ساختمان داده ها، یکی از دروس مهم و شیرین دانشگاهی است که به صورت پایه ای برای دروس مختلف از آن استفاده می شود، این درس در کنکور کارشناسی ارشد کامپیوتر و کنکور دکتری هوش مصنوعی و نرم افزار از دروس با ضرایب بالا می باشد. به همین دلیل آموزش ساختمان داده ها توسط یکی از بهترین مدرسین مسلط به مباحث ساختمان داده ها، ارائه شده است. سرفصل هایی که در این آموزش به آن پرداخته شده است: - بخش یکم: مرتبه اجرایی - بخش دوم: زیربرنامه های بازگشتی - بخش سوم: آرایه - بخش چهارم: صف و پشته - بخش پنجم: لیست پیوندی - بخش ششم: درخت - بخش هفتم: گراف - بخش هشتم: مرتب سازی - بخش نهم: درهم سازی برای توضیحات بیشتر و تهیه این آموزش لطفا به لینک زیر مراجعه بفرمائید: http://faradars.org/fvds9402

1. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫مدرس‬:
‫شیرافکن‬ ‫فرشید‬
‫دکتری‬ ‫دانشجوی‬‫تهران‬ ‫دانشگاه‬
(‫ارشد‬‫کارشناسی‬ ‫و‬‫کارشناسی‬:‫افزار‬ ‫نرم‬ ‫کامپیوتر‬( )‫دکتری‬:‫انفورماتیک‬ ‫بیو‬)
‫ها‬ ‫داده‬ ‫ساختمان‬
(‫بازگشتی‬ ‫توابع‬)
1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

2. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫تعریف‬
2
‫تابع‬‫بازگشتی‬(recursive):
‫تابعی‬‫است‬‫که‬‫حاوي‬‫حداقل‬‫يک‬‫دستور‬‫باشد‬‫که‬‫خود‬‫تابع‬‫را‬‫صدا‬‫بزند‬.‫اين‬‫تابع‬‫به‬‫تعداد‬‫مراحل‬‫محدودي‬‫اجرا‬‫‌ش‬‫ی‬‫م‬‫ود‬‫و‬
‫پس‬‫از‬‫آن‬‫متوقف‬‫‌شود‬‫ی‬‫م‬.
‫مثال‬‫هايی‬‫از‬‫توابع‬‫بازگشتی‬:
1-‫فاکتوريل‬
2-‫مجموع‬‫اعداد‬1‫تا‬n
3-‫توان‬
4-‫ترکیب‬
5-‫خارج‬‫قسمت‬‫تقسیم‬‫صحیح‬
6-‫آکرمان‬
7-‫هانوي‬
8-‫فیبوناچی‬
9-‫زاد‬‫و‬‫ولد‬‫خرگوش‬‫ها‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

3. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫فاکتوریل‬ ‫تابع‬
3
‫تابع‬‫زیر‬‫فاکتوریل‬n‫را‬‫محاسبه‬‫می‬‫کند‬:
f( n ){
if (n==1)
return 1;
else
return n * f(n-1);
}
‫مثال‬‌:‌‫فراخوانی‌تابع‌با‌مقدار‬4‌:
f(4)=4*f(3)=4*6=24
f(3)=3*f(2)=3*2=6
f(2)=2*f(1)=2*1=2






1)1(
11
)(
nnfn
n
nf
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

4. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫اعداد‬ ‫مجموع‬1‫تا‬n
4
‫اعداد‬ ‫مجموع‬ ‫زیر‬ ‫تابع‬1‫تا‬n‫کند‬ ‫می‬ ‫محاسبه‬ ‫را‬:
sum( n )
{
if (n==1)
return 1;
else
return n+ sum(n-1) ;
}
‌‫خروجی‌فراخوانی‌تابع‬‌‫به‬‌‫ازاي‬n=3‌‫برابر‬6‫است‬‌‌:
sum(3)=3+sum(2) =3+3=6
sum(2)=2+sum(1) =2+1=3






1)1(
11
)(
nnsumn
n
nsum‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

5. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫توان‬ ‫تابع‬
5
‫تابع‬‫زير‬‫مقدار‬‫را‬‫محاسبه‬‫می‬‫کند‬:(‫ورودي‬‫ها‬‫صحیح‬‫و‬‫مثبت‬‫هستند‬)
f (n , m){
if (m==1)
return n;
else
return n * f(n,m-1);
}
‫به‌طور‌نمونه‌تابع‌را‌به‌صورت‬f(3,4)‫فراخوانی‌می‌کنیم‬:
f(3,4) = 3 * f(3,3) =3*3*3*3
f(3,3) = 3 * f(3,2) =3*3*3
f(3,2) = 3 * f(3,1) =3*3






1)1,(
1
),(
mmnfn
mn
mnf
m
n
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

6. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫ترکیب‬ ‫تابع‬
6
‫تابع‬f‫ترکیب‬m‫از‬n‫را‬‫محاسبه‬‫می‬‫کند‬:
f ( n , m )
{
if ( (n==m) || (m==0) )
return 1;
else
return f(n-1 , m) + f(n-1 , m-1);
}
‌‫فراخوانی‬f(4,2)‌:
f (4,2) = f (3,2) + f (3,1) =3+3=6
f (3,2) = f (2,2) + f (2,1) =1+2=3
f (3,1) = f (2,1) + f (2,0) =2+1=3
f (2,1) = f (1,1) + f (1,0) =1+1=2
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

7. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫تابع‬div
(‫صحیح‬ ‫تقسیم‬ ‫قسمت‬ ‫خارج‬ ‫محاسبه‬)
7
‫محاسبه‬‫خارج‬‫قسمت‬‫تقسیم‬‫صحیح‬a‫بر‬b:
‫فراخوانی‬f(11,3):
f (11,3) = f (8,3) + 1 = 2+1=3
f (8,3) = f (5,3) + 1 = 1+1=2
f (5,3) = f (2,3) + 1 = 0+1=1
‫تمرين‬:‫با‬‫تغییري‬‫در‬‫اين‬،‫تابع‬mod‫را‬‫پیاده‬‫سازي‬‫کنید‬.






babbaf
ba
baf
1),(
0
),(
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

8. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫آکرمان‬ ‫تابع‬
8
‫تابع‬‫زير‬‫به‬‫نام‬‫آکرمان‬‫معروف‬‫است‬:
‫فراخوانی‬f(1,1):
f ( 1 , 1 )
= f ( 0 , f ( 1 ,0 ) )
= f ( 0 , f ( 0 , 1 ) )
= f ( 0 , 2 )
=3









0,0))1,(,1(
0)1,1(
01
),(
babafaf
baf
ab
baf
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

9. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫آکرمان‬ ‫تابع‬ ‫در‬ ‫روابطی‬
9
‫در‬‫تابع‬‫آکرمان‬‫روابط‬‫زیر‬‫برقرار‬‫است‬:
‫به‬‫طور‬‫نمونه‬:
 32),4(
32),3(
3)3(2),2(
3)3(2),1(
3
2
3
2...






n
n
nf
nf
nnf
nnf
173)37(2)7,2( f
102132)7,3( )37(
 
f 32)1,4(
22
2
f
93)37(2)7,1( f
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

10. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫هانوی‬ ‫برج‬
10
‫سه‬‫میله‬A,B,C‫وجود‬،‫دارد‬‫که‬n‫مهره‬‫بر‬‫روي‬‫میله‬A‫قرار‬‫دارد‬.‫هدف‬‫انتقال‬n‫مهره‬‫به‬‫میله‬C‫است‬‫که‬‫براي‬‫اين‬‫کار‬‫از‬‫میله‬
B‫کمک‬‫گرفته‬‫می‬‫شود‬.
‫اندازه‬‫مهره‬‫ها‬‫در‬‫میله‬A‫از‬‫پايین‬‫به‬‫باال‬‫کاهش‬‫می‬‫يابد‬.
‫در‬‫انتقال‬‫مهره‬‫ها‬‫هرگز‬‫مهره‬‫بزرگتر‬‫بر‬‫روي‬‫مهره‬‫کوچکتر‬‫نبايد‬‫قرار‬‫بگیرد‬.‫در‬‫هر‬‫بار‬‫فقط‬‫امکان‬‫انتقال‬‫يک‬‫مهره‬‫وجود‬‫دا‬‫رد‬‫که‬‫از‬
‫باالي‬‫میله‬‫انتخاب‬‫می‬‫شود‬.‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

11. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫هانوی‬ ‫برج‬(‫ادامه‬)
11
‫در‬‫صورت‬‫وجود‬‫بیش‬‫از‬‫يک‬‫مهره‬،‫مسئله‬‫را‬‫به‬‫صورت‬‫زير‬‫حل‬‫می‬‫کنیم‬:
1)‫انتقال‬n-1‫مهره‬‫از‬‫میله‬A‫به‬‫میله‬B.
2)‫انتقال‬‫مهره‬n‫ام‬‫از‬‫میله‬A‫به‬‫میله‬C.
3)‫انتقال‬n-1‫مهره‬‫از‬‫میله‬B‫به‬‫میله‬C.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

12. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫هانوی‬ ‫برج‬(‫ادامه‬)
12
‫الگوریتم‬‫انتقال‬n‫مهره‬‫از‬A‫به‬C‫به‬‫کمک‬B
tower (n , A, B, C)
{
if (n ==1 )
A to C;
else {
tower ( n–1 , A, C, B);
A to C;
tower ( n–1 , B, A, C);
}
}
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

13. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫هانوی‬ ‫برج‬(‫مثال‬)
13
‫انتقال‬3‫مهره‬‫از‬‫میله‬A‫به‬‫میله‬C‫به‬‫کمک‬‫میله‬B:T(3,A,B,C)






























)7(),,,1(
)6(
)5(),,,1(
),,,2(
)4(
)3(),,,1(
)2(
)1(),,,1(
),,,2(
CACBAT
CB
ABACBT
CABT
CA
BCBACT
BA
CACBAT
BCAT ‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

14. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫تمرین‬
14
‫مسئله‬‫برج‬‫هانوي‬‫را‬‫با‬‫سه‬‫میله‬A،B‫و‬C‫در‬‫نظر‬‫بگیريد‬‫که‬‫در‬‫ابتدا‬n‫مهره‬‫به‬‫ترتیب‬‫در‬‫میله‬A‫قرار‬‫دارند‬.‫مهره‬‫کوچک‬‫تر‬‫بر‬‫روي‬
‫مهره‬‫بزرگ‬‫تر‬‫قرار‬‫دارد‬.
‫می‬‫خواهیم‬‫با‬‫رعايت‬‫مقررات‬‫اين‬،‫مسئله‬‫همه‬‫مهره‬‫ها‬‫را‬‫به‬‫میله‬B‫ببريم‬‫با‬‫اين‬‫شرط‬‫که‬‫نمی‬‫توان‬‫هیچ‬‫مهره‬‫اي‬‫را‬‫يک‬‫راست‬‫از‬
‫میله‬A‫به‬B‫يا‬‫از‬B‫به‬A‫برد‬.
‫اگر‬T(n)‫کمینه‬‫تعداد‬‫حرکت‬‫مهره‬‫ها‬‫براي‬‫اين‬‫مسئله‬،‫باشد‬‫رابطه‬‫بازگشتی‬‫براي‬‫اين‬‫مسئله‬‫را‬‫بنويسید‬. ‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

15. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫فیبوناچی‬ ‫تابع‬
15
‫محاسبه‬‫جمله‬n‫ام‬‫سری‬‫فیبوناچی‬:(0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,…)
f(n){
if ((n==0) || (n==1) )
return n;
else
return f(n-1) + f(n-2);
}
‌‫محاسبه‌جمله‌چهارم‌سري‌فیبوناچی‬‌‌:
f(4)=f(3) + f(2) =2+1=3
f(3)=f(2) + f(1) =1+1=2
f(2)=f(1) + f(0) =1+0=1









2)2()1(
11
00
)(
nnfnf
n
n
nf‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

16. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫ها‬ ‫خرگوش‬ ‫ولد‬ ‫و‬ ‫زاد‬
16
‫در‬‫یک‬‫جزیره‬‫یک‬‫جفت‬‫خرگوش‬‫نر‬‫و‬‫ماده‬‫نوزاد‬‫وجود‬‫دارد‬‫و‬‫مدل‬‫رشد‬‫جمعیت‬‫خرگوش‬‫ها‬‫به‬‫صورت‬‫زیر‬‫است‬:
(1)‫خرگوش‬‫ها‬‫يک‬‫ماه‬‫پس‬‫از‬‫تولد‬‫به‬‫سن‬‫بلوغ‬‫می‬‫رسند‬.
(2)‫دوران‬‫بارداي‬‫يک‬‫ماه‬‫است‬.
(3)‫هنگامی‬‫که‬‫خرگوش‬‫ماده‬‫به‬‫سن‬‫بلوغ‬‫می‬‫رسد‬‫حتما‬‫باردار‬‫می‬‫شود‬.
(4)‫خرگوش‬‫ماده‬‫در‬‫هر‬،‫بارداري‬‫يک‬‫خرگوش‬‫نر‬‫و‬‫يک‬‫خرگوش‬‫ماده‬‫به‬‫دنیا‬‫می‬‫آورد‬.
(5)‫خرگوش‬‫ها‬‫هرگز‬‫نمی‬‫میرند‬.
‫رابطه‬‫بازگشتی‬‫بنويسید‬‫که‬‫تعداد‬‫خرگوش‬‫ها‬‫را‬‫در‬‫شروع‬‫ماه‬n‫ام‬‫نشان‬‫دهد؟‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

17. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫ها‬ ‫خرگوش‬ ‫ولد‬ ‫و‬ ‫زاد‬(‫ادامه‬)
17
‫پاسخ‬:
‫تعداد‬‫جفت‬‫خرگوش‬‫ها‬‫در‬‫شروع‬‫ماه‬n‫ام‬‫برابر‬‫است‬‫با‬‫مجموع‬
‫دو‬‫مقدار‬‫زير‬:
‫الف‬-‫تعداد‬‫جفت‬‫خرگوش‬‫هاي‬‫ماه‬‫قبل‬
‫ب‬-‫تعداد‬‫جفت‬‫نوزادان‬(‫که‬‫برابر‬‫است‬‫با‬‫تعداد‬‫جفت‬‫خرگوش‬‫هاي‬
‫بالغ‬‫ماه‬‫قبل‬‫که‬‫آن‬‫هم‬‫برابر‬‫است‬‫با‬‫کل‬‫خرگوش‬‫هاي‬‫دو‬‫ماه‬‫قبل‬)
‫بنابراين‬‫داريم‬:
1)2(,1)1(  ff
)2()1()(  nfnfnf
233,144,89,55,34,21,13,8,5,3,2,1,1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

18. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫کاربرد‬‫پشته‬‫بازگشتی‬ ‫های‬ ‫برنامه‬ ‫زیر‬ ‫در‬
‫تعريف‬‫پشته‬:(stack)
‫پشته‬‫ساختمان‬‫داده‬‫اي‬‫است‬‫که‬‫حذف‬‫و‬‫اضافه‬‫از‬‫باالي‬‫آن‬‫انجام‬‫‌شود‬‫ی‬‫م‬.
‫پشته‬‫را‬FILO‫‌نامند‬‫ی‬‫م‬،‫چون‬‫آخرين‬‫عنصر‬‫وارد‬‫شده‬‫در‬،‫آن‬‫اولین‬‫عنصري‬‫است‬‫که‬‫از‬‫آن‬‫برداشته‬‫‌شود‬‫ی‬‫م‬.
‫عملیات‬‫در‬‫پشته‬‫و‬‫کاربردهاي‬‫آن‬‫در‬‫فصل‬‫پشته‬‫به‬‫طور‬‫مفصل‬‫بررسی‬‫خواهند‬‫شد‬.
18
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

19. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫تمرین‬
19
‫خروجی‬f(1,1)‫را‬‫مشخص‬‫کنید‬.
f(x,0)=f(x+1,0) + f(x+1,1) , if x<3
f(x,1)=2f(x+1,0) + f(x+1,1) , if x<3
f(3,0)=1
f(3,1)=0
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

20. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫مثال‬
‫خروجی‬‫زیر‬‫برنامه‬،‫زیر‬‫به‬‫ازای‬‫فراخوانی‬f (1)‫چیست‬‫؟‬
f (n){
if (n==3)
exit( );
else{
n=n+1;
f(n);
cout<<n;
}
}
‌‫بنابراين‬‌‫خروجی‌برابر‬32‌‫خواهد‬‫بود‬‌‌.
20
3
2
)3()2()1( fff 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

21. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫مثال‬
‌‫خروجی‬f(4)‫چه‌می‌باشد؟‬
f (n){
if (n >2)
{
f(n-1);
cout << 'a' ;
cout << 'b' ;
}
}
‫پاسخ‬‌:‌‫خروجی‬abab‫می‌باشد‬.
21
)2()3()4( fff 
a
b
a
b
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

22. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫مثال‬
‫خروجی‬‫زیر‬‫برنامه‬،‫زیر‬‫به‬‫ازای‬‫فراخوانی‬f (1,4)‫چیست‬‫؟‬
f (n,m){
if (n==3)
exit( );
else {
n=n+1;
m=m+1;
f(n,m);
cout<<n;
cout<<m;
}
}
‌‫بنابراين‬‌‫خروجی‌برابر‬3625‌‫خواهد‬‫بود‬‌.
22
3
6
2
5
)6,3()5,2()4,1( fff 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

23. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫تمرين‬
‌‫خروجی‬f(4)‫چیست؟‬
f (int x){
if (x)
g(x–1);
cout<<x;
}
g(int y){
if (y)
{
cout<<y+1;
f(y–1);
}
}
23
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

24. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫بازگشتی‬ ‫توابع‬ ‫برای‬ ‫بازگشتی‬ ‫رابطه‬
‫يک‬‫رابطه‬‫بازگشتی‬‫براي‬‫تعداد‬‫ضرب‬‫ها‬‫در‬‫تابع‬‫فاکتوريل‬‫بنويسید‬.
fact (n){
if (n==0) return 1;
else return n*fact(n-1);
}
‫حل‬:
‫براي‬‫يک‬n‫معین‬‫تعداد‬‫ضرب‬‫هايی‬‫که‬‫ان‬‫ج‬‫ام‬‫می‬‫شود‬‫برابر‬‫است‬‫با‬‫تعداد‬‫ضرب‬‫هاي‬‫انجام‬‫شده‬‫در‬‫فراخوانی‬(n-1)‫به‬‫اضافه‬‫عمل‬
‫ضرب‬n‫در‬fact(n-1).‫بنابراين‬‫اگر‬‫تعداد‬‫ضرب‬‫هاي‬‫انجام‬‫شده‬‫براي‬‫يک‬‫مقدار‬‫معین‬n‫را‬‫با‬T(n)‫نمايش‬،‫دهیم‬‫داريم‬:
‫وقتی‬n=0‫باشد‬،‌‫هیچ‌ضربی‌صورت‌نمی‬‫گیرد‬:
24
)1(1)(  nTnT 0)0( T
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

25. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫شطرنجی‬ ‫صفحه‬ ‫در‬ ‫حرکت‬
25
‫در‬‫صفحه‬‫شطرنجی‬‫زير‬‫می‬‫خواهیم‬‫از‬‫نقطه‬A‫به‬‫نقطه‬B‫برويم‬.‫حرکت‬‫هاي‬‫مجاز‬‫فقط‬‫به‬‫سمت‬‫راست‬‫يا‬‫باال‬‫می‬‫باشد‬.
‫يک‬‫رابطه‬‫بازگشتی‬‫براي‬T(n,m)(‫تعداد‬‫مسیرهاي‬‫ممکن‬‫از‬A‫به‬B)‫بنويسید‬.
‫جواب‬‫اين‬‫رابطه‬‫بازگشتی‬‫برابر‬‫است‬‫با‬:
)m,1n(T)1m,n(T)m,n(T 
1),0( mT
1)0,( nT





 
m
nm
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

26. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫مثال‬
26
‫اگر‬T(n)‫تعداد‬‫ستاره‬‫هاي‬‫چاپ‬‫شده‬‫توسط‬f(n)،‫باشد‬‫رابطه‬‫بازگشتی‬T(n)‫را‬‫مشخص‬‫کنید‬.
f (n){
if (n>=2)
{
f (n-1);
f (n-1);
f (n-2);
cout<<"*";
}
}
0)1(
0)0(
1)2()1()1()(



T
T
nTnTnTnT‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

27. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫هانوی‬ ‫برج‬ ‫مسئله‬ ‫برای‬ ‫بازگشتی‬ ‫رابطه‬
27
‌‫اگر‌به‌تابع‌برج‌هانوي‌نگاه‌کنیم،‌مشاهده‌می‌شود‌که‌تابع‌دو‌بار‌خودش‌را‌فراخوانی‬‌‫می‬‫کند‬:
‫جواب‌اين‌رابطه‌برابر‌است‌با‬:
1)1(2)(  nTnT
12)(  n
nT
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

28. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫تمرین‬
28
‫برای‬‫هر‬‫یک‬‫از‬‫مسئله‬‫های‬‫زیر‬‫یک‬‫رابطه‬‫بازگشتی‬‫بنویسید‬.
(1)‫تعداد‬‫دنباله‬‫هاي‬0‫و‬1‫به‬‫طول‬n‫که‬‫هیچ‬‫دو‬‫صفر‬‫متوالی‬‫ندارند‬.
(2)‫تعداد‬‫روش‬‫هاي‬‫فرش‬‫کردن‬‫يک‬‫صفحه‬‫شطرنجی‬‫با‬‫اندازه‬‫ي‬‫با‬‫موزايیک‬‫هاي‬
(3)‫فرض‬‫کنید‬‫کدي‬‫سه‬‫تايی‬‫شامل‬‫ارقام‬0‫و‬1‫و‬2‫با‬‫طول‬n‫زمانی‬‫معتبر‬‫است‬‫که‬‫تعداد‬‫صفرهاي‬‫ظاهر‬‫شده‬‫در‬‫آن‬‫زوج‬‫باشد‬.
‫رابطه‬‫بازگشتی‬‫بنويسیدکه‬‫تعداد‬‫کدهاي‬‫به‬‫طول‬n‫که‬‫معتبر‬‫هستند‬‫را‬‫محاسبه‬‫کند‬.
12 n2
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

29. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫بازگشتی‬ ‫های‬ ‫رابطه‬ ‫حل‬ ‫های‬ ‫روش‬
29
‫رابطه‬‫های‬‫بازگشتی‬‫را‬‫می‬‫توان‬‫به‬‫روش‬‫های‬‫زیر‬‫حل‬‫کرد‬:
1-‫حدس‬
2-‫تکرار‬‫با‬‫جايگذاري‬
3-‫قضیه‬‫اصلی‬
4-‫درخت‬‫بازگشت‬
5-‫روش‬‫هاي‬‫حل‬‫رابطه‬‫هاي‬‫بازگشتی‬‫همگن‬‫و‬‫ناهمگن‬
‫این‬‫روش‬‫ها‬‫در‬‫درس‬‫تحلیل‬‫و‬‫طراحی‬‫الگوریتم‬‫بررسی‬‫می‬‫شود‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

30. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
30
‫فرادرس‬ ‫در‬ ‫شده‬ ‫مطرح‬ ‫نکات‬ ‫مبنای‬ ‫بر‬ ‫ها‬ ‫اسالید‬ ‫این‬
«‫ها‬ ‫داده‬ ‫ساختمان‬ ‫های‬ ‫فرادرس‬ ‫مجموعه‬»
‫است‬ ‫شده‬ ‫تهیه‬.
‫به‬ ‫آموزش‬ ‫این‬ ‫مورد‬ ‫در‬ ‫بیشتر‬ ‫اطالعات‬ ‫کسب‬ ‫برای‬‫مراجعه‬ ‫زیر‬ ‫لینک‬‫نمایید‬.
faradars.org/fvds9402
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org