Principios para matematicas algebra

Principios para matemáticas: Algebra
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Ezequiel Torres Hernández
Est. Ingeniería Desarrollo de Software. UNADM
(ed-2018)
Índice
1, Iniciando conceptualizaciones …….................................................................2
2. Elementos de una operación matemática …………………………...................5
3. Formas o representación de la Multiplicación …………………………………..6
4. Formas o representación de la División ………………………………...............8
5. Continuando con los conceptos de los elementos matemáticos ……………...8
5.1 Operadores. Símbolos matemáticos para representar operaciones…………9
6. Recta numérica y Ley de los Signos ……………………………………………...10
7. Valor Opuesto o simétricos ………………………………………………………...14
7.1 Valor Absoluto ………………………………………………………………..........15
8. Propiedades de la igualdad o transposición de los términos. Cambio de términos......16
8.1 Ejercicio adecuado de propiedades de la igualdad ……………………………………..20
9. Elementos de una ecuación ………………………………………………….........21
9.1 Ejercicios con variables, incógnitas o literales …………………………………………..27
9.2 Deducir el valor de la siguiente ecuación, y modificaciones …………………………..28
10. Los términos semejantes ………………………………………………………...30
11. Desarrollando la solución de una ecuación con una variable …….…………………...34
12. Las propiedades de elemento neutro de la suma ……………………………..36
12.1 Elemento inverso de la suma …………………………………………………...36
13. Y el elemento neutro de la multiplicación ……………………………………….37
13.1 Elemento inverso de la multiplicación ………………………………………….38
13.2 Cuando se tiene que igualar a cero …………………………………………….39
14. Las ecuaciones o Formulas ………………………………………………………39
14.1 Ejemplo de un problema real, en factor de escala ……………………………………41
15. Ecuaciones lineales tienen más de una variable ……………………………….43
16. De Ecuación a Grafica …………………………………………………………….44
17. La función signo, Desigualdad ……………………………………………………45
17.1 Resolver Desigualdades con Valor Absoluto …………………………............46

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1. Iniciando conceptualizaciones -----
Es pretender ser una guía de apoyo y sobre todo cuando al internet no se tiene el
acceso, pero puedes consultar los link o ligas correspondientes de los creadores de
algunos textos e imágenes que use de apoyo además de que hay muchas páginas
con excelente material, y una disculpa a los URL que no publique en la bibliografía.
Para que sean mejor comprendidas sobre todo para resolver las operaciones,
recomendaría que se aprendan las propiedades sobre todo las propiedades que
más se utilizaran (neutro e inversa) y realizar los ejemplos ya resueltos para que se
aprendan el proceso o la manera en que se va creando la solución paso a paso,
haciendo el intento de resolver cada paso sin copiar directamente las cantidades
solo la estructura por ejemplo (ejem):
3x = 15 ecuación lineal, poner atención en los operadores
x = 15 / 3 se realiza una división (propiedad de la igualdad), o cambio de termino
x = 5 con la letra “equis” ya solucionada (a cuánto vale “x”, o con un valor de “x”)
Cambiando y eliminando la “equis” cuando se sustituye por su valor que ya fue
encontrado “5”, para hacer la comprobación o verificación
3x = 15 operación algebraica, operador indica multiplicación en 3x
3( ) = 15 en los paréntesis se pone la cantidad de “x” que es 5, la “x” desaparece
3(5) = 15 los paréntesis indican multiplicar
15 = 15 la igualdad se cumple
Copiar o aprender solo la estructura como es:
Que es lo que dice hacer el operador,
Ejem: numero( ) = numero Esto dice multiplicar
Si por ejemplo la ecuación tiene más Operadores, te indican que se tiene que seguir
resolviendo la operación:
3x = 15 ecuación inicial a resolver anteriormente
x = 5 el resultado, es a cuánto vale la “x”
y = 20 + 3x aquí el operador suma “ + ” indica continuar en esta Ecuación
el operador de suma (+) te indica que tienes que seguir desarrollando el proceso o
pasos, para encontrar la solución que ahora será el valor de “y griega”
continúas poniendo o reemplazando el valor que ya solucionaste en la “x”, esta “x”
la cambias por su resultado, lo correcto es:

3
y = 20 + 3x ecuación lineal con dos incógnitas tienes
y = 20 + 3(5) cambias y sustituyes lo que vale la “x” = 5,
y = 20 + 15 se realizó la multiplicación que indicaban los paréntesis
y = 35 la “y” ya tiene su valor, que es la solución Solo de la “y”, nota que ya se
hizo lo que indicaba el operador suma “ + ”
Se debe continuar con lo que te está solicitando la ecuación hasta que termines con
una sola variable, en este caso es “x” o “y” que parece solitaria
y = 35 que debe ser así, esta respuesta es lo que vale “y”
x = 5 también así, esta respuesta es lo que vale “x”
Bueno lo que sabes de aritmética está bien, si le dices cuentas (o como las
conozcas) a las operaciones que son suma, resta, multiplicar y dividir quizá ya sabes
las fracciones que veces llaman quebrados, pero ahora tienes que abrir tu pensar,
tu cerebro para que veas que a las operaciones aritméticas que sabes le debes
poner más cosas, agregar más cosas de matemáticas (algebra) que no sabías que
había, porque no te las han enseñado aun, o aun no las entiendes bien.
Nota, si tienes dudas en las operaciones básicas (aritmética) porque inicias la
secundaria puedes consultar otro link o liga que tiene una forma o método de cómo
realizo o hago para resolver las restas o diferencia y las divisiones, ejemplos que
te podrían apoyar. Copiar y pegar en el navegador de internet el siguiente link:
Como se hace una resta
https://drive.google.com/file/d/1WG4MLnxNpIXCRLJznFi4g9_4XgJazKcG/view?us
p=sharing
Como se hace una división
https://drive.google.com/file/d/1FWMMnLYIC4psm-r5K570OfhiP-
o5PWob/view?usp=sharing
Tu eres una persona (una abstracción computacional), pero también los demás
humanos son personas, sí o no, entonces, no todas las personas somos igual, tú no
eres como tu amigo pero tú y tu amigo son personas, hay personas que son de
sangre positivas y otras que son de sangre negativas, pero no lo puedes ver, así
sucede con los números, hay números positivos y números negativos, y los
números que son acompañados de letras también tienen su positivo y negativo
también las letras que están solas tienen su signo positivo y negativo, y se le dice
así aunque sean los signos de la suma y resta.
Cuando en matemáticas dicen expresión, quiere decir que se escribe en números
Expresión matemática de positivo es: y negativo es:

4
Se expresa: 5 pero tiene un signo positivo que no se escribe, lo verías así: +5
Se expresa: 6x ,pero es invisible su signo porque es positivo, lo deberías escribir
así: +6x
Se expresa: x ,pero por lo que has leído, ya sabes que se podría expresar así:
+x
Ejem: 5 +4y = 12 Puedes observar que no tienen signo al inicio de la operación
y también no hay un signo después del signo igual
La expresión podría ser así: +5 +4y = +12
Siempre debes de recordar que no se escribió el signo positivo, pero que siempre
están ahí los amigos secretos por que no se ven
Siguiendo con el proceso de solución:
Recordar, letras con letras y números con números, las letras deben ser iguales
5 +4y = 12 separando letras gemelas o variables de números o constantes
4y = 12 –5 puedes ver que la variable “4y” no tiene su signo positivo. Ver pág. 16
4y = 7 se nota que faltan los signos que son ahora invisibles
se podría expresar así: +4y = +7
Resultado: y = 7/4 se dice también Solución
Mira que ya no hay signo positivo en la variable, tampoco está el signo en la fracción
o constante, ahora ya no se ven, pero siguen estando invisibles así:
+y = +7/4
Así se puede expresar el inicio de esta ecuación, sin el signo de la variable
4y +5 = 12
¿Qué pasa con el signo negativo?
El signo negativo siempre se debe poner en la cantidad, resultado, cifra, entero o
como te la hayan enseñado, es obligatoria expresarlo
Ejem: –5 se debe de indicar a fuerzas el signo menos
La “x” que seguramente llamas “por”, debes mirarla bien en donde la veas porque
también debes de llamarla como se llama “equis” y acuérdate de su nombre porque
lo usaras mucho.
Lo importantísimo es que tú aprendas cómo se desarrolla, como se va haciendo
el proceso de solución, como se hace (realiza) la operación matemática, es
importante las reglas o propiedades que te indican que hace cada elemento

5
(números, letras, y todo los demás) y las definiciones de estos elementos. Pero lo
que interesa es que aprendas los pasos que se usan para resolver estos problemas
matemáticos.
Aún hay elementos ocultos que no se ponen o escriben que se detallan o explican
más adelante
2. Elementos de una operación matemática ---
“* Una operación es un conjunto de reglas que permiten obtener otras cantidades
o expresiones *” (cita)
Separar o apartar cada elemento de una operación para que veas que
acompañantes o compañeros estan con cada cantidad, operando o termino o como
tu lo entiendas por el dia de hoy
Operación es lo mismo que esto como ejemplo:
Ejem: serian cinco partes si tomas cada color por separado en esta multiplicación,
importantísimo, pero cada parte tiene compañeros que son invisibles por ser
positivos en este ejemplo; están ahí pero no se ponen.
No sé si gustes de alguna cosa como magia y cosas de brujas y todo eso, pero el
signo positivo ¡desaparece! o más bien se hace invisible cuando un número (o
constante) es positivo, está ahí pero no lo ves y todo esto también sucede con las
letras o incógnitas cuando son positivas junto con su número(coeficiente) que es el
número uno. Más adelante aparecerá la explicación de lo que sucede con las “x”
equis o alguna otra letra cuando están solas.
Aquí en el ejemplo de operación de arriba aun a la “x” la debes llamar “por”
Es decir. Son invisibles; para que se entienda que siempre están ahí, aunque no
se vean, o sea no están escritos juntos con sus términos de las operaciones, como
sucede en el ejemplo de arriba.
“* Los números naturales se consideran números enteros positivos y van precedidos
del signo positivo (+), aunque no es obligatorio utilizarlo y no suele escribirse *”, no
se pone. “* A cada entero positivo le corresponde un número entero negativo,
precedido obligatoriamente por el signo negativo (-) *” o sea se tiene que escribir el
signo menos forzosamente.

6
“* El signo de un número es por tanto una manera de hablar tanto del símbolo que
lo precede es decir que esta antes, como de la propiedad que tenga ese número de
ser mayor o menor que cero *”.(cita)
Elaborando el ejemplo de la multiplicación descrita arriba seria así: “ 6 x 3 =18 “
Ejem: 6 está acompañado de un signo positivo
Podría expresarse así: +6
entonces los demás números o si fueran (se tratará de) letras del lado positivo
tendrían un signo “ + ”
Ejem: 3 y el numero 18 están acompañados de un signo positivo
Podría expresarse así: +3 y el numero +18
Los operadores en esta operación son:
Nombrar los números como Operandos, como en una abstracción de computación
Ejem: x que es el operador que multiplica cada operando o termino ( 6 x 3)
y el operador “igual” = que da el resultado
Esta operación se puede escribir de la siguiente manera que quiere decir
“multiplicar” o “por”:
Ejem: 6 • 3 = 18 y así 6(3) = 18 y así (6) (3) = 18 y así 6 * 3=18
Podría expresarse así: (+6) • (+3) = +18 y así +6(+3) = +18 y así
(+6) (+3) = +18 pero no se expresa de esta forma porque son positivo
Ejemplo en una operación de suma:
5 +2 = 7 aquí no se ve el signo, pues falta en las constantes o números
Se expresaría así: +5 +2 = +7
Ejemplo en una operación de división:
8 ÷ 4 = 2 también están los signos positivos, aunque no los veas
Se expresaría así: +8 ÷ +4 = +2
En cualquier número que pienses siempre hay un signo positivo invisible o
secreto
--- 3. Formas o representación de la Multiplicación ------
Observa que para multiplicar no se usa el signo "x", con esto se evita confundirse
con una "equis". Así, para indicar un producto es decir una multiplicación, se usará

7
un punto “ • ” que se pone entremedio de los operandos, o un paréntesis ( )
“encerrado” entre las cantidades o constantes.
Ejem: 6 • 3 = 18 y así 6(3) = 18 o así 6 * 3 = 18 evitar la confusión de
expresarlo así: 6 x 3 = Con el operador “por” o sea la “x”
Esto quiere decir: multiplicar 6 por el encerrado 3 y se expresa: 6(3) = 18
Si ves un número y una letra y que ambos estén juntos, significa: multiplicar un
“número” por “una letra o varias letras”, o sea que no veas escrito un operador “x,
por” entre la letra y el número.
Ejem: 6a se lee “6 por a” también puedes ser así: 6ab se lee “6 por a y por b”
Todo tiene un signo, no tiene que hacer nada su signo positivo o negativo pues no
indica o “dice” hacer una operación en este instante, el signo es para indicar si es
un número positivo o es un numero negativo por ahorita
Ejem: 2a lo que ves dice multiplicar, se lee “2 está multiplicando a la “a”; es
decir “2 por a”
y lo que no ves, que es su signo no causa problemas se
expresaría así: +2a Pero no se hace así
Ejem: x se lee “uno por x” Nunca olvides el “uno” en la multiplicación
Los amigos secretos o invisibles de una letra siempre serán el signo “ + ” y el
coeficiente “ 1 ” así: m = +1m la letra que pienses: k = +1k
Revisar: Sin una cifra numérica la literal, variable o incógnita seria: en página 19
 En otro ejemplo que mezcla la multiplicación con la división
Dividir “dos a entre a” en este caso se expresa así: 2a ÷ a = ,aquí el operador “
÷ , entre” indica hacer una división, pero el termino:
+2a sigue indicando multiplicar, coeficiente 2 por “a” que es la incógnita
Proceso de solución
2a/a = podría ser expresado así:
2
1
𝑎
𝑎
= se puede separar así, abajo “a” tiene amigo invisible siempre
2
𝑎
𝑎
= al dividir solo los números o coeficientes,

82
𝑎
𝑎
= ahora dividir “a entre a” es igual que “cero”, porque:
2
𝑎1
𝑎1
= tienen un exponente de “uno” ambas “a”
pero para resolver, se tiene que mover una “a”; subiendo la “a” que esta abajo,
esta operación solo se hace para eliminar la división, queda así:
a1
a–1
nota que el “uno” tiene un signo negativo, se dice que:
a1
por a–1
es igual que cero, es decir: 1 – 1 = 0 porque se hace la operación de
los exponentes “uno”, en este ejemplo, resultado: “a” elevado a exponente “cero”,
se expresa así: a0
entonces es “uno” porque es lo que quedo o lo que tiene, es decir: a0
= 1
a1
• a–1
→ 1a1
• 1a–1
se multiplican los “uno”, después las letras: = 1a0
= 1
2
𝑎1
𝑎1 = 2
𝑎1 𝑎−1
= 2
𝑎0
= 2
1
= 2 · 1 = 2 es el resultado
Es decir 2a ÷ a = 2
Explicaciones detalladas más adelante si aún no te lo han enseñado, pág. 37
-----4. Formas o representación de la División o Cociente ------
Dividir 10 entre 5 y se lee “10 entre 5”
Se expresa así: 5√10 , 10/5 es lo mismo que escribir 10 ÷ 5 así también
10
5
Dividir uno ÷ a y se lee “uno entre a”, en ocasiones se expresa: 1 : a
Escribir 1/a es lo mismo que escribir: 1 ÷ a y así: y también: 𝑎√1
** Solo para esta guía se indica división con el símbolo √
--- 5. Continuando con los conceptos de los elementos matemáticos -----
La operación que sigue abajo, aquí serian también cinco cosas separadas

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Operando
Termino
Operador Operando
Termino
Operador Resultado
Termino
Producto
No se ve su
signo
La
responsabilid
ad que le
toca realizar
Es invisible su
signo
La
responsabilid
ad que le
toca realizar
Por que
es
positivo
su signo
no se
escribe
Observa que la “X” esta junto al numero, ya no es “por” entonces, ya no dice
multiplicar, es decir “4 por”; ahora “x” es una incognita por que no tiene un operador
visible entre ambos. Ahora Significa “4 por lo que hay en la “x” ”cuando sea
encontrado el valor de “x”, esto sucedera al resolver la operación
Mira el operador que es el que te indica lo que tienes que hacer en una operación
matematica
Importante es que en Algebra se usara el nombre de Termino.
Separando los términos quedando así:
5x +30 = 6 el operador principal suma indica sumar
Observa que el numero 30 tiene el operador que le antecede, se queda con el
signo positivo, los demás términos tienen signo positivo también
+5x +30 = +6
Ejem: 7 + 6x + 3y = 8ab – 1 ver que te indica el operador: hacer suma y resta
+7 +6x +3y = +8ab −1
Ves que Así es como se debe de acomodar cada termino y sus operadores
Símbolos matemáticos
para representar operaciones y relaciones entre valores y letras son:
Suma o adición

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Resta o sustracción o diferencia
Multiplicación o producto
División o cociente
Potenciación o potencia su inversa es
Radicación o Raíz
Logaritmación
Todos estos son los Operadores que se utilizaran más continuamente, cada uno
tiene sus responsabilidades
Ejem: el de suma, su responsabilidad es el de unir, juntar los numero con números,
también las letras con letras, también pueden ser números y letras etc.
Recomendación, comenzar viendo cómo se va separando cada termino y su
operador, ver los operadores que van a hacer, que le falta a cada termino es decir
los amigos secretos, entender la ley de los signos, el valor opuesto o cambio de
términos
------ 6. Recta numérica y ley de los signos -----
Números negativos ( − signo de
menos)
Números positivos (+ es el signo
de suma)
“* Puedes usar la línea de números como ayuda para sumar números positivos:
Ubicamos ambos puntos en una recta y trazamos el segmento.
Ejem: 5 + 3 = 8
siempre que sean del cero para la derecha se suman
Y pregunta si no faltó algo
se puede expresar así: +5 +3 = +8 por ser mayor el cinco: gana su signo

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Realizando la siguiente operación
a= 2
b = 5
Solución: 2 + 5 = 7 por ser número mayor el “5” gana: su signo
Operaciones con signos diferentes
Ejem. para restar: 6 – 5 = 1 por ser número mayor el “6” gana: su signo
pregunta si no faltó algo
se puede expresar así: +6 –5 = +1
ejem: 7 –6 = +1 por ser número mayor el “7” gana: su signo,
Nota que el signo positivo del número o constante no se ve pero que lo puedes
hacer aparecer porque está ahí
CON NÚMEROS NEGATIVOS DE INICIO:
–3 +2 = –1
–4 +6 = +2
Ejem: 2 –6 = –4 por ser mayor el “6” gana su signo
3 –8 = –5 por ser mayor el “8” gana su signo
Nota, Puedes ver que siempre se resta cuando los signos son diferentes

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+5 –9 = –3 por ser mayor el “9” gana su signo
–7 +8= +1 por ser mayor el “8” gana su signo
* Sumar números negativos
Puedes usar la línea de números como ayuda *
–3 –2 = –5 por ser mayor el “3” gana su signo
siempre que sean del cero para la izquierda se
suman
Ejem: –1 – 2 = –3 otra operación –6 – 3 = –9 si fuera –10 – 5 = –15
y esta –5 – 10 = –15 por ser “10” mayor valor absoluto gana su signo.
Puedes ver que los signos iguales siempre se suman en su mundo cada cual
–5 –2 = –7 en el mundo negativo
+3 +2 = +5 en el mundo positivo
Desarrollando la operación siguiente
B = –8
D = 15 se podría expresar así: +15
Ubicamos ambos puntos en una recta y trazamos el segmento.
Resolución: –8 + 15 = +7 por ser mayor el “15” gana su signo
Recuerda que Si un número no tiene signo significa que es un número positivo.

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Ejemplo: 5 es en realidad +5 o si 25 = +25 o si 500 = +500 pero el
signo de mas no se escribe se hace invisible si ya terminaste de resolver una
operación con numero positivo, aunque si lo escribes no está mal, no tienes
error
Sumar números positivos es hacer una suma normal.
Mira, Puedes, no usar la recta numérica para resolver algebra
Ejemplo: 2 + 3 = 5 realmente quiere decir "positivo 2 más positivo 3 es igual que
positivo 5".
Podrías expresarlo así: (+2) + (+3) = (+5) pero no se usa en las sumas
comúnmente
o cualquier número que pienses que No tenga el signo de menos “ – “ es
positivo
ejemplo: equis número Es en realidad +x o sea que es lo mismo x = +x
x número No tiene nada aun, no se sabe a cuánto vale cuando se inicia así
+x número Es lo que se le va a agregar después de hacer la solución;
después de resolver una ecuación, también es lo que vale la incógnita “x”, o
lo que tiene la incógnita “x”. a cuánto vale la letra “x”.
Si la incógnita o variable es la letra “a”, el resultado es lo que vale “a”, o es lo
que tiene “a”, o cualquier letra que uses, lo que importa es como tú lo
entiendes y lo comprendas.
Esto último se explica más adelante pág. 22
 Restar números positivos es una simple resta. Pero gana el valor
absoluto mayor
Ejemplo: 6 – 3 = 3 realmente quiere decir "positivo 6 menos positivo 3 es igual
que positivo 3".
Pero gana el valor absoluto mayor que es positivo 6
Podrías expresarlo así: (+6) – (+3) = (+3)
Ejemplo: –6 +3 = –3 realmente quiere decir " negativo 6 más positivo 3 es igual
que menos 3".
Pero gana el valor absoluto mayor que es menos 6

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Podrías expresarlo así: – (+6) + (+3) = (–3)
 Restar números negativos es lo mismo que sumar
Ejemplo: – 6 – 3 = – 9 realmente quiere decir "negativo 6 menos negativo 3 es
igual que negativo 9" y el valor absoluto mayor es negativo 6
Se leen «menos nueve», «menos tres», «menos seis», etc.
Podrías expresarlo así: – (+6) – (+3) = – (+9) gana el valor absoluto mayor que
es positivo 6 en esta operación; el resultado es: – 9
Observa que se usó en los ejemplos la Formas o representación de la
Multiplicación vista anteriormente es decir antes. Pág. 6
Si multiplicas el operador “ –, menos “ por el signo “ +, positivo” el resultado es el de
“ –, menos “.
Tienes que revisar la ley de los signos para la multiplicación y división que dice:
“* Cuando se realiza la operación con números de signo igual, el resultado es
positivo.
Cuando los signos sean diferentes el resultado será negativo sin importar el signo
de que se trate siempre es negativo *“(cita)
Ejem. suma y resta algebraica de constantes así:
1 +6 –9 +3 –1 –4 +8 empiezas sumando: 1 +6
7 –9 = 2 se hace la operación de los tres términos
–2 +3 = 1 se continua con el siguiente termino +3
1 –1 = 0 ahora la constante –1,
0 –4 = –4 continua el termino –4
–4 +8 = 4 sigue la constante +8 El resultado es: 4 positivo
Puedes poner letras, pero ahora se llaman variables, para que veas que es lo
mismo, al hacer los pasos de la solución, pero tienen que ser letras iguales, gemelas
1x +6x –9x +3x –1x –4x +8x El resultado es: 4x positivo
--------- 7. Valor Opuesto o simétricos ----------

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“* El valor absoluto de un número es su valor numérico sin tener en cuenta su
signo. (cita)
Se representa con el símbolo “ | | ” y se lee el valor absoluto de: *”
Valor absoluto de 6
Ejem: |6| esta sin el signo positivo o negativo
“*El Valor absoluto quiere decir pensar en cómo de lejos está un número de cero*
Por ejemplo "6" está a 6 de cero, pero "-6" también está a 6 de cero.
 Así que el valor absoluto de 6 es 6, y el valor absoluto de –6 es 6 también.
Resultado = 6 Es decir es un numero sin símbolo de signo |6|
El valor opuesto o simétrico
de 6 es –6, y el valor opuesto de –10 es 10 también. Así que el valor opuesto de un
número es el mismo número, pero con signo contrario. Se tiene que escribir su signo
6 opuesto – 6
–10 opuesto +10
Si se usaran letras tendrá que ser lo mismo. El valor opuesto o simétrico de “a” es
“– a”, y el valor opuesto de “– x” es “x” también. Así que el valor opuesto de una letra
es la misma letra, pero con signo contrario. El signo se tiene que poner.
a opuesto –a
–x opuesto x
El valor opuesto o simétrico de letras y números juntos, es esos mismos número y
letras con el signo opuesto así:
Ejem: 5ab su opuesto es: –5ab
–2xy opuesto 2xy

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“* El opuesto de un número es el número que al ser sumado con él da, de
resultado el número 0. “*(cita)
---- 8. Propiedades de la igualdad o transposición de los términos ----
Bueno por ahora aplicaremos esta forma de cambiar términos en una ecuación
que es una igualdad, con el opuesto de la operación lo haremos, esto sirve también
para la asignatura de física
Poner números con números, letras con letras, pero las letras deben ser semejantes
 “* Cuando un término está SUMANDO en un miembro, al otro lado de la
igualdad o sea del símbolo u operador igual “ = ”, pasa al otro miembro
RESTANDO.
Constantes son todos los números que veas o se encuentren en ambos miembros
de la operación o de un solo lado de la igualdad.
debemos pasar el número 4 hacia el otro lado de la
igualdad
así queda la expresión en el otro lado; “positivo 4”, +4 cambio de lado y
Ahora es – 4, “negativo 4”
es llegar a la mínima expresión en ambos lados
Nota que primero se hace el desarrollo de la expresión donde se encuentran los
números que se llaman constantes que son:

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 Ejem: +8 con – 4
Para esta ecuación que está presente en el libro de
X + 15 = 25 despejar la incógnita o letra para que este sola
x = 25 – 15 la constante (+15) se cambia de lugar, al otro miembro
x = 10 la “x” se cambia por la constante (10), ya no es “x” ahora es el 10
Mira que el número más grande es 25, entonces gana su signo positivo
 Cuando un término está RESTANDO en un miembro, al otro lado de la
igualdad o sea del símbolo u operador igual “ = ”, pasa al otro
miembro SUMANDO.
x – 1 = 5 poner las constantes en un lado de la igualdad
x = 5 + 1 dejar la variable sola
x = +6 porque el 5 es el valor más fuerte, entonces “x” a cuánto vale, pues vale 6
o sea se cambia a 6
realizando la siguiente operación:
3 = 2 – x
– 2 + 3 = – x
1 = –x o lo puedes poner como espejo como:
–x = 1 esto es, si lo reemplazas por lo que tiene la “x” ahora
–1 = –1 el resultado es confuso, pero esto se hace así
Puesto que la “x” tiene un valor de “positivo 1”, cuando tú la reemplazas dentro de
“x”, la sustituyes porque es su valor cuando se resolvió la ecuación
1 = –x se lee 1 es igual que “menos x”, o sea es lo mismo
– (x) separando los signos para quitar la “x” y poner la constante
– (+1) esto es lo mismo que si lo escribes como: 1 = –x
Se usa la multiplicación de los signos “ – por + ” da el resultado de: –1

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También se puede dividir al separar su coeficiente de “x”
–x = 1 hay que separar el número invisible de la “–1x”
–1(x) = 1 coeficiente de “x” es el –1, y es una multiplicación
x = 1/–1 se cambia el “menos 1”, usar el opuesto de la multiplicación; la división
x = –1 se usa la ley de los signos de la división, “+ entre – “ resulta “–, menos “
Lo puedes cambiar de lugar “x” a la izquierda y constantes a la derecha
3 = 2 – x
x = 2 – 3 la “x” a la izquierda y constantes a la derecha
x = –1 recuerda el valor absoluto que gana cuando es mayor: – 3
Entonces. Los términos en la suma y resta, pueden pasar del miembro de la
izquierda, al de la derecha o viceversa es decir al revés; Siempre debe hacerse
con la operación contraria.
 Ahora lo que sigue es
 Cuando un término está MULTIPLICANDO en un miembro, al otro lado de la
miembro DIVIDIENDO a todo el miembro
Primeramente, se realiza o hace la expresión de los números o constantes
que son: +20 y +40 en este ejemplo, el punto indica multiplicar

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El número 8(es constante positiva) está multiplicando a la "x", por lo
tanto, debemos pasarlo al otro lado dividiendo, pero debajo de positivo
800. Observa
así se encuentra la mínima expresión de una ecuación
Desarrollo de otra operación:
15 = 3x coeficiente 3 está multiplicando, se tiene que convertir a una división
15
3
= 𝑥 se realiza lo que nos solicita el operador, con las constantes de un lado
5 = x y haciéndolo como espejo así:
x = 5 la “x” cambia por el positivo 5, recuerda que es la misma cantidad
 Cuando un término está DIVIDIENDO en un miembro, al otro lado de la
miembro MULTIPLICANDO a todo el miembro
el número 2(es constante) está dividiendo a la
"x", por lo tanto, debemos pasarlo al otro lado multiplicando, pero del
lado de positivo 12. Observa *“(cita)
haciendo lo que indica el operando multiplicar
se lee “x” es igual que “24”, o sea ahora vale lo mismo

20
Deduciendo la ecuación siguiente:
4 = x/2 la incógnita se divide entre dos, hay que poner solo constantes
2 • 4 = x el 2 que divide cambia por su opuesto que es multiplicar
x = 4 • 2 lo puedes invertir como espejo
x = 8 a cuánto vale “x”, pues vale 8
 Puedes hacer una cruz para tener una idea de cómo realizar los cambios
Multiplicación pasa a división
División pasa a multiplicar
“*(Una parte de texto copiado de internet)
 Propiedades de la igualdad------
Si estas en matemáticas ya más avanzadas o superiores entonces puedes aplicar
las propiedades de la igualdad
Ejem adecuado de propiedades de la igualdad:
Ejemplo
Problema (y − 3) =

214(y − 3) =
4y − 12 = -1x + 1
x + 4y − 12 = -x + 1 + x
X + 4y − 12 = 1
x + 4y − 12 + 12 = 1 + 12
Forma
estándar
x + 4y = 13
----- 9. Elementos de una ecuación -------
“* Un término es o bien un número o variable solo,
Ejem: 4 solo con su acompañante positivo, recuerda que no se escribe
Un término también es con números y variables multiplicados juntos.
Ejem:4x Podría expresarse así: +4x significa que, o quiere decir "positivo 4
multiplica positivo x que a su vez quiere decir ”que x es una variable” "
Una expresión es un grupo de términos (los términos están separados por
operadores signos + o – , etc.)
Una operación:
Numérica: Es el número que va antes de las letras – también se le llama
COEFICIENTE - (si no lleva ninguna cifra, IMPORTANTÍSIMO recuerda que lleva
el 1). Todos los demás números si se escriben, desde la cifra 2 hasta el infinito
Ejem: 4x el cuatro es numérica o coeficiente

22
Sin una cifra numérica la literal, variable o incógnita seria:
Ejem: x el número “ 1 ” es numérica o coeficiente de “x” aunque no lo veas por
ser invisible; todo número o letra que esta junto a otra letra se resuelve multiplicando
a todos entre ellos, empezando de izquierda a derecha.
Ejem: 4xn se lee “4 multiplica a “x” después multiplica a “n” ”, solo cuando tienen
un valor, es decir, han cambiado por una cantidad, cada letra así:
4(6)(7) el 6 representa a “x”, el 7 es lo que vale “n”
Se expresa así: x = 6, n = 7
4(6)(n) = se multiplica coeficiente con lo que vale x = 6
24(7) = se multiplica coeficiente con lo que vale n = 7
R= 168 después de sustituir las variables
Los paréntesis indican o dicen multiplicar, siempre de izquierda hacia la derecha
4 por 6 después por 7
24 por 7 = 168
Ejem: x Podría expresarse así: +1x significa que, o quiere decir "positivo 1
multiplica positivo x que a su vez quiere decir “que x es una literal o variable” "
Podría expresarse: +1(+x) pero no se expresa tal como es, por la regla de los
positivos, tú debes de hacer la magia de “ahora lo ves”
La “x” que parece estar sola nunca está sola pues tiene amigos secretos que la
acompañan siempre, lo mismo sucede con la literal “a” y con todas las letras sin
compañero visible
Todos los términos que tú ves muy solos y abandonados tienen compañeros,
acompañantes, amigos secretos o algo oculto por ser positivos y por ser el número
1 así:
X se vería así: +1x1
ejem: b se vería así: +1b1
Los números o cifras que son constantes:
3 se vería así: +31
Solo el número uno (1) no se expresa o escribe cuando esta junto a las letras o
como exponente
Ejem: x + 1 = 1 + x2
observa, el 1 como constante si se expresa o escribe

23
Literal: Es la compuesta por letras con sus exponentes, si los tienen.
Ejem: 4x Podría expresarse así: +4x significa que, o quiere decir "positivo 4
multiplica positivo x y esto quiere decir “que x es una variable o literal” también
quiere decir “que x es una variable o literal con un exponente de 1 ” "
Podría expresarse así: +4x1
Grado: Es el mayor de los exponentes de las incógnitas, una vez realizadas todas
las operaciones (reducir términos semejantes, detalles más adelante).
Ejem: 4x quiere decir “que x es una variable o literal con exponente de 1 ”
Podría expresarse así: 4x1
Nota que el exponente que es el número “1” no se expresa en el término, que es
exactamente lo mismo que sucede con el coeficiente que existe siempre con la
variable cuando es única, o sea que está sola
Ejem:4x2
quiere decir “que x es una variable o literal con exponente de 2 o llamada
también al cuadrado” y aquí:
Ejem:4x2
Se debe de escribir el dos
Se debe de expresar (escribir matemáticamente) el exponente obligatoriamente,
nada de que él también es invisible, escribir del “2” en adelante.
Ejem: 6x3
Se debe de escribir el 3
Miembro: Es cada una de las dos expresiones algebraicas separadas por el signo
" = " igual.

24
Una variable o literal es un símbolo para un número que todavía no conocemos.
Normalmente es una letra como “x” o “y”, nombradas Incógnitas: Son todas las
letras que aparecen en la ecuación.
Constante Un número solo (sin letra) se llama una constante. No tiene una variable
que acompañe al número, pero también tiene un acompañante como en la recta
numérica. Si lo encuentras del lado de los positivos, pero no está escrito su signo,
si el número es negativo es obligatorio expresarlo.
El signo positivo es invisible y el exponente cuando es 1 también es invisible
Ejem: 7 y la constante 5
y la constante +51
Nota que no aparece cuando es signo positivo y el numero 1 es exponente
Como constante el número “1” si se escribe
1 + 1 + a =
Podría expresarse: +11
+ 11
+ 1a1
= Se suman términos semejantes
+21
+ 1a1
= 2 + a No son términos semejantes, ya no se suman
Un coeficiente es un número que está multiplicando a una variable (4x significa 4
por x, así que 4 es un coeficiente)
Ejem: 4x + x = 5x porque los coeficientes se deben resolver: 4 y 1, la “x” aún
no se puede solucionar y ambos son términos semejantes
podría expresarse: +4x + 1x = +5x se pueden sumar porque la “x” son gemelas
+4x1
+ 1x1
= +5x1
y porque el exponente es el número “uno”
Resultado: 5x para así llegar a un resultado más pequeño o reducción de
términos semejantes

25
ejem: x + x + x + x = 4x el operador dice “sumar” y son letras gemelas
Ejem: resolver la ecuación: 5 + x + 1 + x2
+ 2x + 2x2
+ 4x3
+ y + 2y + m = 0
Ver que términos son igual o gemelos, empezamos con las constantes
5 + 1 = 6 entonces la Ecuación queda: 6 + x + x2
+ 2x + 2x2
+ 4x3
+ y + 2y + m =0
Ahora las literales que sean idénticas, aunque su coeficiente sea diferente:
x + 3x = recuerda que: +1x1
+ 2x1
= 3x
la Ecuación queda: 6 + 3x + x2
+ 2x2
+ 4x3
+ y + 2y + m = 0
seguir con las variables al cuadrado que son gemelas
x2
+ 2x2
= recuerda que: +1x2
+ 2x2
= 3x2
esta ecuación queda: 6 + 3x + 3x2
+ 4x3
+ y + 2y + m = 0
continuamos con las siguientes incógnitas al cubo que es:
4x3
pero ya no tienes otro gemelo para resolverlo pues es único
la Ecuación queda: 6 + 3x + 3x2
+ 4x3
+ y + 2y + m = 0
ahora siguen las incógnitas “ y ” que son gemelas:
y + 2y = recuerda que: + 1y1
+ 2y1
= 3y1
ahora la ecuación quedo: 6 + 3x + 3x2
+ 4x3
+3y + m = 0
m = esta literal no se puede combinar con nadie, pues no tiene gemelos
Entonces la ecuación se solucionó así, aunque solo se simplifico:
5 + x + 1 + x2
+ 2x + 2x2
+ 4x3
+ y + 2y +m → 6 + 3x + 3x2
+ 4x3
+3y +m = 0

26
Simplificar es reducir o hacer chiquita la expresión original si tiene términos iguales;
es lo mismo que, para hacer esta ecuación a su mínima expresión, no es lo mismo
que: se necesita tener un valor o constante para las “x”, es decir, a cuánto vale la
“x”.
Un operador es un símbolo (como +, ×, etc.) que representa una operación (es
decir, algo que quieres hacer con los valores o cifras). *”
Soluciones: son los valores o cifras que deben tener las incógnitas para que la
igualdad entre los miembros sea cierta.
Podrás notar que le puedes llamar porque así le llaman, a cualquier letra como:
Incógnita “x”, “equis”, variable “x” o literal “x” o Incógnita “a” etc. que todo lo escrito
representa lo mismo, que es algo que no se conoce cuando empiezas la operación,
pero que debe tener un valor más adelante al desarrollar el proceso y terminar en
una solución para la “x”, a cuánto vale y cambia esa incógnita.
Observa. El número “1” que siempre acompaña a la “equis” cuando se ve sola o
abandonada no es lo que vale “x”, es su compañero o amigo secreto porque es
invisible.
La “equis” es como si fuera una caja que va a guardar algún automóvil que no sabes
cuál es, ¿cuándo?, cuando tu termines de hacer la operación y tengas un resultado
para guardar en tu caja que es la “X”, entonces el valor de la caja cambia por el
automóvil que resulto, ahora será bocho del 68 “por un decir” pero ya no caja, o sea
en una pista de carreras ¿qué usaras? la caja o el bocho
Cuando se hace un pan. En el inicio no es un pan
La “equis” es como la masa, se empieza un proceso para hacer la operación de la
masa y tengas un resultado que es un pan, que paso o sucedió con la masa, pues
con el proceso se convirtió al terminar la operación en pan y la masa desapareció
como tal, si la masa es la “equis” entonces desaparece
Ejem: masa = pan , por lo tanto ahora: pan = pan
Con incógnita se expresa así: x = pan desaparece la equis y queda: pan = pan
Ya no usas la “equis” como incógnita usas lo que salió como solución o resultado,
pero solo cuando terminas toda la operación:
O sea: x = 7 se destruye la equis porque ya sabes cuánto vale, su valor: 7=7

27
Ejercicios con variables, incógnitas o literales
Podrías usar las letras “x” e “y” en lugar de la “d” y la “c”, pero es de preferencia
utilizar sus propias letras del problema que vas a solucionar
c = 3.14 es a cuánto vale “c”, que cambia por una constante, que es un
numero o cifra
diámetro(d) ? 2 3 5 6 ? 36
circunferencia(c) ? 6.25 9.42 15.70 ? 31.40 ?
c = 3.14d numero junto una letra, indica multiplicar su “coeficiente por la letra”
c = incógnita , ya está resuelta pues sabes que desaparece, ya se encontró con
un valor, pero faltan unas constantes de la circunferencia(c) indicadas con “?”
d = incógnita , se le debe poner un valor que está en la tabla para encontrar
las cifras que faltan en circunferencia
ejemplo 1.- para encontrar la solución de:
c = 3.14d es la formula
c = 3.14(6) se sustituye el valor que tiene “d”
c = 18.84 los paréntesis indican multiplicar y se obtiene una solución de “c”
diámetro(d) ? 2 3 5 6 ? 36
circunferencia(c) ? 6.25 9.42 15.70 18.84 31.40 ?
ejemplo 2.- Desarrollando la solución de “d” que falta, con “c” que tiene 31.40, y es
lo que vale
c = 3.14d es la formula
31.40 = 3.14d aquí se sustituye los valores o constantes que conoces, en “c”
31.40 / 3.14= d se despeja la incógnita o sea se deja sola, se usa la propiedad
de la igualdad, cual es el opuesto de la multiplicación
10 = d cuando divides se obtiene el resultado en “d”
diámetro(d) ? 2 3 5 6 10 36
circunferencia(c) ? 6.25 9.42 15.70 18.84 31.40 ?

28
Para los dos primeros valores que faltan creo que ya lo puedes suponer o puedes
realizar las operaciones correspondientes para obtener cuando inicia todo que es
en el uno.
Pues si lo inicias en cero talvez ya imaginas lo que pasa, o sea no pasa nada pues
lo puedes multiplicar o dividir y nada inicia.
Y para encontrar la última solución se debe multiplicar como en ejemplo 1.-
Deducir el valor de la siguiente ecuación, modificadas
Ecuación 1:
y = x + 4
sumar 3 en ambos miembros
Ecuación 2:
3 + y = x + 4 + 3
multiplicar por 2 en ambos miembros
Ecuación 3:
2(3 + y) = 2(x + 4 + 3)
restar 10 en ambos miembros
Ecuación 4:
10 – 2(3 + y) = 10 – 2(x + 4 + 3) por la regla del PEDMAS se tiene que realizar
la operación de los paréntesis primero así:
2(3 + y) – 10 = 2(x + 4 + 3) – 10 Ecuación 4
2(3) +2(y) – 10 = 2(x) + 2(4) + 2(3) – 10 Se usa la propiedad distributiva
6 + 2y – 10 = 2x + 8 + 6 – 10 Se resuelven los paréntesis disponibles
6 – 10 + 2y = 2x + 8 + 6 – 10 Se acomodan los términos constantes
– 4 + 2y = 2x + 14 – 10 Hacer las operaciones de suma o resta de constantes
– 4 + 2y = 2x + 4 y ganan los signos del número mayor o más fuerte

29
+ 2y = 2x + 4 + 4 Se cambian los términos, separando incógnitas y constantes
2y = 2x + 8 Se reducen los términos semejantes (detalles más adelante)
y = (2x + 8) / 2 Se usa el cambio de términos de la multiplicación en “y”
y = 2x/2 + 8/2 Se reacomodan los términos para reducirlos. P. distributiva
y = 2x/2 + 4 Se divide el termino
Fíjate “ojo”, en la propiedad distributiva porque en el término:
2x/2 = 2/2 x Separando los datos, divide solo los números y no la letra ”x” es:
y = x + 4 Solución; en su mínima expresión
Asignas valores a la “x” e “y” en la ecuación 1
Si le pones el valor de “0 , cero” a la “x” entonces:
y = x + 4 Esta es la ecuación 1
y = 0 + 4 sustituyes o eliminas la letra “x” y le agregas el valor
y = 4 es lo que ahora vale “y”, es la solución de una variable o incógnita
x= 0 , y= 4 llegando a la única expresión de las variables
Mira, Si le agregas el valor a una incógnita, se obtiene el valor de la otra incógnita
Verifica que los valores que asignaste en la ecuación 1 también son solución de
las ecuaciones 2, 3 y 4
Se podrá escribir solución, resolución, resultado que quiere decir lo mismo
Y esto mismo aplica (o sucede) con los números que cambian de nombre a
constantes, y todo los demás elementos
En resumen, y además consulta las reglas del PEDMAS (orden de operaciones)
http://www.disfrutalasmatematicas.com/operaciones-orden-pemdas.html
La incógnita que está sola sin coeficiente, no es cierto que está sola tiene
acompañantes
x = ,así se expresa o también de esta forma:

30
x + constante .Se expresa así pero siempre tiene elementos invisibles
podría expresarse así; +1x1
tiene un coeficiente de 1 y un exponente de 1
------10. Los términos semejantes -----
“*Se le llama términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual factor
literal ( ), es decir, a aquellos términos que tienen iguales letras (símbolos literales)
e iguales exponentes (el mismo número que se llama grado). *“(cita)
Exponente de primer grado “igual que” exponente de primer grado
a1
= - a1
el número 1 indica el grado, es como su gemelo
Exponente de segundo grado “igual que” exponente de segundo grado
a2
= - a2
el número 2 indica el grado
Exponente de tercer grado igual que” exponente de tercer grado;
a3
= - a3
y así se hace y se continua con las letras y los demás exponentes, es
como su gemelo
Por ejemplo
Es como si tuvieras un ojo azul con brillos de oro tu clon o gemelo debe tener lo
mismo que es
un ojo azul con brillos de oro
Entonces así sucede también con letras que también son llamadas incógnitas, etc.
Ejem: a es una variable
La literal “a” tiene que ser idéntica con otra literal “a”, es como su gemelo
≡ este símbolo significa idéntico, es decir que tiene ser como un clon que tiene
todo igual de su original
Se expresa: a ≡ a es lo que debe de tener el otro termino de semejanza
Si tenemos” a” es igual con otra “a”, es su gemela
Se expresa así;

31
Ejem: a = a esta “a” que ves es igual a la otra “a” ?, Sí es igual porque “a”
tiene un número “1” como coeficiente que siempre está ahí pero no se ve y
después del signo igual esta la otra “a” que es la misma letra que también tiene un
número “uno” de coeficiente,
Podría expresarse así: 1a = 1a
que más tiene oculto, o que no se ve, pues el exponente que también es número 1
en la “a” y falta que se muestre el signo que es “positivo”, y entonces en la otra “a”
se sabe que tiene un “exponente” invisible que es el número 1 y un signo también
“positivo”
podría expresarse: +1a1
= +1a1
Observa que lo importante es que “las letras” sean iguales y que “el exponente”
sea el mismo en cada letra, no importa el signo.
otra operación con signo opuestos
ejem: a = - a que es lo que ves aquí, te parece que son iguales las letras,
pues sí, pero ves una letra que tiene un signo de menos, no olvidas algo, que
cuando son positivo los términos su signo esta invisible y que más es invisible,
algo muy importante para poder reducir los términos semejantes; junto con las
letras idénticas tienen que tener el mismo número de exponente
podría expresarse: a1
= - a1
faltan los que siempre están ahí, los otros
acompañantes invisibles
Deduciendo la reducción de términos
a = - a hay que ver si falta algo, es verdad que si son iguales (en azul)
+1a1
= -1(+a1
) mejor poner los amigos secretos para no equivocarnos
Desarrollando una operación con términos semejantes
a + a + a = por lo visto antes se sabe que para ser términos semejantes
tienen que ser idénticos
podría expresarse así: +1a + 1a + 1a = Entonces se procede con lo que
sabemos se puede operar, que es con los coeficientes numéricas que son los
unos que eran invisibles pero que los podemos hacer aparecer
quedaría así: +1a + 1a + 1a = 3a
qué pasa con los exponentes, sabemos que ahí están presentes

32
+1a1
+ 1a1
+ 1a1
= 3a en esta operación los exponentes no se tocan porque
no nos indica alguna operación a realizar pues todos son “exponentes” con signo
positivos “1”, así (+1)
+1a+1
+ 1a+1
+ 1a+1
= 3a aun no es, a cuánto vale “a”; el 3 es su “coeficiente de
multiplicar por a”, la multiplicación todavía no se ha hecho
En este ejemplo demostrar que son iguales las variables “a”
a = a2
pues apoyados en lo que se dice, de que tiene que tener los mismos
elementos visibles y no visibles,
+1a1
= +1a2
recuerda que solo cuando es número” uno” no se escribe y sucede
lo mismo con el signo positivo entonces con lo que miras en la operación, que te
dice, usando el concepto de termino semejante, son iguale o no lo son?
la letra “a” es igual que la otra letra “a” pero que sucede con en el “exponente”,
miembro izquierdo es 1 y el miembro derecho es 2, entonces son iguales o no lo
son?
Este símbolo significa “no es igual que” ≠
resultado: a ≠ a2
Desarrollando otra operación de ejemplo
a + a + a – a = son iguales de letra y exponente,
1a + 1a + 1a – 1a = Se realiza la operación correspondiente de izquierda a
derecha así:
2a + 1a – 1a = Se continua con el término que sigue
3a – 1a = 2a el número mayor que se ve es el 3, por lo tanto, gana su signo
R= 1a + 1a + 1a – 1a = +2a Realizando las operaciones solo con los coeficientes
Desarrollando la operación siguiente:
x + x2
+ x +x = revisar que se indica y que falta
podría expresarse: +1x1
+ 1x2
+ 1x1
+ 1x1
= se calcula con los operadores de
suma y se unen las “x” de exponente 1
x + x2
+ 2x ⟹ 1x1
+ x2
+ 2x1

33
3x + x2
= porque ya no son iguales, tienen la misma letra, pero no el mismo
exponente
Resultado: 3x + x2
pero aun no es a cuánto valen las “equis”, solo se simplifico
Los ejemplos siguientes te muestran
6 a 2
b 3
es término semejante con – 2 a 2
b 3
porque ambos tienen el mismo factor
literal (a 2
b 3
)
1/3 x 5
yz es término semejante con x 5
yz porque ambos tienen el mismo factor literal
(x 5
yz)
0.3 a 2
c no es término semejante con 4 ac 2
porque los exponentes no son iguales,
están al revés.
“* Reducir términos semejantes consiste en sumar o restar los coeficientes
numéricos en una operación matemática y conservar el factor literal común.
*” (cita)
Ejemplos: a) 2x + 3x - 6 x + 4 x = 3 x
b) 5 x + 2 x + 3 y = 7 x + 3 y
No confundir una suma o resta con una multiplicación o división
Por qué en una suma o resta los “exponentes” nunca se pueden sumar
Ejem: x + 2x + x2
= 3x + x2
no se pueden sumar los exponentes, pero los
coeficientes (solo números) si se hace (realiza) la operación que te indique su
signo operador, pero cuando son variables iguales: ejemplificando el proceso:
Podría expresarse matemática: 1x + 2x + 1x2
= 3x + 1x2
es la solución
En una multiplicación o división si se pueden sumar o restar solo los “exponentes”
Ejem: x * 2x * x2
= 2x4
si se pueden sumar los “exponentes” y se hace la
multiplicación de los coeficientes, aunque no tengan incógnitas iguales en
exponente, pero deben de ser las mismas letras
Podría expresarse matemática: 1x1
* 2x1
* 1x2
= 2x4
Ejem: combinación de suma y multiplicación y sus exponentes
x + 2x + x + x(2x2
) = sumar los términos que son semejantes
x + 2x + x = poniendo sus coeficientes y exponentes se expresaría así:

34
1x1
+ 2x1
+ 1x1
= entonces sumando los primeros términos así: 1x + 2x = 3x
3x + 1x = 4x sumando; entonces, la nueva operación es así: 4x + x(2x2
)
porque no son semejantes ahora sigue la multiplicación: x(2x2
)
se puede expresar así: +1x1
( +2x2
) o así +1x1
* +2x2
1x( 2x2
) = +2x3
se multiplican signos, se multiplican los coeficientes y los
exponentes se suman, la nueva operación se verá así:
4x + 2x3
ya no se puede sumar porque no son los mismos exponentes de “x”
Te recuerdo que lo correcto es que primero se deben de eliminar los paréntesis y
después se hacen las sumas, es la regla del PEDMAS
---- 11. Desarrollando la solución de una ecuación con una variable ---
“* La solución de ecuaciones algebraicas a menudo significa despejar o aislar la
variable, o reescribir la ecuación de tal forma que una expresión sea sólo la variable
con un coeficiente de 1. *“
Es decir, que debe de ser solo una letra ya sea a, b, x, y, etc. con su compañero
invisible que es el número 1 como coeficiente:
Ejem: x que es lo mismo que 1x
2x + 11 = x – 3
Siguiente paso: se emplea la regla de cambio de términos o el opuesto de los
términos, que se llama transposición de los términos, pero llamémosle también
opuesto de términos por el momento.
Las constantes se van a un lado del signo igual y las variables con sus coeficientes
se pasan al otro lado del signo igual
Los términos que son números o constantes se cambian de la izquierda hacia la
derecha con su compañero que será signo opuesto, o viceversa según sea el caso,
las incógnitas se dejan del lado izquierdo de preferencia
2x + 11 = x – 3
Se podría expresar así: +2x + 11 = + x – 3
quedando así:
+2x -- x = – 3 -- 11 nota que positivo x cambio a negativo x, y que positivo
11 cambio a negativo 11

35
Además, recuerda que el positivo de 2x no se pone por convención
realizando el proceso de las expresiones del lado izquierdo y del lado derecho que
solicita este ejemplo
+2x -- 1 x = – 3 – 11 de donde sale el número uno que ahora acompaña a la
incógnita “x”, Recuerda el neutro de la multiplicación que es invisible y no se pone
por formal, pero ahí esta
+1x = – 3 – 11 realizando la reducción de términos semejantes en el
miembro de la incógnita y su coeficiente, Nota que se realiza la operación de suma
y resta solo con las numéricas o coeficientes que son: +2 -- 1 = +1 pues
gana positivo 2
+x = – 14 realizando la reducción de términos semejantes en el miembro de
las constantes usando la regla de los números negativos, y el signo que gana es el
de mayor valor absoluto, negativo 11
Recuerda que el mayor valor absoluto es el que gana con su acompañante signo
Entonces se expresa la solución por convención que es, sin el signo + y el
coeficiente 1 de x
Quedando expresado así: (cuando el termino es negativo siempre se indica con su
signo, -- )
Verificando el resultado o solución

36
También se dice sustituyendo en lugar de reemplazando, y también
comprobando, y las letras que usas como “x” se destruye porque pones lo que te
salió de solución
------ 12. Las propiedades de elemento neutro de la suma ---------
“* Número Real Los números reales R (símbolo representante) son "todos los
números" en la recta numérica . Estos incluyen los números racionales e
irracionales juntos.
*** Este inicio de las operaciones es confuso, pero se va explicando con más detalle;
cómo se va haciendo cada paso de la solución con información antes mencionada
• Elemento neutro. El número real “0, cero” sumado a cualquier número lo deja
sin cambiar: si “a” es un número real, entonces:
a + 0 = a se lee “a” más “cero” igual que “a”
Ejemplos:
Si el valor que tiene la “a” es de 87.2
Se expresa así:
a = 87.2 se lee como ahora es lo que vale “a”, o es lo que tiene “a”, es el
incognito que no sabías que estaba en la letra “a”, es la cantidad que se agrega a
la letra “a”, como tú lo deseas llamar
realizando los pasos:
87.2 + 0 = 87.2 se lee 87.2 más cero es igual que 87.2
 Solución: 87.2
 8763.218 + 0 = 8763.218
 0 + (–56.41) = –56.51
.
• Elemento inverso. Todo número real tiene un inverso aditivo, lo que quiere decir
que, si se suman el número y su inverso (su contrario), el resultado es 0:
si a es un número real, entonces
a + (–a) = 0 porque “+ por – ” es: a – a = ,es decir: +1a –1a =0
Ejemplos:
Sí “a” tiene el número 87.36 Y el inverso de esta misma “a”, que es la que está
dentro del paréntesis tiene el numero –87.36 es sea es lo que vale “-a”.
• El inverso aditivo de 87.36 es –87.36, porque

37
187.36 + (–87.36) = 0 se multiplica el signo: + por – es igual que – (menos); se
usa la regla de los signos de la multiplicación que esta explicada anteriormente
Podría expresarse así:
87.36 + 1(–87.36) = 0 y se multiplica el 1 por la cantidad dentro del paréntesis,
se explica su uso más adelante, se usa la propiedad del neutro de la multiplicación
87.36 – 87.36 = 0 realizando la resta
Resultado = 0
---- 13. Y el elemento neutro de la multiplicación
Elemento neutro
. El número real 1 multiplicado a cualquier número lo deja sin cambiar:
sí “a” es un número real, entonces:
Ejem: a x 1 = a esta operación es lo mismo que a • 1 = a
y lo mismo que: +1a = a puesto que 1(+a) = +1a
podría expresarse así: +1(+a) = +1a pero no se escribe así, se escribe como en
la primera operación, así: a x 1 = a y también 1(a)= a
Esto se usa en algebra y matemáticas más avanzadas:
+1a = a es la variable, incógnita o literal, es decir que la letra que está sola tiene
un numero positivo 1(+1) siempre, pero se hace invisible y también puede ser un
numero negativo 1( - 1)
Ejem: a x -1 = - a se lee “a multiplica a menos 1” es lo mismo que +a • -1 = - a
o sea
-1(+a) = - a puesto que -1(+a) = -1a se usa la regla de los signos de la
multiplicación
Ejemplos:
Si la literal “a” tiene el valor de 8.2 es decir:
a = 8.2
8.2 x 1 = 8.2 se multiplica 8.2 por su neutro de la multiplicación que es 1
 Solución = 8.2
 8763.218 x 1 = 8763.218
 1 x (–56.41) = –56.41 se multiplica el “+” que esta con el 1 aunque tú no
lo vea
Se multiplican los operadores por el “ – “:
+ por – igual que – (menos).

38
podría expresarse así: +1 x (–56.41) = –
y se multiplican los números o cantidades, el 1 por –56.41
 Resultado = –56.41
fraccion mixta, 1 entero y 8 catorceavos
Elemento inverso
. Todo número real distinto de cero tiene un inverso multiplicativo, lo que quiere
decir que, si se multiplican el número y su inverso(contrario), el resultado es 1:
sí “a” es un número real distinto de cero, entonces *”
a x 1/a = 1 esta expresión es lo mismo que
desarrollando la operación sería:
una forma o método de hacerlo:
𝑎
1
𝑎
=
Se puede multiplicar “a” que está sola por el 1 de arriba
𝑎1
1𝑎
=
Se divide números con números y letras con letras:
1 entre 1 es igual a 1
Y las letras o incógnitas
a ÷ a es igual a cero
por qué; variable de arriba tiene un exponente positivo “1” aunque tú no lo ves y la
variable de abajo tiene un exponente negativo “1” entonces:
se usa la regla de la suma en los exponentes: +1 – 1 = 0
𝑎1
1𝑎
= 1 𝑎1
𝑎−1
= 1
Observa; que todos los números son constantes y las letras que son literal, variable
o incógnita que están encima o arriba de la raya tienen un exponente con numero
positivo que es invisible
Y que todos los números o constantes y las letras que son literal, variable o incógnita
que están debajo o abajo de la raya tienen un exponente positivo que es invisible
también pero que cuando los cambias de lugar y los colocas del lado de arriba su
signo del exponente cambia a negativo:
Se expresa así:

391
𝑎1
𝑎−1
1
= 1
Podrías usar la recta numérica en posición vertical o sea parada; o también el piso,
imaginando la parte de arriba del mundo es positiva y la parte de abajo, el
inframundo es negativo
Nota que te confunde, pero en una ecuación se usa el cero cuando te digan
“que se tiene que igualar a cero”
Ejem: x + 15 entonces se usará la propiedad neutra de suma
Se expresa así: 0 + x + 15 = 0
Pero la “x” tiene la propiedad del elemento neutro de la multiplicación que es el
número “1” y un signo que es positivo o sea positivo 1( +1 ), pero que no se escribe
tiende a ser invisible por convención
Podría expresarse así: +1x + 15 = 0 Sumando las constantes, lado izquierdo
Hay explicaciones con operaciones matemáticas más extendidas previamente o
antes, de todo lo que se está tratando en estos principios de las matemáticas, que
parecen ser y suele ser repetitivo, por las mismas condiciones del uso de los
elementos que conforman la solución.
En toda suma o resta existe un cero que está sumando, pero nunca se pone o
expresa,
Ej. Para esta ecuación ( 3x - 5 = x + 2 ) tu cálculo tendrá que ser parecido a este:
 3x + x = 5 + 2 (aquí se aísla la incógnita de las constantes)
 4x = 7 (se reagrupan los otros elementos de la ecuación, reduciendo)
 x = 7/4 (se divide entre el coeficiente 4) lo dice la regla de las propiedades
de la igualdad, de los opuestos, el opuesto de la multiplicación es la división
 S = 7/4 o así: S = 1.75 S significa solución
----14. Las ecuaciones o formulas ----
“* Las ecuaciones no son fijas, pueden ser modificadas, siempre y cuando la
igualdad se mantenga en ambos lados del signo igual */(cita)

40
Es decir, si de un lado tienes cinco dedos DEL OTRO lado también tienes cinco
dedos, sí o no
Si, entonces:
Ejem: mano derecha con 5 dedos = mano izquierda con 5 dedos
Y si tienes tres dedos del lado derecho entonces del lado izquierdo cuantos dedos
debes de tener
Ejem: X = lado derecho con 3 dedos
pero para que se cumpla la igualdad debes tener lo mismo del lado izquierdo que
es:
ejem. desarrollo:
x = lado derecho con 3 dedos La operación dice que tienes lo mismo en la “x”
entonces:
lado izquierdo con 3 dedos = lado derecho con 3 dedos Desaparece la “X”
Nota, Lo que tienes del lado izquierdo debe ser lo mismo que tienes del lado
derecho
Ejem: 15 = 15 se lee “quince es igual que quince”
7 + 8 = 15 haciendo del lado derecho la operación de la suma de +7 con +8
Desarrollando la ecuación:
X + 8 = 15 juntando las constantes de un solo lado (todos los números)
X = 15 - 8 se usa el opuesto de la operación suma, porque termino constante
está sumando (+8) cambia a término constante restando (-8)
Y Se realiza la expresión que nos pide el operador que es la operación resta (“ - “ ,
restar) sin olvidar el acompañante invisible “+”
Podría expresarse así: x = +15 – 8 = 7 que valor absoluto es mayor?, el 15
entonces su signo gana que es positivo +
solución: x = 7 el resultado tiene el signo positivo de quien tiene más valor o
es más fuerte
podría expresarse así:

41
7 = 7 porque es lo que vale o tiene o se le agrego o es la cantidad incógnita que
tenía y observa que se desaparece la letra” x” que es la incógnita.
Observación. En una ecuación se tiene que llegar a la mínima expresión. Recuerda
que tienes que llegar de la ecuación grande a la “x” más pequeña de exponente que
es el “uno” si es posible, o la letra con exponente “2” etc. Como estas:
Ejem: X1
= ya sea así: a2
= ya sea así: y3
=
sustituyendo para comprobar su igualdad, se sustituye o cambia el valor de “x” en
la ecuación original que es:
x + 8 =15 la incógnita “x” se cambiará por su valor derecho que es lo que se
buscaba; suposición de, “equis” valdría “7”
7 + 8 = 15 aquí ya desaparece la “x” y en su lugar está la solución que fue 7
15 = 15 es correcta la verificación de la igualdad, es decir si se cumple la
igualdad en la operación
Cuando usas lo que te salió (solución) de valor en la última “x” se destruye la letra
“x” porque ya no existe se fue y desaparece para siempre.
Recuerda. Recomendable, hay que separar la constante de un lado y las variables
del otro lado de la igualdad que es el signo igual
5 + x + x = - x – x + 15
+x +x +x +x = 15 – 5 Separadas, las letras de un lado izquierdo y los números del
otro lado derecho
 Ejemplo de un problema real donde desaparecen las letras en una
ecuación o formula
Se hará una figura cubica grande en unas figuras cubicas más pequeñas que
dependen de la figura grande.
Factor de escala es la incógnita, no sabemos que vale, cuál es su valor
Factor de escala = FS puede ser abreviada por FS y eso es su valor
Si quisieras usar la “x” en lugar de FS seria: FS = x
entonces lo que usaras en la ecuación es la “equis”
Figura de un cubo de 10 cm (es centímetros), el diez lo pondremos en una variable
“y”

42
Figura de cubo de 5 cm (centímetros), el cinco lo pondremos en una literal “z”
Figura de cubo de 3 cm (centímetros), el 3 lo pondremos en una incógnita “n”
Para achicar, es decir reducir, la fórmula del factor de escala es:
factor de escala = longitud menor ÷ longitud mayor
sustituyendo los nombres por las incógnitas en la ecuación original seria:
x = z / y
resolviendo, es decir sustituyendo lo que conocemos que valen las variables, las
letras se destruyen y aparece su valor
x = 5 / 10 recuerda que es y ÷ z
x = 0.5 es lo que vale “x”, si compruebas la ecuación es:
cambiando en: x = 5 / 10
la igualdad es verdad porque: 0.5 = 0.5
continuando con las demás literales que faltan por resolver
x = n / y esta sería la ecuación a desarrollar,
x = 3 / 10 sustituyendo las letras por lo que valen las variables que ya
conoces
x = 0.3 es el valor de “x”, sustituyendo el valor encontrado en la formula
cambiando en: x = 3 / 10
la igualdad se cumple porque: 0.3 = 0.3
si desearas saber el tamaño más chico respecto a la figura cubica que es de 5 cm
seria:
x = n / z esta sería la ecuación a desarrollar, se ponen las variables adecuadas
x = 3 / 5 se sustituyen los valores que te dieron, se van a volar las literales
x = 0.6 es lo había en la “x”, es la solución
y para realizar la comprobación o verificación se hará en:

43
x = 3 / 5 se elimina la “x” porque ya hiciste la solución
0.6 = 0.6 es cierta la solución de “x”
----- 15. Ecuaciones lineales tienen más de una variable --------
Se grafica en un plano cartesiano
“* Ecuación indeterminada, tiene infinitas soluciones.
No sea una identidad (por ejemplo, x + y = 5. Tiene infinitas soluciones. Existen
infinitos pares de números que suman 5, pero no todos los pares de números
suman 5). En estos casos se dice que la ecuación es indeterminada.
tipo de ecuación es x - y = 1
Por ejemplo, vale como solución cualquier par de números naturales consecutivos,
por ejemplo, x=3 para y=2, x=4 para y=3, etc.
Grafique la ecuación x + 2 y = 7.
Si Usted sabe que una ecuación es lineal, puede graficarla al encontrar cualquiera
de las dos soluciones
( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ), Formula de pares ordenados
Puede encontrar dos soluciones, correspondientes a la intercepción en x y la
intercepción en y de la gráfica, al establecer primero x = 0 y luego y = 0.
x + 2 y = 7.
0 + 2y = 7 - 0
2y = 7
y = 7 ÷ 2 también puede ser: y = 7/2
y = 3.5
Así los dos puntos son (0, 3.5) y (7, 0).
Ejem: Grafique la recta y = 3 x + 1.
Si la ecuación está en la forma intercepción-pendiente o de la forma punto-
pendiente , puede también utilizar la pendiente para ayudarlo a graficar.

44
De la ecuación, sabemos que la intercepción en y es 1, el punto (0, 1) y la
pendiente es 3. Grafique el punto (0, 1) y de ahí vaya hacia arriba 3 unidades y a
la derecha 1 unidad porque esta sobre uno (dividido en 3/1) y grafique un segundo
punto. Dibuje la recta que contiene ambos puntos.
Ejem: Resolver gráficamente la ecuación 2x + 3y = 6
Notamos que si despejamos una incógnita las soluciones son infinitas y dependen
del valor que le damos a la otra incógnita. Despejamos la incógnita x,
2x = 6 – 3y entonces,
Las soluciones de la ecuación dependen de los valores que le damos a la
incógnita “y”. Si le damos el valor *”
“*(Una parte de texto copiado de internet en cita)
----- 16. DE ECUACIÓN A GRÁFICA -----
“* Podemos graficar una recta a partir de su ecuación pendiente – intersección.
Ejemplo: graficar la recta: y = – (5/3)x + 2.
De la ecuación observamos que:
m = – 5/3 además b = 2
Empezamos con identificar el punto (0, b) = (0, 2) en nuestra gráfica.
Como la pendiente es m = – 5/3, contamos 5 unidades por encima del punto
anterior y 3 a la izquierda (también podemos contar 5 hacia abajo y 3 a la
derecha), luego lo trazamos en nuestra gráfica. *“

45
------ 16. La función signo, Desigualdad ------
“* sgn(x) es una función que sólo depende del signo del número sobre el que
actúa.

46
La desigualdad dice, “el valor absoluto de x es menor o igual a 4.”,
valores de x que están a 4 unidades o menos de 0 en la recta numérica
4 y −4 están a cuatro unidades del 0, entonces son soluciones. 3 y −3 también son
soluciones porque cada uno de estos valores está a menos de cuatro unidades del
0. Al igual que el 1 y el −1, el 0.5 y el −0.5, etc. — hay un número infinito de
valores de x que satisfacen la desigualdad.
Los valores mayores o iguales a −4 y menores o iguales a 4 satisfacen la
desigualdad.
Los números mayores son siempre hacia la derecha
La gráfica de esta desigualdad tendrá dos círculos cerrados, en 4 y en −4. La
distancia entre estos dos círculos en la recta numérica está coloreada de azul
porque estos son los valores que satisfacen la ecuación.
La solución se puede escribir de esta manera: −4 x 4.
Los valores de x mayores de tres unidades a partir del 0. Esta vez, 3 y −3 no están
incluidos en la solución, entonces hay dos círculos abiertos en estos valores. 2 y
−2 no serían soluciones porque no están a más de tres unidades del 0. Pero 5 y
−5 si están y también lo están todos los valores extendiéndose a la izquierda de
−3 y a la derecha de 3. La gráfica se vería como la que está abajo.
La solución de esta desigualdad puede escribirse: x < −3 o x > 3. *“
------ Resolver Desigualdades con Valor Absoluto ------

47
Para cualquier valor positivo de a:
es equivalente a (esta regla también aplica a )
es equivalente a x −a o x a (esta regla también aplica a )
“*(Una parte de texto copiado de internet o cita)
Bibliografía:
http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/definiciones.html
https://www.portaleducativo.net/octavo-basico/773/Ecuacion-y-sus-partes
http://lageometrianalitica.blogspot.com/p/la-recta-numerica.html
https://www.portaleducativo.net/octavo-basico/778/Como-resolver-una-ecuacion
https://www.superprof.mx/blog/metodologia-para-resolver-ecuaciones/
https://ekuatio.com/lesson/transposicion-de
terminos/#Transposicion_de_Terminos_que_estan_Sumando_o_Restando
https://www.aprendematematicas.org.mx/unit/propiedades-la-igualdad/
Propiedades de las Operaciones-Reales.pdf
http://descargas.pntic.mec.es/cedec/mat3/contenidos/u3/M3_U3_contenidos/32_tipos_de_
ecuaciones.html
https://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U04_L
1_T4_text_final_es.html
https://miprofe.com/ecuacion-de-la-recta-en-su-forma-pendiente-interseccion/
https://www.vitutor.net/1/0_1.html
http://tandemformacion.es/elblogdelasdudas/valor-absoluto-y-opuesto-de-un-numero-2/
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/properties-of-equality
https://drive.google.com/file/d/1KFhEHEg2r7LCgKBCcpy4c1rZadrji4FW/view?usp=sharing

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