Come ricavare le formule per le somme dei primi N numeri naturali, dei loro quadrati, cubi, etc.

1. Somme notevoli riguardo
ai primi N numeri naturali

2. Il problema
• Si vuole calcolare la somma
𝒌 𝒑
𝑛
𝑘=1
• prima, nel caso p=1
• poi, generalizzando ad altri p>1
• in particolare, per p=2 e p=3

3. Il caso più semplice: p=1
• In questo caso, la somma ha la forma
𝒌
𝑛
𝑘=1
• che si può risolvere in due modi:
– tramite un procedimento «ad hoc», valido solo per p=1
– tramite un procedimento generale valido per ogni p.

4. p=1: metodo ad hoc (1)
• La somma richiesta si può espandere come
1+2+3+4…. + (n-2) + (n-1) + n
• Notiamo che la somma di due termini equidistan-
ti dalle estremità è costante e vale sempre (n+1)
• Resta escluso, se n è dispari, l’elemento centrale
della sequenza.

5. p=1: metodo ad hoc (2)
• Pertanto, se n è pari (e dunque non c’è un
elemento centrale), la somma vale
S = (1+n) n/2
in quanto ci sono esattamente n/2 somme
parziali, tutte di valore (1+n).
ESEMPIO: n=4
• Calcolo diretto: 1+2+3+4 = (1+4)+(2+3) = 10
• Formula: 5 x 4/2 = 10

6. p=1: metodo ad hoc (3)
• Se invece n è dispari (e dunque c’è un elemento
centrale), ci sono (n-1)/2 somme parziali, a cui va
aggiunto l’elemento centrale, che vale (n+1)/2
• Pertanto la somma complessiva vale
(1+n) (n-1)/2 + (n+1)/2
ovvero, semplificando, di nuovo, S = (1+n) n/2
ESEMPIO: n=5
• Calcolo diretto: 1+2+3+4 +5 = (1+5)+(2+4)+3= 15
• Formula: 6 x 5/2 = 15

7. p=1: metodo ad hoc (4)
• Riassumendo, la formula in tutti i casi vale:
𝒌 =
𝒏(𝒏 + 𝟏)
𝟐
𝑛
𝑘=1
• È anche possibile dimostrarla per via geometrica:
esiste una famosa dimostrazione dovuta a Gauss
(che pare l’abbia trovata all’età di 8 anni…)

8. p=1: metodo generale (1)
• Il punto di partenza è il binomio (𝒌 + 𝟏) 𝟐
• che si può riscrivere come 𝒌 𝟐
+ 𝟐𝒌 + 𝟏
• Perciò, facendo la somma, si può scrivere
(𝒌 + 𝟏) 𝟐=
𝑛
𝑘=1
𝒌 𝟐 + 𝟐 𝒌
𝑛
𝑘=1
+ 𝟏
𝑛
𝑘=1
𝑛
𝑘=1
• Sfrutteremo ora questa identità per ricavare
il termine in blu.

9. p=1: metodo generale (2)
• Riscriviamo l’identità come segue:
(𝒌 + 𝟏) 𝟐−
𝑛
𝑘=1
𝒌 𝟐 − 𝒏 = 𝟐 𝒌
𝑛
𝑘=1
𝑛
𝑘=1
• dove si è sfruttato il fatto che la somma di
n «uni» vale ovviamente n
• Osserviamo ora che le due sommatorie a
sinistra generano entrambe dei quadrati..
che in buona parte si elidono a vicenda!

10. p=1: metodo generale (3)
• Infatti,
(𝒌 + 𝟏) 𝟐=
𝑛
𝑘=1
𝒌 𝟐
𝑛+1
𝑘=2
• come si può facilmente constatare notando che
essa genera i quadrati dei primi n+1 numeri,
tranne 1 perché per k=1 produce 22
ESEMPIO: n=3
• la somma, per k = 1,2,3 produce 22 + 32 + 42

11. p=1: metodo generale (4)
• Pertanto, si può riscrivere la somma come:
𝒌 𝟐 −
𝑛+1
𝑘=2
𝒌 𝟐 − 𝒏 = 𝟐 𝒌
𝑛
𝑘=1
𝑛
𝑘=1
– la prima somma aggiunge i quadrati dai
numeri da 2 a n+1
– la seconda somma sottrae i quadrati dei
numeri da 1 a n
• Restano perciò solo (𝑛 + 1)2
e -1.

12. p=1: metodo generale (5)
• In definitiva:
𝒌 𝟐 −
𝑛+1
𝑘=2
𝒌 𝟐 − 𝒏 = 𝒏 + 𝟏 𝟐 − 𝟏 − 𝒏
𝑛
𝑘=1
• da cui
𝒌 =
𝒏 + 𝟏 𝟐
− 𝟏 − 𝒏
𝟐
=
𝒏(𝒏 + 𝟏)
𝟐
𝑛
𝑘=1

13. Generalizzazione
• L’approccio dello sviluppo del binomio
(𝒌 + 𝟏) 𝒑
funziona per qualunque p
– a sinistra, si ottengono sempre due sommatorie
di grado p i cui termini si elidono quasi
totalmente, salvo (𝑛 + 1) 𝑝 e -1
– a destra, si ottengono vari termini con somma-
torie di grado inferiore, di cui le più semplici
sono già note  basta isolare quella desiderata

14. Il caso p=2 (1)
• Poiché (𝒌 + 𝟏) 𝟑
si riscrive come
𝒌 𝟑
+ 𝟑𝒌 𝟐
+ 𝟑𝒌 + 𝟏, la somma diventa
(𝒏 + 𝟏) 𝟑
−𝟏 = 𝟑 𝒌 𝟐
𝑛
𝑘=1
+ 𝟑 𝒌
𝑛
𝑘=1
+ 𝒏
• dove la seconda sommatoria a destra è nota
perché corrispondente al caso p=1.
• Si può dunque risolvere rispetto all’altra
(in blu) che è quella cercata.

15. Il caso p=2 (2)
• Risolvendo:
(𝒏 + 𝟏) 𝟑−𝟏 − 𝒏 − 𝟑
𝒏(𝒏 + 𝟏)
𝟐
= 𝟑 𝒌 𝟐
𝑛
𝑘=1
• ovvero, facendo i calcoli:
𝒏(𝟐 𝒏 𝟐 + 𝟑𝒏 + 𝟏)
𝟐
= 𝟑 𝒌 𝟐
𝑛
𝑘=1

16. Il caso p=2 (3)
• ovvero, scomponendo il trinomio:
𝒌2
=
𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝟐𝒏 + 𝟏)
𝟔
𝑛
𝑘=1
• È ovviamente anche possibile dimostrarla per via
induttiva: assumendola vera per n, con banali
calcoli si ricava che è vera anche per n+1.

17. Il caso p=3 (1)
• Analogamente (𝒌 + 𝟏) 𝟒
si riscrive come
𝒌 𝟒
+ 𝟒𝒌 𝟑
+𝟔𝒌 𝟐
+𝟒𝒌 + 𝟏 e perciò
(𝒏 + 𝟏) 𝟒−𝟏 = 𝟒 𝒌 𝟑
𝑛
𝑘=1
+ 𝟔 𝒌 𝟐
𝑛
𝑘=1
+ 𝟒 𝒌
𝑛
𝑘=1
+ 𝒏
• Di nuovo, due sommatorie a destra sono
note (corrispondono ai casi p=1 e p=2),
quindi si può risolvere rispetto all’altra.

18. Il caso p=3 (2)
• Risolvendo:
(𝒏 + 𝟏) 𝟒
−𝟏 − 𝒏 − 𝟔
𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝟐𝒏 + 𝟏)
𝟐
− 𝟒
𝒏(𝒏 + 𝟏)
𝟐
= 𝟒 𝒌 𝟑
𝑛
𝑘=1
• ovvero, facendo i calcoli:
𝒏(𝒏 𝟑 + 𝟐 𝒏 𝟐 + 𝒏)
𝟒
= 𝒌 𝟑
𝑛
𝑘=1

19. Il caso p=3 (3)
• ovvero, raccogliendo e risolvendo:
𝒌3
𝑛
𝑘=1
=
𝒏2
(𝒏 + 𝟏)2
𝟒
= 𝑘
𝑛
𝑘=1
2
ESEMPIO: n=3
• calcolo diretto: 13
+ 23
+ 33
= 1 + 8 + 27 = 36
• formula: 32 × 42 / 4 = 36 = (1 + 2 + 3)2