1. La didattica dell’argomentazione
Bettina Pedemonte
DiDiMa srl
ITD-CNR

2. Diventiamo noi stessi attraverso gli altri [...]
Ogni funzione, psichica superiore è stata esterna
perché è stata sociale prima ancora che interiore
e psichica, è stata cioè originariamente un
rapporto sociale tra due persone. (L. S. Vygotskij,
1974, p. 200)

3. Ogni funzione nel corso dello sviluppo culturale
del bambino fa la sua apparizione due volte, su
due piani diversi, prima su quello sociale, poi
su quello psicologico, dapprima tra le persone
come categoria interpsichica e poi all'interno del
bambino come categoria intrapsichica.
Importanza della relazione
sociale

4. Il rapporto tra la parola e il pensiero deve
essere considerato non come qualcosa di statico,
ma come un processo, come un movimento
continuo dal pensiero alla parola e dalla parola al
pensiero. Il rapporto tra la parola e il pensiero
subisce cioè dei cambiamenti i quali possono
essere considerati come le diverse fasi di un
processo di sviluppo (L. S. Vygotskij, 1966, p. 160)

5. Zona di Sviluppo Prossimale
La zona di sviluppo prossimale è la distanza tra
il livello effettivo di sviluppo così come è
determinato dal problem –solving autonomo e il
livello di sviluppo potenziale così come è
determinato attraverso il problem–solving sotto la
guida di un adulto o in collaborazione con i
propri pari più capaci (L. S. Vygotskij, 1987, p. 127 ss)

6. Argomentazione in matematica
... per affrontare difficoltà nei contenuti, nella
formalizzazione, nell’interpretazione,
nell’applicazione di algoritmi, regole...

7. Tre tecniche oratorie
(Aristotele, I Primi Analitici)
Retorica Dialettica Analitica
• Finalità : convincere
• Finalità : persuadere
• Auditorio universale • Finalità : convincere
• Auditorio particolare con dei ragionamenti
• Le conclusioni non
corretti
• Le conclusioni non sono
sono necessariamente vere • Le conclusioni sono
necessariamente ma colui che necessariamente
vere argomenta crede che vere
lo siano
Argomentazione in
matematica

8. Argomentazione in matematica
Caratteristiche Caratteristiche
funzionali strutturali

9. Caratteristiche funzionali
• L’argomentazione ha une finalità, un obiettivo (Toulmin,
1958; Perelman, 1958 ; Anscombre et Ducrot, 1983).
• L’argomentazione deve « giustificare » (Toulmin, 1958)
Il carattere giustificativo dell’argomentazione in matematica
si esprime nella sua forma: il ragionamento.
Le raisonnement est la démarche d’une inférence explicite qui dérive
l’affirmation d’une proposition à partir d’une ou plusieurs propositions
données (Duval, 1995)

10. Caratteristiche funzionali
Il modello giuridico può rappresentare un modello per
l’argomentazione (Toulmin, 1958, Perelman et Olbrechts-
Tyteca, 1958).
In particolare per l’argomentazione in matematica
• L’argomentazione vuole convincere e non persuadere
• L’argomentazione si rivolge ad un interlocutore
universale e non particolare

11. Caratteristiche funzionali
• L’argomentazione è relativa ad un campo (Toulmin, 1958).
Two arguments will be said to belong to the same field when the
data and conclusions in each of the two arguments are, respectively,
of the same logical type (Toulmin, 1958, p. 14)
The statements of our assertions, and the statements of the facts adduced
in their support, are, as philosophers would say, of many different ‘logical
types’ – reports of present and past events, predictions about the future,
verdicts of criminal guilt, aesthetic commendations, geometrical axioms
and so on. (Toulmin, 1958, p. 16)
Il campo determina i criteri di accettabilità (Toulmin, 1958).

12. Caratteristiche strutturali
Modello di Toulmin
F : Forza R : Restrizione
Probabilmente
a meno che i suoi genitori
siano stranieri
D : Dati E : Conclusione
Harry è un soggetto
Harry è nato alle Bermuda
britannico
L: Legge di inferenza
Un individuo nato alle Bermuda è
generalmente un soggetto
britannico
S : Supporto
Essendo date le disposizioni legali seguenti…

13. Caratteristiche strutturali
Modello di Toulmin
F : Forza R : Restrizione
La palla di ferro arriva
Probabilmente
prima di quella di legno
perché è più pesante
D : Dati E : Conclusione
Due palle, l’una di
Arrivano a terra allo
ferro, l’altra di legno,
stesso istante
sono lasciate cadere L: Legge di inferenza
da una torre ad uno
stesso istante La velocità di caduta è
proporzionale al tempo
(Galileo)
S : Supporto
La legge della gravitazione :
v ∝ t ; s ∝ t2 (Newton)

14. Perché il modello di Toulmin per
gli insegnanti?
• Può essere utilizzato in contesti disciplinari diversi e per
ogni tipo di argomentazione
• Induce a selezionare gli elementi che lo compongono per
analizzare le varie proposizioni (che svolgono il ruolo di dati,
leggi di inferenza,...) e suggerisce i procedimenti per stabilire
connessioni logiche tra gli elementi
• Permette di confrontare varie forme di argomentazione
che intervengono in una stessa attività

15. Esempi
• Problema Angoli (classe Ia)
• Problema Numeri (classe Va)
• Problema semini (classe Ia)
Esempi tratti dalla presentazione di Franca Ferri al seminario
“Argomentare, congetturare dimostrare” svolto il 25-26 agosto a
Paderno del Grappa

16. Problema Angoli
F: certo
Andrea ha misurato gli D : Andrea ha misurato
angoli acuti di un triangolo gli angoli acuti di un E : Andrea ha
rettangolo e ha scritto che triangolo rettangolo e errato
misurano rispettivamente 35 ha scritto che misurano
e 65 gradi (D) . rispettivamente 35 e 65
gradi L :?
L’insegnante, senza
misurare, dice che Andrea
ha di certo (F) errato (E).
Perché l’insegnante è sicura
dell’errore di Andrea? Motiva
bene la tua risposta.

17. Problema Angoli: Chiara
F: certo
D : Andrea ha misurato
Andrea ha sbagliato (E) gli angoli acuti di un E : Andrea ha
perché noi abbiamo triangolo rettangolo e sbagliato
studiato che la somma degli ha scritto che misurano
angoli interni di un triangolo è rispettivamente 35 e 65
gradi
di 180°(L) e allora se fai 90 + L : la somma degli angoli interni
35 + 65 (D) vedi che fa 190 e di un triangolo è di 180°
ci sono 10°in più. La maestra Il supporto è implicito: è la geometria
se n’è subito accorta perché euclidea
conosce questa regola,
mentre Andrea forse non se D : se fai 90 + 35 + E : in 190 ci
65 vedi che fa 190 sono 10 in più
la ricordava.
L : la somma degli angoli
interni di un triangolo è di 180°

18. Problema Angoli: Joseph
F: certo
D : Andrea ha misurato
E : Andrea ha
gli angoli acuti di un
sbagliato
Andrea avrà misurato triangolo rettangolo e
male, perché il goniometro ha scritto che misurano
rispettivamente 35 e 65
è difficile da usare ed io mi gradi
sbaglio sempre. Secondo L : Andrea ha misurato male
me invece di 65° lui
, D : Andrea ha E : Andrea ha
doveva scrivere 55°e così sbagliato misurato male
sarebbe andato bene L : Il goniometro è difficile da usare
D : Andrea ha E : Invece di 65
misurato male doveva scrivere 55
“Avrà” e non “ha” fa pensare (55+35+90)
alla produzione di un’ipotesi L : la somma degli angoli interni
di un triangolo è di 180°

19. Chiara e Joseph: due diversi livelli di
argomentazione e di esplicitazione
Forse i diversi gradi di implicito presenti nelle
argomentazioni possono essere considerati come
indicatori di scarsa competenza e ancor più di
padronanza?

20. Problema numeri
F:?
Cosa succede se ai D : 6, 10, 3, 25, 100
numeri 6, 10, 3, 25, 100 E: ?
… aggiungi 1?
L : aggiungi 1 a
Rispondi ed argomenta ciascun numero
bene le tue risposte.

21. Problema numeri: Wang Ping
F: anche 1000
Numero diventa più grande. diventa 1001
6 diventa 7, 10 diventa 11, 3 D : 6 diventa 7, 10 E : Tutti i
diventa 4, 25 diventa 26 e 100 diventa 11, 3 diventa numeri
diventa 101. Tutti numeri 4, 25 diventa 26 e 100 diventano più
diventati più grandi. Anche diventa 101 grandi
altri numeri diventano più L : aggiungi 1
grandi, tutti i numeri se tu
aggiungi uno diventano più S: tu fai più e con più
grandi anche 1000 diventa diventa più grande
1001, perché tu fai più e con
più diventa più grande. Wang Ping generalizza,
fornisce altri esempi

22. Problema numeri: Wang Ping
Se tu fai somma di tutti,
anche quella cambia. D: E:
6+10+3+25+100 = 144 Se 6+10+3+25+100=144 144+5
tu fai con nuovi numeri devi L : tu fai 5 volte 1
fare 144 + 5, perché tu fai 5
volte 1.

23. Problema numeri: Wang Ping
Wang Ping estende la domanda ponendosi un altro problema:
di quanto aumenta la somma di numeri naturali se si
considerano i rispettivi successivi?
Trova una nuova regola
(a + 1) + (b + 1) + (c + 1) = S + m.1
Dato un insieme qualsiasi di numeri naturali e considerata la
loro somma, si ha che la somma dei rispettivi successivi è
data dalla somma precedentemente considerata più il numero
degli elementi moltiplicati per uno.

24. Wang Ping
• Definisce
• Generalizza
• Fornisce altri esempi
• Estende la domanda, ponendosi un altro problema
• Trova una regola nuova

25. Perché far argomentare gli
studenti?
• Aiuta a confrontare il proprio punto di vista con quello degli
altri
• Favorisce il passaggio dalle nozioni intuitive e dai livelli
operativi a forme di pensiero più consapevoli
• Perché gli allievi riconoscano il peso concreto delle parole e
capiscano che alle parole corrispondono azioni e intenzioni, che
si può agire con il discorso, proprio perché gli enunciati
“vincolano”
• Perché comprendano che occorre essere responsabili di ciò
che si dice o non si dice
• Perché inizino a vedere le implicazioni pratiche delle teorie

26. La valutazione
dell’argomentazione
Criteri possibili:
• Uso appropriato dei connettivi (perché, a
causa di...)
• Livello (concreto/astratto;
particolare/generale; semplice/complessa)
• Completezza

27. La valutazione
dell’argomentazione
Criteri possibili:
Il modello di Toulmin può essere INCOMPLETO
• Consapevolezzaassenza della Restrizione ) e in
(ad esempio per degli impliciti presenti
molti casi restare IMPLICITO (in particolare per la
nell’argomentazione
legge di inferenza e il supporto)
• Consapevolezza dei meccanismi
dell’argomentazione

28. Secondo Toulmin il ragionamento è essenzialmente
uno spazio pubblico, inter-personale e sociale,
e dunque sostanzialmente dialogico.
“II ragionamento non è quindi un modo per arrivare
alle idee, ma piuttosto un modo per vagliare
criticamente le idee”.

29. La discussione matematica
Una discussione matematica è una polifonia di
voci articolate su un oggetto matematico (concetto,
problema, procedura, ecc.), che costituisce un motivo
dell’attività di insegnamento-apprendimento” (Bartolini
Bussi, 1995)

31. La discussione matematica
Caratteristiche della discussione matematica
Esiste un tema che ne definisce l’obiettivo
Esiste l’interazione tra voci (polifonia)
Insegnante ha ruolo di guida
•Inserisce una particolare discussione nel
Esiste un riferimento esplicito all’attività di
flusso dell’attività della classe
insegnamento/apprendimento
•Influenza la discussione in modo
determinante, inserendosi con interventi
Si richiede la presenza di voci diverse tra cui, essenziale,
mirati nel suo sviluppo.
quella dell’insegnante
Si valorizza la presenza di voci imitanti (diversi tipi di
imitazione nel contrappunto)

32. La discussione matematica
Si possono individuare per la scuola elementare e media tre
grandi tipologie di discussione (con sottotipi):
A. Discussione di un problema, vista come parte dell’attività
complessiva di problem solving, nei due aspetti di:
A1. Discussione di soluzione, intesa come quel processo di
tutta la classe che risolve un problema dato a parole con
l’eventuale supporto di immagini o oggetti.
A2. Discussione di bilancio, intesa come il processo di
informazione, analisi e valutazione delle soluzioni individuali
proposte ad un problema dato a parole.

33. La discussione matematica
B. Discussione di concettualizzazione, intesa come il processo
di costruzione attraverso il linguaggio e collegamenti tra
esperienze già vissute e termini particolari della matematica.
Essa può essere introdotta da domande dirette (che cosa è un
numero, che cos’è un grafico) o indirette (perché molti di voi
hanno descritto questo problema come un problema di disegno
geometrico?)
C. Meta-discussione, intesa come momento della definizione
dei valori e degli atteggiamenti nei confronti del sapere
matematico. Essa può essere introdotta da domande del tipo:
“come nascono le figure?”, “perché è importante generalizzare
in matematica?”.

34. Problema semini
Abbiamo contato F: ?
insieme i semi che D : 186 semini
E :?
22 alunni
hanno raccolto Jie e
Giacomo. Sono 186.
Siete stati molto bravi L :?
e avete dimostrato che
sapete contare.
Secondo voi ce n’è
uno per tutti i bimbi?

35. Problema semini
Molti: si D : 186 semini ES : 2 semini
22 alunni per ogni bimbo
Sofia: per me ce ne
EF : 3 semini per
sono due per ogni ogni bimbo
bimbo. Si possono fare
EM : 4 semini per
due giri L:? ogni bimbo
Fabio: Anche tre EE : 5 semini per
Mohassen: per me se ogni bimbo
ne possono dare
quattro ad ogni bimbo
Evelyn: per me fino a
cinque

36. Problema semini
Ins: Ma come facciamo a dire
D : 186 semini EJ :
che ce n’è uno per ogni
bimbo? O due? O cinque? 22 alunni
Non possiamo dirlo a caso,
dobbiamo trovare un modo LJ : Ne dai uno a tutti e se te ne
Jie: Ne dai uno a tutti e se te rimangono puoi ricominciare
ne rimangono puoi
ricominciare F: di sicuro
D : 186 semini EF:puoi fare
Fabio: di sicuro 22 è più due o tre
piccolo di 186. Puoi fare due 22 alunni
giri
o tre giri.
L : Ne dai uno a tutti e se te ne
rimangono puoi ricominciare
Patrick: di sicuro186 è più
grande di 22 perché ha un
numero in più. In più del 22
ha il 100 quindi è più grande

37. Problema semini
D : 186 semini EA :
Arianna: io farei 22 alunni
cosi’. Prima ne conti
22 e li tiri via. Se ne L : Ne conti 22 e li tiri via...fino a
avanzano ancora ne che non li finisci o ne avanzano
conti altri 22 e li tiri pochi
via. Se ce ne sono più
di 22 fai un altro giro
e ne tiri via altri 22.
Sempre cosi’ fino a
che non li finisci o ne
avanzano pochi
I bimbi hanno distribuito 8 semini a ciascun alunno.
Rimangono 10 semini

38. Problema semini
D : 186 semini E : 8 semini per
Ins: Riusciremo a darne uno 22 alunni ciascun alunno.
a tutti i bimbi? Pensate bene Restano 10 semini
prima di rispondere
L : Ne conti 22 e li tiri via...fino a
Giacomo: Forse sì. che non li finisci o ne avanzano
Proviamo pochi
Fabio: No perché noi oggi F: forse
siamo 21 e dobbiamo D : 10 semini
E : C’è un semino per
ciascun alunno
tenerne anche per Esther 22 alunni
che è assente LGia : ?
Evelyn: per me si perché 10 LE: 10 sono tanti
sono tanti D : 10 semini E : Non c’è un
Gabriel: per me no perché 22 alunni semino per
ciascun alunno
10 è più piccolo di 22 e non
ce n’è abbastanza. LGa : 10 è più piccolo di 22

39. Problema semini
Lucia: Non sono
abbastanza possiamo D : I semini sono E : Servono ancora
tenerli da parte e domani 10 e non sono 12 semini
prenderne altri per abbastanza per
poterne dare uno a tutti. tutti
Sara: Li possiamo dare a LP : 10+12 =22
10 bambini e poi agli altri
li diamo domani.
Patrick: Ne servono altri
12 per fare 22. 10 e12 fa
22. Domani ne prendiamo
12 siamo a posto.
Ins: Come sempre siete
bravissimi. A domani..

40. Riflessioni
Saper argomentare è una competenza che va
costruita nel tempo (lasciare agli allievi tutto il
tempo necessario per strutturare pensieri, per
avere delle curiosità…)
Si basa anche sul rispetto e sulla fiducia
verso sé e verso gli altri (io ho il diritto di
essere ascoltato, io sono capace di ascoltare,
ho il diritto di sbagliare, …)
L’insegnante è un esempio (stabilisco
rapporti con tutti, organizzo tempi e spazi,
costruisco consegne mirate…)
Contratto didattico

41. Per l’abilitazione...
Riconoscere l’importanza del ruolo del linguaggio
verbale nella competenza matematica (Lucangeli e
Passolunghi, 1995)
Intervento utile e diffuso oltre al rinforzo delle abilità
di calcolo, è l’abilitazione delle competenze
linguistiche.

42. Argomentare per...
• Far emergere le difficoltà
• Comprendere la natura delle difficoltà
• Intervenire come aiuto, supporto, guida

43. Argomentare per...
• Associare significati ai numeri, ai calcoli, ai
problemi matematici
•Imparare a giustificare in un senso matematico
(dimostrazione)
•Costruire immagini mentali a concetti troppo astratti
•Dare senso ai problemi