Este documento presenta una introducción a las aplicaciones de la transformada de Laplace para el análisis y diseño de controladores. Explica los principales tipos de acciones de control como proporcional, integral, derivativo y sus combinaciones. Luego, analiza un sistema masa-resorte-amortiguador y obtiene su función de transferencia mediante la transformada de Laplace. Finalmente, diseña un controlador proporcional para este sistema y evalúa su estabilidad y respuesta en estado permanente.

1. Departamento de Mecatrónica
Instituto Tecnológico de Culiacán
Aplicaciones de la Transformada
de Laplace
Dr. Raúl Santiesteban Cos
Culiacán, Sinaloa.

2. Principales Acciones de Control
 P Proporcional,
 I Integral,
 D Derivativa,
 PI Proporcional Integral,
 PD Proporcional Derivativa,
 PID Proporcional Integral Derivativo

3. Sistema masa-amortiguador-resorte
Utilizando las leyes de Newton, se obtiene:
k
2
d y(t ) dy(t )
b  ky(t )  r (t )  d
b
m 2
dt dt
m
y(t)
r(t)
donde m es la masa, b es el coeficiente de fricción viscosa,
k es la constante del resorte, y (t ) es el desplazamiento y r (t )
es la fuerza aplicada y d es el término de incertidumbre.

4. Su transformada de Laplace es:
 2 '

m s Y (s)  sy(0)  y (0)  bsY (s)  y(0)  kY ( s)  R(s) 
d
s
considerando: y (0)  0, y(0)  0,
'
d
ms Y ( s)  bsY ( s)  kY ( s)  R( s) 
2
s
La función de transferencia es:
Y ( s) 1 d

R( s) ms  bs  k s
2

5. Objetivo Control: regulación
e(t )  yref  y(t )
usando la derivada se obtiene la dinámica de error
(grado relativo del sistema)
e(t )   y(t )
  e(t )   (t )
 y
2
d y (t ) 1 dy(t ) 
e (t )  
   b  ky(t )  r (t )  d 
dt 2
m dt 

6. d y(t ) 1  dy(t )
2

e (t )  
  b  ky(t )  r (t )  d 
dt 2
m  dt 
e (t )   be(t )  k ( yref  e(t ))  r (t )  d 
1
 
m
e (t )   be(t )  ke(t )  kyref  r (t )  d 
1
 
m

7. Control Proporcional
e (t )   be(t )  ke(t )  kyref  r (t )  d 
1
 
m
El objetivo de control: hacer que la variable e(t) tienda a cero
r (t )  kyref  mk p e(t )
b k d
e (t )   e(t )  e(t )  k p e(t ) 
 
m m m

8. considerando: y ' (0)  0, y(0)  0,
b k d
s E ( s)   sE( s)  E ( s)  k p E ( s) 
2
m m ms
La función de transferencia es:
1 d
E ( s) 
b k  ms
s  s    kp 
2
m m 

9. Análisis de estabilidad del sistema en lazo cerrado
Polinomio característico
b k 
      kp   0
2
m m 
condición suficiente y necesaria para estabilidad
b k
 0; kp   0
m m
Si b/m < 0, kp no puede garantizar estabilidad.
Si b/m > 0, kp puede garantizar estabilidad!

10. Resolviendo para λ
b k 
      kp   0
2
m m 
2
b 1 b k 
1, 2      4  k p 
2m 2  m  m 

11. Caso I
2
b k 
   4  k p 
m m  b
1, 2 
2m
2
1 b  k
kp    
4m m

12. Caso 2
2
b
2
k  1 b  k
   4  k p  kp    
m m  4m m
2
b 1 b k 
1, 2      4  k p 
2m 2  m  m 

13. Ambos elementos de la raíz son negativos, por lo
que el polo es real negativo
2
b 1 b k 
1       4  k p 
2m 2  m  m 
Y la segunda raíz? …
2
b 1 b k 
2       4  k p 
2m 2  m  m 

14. 2
b 1 b k 
 ??    4  k p 
2m 2 m m 
¿ ?
2
b 1 b k 
    4  k p 
2m 2  m  m 

15. Caso 3
2
b
2
k  1 b  k
   4  k p  kp    
m m  4m m
raíces complejas
2
b 1 b k 
1, 2      4  k p 
2m 2  m  m 

16. Ubicación de polos
Polinomio característico
b k
     kp  0
2
m m
Polinomio deseado
  c1  c2  0
2

17. Igualando
b k
c1  c2   k p
m m
Utilizando un controlador proporcional
sólo se puede establecer la constante c2
del polinomio característico. c1 no se
puede modificar ya que es un
parámetro de planta. Por lo tanto, no se
pueden ubicar los polos en cualquier
lugar.

18. Respuesta en estado permanente
Teorema del valor final
d d
y ()  lim sY ( s)  lim 
s 0 s 0 b k  k k
s  s    kp 
2
p
m m  m
El error en estado permanente  se define como
d

k
 kp
m
Aumentando kp es posible ajustar el error 

19. Ejemplo
Sea m=1, b=2, k=-3 y yref  1.2
2
d y dy
2
 2  3 y (t )  r (t ) e(t )  1.2  y(t )
dt dt
e(t )  2e(t )  3e(t )  3.6  r (t )  d
 

20. e(t )  2e(t )  3e(t )  3.6  r (t )  d
 
Utilizando
r (t )  k p e(t )  3.6 y (0)  0, y(0)  0,
'
e(t )  2e(t )  3e(t )  k p e(t )  d
 
Y la transformada de Laplace
1 d
E ( s)  2
s  2s  (k p  3) s

21. Polinomio característico en lazo cerrado
  2  (k p  3)  0
2
Con Kp>3 se puede garantizar estabilidad
1
1, 2  1  4  4(k p  3)
2

22. Caso 1 4  4(k p  3)  0 kp  4
d 0 1, 2  1

23. d  0.5

24. Caso 2 4  4(k p  3)  0 kp  4
kp 1 1, 2  - 2 , 1
d 0

25. Con Kp>3 se puede garantizar estabilidad
Si se desean tener polos diferentes,
reales y negativos, se debe
satisfacer la siguiente desigualdad
3  kp  4

26. d 0

27. Caso 3 4  4(k p  3)  0 kp  4
kp  5 1, 2  -1  i

28. Comportamiento de los polos modificando
la ganancia Kp

29. Respuesta en estado permanente
Teorema del valor final
d d
y()  lim sY ( s)  lim 2 
s 0 s 0 s  2 s  ( k  3) kp 3
p
El error en estado permanente  se define como
d

kp 3

30. Dado un porcentaje de error
d
  0.1
kp 3

d  0.3
kp 
0.1

31. Caso perturbado
k p  6 d  0.5
2
d y dy
2
 2  3 y(t )  r (t )  d
dt dt
1 d
Y ( s)  2
s  2s  (k p  3) s
0.5 1
 
63 6

33. Efectos de control proporcional
C ( s) n
2
 2 forma estándar del sistema
R( s ) s  2n s   n
2
de segundo orden.
donde  n es la frecuencia natural no amortiguada,  se denomina
atenuación,  es el factor de amortiguamiento. Ahora el comportamiento
dinámico del sistema de segundo orden se describe en términos de los
parámetros  y  n .
d  n 1   2

34. 1.- Tiempo de crecimiento
1 1 d   
tr  tan   ,
d    d
d
  tan1


35. 2.- Tiempo pico.

d t p    tp 
d
3.- Tiempo de establecimiento.
4 4
t s  4T  
 n 

36. El control proporcional,
aplicado a un sistema
dinámico, afecta a el
sobre-paso?