2. ‫مفهوم المحددات‬
‫ان محددة مصفوفة معينة هو عدد حقيقي يحسب بطريقة‬
‫خاصة،وتعرف المحددات للمصفوفات المربعة فقط.فإذا كانت‬
‫المصفوفة مربعة من رتبة ل×ل فإن محددة أ،وتكتب أ‬
‫تسمي محددة من رتبة ل.‬

3. ‫محددة المرتبة الثانية‬
‫إذا كان أ2×2 = أ‬
‫11‬
‫أ‬
‫أ‬
‫21‬
‫أ‬
‫21‬
‫22‬
‫أ‬
‫أ‬
‫إن محددتها = أ =‬
‫أ =أ‬
‫11‬
‫أ22 – أ‬
‫12‬
‫أ‬
‫11‬
‫21‬
‫22‬
‫أ‬
‫12‬
‫أ‬
‫22‬

4. ‫مثال: إذا كانت س= 2‬
‫5‬
‫4‬
‫س= 2‬
‫فجد‬
‫5‬
‫؟‬
‫س‬
‫7‬
‫= 2× 7 – 4× 5‬
‫4 7‬
‫=41 – 02 =-6‬
‫مثال:‬
‫3‬
‫إذا كان ص‬
‫=‬
‫مثال: جد‬
‫2 -3‬
‫5‬
‫4 6‬
‫7 -2‬
‫=2×-2- -3×7‬
‫=-12+4=71‬
‫فجد ص‬
‫؟‬

5. ‫مثال:‬
‫إذا كانت أ =‬
‫س 01‬
‫4‬
‫وكانت أ =4 فجد قيمة س ؟‬
‫5‬
‫أ =5×س -4×01‬
‫4=5س -04‬
‫5س = 44 ، س= 44‬
‫5‬
‫5‬
‫مثال:إذا كانت ب=‬
‫فجد 1( 3ب‬
‫4‬
‫6‬
‫7‬
‫2(9 ب‬

6. ‫1(3ب= 21 81‬
‫51 12‬
‫3ب = 21‬
‫51‬
‫81‬
‫12‬
‫=21×81-12×51‬
‫=072-252=-81‬
‫2( ب = 4‬
‫6‬
‫5 7‬
‫2(9 ب =9×-2=-81‬
‫=‬
‫4×7 – 6 × 5‬
‫82 – 03=-2‬

7. ‫قاعدة : إذا كانت أ مصفوفة ثنائية )2×2(ج عدد ثابت فإن جـ أ - جـ2 أ‬
‫محددة الرتبة الثابتة‬
‫مثال : إذا كانت أ = 2 1 3‬
‫4 0 -1‬
‫5 2‬
‫1‬
‫فجد أ‬
‫أ= 2 1 3‬
‫4 0 -1‬
‫5 2 1‬
‫2 1‬
‫4 0‬
‫5 1‬
‫أ =)2×1×1(+)1×-1×5(+3)×4×2( – )5×3( – )2×-1+2( – )2×12(-)4×1( =‬
‫=-5 + 42 + 4 – 4 =91‬

8. ‫مثال :‬
‫إذا كانت س =‬
‫2 3 2 2‬
‫0 -2 0 0‬
‫1 1 3 1‬
‫3‬
‫2‬‫1‬
‫س )2×-2×3(+)3×1×1(+)2×0×(-)1×-2×2(-)1×0×1(-)3×0×3(‬
‫= -4+21=8‬

9. ‫طريقة كريمر لحل المعادل ت الخطية‬
‫اذا أردنا حل المعادلتين:أ₁س+ب₁ ص=ج₁‬
‫أ₂س+ب₂ ص=ج₂‬
‫يمكن يتلخيص هذه الطريقة كاليتي:-‬
‫ب₁‬
‫محددة المعامل ت أ= أ₁‬
‫أ₂ ب₂‬
‫فإذا كانت أ=0،ليوجد حل للمعادلتين أما اذا كانت أ≠0يكون‬
‫الحل كاليتي:-‬

10. ‫س=│أس│ ، ص=│أص│‬
‫│أ│‬
‫│أ│‬
‫حيث ان │أس│هي المحددة النايتجة من يتغير العمود اللول في‬
‫│أ│بالحدلود المطلقة.لوكذلك│أص│هي المحددة النايتجة من‬
‫يتغير العمود الثاني في│أ│بالحدلود المطلقة.‬
‫مثال:حل المعادلتين:2س-3ص=8‬
‫3س+ص=1س‬

11. ‫الحل:│أ│= 2‬
‫3‬
‫│أس│= 8‬
‫1‬
‫│أص│= 2‬
‫3‬
‫3 =2×1-)3×-3(‬‫1 =9+2=11‬
‫3 =8×1-)1×-3(‬‫1 =3+8=11‬
‫8 =2×1-)3×8(‬
‫1 =42-2=-22‬

12. ‫اذن س=│أس│=11 =1‬
‫11‬
‫│أ│‬
‫ص=│ أص│ = -22= -2‬
‫11‬
‫│أ│‬

13. ‫المحددة من الرتبة الثالثة‬
‫المحدد ذو الرتبة الثالثة يمكن وضعه علي الصورة التالية:‬
‫أ₁ ب₁ ج₁‬
‫م= أ₂ ب₂ ج₂‬
‫أ₃ ب₃ ج₃ حيث‬
‫أ₁،أ₂،....،ب₁،ب₂،....،ج₁،ج₂،...‬
‫أعداد حقيقية:‬
‫م=+)الحد الول أ₁ من الصف الول×المحدد الناشئ من حذف الصف والعمود‬
‫المحتويين علي أ₁(-)المحدد الثاني ب₁من الصف الول×المحدد الناشئ من حذف‬
‫الصف والعمود المحتويين علي ب₁ (+)الحد الثالث ج₁من الصف الول×المحدد‬
‫الناشئ من حذف الصف والعمود المحتويين علي ج₁(.‬

14. ‫أ₂‬
‫ج₂‬
‫ج₃ -ب₁ أ₃‬
‫أي أن: م=أ₁× ب₂‬
‫ب₃‬
‫مثال: 1 3 4‬
‫1 -5 2 =+1 -5 2 -3 1‬
‫2‬
‫1 - 1‬‫2 - 1 -1‬
‫+4 1‬
‫2‬
‫أ₂‬
‫ج₂‬
‫ج₃ +ج₁ أ₃‬
‫2‬
‫-1‬
‫5 =5-)-2(-3)-4-1(+4)-1-)-01((‬‫-1 =63+51+7=85‬
‫ب₂‬
‫ب₃‬

15. ‫أ( -1 2‬
‫4 3‬‫ب( 5 1‬
‫=‬
‫1×2-3×-4‬‫-8+3=5‬
‫21-51=3‬
‫21 3‬
‫ج( 7 5‬
‫7‬
‫د=1 2‬
‫53-53=صفر‬
‫5‬
‫-1‬
‫-2‬
‫0 -1‬
‫1 0‬
‫1 0‬
‫2×0- -1×1 0×1-0 -1=‬
‫=-2‬
‫=1‬
‫2-2-1=-3‬
‫1 0 2‬
‫1 1‬
‫0×2-1×1=0‬
‫=-2‬

16. ‫هـ( 1 1 1‬
‫0 1 -1‬
‫1 -1 0‬
‫-1‬
‫هـ=1 1‬
‫1 0‬‫1×0- -1=‬
‫1-0=-1‬
‫1+1-1=-1‬‫س2(‬
‫س 5‬
‫5‬
‫س‬
‫ب =0‬
‫س×س-5×5=0‬
‫س2= 52‬
‫س= 5+-5‬
‫-1‬
‫0 -1‬
‫1‬
‫1‬
‫0‬
‫0×1-0×-1‬
‫1+0=1‬
‫0‬
‫1‬
‫1‬
‫1‬‫0×1-0×1=‬
‫1+0=1‬

17. ‫س3(‬
‫أ= 21 71‬
‫س‬
‫51‬
‫أ =291‬
‫71×51- س×2‬
‫21-552س=291‬
‫21س=291-552‬‫21-س= -36‬
‫21 -21‬‫س=+12‬
‫4‬

18. ‫س4(‬
‫جــ= س ص‬
‫ع‬
‫ل‬
‫4جـ= 4س 4ص‬
‫4ع 4ل‬
‫4س×4ل-4ع×4ص‬
‫61)س ل – ع ص (‬
‫61)س ل – ع ص (‬
‫4 جـ = 61 جـ‬
‫4جـ =)4(2 جــ‬
‫جـ =س ل – ص ع‬