Program linear kelompok 3

PROGRAM LINEAR
Pertidak
samaan
linear

Model
Matema
tika

Afifudin
Fungsi
Zizwatin Objektif
Athiyah
Soviana
Garis
Nurmalitasar Selidik
i Alita
Linggardining
Soal &
tyas Pembaha
san
©group 3_matematika smk_5F

Pertidak
Pertidaksamaan Linear samaan
linear

Model
Matema
Perhatikan bentuk-bentuk pertidaksamaan di bawah ini : tika

Fungsi
Objektif
Dalam matematika, bentuk dari (a) sampai (d), dikenal
dengan istilah pertidaksamaan. Pertidaksamaan linier adalah
suatu kalimat matematika yang memuat salah satu atau lebih
variabel dan variabelnya mempunyai pangkat tertinggi satu serta
ditandai dengan tanda ketidaksamaan. Karena pertidaksamaan
tersebut terdiri atas dua peubah dan pangkat tertinggi setiap
Garis
peubahnya adalah 1, maka dikenal dengan istiah pertidaksamaan Selidik
linier dua peubah. Suatu pertidaksamaan linear yang terdiri dari
dua atau lebih pertidaksamaan, akan menyusun sistem
pertidaksamaan linear.
Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Matema
tika
Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua
peubah dapat disajikan dalam bidang Cartesius. Untuk menentukan
himpunan penyelesaian pertidaksamaan , dapat dilakukan
dengan menggunakan langkah- langkah sebagai berikut:
Fungsi
 Langkah 1
Gambar garis pada bidang Cartesius dengan cara Objektif
menghubungkan kedua titik potong sumbu koordinatnya. Garis
membagi bidang Cartesius menjadi dua bagian
bidang, yaitu bidang daerah 1 (misalnya daerah di bawah garis)
dan daerah 2 (misalkan daerah di atas garis).
 Langkah 2 Garis
Ambil sembarang titik yang terletak di daerah dan luar
dan hitung nilai , lalu dibandingkan nilai Selidik
tersebut dengan c. Apakah nilai, daerah yang memuat titik
merupakan daerah himpunan penyelesaiannya. Akan tetapi, jika
, daerah yang memuat titik A bukan daerah
himpunan penyelesaian. Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
 Langkah 3 Matema
Daerah himpunan penyelesaiannya bisa ditandai dengan tika
dua ketentuan, yaitu daerah yang diarsir merupakan
daerah himpunan penyelesaian atau dapat pula yang
diarsir bukan daerah himpunan penyelesaian.

Fungsi
Contoh 1 : Objektif
Tentukan grafik himpunan penyelesaian dari

Jawab :
(0,18)
a. Langkah 1:
Gambar garis Garis
Pilih x = 0, maka 6 (0) + y = 18 Selidik
y = 18
Pilih y = 0, maka 6x + 0 = 18
6x = 18
x = 3
Soal &
Sehingga diperoleh titik (0,18) dan (3,0) (3, 0)
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
b. Langkah 2:
Mengecek daerah himpunan penyelesaian (HP): Matema
Ambil titik sembarang, misalnya O(0,0) sehingga tika

(salah)
Fungsi
c. Langkah 3: Objektif
Jadi, daerah penyelesaian (0, 18)
adalah daerah yang tidak
memuat titik O(0, 0) atau daerah
diatas garis seperti
disamping ini Garis
Selidik

(3, 0)

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Contoh 2 : Matema
Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tika
dan

Jawab:

Di samping cara yang telah dijelaskan pada contoh soal Fungsi
sebelumnya, ada cara lain untuk mendapatkan titik potong
dengan sumbu x dan sumbu y, yaitu dengan tabel berikut ini. Objektif

x=4 2x + y = 6

x 4 4 4 x 0 3

Garis
y -1 0 1 y 6 0

Selidik
(x , y) (4, -1) (4, 0) (4, 1) (x , y) (0, 6) (3, 0)

3x + 4y = 12
x 0 4
y 3 0
Soal &
(x , y) (0, 3) (4, 0)
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Berdasarkan titik potong di atas, diperoleh X=4 Matema
gambar sebagai berikut.
(0,6) tika

Menentukan daerah himpunan penyelesaian:
Ambil titik O (0, 0):
(0, 3)
Fungsi
(4, 0)
Objektif
(salah) (3, 0)
Daerah himpunan dari adalah
daerah yang tidak memuat titik O(0,0) atau
daerah sebelah kanan 2x + 3y = 6
Ambil titik O (0, 0)
Garis
Selidik

(salah)
Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Himpunan penyelesaian dari adalah yang tidak memuat
titik O (0, 0) atau daerah di atas . Matema
Daerah penyelesaian adalah daerah di kiri dan pada x = 4 tika
Daerah penyelesaian adalah daerah di kanan dan pada sumbu y
Daerah penyelesaian adalah daerah di atas dan pada sumbu x
Dengan mengarsir daerah yang merupakan himpunan penyelesaiannya,
diperoleh daerah himpunan penyelesaian seperti pada di bawah ini
Fungsi
Objektif
6 hp

3 Garis
Selidik
3 4

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Matema
tika

Titik optimum daerah himpunan penyelesaian dari system
pertidaksamaan linear adalah suatu titik yang menyebabkan
nilai optimum untuk suatu fungsi terjadi (nilai optimum Fungsi
merupakan nilai maksimum atau nilai minimum).
Nilai optimum dapat kita peroleh dengan menyubstitusikan
Objektif
titik-titik yang merupakan penyelesaian dari sistem
pertidaksamaan tersebut. titik optimum terletak pada ujung-
ujung Daerah himpunan penyelesaian.
Garis
Selidik

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
.
. linear

Model
Contoh : Matema
Tentukan daerah himpunan penyelesaian dan titik- titik tika
pojok dari himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan
dan

Jawab:
Gambar garis dan dengan menentukan titik Fungsi
potong pada sumbu x dan sumbu y. Objektif
2x + 3y = 12 Y + 2x = 8
X 0 6 X 0 4

Garis
Y 4 0 Y 8 0

Selidik
(x, y) (0, 4) (6, 0) (x, y) (0, 8) (4, 0)
Mengecek daerah himpunan penyelesaian:
Ambil O(0, 0):

Daerah himpunan penyelesaian di bawah garis
2x + 3y = 12 Soal &
(benar)
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Ambil titik O(0, 0)
Daerah himpunan penyelesaian di Matema
bawah garis y + 2x = 8 tika
(benar)
Berdasarkan data-data di atas, himpunan penyelesaian dari
sistem pertidaksamaan linear diperoleh denan mengarsir
daerah yang merupakan himpunan penyelesaian seperti pada
Fungsi
gambar dibawah ini. Titik-titik pojoknya adalah
A, B, C, dan D. Titik B merupakan titik potong garis y + Objektif
2x = 8B diperoleh dari persamaan berikut ini.
Titik

Titik B(3, 2). A
Garis
Jadi titik-titik
pojoknya adalah B Selidik
A(0, 4), B(3, 2), C
C(4, 0), dan D(0, D hp
0).
Soal &
Pembaha
san

Pertidak
Model Matematika samaan
linear

Model
Model matematika adalah suatu cara memandang Matema
suatu masalah (persoalan) dengan menggunakan tika
persamaan atau pertidaksamaan matematika.
Model matematika yan baik dan benar cukup
dengan mengandung bagian-bagian yang perlu
saja dari masalah yang diselidiki. Fungsi
Objektif
Dalam pemrograman linear ada dua hal yang
perlu diperhatikan, yaitu fungsi objektif (fungsi
tujuan) dan kendala. Kendala merupakan
batasan-batasan yang berbentuk pertidaksamaan
linear. Garis
Selidik

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Matema
tika

a. Apabila model matematika hanya terdiri atas persamaan-
persamaan matematika, model tersebut cukup diselesaikan
dengan rumus-rumus matematika biasa Fungsi
b. Apabila model matematika mengandung pertidaksamaan, untuk Objektif
menyelesaikannya digunakan langkah-langkah berikut :
1. gambarlah grafik dari model matematika tersebut
2. tentukan daerah himpunan penyelesaiannya
3. tentukan titik potong dari kedua garis yang diketahui Garis
Selidik

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Contoh : Matema
Untuk membuat satu kue jenis A dibutuhkan 350 gram tika
tepung dan 150 gram mentega, sedangkan untuk membuat
satu kue jenis B dbutuhkan 180 gram tepung dan 60
grammentega. Apabila tersedia tepung 4,2 kg dan mentega
sebanyak 2,7 kg, serta kita ingin membuat kue yang
sebanyak-banyaknya. Buatlah model matematikanya ! Fungsi
Jawab : Objektif
Misal, x = banyaknya kue jenis A yang dibuat
y = banyaknya kue jenis B yang dibuat
Karena x dan y menyatakan banyaknya kue,
berlaku x, y bilangan cacah dan x ≥ 0, dan y ≥ 0 Garis
350x + 180y ≤ 4200 → 35x + 18y ≤ 420 Selidik
150x + 60y ≤ 2700 → 15x + 6y ≤ 270
Jadi model matematikanya :
x ≥ 0, y ≥ 0, 35x + 18y ≤ 420, 15x + 6y ≤ 270

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
Fungsi Objektif samaan
linear

Model
Matema
tika

Bentuk objektif atau fungsi objektif dalam
program linear adalah fungsi linear yang
berbentuk f(x, y) = ax + by yang hendak Fungsi
dioptimumkan (dimaksimalkan atau Objektif
diminimumkan). Nilai optimum dari suatu
program linear dapat diperoleh dengan menguji
setiap titik pojok yang menjadi himpunan
penyelesaian pada sistem pertidaksamaan
Garis
tersebut. Daerah penyelesaian dari suatu
program linear terjadi pada titik-titik Selidik
pojoknya. Berdasarkan titik pojok tersebut
dengan mensubstitusikan ke fungsi objektif
maka nilai optimal (maksimum atau minimum)
Soal &
akan didapatkan.
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Contoh : Matema
Sebuah tempat parkir paling banyak hanya dapat tika
ditempati oleh 300 kendaraan yang terdiri dari Sedan
dan Bus. Jika luas rata-rata Sedan 5cm2 dan Bus 15cm2
, sedangkan luas tempat parkir tidak lebih dari 3.750m2
. Jika biaya parkir untuk setiap Sedan Rp. 5.000,00 dan
Bus Rp. 10.000,00. Tentukan titik-titik sudut yang Fungsi
memenuhi sistem pertidaksamaan tersebut serta Objektif
tentukan pendapatan maksimum dari tempat parkir
tersebut.
Jawab : Misal sedan = x dan bus = y, maka
pertidaksamaannya :
Garis
x + y ≤ 300
Selidik
5x + 15y ≤ 3750
x ≥ 0, dan y ≥ 0
Fungsi objektifnya adalah f(x,y) = 5000x +10000y
Diperoleh daerah penyelesaian dari pertidaksamaan di Soal &
atas seperti pada gambar berikut ini
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Matema
B
tika
300
E(75, 225)
250
D

HP
Fungsi
Objektif
A C

O 300 750
Dari gambar terdapat empat titik sudut yang memenuhi himpunan
penyelesaian yaitu titik-titik O(0,0), A(300,0), D(0,250) dan E.
untuk mendapatkan titik E eliminasi persamaan pertama dan
kedua yaitu : Garis
Selidik
x + y = 300 |x(5)|
5x + 5y = 1500
5x + 15y = 3750 |x(1)|
5x + 15y = 3750
-10y = -2250
y = 225
x + y = 300, maka nilai x = 75, sehingga titik E(75, 225)
Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Matema
untuk mencari nilai optimum substitusikan setiap sudut yang
termasuk dalam himpunan penyelesaian tersebut titik-titik tika
O(0,0), A(300,0), D(0,250) dan E(75,225) ke fungsi objektif
f(x,y) = 5000x +10000y sehingga di dapat :
Untuk titik O(0,0), maka f(0,0) = 5000(0) +10000(0) = 0
Untuk titik A(300,0), maka f(300,0) = 5000(300) +10000(0)
Fungsi
= 1.500.000
Untuk titik D(0,250), maka f(0,250) = 5000(0) +10000(250) Objektif
= 2.500.000
Untuk titik E(75,250), maka f(75,250) = 5000(75)
+10000(250) = 2.625.000

berdasarkan keempat nilai tersebut Garis
Maka pendapatan maksimum dari tempat parkir tersebut yaitu Selidik
Rp. 2.625.000,00

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
Garis Selidik samaan
linear

Model
Matema
tika

Garis selidik adalah suatu garis-garis sejajar dengan
persamaan ax + by = k yang berfungsi untuk
Fungsi
menyelidiki dan menentukan nilai fungsi objektif
maksimum atau minimum. Jika garis selidik ini Objektif
semakin jauh dari titik O (0, 0) harga k semakin
besar. Oleh karena itu, nilai maksimum dan minimum
suatu fungsi objektif akan disesuaikan dengan
terjauh dan terdekatnya garis selidik dari titik O
(0, 0) Garis
Selidik

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Matema
tika
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penggunaan garis
selidik antara lain sebagai berikut :

Fungsi
Objektif

Garis
Selidik

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Matema
tika

Fungsi
Objektif

Garis
Selidik

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Contoh : Model
Titik-titik A, B, C, D, dan E yang terletak dalam gambar berikut
ini merupakan titik-titik pojok yang terletak pada daerah himpunan
Matema
penyelesaian dari suatu pemrograman linear. Dengan menggunakan tika
garis selidik, tentukan nilai optimum (maksimum dan minimum) dari
fungsi 2x + y
Jawab :
Kita lukis garis 2x + y = k, untuk k = 2 Fungsi
diperoleh garis 2x + y = 2.
Objektif
a.Garis yang sejajar garis 2x + y = 2 dan
terletak paling jauh dari titik pangkal adalah
garis yang melalui titik B(5, 3). Jadi, titik
B(5, 3) adalah titik pada daerah himpunan
penyelesaian yang menyebabkan fungsi 2x + y
maksimum. Nilai maksimumnya adalah 2(5) + 3 Garis
= 13. Selidik
b.Garis yang sejajar dengan garis 2x + y = 2
dan terletak paling dekat dengan titik pangkal
adalah garis yang melalui titik E(0, 3). Jadi,
titik E(0, 3) adalah titik yang menyebabkan
nilai 2x + y minimum. Nilai minimumnya adalah Soal &
2(0) + 3 = 3. Pembaha
san

Pertidak
Soal & Pembahasan samaan
linear

Model
1 Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 4y 8 Matema
tika
Jawab :
Menentukan titik potong dengan sumbu x dan sumbu y
dengan membuat tabel sbb :
x 0 4 Jadi titik potong dengan sumbu x (4,0) Fungsi
dan dengan sumbu y (0,2) Objektif
y 2 0

y
Dari gambar disamping terlihat bahwa
daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan
2x + 4y 8 Garis
2 Selidik
x
4

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
2 Tentukan daerah penyelesaian dari sistem Matema
pertidaksamaan linear : x + y 5 ; x + 2y 6; tika
x 0 dan y 0

Jawab :

x + y 5 x + 2y 6 Fungsi
y
Objektif
x 0 5 x 0 6
y 5 0 y 3 0
5

Garis
3
Selidik
HP x
5 6
Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
3 Tulislah sistem pertidaksamaan dari daerah Matema
penyelesaian berikut : tika

Fungsi
Objektif

Garis
Selidik

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Matema
-Garis yang memotong sumbu x pada titik (2,0) serta tika
sejajar sumbu y persamaannya adalah x 2
-Garis yang memotong sumbu y pada titik (0, 2) dan
sejajar sumbu x persamaannya adalah y 2
-Garis yang memotong sumbu y pada titik (0, 4) dan Fungsi
sejajar sumbu x persamaannya adalah y 4 Objektif
-Garis yang melalui titik (7,0) dan (0,7) persamaannya
adalah x + y 7

Jadi sistem pertidaksamaan untuk gambar di atas
adalah : Garis
x + y 7 Selidik
x 2
2 y 4

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
4 Sebuah pesawat terbang mempunyai kapasitas 48 buah Matema
tempat duduk yang terbagi dalam dua kelas yaitu kelas A tika
dan kelas B. Setiap penumpang kelas A diberi hak yaitu
membawa barang 60 kg, sedang penumpang kelas B diberi
hak membawa barang hanya 20 kg, tempat bagasi paling
banyak dapat memuat 1440 kg. Bila banyaknya penumpang
kelas A sebanyak x orang sedang kelas B sebanyak y Fungsi
orang. Tentukan model matematikanya. Objektif
Jawab :

Kelas A Kelas B
Bagasi 60 kg 20 kg
Garis
Selidik
Penumpang x orang y orang
Bagasi : 60x + 20y 1440 3x + y 72
Penumpang: x + y 48
Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Matema
tika
Banyak penumpang tidak pernah negatif :
x 0
Y 0

Sehingga diperoleh model matematikanya adalah : Fungsi
3x + y 72 Objektif
x + y 48
x 0
Y 0

Garis
Selidik

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
5 Sebuah Butik mempunyai persediaan kain 20 m jenis
Matema
katun dan 60 m jenis wool. Butik akan memproduksi tika
jas dan celana eksklusif untuk wanita. Untuk
memproduksi jas ini dibutuhkan 1m katun dan 1,5 m
wool, sedangkan untuk membuat celana dibutuhkan
0.25 m katun dan 2m wool Buatlah model
matematika dari masalah di atas. Fungsi
Jawab : Objektif
Misal :
banyak jas yang dibuat x buah
banyak celana yang dibuat y buah
Garis
Selidik

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Matema
tika

Fungsi
Sehingga diperoleh model matematikanya adalah : Objektif

x + 0,25y 20
1,5x + 2y 60
x 0
y 0 Garis
Selidik

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
6 Dengan menggunakan garis selidik, tentukan x dan y Matema
yang memaksimumkan f = 4x + 3y, dengan kendala tika
3x + 4y 12
7x + 2y 14
x 0
y 0 Fungsi
Objektif
Jawab :

Untuk k = 0 didapat garis senilai 4x + 3y = 0,
Untuk k = 12 didapat garis senilai 4x + 3y = 12,
Ternyata garis selidik makin menjauhi (0,0) jika nilai f Garis
makin besar. Selidik

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Matema
tika

Fungsi
Objektif

Garis
Selidik

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
7 Matema
Seorang pedagang mempunyai dagangan rokok merk A dan
merk B. Rokok A dibeli dengan harga Rp. 6000,- per tika
bungkus dan dijual dengan laba Rp. 400,- per bungkus,
sedangkan rokok B dibeli dengan harga Rp. 3000,- per
bungkus dan dijual dengan laba Rp. 300,- per bungkus.
Pedagang itu hanya mempunyai modal Rp. 240.000,- dan Fungsi
kiosnya hanya dapat menampung paling banyak 500 bungkus
rokok. Objektif
a. Berapakah banyak rokok A dan B yang harus dibeli
agar mendapat untung yang sebanyak-banyaknya
(maksimum)
b. Tentukan besar keuntungan maksimumnya
Garis
Selidik

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Jawab : Matema
Model matematikanya tika

Rokok Jumlah Harga Laba
A x 6000 400
Fungsi
B y 3000 300
Objektif
Persediaan 500 240.000

Fungsi tujuan : Untung = 400x + 300y
Sistem pertidaksamaan linearnya :
x + y 500 Garis
6000x + 3000y 240.000 2x + y 800
x 0 Selidik
y 0

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Daerah himpunan penyelesaian Matema
x + y = 500 2x + y = 800 tika
x 0 500 X 0 400
y 500 0 Y 800 0

Fungsi
800
Objektif
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
x + y = 500
2x + y = 800
500
- x = - 300
x = 300 Garis
HP
y = 200 Selidik
x
400 500

2x + y = 800 x + y = 500
Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Dengan metode uji titik pojok, ditentukan Matema
keuntungan maksimum dengan tabel sbb : tika
Titik pojok Untung = 400x + 300y
(0, 0) 0+0=0
(400, 0) 160.000 + 0 = 160.000 Fungsi
Objektif
(300, 200) 120.000 + 60.000 = 180.000
(0, 500) 0 + 150.000 = 150.000

Garis
Berdasarkan tabel diatas, diperoleh keuntungan maksimum yang
dapat dicapai adalah 180.000, dengan rokok A yang dibeli Selidik
sebanyak 300 bungkus, dan rokok B sebanyak 200 bungkus.

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Suatu pabrik farmasi menghasilkan dua macam kapsul Matema
8
obat flu yang diberi nama fluin dan fluon. Masing- tika
masing kapsul memuat tiga unsur utama
dengan kadar kandungannya tertera tabel berikut.

Fungsi
Objektif

Menurut dokter, seorang yang sakit flu biasa akan Garis
sembuh bila dalam 3 hari paling sedikit menelan 12 Selidik
grain aspirin, 74 grain bikarbonat dan 24 grain
kodein. Bila harga fluin Rp 200,00 dan fluon Rp
300,00 per kapsul, berapa kapsul yang fluin dan
fluon harus dibeli supaya cukup untuk menyembuhkan Soal &
dengan ongkos sekecil mungkin? Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Jawab : Matema
Agar mempermudah perumusan model matematika disusun tika
tabel persiapan sebagai berikut.

Fungsi
Objektif

Misal banyaknya fluin yang dibeli x buah Garis
banyaknya fluon yang dibeli y buah Selidik
Model matematika dari masalah di atas adalah :
Mencari x dan y yang meminimumkan f = 200x + 300 y
dengan kendala: 2x + y 12 ; 5x + 8y 74 ;
x + 6y 24 ; x 0 ; y 0 Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Untuk k = 0 didapat garis senilai 200x + 300y = 0, Matema
Untuk k = 100 didapat garis senilai 200x + 300y =100, tika
Ternyata garis selidik makin menjauhi (0,0) jika nilai f
makin besar.

Fungsi
Objektif

Garis
Selidik

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Sebuah pabrik memproduksi barang kualitas A dan B. Produksi Matema
9 maksimum setiap harinya 14 unit. Menurut permintaan konsumen
paling sedikit harus dibuat 2 unit barang kualitas A dan 1 unit tika
barang kualitas B. Sedangkan kemampuan mesin produksi hanya
bisa membuat 9 unit barang kualitas A dan 6 unit barang
kualitas B. Mesin berproduksi setiap harinya tidak lebih
dari 81 unit. Keuntungan dari satu barang kualitas A adalah Rp Fungsi
400,00 dan satu barang kualitas B adalah Rp 250,00.
a.Buatlah table untuk memudahkan memecahkan masalah di atas. Objektif
b.Berdasarkan tebel yang dibuat, susun model matematikanya.
c.Gambarlah himpunan penyelesaian dari kendala-kendala dari
model matematika yang anda buat.
d.Carilah banyaknya barang kualitas A dan banyaknya barang
kualitas B yang dibuat agar mendapat keuntungan maksimum Garis
dengan cara menggunakan titik sudut dari daerah himpunan Selidik
penyelesaian.
e.Carilah banyaknya barang kualitas A dan banyaknya barang
kualitas B yang dibuat agar mendapat keuntungan maksimum
dengan cara menggunakan garis selidik.
Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Jawab : Matema
a. Misal tika
banyaknya barang berkualitas A adalah x buah
banyaknya barang berkualitas B adalah y buah

Fungsi
Objektif

b. Model matematika dari masalah di atas adalah
Mencari x dan y yang meminimumkan f = 400x + 250 y
dengan kendala: Garis
(1) 2x + y 14 Selidik
(2) 9x + 6y 75
(3) x 0
(4) y 0
Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Matema
tika
c. Garis 2x + y =14 pada kendala (1) memotong sumbu x di (7, 0)
dan memotong sumbu y di (0, 14). Garis 9x + 6y = 81
memotong sumbu x di (9, 0) dan melalui titik (3,8). Garis 2x
+ y =14 dan 9x + 6y = 75 berpotongan di (3, 8). Himpunan
penyelesaiannya adalah daerah tertutup OABC dengan O(0,0), Fungsi
A(7, 0), B(3, 8), dan C(0,75/6). Gambar daerah himpunan Objektif
penyelesaian adalah gambar (1) di bawah.
d. Nilai f di O(0,0) dalah f = 0
Nilai f di A(7,0) dalah f = 2.800
Nilai f di B(3, 8) adalah f = 3.200
Nilai f di C(0, 75/6) adalah f = 3.125 Garis
Jadi nilai maksimum f adalah 3.200 untuk x =3 dan y = 8 Selidik

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

e. Untuk k = 0 didapat persamaan garis Model
selidik 400x + 250 y = 0 Matema
Untuk k = 2.000 didapat persamaan garis
selidik 400x + 250 y = 6.000
tika
atau 8x + 5y = 120. Nilai f makin kekanan
makin besar. Gerakan garis
selidik sedemikian hingga menyinggung
daerah himpunan yang paling Fungsi
jauh dari (0,0) didapat titik B (3,8). Jadi
nilai maksimum f adalah 3.200
Objektif
untuk x =3 dan y = 8

Garis
Dengan demikian banyaknya barang kualitas A Selidik
yang dibuat adalah 3 buah
dan banyaknya barang kualitas B yang dibuat
adalah 8 agar mendapat
keuntungan maksimumRp 3.200,00. Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Seorang ingin mengirimkan barang dagangnya yang Matema
10
terdiri atas 1200 kursi lipat dan 400 meja lipat, untuk tika
keperluan tersebut ia akan menyewa truk dan colt.
Truk dapat memuat 30 kursi lipat dan 20 meja lipat,
sedangkan colt memuat 40 kursi lipat dan 10 meja
lipat. Ongkos sewa truk Rp. 100.000,- sedangkan
sewa colt Rp. 80.000,- Fungsi
Tentukan : Objektif
a. Model matematikanya
b. Fungsi objektif
c. himpunan penyelesaian (Hp)
d. Banyaknya truk dan colt yang harus disewa agar
ongkos seminimal mungkin Garis
Selidik

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Jawab : Model
Misal : Truk = x Matema
Colt = y tika
a. Model matematikannya
1) 30x + 40y ≥1200
3x + 4y ≥ 120
2) 20x + 10y ≥ 400
2x + y ≥ 40 Fungsi
3) x ≥ 0 Objektif
4) y ≥ 0
b. Fungsi objektif
Z = 100000 x + 80000 y
c. Daerah HP (grafik)
3x + 4y = 120 Garis
Selidik

2x + y = 40

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
d. Banyak truk dan colt yang harus disewa agar ongkas seminimal
mungkin Matema
• Titik potong tika
3x + 4y = 120 x 1 3x + 4y = 120
2x + y = 40 x 4 8x +4 y = 160 –
– 5x = – 40
x = 8
x = 8 substitusikan (2) Fungsi
2x + y = 40 Objektif
2.8 + y = 40
16 + y = 40
y = 40 – 16
y = 24
Titik potongnya adalah (8,24) Garis
Titik Ekstrem Z = 100000 x + 80000 y
Selidik
A (40, 0) → Z = 100000.40 + 0 = 4.000.000
B (8, 24) → Z = 100000.8 + 80000.24 = 2.720.000
C ( 0, 40) → Z = 0 + 80000.40 = 3.200.000
Jadi minimal ongkos angkutan Rp.2.720.000 dengan
jumlah truk = 8 dan Soal &
colt = 24 Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Matema
11 Seorang pedagang kemeja ,setiap pembelian kemeja
merk A harganya Rp 100.000,00 dan mendapatkan tika
untung Rp10.000,00,sedangkan untuk pembelian kemeja
merk B harganya Rp 80.000,00 mendapatkan untung Rp
7.500,00.model yang tersedia seluruhnya adalah Rp
40.000.000,00. Sedangkan kapasitas tempat penjualan
adalah 450 kodi,Tentukan :
Fungsi
a. Berapa rupiah keuntungan maksimum? Objektif
b. Berapa kodi kemeja merk A dan kemeja merk B
yang harus disediakan agar keuntungan maksimum?

Garis
Selidik

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Jawab : Model
Matema
Kemeja merk A (x) Kemeja merk B (y) Persediaan
tika
X Y 450
Harga Rp.100.000,00 Rp.80.000,00 Rp.40.000.000,00

Untung Rp.10.000,00 Rp.7.500,00

Fungsi
Dari tabel diatas diterjemahkan dalam pertidaksamaan sebagai berikut :
x + y ≤ 450 Objektif
100.000x + 80.000y ≤ 40.000.000,00 5x + 4y ≤ 2.000

x ≥ 0 dan y≥ 0,karena x dan y bilangan bulat tidak mungkin negatif
Fungsi obyektifnya adalah f(x, y) = 10.000x + 7.500y
Garis
Selidik

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Dari pertidaksamaan x + y ≤ 450 ; 5x + 4y ≤ 2.000 ; x Matema
≥ 0 dan y≥ 0 diperoleh daerah pertidaksamaan seperti tika
gambar berikut :

y

500 Fungsi
Objektif
450

HP Garis
Selidik

0 400 450 x

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
x + y = 450 5x + 5y = 2250 Matema
5x + 4y = 2.000 5x + 4y = 2.000 - tika
y = 250

untuk y = 250,maka x+ 250 = 450
x = 200
Jadi titik pojoknya adalah (0,0) ; (400,0) ; (0,450) ; (200,250) Fungsi
Titik – titik pojok tersebut disubtitusikan ke fungsi obyektif Objektif
F(x, y) = 10.000x + 7.500y adalah sebagai berikut:
f (0,0)= 10.000 x 0 + 7.500 x 0 = 0
f (400,0)= 10.000 x 400 + 7.500 x 0 = 4.000.000
f (0,450)= 10.000 x 0 + 7.500 x 450 = 3.375.000
f (200,250)= 10.000 200 + 7.500 x 250 = 3.875.000 Garis
Kesimpulannya :
Keuntungan maksimum = 4.000.000 Selidik
Kemeja merek A (x) = 200 kodi dan kemeja merk B (y) = 250 kodi

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Matema
12
tika

Fungsi
Objektif

Garis
Selidik

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Matema
13
tika

Fungsi
Objektif

Garis
Selidik

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Matema
14
tika

Fungsi
Objektif

Garis
Selidik

Soal &
Pembaha
san

Pertidak
linear

Model
Matema
15
tika

Fungsi
Objektif

Garis
Selidik

Soal &
Pembaha
san

Program linear kelompok 3

Recommended

Recommended

More Related Content

Featured

Featured (20)

Program linear kelompok 3