Este documento describe cómo se pueden usar materiales como hilo, lana y fieltro para crear modelos tridimensionales que ilustran conceptos topológicos como grafos, fractales, nudos, superficies minimales, politopos y teselaciones. Se proporcionan ejemplos como la curva de Hilbert, el copo de Koch, el tetraedro de Sierpinski y la cuártica de Klein, así como instrucciones y enlaces a videos adicionales. El objetivo es mostrar que la topología se puede enseñar de manera práctica

1. “Geometría y topología
para coser y montar”
José Luis Rodríguez Blancas
(Mago Moebius)
UNIVERSIDAD DE ALMERÍA

2. Materiales
•Hilo, lana, cuerda, alambre,…
•Alfileres, chinchetas, clavos,…
•Paneles de corcho, tablas,…
•Fieltro, tela, goma eva, plástico…

3. Grafos con hilos y cintas
- Problema de los 7 puentes de Königsberg
- Problema del viajante de comercio, etc.
Véase: http://topologia.wordpress.com/2011/01/14/caminos-hamiltonianos-y-el-
problema-del-viajante-de-comercio/

4. Trenzado de cuerdas usando palabras
(Artin 1925)

5. Fractales con hilos
Con hilo y alfileres, se pueden realizar las primeras
iteraciones de la curva de Hilbert (1891), una curva
que en el límite rellena totalmente el cuadrado.
Más información en: http://wp.me/p7JMS-101

6. Curva de Hilbert, copo de Koch y curva de Sierpinski

7. Copo de Koch
realizado en la
Semana Ciencia
2012 en la
Universidad de
Leicester

8. Esponja de Menger (1926)

9. Tetraedro de Sierpinski en fieltro
Ver vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=oQevUDo91FQ

11. 3ª iteración del tetraedro de Sierpinski
con 4 copias de la segunda iteración

12. Otra versión del tetraedro de Sierpinski de
fieltro, donde cada cara es de un color

15. Montaje en equipo del tetraedro de Sierpinski, por
estudiantes de la Universidad de Almería, 2012

16. Paraguas de Whitney con hilo

18. La singularidad de Whitney aparece en modelos
del plano proyectivo, como el bonete cruzado o
la superficie Romana.

19. Gorro de burro (Zeeman,1965)
http://www.youtube.com/watch?v=34j4CppfRTA

20. Topología con cremalleras
Experimentos para cortar cintas de Moebius,
el toro y la botella de Klein

21. Ver video: https://www.youtube.com/watch?v=fSZg_ywTDbo

22. Imagen durante el taller de Juegos Topológicos en la UAB 2012

23. Cinta de Moebius en alambre con pompa de jabón
(superficie minimal)

24. Más superficies minimales

26. Superficie de Seifert del nudo de trébol

28. Superficie de Seifert del nudo figura 8

29. ... y ahora con el disco central girado.

30. Superficies de Seifert con pompa de jabón

31. Ver video: http://www.youtube.com/watch?v=vThY9TTgHxw

32. Nudos invisibles

34. Enlace de Whitehead

35. Simetrías en superficies de Riemann
Simetrías de orden 2 y 3 del triple toro

36. Cuártica de Klein (1879):
Simetrías de orden 7 en el triple toro
Triangulación (3,7)
(se considera el 6º sólido platónico)

37. Configuración de Klein
sobre una triangulación
regular hiperbólica (3,7).
Identificaciones en el borde: pegar 2n+1 con 2n+6 mod 14.

38. Modelo de la cuártica de Klein de Costa, Quach-
Hongler, 2010.
Triple toro con dos
discos recortados

39. Nuestro modelo de goma eva

41. Pegamos los bordes
1-6, 3-8, 5-10, 7-12, 9-14, 11-2, 13-4

42. Modelo en fieltro

43. Otro modelo de la cuártica de Klein, con simetría de orden 7
Costa y Quach-Hongler, 2010
Imagen del programa SeifertView.

44. El mismo modelo realizado en goma eva.

45. Superficies con otros órdenes de simetría

48. Politopos y sus sombras

49. Sombra de una burbuja dodecaédrica, en la Feria
de la Ciencia de Sevilla 2011

50. “Sombras” de politopos con hilos
Trabajos elaborados por alumnado de Matemáticas
de la Universidad de Almería 2011-12.

51. 600-celda

52. 10-simplex rectificado

53. Politopo E6

54. Otra proyección de E6

55. Politopo E7

56. Politopo E8
Proyección de orden 6 Proyección de orden 30
Garrett Lisi. Teoría del todo 2007
Ver video rotation of E8

57. John Rognes Tom Ruen, 2011

58. Construcción con hilo, sin terminar (comienzo 11 mayo
2011 en IX Feria Ciencia Sevilla)

62. 7 de mayo de
2012

63. 27 de agosto de
2012

64. Imagen final de
ordenador de Tom
Ruen)

67. Proyección Petrie de
E8, de orden 30

68. E8 con hilo, 2010

72. http://www.polifieltros3d.com
Además del tetraedro de Sierpinski o la esponja de Menger,
que hemos visto al principio, el público podrá formar un montón
de figuras geométricas de fieltro con el nuevo juego Polifieltros 3d.
Os dejamos a continuación una muestra:

73. Poliedros estrellados

75. Deltaedros

76. Botella de Klein

77. TESELACIONES DE PENROSE
En la asociación astronómica cultural Orión, Almería ,2012

78. POLIEDROS ARQUIMEDIANOS
Ver vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=Suj91zynme0
Gran icosidodecaedro truncado en CEAM 2012, Málaga

79. TESELACIONES CON POLIFIELTROS 3D

82. Mosaico arabesco en el alcázar de Sevilla
http://topologia.wordpress.com/2012/06/18/mosaicos-arabescos-con-cuerdas/

83. Los nudos que aparecen en este mosaico son tréboles
y enlaces entre ellos.

86. Escher en la Alhambra, 1922

87. Visita a la Alhambra, 20 octubre 2012

88. Mosaico con lana

91. Más información en:
Blog de Juegos Topológicos
http://www.magomoebius.com
http://topologia.wordpress.com
http://www.polifieltros3d.com