Transformação de coordenadas em CFD

Universidade Federal do ABC

Aula 6
Geração de Grades
EN3224 Dinâmica de Fluidos
Computacional

EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional

TRANSFORMAÇÕES DE
COORDENADAS

Grade de pontos discretos
• A abordagem de diferenças finitas apresentada
até agora, que exige que os cálculos sejam feitos
sobre um arranjo de pontos de grade discretos.
• A disposição destes pontos discretos ao longo do
campo de fluxo é simplesmente chamado de uma
grade.
• A determinação de uma grade adequada para o
fluxo sobre ou através de uma dada forma
geométrica é um problema complexo.

Geração da grade
• A questão da geração de grade é uma
consideração importante em CFD: o tipo de
grade escolhida para um dado problema pode
ajudar ou prejudicar a solução numérica.
• A geração de grade torna-se uma atividade
por si só.
• É assunto de numerosas conferências
especiais, bem como vários livros.

Conversão de grades
• A abordagem de diferenças finitas exige uma grade
uniforme.
• Não temos uma forma direta para resolver
numericamente as equações de fluxo que regulam
mais de uma grade não uniforme dentro do contexto
de um método diferenças finitas.
• Em vez disso, a grade não uniforme deve (de alguma
forma) ser convertida em uma grade uniforme,
retangular.
• As equações diferenciais parciais devem ser
reformuladas de modo a aplicarem-se nesta grade
retangular transformada.

Problema...
• Alguns problemas reais não permitem que
sejam aplicadas as equações de diferenças
finitas diretamente.


Exemplo
• Deseja-se calcular o fluxo sobre um aerofólio.


Questões
1. Alguns pontos da grade caem dentro do aerofólio,
onde eles estão completamente fora do fluxo.
•

Quais são os valores das propriedades de fluxo que atribuiremos
a estes pontos?

2. Existem poucos, se algum, os pontos da grade que
caem sobre a superfície do perfil aerodinâmico.
Isto não é bom, porque a superfície do perfil
aerodinâmico é uma condição de contorno vital para
a determinação da forma e, consequentemente, a
superfície do perfil aerodinâmico deve ser clara e
claramente vista pela solução numérica.


A grid adequada
Plano físico

• Aqui vemos uma
grade não uniforme
curvilínea que é
literalmente
desenhada em torno
do aerofólio.
Plano computacional

• Os pontos a, b, e c, no
plano físico
correspondem aos
pontos a, b, e c no
plano computacional.


Transformação de coordenadas
• A transformação deve ser definida de tal forma que exista uma
correspondência um-para-um entre a grade retangular e a grade
física.
• As equações de diferenciais finitas são resolvidas por um método
de diferença finita realizado no espaço computacional.
• O resultado é diretamente levado de volta ao plano físico, através
da correspondência de um-para-um dos pontos da grade.
• As equações governantes são resolvidas no espaço computacional,
que deve ser expresso em termos das variáveis x variáveis e h, em
vez de x e y.
• As equações que governam o fluxo devem ser transformadas a
partir de (x, y) para (x, h) como as novas variáveis independentes.


Ações relativas a grades
1. Obter as transformações das coordenadas e
das equações.
2. Gerar a grade.


Transformação das variáveis
• Por simplicidade vamos começar com um
fluxo fora do regime, com variáveis
independentes x, y e t.
• As variáveis independentes do espaço físico
(x,y,t) serão transformadas em (x,h,t), onde

x  x ( x, y , t )
h  h ( x, y , t )
t  t (t )

A
“Transformação”

...e as derivadas?
• Usando a regra da cadeia:
    x 
    h 

    t 
       
 x 
 h   x    t   x 

 x  y ,t  h ,t  x  y ,t 
 y ,t  x ,h   y ,t
x ,t 
• Os subscritos são adicionados para enfatizar que
as variáveis são mantidas constantes na
diferenciação parcial.
• Em nossas expressões posteriores, os subscritos
serão descartados, no entanto, é sempre útil
mantê-los em mente.

d/dx e d/dy
• Assim, para o espaço temos
    x     h 
     
 x  x
 h  x 

x    


    x     h 
     
 x  y   h  y 


y    




d/dt
• E para o tempo
    x 
    h 

    t 
       
 x 
 h   t    t   t 

 t  x , y  h ,t  t  x , y 
 x , y  x ,h   x , y
x ,t 

ou
    x     h     t 
     
 x  t
 h  t    t  t 

t    
   



A métrica da transformação
• Os termos
x x h h
,
,
e
x y x y

correspondem à métrica da transformação.


A segunda derivada
Seja

    x     h 
A
     
 x  x
 h  t 

x    



A segunda derivada em x vale:
 2 A     x     h 

     
2
 x  x
 h  t 

x
x x    


    2x   x   2      2h   h   2 
   2    
 x  x 

 xx    h  x 2    x  xh 
 



x 

 

 
 
 


A segunda derivada
Chamando

2
   
B
  
xx x  x 
 

e lembrando que

    x     h 

     

x  x  x   h  x 
 



  2  x    2  h 
B   2    
 x  x
 hx  x 

  





De modo similar
2
      2  x    2  h 
C
 
 h    xh  x    h 2  x 
 



xh x 

 
  


A segunda derivada
• Substituindo na equação original e
rearranjando os termos, teremos
    x      h     x 

   2   
2
 x  x   h  x 2    x 2  x 

 

x
 

 
 
 
2

2

2

2

  2  h 
  2  h  x 
  2 
 h  x   2 hx  x  x 




 




2


2

A segunda derivada
• Seguindo o mesmo processo para y, teremos
    x      h     x 

   2   
2
 x  y   h  y 2    x 2  y 

 
 
y
 

 
 
 
2

2

2

2

2

   h 
  2  h  x 
  2 

 
 h  y   2 hx  y  y 



 




2


2

A segunda derivada
• E para a segunda derivada mista,
    2x      2h    2  x  x 
2
  
 x  xy    h  xy    x 2  x  y 

 
 
 

xy  

 
 
  
  2  h  h    2   h  x   x  h 
  2 

 
 


 h  x  y   2 xh   x  y    x  y 




   
 






Exemplo 1
• Obter a equação de Laplace em (x,y,t)
transformada para o espaço (x,h,t),
Equação de Laplace:
 2  2
 2 0
2
x
y


Exemplo 1: resolução

 2  2
 2 0
2
x
y

  2  h  x 
 2     2x      2h    2  x    2  h 
   2   
2
 x  x   h  x 2    x 2  x    h 2  x   2 hx  x  x 

 





x

 
 

 
 
  



2

2

2

2

  2  h  x 
      2x      2h    2  x    2  h 
   2   
2
 x  y   h  y 2    x 2  y    h 2  y   2 hx  y  y 


 
 
  



y
 


 
 
 
  



2

Somando, igualando a zero, rearranjando e agrupando, chega-se a

 2
x 2

 x  2  x  2   2
       2
 
 x   y   h



 h  2  h  2 
 2

 
 y    2 xh

 x  
 



 h  x   h  x 
   

 y  y 
 
 x  x  
 


   2x  2x     2h  2h 
 2  2 

 x
 h  x 2  y 2   0


x 
y 



A transformação inversa
• Também se faz necessária a transformação do
espaço computacional para o espaço físico.
• As variáveis independentes do espaço
computacional (x,h,t) serão transformadas
em (x,y,t):
x  x(x ,h ,t )
y  y (x ,h ,t )
t  t (t )

• Consideremos a componente u da velocidade.
Sua derivada no espaço físico vale:
u
u
du 
dx  dy
x
y
• Levando para o espaço computacional,
teremos
u u x u y


x dx dx dy dx
u u x u y


h dx dh dy dh

• Considerando

u u x u y


x dx dx dy dx
u u x u y


h dx dh dy dh

um sistema linear,

•
usando o método de Cramer,
podemos escrever


u
x
u
u h

x
x
x
x
h

y
dx
y
dh
y
dx
y
dh

O jacobiano
O denominador da última expressão é o
jacobiano determinante, denotado por
x
 ( x, y ) x
J

 (x ,h ) x
h

y
dx
y
dh

O Jacobiano é a matriz de todos as derivadas
parciais de primeira ordem de um vetor ou de
função com valor escalar com respeito a outro
vector.

Com esta nova notação, teremos

u 1  u  y   u  y 
  
 x  h    h  x 
 
 
x J  
 
 
e

u 1  u  x   u  x 
 
 h  x    x  h 
   

y J 
   


Estas fórmulas expressam as derivadas das variáveis do fluxo no
espaço físico em termos das derivadas das variáveis do fluxo
no espaço computacional.

Generalizando
• As transformações inversas genéricas ficam
 1    y     y 
  
 x  h    h  x 
 
 
x J  
 
 
 1    x     x 
 
 h  x    x  h 
   

y J 
   



Relações envolvendo jacobianos
x
x
y
dx

x
x
h
x

y
x
dh
h

y
dx
J
y
dh

x
x
h
x

x
y
dy 1 dh

h J y

dy
dx

x

h
x
x


x
x
h
dx
x
y
h
dy

1 y

J dh
1 y

J dx
1 x

J dh
1 x

J dx

VERSÃO TRANSFORMADA DAS
EQUAÇÕES DE CFD

Forma robusta das equações
Pergunta: dada uma equação do tipo
U F G


0
t x y

Podemos obter
U1 F1 G1


0
t
x h


?

Forma robusta das equações transformadas
Passo 1: aplicamos as equações de
transformação.
U F G


0
t x y

U F  x  F  h  G  x  G  h 
 

 


 y  h  y   0


t x  x  h  x  x  




Passo 2: multiplicamos pelo jacobiano.
U F  x  F  h  G  x  G  h 
 

 


 y  h  y   0


t x  x  h  x  x  



 F  x 
 F  h   G  x 
 G  h 
U
J
 J
 x  x   J  h  x   J  x  y   J  h  y   0




 



t
 

 


 





Calculamos o operador
JF (x / x)
  x 
 x  F
 J 
F
J

x
x  x 
 x  x

 F  x  JF (x / x)
  x 
J
F
J

 x  x  

x
x  x 

 

De forma similar, para h teremos
 F  h  JF (h / x)
  h 
J
F
J

 h  x  

h
h  x 




E, para G:

 G  x  JG (x / y )
  x 
J
J
G
 x  y  
 
 y 

x
x 

 


 G  h  JG (h / y )
  h 
J
J
G
 h  y  


 y 

h
h 





Substituindo e fatorando, chega-se a
U  
x
x   
h
h 
 JF

J

 JG

 h  JF x  JG y 


t x 
x
y 



0


 F
 x

 x    h 
J

J

 x  h  x 


 G
 x

 x    h 
J
 y   h  J y   0









0

x 1 y

Lembrando que
x J dh

e

h
1 y

dx
J dx

Então
  x    h    y    y   2 y
2 y

J

J

 h   h  x   xh  hx  0

 
x  x  h  x  x 

 

e
  x    h    x    x   2 x
2 x
J


 
 y   h  J y   x   h   h  x   xh  hx  0



x 


 




Finalmente, temos
U1 F1 G1


0
t
x h

onde

U1  JU
x
x
F1  JF
 JG
x
y
h
h
G1  JF
 JG
x
y

GERAÇÃO ALGÉBRICA DE GRADE
ELÍPTICA EM DOMÍNIOS DE BLOCOS
ESTRUTURADOS


Introdução
• A maioria das técnicas de solução de equações
diferenciais parciais busca uma aproximação com
a verdadeira solução em grades.
• Estas grades têm de satisfazer certos requisitos
no que diz respeito à sua geometria, bem como a
sua topologia.
• O tipo de grade escolhida tem grande influência
sobre a qualidade dos resultados obtidos.


Classificação de malhas
Malha estruturada
- Caracterizada por conectividade regular.
- Restringe as escolhas de elementos para
quadriláteros em 2D ou em hexaedros em 3D.

Malha não estruturada
- Caracterizada pela conectividade irregular.
- Os requisitos de armazenamento para uma malha
não estruturada pode ser substancialmente maior.
- Bom para geometria complexa.

Malha estruturada


Malha não estruturada


Métodos para geração de grade estruturada
Método algébrico

- Mais fácil para a geração de
malhas.
- “Propagação de canto”
- “Quebra” das linhas de grade.
- Serve como grade inicial para a
geração de grade elíptica.

Método Elíptico

- Produz as grades melhor
possível no sentido de suavidade
e rede de distribuição de ponto.
- Pode ser utilizado com função
de controle (Poisson) ou sem
função de controle (Laplace).

Método algébrico:
equações de geração de grade
• Sistema de equações de Laplace (membranas)
a22 xxx  2a12 xxh  a11 xhh  0
a22 yxx  2a12 yxh  a11 yhh  0

Desvantagem: não fornece qualquer controle
sobre a distribuição de pontos internos.


Método elíptico:
• Sistema de equações de Laplace (membranas)
a22 xxx  2a12 xxh  a11 xhh  0
a22 yxx  2a12 yxh  a11 yhh  0



Método elíptico:
• Sistema de equações de Poisson
1
2
a22 xxx  2a12 xxh  a11 xhh  (a22 P1  2a12 P1  a11 P22 ) xx  (a22 P 2  2a12 P 2  a11 P22 ) xh
11
12
11
12
1
2
a22 yxx  2a12 yxh  a11 yhh  (a22 P1  2a12 P1  a11 P22 ) yx  (a22 P 2  2a12 P 2  a11 P22 ) yh
11
12
11
12

Sistema original de
Laplace

Funções de controle



Método
1. Definir os pontos
das bordas.
2. Criar um grid inicial
(algébrico).
3. Aplicar
interativamente o
método de Laplace
ou Poisson.

Método

Para Laplace: x  0

com condições de
contorno de Dirichlet a
discretização fica
xi , j 

xi 1, j  xi 1, j  xi , j 1  xi , j 1
4


Programa exemplo
//--------------------------------------------------------------------------// executa um passo no sentido da solução
float dgrid()
{
int i,j;
float xm,ym,erro,mm;
float xx[MAXDIM][MAXDIM];
float yy[MAXDIM][MAXDIM];
mm = 0; erro = 0;
for(i=1;i<(n-1);i++)
for(j=1;j<(m-1);j++) {
xm = (xx[i-1][j] + xx[i+1][j] + xx[i][j-1] + xx[i][j+1])/4;
ym = (yy[i-1][j] + yy[i+1][j] + yy[i][j-1] + yy[i][j+1])/4;
erro += sqr(x[i][j] - xm) + sqr(y[i][j] - ym);
mm += 1.0;
x[i][j] = xm;
y[i][j] = ym;
}
erro = sqrt(erro) / mm;
return erro;
}

xi , j 

xi 1, j  xi 1, j  xi , j 1  xi , j 1


4

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