Apostila Álgebra linear - autovetores e autovalores

1. 82
Parte 5 – Autovetores e
Autovalores

2. 83
Autovetores e Autovalores
DEFINIÇÃO: Seja A uma matriz n×n. O número real λ é um autovalor de A se
existe um vetor não-nulo x
v
em n
R tal que
xxA
vv
λ=
Todo vetor não-nulo x
v
satisfazendo esta equação é chamado um autovetor de A
associado ao autovalor λ. Autovalores são também chamados de valores próprios ou
valores característicos. Nesses casos, os autovetores são chamados de vetores
próprios ou vetores característicos, respectivamente.
Note que 0x
vv
= sempre satisfaz a definição, mas 0
v
não é um autovetor, pois um
autovetor tem que ser um vetor não-nulo.
Exemplo: Se A é a matriz identidade nI , seu único autovalor é 1; todos os vetores
não-nulos em n
R são autovetores de A associados ao autovalor 1=λ :
x1xIn
vv
=
Exemplo: Seja
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
021
210
A
então
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
1
1
2
1
21
21
1
1
021
210
1
1
A
de modo que
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
1
1
x1
v
é um autovetor de A associado ao autovalor 211 =λ . Além disso,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 1
1
2
1
21
21
1
1
021
210
1
1
A
de modo que
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
1
1
x2
v
é um autovetor de A associado ao autovalor 212 −=λ .

3. 84
A figura a seguir mostra que 1x
v
e 1xA
v
são paralelos e que 2x
v
e 2xA
v
também são
paralelos. Isto ilustra o fato de que, se x
v
é um autovetor de A, então x
v
e xA
v
são
paralelos.
Seja λ um autovalor de A com autovetor correspondente x
v
. A figura a seguir
mostra x
v
e xA
v
para os casos em que λ>1, 0<λ<1 e λ<0.
Um autovalor λ de A tem uma infinidade de autovetores diferentes associados. De
fato, se x
v
é um autovetor de A associado ao autovalor λ (isto é, xxA
vv
λ= ) e se r é
qualquer número real diferente de zero, então
( ) ( ) ( ) ( )xrxrxArxrA
vvvv
λ=λ==
Logo, xr
v
também é um autovetor associado a λ.
Exemplo: Seja
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
10
00
A
então
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0
1
0
0
0
0
1
10
00
0
1
A
de modo que
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
0
1
x1
v
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
=
21
21
xA 2
v
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
21
21
xA 1
v
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
1
1
x1
v
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
1
1
x2
v
0
y
x
λ > 1
xxA
vv
λ=
x
v
0 0 < λ < 1
xxA
vv
λ=
x
v
0 λ < 0xxA
vv
λ=
x
v
0

4. 85
é um autovetor de A associado ao autovalor 01 =λ . Além disso,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
1
0
x2
v
é um autovetor de A associado ao autovalor 12 =λ .
Este exemplo ilustra o fato de que, embora o vetor nulo, por definição, não possa
ser um autovetor, o número zero pode ser um autovalor.
Nos exemplos anteriores, encontramos autovalores e autovetores por simples
inspeção. Vamos agora, no próximo exemplo, estabelecer um procedimento sistemático.
Exemplo: Seja
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
42
11
A
Queremos encontrar os autovalores de A e seus autovetores associados.
Queremos, então, encontrar todos os números reais λ e todos os vetores não-nulos
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
2
1
x
x
x
v
que satisfaçam
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
λ=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 2
1
2
1
x
x
x
x
42
11
Esta equação fica
221
121
xx4x2
xxx
λ=+−
λ=+
ou
( )
( ) 0x4x2
0xx1
21
21
=−λ+
=−−λ
Esta equação é um sistema homogêneo com duas equações e duas incógnitas. Este
tipo de sistema tem solução não-trivial se e somente se o determinante de sua matriz de
coeficientes é igual à zero, isto é, se e somente se
0
42
11
=
−λ
−−λ
Isto significa que ( )( ) 0241 =+−λ−λ , ou ( )( )230652
−λ−λ==+λ−λ
Portanto,
21 =λ e 32 =λ

5. 86
são autovalores de A. Para encontrar os autovetores de A associados a 21 =λ ,
formamos o sistema linear
x2xA
vv
=
ou
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 2
1
2
1
x
x
2
x
x
42
11
Isso nos dá
221
121
x2x4x2
x2xx
=+−
=+
ou
0x2x2
0xx
21
21
=−
=−
Todas as soluções desse último sistema são dadas por
x1 = x2
x2 = um número real r arbitrário
Portanto, todos os autovetores associados ao autovalor 21 =λ são dados por ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
r
r
,
onde r é qualquer número real não-nulo. Em particular, ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
1
1
x1
v
é um autovetor
associado a 21 =λ .
Analogamente, para 32 =λ , obtemos,
0xx2
0xx2
21
21
=−
=−
Todas as soluções desse último sistema homogêneo são dadas por
x1 = 1/2 x2
x2 = um número real r arbitrário
Portanto, todos os autovetores associados ao autovalor 32 =λ são dados por
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
r
r21
, onde r é qualquer número real não-nulo. Em particular, ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
2
1
x2
v
é um
autovetor associado ao autovalor 32 =λ .

6. 87
DEFINIÇÃO: Seja [ ]ijaA uma matriz n×n. O determinante
( ) ( )
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−λ−−
−−λ−
−−−λ
=−λ=λ
nn2n1n
n22221
n11211
n
aaa
aaa
aaa
AIdetf
L
MMM
L
L
é chamado de polinômio característico de A. A equação
( ) ( ) 0AIdetf n =−λ=λ
é a equação característica de A.
Exemplo: Seja
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
544
101
121
A
O polinômio característico de A é
( ) ( ) 6116
544
101
121
AIdetf 23
3 −λ+λ−λ=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−λ−
−−λ−
−−λ
=−λ=λ
TEOREMA: A matriz A n×n é singular se e somente se 0 é um autovalor de A.
TEOREMA: Os autovalores de A são as raízes reais do polinômio característico
de A.
A equação xxA
vv
λ= pode ser reescrita na forma
( )xIxA n
vv
λ=
ou
( ) 0xAIn
vv
=−λ
Esta expressão pode ser usada para encontrar os autovetores correspondentes aos
autovalores de A.

7. 88
Exemplo: Considere a matriz
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
544
101
121
A
cujo polinômio característico é
( ) 6116f 23
−λ+λ−λ=λ
Então, os autovalores de A são 11 =λ , 22 =λ e 33 =λ
Para encontrar um autovetor 1x
v
associado a 11 =λ , formamos o sistema
( ) 0xAI1 3
vv
=−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
0
0
0
x
x
x
5144
111
1211
3
2
1
ou seja,
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
0
0
0
x
x
x
444
111
120
3
2
1
Uma solução é
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
r
r21
r21
para qualquer número real r. Então, fazendo r = 2,
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
=
2
1
1
x1
v
é um autovetor de A associado a 11 =λ .
Para encontrar um autovetor 2x
v
associado a 22 =λ , formamos o sistema
( ) 0xAI2 3
vv
=−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
0
0
0
x
x
x
5244
121
1212
3
2
1
ou seja,

8. 89
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
0
0
0
x
x
x
344
121
121
3
2
1
Uma solução é
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
r
r41
r21
para qualquer número real r. Então, fazendo r = 4,
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
=
4
1
2
x2
v
é um autovetor de A associado a 22 =λ .
Para encontrar um autovetor 3x
v
associado a 33 =λ , formamos o sistema
( ) 0xAI3 3
vv
=−
E encontramos uma solução
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
r
r41
r41
para qualquer número real r. Então, fazendo r = 4,
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
=
4
1
1
x3
v
é um autovetor de A associado a 33 =λ .

9. 90
Podemos agora estender a nossa Lista de Equivalência para Matrizes Invertíveis.
Lista de Equivalência para Matrizes Invertíveis
As seguintes afirmações são equivalentes para uma matriz A n×n:
1. A é invertível.
2. Ax = 0 tem apenas a solução trivial.
3. A é equivalente por linhas a In.
4. O sistema linear Ax = b tem uma única solução qualquer que seja a matriz b n×1.
5. det(A) ≠ 0
6. A tem posto n.
7. A tem nulidade 0.
8. As linhas de A formam um conjunto linearmente independente de n vetores em n
R .
9. As colunas de A formam um conjunto linearmente independente de n vetores em n
R .
10. Zero não é um autovalor de A.