ¸ ecarregado negativamente? (b) A mesma barra carregada sobre outra se altera ao aproximarmos delas outras car-positivamente repele o objeto suspenso. Podemos con- gas?cluir que o objeto est´ positivamente carregado? a ¡ A forca entre duas cargas quaisquer depende unica ¸ ´ ¡ (a) N˜ o. Poder´amos estar lidando com um objeto a ı e exclusivamente das grandezas que aparecem na ex-neutro por´ m met´ lico, sobre o qual seria poss´vel in- press˜ o matem´ tica da lei de Coulomb. Portanto, e f´ cil e a ı a a ´ aduzir uma carga, que passaria ent˜ o a ser atraido pela a concluir-se que a forca pre-existente entre um par de car- ¸barra. (b) Sim, pois n˜ o se pode induzir carga de mes- gas jamais poder´ depender da aproximacao de uma ou a a ¸˜mo sinal. mais cargas. Observe, entretanto, que a ‘novidade’ que resulta da aproximacao de cargas extras e que a forca ¸˜ ´ ¸ Q 23-16 resultante sobre cada carga pre-existente poder´ alterar- aTeria feito alguma diferenca significativa se Benjamin se, podendo tal resultante ser facilmente determinada ¸Franklin tivesse chamado os el´ trons de positivos e os com o princ´pio de superposicao. e ı ¸˜pr´ tons de negativos? o ¡ N˜ o. Tais nomes s˜ o apenas uma quest˜ o de a a aconvencao. ¸˜¢ Na terceira edicao do livro, afirmava-se que Fran- ¸˜ 23.2 Problemas e Exerc´cios ıklin, al´ m de ‘positivo’ e ‘negativo’, haveria introdu- ezido tamb´ m as denominacoes ‘bateria’ e ‘carga’. Na e ¸˜ 23.2.1 Lei de Coulombquarta edicao a coisa j´ mudou de figura... Eu tenho a ¸˜ aimpress˜ o que ‘positivo’ e ‘negativo’ devem ser ante- a E 23-1riores a Franklin mas n˜ o consegui localizar referˆ ncias a e Qual seria a forca eletrost´ tica entre duas cargas de ¸ a adequadas. O qu´mico francˆ s Charles Francois de Cis- ı e ¸ Coulomb separadas por uma distˆ ncia de (a) a m e (b) ! ternay Du Fay (1698-1739), descobriu a existˆ ncia de e ! km se tal configuracao pudesse ser estabelecida? ¸˜dois “tipos de eletricidade”: vitrea (do vidro) e resinosa(da resina). (A3864 321) ($$# ¡ (a) 7 @ 97 7 5 ! 0 ) % © EDC) (B© 4! 0 ) N.Por´ m, a quem ser´ que devemos os nomes de cargas e a (b) P N.“positivas” e “negativas”? Ofereco uma garrafa de boa ¸ @ VITERH64 32¥) (GF# U7 S 9 Q 77 5 ! 0 ) % © ED¥) ) WB© X! 0 champanha a quem por primeiro me mostrar a solucao ¸˜deste puzzle! E 23-2 Uma carga puntiforme de C dista 3 cm eWEba! W` dc! 0 Y Q 23-17 de uma segunda carga puntiforme de rqEpihg f d c! 0 C.A Lei de Coulomb prevˆ que a forca exercida por uma Calcular o m´ dulo da forca eletrost´ tica que atua sobre e ¸ o ¸ acarga puntiforme sobre outra e proporcional ao produto cada carga. ´http://www.if.ufrgs.br/ jgallas   P´ gina 3 de 11 a
  4. 4. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17 ` ¡ De acordo com a terceira Lei de Newton, a forca que ¸ rc ED¥ ) t © f ! 0 kg uma carga exerce sobre outra carga e igual em ´ 7s ¤ 6sm´ dulo e de sentido contr´ rio a forca que a carga o a ` ¸ (b) Como temos ¤ 6s g © ¤ x ru t 3¤ s © 7 h 7 pk5 Q % ™$# j i segue queexerce sobre a carga . O valor desta forca e dado pela ¸ ´ 7sEq. 23-4. Conforme a convencao do livro, usamos aqui ¸˜ © ls rt fx ju mos m´ dulos das cargas. Portanto o 7h7 gQ ‡ ¤ s 7 s w t © 5 … %ˆ5 frc ED1Y W% 0 ec 32ChWY ! 0 X ! 0 # © ¤x vu 4 ED1) ! 0 Q © 6drcqED0¥hg A66deWED01Y% 5 4 ED¥) ) Wy% 5 ! %5 c ! ¤ 5 ¤ c ED¥3V% ! 0 © C o7 c 32n … 7 ! 0 ! 0 © N ( W E 23-7 Duas esferas condutoras idˆ nticas e isoladas, e , pos- e E 23-3 suem quantidades iguais de carga e est˜ o separadas por aQual deve ser a distˆ ncia entre duas cargas puntiformes uma distˆ ncia grande comparada com seus diˆ metros a a a €© 7 s‚  Ce ‚ †t „ƒ6s … © ¤ C para que o m´ dulo da forca (Fig. 23-13a). A forca eletrost´ tica que atua sobre a es- o … qg ¸ ¸ aeletrost´ tica entre elas seja de a N? fera devida a esfera e . Suponha agora que uma ´ p ¡ terceira esfera idˆ ntica , dotada de um suporte isolan- e Y ‡ te e inicialmente descarregada, toque primeiro a esfera © ¨ 5 rc 320 qt ˆ5 ec ED1y65 4 32¥) (% d ! … % d ! … 0  % ! 0 ) (Fig. 23-13b), depois a esfera (Fig.. 23-13c) e, em qg seguida, seja afastada (Fig. 23-13d). Em termos de , p ‰ metros t qual e a forca ´ ¸ que atua agora sobre a esfera ? q rp ¡ Chamemos de a carga inicial sobre as esferas e s . Ap´ s ser tocada pela esfera , a esfera ret´ m uma o e Y E 23-4Na descarga de um relˆ mpago t´pico, uma corrente de a ı carga igual a . Ap´ s ser tocada pela esfera , a esfera o is Yi i t i s Y$©1 5 sƒs% ir´ ficar com uma carga igual a a . s 31hgq‘! 0 Amp` res flui durante e s. Que quantidade ‚ `! Portanto, teremos em m´ duloode carga e transferida pelo relˆ mpago? [Note: Amp` re e ´ a e ´a unidade de corrente no SI; est´ definida na Seccao 28- a ¸˜2 do livro; mas o cap´tulo 23 fornece meios de resolver ı y v# Y © ¤ xt Y © w s t Y u ws v™© q # s w u to problema proposto.] ¡ onde e uma constante (que envolve ´ bem como a j ru t t Usamos a Eq. (23-3): Q distˆ ncia fixa entre as esferas e , mas que n˜ o vem ao a a hgW™˜5 ec ED1—ˆ5 ‘ ED¥g Wy„–”€’¨ C ! © d ! 0 ! % ! 0 % © • ¨ “ © scaso aqui) e representa o m´ dulo de . o p ¤ 1{F# s t z¢ Tal carga e grande ou pequena? Compare com as car- P 23-8 ´gas dadas nos Exemplos resolvidos do livro. Trˆ s part´culas carregadas, localizadas sobre uma linha e ı E 23-5 reta, est˜ o separadas pela distˆ ncia (como mostra a a a ¨ Fig. 23-14). As cargas e s˜ o mantidas fixas. A a ¤ 6s 7 sDuas part´culas igualmente carregadas, mantidas a uma carga , que est´ livre para mover-se, encontra-se em ı adistˆ ncia a eq3€d (Y Xc! 0 ı ¸ a ı Xs m uma da outra, s˜ o largadas a equil´brio (nenhuma forca eletrost´ tica l´quida atua so- apartir do repouso. O m´ dulo da aceleracao inicial da bre ela). Determine em termos de . o ¸˜primeira part´cula e de ı ´ ! … ¤ m/s e o da segunda e de ´ ¡ ! W) 7s ¤s ¤m/s . Sabendo-se que a massa da primeira part´cula va- ı Chame de a forca sobre devida a carga . Ob- ¸ | }# Xs | 6sle Kg, quais s˜ o: (a) a massa da segunda servando a figura, podemos ver que como fecWEB0eY W ! a est´ em a Xs#part´cula? (b) o m´ dulo da carga comum? ı o equil´brio devemos ter ı . As forcas ¸ e tˆ m e ¤ ™© 7 # # ¤# m´ dulos iguais mas sentidos opostos, logo, e tem o 7 ¡ (a) Usando a terceira lei de Newton temos © W67 g sinais opostos. Abreviando-se 7h , temos 5Q 7 wsv u t % i €~ © ¤s¤h¤ g , de modo que ent˜ o a … s s © qh 7 €ƒeg 7¤ g © ¤ ) 0 rc 321Y W f ! 0 © 7 # ¤ X †7¨ y% ~ 5 hhttp://www.if.ufrgs.br/ jgallas   P´ gina 4 de 11 a
  5. 5. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17 ` }# © ¤ X ¤s ¤ s ~ r u ¤ s w u t ¨ © w m ¤ h QvSubstituindo estes valores na equacao ¸˜ , obte- }H© 7 # ¤# N ©  t ! W !mos 6 ‚s t ƒ‚ 7 ‚s ‚¤ © . Como as cargas devem ter sinaisopostos, podemos escrever 6s t $© 7 s , que e a resposta ´¤ procurada. P 23-12Observe que o sinal da carga permanece totalmente ¤ Esarbitr´ rio. a Duas esferas condutoras idˆ nticas, mantidas fixas, e atraem-se com uma forca eletrost´ tica de m´ dulo igual ¸ a o P 23-10 a N quando separadas por uma distˆ ncia de a EnW! ! ! W! g cm. As esferas s˜ o ent˜ o ligadas por um fio condutor a aNa Fig. 23-15, quais s˜ o as componentes horizontal e a fino. Quando o fio e removido, as esferas se repelem ´vertical da forca eletrost´ tica resultante que atua sobre ¸ a com uma forca eletrost´ tica de m´ dulo igual a ¸ a o N. Y ! W!  a carga do v´ rtice esquerdo inferior do quadrado, sendo e Quais eram as cargas iniciais das esferas?eWED1! $fsfc! 0 © Ce cm? ! q{© h g ¡ ¡ Sejam e as cargas originais que desejamos cal- ¤s 7s Primeiro, escolhemos um sistema de coordenadas x cular, separadas duma distˆ ncia . Escolhamos um sis- acom a origem coincidente com a carga no canto esquer- tema de coordenadas de modo que a forca sobre ¸ e ´ ¤sdo, com o eixo horizontal e eixo vertical, como de „ … positiva se ela for repelida por . Neste caso a magni-costume. A forca exercida pela carga ¸ na carga s¸ ` s tude da forca ‘inicial’ sobre e ´ 7 s 6s¤e´ © 7 p ˆ§‡A% —¤ 6`—% w t 5† 5s %5s v u y ¤ s¤ 7 x s w u t F© | # v h Q QA forca exercida por ¸ sobre s e ´ s onde o sinal negativo indica que as esferas se atraem. Em outras palavras, o sinal negativo indica que o pro- ‰rp © ¤ †Œ ‹ u —6A% w t 5 s %5 s v u duto| # ¤ x Q wu t •”Es 7 s v © ¤ e negativo, pois a forca , ´ ¸ |# w mŠ ¤5 m% , e forca de atracao. ´ ¸ ¸˜ ’! ˜| y% 5 – # © † h Š u ¤ s Q w t w m m ¤ vu Como as esferas s˜ o idˆ nticas, ap´ s o fio haver sido co- a e o nectado ambas ter˜ o uma mesma carga sobre elas, de a h Q valor i 362 7 s% 5¤s . Neste caso a forca de repuls˜ o ‘final’ ¸ aFinalmente, a forca exercida por ¸ s ƒ s sobre e ´ e dada por ´ ¤5¤s © X p 5 Š A% ˆƒV% w u t 5 s %¤ 5 s v E6b t 7 s% w u t C˜# ¤x v © — h ¤ t Q Q Das duas express˜ es acima tiramos a soma e o produto o © ˆ5 Š % 5 ¤ s % w u t v de e , ou seja ¤ 6s 7 s h QPortanto, a magnitude da componente horizontal da © | # ¤ x Q vwu t $©™¤6s 7 s EnW!% ¤ g (!% 5! 5 forca resultante e dada por ¸ ´ 4 321) ! 0 © }# Ž Ž X `}ƒŽ 7 # # Ž¤ # © ¤ ¤ 7 c ED1 ! 0 Y C t ƒ! u ¤ s w t e © w m ¤ h Qv u ‡ t u rqEDf 5 4 ED¥) ) Wy% f c! 0 © — V5 Q wu t % t qx © ¤ b 7 s # v š s 5’ Y ! Wy% t g (!¥› ! 5 % © w m ¤ c ED¥g ! 0 ! 0 4 32¥) ! 0 © N y … ‘(! © rc ED¥› C d ! 0 enquanto que a magnitude da componente vertical e da- Conhecendo-se a soma e o produto de dois n´ meros, ´ uda por conhecemos na verdade os coeficientes da equacao do ¸˜ segundo grau que define estes n´ meros, ou seja, u “”# © ’ ’ X b}br’ 7 # # ’¤ # Es 7 b¥A3E 7 sp ¤ BkEEDiž„65 7 œ„% ¤ s „5¤s % „ © 5¤s % s http://www.if.ufrgs.br/ jgallas   P´ gina 5 de 11 a
  6. 6. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17 `Dito de outra forma, se substituirmos carga seja positiva). Por outro lado, a terceira carga deve i ¤ ! 0 % © ¤ ser negativa pois, se ela fosse positiva, as cargas s ` 7 s 5 7 c ED1Y8F`6s —% 5Ÿ e st n˜ o poderiam ficar em equil´brio, pois as forcas a ı ¸ sobre elas seriam somente repulsivas. Vamos designar ana equacao da soma acima temos duas possibilidades: ¸˜ terceira carga por , sendo maior que zero. Seja ¤ ƒ ¤ „ ¤ c! 0 a distˆ ncia entre a e . Para que a carga ƒ ` ¤ s esteja ¤ ƒ y rc 32CD{© 7 WED1! (Y 7 s d ! 0 ’y% 5  em equil´brio, o m´ dulo da forca que ı o ¸ exerce sobre s ` 7s ¤ ƒ deve ser igual ao m´ dulo da forca que o ¸ exerce st ou ¤ c! 0 sobre . Portanto, ¤ ƒ rc 32C¡$© 7 WED1! (Y 7 s d ! 0 ’’ % 5  Vs t % wv u t © s wv u t ¤5 ¤ 7s ¤ 5r2y% „ £ Q ¤„Considerando-se a Eq. , temos   Q yW€© ¤ 7 c 321 7 s rc ED¥ ¤7 s ! ! 0 Y d ! 0 ou seja ¤ „ t © ¤ r2y% 5„ £de onde tiramos as duas solucoes ¸˜ As solucoes da equacao do segundo grau s˜ o ¸˜ ¸˜ a e £ ¤ ! 0 Y t ¤ d ! 0 ¢ › dc! 0 Yi £, sendo que apenas esta ultima solucao e fisicamente ´ ¸˜ ´ © 7s 5 7 c 32¥y% 5 ec 3 2¥—% ™˜eWED¥ƒ aceit´ vel. a Para determinar o m´ dulo de , use a condicao de o ¸˜ ¤O sinal fornece-nos equil´brio duas cargas do sistema. Por exemplo, para ı que a carga esteja em equil´brio, o m´ dulo da forca s ` ı o ¸ y rc ED1F`6s C d ! 0 Y © ¤ e ec EDf$© d ! 0 C 7s que ¤ exerce sobre ƒ deve igualar a m´ dulo da forca s ` o ¸enquanto que o sinal fornece-nos de st sobre : s ` y rc EDf„© ¤ s d ! 0 C e ec ED1$© d ! 0 Y C © ¤ „ s w u t ¤ v s5 t v u As £ % w t 7s Q ¤ Qonde usamos a Eq. (*) acima para calcular a partir de ¤s Dai tiramos que que, para t ¥¤ „§s © , ¤ £i¤ Y i €¦„ £ © .7sRepetindo-se a an´ lise a partir da Eq. a   ’  percebemos fornece o valor procurado:que existe outro par de solucoes poss´vel, uma vez que ¸˜ ı trevertendo-se os sinais das cargas, as forcas permane- ¸ © $¤ †s )cem as mesmas: (b) O equil´brio e inst´ vel; esta conclus˜ o pode ser pro- ı ´ a a ec EDff$© 7 s d ! 0 C e C y rc ED1™ƒ6s d ! 0 Y © ¤ vada analiticamente ou, de modo mais simples, pode ser verificada acompanhando-se o seguinte racioc´nio. Um ıou pequeno deslocamento da carga de sua posicao de ¸˜ ¤ ƒ C ec ED1€© 7 s d ! 0 Y e C equil´brio (para a esquerda ou para a direita) produz uma ı rc EDffF© ¤ s d ! 0 forca resultante orientada para esquerda ou para a direi- ¸ ta. P 23-15 P 23-16Duas cargas puntiformes livres e s t ` est˜ o a uma a s (a) Que cargas positivas iguais teriam de ser colocadasdistˆ ncia uma da outra. Uma terceira carga e, ent˜ o, a £ ´ a na Terra e na Lua para neutralizar a atracao gravitacio- ¸˜colocada de tal modo que todo o sistema fica em ´ nal entre elas? E necess´ rio conhecer a distˆ ncia entre a a aequil´brio. (a) Determine a posicao, o m´ dulo e o sinal ı ¸˜ o Terra e a Lua para resolver este problema? Explique. (b)da terceira carga. (b) Mostre que o equil´brio e inst´ vel. ı ´ a Quantos quilogramas de hidrogˆ nio seriam necess´ rios e a¡ (a) A terceira carga deve estar situada sobre a linha para fornecer a carga positiva calculada no item (a)?que une a carga com a carga s ` st . Somente quan- ¡ (a) A igualdade das forcas envolvidas fornece a se- ¸do a terceira carga estiver situada nesta posicao, ser´ guinte express˜ o: ¸˜ a a }H§ ª ¨© ¨poss´vel obter uma resultante nula, pois, em qualquer ıoutra situacao, as forcas ser˜ o de atracao (caso a ter- ¸˜ ¸ a ¸˜ ¤ceira carga seja negativa) ou de repuls˜ o (caso a terceira a ¤x y ¤ sx w u t © v Qhttp://www.if.ufrgs.br/ jgallas   P´ gina 6 de 11 a
  7. 7. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17 ` © ¨ ª ¨onde e a massa da Terra e ´ a massa da Lua. Por-tanto, usando-se as constantes fornecidas no Apˆ ndice e P 23-19C, temos § ”¨ ª ¨© v wu t Duas pequenas esferas condutoras de massa est˜ o a g ¢ 8s © Q X 7 ED0 … W™© ! g C suspensas por um fio de seda de comprimento e pos- £ x suem a mesma carga , conforme e mostrado na figura ´ sComo foi poss´vel eliminar entre os dois membros da abaixo. Considerando que o angulo e t˜ o pequeno que ı ˆ ´ a ´equacao inicial, vemos claramente n˜ o ser necess´ rio ¸˜ a x a ´ Tµ ·¶ possa ser substituida por sen : (a) mostre que ´conhecer-se o valor de . para esta aproximacao no equil´brio teremos: ¸˜ ı(b) Um atomo de hidrogˆ nio contribui com uma carga ´ e ¤spositiva de C. Portanto, o n´ mero 4 7 WE€d c! 0 u de « y X 7 w ig £ wu u a„ ¹ ¸ Qv ©atomos de hidrogˆ nio necess´ rios para se igualar a car-´ e aga do item (a) e dado por ´ onde e a distˆ ncia entre as esferas. (b) Sendo ´ a „ ! 3Fb£ © cm, ge cm, quanto vale ? ! … © ¤ X 32¥hgW€© X 7 ED0 Wg ¬« ! 0 Y 4 7 c 32¥  C ¡ E$ºg ! © ! q{i„ g © s ! 0 (a) Chamando de a tens˜ o em cada um dos fios e a » ¨ de o m´ dulo da forca eletrost´ tica que atua sobre cada o ¸ a #Portanto, a massa de hidrogˆ nio necess´ ria e simples- uma das bolas temos, para que haja equil´brio: e a ´ ımente , onde® eg e a massa de um atomo ´ e­¦© ® g « ´de hidrogˆ nio (em kilogramas) [veja o valor da unidade ede massa unificada no Apˆ ndice B, p´ g. 321] ¨ e a sen © ´ » # © 5 f ¤ c ED0f’!  Aˆ5 … ! ! A65 ¤ X ED¥hgWY% ! g % % ! 0 © Wˆº» ´¾½¼ e¸ig © Kg ¯ 321) qg ! 0 Dividindo membro a membro as duas relacoes anterio- ¸˜ res, encontramos: P 23-18 i# g ƒ´ Tµ ¸ © ·¶Uma carga e dividida em duas partes e ´ ¤ , que F¤ s s s˜ o, a seguir, afastadas por uma certa distˆ ncia entre si. Como a a e um angulo pequeno, podemos usar a ´ ˆ ´Qual deve ser o valor de em termos de , de mo- aproximacao s ¸˜ ¤do que a repuls˜ o eletrost´ tica entre as duas cargas seja a a im´ xima? a sen ‰ ´ Tµ © # ·¶ £ „ ƒ´ ©¡ A magnitude da repuls˜ o entre e a D{¤ s s e ´ ¸ Œg Por outro lado, a forca eletrost´ tica de repuls˜ o entre as ¸ a a cargas e dada por ´ VD{y% wv t $# s5s ¤ u © ¤x Q ¤A condicao para que seja m´ xima em relacao a e que ¸˜ a ¸˜ ´ # s ¤ s„ w t $# vu ©sejam satisfeitas simultaneamente as equacoes ¸˜ Q Igualando-se as duas express˜ es para o # e resolvendo ° ¤° para , encontramos que „ (€© s # ° y! e (! {¤ # s ° ± ¹ £¤ v u © X 7 w ig s w u ¿i„A primeira condicao produz ¸˜ ¸ Q ° ° W€© ¤ x ™¤ t © ³ ¤ Dƒf¤ }s ° ¤ x wv u t © s # °y ! s w vu s s ² (b) As duas cargas possuem o mesmo sinal. Portanto, Q Q da express˜ o acima para , obtemos a „ i €8s ‡cuja solucao e ¸˜ ´ . ¤ ©Como a segunda derivada e sempre menor que zero, ´ ¸Œg Q wu X „ Àfs v › © © t q› rc 320 Á ! ¸˜ i l¬sa solucao encontrada, ¤ © , produzir´ a forca a ¸ £ © t › ec ED0 4 ! Cm´ xima. a ¢ t › i ™fs Observe que a resposta do problema e ¤ © ´ e n˜ o a © nC . s ™$¤ ©http://www.if.ufrgs.br/ jgallas   P´ gina 7 de 11 a
  8. 8. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17 ` P 23-20 sendo, por exemplo, positivo. O peso exerce uma forca¸No problema anterior, cujas esferas s˜ o condutoras (a) a para baixo de magnitude , a uma distˆ ncia a Ë i ”e„ £ a partir do mancal. Pela convencao acima, seu torque ¸˜O que acontecer´ ap´ s uma delas ser descarregada? Ex- a o tamb´ m e positivo. A carga e ´ a direita exerce uma ` ¤plique sua resposta. (b) Calcule a nova separacao deequil´brio das bolas. ı ¸˜ forca para cima de magnitude ¸ ,a 5 ¤ Ì i s yˆ5 Î Q ru t qi A% ¤ % j Í ¡ uma distˆ ncia a i £ do mancal. Seu torque e negativo. ´ (a) Quando uma das bolas for descarregada n˜ o po- a Para que n˜ o haja rotacao, os torque sacima devem a ¸˜der´ mais haver repuls˜ o Coulombiana entre as bolas e, a a anular-se, ou sejaconsequentemente, as bolas cair˜ o sob acao do campo a ¸˜gravitacional at´ se tocarem. Ao entrarem em contato, a e W™© £ rj t w £ œEϔ £ ¤ Ì s rj u t ! ¤s u ¤Ì „u Ë ¤carga que estava originalmente numa das bolas ir´ se s a Q Qrepartir igualmente entre ambas bolas que, ent˜ o, por es- Portanto, resolvendo-se para , obtemos a „tarem novamente ambas carregadas, passar˜ o a repelir- ase at´ atingir uma nova separacao de equil´brio, digamos e ¸˜ ıq . I„ w ¤ $Ë rj t Ðu £ i„ ¤ s Ì Q u ©(b) A nova separacao de equil´brio pode ser calculada ¸˜ ı q e„usando-se : i BeÂs s ©q (b) A forca l´quida na barra anula-se. Denotando-se por ¸ ı a magnitude da forca para cima exercida pelo mancal, ¸ « cm ent˜ o a ˆÈ E¤Æ Ž Ç É¯ Ê ¹ £ ¤ qw u © X V7 w Œg Ä5Âsu % é q „ X V7 t u ¹ X ¹7 £ wÅu u vs W€© s Ì rj u t ¤ Ì s rj u t ¥Ë ! ¤¤ ¤ ¸ Qv w w ¸ig Q Q Q © X V7 t u ¹ m ! We0 g ! Quando a barra n˜ o exerce nenhuma forca, temos a ¸ ¸ © Ñ« w . Neste caso, a express˜ o acima, fornece-nos facilmen- ! a © !ED`nWY 0 m ¤c te que © nWY cm ‡¢ © ŒÌ s Ë Y rj u t ¤ ´ E poss´vel determinar o valor da tens˜ o no fio de se- ı a Qda? ¢ Observe que e essencial usar sempre um valor po- ´ sitivo para o braco de alavanca, para n˜ o se inverter o ¸ a P 23-21 sentido do torque. Neste problema, o braco de alavanca ¸A Fig. 23-17 mostra uma longa barra n˜ o condutora, de a positivo e ´ a i œ„ , e n˜ o £ ! D™ i £ „ massa desprez´vel e comprimento , presa por um pi- ı £no no seu centro e equilibrada com um peso a uma Ë a „ ´distˆ ncia de sua extremidade esquerda. Nas extremi- 23.2.2 A Carga e Quantizadadades esquerda e direita da barra s˜ o colocadas peque- anas esferas condutoras com cargas positivas e , res- E 23-24 s spectivamente. A uma distˆ ncia diretamente abaixo de a Ìcada uma dessas cargas est´ fixada uma esfera com uma Qual e a carga total em Coulombs de a ´ g… kg de el´ trons? ecarga positiva . (a) Determine a distˆ ncia quando a ¤ a „ ¡ ¨ A massa do el´ tron e e ´ kg de ma-barra est´ horizontal e equilibrada. (b) Qual valor deve- neira que a quantidade de el´ trons em a e ¨ g … 7 Xe© cW!EC nWÒg 0 ) © kg e ´ria ter para que a barra n˜ o exercesse nenhuma forca Ì a ¸sobre o mancal na situacao horizontal e equilibrada? ¸˜ g… 7 X 32¥Y (€© 7 ec 32‘() © g Ï« ! 0 © el´ trons e ¡ (a) Como a barra esta em equil´brio, a forca l´quida ı ¸ ı X ! 0 sobre ela e zero e o torque em relacao a qualquer ponto Portanto, a carga total e ´ ¸˜ ´tamb´ m e zero. Para resolver o problema, vamos escre- e ´ver a express˜ o para o torque l´quido no mancal, iguala- a ı ÓF$fs © « © 5 4 7 c 321 A65 7 X ED¥hW8 ! 0 ! % ! 0 Y %la a zero e resolver para . „A carga a esquerda exerce uma forca para cima ` ¸ ¤ © X 7 32ƒ Y f ! 0 Cde magnitude 5 ¤ Ì i s65 ˆQ rt Wi V% i ¤ % Î ju Í , localizada a umadistˆ ncia a do mancal. Considere seu torque como £http://www.if.ufrgs.br/ jgallas   P´ gina 8 de 11 a

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