EDUCATIONAL RESOURCE FOR THE ISSUE OF TRIGONOMETRY

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
ÁREA DE POSTGRADO
ESPECIALIZACIÓN EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
MENCIÓN BÁSICA GENERAL
UNIDAD CURRICULAR: TRIGONOMETRÍA Y CÁLCULO
PROFESORA YANNITSA FERNÁNDEZ
GUÍA DE ESTUDIO N° 2.
OBJETIVOS DIDÁCTICOS:
Utilizar conceptos básicos de la geometría plana en el estudio de la
trigonometría.
En esta guía N° 2 trataremos contenidos relacionados con el Teorema de
Pitágoras, triángulo rectángulo, circunferencia y ángulos en el sistema de
coordenadas rectangulares. Estos temas serán fundamentales durante el estudio
de la Trigonometría.
Nota Histórica
En la antigüedad antes del año 100 a. C., inventaron los griegos la Trigonometría
para resolver problemas de astronomía, navegación y geografía. La palabra
“Trigonometría” viene del griego y significa “medida de triángulo”. En su forma
más básica, la Trigonometría es el estudio de las relaciones entre los ángulos y los
lados de un triángulo rectángulo.
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Un triángulo se llama rectángulo si uno de sus ángulos es un ángulo recto, esto
es, un ángulo de 90°. Los otros dos ángulos son necesariamente ángulos agudos
(menores que 90°) ya que la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es
180°. Sea ߠ la letra griega que denota uno de esos ángulos agudos. Se pueden
clasificar los tres lados relativos a ߠ: cateto adyacente, cateto opuesto e
hipotenusa, como se muestra en la figura
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2. Figura 1
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
Figura 2
Dado que el triángulo es un triángulo
rectángulo, el teorema de Pitágoras
dice que
ܿଶ ൌ ܽଶ ൅ ܾଶ
En todo triángulo rectángulo, la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma
de los cuadrados de los catetos.
De la igualdad:
ܿଶ ൌ ܽଶ ൅ ܾଶ
se obtiene la raíz cuadrada en ambos miembros:
׵ ܿ ൌ ඥܽଶ ൅ ܾଶ
En todo rectángulo, cada cateto es igual a la raíz cuadrada del cuadrado de la
hipotenusa, menos el cuadrado del otro cateto.
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3. De la igualdad:
ܿଶ ൌ ܽଶ ൅ ܾଶ
Despejando los catetos:
ܽଶ ൌ ܿଶ െ ܾଶ
ܾଶ ൌ ܿଶ െ ܽଶ
Extrayendo raíz cuadrada:
ܽ ൌ ඥܿଶ െ ܾଶ
ܾ ൌ ඥܿଶ െ ܽଶ
FÓRMULA DE DISTANCIA
Considere dos puntos arbitrarios
ܲଵሺݔଵ, ݕଵሻ y ܲଶሺݔଶ, ݕଶሻ (como en la
figura 3) que no están en la misma
recta vertical u horizontal. Determinan
un triángulo rectángulo cuyos catetos
tienen longitudes |ݔଶ െ ݔଵ| ݕ |ݕଶ െ ݕଵ|.
Por el Teorema de Pitágoras,
݀ሺܲଵ, ܲଶሻ ൌ ඥ|ݔଶ െ ݔଵ|ଶ ൅ |ݕଶ െ ݕଵ|ଶ
A esta fórmula se le conoce como la
fórmula de distancia. Figura 3
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4. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
Considere una circunferencia de radio ݎ
con centro en ሺ݄, ݇ሻ, como el de la
figura 4. Para encontrar su ecuación,
tome un punto arbitrario en la
circunferencia con coordenadas ሺݔ, ݕሻ.
Según la fórmula de distancia, debe
satisfacer la ecuación
ඥሺݔ െ ݄ሻଶ ൅ ሺݕ െ ݇ሻଶ ൌ ݎ
o, de manera equivalente,
Figura 4
ሺݔ െ ݄ሻଶ ൅ ሺݕ െ ݇ሻଶ ൌ ݎଶ
A partir de esta ecuación se puede construir la ecuación de una circunferencia de
radio 1 con centro en el origen ሺ0, 0ሻ. Para ello se utiliza la ecuación anterior con
݄ ൌ 0, ݇ ൌ 0 y ݎ ൌ 1. Esto da
࢞૛ ൅ ࢟૛ ൌ ૚
Representación gráfica
Figura 5
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5. Esta circunferencia de radio 1 con centro en el origen de un sistema de
coordenadas cartesianas, es denominada círculo unitario. Dicha circunferencia se
utiliza con el fin de poder estudiar fácilmente las razones trigonométricas,
mediante la representación de triángulos rectángulos auxiliares.
ÁNGULOS POSITIVOS Y NEGATIVOS EN EL SISTEMA DE COORDENADAS
RECTANGULARES
Se dice que un ángulo ߠ está en posición estándar si su vértice está en el origen
de un sistema de coordenadas rectangulares y su lado inicial coincide con el lado
positivo del eje ݔ. Vea la figura 6
Figura 6
Cuando un ángulo ߠ está en posición estándar, el lado terminal estará ya sea en
un cuadrante, en cuyo caso se dice que ߠ está en ese cuadrante, o bien ߠ sobre el
eje ݔ o el eje ݕ; entonces, se dice que ߠ es un ángulo cuadrantal. Por ejemplo, el
ángulo ߠ de la figura 7a) está en el II cuadrante, el ángulo ߠ de la figura 7b) está
en el IV cuadrante y el ángulo ߠ de la figura 7c) es un ángulo cuadrantal.
Figura 7
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6. EJERCICIOS
Si ܿ es la hipotenusa y ܽ ݕ ܾ son los catetos de un triángulo rectángulo, calcula el
lado que falta:
1) ܽ ൌ 6 ܿ݉, ܾ ൌ 10 ܿ݉ 2) ܽ ൌ 20 ݉, ܿ ൌ 32 ݉
3) ܽ ൌ 40 ܿ݉, ܾ ൌ 30 ܿ݉ 4) ܾ ൌ 80 ݇݉, ܿ ൌ 100 ݇݉
5) ܽ ൌ 12 ݉, ܿ ൌ 32 ݉
Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles si el valor del cateto es:
6) ܽ ൌ 4 ܿ݉ 7) ܽ ൌ 6 ܿ݉ 8) ܽ ൌ 15 ܿ݉
9) ܽ ൌ 9 ܿ݉ 10) ܽ ൌ 11 ܿ݉
Halla la altura de un triángulo equilátero si el lado vale:
11) ݈ ൌ 12 ܿ݉ 12)݈ ൌ 8 ܿ݉
Halla la diagonal ሺ݀ሻ de un cuadrado cuyo lado vale:
13) ݈ ൌ 3 ݉ 14)݈ ൌ 15 ܿ݉
Halla la diagonal ሺ݀ሻ de un rectángulo si los lados ܽ ݕ ܾ miden lo que se indica:
15) ܽ ൌ 2 ݉, ܾ ൌ 4 ݉ 16) ܽ ൌ 7 ݉, ܾ ൌ 9 17) ൌ 10 ݉ ݕ ܾ ൌ 12 ݉
18) Una escalera de 7 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la
escalera dista 3 m de la pared. ¿A qué altura se apoya la parte superior de
la escalera en la pared?
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7. Encuentra la ݀ሺܲଵ, ܲଶሻ, donde ܲଵ ݕ ܲଶ tienen las coordenadas dadas
19) ሺ2, െ1ሻ, ሺ5, 3ሻ 20) ሺ4, 2ሻ, ሺ2, 4ሻ 21) ൫√3, 0൯, ሺ0, √6ሻ
22) ሺെ1, 5ሻ, ሺ6, 7ሻ 23) ൫√2, 0൯, ሺ0, െ√7ሻ 24) ሺ2, 1ሻ, ሺ7, 13ሻ
25) Utiliza la fórmula de distancia para mostrar que el triángulo cuyos vértices
son ሺ2, െ4ሻ, ሺ4, 0ሻݕ ሺ8, െ2ሻ es un triángulo rectángulo.
Construye la ecuación de la circunferencia con el centro ܥ y el radio ݎ que se dan:
26) ܥሺ0, 0ሻ, ݎ ൌ 6 27) ܥሺ2, െ1ሻ, ݎ ൌ √7
28) ܥ ቀߨ, ଷ
ସቁ , ݎ ൌ ଵ
ଶ
29) ܥሺ2, 3ሻ, ݎ ൌ 3
30) Construye la ecuación de la circunferencia con centro en ܥሺെ3, 2ሻ y que
pasa por el punto ሺ4, 3ሻ.
31) Tres círculos de radio 2 tienen su centro en los vértices de un triángulo
cuyos lados tienen longitudes 8, 11 y 12. Encuentra la longitud de la banda
que encaja exactamente alrededor de los tres círculos.
Dibuja cada ángulo en el sistema de coordenadas rectangulares e indica en cual
cuadrante está ubicado:
32) 30° 33)135° 34)450°
35) െ120° 36) ସగ
ଷ
37) െ ଶగ
ଷ
38) ଵ଺గ
ଷ
39) െ గ
଺ 40) ଶଵగ
ସ
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8. El material presentado fue tomado de los libros que se mencionan a continuación.
Para profundizar en los aspectos descritos anteriormente, te invito a que revises
las referencias bibliográficas.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
LIBROS
• Baldor (2009). Geometría y Trigonometría (2a ed.). México: Grupo Editorial
Patria.
• Méndez (2006). Matemáticas 2 (1a ed.). México: Santillana, S. A.
• Suvillan y Hernández (2006). Álgebra y trigonometría (7a ed.). Editorial Pearson
Educación.
• Walter, Fleming y Dale Varberg (1991). Álgebra y Trigonometría con
Geometría Analítica. (3a ed.) México: Pretince – Hall Hispanoamericana, S.A.
PÁGINAS WEB
http://books.google.co.ve/books?id=44-
YnoUhxOoC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=o
nepage&q&f=false
http://www.vitutor.net/2/1/23.html
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