Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Wir verwenden Ihre LinkedIn Profilangaben und Informationen zu Ihren Aktivitäten, um Anzeigen zu personalisieren und Ihnen relevantere Inhalte anzuzeigen. Sie können Ihre Anzeigeneinstellungen jederzeit ändern.

Matematika Diskrit: Fungsi pembangkit part 4

4.179 Aufrufe

Veröffentlicht am

Matematika Diskrit Fungsi Pembangkit pada Deret Taylor

Veröffentlicht in: Bildung
  • Als Erste(r) kommentieren

Matematika Diskrit: Fungsi pembangkit part 4

  1. 1. Fungsi Pembangkit Fungsi Pembangkit digunakan untuk memecahkan berbagai masalah counting, memecahkan relasi recurrence, dan membuktikan identitas kombinatorik, untuk menentukan rumus suku ke n pada barisan bilangan bertingkat 3 dan 4. Turunan Fungsi Aljabar ƒ(x) = x2 + 5x → ƒ ’(x) = 2x1 + 5 = 2x + 5 ƒ(x) = 5x4 → ƒ ’(x) = 20x3 ƒ(x) = x3 + 6x2 + 8x + 6 → ƒ ’(x) = 3x2 + 12x + 8 ƒ(x) = 10x3 + 6x2 → ƒ ’(x) = 30x2 + 12x Deret Taylor Deret taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks yang terdefenisikan tak terhingga dalam sebuh perserikatan sebuah bilangan riil atau kompleks adalah deret pangkat. Teorema ini mendapat nama dari matematikawan Brook Taylor, yang menyatakannya pada tahun 1712, meskipun hasilnya sudah ditemukan pertama kali tahun 1671 oleh James Gregory Ada 2 fungsi yaitu: 1) ƒ(x) = ex 2) ƒ(x) = 1 (1−𝑥) Rumus Deret Taylor: 𝑓( 𝑥) = ∑ 1 𝑛! 𝑓 𝑛(0) 𝑥 𝑛 ~ 𝑛=0 ƒ(x) = (3x + 5)5 ƒ’(x) = 5(3x +2)4 . 3 = 15(3x+2)4 ƒ(x) = 4 (x2 + 4x)4 ƒ’(x) = 16(x2 + 4x)3.(2X +4) ƒ(x) = 3 (x2 + 5x)5 → ƒ’(x) = 15 (x2 + 5x)4. 2x + 5 𝑓( 𝑥) = 1 (5𝑥 + 2)10 = 1(5𝑥 + 2)−10 𝑓′( 𝑥) = −10(5𝑥 + 2)−11 .5 𝑓′ (𝑥) = −50(5𝑥 + 2)−11 = −50 (5𝑥 + 2)11
  2. 2. 𝑓( 𝑥) = 2 (2𝑥 + 3)5 = 2(2𝑥 + 3)−5 𝑓′( 𝑥) = −10(2𝑥 + 3)−6 . 2 = −20(2𝑥 + 3)−6 = −20 (2𝑥 + 3)6 𝑓( 𝑥) = 1 (𝑥2 + 4𝑥)6 = 1(𝑥2 + 4𝑥)−6 𝑓′( 𝑥) = −6( 𝑥2 + 4𝑥)−7 . 2𝑥 + 4 𝑓′( 𝑥) = −6(2𝑥 + 4) (𝑥2 + 4𝑥)7 = −12𝑥 − 24 (𝑥2 + 4𝑥)7 Deret taylor 1) ƒ(x) = ex 2) ƒ(x) = 1 (1−𝑥) Tentukan Deret Taylor dari ƒ (x) = ex gunakan: 𝑓( 𝑥) ≈ ∑ 1 𝑛! 𝑓 𝑛(0) 𝑥 𝑛 ~ 𝑛=0 Contoh: 0! = 1 , 1!=1, 2! = 2x1=2, 3! = 3x2x1=6 ƒ n(0) = turunan ke n ƒ (x) = ex → ƒ’(x) = 1ex = ex ƒ (x) = e2x→ ƒ’(x) = 2e2x. ƒ (x) = 10e-3x→ ƒ’(x) = -30 e-3x 𝑓( 𝑥) = 𝑒 𝑥2 +4𝑥 → 𝑓′( 𝑥) = (2𝑥 + 4) 𝑒 𝑥2 +4𝑥 ƒ (x) = e-5x + 1 → ƒ’(x) = -5 e-5x+1 Tentukan deret taylor dari ƒ (x) = ex gunakan: 𝑓( 𝑥) ≈ ∑ 1 𝑛! 𝑓 𝑛(0) 𝑥 𝑛 ~ 𝑛=0 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 → 𝑓(0) = 𝑒0 = 1 𝑓’(𝑥) = 𝑒 𝑥 → 𝑓’(0) = 𝑒0 = 1 𝑓’’(𝑥) = 𝑒 𝑥 → 𝑓’’(0) = 𝑒0 = 1 𝑓’’’(𝑥) = 𝑒 𝑥 → 𝑓’’’(0) = 𝑒0 = 1 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑡 𝑓( 𝑥) = 𝑒 𝑥 ≈ ∑ 1 𝑛! . 1𝑥 𝑛 = ∑ 1 𝑛! 𝑥 𝑛 ~ 𝑛=0 𝑛 𝑛=0 ∶ 1 + 𝑥 + 𝑥2 2 + 𝑥3 6 + ⋯ ƒ (x) = e2x →f(0) =e0 =1 →20 ƒ’(x) = 2e2x → ƒ’(0) = 2e0 = 2 →21 ƒ’’(x) = 4e2x → ƒ’’(0) = 4e0 = 4 →22 ƒ’’’(x) = 8e2x → ƒ’’’(0) = 8e0 = 8 → 23
  3. 3. : ƒ n(0) = 2n ƒ (x) = e3x →f(0) =e0 =1 →30 ƒ’(x) = 3e3x → ƒ’(0) = 3e0 = 3 →31 ƒ’’(x) = 9e3x → ƒ’’(0) = 9e0 = 9 →32 ƒ’’’(x) = 27e3x → ƒ’’’(0) = 27e0 = 27 → 33 ; ƒ n(0) = 3n 𝑓( 𝑥) = 𝑒2𝑥 ≈ ∑ 1 𝑛! . 2 𝑛 𝑥 𝑛 ~ 𝑛=0 = 1 + 2𝑥 + 4𝑥2 2 + 8𝑥3 6 + ⋯ Deret taylor dari𝑓( 𝑥) = 1 (1−𝑥) 𝑓( 𝑥) = 1 (1 − 𝑥) = (1 − 𝑥)−1 → 𝑓′( 𝑥) = −1(1 − 𝑥)−2 . −1 = 1(1 − 𝑥)−2 = 1 (1 − 𝑥)2 𝑓′′( 𝑥) = −2(1 − 𝑥)−3 . −1 = 2(1 − 𝑥)−3 = 2 (1 − 𝑥)3 𝑓′′′( 𝑥) = −6(1 − 𝑥)−4 . −1 = 6(1 − 𝑥)−4 = 6 (1 − 𝑥)4 𝑓′′′′( 𝑥) = −24(1 − 𝑥)−5 . −1 = 24(1 − 𝑥)−5 = 24 (1 − 𝑥)5 Deret taylor untuk 𝑓( 𝑥) = 1 (1−𝑥) = (1 − 𝑥)−1 gunakan: 𝑓( 𝑥) ≈ ∑ 1 𝑛! 𝑓 𝑛(0). 𝑥 𝑛 ~ 𝑛=0 ƒ (x) = (1-x)-1 → ƒ (0) = (1-0)-1= 1 → 0! ƒ’(x) = -1(1-x)-2. (-1) = 1(1-x)-2 → ƒ’(0) = 1(1-0)-2 = 1 → 1! ƒ’’(x) = -2(1-x)-3.(-1) = 2(1-x)-3 → ƒ’’(0) = 2(1-0)-3 = 2 → 2! ƒ’’’(x) = -6(1-x)-4.(-1) = 6(1-x)-4 → ƒ’’’(0) = 6(1-0)-4 = 6 → 3! ƒ’’’’(x) = -24(1-x)-5. (-1) = 24(1-x)-5 → ƒ’’’’(0) =24(1-0)-5 = 24 → 4! ƒ n(0) = n! Deret taylor (1 − 𝑥)−1 ≈ ∑ 1 𝑛! ~ 𝑛=0 𝑛1 . 𝑥 𝑛 ∑ 𝑥 𝑛 ~ 𝑛=0 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ 𝑓( 𝑥) = 1 (1 + 𝑥) = (1 + 𝑥)−1 → 𝑓(0) = (1 + 0)−1 = 1 ƒ’(x) = -1 (1+x)-2 . 1 = -1(1+x)-2 → ƒ’(0) = -1(1+0)-2 = -1 ƒ’’(x) = 2 (1+x)-3 . 1 = 2 (1+x)-3 → ƒ’’(0) = 2(1+0)-3 = 2 ƒ’’’(x) = -6 (1+x)-4 . 1 = -6(1+x)-4 → ƒ’’’(0) = -6(1+0)-4 = 6 ƒ’’’’(x) = 24 (1+x)-5 . 1 = 24(1+x)-5 → ƒ’’’’(0) = 24(1+0)-5 = 24 :
  4. 4. ƒ n(-1)n. n Fungsi Pembangkit 1) Kombinasi 𝑐 𝑟𝑛 = 𝑘 𝑟 = ( 𝑛 𝑟 ) = 𝑛 ! ( 𝑛−𝑟)!𝑟!𝑛 2) Permutasi 𝑝𝑟𝑛 = 𝑛! ( 𝑛−𝑟)! Contoh: 𝐾25 = ( 5 2 ) = 5! (5 − 2)!2! = 5.4.3.2.1 3.2.1.2.1 = 20 2 = 10 Deret 1 (1−𝑥) 𝑛 ≅ ∑ ( 𝑛+𝑘−1 𝑘 )𝑛 𝑘=0 𝑥 𝑘 1 (1 − 𝑥)3 ≈ ∑ ( 3 + 𝑘 − 1 𝑘 ) 3 𝑘=0 𝑥 𝑘 = ∑ ( 𝑘 + 2 𝑘 ) 3 𝑘=0 𝑥0 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑡 ( 2 0 ) 𝑥0 + ( 3 1 ) 𝑥1 + ( 4 2 ) 𝑥2 + ( 5 3 ) 𝑥3 = 1 + 3𝑥 + 6𝑥2 + 10𝑥3 Fungsi Pembangkit 1) Fungsi Pembangkit Biasa (FPB) 2) Fungsi Pembangkit Exporter (FPE) 𝐹𝑃𝐵 → 𝑝( 𝑥) = ∑ 𝑎 𝑛 ~ 𝑛=0 𝑥 𝑛 𝐹𝑃𝐸 → 𝑝( 𝑥) = ∑ 𝑎 𝑛 ~ 𝑛=0 𝑥 𝑛 𝑛! An barisan bilangan dari suatu deret an = a0,a1, a2, a3, ... Contoh tentukan fungsi pembangkit (FPB) dari FPE jika an diketahui 𝑎 𝑛 { 0, 𝑛 ≤ 3 1, 𝑛 > 3 → 𝑎 𝑛 = 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5,… = 0,0, 0, 0, 1, 1,… Catatan 𝑒 𝑥 :1 + 𝑥 + 𝑥2 2! + 𝑥3 3! + 𝑥4 4! + ⋯ 1 1 − 𝑥 ∶ 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + ⋯ 𝐹𝑃𝐵 → 𝑝( 𝑥)∑ 𝑎 𝑛 ~ 𝑛=0 𝑥 𝑛 : 𝑎4 𝑥4 + 𝑎5 𝑥5 + 𝑎6 𝑥6 + ⋯ P(x) = 1x4 + 1x5 + 1x6 + ... P(x) = X4 + X5 + X6 + .... = x4 (1 + x + x2 + x3 + ....) = 𝑥4 . 1 1 − 𝑥 = 𝑥4 1 − 𝑥 →∴ 𝑝( 𝑥) = 𝑥4 1 − 𝑥 𝐹𝑃𝐸 → 𝑝( 𝑥) = ∑ 𝑎 𝑛 ~ 𝑛=0 𝑥 𝑛 𝑛! = 𝑎4 𝑥4 4! + 𝑎5 𝑥5 5! + 𝑎6 𝑥6 6! + ⋯ 𝑝( 𝑥) = 1 𝑥4 4! + 1 𝑥5 5! + 1 𝑥6 6! + ⋯
  5. 5. 𝑝( 𝑥) = 𝑥4 4! + 𝑥5 5! + 𝑥6 6! + ⋯ 𝑝( 𝑥) = 𝑒 𝑥 − 1 − 𝑥 − 𝑥2 2! − 𝑥3 3! Menentukan An dari fungsi Pembangkit Contoh: Tentukan An jika p(x) = x2ex Catatan: 𝑒 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 2! + 𝑥3 3! + ⋯ ∑ 𝑥 𝑛 𝑛! ~ 𝑛=0 1 1 − 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ ∑ 𝑥 𝑛 ~ 𝑛=0 1) 𝑝( 𝑥) = 𝑥2 𝑒 𝑥 = 𝑥2 ∑ 𝑥 𝑘 𝑘! 𝑛 𝑘=0 = ∑ 𝑥 𝑘+2 𝑘! 𝑛 𝑘=0 = ∑ 𝑥 𝑛 ( 𝑛−2)! 𝑛 𝑛−2 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑛𝑦𝑎 𝑘 + 2 = 𝑛, 𝑘 = 𝑛 − 2 𝑎5 . 𝑎2 = 𝑎7 𝑎 𝑛 { 0, 𝑛 < 2 1 ( 𝑛 − 2)! , 𝑛 ≥ 2 , 𝑎 𝑛 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝐹𝑃𝐵 𝑎 𝑛 { 0, 𝑛 < 2 𝑛! ( 𝑛 − 2)! , 𝑛 ≥ 2 , 𝑎 𝑛 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝐹𝑃𝐸 2) 𝑝( 𝑥) = 𝑥 (1−𝑥) = 𝑥1 ∑ 𝑥 𝑘𝑛 𝑘=0 = ∑ 𝑥 𝑘+1𝑛 𝑘=0 = ∑ 1𝑥 𝑛𝑛 𝑛−1 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑛𝑦𝑎 𝑘 + 1 = 𝑛, 𝑘 = 𝑛 − 1 𝑎 𝑛 { 0, 𝑛 < 1 1, 𝑛 ≥ 1 , 𝑎 𝑛 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝐹𝑃𝐵 𝑎 𝑛 { 0, 𝑛 < 1 𝑛!, 𝑛 ≥ 1 , 𝑎 𝑛 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝐹𝑃𝐸 Fungsi Pembangkit pada kombinasi Dari 3 huruf a, b, c ada berapa cara disusun suatu kata sandi dengan syarat: a) Dipilih paling banyak 2 kali (2x, 1x, 0x) b) B dan c dipilih paling banyak satu kali (1x, 0x) P(x) = (1 + x + x2)(1 + x2) P(x) = (1 + x + x2)(1 + 2x + x2) = 1 + 2x + x2. ..... (I) x + 2x2 + x3..........(II) x2 + 2x3 + x4..........(III) dari Persamaan (I), (II) dan (III) jika keseluruhan dijumlahkan(ditambah) menjadi: 1 + 3x1 + 4x2 + 3x3 + 1x4 Variabel 1, 3, 4, 3, 1 merupakan banyaknya cara, dan perpangkatan0, 1, 2, 3, 4 merupakan kata sandi 2 huruf aa, ab, ac, bc
  6. 6. 3 huruf abc, aab, aac 4 huruf aabc Ada berapa cara dapat dipilih sebagai kata sandi dari kata “mati” dengan syarat: Setiap konsonan dipilih paling sedikit satu kali dan vokal dipilih paling sedikit 0 kali Kosonan : M, T = 2 Vokal: A, I = 2 P(x) = (x + x2 + x3 +...)2(1 + x + x2 + x3 +....)2 P(x) =x2(1+ x + x2 + x3 + ....)2( 1+x + x2 + x3 +....)2 P(x) = x2(1 + x + x2 + x3 + ...)4 𝑝( 𝑥) = 𝑥2 (1 − 𝑥)4 𝑝( 𝑥) = 𝑥2 (1 − 𝑥)4 = 𝑥2 ∑ ( 4 + 𝑘 − 1 𝑘 ) ~ 𝑘=0 𝑥 𝑘 = ∑ ( 𝑘 + 3 𝑘 ) ~ 𝑘=0 𝑥 𝑘+2 , 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑛𝑦𝑎: 𝑘 + 2 = 𝑛, 𝑘 = 𝑛 − 2 = ∑ ( 𝑛 + 1 𝑛 − 2 ) ~ 𝑛=2 𝑥 𝑛 ( 𝑛 + 1 𝑛 − 2 ) → 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑐𝑎𝑟𝑎, 𝑛 ≥ 2 3 huruf (3+1 3−2 ) = (4 1 ) = 4 𝑐𝑎𝑟𝑎 MAT, MIT, MMT, MTT 4 huruf =(5 2 ) = 10 𝑐𝑎𝑟𝑎 MATI, MATT, MMAT, MITT, MMIT, MAAT, MIIT, MMTT, MMMT, MTTT Setiap konsonan dan vokal dipilih paling sedikit 0 kali

×