1. CURSO: Física I
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA MINERA Y METALURGICA
TEMA: GRAVITACION UNIVERSAL
UNIDAD: VII
DOCENTE: ING. EFRAIN CASTILLO ALEJOS
23 DE MARZO DEL 2013

2. OBJETIVOS
- Que el estudiante comprenda el fenómeno de las
colisiones y el tipo de colisiones.
- Que entendamos que es el coeficiente de restitución.
- Entender algunas aplicaciones cuando la masa varia
- Aprender a calcular el momento de inercia y que
significa.

3. 3
Introducción
• La mejor respuesta de la
física a esta sencilla
pregunta...
...es el resultado de 2400 años de
reflexión y búsqueda!
• Pero, ¿conocemos todos esa
respuesta?...
...generalmente nuesta solución a
la pregunta es el resultado de
Ilustración (educación) + sentido
común! “Buenos días. Bienvenidos al
fascinante mundo de la física”
“Buenos días. Bienvenidos al
fascinante mundo de la física”

4. 4
Un grave “deseo”
• ¿por qué caen los cuerpos?
• Intuición más simple: Algo los “atrae”
hacia abajo!
... ¿pero qué es ese “algo”?
• Aristoteles c. 330 a.c.
– Cuerpos “desean” estar en el piso!
– Universo: 4 elementos
– Elementos ocupan lugar natural en el
Universo
– Cuerpo hecho de elementos tiende a su
lugar natural
– Cuerpos “graves” hechos de Tierra
tienden a moverse hacia abajo!

5. 5
Una atracción universal
• ¿y la caída de los cuerpos?...
– Cuerpo inicialmente en reposo...
... Caída debe ser producida por una “fuerza”:
gravedad!
– Características de esa fuerza:
• Para producir el mismo movimiento en cuerpos de
distinta masa...
(fuerza de gravedad) ~ (masa)

6. 6
Una atracción universal
• ¿Por qué todas las cosas que rodean la
Tierra caen sobre ella y la Luna no?
Newton habría descubierto la ley
de gravitación Universal si William
Tell no hubiera intervenido

7. 7
Una atracción universal
• La Luna SI cae sobre la Tierra
como los demás cuerpos...
• La Luna es atraída por la fuerza
de gravedad de nuestro
planeta...
• Los planetas son atraídos por la
gravedad que produce el Sol...
• Todos los cuerpos en el Universo
tienden a atrerse mutuamente...
... Los Cielos y la Tierra se rigen
con las mismas leyes!

8. 8
LA VELOCIDAD DE LA LUZ
La velocidad de la luz es de 300.000 (km/s). A esta
velocidad:
• Se da la vuelta entera a la tierra en 0,02 (s).
• Se viaja a la luna en 1,3(s).
• Se llega al Sol en 8,3 (min).
• Se llega a la estrella más cercana en 4,2 (años).
Un año luz se denomina la distancia que recorre la luz
en un año, es decir,
1 año luz = 9,46 millones de millones de kilómetros
(9,46· 1012
km).

9. 9
LA VÍA LÁCTEA
 Es nuestra galaxia. Los romanos la
llamaron "Camino de Leche".
Es grande, espiral y puede tener unos
100.000 millones de estrellas, entre
ellas, el Sol.

10. 10
LA VÍA LÁCTEA
• Tipo de Galaxia: espiral.
• Cantidad de brazos: 2 centrales
con ramificaciones
• Luminosidad: 14.000 millones
de luminosidades solares.
• Masa total: 1 millón de millones
de masas solares
• Diámetro: 100.000 años luz.
• Espesor del disco: 2.000 años
luz.
• Espesor del bulto central: 6.000
años luz.
 Las estrellas del núcleo están más
agrupadas que las de los brazos. A su
alrededor hay una nube de hidrógeno,
algunas estrellas y cúmulos estelares.

11. 11
EL SISTEMA SOLAR
• Está ubicado en uno de
los brazos de la espiral de
la vía láctea, a unos
30.000 años luz del centro
y unos 20.000 del
extremo.
Cada 225 millones de
años el Sistema Solar
completa un giro
alrededor del centro de la
galaxia. Se mueve a unos
270 (km) por segundo.

12. 12
MODELOS DEL SISTEMA SOLAR
• GEOCÉNTRICO: La
Tierra está inmóvil en
el centro del universo y
todos los astros giran
en torno a ella.
• HELIOCÉNTRICO:
Todos los planetas
giran en torno al Sol.

13. 13
LOS PLANETAS SISTEMA SOLAR
Existen ocho planetas en el sistema solar
Aquí se presentan numerados según su cercanía al Sol
1. Mercurio 2. Venus 3. Tierra
4. Marte 5. Júpiter 6. Saturno
7. Urano 8. Neptuno
El modelo del sistema solar es heliocéntrico, es decir, todos los
planetas giran en torno al Sol.
El sistema solar está formado por una estrella central, el sol, los cuerpos
que la acompañan y el espacio que queda entre ellos.

14. 14
LEYES DE KEPLER
• 1ª LEY: Todos los planetas se mueven en
órbitas elípticas, con el Sol en uno de sus
focos.

15. 15
LEYES DE KEPLER
• 2ª LEY: El vector posición de cualquier
planeta respecto del Sol, barre áreas
iguales de la elipse en tiempos iguales.

16. 16
LEYES DE KEPLER
• 3ª LEY: El cuadrado del período (T) de
revolución de cada planeta es
proporcional al cubo de la distancia media
(R) del planeta al Sol. Siendo k una
constante, la misma para todos los
planetas.
= κ
R3
T2

17. 17
LEY DE GRAVITACIÓN
UNIVERSAL
• La ley de gravitación universal establece
que todos los cuerpos interactúan entre sí.








−⋅=
2kg
2Nm11106,67G
2
21
r
MMG
F
⋅⋅
=

18. 18
Leyes de Kepler
Primera:Primera: Los planetas se mueven enLos planetas se mueven en
órbitas elípticas, con el Sol en uno de losórbitas elípticas, con el Sol en uno de los
focos.focos.
Segunda:Segunda: Una línea entre un planeta y elUna línea entre un planeta y el
Sol barre áreas iguales de una elipse enSol barre áreas iguales de una elipse en
tiempos iguales.tiempos iguales.
Notas: no hay nada en el otro foco o en
el centro. La Segunda Ley quiere decir
que los planetas giran alrededor del Sol
mas rápido cuando están mas cerca de
él. Estas leyes valen para cualquier
cosa que esté orbitando alrededor de
cualquier cosa debido a la gravedad.

19. 19
Segunda Ley de Kepler Animada

20. 20
Leyes de Kepler
Tercera:Tercera: El periodo orbital de un planeta es proporcional a su semieje mayorEl periodo orbital de un planeta es proporcional a su semieje mayor
de acuerdo con la relaciónde acuerdo con la relación PP22
~ a~ a33
..
La forma mas general de esta ley (esencial para determinar todas lasLa forma mas general de esta ley (esencial para determinar todas las
masas en astronomía) esmasas en astronomía) es
centralM
a
P
3
2
∝
Para los planetas del sistema solar (con el Sol como la masa central), si las
unidades del semieje mayor (a) están dadas en UA y el periodo (P) en
años, la constante de proporcionalidad es 1.
Por ejemplo, si Jupiter está a 5 UA, ¿cuál es su periodo orbital?
2.11125;125532
==== PP
Kepler no entendió las bases físicas de estas leyes (el sospechaba que
surgian debidoa a que el Sol atraía a los planetas posiblemente a través de
un magnetismo.

21. 21
Leyes de Kepler

22. 22
Leyes de Kepler

23. 23
Isaac Newton 1642 - 1727
Trinity College,
Cambridge
Newton: uno de los mas grandes científicos.Newton: uno de los mas grandes científicos.
Profesor, Teólogo, Alquimista, Warde of theProfesor, Teólogo, Alquimista, Warde of the
Mint, Presidente de la Royal Society, miembroMint, Presidente de la Royal Society, miembro
del Parlamento.del Parlamento. Coinventor del cálculo. DescubridorCoinventor del cálculo. Descubridor
de la ley de la Gravitación Universal y de las tresde la ley de la Gravitación Universal y de las tres
leyes de Newton del movimiento. Formuló la teoríaleyes de Newton del movimiento. Formuló la teoría
Corpuscular de la luz y la ley de enfriamiento.Corpuscular de la luz y la ley de enfriamiento.
Perosnalmente algo obnoxious, pobres relacionesPerosnalmente algo obnoxious, pobres relaciones
con la mujeres, lost of odd stuff with the great stuff.con la mujeres, lost of odd stuff with the great stuff.
Hizo la mayor parte de su trabajo antes de los 25Hizo la mayor parte de su trabajo antes de los 25
años.años.

24. 24
Las Tres Leyes de Newton
Ley de la Inercia (Primera Ley):Ley de la Inercia (Primera Ley): en ausencia de fuerzas (fuerza neta = 0) losen ausencia de fuerzas (fuerza neta = 0) los
objetos se moverán a velocidad constante.objetos se moverán a velocidad constante.
Ley de Fuerza (Segunda Ley):Ley de Fuerza (Segunda Ley): una fuerza producirá que un objeto cambieuna fuerza producirá que un objeto cambie
su velocidad (aceleración) directamente proporcional a la fuerza aplicada esu velocidad (aceleración) directamente proporcional a la fuerza aplicada e
inversamente proporcional a la masa del objeto. Esta ley puede se puedeinversamente proporcional a la masa del objeto. Esta ley puede se puede
expresar comoexpresar como F = m*aF = m*a o bien,o bien, aa = F/m= F/m..

25. 25
Las Tres Leyes de Newton
Una fuerza mas grande produce una mayor aceleración
Una masa mas grande tendrá una aceleración menor y viceversa

26. 26
Las Tres Leyes de Newton
Ley de la Reacción (Tercera Ley):Ley de la Reacción (Tercera Ley): a cualquier acción hay una reacción iguala cualquier acción hay una reacción igual
y en dirección opuesta, es decir, las fuerzas ocurren en pares iguales yy en dirección opuesta, es decir, las fuerzas ocurren en pares iguales y
opuestos.opuestos.

27. 27
Ley de Gravitación Universal
Newton, para completar su estudio del movimiento de los planetas, sus
leyes de movimiento con una descripción específica de la fuerza de
gravedad
Conociendo el comportamiento básico de los planetas
a partir de las leyes de Kepler, Newton pudo
determinar una ley de fuerzas apropiada, la Ley de la
Gravitación Universal:
F es la fuerza gravitacional
M y m son las masas de los dos objetos
R es la separación entre los dos objetos
G es la constante de gravitación universal

28. 28
Ley de la Gravitación
La gravedad es una fuerza atractiva, y de acuerdo con la Tercera Ley de
Newton, las dos masas (cuerpos) sienten fuerzas iguales y opuestas.
La gravedad es relativamente débil debido al valor tan pequeño de la
constante de la gravitación G, en unidades métricas,
G = 6.7 x 10G = 6.7 x 10-11-11
NmNm22
/kg/kg22
Por lo tanto, se requieren masas grandes para
poder sentir una fuerza apreciable, p.ej. La
masa de la Tierra es 6.0x1024
kg.
A pesar de la masa grande de la Tierra, la
fuerza gravitacional que sientes en la
superficie de la Tierra, tú peso, es solamente
unos cuentos cientos de Newtons.

29. 29
Gravitación

30. 30
Explicación de las Leyes de Kepler
Newton pudo explicar matemáticamente (usando su calculo) que las órbitas
de los planetas son elipses y obedecen las leyes de Kepler. El afirmo que
estos mismo aplica a todos los cuerpos celestes. En particular, pudo mostrar
que el periodo y tamaño de una orbita están dados por:
3
2
2
)(
4
a
MMG
P
PlanetaSol +
π
=
Donde P es el periodo, a es el semieje mayor y G es la constante
gravitacional.
Esta ley, la Tercera Ley de Kepler, se puede usar para encontrar la masa de
cualquier cuerpo en el cual se pueda medir la distancia y el periodo del
cuerpo orbitando (iniciando con el sistema Tierra-Luna).

31. 31
Cálculo de la Masa de la Tierra
Sabemos que el Sol está cerca de 400 veces mas lejos que la luna, y a la
luna le toma un mes orbitar la Tierra. Entonces, su semieje mayor es cerca
de 1/400 UA y su periodo es cerca de 1/12 años.
6
62
3
2
3
1025.2
1064
144
12
1
400
1
−
==∝∝ x
xP
a
M
Ya que hemos usado UA y años, la masa está dada en masas solares. Así
que la Tierra es cerca de un millón de veces menos masiva que el Sol. Para
poder saber cuantos kilogramos tiene, debemos usar la forma de la Ley de
Kepler dada por Newton y poniendo todas unidades físicas [como P(sec), a
(metros), G (unidades mks).

32. 32
Movimiento Orbital
La fuerza de gravedad siempre hace
que las cosas caigan. La pregunta es
si la trayectoria de la caída intersecta
cualquier superficie. La forma de la
órbita depende de la velocidad que el
cuerpo tenga en un punto dado.
Velocidades bajas recorrerán distancias
menores, mientras que velocidades
grandes recorrerán distancias mayores. En
estos casos se puede decir que las
trayectorias son cerradas. Sí la velocidad
es bastante grande (mayor o igual a la
velocidad de escape), la orbita será una
hipérbola en lugar de una elipse y el cuerpo
no regresará.

33. 33
Velocidad de Orbital y de Escape
R
GM
Vcir =
La velocidad de escape
depende de la masa y del
tamaño del cuerpo. Para
la Tierra es cerca de 11
km/s. Cuando la velocidad
de escape es la velocidad
de la luz, el cuerpo central
será un agujero negro.
Es importante notar que
ninguna de estas
velocidades depende de la
masa del cuerpo que está
orbitando o escapando.

34. Luego la fuerza aplicada a la faja transportadora es:
Observamos que la fuerza es debidamente al cambio
de masa y no al cambio de velocidad.
Movimiento del Cohete
Esto se mueve debido a una fuerza derivada de la
expulsión de los gases que se producen en la cámara de
combustión dentro del cohete mismo. La masa del
combustible no es constante sino que disminuye.
Sea v= velocidad del cohete respecto a la tierra
v´=velocidad de salida de los gases
ve= velocidad de escape de los gases con
respecto al cohete

35. 1) Halle la fuerza de atracción entre la tierra y la luna
NF
KgNmGL
KgmKgm
quesabemos
L
mm
GF
m
LT
LT
20
2118
2224
2
10*985.1
/10*67.610*84.3
10*34.710*98.5
:
:ngravitaciódefuerzaladeecuaciónlaDe
=




==
==
=
2) Dos esferas de hierro de masas de 2Kg y 3kg con radios de 2m y 3m
respectivamente, están en contacto, hallar la fuerza gravitatoria entre ambas
N11-
10*8.167F:tenemos
:iagravitatorfuerzaladeecuaciónlaendoReemplazan
7m:esesferaslasdecentroslosentredistanciaLa
=

36. 3) De la figura halle la dirección y magnitud de la fuerza resultante en la
esfera B.
izquierdalahaciaessentidosuy10*3.854esresultantefuerzalaLuego
10*48.1
3
)1)(2(
)10*67.6(
:yCBentreresultantefuerzalaahorahallemos
10*02.40
1
)2)(3(
)10*67.6(
:ByAentrefuerzala1roHallemos
10-
11
2
11
11
2
11
NF
NF
BC
AB
−−
−−
==
==

37. 4) De la figura, halle el vector de la fuerza resultante en la esfera A, donde “O”
es el origen de coordenadas y el vector OO’, esta sobre el eje “x” positivo.
N
FF
NuFFNF
NuFFNF
Sol
ACAB
ACACACAC
ABABABAB
13
R
R
1313
2
11
2
3
2
11313
2
11
10)31482,315.2(F
F
:vectorialsumalaarecurrimosresultantefuerzalahallarPara
)0,1(10*833.0ˆ10*833.0
)40(
)1)(2(
)10*67.6(
),(10*964.2ˆ10*964.2
)30(
)2)(2(
)10*67.6(
:
−
−−−
−−−
=
+=
==→==
==→==

38. 5) De la figura, halle la masa de A, si el sistema esta en equilibrio.
Kgm
N
m
NFgFgFc
NFc
Sol
A
A
11
2
11
2
10*746.6
5
))(2(
)10*67.6(6.3
:equilibrioenestásistemaelComo
6.3
5
)3)(2(
:centrifugafuerzalaHallemos
:
=∴
==⇒=
==
−

39. 6) Un hombre pesa 70Kgf suponiendo que el radio de la tierra se duplicara,
¿Cuánto pesaría el hombre si la masa d la tierra permanece constante?
N
P
P
R
mm
G
R
mm
G
Tp
Tp
5.17
4
4
4
P
P
expansiónla
dedespuespesoelPyexpansión,ladeantespersonaladepesoelPSea
1
2
2
2
2
1
21
==∴==
7) Se dispara una bala de cañón desde la superficie de la tierra. A que
distancia del centro de la tierra la bola se detiene. Sean: v = velocidad inicial
R=radio terrestre; mb = masa de la bola; M = masa de la tierra
2
2
2
2
2
2
2
1
:quetenemos(1)En
)1(
:ón tenemosconservacideleyPorva.conservatiesiagravitatorfuerzalaqueSabemos
RvGM
GRM
D
v
R
M
G
D
M
G
vm
R
Mm
D
Mm
G
EEEEEEEEE
b
bb
PGfKiPGiKfPGfKiPGiFi
−
=→+=
+=
=+⇒/+=+→= 

40. 8) Un meteorito se encuentra inicialmente en reposo a una distancia del
centro de la tierra igual a 8 veces el radio terrestre (R). Halle la
velocidad con la que colisiona en la superficie.
smv
v
R
m
Gvm
R
mm
G
EEEEEEEEE
T
m
mT
KfPGfPGiPGfKfPGiKifi
/10*31.3)
)
4
7
(
2
1
8
1
1
:quetenemos(1)En
)1(:energía
ladeónconservacideleyporLuego,va.conservatiesiagravitatorfuerzalaqueSabemos
2
7
22
2
⇒
=→=





−
=−→+=+/→= 