1. ÁREA:
TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN III
INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR
PEDAGÓGICO PÚBLICO
“AREQUIPA”
CARRERA PROFESIONAL: MATEMÁTICA
SEMESTRE ACADÉMICO: TERCERO
AUTOR(A): DANILO EDUARDO VARGAS JUCHARO
14/07/2014El QUE ESTUDIA TRIUNFA. 1

2. NÚMERO, RELACIONES Y
FUNCIONES
ÁLGEBRA
TERCER GRADO
El QUE ESTUDIA TRIUNFA. 214/07/2014

3. Un polinomio como 𝑥3 +
5𝑥2 − 3𝑥 + 4 es entero
porque ninguno de sus
términos tiene letras en el
denominador y es racional por
que ninguna de sus términos
tiene raíz inexacta.
Éste es un polinomio entero y
racional en x y su grado es 3
El polinomio 𝑎5 + 6𝑎4 −
3𝑎3
+ 5𝑎2
+ 8𝑎 + 3 es un
polinomio entero racional en a
y su grado es 5 El QUE ESTUDIA TRIUNFA.
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4. 4
Regla de Ruffini
3 -2 -5 -9
2
-3
División de un polinomio de la
forma (x-a)
3x3 – 2x2 – 5x – 9 x – 2
- 3x3 + 6x2 3x2 + 4x + 3
4x2 – 5x
- 4x2 + 8x
3x – 9
-3x + 6
-3 3
6
4
8
3
6
3x3 – 2x2 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x2 + 4x + 3) + (-3)
El QUE ESTUDIA TRIUNFA.14/07/2014

5. 5
División de un polinomio de la
forma (x-a)
• División de P(x) = 3x3 – 2x2 – 5x – 9 por (x-2)
realizada por la Regla de Ruffini
3 -2 -5 -9
2 6 8 6
3 4 3 -3
1º operación : 3.2 -2 = 4
2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3
3º operación : [3(2) 2 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3
Por lo tanto 3.(2)2 -2.(2)2 -5.2 -9 = -3
El QUE ESTUDIA TRIUNFA.14/07/2014

6. PASOS A REALIZAR
En una división por un polinomio de la forma x - a
1. Reducimos y ordenamos el dividendo.
2. Colocamos en fila los coeficientes del dividendo,
incluidos los ceros.
3. Colocamos más abajo a la izquierda de los
coeficientes el valor del número a.
4. Se aplica el algoritmo de Ruffini.
Los números obtenidos son los coeficientes del cociente,
salvo el último que es el resto de la división.
Se puede comprobar el resultado
Dividendo = Cociente x Divisor + Resto
El QUE ESTUDIA TRIUNFA.
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7. 1 4 0 - 5
Cociente:
x2 + 7x + 21
Resto:
58
EJEMPLO CON LA REGLA DE RUFFINI
Realiza la división (x3 + 4x2 – 5) : (x – 3)
1. Escribo los coeficientes, realizo las
líneas para la operación y escribo
más abajo, a la izquierda, el número
correspondiente al divisor, cambiado
de signo.
2. Bajamos el primer coeficiente del
dividendo y lo multiplicamos por 3,
resultado que se suma al segundo
coeficiente.
3. Repetimos el proceso hasta llegar al
último coeficiente
4. Todos los coeficientes corresponden al
cociente, excepto el último que
corresponde al resto de la división
3
1
3
7
21
21
63
58
El QUE ESTUDIA TRIUNFA.
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8. • EJEMPLO 1
• Sea ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x - 3 ) , donde a = 3
• 1 4 0 - 5
• +
• 3 3 21 63
• 1 7 21 58
• C(x) = 1.x2 + 7.x + 21
• R(x) = 58
• Podemos comprobar la división:
• (x3 + 4.x2 - 5) = (x - 3).(x2 + 7.x + 21) + 58
El QUE ESTUDIA TRIUNFA. 814/07/2014

9. • EJEMPLO 2
• Sea ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x + 5 ) , donde a = - 5
• 1 4 0 - 5
• +
• - 5 - 5 5 - 25
• 1 - 1 5 - 30
• C(x) = 1.x2 - 1.x + 5
• R(x) = - 30
• Podemos comprobar la división:
• (x3 + 4.x2 - 5) = (x + 5 ).(x2 - x + 5) + (- 30)
El QUE ESTUDIA TRIUNFA. 914/07/2014

10. • EJEMPLO 3
• Sea ( 4.x3 + 5.x - 3 ) : ( x + 2 ) , donde a = - 2
• 4 0 5 - 3
• +
• - 2 - 8 16 - 42
• 4 - 8 21 - 45
• C(x) = 4.x2 - 8.x + 21
• R(x) = - 45
• Podemos comprobar la división:
• ( 4.x3 + 5.x - 3 ) = ( x + 2 ).(4.x2 - 8.x + 21) + (- 45)
El QUE ESTUDIA TRIUNFA. 1014/07/2014

11. TEOREMA DEL RESTO
• Recordemos que RAÍZ de un polinomio son todos los valores de x
que al ser sustituidos el valor numérico del polinomio es cero.
• Cumplen la ecuación: P(x)=0
• TEOREMA DEL RESTO
• El resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la
forma (x - a) , es el valor del polinomio al sustituir la variable x por el
valor de a.
• Si el binomio es de la forma (x + a) , sustituiremos la x por - a.
• Si el resto es cero, la división es exacta y el valor de a se dice que
es una raíz del polinomio.
• Si un polinomio es de grado n , tendrá como máximo n raíces
reales.
• Si un polinomio es de grado impar tendrá obligatoriamente una raíz
real. Si es de grado par tendrá 0, 2, 4 , … raíces reales.
El QUE ESTUDIA TRIUNFA. 1114/07/2014

12. • EJEMPLO_1
• Ya hemos visto al hacer la división:
• ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x - 3 ), que el resto es 58
• Veamos aplicando el Teorema del resto:
• P(a)=P(3)= 33 + 4.32 - 5 = 27 + 36 – 5 = 58
• EJEMPLO_2
• Ya hemos visto al hacer la división:
• ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x + 5 ), que el resto es – 30
• Veamos aplicando el Teorema del resto:
• P(a)=P(-5)= (-5)3 + 4.(-5)2 - 5 = -125 + 100 – 5 = - 30
• EJEMPLO_3
• Ya hemos visto al hacer la división:
• ( 4.x3 + 5.x - 3 ) : ( x + 2 ), que el resto es – 45
• Veamos aplicando el Teorema del resto:
• P(a)=P(-2)= 4.(-2)3 + 5.(-2) - 3 = - 32 – 10 – 3 = - 45
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13. 14/07/2014EL QUE ESTUDIA TRIUNFA. 13