1. Aula 8
M¶ximos e m¶
a ³nimos
Nesta aula estaremos explorando procedimentos estrat¶gicos para determinar os valores
e
extremos de uma fun»~o f , ou seja, o valor m¶ximo e o valor m¶
ca a ³nimo de uma fun»~o
ca
f , em um intervalo I ½ R, sem recorrer a um esbo»o do gr¶¯co de f nesse intervalo.
c a
Um teorema da An¶lise Matem¶tica, conhecido na literatura como Teorema de
a a
Weierstrass, nos garante:
(Teorema de Weierstrass) Se uma fun»~o f ¶ cont¶
ca e ³nua em um intervalo fechado
[a; b] (sendo a e b n¶meros reais), ent~o existem pontos x0 e x1 em [a; b] tais que
u a
f (x0 ) e f(x1 ) s~o, respectivamente, os valores m¶ximo e m¶
a a ³nimo de f (x), para x em
[a; b].
Os pontos x0 e x1 aos quais se refere o teorema de Weierstrass s~o chamados
a
ponto de m¶³nimo de f e ponto de m¶ximo de f , respectivamente. O teorema ¶ ilustrado
a e
na ¯gura 8.1.
Elucidando os conceitos aqui apresentados, sendo I ½ D(f) um intervalo (limitado ou
ilimitado), dizemos que
1. f (x0 ) ¶ o valor m¶
e ³nimo de f (ou de f (x)) em I se
f (x0 ) · f (x), para todo x em I:
2. f (x1 ) ¶ o valor m¶ximo de f (ou de f(x)) em I se
e a
f (x1 ) ¸ f (x), para todo x em I:
Por exemplo, no intervalo I = [¡1; +1[, a fun»~o dada por f (x) = x2 tem um
ca
ponto de m¶³nimo x0 = 0, sendo f(0) = 0 seu valor m¶ ³nimo, pois x2 ¸ 0 para todo
x 2 I. Nesse intervalo, f n~o tem valor m¶ximo pois lim f (x) = +1.
a a
x!+1
69

2. Maximos e m¶
¶ ³nimos 70
y
y = f(x)
a x0 x1 b x
³nua em [a; b], tem x0 e x1 como seus pontos de m¶
Figura 8.1. A fun»~o f , cont¶
ca ³nimo e
de m¶ximo, respectivamente.
a
8.1 Estrat¶gias para determinar m¶ximos e m¶
e a ³nimos
de uma fun»~o cont¶
ca ³nua, em um intervalo
Como determinar os pontos de um intervalo fechado [a; b], onde uma fun»~o cont¶
ca ³nua
f atinge seus valores m¶ximo e m¶
a ³nimo? Uma solu»~o deste problema seria esbo»ar o
ca c
gr¶¯co de f nesse intervalo, conforme as estrat¶gias desenvolvidas nas aulas 6 e 7, e
a e
ent~o localizar os valores extremos de f . Mas como determinar os valores m¶ximo e
a a
m¶³nimo de f , no intervalo [a; b], sem recorrer ao estudo do esbo»o de seu gr¶¯co? E
c a ¶
isto que trataremos de responder.
Recapitulando um conceito introduzido na aula 6, diremos que x0 ¶ um ponto de
e
³nimo local de f se existe um intervalo aberto I ½ D(f ), com x0 2 I, tal que
m¶
f (x0 ) · f(x), para todo x em I
E neste caso, f(x0 ) ¶ um valor m¶
e ³nimo local de f.
Analogamente, diremos que x1 ¶ um ponto de m¶ximo local de f , e que f(x1 ) ¶ um
e a e
valor m¶ximo local de f , se existe um intervalo aberto I ½ D(f), com x1 2 I, tal que
a
f (x1 ) ¸ f(x), para todo x em I
Teorema 8.1 Se f tem derivada em um intervalo aberto I, e se x0 2 I ¶ ponto de
e
0
m¶ ³nimo local de f , ent~o f (x0 ) = 0. Se x1 2 I ¶ ponto de m¶ximo local de f, ent~o
a e a a
f 0 (x1 ) = 0.
Demonstra»~o. Mostraremos que f 0 (x0 ) = 0, usando a de¯ni»~o de derivada.
ca ca
Tome ¢x 60, com x0 + ¢x 2 I.
=
Ent~o f(x0 ) · f (x0 + ¢x) e da¶ ¢f = f (x0 + ¢x) ¡ f (x0 ) ¸ 0.
a ³
¢f ¢f
Se ¢x > 0, temos ¸ 0, e se ¢x < 0, temos · 0.
¢x ¢x
¢f
Temos f 0 (x0 ) = lim .
¢x!0 ¢x

3. Maximos e m¶
¶ ³nimos 71
¢f ¢f
Neste caso, f 0 (x0 ) = lim +
= lim ¡ .
¢x!0 ¢x ¢x!0 ¢x
¢f ¢f ¢f ¢f
Mas lim + = lim ¸ 0 e lim ¡ = lim · 0.
¢x!0 ¢x ¢x!0 ¢x ¢x!0 ¢x ¢x!0 ¢x
¢x>0 ¢x<0
Logo, f 0 (x0 ) ¸ 0 e f 0 (x0 ) · 0, e portanto f 0 (x0 ) = 0.
Deixamos ao leitor a dedu»~o do resultado para pontos de m¶ximo locais.
ca a
Observemos que se x0 ¶ um ponto de m¶
e ³nimo (absoluto) de f , ent~o x0 tem uma das
a
seguintes caracter¶
³sticas:
(i) x0 ¶ tamb¶m um ponto de m¶
e e ³nimo local de f , e f tem derivada em x0 . Neste
caso, conforme o teorema 8.1, f 0 (x0 ) = 0.
e ³nimo local de f, mas f n~o tem derivada no ponto x0 .
(ii) x0 ¶ um ponto de m¶ a
(iii) x0 ¶ um dos extremos do intervalo [a; b], ou seja, x0 = a ou x0 = b.
e
Os casos (i), (ii) e (iii) s~o ilustrados na ¯gura 8.2.
a
(i) (ii) (iii)
a x0 b a x0 b a x0 = b
Figura 8.2. Pontos de m¶
³nimo t¶
³picos.
(i) (ii) (iii)
a x1 b a x1 b a x1 = b
Figura 8.3. Pontos de m¶ximo t¶
a ³picos.

4. Maximos e m¶
¶ ³nimos 72
Analogamente, se x1 ¶ um ponto de m¶ximo de f , ent~o x1 tem uma das tr^s seguintes
e a a e
caracter¶
³sticas:
(i) x1 ¶ tamb¶m um ponto de m¶ximo local de f , e f tem derivada em x1 . Neste
e e a
caso, conforme o teorema 8.1, f 0 (x1 ) = 0.
(ii) x1 ¶ um ponto de m¶ximo local de f , mas f n~o tem derivada no ponto x1 .
e a a
(iii) x1 ¶ um dos extremos do intervalo [a; b], ou seja, x1 = a ou x1 = b.
e
Esses casos s~o ilustrados na ¯gura 8.3.
a
Um n¶mero real x ¶ chamado um ponto cr¶
u e ³tico de f quando f 0 (x) = 0 ou quando f
e ³nua em x mas n~o existe f 0 (x).
¶ cont¶ a
Assim, um ponto de m¶ximo ou de m¶
a ³nimo de uma fun»~o f, em um intervalo [a; b],
ca
³tico de f ou uma das extremidades do intervalo.
¶ um ponto cr¶
e
³nimo de f (x) = 2x3 + 3x2 ¡ 12x, no
Exemplo 8.1 Determinar os valores m¶ximo e m¶
a
intervalo [¡3; 3].
Solu»~o. A fun»~o f ¶ cont¶
ca ca e ³nua no intervalo [¡3; 3]. Temos f 0 (x) = 6x2 + 6x ¡ 12 =
6(x + x ¡ 2). As solu»~es de f 0 (x) = 0 s~o x1 = ¡2 e x2 = 1. Estes s~o os pontos
2
co a a
³ticos de f no intervalo [¡3; 3]. Calculando os valores de f nos extremos do intervalo
cr¶
e nos pontos cr¶³ticos, temos:
f (x1 ) = f (¡2) = 20, f (x2 ) = f (1) = ¡7, f (¡3) = 9 e f(3) = 45.
Assim sendo, por compara»~o dos valores obtidos, o ponto de m¶
ca ³nimo de f , para
¡3 · x · 3, ¶ xmin = x2 = 1, sendo f (1) = ¡7 o valor m¶
e ³nimo de f nesse intervalo.
J¶ o ponto de m¶ximo de f , para ¡3 · x · 3, ¶ xmax = 3, sendo f (3) = 45 o valor
a a e
m¶ximo de f nesse intervalo. Como ilustra»~o, temos um esbo»o do gr¶¯co de f , no
a ca c a
intervalo [¡3; 3], na ¯gura 8.4.
y
45
20
9
x
-3 -2 1 3
-7
Figura 8.4.

5. Maximos e m¶
¶ ³nimos 73
p
x2 ¢ (x ¡ 2)2 , no
3
³nimo de f (x) =
Exemplo 8.2 Determinar os valores m¶ximo e m¶
a
intervalo ¡1 · x · 1.
4(2x2 ¡ 5x + 2)
ca ca e ³nua no intervalo [¡1; 1]. f 0 (x) =
Solu»~o. A fun»~o f ¶ cont¶ p .
33x
Temos f 0 (x) = 0 se e somente se x = 2 ou x = 1=2.
Agora, 0 tamb¶m ¶ um ponto cr¶
e e ³nua no ponto 0,
³tico de f , uma vez que f ¶ cont¶
e
mas n~o se de¯ne f 0 (0).
a
Assim, Como 2 6
2 [¡1; 1], os pontos cr¶
³ticos de f s~o x1 = 1=2 e x2 = 0.
a
Calculando os valores de f nos extremos do intervalo e nos pontos cr¶
³ticos, temos:
9
p
f (x1 ) = f (1=2) = 4 p4 ¼ 1; 4 ( 3 4 ¼ 1; 6), f(0) = 0, f(¡1) = 9 e f (1) = 1.
3
Portanto, f (0) = 0 ¶ o valor m¶
e ³nimo de f , enquanto que f (¡1) = 9 ¶ seu valor
e
m¶ximo.
a
Quest~o Como determinar os pontos de um intervalo I ½ D(f ), nos quais f atinge
a
seus valores m¶ximo e m¶
a ³nimo, se I ¶ um intervalo aberto ou ilimitado, e f ¶ cont¶
e e ³nua
em I?
Neste caso, a resposta ¶:
e
Sendo f cont¶ ³nua em um intervalo I, comparamos os valores de f nos extremos que
efetivamente pertencem ao intervalo com os valores de f nos seus pontos cr¶ ³ticos desse
intervalo. Comparamos ainda esses valores com os limites de f (x) quando x tende a
extremos que n~o pertencem ao intervalo.
a
Como refor»o estrat¶gico na pesquisa de m¶ximos e m¶
c e a ³nimos locais, temos tamb¶m
e
o seguinte teorema.
Teorema 8.2 Sendo f uma fun»~o cont¶
ca ³nua, com f 0 tamb¶m cont¶
e ³nua, em um in-
tervalo aberto I, e x0 um ponto de I,
1. se f 0 (x0 ) = 0 e f 00 (x0 ) > 0, ent~o x0 ¶ um ponto de m¶
a e ³nimo local de f ;
2. se f 0 (x0 ) = 0 e f 00 (x0 ) < 0, ent~o x0 ¶ um ponto de m¶ximo local de f ;
a e a
f '(x 0) = 0
f '(x 0) = 0 f "(x0) < 0
f "(x 0) > 0
x0 x x0 x
Figura 8.5.
N~o faremos a demonstra»~o do teorema 8.2 aqui, mas faremos a seguinte obser-
a ca
va»~o geom¶trica, que o torna intuitivamente obvio.
ca e ¶

6. Maximos e m¶
¶ ³nimos 74
Se f 0 (x0 ) = 0, a reta tangente ao gr¶¯co de f , em P = (x0 ; f (x0 )), ¶ horizontal.
a e
Se, al¶m disso, f 00 (x0 ) > 0, temos a concavidade do gr¶¯co de f , em P , voltada
e a
para cima, e assim x0 ¶ um ponto de m¶
e ³nimo local de f . Se f 00 (x0 ) < 0, a concavidade
do gr¶¯co de f , em P , ¶ voltada para baixo, e x0 ¶ ent~o um ponto de m¶ximo local
a e e a a
de f . Estas duas possibilidades s~o ilustradas na ¯gura 8.5.
a
1
³nimo de f (x) = x + , para x > 0.
Exemplo 8.3 Determinar os valores m¶ximo e m¶
a
x
Solu»~o. Estamos procurando os valores m¶ximo e m¶
ca a ³nimo de f no intervalo ]0; +1[.
1
Temos f 0 (x) = 1 ¡ 2 , e portanto f 0 (x) = 0 (com x > 0) se e somente se x = 1.
x
1
Agora, lim f (x) = 0 + + = +1 e lim f(x) = +1. Portanto, f n~o tem a
x!0+ 0 x!+1
valor m¶ximo em ]0; +1[.
a
2
Temos ainda f 00 (x) = 3 e f 00 (1) > 0. Assim, x1 = 1 ¶ ponto de m¶
e ³nimo local de
x
f . Como f n~o tem outros pontos cr¶
a ³ticos, 1 ¶ o ponto de m¶
e ³nimo global de f , sendo
f (1) = 2 o valor m¶
³nimo de f no intervalo ]0; +1[.
8.2 Aplica»oes a problemas de otimiza»~o
c~ ca
Exemplo 8.4 Qual ¶ a maior ¶rea retangular que pode ser cercada com 200 m de tela
e a
de arame?
Solu»~o.
ca
(Passo 1) Analisamos o problema, e desenhamos um diagrama incluindo toda a infor-
ma»~o. Introduzimos vari¶veis.
ca a
Fazemos isto na ¯gura 8.6
y
x x
y
³metro do ret^ngulo ¶ 2x + 2y.
Figura 8.6. O per¶ a e
(Passo 2) Expressamos a quantidade a ser maximizada como uma fun»~o de uma
ca
vari¶vel. Determinamos o dom¶ dessa fun»~o a partir das condi»~es do problema.
a ³nio ca co

7. Maximos e m¶
¶ ³nimos 75
A ¶rea do ret^ngulo deve ser maximizada, sob a condi»~o de que o per¶
a a ca ³metro ¶
e
200 m.
Essa ¶rea ¶ dada por A = xy. Como y = 100 ¡ x, temos
a e
A = A(x) = x(100 ¡ x)
e, nas condi»~es do problema, temos 0 · x · 100.
co
(Passo 3) Determinamos o ponto de m¶ximo e o valor m¶ximo da fun»~o, no intervalo
a a ca
em que ela est¶ de¯nida.
a
Usando os procedimentos discutidos anteriormente, sendo A(x) = 100x ¡ x2 ,
temos A0 (x) = 100 ¡ 2x.
A0 (x) = 0 se e somente se x = 50. Temos A(50) = 50 ¢ (100 ¡ 50) = 502 = 2500.
Temos ainda A(0) = A(100) = 0 (valor m¶ ³nimo da ¶rea).
a
Assim, o valor m¶ximo de A(x) ¶ atingido quando x = 50 m. Assim, o ret^ngulo
a e a
³metro 200 m, com ¶rea m¶xima, ¶ um quadrado de 50 m de lado.
de per¶ a a e
Exemplo 8.5 Uma grande caixa deve ser constru¶ cortando-se quadrados iguais dos
³da
quatro cantos de uma folha retangular de zinco, de 3 m por 8 m, dobrando-se os quatro
lados (abas laterais) para cima e soldando-se as arestas verticais que ¯caram justapostas.
Encontre o maior volume poss¶ para esta caixa.
³vel
Solu»~o.
ca
(1) Um diagrama contendo todas as informa»~es do problema, bem como a introdu»~o
co ca
de uma vari¶vel, ¶ mostrado na ¯gura 8.7
a e
8 - 2x
3 - 2x
3 - 2x
x
8 - 2x
x
Figura 8.7.
(2) O volume da caixa da ¯gura 8.7 ¶ dado por
e
V = V (x) = x(8 ¡ 2x)(3 ¡ 2x); para 0 · x · 3=2
(3) V 0 (x) = 0 se e somente se x = 2=3 ou x = 3 (esta ultima solu»~o est¶ descartada,
¶ ca a
pois 3 62 D(V )).

8. Maximos e m¶
¶ ³nimos 76
¶ ³tico de V ¶ 2=3. Nas extremidades do dom¶ temos V = 0.
O unico ponto cr¶ e ³nio
Como V ¸ 0, o ponto cr¶
³tico s¶ pode ser m¶ximo local, e portanto m¶ximo absoluto.
o a a
Assim, x = 2=3 ¶ ponto de m¶ximo de V , e as dimens~es da caixa de volume
e a o
m¶ximo s~o 20=3, 5=3 e 2=3 m, tendo ela volume 200=27 m3 .
a a
Exemplo 8.6 Deseja-se construir uma lata cil¶ ³ndrica totalmente fechada, de volume v,
gastando-se, em sua confec»~o, a menor quantidade de material poss¶
ca ³vel. Determine a
raz~o entre a altura e o di^metro dessa lata.
a a
Solu»~o.
ca
(1) Diagramas contendo todas as informa»oes do problema, bem como a introdu»~o de
c~ ca
uma vari¶vel, est~o na ¯gura 8.8
a a
área do topo = π r 2
r
h área da superfície
lateral = 2 π r h
v = πr2 h h
2πr
área da superfície externa total
área da base = π r 2 = π r2 + π r 2 + 2 π r h
Figura 8.8.
(2) A superf¶ externa total da lata cil¶
³cie ³ndrica, ilustrada na ¯gura 8.8, ¶ dada por
e
S = 2¼r2 + 2¼rh
v
Como ¼r2 h = v, temos h = , e ent~o
a
¼r2
2v
S = S(r) = 2¼r2 +
r
sendo S(r) de¯nida somente para r > 0.
2v
(3) S 0 (r) = 4¼r ¡ .
r2
r
0 v
S = 0 se e somente se r = 3
³tico de S no intervalo
, e este ¶ o unico ponto cr¶
e ¶
2¼
r > 0.
Temos tamb¶m que lim S(r) = +1 e lim S(r) = +1. Assim, S(r) n~o tem
e a
r!0 r!+1
valor m¶ximo, e seu unico ponto cr¶
a ¶ ³tico s¶ pode ser ponto de m¶
o ³nimo local. Isto ¶
e
00 4v
con¯rmado observando-se que S (r) = 4¼ + 3 > 0 para todo r > 0. Portanto, o
r

9. Maximos e m¶
¶ ³nimos 77
r
v
gr¶¯co de S = S(r) tem convavidade voltada para cima, o que con¯rma r =
a 3
2¼
como seu ponto de m¶ ³nimo absoluto da fun»~o S.
³nimo local, e tamb¶m ponto de m¶
e ca
p
Sendo r = 3 v=(2¼), temos
h v v v
= 3 = µr ¶3 = ³ v ´ =2
r ¼r v ¼
3
¼ 2¼
2¼
Portanto, h = 2r, ou seja, a altura da lata deve ser igual ao di^metro da base se
a
quisermos minimizarmos o material a ser gasto em sua confec»~o.
ca
Este ¶ o padr~o, ao menos aproximado, de algumas latas de conservas, tais como
e a
latas de creme de leite e de leite condensado. Por quest~es de praticidade, muitas latas
o
fogem deste padr~o, como por exemplo as latas de oleo comest¶
a ¶ ³vel.
8.3 Problemas
Encontre os pontos de m¶ximo e de m¶
a ³nimo, bem como os valores m¶ximo e m¶
a ³nimo,
das fun»~es dadas, nos intervalos indicados.
co
p
1. f (x) = 3
x(x + 4), x 2 [¡4; 2]
p
Resposta. xmin = ¡1, xmax = 2, f (¡1) = ¡3, f (2) = 6 3 2 ¼ 7; 6.
2. f (x) = x2 + 2x ¡ 4, x 2 [¡2; 2].
Resposta. xmin = ¡1, xmax = 2, f (¡1) = ¡5, f (2) = 4.
x
3. f (x) = , x 2 R.
1 + x2
Resposta. xmin = ¡1, xmax = 1, f (¡1) = ¡1=2, f (1) = 1=2.
x
4. f (x) = , x 6§1.
=
1 ¡ x2
Resposta. f n~o tem m¶ximo, nem m¶
a a ³nimo.
Resolva os seguintes problemas de otimiza»~o.
ca
1. Um recipiente de lata, de forma cil¶
³ndrica e aberto no topo, deve ter capacidade
de v litros. Determine a raz~o entre a altura h e o di^metro d da base de modo
a a
que a quantidade de lata usada na sua fabrica»~o seja a menor poss¶
ca ³vel.
Resposta. h = d=2.

10. Maximos e m¶
¶ ³nimos 78
2. Um estudante quer construir um viveiro ret^ngular para seu hamster, usando a
a
parede de um c^modo como um dos lados e cercando os demais tr^s lados com 3
o e
metros de tela dispon¶
³veis, obtendo a maior ¶rea retangular poss¶
a ³vel. Quais devem
ser as dimens~es de seu viveiro?
o
Resposta. O viveiro deve ter 1;5 m na frente e 0;75 m nos lados.
3. Determinar as dimens~es de um cilindro, de volume m¶ximo, inscrito em uma
o a
esfera de raio R.
Sugest~o. Fa»a um desenho visualizando o cilindro de per¯l dentro da esfera. No
a c
desenho, voc^ ter¶ um ret^ngulo dentro de um c¶
e a a ³rculo. Demarque a altura h do
cilindro, e di^metro da sua base, 2r. Demarque tamb¶m o raio R da esfera. Use
a e
o teorema de Pit¶goras obter rela»~es entre h e r. O volume do cilindro ¶ dado
a co e
por V = (¶rea da base) ¢ (altura) = ¼r2 ¢ h.
a
q p
Resposta. r = raio da base = 2 R. h = altura do cilindro = 2r.
3
4. Determinar as dimens~es de um cilindro, inscrito em uma esfera de raio R, cuja
o
¶rea da superf¶ externa total ¶ a m¶xima poss¶
a ³cie e a ³vel.
q p q p
Resposta. r = raio da base = 5+ 5 R, h = 2 5¡ 5 R.
10 10
2 2
5. Na elipse x2 + y2 = 1, inscreva um ret^ngulo, de
a b
a
y
¶rea m¶xima, com dois de seus lados paralelos
a a (0,b)
ao eixo x (e os outros dois paralelos ao eixo y).
Sugest~o. Os quatro v¶rtices do ret^ngulo, to-
a e a (-a,0) (a,0)
dos pertencentes µ elipse, ser~o pontos (x; y),
a a x
(¡x; y), (x; ¡y) e (¡x; ¡y).
(0,-b)
p p
Resposta. O ret^ngulo tem dimens~es
a o 2a e 2b.
6. Quer-se construir um tanque de a»o para armazenar g¶s propano, com a forma de
c a
um cilindro circular reto, com um hemisf¶rio (semi-esfera) em cada extremidade.
e
Se a capacidade desejada para o tanque ¶ 100 dec¶
e ³metros c¶bicos (litros), quais
u
as dimens~es que exigem a menor quantidade de a»o ? (Despreze a espessura das
o c
paredes do tanque).
p
Resposta. O tanque deve ser esf¶rico, de raio 3 75=¼ ¼ 2; 88 metros.
e
7. Qual ponto da par¶bola y = x2 + 1 est¶ mais pr¶ximo do ponto A = (3; 1) ?
a a o
Sugest~o. A dist^ncia de um ponto qualquer P = (x; y) ao ponto A ¶ dada por
p a a e
d = (x ¡ 3) 2 + (y ¡ 1)2 . Se P ¶ um ponto da par¶bola, temos y = x2 + 1,
e a
p
e ent~o d = (x ¡ 3)
a 2 + x4 . Como d ¸ 0, temos que d ter¶ seu valor m¶
a ³nimo
2
quando d assumir seu valor m¶ ³nimo. Assim, basta procurarmos o valor m¶
³nimo
de f (x) = (x ¡ 3)2 + x4 . Resposta. (1; 2).
8. Um veterin¶rio tem 100 m de tela de arame. Com isto deseja construir seis canis,
a
primeiro cercando uma regi~o retangular e depois subdividindo essa regi~o em seis
a a

11. Maximos e m¶
¶ ³nimos 79
ret^ngulos menores, atrav¶s de cinco cercas divis¶rias internas, paralelas a um
a e o
dos lados. Que dimens~es externas, dessa regi~o retangular, maximizam sua ¶rea
o a a
total, se o veterin¶rio gasta os 100 m de tela nessa constru»~o ?
a ca
Resposta. 25 m por 50=7 ¼ 7; 14 m.
9. Ao procurar o ponto da hip¶rbole x2 ¡ y 2 = 1 mais pr¶ximo da origem, Jo~ozinho
e o a
raciocinou da seguinte maneira.
pTemos que procurar, dentre os pontos da hip¶rbole, aquele para o qual d =
e
x2 + y 2 tem valor m¶ a ³nimo quando d2 for m¶
³nimo. Como d ¸ 0, d ser¶ m¶ ³nimo.
Agora, sendo P = (x; y) um ponto da hip¶rbole, temos y = x ¡ 1, logo d2 =
e 2 2
x2 + y 2 = 2x2 ¡ 1.
Procurando o valor m¶ ³nimo de d2 = f (x) = 2x2 ¡ 1, calculamos f 0 (x) = 4x.
Temos f 0 (x) = 0 se e somente se x = 0. Para x = 0 por¶m, temos y 2 = 02 ¡ 1 =
e
¡1, uma impossibilidade. Logo, n~o h¶ nenhum ponto da hip¶rbole cuja dist^ncia
a a e a
µ origem seja m¶
a ³nima.
Explique o erro no racioc¶ de Jo~ozinho,
³nio a
y x2 y2
j¶ que um esbo»o da hip¶rbole (fa»a-o) re-
a c e c __ _ __
a 2 b2
=1
vela que os pontos (§1; 0) s~o seus pontos
a (0,b)
mais pr¶ximos da origem. Sugest~o. Para
o a
quais valores de x de¯ne-se d? (-a,0) (a,0)
x
(0,-b)