Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Wir verwenden Ihre LinkedIn Profilangaben und Informationen zu Ihren Aktivitäten, um Anzeigen zu personalisieren und Ihnen relevantere Inhalte anzuzeigen. Sie können Ihre Anzeigeneinstellungen jederzeit ändern.
KETERBAGIAN
Departemen Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Medan
2015
(Teo...
Kelompok 3
Suindriani(130803034)
Defen Putra Sianipar(130803038)
Fitri Widiyawati(130803040)
Ferninda (130803042)
Puspita ...
Outline I
1 3.1 Keterbagian Dalam Bilangan Bulat
Definisi 3.1
Dalil 3.1 dan Dalil 3.2
Dalil 3.3 dan Definisi 3.2
Dalil 3.4
2...
Outline II
3.4.6 Ciri Habis Dibagi 7 Dan Contoh
3.4.7 Ciri Habis Dibagi 8 Dan Contoh
3.4.8 Ciri Habis Dibagi 9 Dan Contoh
...
3.1 Keterbagian Dalam Bilangan Bulat Definisi 3.1
Definisi 3.1
Definisi 3.1
Suatu bilangan bulat x dikatakan habis dibagi ole...
3.1 Keterbagian Dalam Bilangan Bulat Dalil 3.1 dan Dalil 3.2
Dalil 3.1 dan Dalil 3.2
Dalil 3.1
Jika a, b, c ∈ Z maka berla...
3.1 Keterbagian Dalam Bilangan Bulat Dalil 3.3 dan Definisi 3.2
Dalil 3.3 dan Definisi 3.2
Dalil 3.3
Jika b = qa + r dengan ...
3.1 Keterbagian Dalam Bilangan Bulat Dalil 3.4
Dalil 3.4
Dalil 3.4
1 Jika d = (x, y) maka d adalah bilangan bulat positip ...
3.2 Cara Lain Menentukan FPB dan Kombinasi Linear Definisi 3.3 dan Dalil 3.5
Definisi 3.3 dan Dalil 3.5
Definisi 3.3
Jika x, ...
3.3 Persamaan Diophantine Linear Teorema Dan Bukti
Teorema Dan Bukti
Teorema
Persamaan Diophantine Linear ax + by = c dika...
3.3 Persamaan Diophantine Linear Teorema Dan Bukti
(y0 − y) = rt, untuk suatu bilangan bulat t.
x − x0 = st
x = x0 + st
x ...
3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.1 Ciri Habis Dibagi 2 Dan Contoh
3.4.1 Ciri Habis Dibagi 2 Dan Contoh
Ciri Habis Dibagi 2
P...
3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.2 Ciri Habis Dibagi 3 Dan Contoh
3.4.2 Ciri Habis Dibagi 3 Dan Contoh
Ciri Habis Dibagi 3
P...
3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.3 Ciri Habis Dibagi 4 Dan Contoh
3.4.3 Ciri Habis Dibagi 4 Dan Contoh
Ciri Habis Dibagi 4
P...
3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.4 Ciri Habis Dibagi 5 Dan Contoh
3.4.4 Ciri Habis Dibagi 5 Dan Contoh
Ciri Habis Dibagi 5
P...
3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.5 Ciri Habis Dibagi 6 Dan Contoh
3.4.5 Ciri Habis Dibagi 6 Dan Contoh
Ciri Habis Dibagi 6
J...
3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.6 Ciri Habis Dibagi 7 Dan Contoh
3.4.6 Ciri Habis Dibagi 7 Dan Contoh
Cara Pertama
Bilangan...
3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.6 Ciri Habis Dibagi 7 Dan Contoh
Cara Ketiga
Perhatikan
N = ak.10k + ak−1.10k−1 + ak−2.10k−...
3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.7 Ciri Habis Dibagi 8 Dan Contoh
3.4.7 Ciri Habis Dibagi 8 Dan Contoh
Ciri Habis Dibagi 8
P...
3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.8 Ciri Habis Dibagi 9 Dan Contoh
3.4.8 Ciri Habis Dibagi 9
Ciri Habis Dibagi 9
Dari uraian ...
3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.8 Ciri Habis Dibagi 9 Dan Contoh
Contoh
Contoh
Selidiki apakah 142323331011 habis dibagi 3 ...
3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.9 Ciri Habis Dibagi 10
3.4.9 Ciri Habis Dibagi 10
Ciri Habis Dibagi 10
Perhatikan
N = ak.10...
3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.10 Ciri Habis Dibagi 11
3.4.10 Ciri Habis Dibagi 11
Ciri Habis Dibagi 11
Perhatikan
N = ak....
3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.11 Ciri Habis Dibagi 16 Dan Contoh
3.4.11 Ciri Habis Dibagi 16
Ciri Habis Dibagi 16
Perhati...
3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.11 Ciri Habis Dibagi 16 Dan Contoh
Contoh
Contoh
Selidiki apakah bilangan 1212646 habis dib...
3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi
3.4.12 Ciri-Ciri Habis Dibagi Bilangan Prima Dan
Contoh
3.4.12 Ciri-Ciri Habis Dibagi Bilangan ...
3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi
3.4.12 Ciri-Ciri Habis Dibagi Bilangan Prima Dan
Contoh
Contoh
Contoh
Mencari Pengali dari pemb...
3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi
3.4.12 Ciri-Ciri Habis Dibagi Bilangan Prima Dan
Contoh
(Teori Bilangan) Keterbagian March 20, ...
Nächste SlideShare
Wird geladen in …5
×

13

Teilen

Herunterladen, um offline zu lesen

Teori bilangan keterbagian

Herunterladen, um offline zu lesen

Keterbagian

Ähnliche Bücher

Kostenlos mit einer 30-tägigen Testversion von Scribd

Alle anzeigen

Ähnliche Hörbücher

Kostenlos mit einer 30-tägigen Testversion von Scribd

Alle anzeigen

Teori bilangan keterbagian

  1. 1. KETERBAGIAN Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara Medan 2015 (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 1 / 28
  2. 2. Kelompok 3 Suindriani(130803034) Defen Putra Sianipar(130803038) Fitri Widiyawati(130803040) Ferninda (130803042) Puspita Ningsih Harahap (130803044) Helmy Chairani Siregar (1308003046) Agelh Naomi Clarissa (130803048) Aris Handiyoko Sibuea (130803050) (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 2 / 28
  3. 3. Outline I 1 3.1 Keterbagian Dalam Bilangan Bulat Definisi 3.1 Dalil 3.1 dan Dalil 3.2 Dalil 3.3 dan Definisi 3.2 Dalil 3.4 2 3.2 Cara Lain Menentukan FPB dan Kombinasi Linear Definisi 3.3 dan Dalil 3.5 3 3.3 Persamaan Diophantine Linear Teorema Dan Bukti 4 3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.1 Ciri Habis Dibagi 2 Dan Contoh 3.4.2 Ciri Habis Dibagi 3 Dan Contoh 3.4.3 Ciri Habis Dibagi 4 Dan Contoh 3.4.4 Ciri Habis Dibagi 5 Dan Contoh 3.4.5 Ciri Habis Dibagi 6 Dan Contoh (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 3 / 28
  4. 4. Outline II 3.4.6 Ciri Habis Dibagi 7 Dan Contoh 3.4.7 Ciri Habis Dibagi 8 Dan Contoh 3.4.8 Ciri Habis Dibagi 9 Dan Contoh 3.4.9 Ciri Habis Dibagi 10 3.4.10 Ciri Habis Dibagi 11 3.4.11 Ciri Habis Dibagi 16 Dan Contoh 3.4.12 Ciri-Ciri Habis Dibagi Bilangan Prima Dan Contoh (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 4 / 28
  5. 5. 3.1 Keterbagian Dalam Bilangan Bulat Definisi 3.1 Definisi 3.1 Definisi 3.1 Suatu bilangan bulat x dikatakan habis dibagi oleh suatu bilangan bulat a = 0, jika terdapat satu bilangan bulat q sedemikian sehingga b = qa. Jika hal ini dipenuhi maka a dikatakan membagi b dan dinotasikan dengan a|b, dapat dibaca : 1 a membagi b 2 a adalah pembagi b 3 a adalah faktor (pembagi) b 4 b adalah kelipatan a Jika a tidak membagi b dinotasikan dengan a + b. Berarti mempunyai sisa selain 0 yang merupakan residu dari pembagian tersebut, dapat dirumuskan seperti berikut. Jika b = qa + r dengan 0 < r < a, maka b disebut bilangan yang dibagi (devidend) a disebut bilangan pembagi (devisor/faktor) q disebut bilangan hasil bagi (quotient) r disebut bilangan sisa (reminder/residu) (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 5 / 28
  6. 6. 3.1 Keterbagian Dalam Bilangan Bulat Dalil 3.1 dan Dalil 3.2 Dalil 3.1 dan Dalil 3.2 Dalil 3.1 Jika a, b, c ∈ Z maka berlaku: 1 a|b → a|bc, untuk setiap c ∈ Z. 2 (a|b, b|c) → a|c 3 (a|b, b|a) → a = ± b 4 (a|b, a|c) → a|(b) ± c) 5 (a|b, a|c) → a|(ax + by) untuk setiap x,y ∈ Z 6 (a > 0, b > 0 dan a|b) → a ≤ b 7 (a|b ↔ ma|mb untuk setiap m ∈ Z dan m = 0 8 (a|b dan a|b + c) → a|c Dalil 3.2 (Dalil Algoritma Pembagian) Jika a > 0, dan a,b ∈ Z, maka ada bilangan-bilangan q,r ∈ Z yang masing-masing tunggal (unique) sehingga b = qa + r dengan 0 ≤ r < a. Jika a + b maka r memenuhi ketidaksamaan 0 < r < a. (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 6 / 28
  7. 7. 3.1 Keterbagian Dalam Bilangan Bulat Dalil 3.3 dan Definisi 3.2 Dalil 3.3 dan Definisi 3.2 Dalil 3.3 Jika b = qa + r dengan 0 = r < a, maka b disebut bilangan yang dibagi (devidend) a disebut bilangan pembagi (devisor/faktor) q disebut bilangan hasil bagi (quotient) r disebut bilangan sisa (reminder/residu) Definisi 3.2 Ditentukan x,y ∈ Z yang keduanya tidak bersama-sama bernilai 0, a ∈ Z disebut pembagi persekutuan dari x dan y jika ax dan ay. a ∈ Z disebut pembagi persekutuan terbesar (FPB) dari x dan y jika a adalah bilangan bulat positip terbesar sehingga ax dan ay. (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 7 / 28
  8. 8. 3.1 Keterbagian Dalam Bilangan Bulat Dalil 3.4 Dalil 3.4 Dalil 3.4 1 Jika d = (x, y) maka d adalah bilangan bulat positip terkecil yang mempunyai bentuk umum a0x + b0y dengan a0, b0 ∈ Z . 2 Jika t ∈ Z dan t > 0 , maka (tx, ty) = t(x, y). 3 Jika x, y ∈ Z dan d = (x, y) maka (x d ), (y d ) = 1 . 4 Jika x, y, w ∈ Z, w|xy , dan (y, w) = 1 maka w|x. 5 Jika (x, t) = 1 dan (y, t) = 1 , maka (xy, t) = 1. 6 Ditentukan x, y ∈ Z, (x, y) = d . Ekuivalen dengan d > 0, d|x, d|y dan f|d untuk setiap f pembagi persekutuan x dan y . 7 Untuk setiap a, x, y ∈ Z , berlaku: (x, y) = (y, x) = (x, −y) = (x, y + ax). (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 8 / 28
  9. 9. 3.2 Cara Lain Menentukan FPB dan Kombinasi Linear Definisi 3.3 dan Dalil 3.5 Definisi 3.3 dan Dalil 3.5 Definisi 3.3 Jika x, y ∈ Z, x = 0, dan y = 0, maka: M disebut kelipatan persekutuan dari x dan y jika y|m dan x|m. M disebut kelipatan persekutuan terkecil dari x dan y jika m adalah bilangan bulat positip terkecil sehingga x|m dan y|m. Jika m kelipatan pesekutuan terkecil x dan y dinotasikan dengan [x, y] = m. Dalil 3.5 1 Jika x, y ∈ Z, x = 0 , dan y = 0 , maka [x, y] = m ↔ x|m, y|m, m > 0 dan sebarang kelipatan persekutuan n dari x dan y berlaku m|n. 2 Untuk m > 0 berlaku [mx, my] = m[x, y] 3 Jika a dan b adalah sebarang dua bilangan bulat positip dan (a, b) = 1 maka (a, b)[a, b] = a.b 4 Jika a, b sebarang dua bilangan bulat positip, maka (a, b)[a, b] = ab. (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 9 / 28
  10. 10. 3.3 Persamaan Diophantine Linear Teorema Dan Bukti Teorema Dan Bukti Teorema Persamaan Diophantine Linear ax + by = c dikatakan mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika dc dimana d = (a,b), Jika x0 dan y0 adalah sebarang penyelesaian khusus dari ax + by = c Maka seluruh penyelesaian yang lain diberikan oleh x = x0+ (b/d)t dan y = y0(a/d)t, untuk sebarang bilangan bulat t. Bukti : Misal x0 dan y0 adalah penyelesaian persamaan yang diketahui, jika x dan y penyelesaian yang lain maka ax0 + b0 = c = ax + by ↔ a(xx0) = b(y0y) Dengan menggunakan teorema sebelumnya pada Algoritma Pembagian, dimana ada bilangan bulat relatif prima r dan s sehingga a = dr dan b = ds. Sehingga diperoleh r(x − x0) = s(y0 − y). Bentuk ini memberikan fakta bahwa rs(y0 − y). Dengan (r,s) = 1. Dengan menggunakan Lemma Euclid diperoleh r (y0 − y) atau dengan kata lain (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 10 / 28
  11. 11. 3.3 Persamaan Diophantine Linear Teorema Dan Bukti (y0 − y) = rt, untuk suatu bilangan bulat t. x − x0 = st x = x0 + st x = x0 + (b/d)t...........(1) Dengan cara yang sama diperoleh y0y = rt y = y0 − rt y = y0 − (a/d)t.............(2) Dari(1) dan (2) dapat dilihat bahwa: ax + by = a[x0 + (b/d)t] + b[y0 − (a/d)t] = (ax0 + by0) + (ab/dab/d)t = c + 0 = c (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 11 / 28
  12. 12. 3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.1 Ciri Habis Dibagi 2 Dan Contoh 3.4.1 Ciri Habis Dibagi 2 Dan Contoh Ciri Habis Dibagi 2 Perhatikan N = ak.10k + ak−1.10k−1 + ak−2.10k−2 + ak−3.10k−3 + ak−4.10k−4 + .... + a1.10 + a0. Dimana 2|10 → 2|a1.10 2|10 → 2|10.10 → 2|102 → 2|a2.102 2|10 → 2|100.10 → 2|103 → 2|a3.103 ................................................................................... 2|10 → ..................................................2|ak.10k. Kesimpulan : suatu bilangan asli N habis dibagi 2 jika angka terakhir lambang bilangan N (yaitu a0) habis dibagi 2. Jadi haruslah a0 bilangan genap. Contoh Selidiki apakah 435655433216 habis dibagi 2 ? Jawab : Karena angka terakhir dari N = 435655433216 adalah bilangan 6 (genap) dan 26, maka 2435655433216. (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 12 / 28
  13. 13. 3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.2 Ciri Habis Dibagi 3 Dan Contoh 3.4.2 Ciri Habis Dibagi 3 Dan Contoh Ciri Habis Dibagi 3 Perhatikan N = ak.10k + ak−1.10k−1 + ak−2.10k−2 + ak−3.10k−3 + ak−4.10k−4 + .... + a1.10 + a0. Dimana 3|9 → 3|a1.9 3|9 → 3|11.9 → 3|99 → 3|a2.99 3|9 → 3|111.9 → 3|999 → 3|a3.999 ............................................................................ 3|9 → .......................................3|ak.999...9 sehingga 3|ak.999...9, ..., 3a3.999, 3|a2.99, 3|a1.9 Kesimpulan : suatu bilangan bulat N habis dibagi 3 jika jumlah angka-angka dari lambang bilangan N habis dibagi 3. Contoh Selidiki apakah 3462 habis dibagi 3 ? Jawab : Misal N = 3462 = (a3a2a1a0). Dan a3 + a2 + a1 + a0 = 3 + 4 + 6 + 2 = 15. Karena 3|15 maka 3|3462. (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 13 / 28
  14. 14. 3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.3 Ciri Habis Dibagi 4 Dan Contoh 3.4.3 Ciri Habis Dibagi 4 Dan Contoh Ciri Habis Dibagi 4 Perhatikan N = ak.10k + ak−1.10k−1 + ak−2.10k−2 + ak−3.10k−3 + ak−4.10k−4 + .... + a1.10 + a0. Dimana 4|100 → 4|102 → 4|a2.102 4|100 → 4|10.100 → 4|103 → 4|a3.103 4|100 → 4|100.100 → 4|104 → 4|a4.104 .................................................................................... 4|100 → ...............................................4|ak.10k Kesimpulan : suatu bilangan asli N habis dibagi 4 jika bilangan yang dibentuk oleh dua angka terakhir dari lambang bilangan N habis dibagi 4. Contoh Selidiki apakah 435655433216 habis dibagi 4 ? Jawab : Misal N = 435655433216 = (a11a10a9a8a7a6a5a4a3a2a1a0) , dan dua angka terakhir dari Na1 = 1 dan a0 = 6, sehingga diperoleh bilangan 16 dan 4|16 , maka 4435655433216. (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 14 / 28
  15. 15. 3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.4 Ciri Habis Dibagi 5 Dan Contoh 3.4.4 Ciri Habis Dibagi 5 Dan Contoh Ciri Habis Dibagi 5 Perhatikan N = ak.10k + ak−1.10k−1 + ak−2.10k−2 + ak−3.10k−3 + ak−4.10k−4 + .... + a1.10 + a0. Dimana 5|10 → 5|a1.10 5|10 → 5|10.10 → 5|102 → 5|a2.102 5|10 → 5|100.10 → 5|103 → 5|a3.103 5|10 → 5|1000.10 → 5|104 → 5|a4.104 .................................................................................... 5|10 → .................................................5|ak.10k Kesimpulan : suatu bilangan asli N habis dibagi 5 jika angka terakhir lambang bilangan N adalah 0 atau 5. Contoh Bilangan 450980 habis dibagi 5 karena angka terakhir dari 450980 adalah 0 dan 5|0, sehingga 5|450980. (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 15 / 28
  16. 16. 3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.5 Ciri Habis Dibagi 6 Dan Contoh 3.4.5 Ciri Habis Dibagi 6 Dan Contoh Ciri Habis Dibagi 6 Jika diketahui 6|N, maka 6 merupakan pembagi (faktor) dari N, sehingga: N = 6k untuk k ∈ Z. N = 6k dan 6 = 2.3, maka N = (2.3)k N = 2(3.k) → 2|N N = 3(2.k) → 3|N Jadi suatu bilangan bulat N habis dibagi 6 jika N habis dibagi oleh 2 dan 3. Dengan kata lain suatu bilangan N habis dibagi 6 jika angka terakhir adalah genap dan jumlah angka-angka dari lambang bilangan N habis dibagi 3. Contoh Selidiki apakah 4356 habis dibagi 6 ? 4356 habis dibagi 2 , karena angka terakhir dari bilangan 4356 yaitu 6 habis dibagi 2 , sehingga 2|4356, 4 + 3 + 5 + 6 = 18 , dan 3|18 , maka 3|4356. Karena 2|4356 dan 3|4356 maka 6|4356. (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 16 / 28
  17. 17. 3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.6 Ciri Habis Dibagi 7 Dan Contoh 3.4.6 Ciri Habis Dibagi 7 Dan Contoh Cara Pertama Bilangan yang habis dibagi oleh 7, bila bagian satuan dari bilangan tersebut dikalikan 2, dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa, demikian seterusnya, bila bilangan habis dibagi 7, berarti bilangan tersebut habis dibagi 7. Apakah bilangan sisa tersebut tidak merupakan kelipatan tujuh, tidak berati angka tersebut merupakan sisa. Contoh : Apakah 7161 habis dibagi 7 ? Dipisahkan 1 (satuan dari bilangan) 716 − 2x(1) = 714 71 − 2x(4) = 63 habis dibagi 7. Cara Kedua Perhatikan N = ak.10k + ak−1.10k−1 + ak−2.10k−2 + ak−3.10k−3 + ak−4.10k−4 + .... + a1.10 + a0. Contoh : Selidiki apakah 1234 habis dibagi 7 ? Misal 1234 = (a3a2a1a0), maka diperoleh a3 = 1, a2 = 2, a1 = 3, a0 = 4.a0 + 3a1 + 2a2 = 4 + 3(3) + 2(2) = 17 dan a3 = 1. Sehingga (a0 + 3a1 + 2a2) − a3 = 171 = 6. Karena 7 + 2, maka 7 + 1234. (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 17 / 28
  18. 18. 3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.6 Ciri Habis Dibagi 7 Dan Contoh Cara Ketiga Perhatikan N = ak.10k + ak−1.10k−1 + ak−2.10k−2 + ak−3.10k−3 + ak−4.10k−4 + .... + a1.10 + a0. Atau dapat ditulis bilangan N = (akak−1ak−2ak−3ak−4....a1a0). (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 18 / 28
  19. 19. 3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.7 Ciri Habis Dibagi 8 Dan Contoh 3.4.7 Ciri Habis Dibagi 8 Dan Contoh Ciri Habis Dibagi 8 Perhatikan N = ak.10k + ak−1.10k−1 + ak−2.10k−2 + ak−3.10k−3 + ak−4.10k−4 + .... + a1.10 + a0. Dimana 8|1000 → 8|103 → 8|a3.103 8|1000 → 8|10.1000 → 8|104 → 8|a4.104 8|1000 → 8|100.1000 → 8|105 → 8|a5.105 ....................................................................................... 8|1000 → .................................................8|ak.10k. Kesimpulan : suatu bilangan asli N habis dibagi 8 jika bilangan yang dibentuk oleh tiga angka terakhir dari lambang bilangan N habis dibagi 8. Contoh Selidiki apakah 435655433242 habis dibagi 8 ? Jawab : Misal N = 435655433242 = (a11a10a9a8a7a6a5a4a3a2a1a0) , dan tiga angka terakhir dari N adalah a2 = 2, a1 = 4 dan a0 = 2, sehingga diperoleh bilangan 242 dan dan 8|242. Jadi 8|435655433242. (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 19 / 28
  20. 20. 3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.8 Ciri Habis Dibagi 9 Dan Contoh 3.4.8 Ciri Habis Dibagi 9 Ciri Habis Dibagi 9 Dari uraian pembagian dengan bilangan 3 diketahui bahwa: N = ak.10k + ak−1.10k−1 + ak−2.10k−2 + ak−3.10k−3 + ak−4.10k−4 + .... + a1.10 + a0. = (a3.999...9 + ... + a3.999 + a2.99 + a1.9) + (ak + ... + a3 + a2 + a1 + a0) Dimana 9|9 → 9|a1.9 9|9 → 9|11.9 → 9|99 → 9|a2.99 9|9 → 9|111.9 → 9|999 → 9|a3.999 ........................................................................... 9|9 → ......................................, , 9ak.999...9. Kesimpulan : suatu bilangan bulat N habis dibagi 9 jika jumlah angka-angka dari lambang bilangan N habis dibagi 9. (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 20 / 28
  21. 21. 3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.8 Ciri Habis Dibagi 9 Dan Contoh Contoh Contoh Selidiki apakah 142323331011 habis dibagi 3 dan 9 ? N = 142323331011 → (a11a10a9a8a7a6a5a4a3a2a1a0) a11 + a10 + a9 + a8 + a7 + a6 + a5 + a4 + a3 + a2 + a1 + a0 = 1 + 4 + 2 + 3 + 2 + 3 + 3 + 3 + 1 + 0 + 1 + 1 = 24. Karena 3|24 maka 3|142323331011. Karena 9 + 24 maka 3 + 142323331011. (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 21 / 28
  22. 22. 3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.9 Ciri Habis Dibagi 10 3.4.9 Ciri Habis Dibagi 10 Ciri Habis Dibagi 10 Perhatikan N = ak.10k + ak−1.10k−1 + ak−2.10k−2 + ak−3.10k−3 + ak−4.10k−4 + .... + a1.10 + a0. Dimana 10|10 → 10|a1.10 10|10 → 10|10.10 → 10|102 → 10|a2.102 10|10 → 10|100.10 → 10|103 → 10|a3.103 10|10 → 10|1000.10 → 10|104 → 10|a4.104 ...................................................................................... 10|10 → ...............................................10ak.10k. Kesimpulan : Suatu bilangan asli N habis dibagi 10 jika angka terakhir lambang bilangan N (yaitu a0) adalah 0. (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 22 / 28
  23. 23. 3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.10 Ciri Habis Dibagi 11 3.4.10 Ciri Habis Dibagi 11 Ciri Habis Dibagi 11 Perhatikan N = ak.10k + ak − 1.10k−1 + ak−2.10k−2 + ak−3.10k−3 + ak−4.10k−4 + .... + a1.10 + a0 Dimana a1.10 = a1(111) = 11a1 − a1 a2.102 = a2.100 = a2(99 + 1) = 99a2 + a2 a3.103 = a3.1000 = a3(1001 − 1) = 1001a3 − a3 a4.104 = a4.10000 = a4(9999 + 1) = 9999a4 + a4 a5.105 = a5.100000 = a5(100001 − 1) = 100001a5 − a5 dan seterusnya. Kesimpulan : Bilangan N = (akak−1ak−2ak−3ak−4....a1a0) habis dibagi 11 jika selisih jumlah angka-angka pada urutan genap dengan jumlah angka pada urutan ganjil habis dibagi 11. (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 23 / 28
  24. 24. 3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.11 Ciri Habis Dibagi 16 Dan Contoh 3.4.11 Ciri Habis Dibagi 16 Ciri Habis Dibagi 16 Perhatikan N = ak.10k + ak−1.10k−1 + ak−2.10k−2 + ak−3.10k−3 + ak−4.10k−4 + .... + a1.10 + a0 Dimana 16|10000 → 16|104 → 16|a4.104 16|10000 → 16|10.10000 → 16|105 → 16|a5.105 16|10000 → 16|100.10000 → 16|106 → 16|a6.106 ............................................................................................. 16|10000 → .......................................................16ak.10k. Kesimpulan : Suatu bilangan asli N habis dibagi 16 jika bilangan yang dibentuk oleh empat angka terakhir dari lambang bilangan N habis dibagi 16. (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 24 / 28
  25. 25. 3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.11 Ciri Habis Dibagi 16 Dan Contoh Contoh Contoh Selidiki apakah bilangan 1212646 habis dibagi 2, 4, 8, dan 16 ? 1212646 = (a4a3a2a1a0) Karena (a0) = 6 dan 26 maka 21212646 Karena (a1a0) = 46 dan 4|46 maka 4 + 1212646 Karena (a2a1a0) = 646 dan 8 + 646 maka 4 + 1212646 Karena (a3a2a1a0) = 2646 dan 16 + 2646 maka 16 + 1212646. (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 25 / 28
  26. 26. 3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.12 Ciri-Ciri Habis Dibagi Bilangan Prima Dan Contoh 3.4.12 Ciri-Ciri Habis Dibagi Bilangan Prima Ciri Habis Dibagi Bilangan Prima Berdasarkan hasil pembagian dengan bilangan 7 dan 11 dapat diketahui bahwa secara bertahap, bilangan yang diselidiki direduksi menjadi suatu bilangan yang dengan mudah dapat ditentukan habis dibagi 7 atau 11. Untuk proses reduksi, dalam penyelidikan setiap bilangan yang habis dibagi 7 maupun 11 digunakan suatu pengali (multiplier) yaitu 2 untuk pembagian 7 dan 1 untuk pembagian 11. Untuk bilangan prima yang lebih dari 11, dengan proses uraian seperti pembagian 7 dan 11 dapat dicari pengali-pengali yang sesuai.Sebagai contoh pengali dari pembagian 13 adalah 9. (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 26 / 28
  27. 27. 3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.12 Ciri-Ciri Habis Dibagi Bilangan Prima Dan Contoh Contoh Contoh Mencari Pengali dari pembagian 13. N = (akak−1ak−2ak−3ak−4...a1a0) 13|91 maka 13|91a0 13|N dan 13|91a0. → 13N − 91a0. ↔ 13|(akak−1ak−2ak−3ak−4...a1a0) − 91a0. ↔ 13|10(akak−1ak−2ak−3ak−4...a1 − 9a0) Karena (13, 10) = 1, maka 13|(akak−1ak−2ak−3ak−4...a1 − 9a0). Dari hasil ini jelaslah bahwa pengali untuk pembagian oleh 13 adalah 9. (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 27 / 28
  28. 28. 3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.12 Ciri-Ciri Habis Dibagi Bilangan Prima Dan Contoh (Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 28 / 28
  • HilmiZaki2

    May. 10, 2021
  • IrmaMagfirah1

    Oct. 13, 2020
  • bangmis

    May. 1, 2020
  • AwaluddinAwaluddin

    Jan. 27, 2020
  • BellaLoey

    Nov. 29, 2019
  • RissaJunita1

    Nov. 1, 2019
  • AuliaListyaWulandari

    Sep. 26, 2019
  • SalsabilaPutriamanda

    Aug. 26, 2019
  • LisaKim39

    Feb. 11, 2019
  • ZahrotulIlmiyahIskhak

    Sep. 25, 2018
  • Aiyub27

    Mar. 23, 2018
  • ArsyaKaukabi

    Jan. 17, 2018
  • SilfiaMakaluase

    Apr. 12, 2017

Keterbagian

Aufrufe

Aufrufe insgesamt

28.379

Auf Slideshare

0

Aus Einbettungen

0

Anzahl der Einbettungen

1

Befehle

Downloads

251

Geteilt

0

Kommentare

0

Likes

13

×