Bocal de Laval - Teoria e Relações

Universidade Federal do ABC

Aula 4
Relações teóricas no bocal
EN 3255 Propulsão Aeroespacial

EN3224 Propulsão Aeroespacial

O bocal
A função principal de um bocal em um motor
foguete é converter eficientemente a entalpia
dos gases de combustão em energia cinética.
Com isso, atingem-se altas velocidade de
exaustão do gás.
O bocal é o dispositivo mais eficiente para
acelerar gases a velocidades supersônicas.


O bocal De Laval
Tipicamente, os bocais em motores foguete são
do tipo “De Laval”, com a área em corte
transversal diminuindo a um mínimo na
garganta e, em seguida, aumentando a área
de saída.
A velocidade de fluxo através do bocal aumenta
até a velocidade do som na garganta e, em
seguida, aumenta ainda mais
supersonicamente na seção divergente.

Velocidade de ejeção dos Gases (c ou ve)
c

Gustaf de Laval

Expansão Isentrópica
Bocal de Laval - Tubeira
4

Pluma supersônica

5

Schock diamonds
• Uma formação de padrões de
ondas permanentes que
aparece na pluma de escape
supersônico de um sistema
de propulsão supersônico
funcionando em uma
atmosfera.
• Os diamantes são visíveis
devido à ignição de
combustível em excesso.
• A distância entre o primeiro
diamante e o bocal é dada
por:

6

Escoamento isentrópico
Adiabático, sem atrito, sem ondas de choque ou de expansão.
Efeitos do atrito e da “transmissão de calor” desprezíveis devidos
à variação de área.
r
Entrada
Mc
pc
Tc

A(x)

x

Saída
Me
pe
Te
A razão entre a velocidade
do gás e a velocidade do
som é dada por M, o
“número de Mach”.

Garganta
Mt=1
pt
Tt

7

Expansão isentrópica
Na prática, assume-se que o escoamento é uma
expansão isentrópica.
Tanto a pressão total como a temperatura total
se mantém constantes no bocal.
Neste caso, é válido


 2   1
pt

  1

 pc ns 



Pressão crítica
A pressão estática na garganta, pt, é definida
como sendo a pressão crítica.
Como o fluxo é supersônico, quaisquer
influências que ocorrem depois da garganta
não afetarão o que ocorre na câmara.


Separação do jato


Comportamento do gás no bocal
Desaceleração subsônica
(isentrópica)

Ondas de choque (não isentrópica)
e desaceleração subsônica
(isentrópica)
Apenas ondas de choque
(não isentrópica)

Expansão ideal: pe=po


O bocal supersônico
Ao longo do bocal,
é possível ter
pressões menores
do que a pressão
ambiente.

c


O descolamento
do jato se dará no
ponto em que
ocorrer a
expansão ideal.
12


O bocal supersônico
Do ponto de vista
prático, leva-se
em conta que não
há descolamento
do jato, e que
tudo foi calculado
justamente para
isso.

c


13

Relações teóricas
Estas expressões são deduzidas a partir da mecânica dos fluidos
e da termodinâmica no interior do bocal.
Todas resultam em valores teóricos.

ou

2 g  R
ve 

 1  M

   pe  
Ti 1    
   pi  
  

 1


 vi2

  pe  
2 g  R 

ve 
 (Tc ) ns 1  
 ( p ) 


 1  M 
  c ns  

 1


 1
 1


Taxa do fluxo em peso: W  At ( pc ) ns

 2 
g 
  1



 R
 (Tc ) ns
M

Razão de expansão do bocal: 1
1
 2   1  ( pc ) ns  

  1  p 

Ae

  e 


 1
At



  1   pe  
1 
(p )  
  1   c ns 
 




Pressão e velocidade na garganta:


 2   1
pt  ( pc ) ns 
  1



2 g  R
vt 

M
 1  M


(Tc ) ns



Em qualquer ponto x entre a entrada do bocal e
a saída para o ambiente

Ax
1

At M x

  1

1
Mx 

2
  1 


2




 1
 1

Em qualquer ponto x entre a entrada do bocal e
a garganta
 1
2 (  1)

 1



2  ( pc ) ns  

 p  
  1  x 
 
Ax




 1
At



2  ( pc ) ns 

  1

  1  p x 








Em qualquer ponto x entre a garganta e a saída
entrada do bocal
Ax

At

 2 

  1




1
 1

1

 ( pc ) ns  

 p 

x



 1


  1   px   

1 
  ( pc ) ns  
 1
 
 



 1



vx
  1   px  

1 
(p )  
vt
  1   c ns 
 




 1



2 g  R 
1   p x  
vx 
 (Tc ) ns  
(p )  

 1  M 
  c ns  



Tabela 1.2 do H&H


Exemplo / aplicação
Considere uma câmara de reação de um motor
foguete ideal com as seguintes características:
Taxa de propelente em massa:
Pressão de estagnação no bocal:
Temperatura total na câmara:
Massa molecular dos resultados:
Calor específico dos gases:
Razão de expansão do bocal:


Wtc  1604,47 N/s

 pc ns  6894,757 kPa
Tc ns  3633,33 K

M  5,88 kg/mol
M
  1,20
  12

São ainda consideradas as seguintes condições:
Número de Mach no plano de injeção: M inj  0
Número de Mach na entrada do bocal: M i  0,4

Exemplo
Determine:
a) As pressões estáticas pinj, pi, pt, px em
Ax/At=4, e pe.
b) As temperaturas Tinj, Ti, Tt, Tx e Te.
c) Os volumes específicos Vinj, Vi, Vt, Vx e Ve.
d) As velocidades vi, vt, vx e ve.
e) Os números de Mach: Mx e Me.
f) As áreas Ac, Ai, At, Ax e Ae.

a) Pressões estáticas
 pc inj   pc ns

1   M i2



   1 2   1
Mi 
1 
2



 pc inj  6894757

 pc i 

 pc inj
1  M

 pc i

2
i



 2   1
pt   pc ns 
  1




1  1,2 (0,4) 2
 1,2  1

1
(0,4) 2 

2



1, 2
1, 2 1

 7,46 MPa

7,46 106

 6,267 MPa
2
1  1,2 (0,4)

 2 
pt  6894757

 1,2  1 

1, 2
1, 2 1

 3,888 MPa

a) Pressões estáticas

Ax

At

 2 

  1




1
 1

1

 ( pc ) ns  

 p 

x





  1   px 

1 
  ( pc ) ns 
 1





Ae


At

 2 

  1




1
 1

 1


Ax/At=4
Métodos
numéricos







px  299,92 kPa

1

 ( pc ) ns  
 p 
 e 

 1



  1   pe  

1 
  ( pc ) ns  
 1
 
 



=12
Métodos
numéricos


pe  67,91 kPa

Exemplo: resolução


b) As temperaturas
Como (Tc)inj= (Tc)ns=constante e Minj=0, então
Tinj  Tc inj  Tc ns  3577,8 K

Ti 

(Tc ) ns
 1

1    1M i2 
 2



Ti 

3633,33
 1

1  1,2  1(0,4) 2 
 2




 3577,80 K

b) As temperaturas
 pt 
Tt

(p ) 
(Tc ) ns  c ns 

Ti  pi 
 
Tx  p x 
 

 1


 1


 px 
Tx

(p ) 


 1


 pe 
Te

(p ) 


 1



Tt  3302,78 K

Tx  2155,56 K

Te  1680,56 K

c) Volumes específicos
Vinj 

RTinj
M pinj

8,314  3633,33
Vinj 
 0,177 m3 /kg
5,882  (7,46 106 )

RTi
Vi 
M pi

8,314  3577,8
Vi 
 0,2085 m3 /kg
5,882  (6,267 106 )

RTt
Vt 
M pt

8,314  3302,8
Vi 
 0,310 m3 /kg
5,882  (3,888 106 )

RTx
Vx 
M px

8,314  2155,5
Vx 
 0,263 m3 /kg
5,882  (299,92 103 )

RTe
Ve 
M pe

8,314 1680,5
Ve 
 9,06 m3 /kg
5,882  (67,91103 )

d) Velocidades do som
vi  M i ai  M i

R
g 
M
M


Ti


 8,314 
vi  0,4 9,8 1,2
3577,8  501,7 m/s
 5,88 
vt  M t at  M t

R
g 
M
M


Tt


 8,314 
vt  1 9,8 1,2
3302,8  1206,4 m/s
 5,88 

d) Velocidades do som
2 g  R
vx 

 1  M

  px  


(Tc ) ns 1  
  ( p ) 

  c ns  

 1


  299,92 103  
2  9,8 1,2  8,314 

vx 

3633,331  
  6894,757 103  
1,2  1  5,88 

 

  pe  
2 g  R 

ve 
 (Tc ) ns 1  
 ( p ) 


 1  M 
  c ns  

1, 2 1
1, 2

 2548,13 m/s

 1


  67,91103  
2  9,8 1,2  8,314 

ve 

3633,331  
  6894,757 103  
1,2  1  5,88 

 

1, 2 1
1, 2

 2974,8 m/s

e) Números de Mach
R
ax  g 
M

 8,314 

2155,5  983,3 m/s
Tx  9,8 1,2

 5,88 
vx 2548,13
Mx 

 2,59
ax
983,3

R
ae  g 
M

 8,314 

1680,5  859,5 m/s
Te  9,8 1,2

 5,88 
ve 2974,8
Me  
 3,43
ae 859,5

f) Áreas

WtcVi 1604,47  0,2085
Ai 

 680 cm 2
vi
501,7

Ac  Ai  680 cm 2

Ax/At=4


WtcVt 1604,47  0,3103
At 

 421,9 cm 2
vt
1206,4

WtcVx 1604,47  0,2628
Ax 

 1689 cm 2
vx
2548,13

WtcVe 1604,47  9,0583
Ae 

 5045,15 cm 2
ve
2974,8

Ae= At

PARÂMETROS DE PERFORMANCE


Impulso específico

F
I sp 

W
A principal quantidade usada para caracterizar a
performance de um motor foguete é o
impulso específico.
O impulso específico não representa um
“tempo”, mas sim uma magnitude semelhante
a eficiência.

Impulso específico

F
I sp 

W
O Isp influencia diretamente:
• A velocidade final do veículo
• A neutralização da gravidade
• Massa da carga útil


Impulsos específicos
• Impulso específico da câmara de combustão:

(Isp)tc
• Impulso específico do motor completo (com o
bocal)

(Isp)oa
(overall assembly)


Fração de massa do combustível
Outro parâmetro de desempenho importante é
a fração de massa propelente do veículo
completo, do qual o sistema de motor é uma
parte.

massa de combustível
Rp 
massa inicial do veículo


Fração de massa do combustível
O significado da fração de combustível pode ser
ilustrado pela equação dos foguetes corrigida:
Correção devida a
efeitos atmosféricos

1
vbo  Cvc g ( I sp ) oa ln
1  Rp
Velocidade de
burnout

Fração de massa do
combustível

Impulso específico do
motor completo

Thrust Chamber Specific Impulse (Isp)tc
O desempenho geral da câmara de combustão é
uma função direta do conjunto propulsor: a
eficiência de combustão de propulsores na
câmara, e o gás de produto de expansão no
desempenho do bocal.


Expressões do (Isp)tc

I 

sp tc

F (já conhecida)


Wtc
Velocidade
característica
(dependente do
combustível)

I 

sp tc



c*C f
g


Coeficiente de
empuxo (dependente
do motor)

A velocidade característica c*

c* 

 pc ns At g

Wtc

Num bocal com gases a velocidade sônica na
garganta, o valor de c* reflete o nível de
eficiência energética dos propelentes e a
qualidade de concepção do injetor e da câmara
de combustão.


c* 

 pc ns At g

Wtc

Esta expressão mostra que c* mede o
desempenho da combustão indicando quantos
kg por segundo de combustível deve ser
queimado para manter a requerida pressão de
estagnação do bocal.


c* 

 pc ns At g

Wtc

.

Um valor mais baixo de W indica um processo de
combustão de energia mais elevada e mais
eficiência.


Dependência das características do gas
c* 

 pc ns At g

Wtc

c*  At ( pc ) ns
 1
 1


W  At ( pc ) ns

 2 
g 
  1



 R
 (Tc ) ns
M 


R
g  (Tc ) ns
M
 
 2 

  1




 1
 1

Coeficiente de empuxo Cf

F
Cf 
At  pc ns
O valor de Cf reflete as propriedades de
expansão de gás e a qualidade projeto do
bocal.


Coeficiente de empuxo Cf

F
Cf 
At  pc ns
O coeficiente de empuxo mede a força ampliada
pela expansão do gás através do bocal, em
comparação com a força da pressão na
câmara atuando sobre a área da garganta.

Coeficiente de empuxo Ct
 pe  p a 
2 2  2 


Cf  
  1

 (p ) 
 1 

 c ns 

 1
 1

  pe  
1  

  ( p ) 
  c ns  

 1


Combinando com as equações já vistas,
notamos que Cf é uma função do razão dos
calores específicos, da pressão da câmara, da
pressão atmosférica e da taxa de expansão da
área do bocal.

Significado físico de Cf
F
Cf 
At  pc ns

F  ( pc ) ns At C f

Esta fórmula expressa o impulso gerado por uma
câmara de pressão (o efeito) é produzido por
pressão (a causa) como uma função das
propriedades físicas da própria câmara.


Câmara cilíndrica

injetores

Pinj

Pa

A pressão tem um efeito
muito pequeno na
parede cilíndrica (as
forças normais ao eixo da
câmara irão se cancelar.
Não há nenhuma fração
da pressão para atuar na
saída.

Ainj=Ac
Ac=Ai=At=Ae


A única área sobre a qual
a câmara de pressão
pode atuar é a placa do
injetor.

Câmara com garganta

injetores

Uma fração da
pressão atua nas
paredes da
garganta.
Pa

Pinj

Ainj=Ac

Ac=Ai
Ai>At
At=Ae

Ao alcançar a
atmosfera, o gás
se expande
livremente.

Câmara com bocal divergente

Pa

Pinj

Ainj=Ac

Ac=Ai

Ai>At
At>Ae

O bocal regula a expansão dos gases, recebendo
parte da pressão em suas paredes.

Expansão dos gases no bocal
Com um bocal divergente, que impede que os
gases de se dissiparem de forma aleatória,
observa-se aceleração em uma única direção.
Este processo ocorre na parte divergente do
bocal, as pressões estáticas dos gases em
expansão produzem uma força nas paredes do
bocal.


O empuxo a partir das pressões

Pa

Pinj

Ainj=Ac

At

Ac=Ai
At

Ainj

Ai

Ae

0

At

At

At

Ftc   pdA 

 pdA   pdA   pdA


Ae

O empuxo a partir das pressões

Pa

Pinj

Ainj=Ac

Ac=Ai

At

F  ( pc ) ns At C f

Ae

RESUMO: AS INFLUÊNCIAS DOS
PARÂMETROS EXTERNOS

Influência de pa
pa Cf 
pa
C f  (C f ) vácuo  
 pc ns
A pressão externa reduz o coeficiente de
empuxo.
O valor máximo do coeficiente de empuxo é
obtido no vácuo.

Influência de 
 Cf 
Para uma dada pressão ambiente, o empuxo
máximo é obtido quando pe  pa

Ae
Como  
, observa-se que Cf aumenta com
At
.
Entretanto, existem fatores limitantes. Um valor
liminte para  é 25 (para o caso de pa = 0).

Influência de 
  Ct 
2
 pe  p a 
2  2 


Cf  
  1

 (p ) 
 1 

 c ns 

 1
 1

  pe  
1  

  ( p ) 
  c ns  

 1


O aumento da razão dos calores específicos
influencia positivamente no valor de Cf.
Contudo,  depende exclusivamente da química
e termodinâmica dos combustíveis escolhidos.

Influência de (pc)ns
(pc)ns
2
 pe  p a 
2  2 


Cf  
  1

 (p ) 
 1 

 c ns 

 1
 1

Cf 

  pe  
1  

  ( p ) 
  c ns  

 1


O aumento da pressão de estagnação da câmara
reduz a primeira parcela desta expressão.
Como resultado, temos um aumento de Cf com
(pc)ns.

Resumo do resumo
O que queremos: Cf 
Logo, as escolhas do projeto devem privilegiar as
condições que levem a:

pa






(pc)ns

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