O documento discute computação numérica utilizando máquinas de Turing. Primeiramente, apresenta como máquinas de Turing podem ser usadas para calcular funções numéricas, representando números na fita através de sequências de 1s. Em seguida, mostra exemplos de funções numéricas como sucessor, zero e adição, e como elas podem ser computadas por máquinas de Turing. Por fim, discute como operações sequenciais de funções podem ser representadas por uma única máquina de Turing através da composição de suas partes

1. Fernando Simeone
Computação
Numérica
1 1 1 1 1… …

2. Sumário
1. Cálculo de Funções
2. Computação Numérica
3. Operações Sequenciais
4. Criando uma Linguagem de Programação
5. Considerações Finais

3. Cálculo de
Funções1

4. Máquina de Turing
Reconhecimento de Linguagens
MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0)
q0 qs
qn
q1
q2
B a c c b B B B B B B… …Entrada:

5. Máquina de Turing
Reconhecimento de Linguagens
MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0)
q0 qs
qn
q1
q2
B a c c b B B B B B B… …
x Não aceita
✓ Aceita
Entrada:

6. Máquina de Turing
Cálculo de Funções
MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf)
q0 qf
Fim da
computação
B a c c b B B B
Entrada:
M

7. Máquina de Turing
Cálculo de Funções
MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf)
q0 qf
Fim da
computação
B a c c b B B B
Entrada:
B a a B B B B B
Resultado:
M

8. Máquina de Turing
Cálculo de Funções (Turing computáveis)
MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf)
q0 qf
Fim da
computação
B a c c b B B B
Entrada:
B B B B B B B B
Resultado:
q1 q2
(B, B, ➞)
(B, B, ➞)
(b, b, ➞)
(b, b, ➞)
(a, a, ➞)
(a, a, ➞) (B, B, ➞)
(b, B, ➞)
(a, B, ➞)

9. Máquina de Turing
Cálculo de Funções
MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf) computa f: ∑* ⟶ ∑*
q0 qfq1 q2
(B, B, ➞)
(B, B, ➞)
(b, b, ➞)
(b, b, ➞)
(a, a, ➞)
(a, a, ➞) (B, B, ➞)
(b, B, ➞)
(a, B, ➞)

10. Máquina de Turing
Cálculo de Funções
MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf) computa f: ∑* ⟶ ∑*
q0 qfq1 q2
(B, B, ➞)
(B, B, ➞)
(b, b, ➞)
(b, b, ➞)
(a, a, ➞)
(a, a, ➞) (B, B, ➞)
(b, B, ➞)
(a, B, ➞)
• Apenas uma transição partindo do estado q0: δ(q0,B) = [qi, B, ➞];

11. Máquina de Turing
Cálculo de Funções
MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf) computa f: ∑* ⟶ ∑*
q0 qfq1 q2
(B, B, ➞)
(B, B, ➞)
(b, b, ➞)
(b, b, ➞)
(a, a, ➞)
(a, a, ➞) (B, B, ➞)
(b, B, ➞)
(a, B, ➞)
• Apenas uma transição partindo do estado q0: δ(q0,B) = [qi, B, ➞];
• Não há transições que retornam para q0;

12. Máquina de Turing
Cálculo de Funções
MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf) computa f: ∑* ⟶ ∑*
q0 qfq1 q2
(B, B, ➞)
(B, B, ➞)
(b, b, ➞)
(b, b, ➞)
(a, a, ➞)
(a, a, ➞) (B, B, ➞)
(b, B, ➞)
(a, B, ➞)
• Apenas uma transição partindo do estado q0: δ(q0,B) = [qi, B, ➞];
• Não há transições que retornam para q0;
• Não há transições na forma δ(qf,B);

13. Máquina de Turing
Cálculo de Funções
MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf) computa f: ∑* ⟶ ∑*
q0 qfq1 q2
(B, B, ➞)
(B, B, ➞)
(b, b, ➞)
(b, b, ➞)
(a, a, ➞)
(a, a, ➞) (B, B, ➞)
(b, B, ➞)
(a, B, ➞)
• Apenas uma transição partindo do estado q0: δ(q0,B) = [qi, B, ➞];
• Não há transições que retornam para q0;
• Não há transições na forma δ(qf,B);
• A MT com entrada u para com configuração q0
BvB se f(u) = v;

14. Máquina de Turing
Cálculo de Funções
MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf) computa f: ∑* ⟶ ∑*
q0 qfq1 q2
(B, B, ➞)
(B, B, ➞)
(b, b, ➞)
(b, b, ➞)
(a, a, ➞)
(a, a, ➞) (B, B, ➞)
(b, B, ➞)
(a, B, ➞)
• Apenas uma transição partindo do estado q0: δ(q0,B) = [qi, B, ➞];
• Não há transições que retornam para q0;
• Não há transições na forma δ(qf,B);
• A MT com entrada u para com configuração q0
BvB se f(u) = v;
• A MT não pára se f(u) for indefinido.

15. Máquina de Turing
Lendo argumentos e escrevendo resultado

16. Máquina de Turing
Lendo argumentos e escrevendo resultado
B a b B B B B B B B B B b a B B
• f(ab) = ba
Entrada Resultado

17. Máquina de Turing
Lendo argumentos e escrevendo resultado
B a b B B B B B B B B B b a B B
• f(ab) = ba
Entrada Resultado
B a b B c c B b a c B B a b B B
• f(ab, cc, bac) = ab
Entrada Resultado

18. Máquina de Turing
Lendo argumentos e escrevendo resultado
B a b B B B B B B B B B b a B B
• f(ab) = ba
Entrada Resultado
B a b B c c B b a c B B a b B B
• f(ab, cc, bac) = ab
Entrada Resultado
B a b B B b a c B B B B B B B B
• f(ab, λ, bac) = λ
Entrada Resultado

19. Cálculo de Funções
Exemplo: concatenando palavras
q0 q1
(B, B, ➞)
q2
q5
q3
q4
q6
qf
(b, b, ➞)
(a, a, ➞)
(B, B, ➞)
(a, B, ←) (B, a, ➞)
(b, B, ←) (B, b, ➞)
(B, B, ➞)
(B, B, ←)
(B, B, ←)
(b, b, ←)
(a, a, ←)
B a b B b a B
Entrada Resultado
B a b b a B B

20. Computação
Numérica2

21. Funções Numéricas

22. Funções Numéricas
• f: N × N × N × … × N ⟶ N

23. Funções Numéricas
• f: N × N × N × … × N ⟶ N
• Exemplos

24. Funções Numéricas
• f: N × N × N × … × N ⟶ N
• Exemplos
• sq(n) = n2

25. Funções Numéricas
• f: N × N × N × … × N ⟶ N
• Exemplos
• sq(n) = n2
• db(n) = 2n

26. Funções Numéricas
• f: N × N × N × … × N ⟶ N
• Exemplos
• sq(n) = n2
• db(n) = 2n
• add(x, y) = x + y

27. Representação
Como representar números na fita

28. Representação
• n = 1n+1
Como representar números na fita

29. Representação
• n = 1n+1
• 0 = 1
Como representar números na fita

30. Representação
• n = 1n+1
• 0 = 1
• 1 = 11
Como representar números na fita

31. Representação
• n = 1n+1
• 0 = 1
• 1 = 11
• 2 = 111
Como representar números na fita

32. Representação
Como representar números na fita

33. Representação
Como representar números na fita
B 1 1 1 B B B B B B B B 1 1 B B
• f(2) = 1
Entrada Resultado

34. Representação
Como representar números na fita
B 1 1 1 B B B B B B B B 1 1 B B
• f(2) = 1
Entrada Resultado
B 1 1 1 1 B 1 B B B B B 1 1 1 B
• f(3, 0) = 2
Entrada Resultado

35. Cálculo Funções Numéricas
Sucessor
q0 q1
(B, B, ➞)
qf
(1, 1, ➞)
(B, 1, ➞)
(1, 1, ←)
B 1 1 1 B B B
Entrada Resultado
B 1 1 1 1 B B
S:
• s(n) = n + 1

36. Cálculo Funções Numéricas
Zero
q0 q1
(B, B, ➞)
qf
(1, 1, ➞)
(B, B, ←)
B 1 1 1 B B B
Entrada Resultado
B 1 B B B B B
Z:
• z(n) = 0
q2
(1, B, ←)
(B, B, ➞) (B, 1, ←)
q3

37. Cálculo Funções Numéricas
Adição
q0 q1
(B, B, ➞)
qf
(1, 1, ➞)
(B, 1, ➞)
Entrada Resultado
B 1 1 1 1 B B
A:
• a(n, m) = n + m
q2
(1, 1, ➞)
(B, B, ←) (1, B, ←)
q3
(1, B, ←)
q4
(1, 1, ←)
B 1 1 B 1 1 1 B

38. Cálculo Funções Numéricas
Decremento
q0 q1
(B, B, ➞)
qf
(1, 1, ➞)
Entrada Resultado
B 1 1 B B B B
D:
• a(n) = n - 1
q2
(1, 1, ➞)
(1, 1, ➞)
(B, B, ←)
q3
(B, B, ←)
q4
(1, 1, ←)
B 1 1 1 B B B B
(1, B, ←)

39. Operações
Sequenciais3

40. Operações Sequenciais
Com máquinas de Turing
qs,0
qs,1
(B, B, ➞)
qs,f
(1, 1, ➞)
(B, 1, ➞)
(1, 1, ←)
S:
qz,0
qz,1
(B, B, ➞)
qz,f
(1, 1, ➞)
(B, B, ←)
Z: qz,2
(1, B, ←)
(B, B, ➞) (B, 1, ←)
qz,3
Zero
Sucessor
z(n) = 0
s(n) = n + 1

41. Operações Sequenciais
Com máquinas de Turing
qs,0
qs,1
(B, B, ➞)
qs,f
(1, 1, ➞)
(B, 1, ➞)
(1, 1, ←)
S:
qz,0
qz,1
(B, B, ➞)
qz,f
(1, 1, ➞)
(B, B, ←)
Z: qz,2
(1, B, ←)
(B, B, ➞) (B, 1, ←)
qz,3
Zero
Sucessor
z(n) = 0
s(n) = n + 1

42. Operações Sequenciais
Com máquinas de Turing
qs,1
(B, B, ➞)
qs,f
(1, 1, ➞) (B, 1, ➞)
(1, 1, ←)
qz,0
qz,1
(B, B, ➞)
qz,f
= qs,0
(1, 1, ➞)
(B, B, ←)
qz,2
(1, B, ←)
(B, B, ➞) (B, 1, ←)
qz,3
s( z(n) ) = 0 + 1 = 1

43. Operações Sequenciais
Com máquinas de Turing
qs,1
(B, B, ➞)
qs,f
(1, 1, ➞) (B, 1, ➞)
(1, 1, ←)
qz,0
qz,1
(B, B, ➞)
qz,f
= qs,0
(1, 1, ➞)
(B, B, ←)
qz,2
(1, B, ←)
(B, B, ➞) (B, 1, ←)
qz,3
s( z(n) ) = 0 + 1 = 1

44. Operações Sequenciais
Macros
*
f(n) = s( z(n) )
Z * S *F:

45. Operações Sequenciais
Macros
*
f(n) = s( z(n) )
Z * S *
• Nem todas as computações irão iniciar com a cabeça de leitura na
posição 0 da fita;
F:

46. Operações Sequenciais
Macros
*
f(n) = s( z(n) )
Z * S *
• Nem todas as computações irão iniciar com a cabeça de leitura na
posição 0 da fita;
F:

47. Operações Sequenciais
Macros
*
f(n) = s( z(n) )
Z * S *
• Nem todas as computações irão iniciar com a cabeça de leitura na
posição 0 da fita;
• Toda computação deve iniciar lendo o símbolo branco (B) da fita.
F:

48. Macros
Notação utilizada
B n1 B n2 B … B nk B

49. Macros
Notação utilizada
B n1 B n2 B … B nk B
k-ésimo número na fita"
(sequência de 1s)

50. Macros
Notação utilizada
B n1 B n2 B … B nk B
k-ésimo número na fita"
(sequência de 1s)
B 1 1 B 1 1 1 B B
Exemplo:
{
{
n1 n2

51. Macros
Exemplo
MRk B n1 B n2 B … B nk B
Move Right
B n1 B n2 B … B nk B

52. Macros
Exemplo
q0 q1
(B, B, ➞)
qf
(1, 1, ➞)
(B, B, ➞)
MR2:
(1, 1, ➞)
MRk B n1 B n2 B … B nk B
Move Right
B n1 B n2 B … B nk B

53. Macros
Exemplo
q0 q1
(B, B, ➞)
qf
(1, 1, ➞)
(B, B, ➞)
MR2:
(1, 1, ➞)
MRk B n1 B n2 B … B nk B
Move Right
B n1 B n2 B … B nk B
q0 q1
(B, B, ➞)
qf
(1, 1, ➞)
(B, B, ➞)
MRk:
(1, 1, ➞)
(B, B, ➞)
qk-1
(1, 1, ➞)
…
(B, B, ➞)

54. Macros
MRk B n1 B n2 B … B nk B
Move Right
B n1 B n2 B … B nk B

55. Macros
MRk B n1 B n2 B … B nk B
Move Right
B n1 B n2 B … B nk B
MLk B n1 B n2 B … B nk B
Move Left
B n1 B n2 B … B nk B

56. Macros
MRk B n1 B n2 B … B nk B
Move Right
B n1 B n2 B … B nk B
MLk B n1 B n2 B … B nk B
Move Left
B n1 B n2 B … B nk B
FR B B B n1 B n2 B B
Find Right
B B B n1 B n2 B B

57. Macros
MRk B n1 B n2 B … B nk B
Move Right
B n1 B n2 B … B nk B
MLk B n1 B n2 B … B nk B
Move Left
B n1 B n2 B … B nk B
FR B B B n1 B n2 B B
Find Right
B B B n1 B n2 B B
FL
Find Left
B BB n1 B n2 B B B BB n1 B n2 B B

58. Macros
MRk B n1 B n2 B … B nk B
Move Right
B n1 B n2 B … B nk B
MLk B n1 B n2 B … B nk B
Move Left
B n1 B n2 B … B nk B
FR B B B n1 B n2 B B
Find Right
B B B n1 B n2 B B
FL
Find Left
B BB n1 B n2 B B B BB n1 B n2 B B
Ek
Erase
B B B B B … B B BB n1 B n2 B … B nk B

59. Macros
CPYk
Copy
B n1 B n2 B … B nk B B B B B … B B B
B n1 B n2 B … B nk B n1 B n2 B … B nk B

60. Macros
CPYk
Copy
B n1 B n2 B … B nk B B B B B … B B B
B n1 B n2 B … B nk B n1 B n2 B … B nk B
CPYk, i
Copy
B n1 B … B nk B B nk+i… B B B … B B B
B n1 B … B nk B B nk+i… B n1 B … B nk B

61. Macros
CPYk
Copy
B n1 B n2 B … B nk B B B B B … B B B
B n1 B n2 B … B nk B n1 B n2 B … B nk B
CPYk, i
Copy
B n1 B … B nk B B nk+i… B B B … B B B
B n1 B … B nk B B nk+i… B n1 B … B nk B
T B B B n1 B B B B
Translate
B BBn1 B B B B

62. Macros
BRN
Branch on zero
B n1 B n2 B … B nk B B n1 B n2 B … B nk B
* BRN
n = 0
n > 0
*
*

63. INT
Interchange
B n B m B B B
* * E1 * T * MR1 * T * ML1 *CPY1,1
B m B n B B B
Utilizando outras macros
Macros

64. * * MR1 * * A * ML1 * A *CPY1
Exemplo de utilização
Macros
• f(n) = 3n
CPY1

65. Exemplo de utilização
Macros
T
*
E1 * ML1 *q
0
(B, B, ➞)
q
1
(1, 1, ➞)
q
2
(B, B, ➞)
E1
*
T
q
3
CPY1
*
q
5
q
4
ML1A *MR1 *CPY1,1
q
8
q
7
q
6
*
MULT:
(1, X, ➞)
(1, 1, ➞)
(B, B, ➞)
(B, B, ←)
(X, B, ←) (B, B, ➞)
(X, B, ←)
(1, B, ←)
(1, 1, ←)
(1, 1, ←)
(X, X, ➞)(1, X, ➞)
(1, 1, ➞)
(B, B, ➞)

66. Criando uma
Linguagem de
Programação
4

67. Arquitetura
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de
entrada
Variáveis
locais
Registradores e
espaço de trabalho
home

68. B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
Início

69. INIT v Inicializa variável local
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
Início

70. INIT v Inicializa variável local
HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas.
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
Início

71. INIT v Inicializa variável local
HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas.
LOAD v Carrega a variável
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
Início

72. INIT v Inicializa variável local
HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas.
LOAD v Carrega a variável
STOR v Armazena o valor do registrador
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
Início

73. INIT v Inicializa variável local
HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas.
LOAD v Carrega a variável
STOR v Armazena o valor do registrador
RETURN v Limpa todas as variáveis deixando o valor de
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
Início

74. INIT v Inicializa variável local
HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas.
LOAD v Carrega a variável
STOR v Armazena o valor do registrador
RETURN v Limpa todas as variáveis deixando o valor de
CLEAR t Limpa o valor do registrador t
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
Início

75. INIT v Inicializa variável local
HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas.
LOAD v Carrega a variável
STOR v Armazena o valor do registrador
RETURN v Limpa todas as variáveis deixando o valor de
CLEAR t Limpa o valor do registrador t
BRN L, t Vai para a instrução L se o valor do registrador t é 0.
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
Início

76. INIT v Inicializa variável local
HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas.
LOAD v Carrega a variável
STOR v Armazena o valor do registrador
RETURN v Limpa todas as variáveis deixando o valor de
CLEAR t Limpa o valor do registrador t
BRN L, t Vai para a instrução L se o valor do registrador t é 0.
GOTO L Executa a instrução L.
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
Início

77. INIT v Inicializa variável local
HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas.
LOAD v Carrega a variável
STOR v Armazena o valor do registrador
RETURN v Limpa todas as variáveis deixando o valor de
CLEAR t Limpa o valor do registrador t
BRN L, t Vai para a instrução L se o valor do registrador t é 0.
GOTO L Executa a instrução L.
NOP “No operation” (utilizada em conjunto com a instruçõ GOTO)
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
Início

78. INIT v Inicializa variável local
HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas.
LOAD v Carrega a variável
STOR v Armazena o valor do registrador
RETURN v Limpa todas as variáveis deixando o valor de
CLEAR t Limpa o valor do registrador t
BRN L, t Vai para a instrução L se o valor do registrador t é 0.
GOTO L Executa a instrução L.
NOP “No operation” (utilizada em conjunto com a instruçõ GOTO)
INC t Incrementa o valor do registrador t.
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
Início

79. INIT v Inicializa variável local
HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas.
LOAD v Carrega a variável
STOR v Armazena o valor do registrador
RETURN v Limpa todas as variáveis deixando o valor de
CLEAR t Limpa o valor do registrador t
BRN L, t Vai para a instrução L se o valor do registrador t é 0.
GOTO L Executa a instrução L.
NOP “No operation” (utilizada em conjunto com a instruçõ GOTO)
INC t Incrementa o valor do registrador t.
DEC t Decrementa o valor do registrador t.
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
Início

80. INIT v Inicializa variável local
HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas.
LOAD v Carrega a variável
STOR v Armazena o valor do registrador
RETURN v Limpa todas as variáveis deixando o valor de
CLEAR t Limpa o valor do registrador t
BRN L, t Vai para a instrução L se o valor do registrador t é 0.
GOTO L Executa a instrução L.
NOP “No operation” (utilizada em conjunto com a instruçõ GOTO)
INC t Incrementa o valor do registrador t.
DEC t Decrementa o valor do registrador t.
ZERO t Substitui o valor do registrador t por 0.
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
Início

81. Instruções
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
home

82. Instruções
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
home
HOME t
MR t

83. Instruções
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
home
INIT vi
MR i - 1
ZR
ML i - 1
HOME t
MR t

84. Instruções
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
home
INIT vi
MR i - 1
ZR
ML i - 1
HOME t
MR t
STOR vi, t
MR t - 2
INT
ML1
INT
MR1
INT
MR 1
ER 1
ML t - 1
( )
( )
t + n - i - 1
t + n - i - 1

85. Instruções
B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …
Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho
home
INIT vi
MR i - 1
ZR
ML i - 1
HOME t
MR t
STOR vi, t
MR t - 2
INT
ML1
INT
MR1
INT
MR 1
ER 1
ML t - 1
( )
( )
t + n - i - 1
t + n - i - 1
LOAD vi, t
ML n - i + 1
CPY 1, n - i + 1 + t
MR n - i + 1

86. Exemplo
INIT v2
INIT v3
HOME 3
LOAD v1,1
STOR v2,1
L1 LOAD v2,1
BRN L2,1
LOAD v1,1
INC
STOR v1,1
LOAD v2,1
DEC
STOR v2,1
GOTO L1
L2 LOAD v1,1
INC
STOR v1,1
RETURN v1
Início
• f(n) = 2n + 1

87. Considerações
Finais5

88. Referências
• SUDKAMP, T. A. Languages and Machines: An
Introduction to the Theory of Computer Science
(3rd Edition). Boston, MA, USA: Addison-
Wesley Longman Publishing Co., Inc., 2005.
ISBN 0321322215.

89. Obrigado
Dúvidas ??