ficha de tronco de cono

1. 1 | P á g i n a
MATEMÁTICA – 5º DE SECUNDARIA FICHA 4
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS DE REVOLUCIÓN EN NUESTRA VIDA DIARIA
Los conos de seguridad sirven para la
señalización vial, representando un elemento
de seguridad para transeúntes o conductores.
Asimismo, sirven para indicar desvíos, pozos,
obras en caminos, calles y carreteras;
debiendo tener como mínimo una altura de 47,5
cm. Estos conos pueden fabricarse de diversos
materiales como goma, plástico, PVC, entre
otros materiales que permitan soportar el
impacto evitando que se dañen los vehículos o
dañen a otros. Los conos de mayor tamaño son
empleados cuando el volumen de tránsito,
velocidad u otros factores lo requieren. Los
conos de seguridad son de color naranja y en
las noches deben ser reflectantes o equiparse con dispositivos luminosos para que
tengan buena visibilidad.
1. ¿Qué función tienen los conos en las imágenes observadas?
____________________________________________________________________________________
______________________________________________________
2. ¿En tu escuela utilizan los conos de seguridad? Da ejemplos concretos.
____________________________________________________________________________________
______________________________________________________
3. ¿Qué tipos de conos representan estos sólidos geométricos que son utilizados para la
señalización vial?
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________
4. La municipalidad ha adquirido conos de seguridad de color naranja de 48cm de altura
y los diámetros de la base mayor y menor son 36cm y 8cm respectivamente, para el
desvió del tránsito deben de tener una banda reflexiva de 10cm aprox. de ancho.
¿Cuál es la superficie cubierta por la banda reflexiva?
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
________________________
Aprendemos:
Respecto a la situación planteada “Sólidos geométricos de revolución en nuestra vida
cotidiana”, se observa que en nuestro entorno encontramos cuerpos geométricos de
diferentes formas, como son los sólidos de revolución cono y cilindro, los cuales
muchas veces son truncados con una determinada finalidad. De ellos, podemos calcular
su área y volumen, asimismo, obtener su desarrollo y las proyecciones en tres vistas:
de frente, de arriba y lateral.
CUERPOS GEOMÉTRICOS TRUNCADOS
TRONCO DE CONO
El tronco del cono recto o cono truncado recto es una
superficie de revolución generada al girar un trapecio
rectángulo sobre el lado perpendicular a sus bases.
También puede entenderse como el corte del cono en paralelo a
la base y eliminar la parte que tiene el vértice del cono.
ÁREAS Y VOLUMEN DE UN CONO TRUNCADO
Área lateral de un cono truncado
Tronco de
cono
Donde:
R: Radio de la
base mayor
r: Radio de la
base menor
h: Altura
g: Generatriz
𝐴𝐿 = 𝜋 ( 𝑅 + 𝑟) 𝑔
Gira 360°

2. 2 | P á g i n a
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Área de un cono truncado
Volumen de un cono truncado
TRONCO DE CILINDRO O CILINDRO TRUNCADO
El tronco de cilindro es el sólido que se obtiene al cortar el cilindro de revolución
por un plano no paralelo a sus bases.
ÁREA Y VOLUMEN DE UN CILINDRO TRUNCADO
Área lateral de un cilindro truncado
Área del cilindro truncado
Volumen del cilindro truncado
Analizamos
1. Los estudiantes de quinto grado realizan un proyecto
de investigación sobre el volcán de la región.
Para ello, representan sus medidas en una maqueta a
escala de 1: 2000, tomando en cuenta la
siguiente información: Diámetro del cráter
de 840m, diámetro de la base del volcán de
1800m y el ángulo de inclinación del
volcán de 37°. Para la elaboración del
tronco de cono utilizaron arcilla de color
marrón y para la chimenea, la cual tiene
forma de cilindro, utilizaron arcilla de
color naranja, tal como se muestra en la
figura. Ayuda a determinar a los
estudiantes en cuánto excede la cantidad
de arcilla de color marrón a la arcilla de
color naranja utilizada en la elaboración
de la maqueta.
RESOLUCIÓN
A partir de la escala 1: 2000, determinamos las medidas que se utilizan en la
elaboración de la maqueta.
Diámetro del cráter: 840 𝑚 =
(840 ) (100)
2000
= 42 𝑐𝑚
Diámetro de la base del volcán: 1800 𝑚 = =
Se construye un gráfico para ubicar la información proporcionada en el problema.
Tronco del cilindro
Área
lateral Área de
la
elipse
Área del
círculo
Donde:
R: Radio del
círculo
G: Generatriz
mayor
g: Generatriz
menor
a: Semieje
mayor
b: Semieje
menor
𝐴𝑇 = 𝜋 [ 𝑔 ( 𝑅 + 𝑟) + 𝑅2
+ 𝑟2]
h
A
B
C
𝑉 =
1
3
𝜋 ℎ[ 𝑅2
+ 𝑟2
+ 𝑅. 𝑟 ]
𝐴𝐿 = 𝜋 𝑅 (𝐺 + 𝑔)
𝐴𝑇 = 𝜋 𝑅 ( 𝐺 + 𝑔) + 𝜋𝑅2
+ 𝜋𝑎𝑏
𝑉 = 𝜋 𝑅2 (
𝐺 + 𝑔
2
)

3. 3 | P á g i n a
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Calculamos:
Volumen de la cantidad de arcilla
color naranja
Volumen de la cantidad de arcilla color marrón
𝑉 = 𝜋 𝑅2ℎ 𝑉 =
1
3
𝜋 ℎ[ 𝑅2 + 𝑟2 + 𝑅. 𝑟 ] − 𝜋 𝑅2ℎ
La cantidad de arcilla de color marrón excede a la cantidad de arcilla de color
naranja en ___________________
2. Se quiere elaborar cuñas de acero en forma de cono truncado con un agujero central
que sirva para ajustar los torones que son alambres de acero enrollados
helicoidalmente empleados en la construcción de puentes, entre otros. Las cuñas se
elaboraran a partir de un cono recto cuya altura mide 12cm y el radio de su base 12
cm. Se taladra un agujero cilíndrico de diámetro 6cm en el cono a lo largo de eje,
resultando un sólido como el que se muestra en la figura. Calcular el volumen de la
cuña.
RESOLUCIÓN
Se construye un gráfico para ubicar la
información proporcionada en el problema.
Por semejanza de conos:
( 𝐶𝑜𝑛𝑜
𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
)( 𝑀𝐵𝑁) ~ (
𝐶𝑜𝑛𝑜
𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
)( 𝐴𝐵𝐶)
Entonces todos sus elementos homólogos son proporcionales.
Razón de sus bases:
𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
= =
1
4
En Conos semejantes se
cumple:
𝑉1
𝑉
=
ℎ1
3
ℎ3 =
𝑟3
𝑅3 =
𝑔1
3
𝑔3
Torón

4. 4 | P á g i n a
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Entonces:
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
= =
Establecemos la relación entre el volumen del Cono MBN y el cilindro, cuyas base
son iguales:
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
=
𝐴 𝑏𝑎𝑠𝑒 . ℎ
3
𝐴 𝑏𝑎𝑠𝑒 . 3ℎ
→
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
=
1
9
Comparamos volumen total con el volumen de las partes:
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 𝐴𝐵𝐶 = 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑀𝐵𝑁 + 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 + 𝑉𝑥
64V =
Luego: 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 =
1
3
(32
. 𝜋) 18 =
Entonces: 64V = 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
64V = ________
V = ________
Reemplazamos en el 𝑉𝑥 :
𝑉𝑥 = 54 𝑉
El volumen del sólido es ___________________________
3. Los niños desde muy pequeños son estimulados con actividades lúdicas, con
rompecabezas, piezas de madera de encajes, para armado de casas, carros y otros
objetos, que permitan desarrollar la imaginación y creatividad de los niños. En
este sentido un diseñador de estos materiales propuso la elaboración de una nueva
pieza como se muestra en la figura. Representa las vistas de frente (proyecc ión
vertical), de arriba (proyección horizontal) y lateral (proyección lateral) de esta
nueva pieza.
4. Los estudiantes en el área de EPT elaboraron un porta
cuchillos con la forma de tronco de cilindro, utilizando un
pedazo de madera forrado de una lámina de aluminio, como se
muestra en la figura.
a) Calcular el volumen de la madera, si el diámetro de la
circunferencia es 10 cm.
RESOLUCIÓN
Ubicamos los datos en el gráfico.
El volumen del tronco de cilindro es:
20cm
15cm
Vista de frente
Vista de
arriba
Vista lateral
𝑉 = 𝜋 𝑅2
𝐻

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Calculamos el volumen reemplazando los datos en la fórmula:
b) Si los estudiantes elaboran 8 porta cuchillos con las mismas características,
¿cuántos centímetros cuadrados de láminas de aluminio se necesita?
RESOLUCIÓN
Reemplazamos los datos en la fórmula:
El área lateral de un porta cuchillos es ________________
Como se elaboran 8 porta cuchillos serán necesarias ________________________
Practicamos
1. Relaciona cada sólido geométrico con su respectivo desarrollo.
G
gH
B
C
DA
𝑉 = 𝜋 𝑅2
(
𝐺 + 𝑔
2
)
La altura (H) del tronco de cilindro es el
segmento que une el centro de la elipse con el
centro de circunferencia.
Como se observa en el grafico la altura es la
base media del trapecio ABCD. 𝐻 =
𝐺+𝑔
2
Entonces el volumen del tronco de cono es:
𝐴𝐿 = 𝜋 𝑅 (𝐺 + 𝑔)

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2. El profesor de arte realiza el taller de dibujo técnico con la finalidad de
reforzar la orientación espacial de sus estudiantes, para ello propone a sus
estudiantes que a partir del sólido geométrico mostrado realicen la vista de frente
(proyección vertical), de arriba (proyección horizontal) y lateral (proyección
lateral). Según tu apreciación ¿cómo serían las vistas del sólido mostrado?
Vista de Frente Vista de arriba Vista latera
3. Existen diversos tipos de tuberías las cuales se adaptan a la necesidad de cada
industria, así también existen diversos tipos de accesorios y conexiones
específicas para éstas. Dentro de esta gama se encuentra el HF dúctil en modelo T
de fierro fundido como se muestra en la figura. Del siguiente accesorio construye
la vista de frente (proyección vertical), de arriba (proyección horizontal) y
lateral (proyección lateral).
Vista de Frente Vista de arriba Vista lateral

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4. En la clase de Historia, Geografía y Economía, el profesor Christian mostró unas
cerámicas de las culturas incaicas, como se muestra en la figura. “Algunas de estas
cerámicas se pueden construir a partir de la rotación de una región en el plano”,
manifestó un estudiante. Según la afirmación del estudiante, ¿cuáles son las
cerámicas que cumplen la condición manifestada por el estudiante?. Represéntalo en
la cuadrícula mostrada.
Pieza automotriz
Un mecánico automotriz diseña piezas que permiten la generación y transmisión del
movimiento en sistemas automotrices, como se encuentran en los vehículos de tracción
mecánica. En tal sentido, diseña dos piezas automotrices de acero, a partir de la
rotación de la región del plano alrededor del eje M y N, como se muestra en la figura.
Con esta información responde las
preguntas 5 y 6.
5. Representa los sólidos de revolución al rotar en cada uno de los ejes.

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6. ¿Cuál es la relación entre el volumen de sólidos geométricos generados por M y N?
a)31/17
b)10/17
c) 8/15
d) 15/31
LA FÁBRICA DE MERMELADAS
Los dueños de una fábrica de mermeladas de aguaymanto desean incrementar sus ventas,
promocionando su producto en nuevos tamaños de recipientes con etiquetas novedosas,
para lo cual, le presentan dos propuestas de diseños de recipientes como se muestra en
la imagen.
Envase 1
Envase 2
Con esta información responde a las preguntas 7 y 8.
7. ¿Cuál de los dos recipientes tiene mayor capacidad?
a) Envase 1= 144𝜋𝑐𝑚3
b) Envase 2 = 296 𝜋 𝑐𝑚3
c) Envase 1 = 48 𝜋𝑐𝑚3
d) Envase 2 = 98,67 𝜋𝑐𝑚3
8. Si en cada recipiente la etiqueta cubre toda la superficie lateral, ¿en cuál de los
dos envases se emplea la mayor cantidad de etiquetas?
a) Envase 2 = 96,72𝑐𝑚2
b) Envase 1 = 48 𝜋𝑐𝑚2
c) Envase 2 = 56,42𝜋𝑐𝑚2
d) Envase 1 = 24 𝜋𝑐𝑚2
9. En la heladería “Sabores Naturales”, los vasos de helado tienen
como medida: 6cm de profundidad, 8cm de diámetro superior y 6cm
de diámetro inferior. Si se colocan en el vaso tres porciones
de helado de forma esférica, cuyo diámetro es 6 cm y el helado
se derrite dentro del vaso, ¿este se rebasará?¿Por qué?

9. 9 | P á g i n a
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l
a) 𝑉𝐻𝐸𝐿𝐴𝐷𝑂 < 𝑉𝑉𝐴𝑆 𝑂
b) 𝑉𝐻𝐸𝐿𝐴𝐷𝑂 > 𝑉𝑉𝐴𝑆 𝑂
c) 𝑉𝐻𝐸𝐿𝐴𝐷𝑂 = 𝑉𝑉𝐴𝑆 𝑂
d) 𝑉𝐻𝐸𝐿𝐴𝐷𝑂 − 𝑉𝑉𝐴𝑆𝑂 = 34 𝑐𝑚3
10. Una banda de músicos ha adquirido tres ashikos,
instrumentos de percusión de forma de cono truncado,
cuyas dimensiones son de 40 centímetros de alto por 26
centímetros de diámetro superior y 8 centímetros de
diámetro en la boca inferior. ¿Cuántos centímetros
cuadrados de tela con diseños incaicos serán necesarios
para cubrir el contorno de los tres ashikos? Considerar
𝜋= 3,14
a) 6565,74 𝑐𝑚2
b) 6405,60𝑐𝑚2
c) 2188,58 𝑐𝑚2
d) 248,06𝑐𝑚2
11. La IE ha recibido una donación de 30 macetas en forma
de cono truncado para su proyecto “Arborizando y
oxigenando mi medio ambiente”. Los radios de las bases
de estas macetas miden 9 cm y 27 cm respectivamente, y
su generatriz 30 cm; si se llenará la ⅔ partes de la
generatriz de la maceta con tierra preparada ¿Cuántas
bolsas de 5kg serán necesarios para habilitar todas las
macetas?
a) 3 bolsas
b) 11 bolsas
c) 71 bolsas
d) 72 bolsas
12. ¿Cuál de las figuras se pueden armar al plegar el siguiente desarrollo?
Jóvenes emprendedores
Los estudiantes de la IE Miguel Grau en el área de Gestión empresarial elaboran
lámparas en forma de cono truncado con papel reciclado, colocando un armazón de
alambre, como base para el bombillo, en la mitad de la altura del cono truncado.

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Con esta información responde las preguntas 13 y 14.
13. ¿Cuántos centímetros de papel reciclado se requiere para la confección de la
pantalla, si se considera una pestaña rectangular de 2cm en uno de sus extremos, y
sus radios miden 8,5cm y 15,5 cm?
a) 50(12𝜋+1)cm
b) 24(24𝜋+1)cm
c) 25(23𝜋+2)cm
d) 175𝜋cm
14. ¿Cuántos centímetros de alambre se requiere para el armazón del bombillo, si los
radios están en relación de 1 a 6?
a) 28𝜋cm
b) 88 𝜋cm
c) 2(14 𝜋-30)cm
d) 4(7 𝜋+15)cm
15. En el parque municipal de la comunidad se van a instalar tachos de basura y se
tienen dos modelos como se muestra en la figura. El alcalde desea saber cuál de los
dos modelos será más conveniente adquirir en relación a su capacidad. Ayuda al
alcalde a determinar cuál de los tachos tiene la mayor capacidad.
a) Tacho 1, 260 cm3
b) Tacho 2, 12636 cm3
c) Tacho 1, 9880 cm3
d) Tacho 2, 363 cm3