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Resolução dos exercícios - segunda semana
3.19)Obtenha a expressão de ⃗⃗ ⃗⃗       ⃗⃗ na forma de determinante. Deduza, a partir
dela, as seguintes propriedades de simetria:

                              ⃗⃗       ⃗⃗         ⃗           ⃗       ⃗       ⃗           ⃗       ⃗   ⃗⃗

Prove que o valor do triplo produto é igual ao volume do paralelepípedo formado pelos
três vetores.

Resolução:

         Sejam:
                                                 ⃗                ̂           ̂               ̂
                                                 ⃗                ̂           ̂               ̂
                                                  ⃗               ̂           ̂               ̂
Temos então que:

                                                                                                  ̂   ̂    ̂
                      ⃗       ⃗        ⃗          (       ̂               ̂           ̂ ) |                    |


         ̂        ̂                ̂        [(                        )̂                              ̂    (            )̂ ]

     (                    )

                      |                |                                  |           |                        |   |.

Pelo teorema de Laplace, temos que a expressão acima é o resultado do seguinte
determinante:


                                                              |                   |


Logo:


                                             ⃗        ⃗           ⃗       |                       |


Das propriedades de determinante: quando trocamos a posição de duas filas de uma
matriz o valor do determinante da nova matriz obtida é o oposto do determinante da
matriz anterior.
Temos então:


⃗       ⃗   ⃗     |                |            |                             |   |                 |       ⃗       ⃗       ⃗



⃗       ⃗   ⃗     |                |            |                             |   |                 |       ⃗       ⃗       ⃗


Logo:

                             ⃗    ⃗        ⃗            ⃗        ⃗           ⃗        ⃗    ⃗    ⃗

Agora vamo provar que o triplo produto é igual ao volume do paralelepípedo formado
pelos 3 vetores. Para isso, considere a disposição dos 3 vetores como na figura que
segue:



    ⃗𝑉 𝑥𝑉
        ⃗



    ∙           ⃗𝑉
                        ⃗𝑉

        θ



                                               ⃗𝑉


O volume do parelalepípedo é dado pelo produto entre a área da base e a sua altura.
Seja volume, a área da base e a altura do parelalepípedo.
Temos:
                         || ⃗  ⃗ ||
                                 || ⃗ ||
                                                || ⃗            ⃗ || || ⃗ ||                   , em que , é o menor
ângulo entre os vetores ⃗             ⃗ e⃗ .
como:
                                                                     ⃗       ⃗     ⃗
                                                             || ⃗            ⃗ || || ⃗ ||
Temos que:
                                                    ⃗       ⃗            ⃗
                || ⃗   ⃗ || || ⃗ ||                                                    ⃗   ⃗    ⃗       ⃗       ⃗       ⃗
                                           || ⃗             ⃗ || || ⃗ ||
3.20)Prove que:

                                    ⃗               (⃗               ⃗ )                     (⃗           ⃗ )⃗                 ⃗           ⃗       ⃗

Resolução:

Sejam:
                                                                    ⃗                    ̂                    ̂            ̂
                                                                    ⃗                    ̂                    ̂            ̂
                                                                     ⃗                   ̂                    ̂            ̂
                                                        ⃗             ⃗         ⃗                     ̂                ̂           ̂


                        ̂           ̂           ̂
    ⃗       ⃗       |                               |           (                                    )̂                                    ̂           (           )̂


                    ̂           ̂           ̂
⃗       ⃗       |                               |           (                                    )̂                                        ̂           (            )̂


Temos então:




Logo:
                            ⃗       ⃗           (           (                                    )                                     )̂
                                                                        (                                                                              )̂
                                                                        (                                                                              )̂

                                                (                                   )        ̂            (                        )       ̂
                                                                                         ̂                                             ̂
                                                (                                   )        ̂            (                        )       ̂

Adicionando e subtraindo                                                    ̂                             ̂ e                  ̂ a equação fica:

                ⃗       ⃗           (                                                        )       ̂            (                                        )   ̂
                        (                                                   )            ̂           (                                         )       ̂
                            (                                                       )        ̂            (                                        ) ̂

                                ⃗       ⃗           (                                                 )( ̂                         ̂               ̂ )
                                            (                                                        ) ̂                   ̂               ̂

                                                            ⃗       ⃗               (⃗           ⃗ )⃗                 (⃗   ⃗ )⃗
3.22)Determine a distância do ponto P(4,5,-7) à reta que passa por Q(-3,6,12)
e paralela ao vetor ⃗   ̂     ̂      ̂ . Calcule também a distância do
ponto P ao plano perpendicular a ⃗ que passa por Q.



Resolução:

        ⃗⃗⃗⃗⃗                    ̂              ̂         ̂

Seja    um ponto sobre a reta, tal que:
          ⃗              ⃗     ⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗                       ⃗⃗⃗⃗⃗              ̂        ̂       ̂

Seja o triângulo               com lado             sobre a reta dada e área . Temos que:

                                                              ⃗⃗⃗⃗⃗           ⃗⃗⃗⃗⃗


Seja    a distância entre           e a reta. Temos que:

                                                                 ⃗⃗⃗⃗⃗


Igualando as duas equações temos que:

                                                              ⃗⃗⃗⃗⃗           ⃗⃗⃗⃗⃗
                                                                      ⃗⃗⃗⃗⃗

                                    ̂           ̂    ̂
          ||⃗⃗⃗⃗⃗   ⃗⃗⃗⃗⃗ ||    ‖                         ‖                       ̂           ̂       ̂   √


                                        ⃗⃗⃗⃗⃗         ̂           ̂                   ̂       √
Logo:


                                                                √


Como o plano é perpendicular ao vetor ⃗ podemos escrever uma equação do plano da
seguinte forma:

Como       pertence ao plano podemos substituir suas coordenadas na equação anterior e
achar
Logo, uma equação do plano é:


Então, usando a fórmula de distância de ponto temos:


                                              √                                             √

3.29)Dados três vetores não coplanares ⃗ ⃗ e ⃗ , os vetores
                              ⃗       ⃗                         ⃗       ⃗                           ⃗       ⃗
                 ⃗                                , ⃗                           , ⃗
                          ⃗       ⃗       ⃗                 ⃗       ⃗       ⃗                   ⃗       ⃗       ⃗

São chamados de vetores recíprocos. Prove que               e            onde
i e j assumem os valores 1, 2 e 3. Discuta a disposição geométrica dos vetores
recíprocos ⃗ ⃗ ⃗ em relação a ⃗ ⃗ ⃗ .
Resolução:

Sejam:
                                                        ̂               ̂               ̂
                                                        ̂               ̂               ̂
                                                        ̂               ̂               ̂
vetores não complanares.
Da questão 3.19 temos que

Fazendo                                                                                 , onde α é um escalar, temos:




                                  ⃗           ⃗
                      ⃗                                     ⃗       ⃗           ⃗               ⃗           ⃗       ⃗


Logo


Do exercício 3.19, temos também que:                                                |                               |.


Temos, então:


                                                                                    |                               |
Das propriedades de determinantes temos que se duas filas de uma matriz quadrada são
iguais, então seu determinante é zero.

Logo:



Usando o mesmo processo provamos que                                                   , onde e assumem os valores 1,
2e3e      .

Como            , onde e assumem os valores 1, 2 e 3 e      . Temos que                                                  é
perpendicular a   e ,    é perpendicular a e     e     é perpendicular a                                                 e   .




3.32)Prove que

                                   ⃗           ⃗           ⃗
                                                                       ⃗           ⃗         ⃗
Resolução:

Sejam

                           ⃗           ⃗                           ⃗       ⃗                             ⃗       ⃗
                       ⃗       ⃗           ⃗
                                               ,               ⃗       ⃗       ⃗
                                                                                   ,                 ⃗       ⃗       ⃗

Denominando:



                                                                   , um escalar, temos:

                                                   [                           ]         [                               ]

Porém:



Logo:

                      [                                ]               [                         ]
Logo:




Como demostrado no exercício 3.29:

Logo:

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Lista 1 resolução dos exercícios pdf

  • 1. Resolução dos exercícios - segunda semana 3.19)Obtenha a expressão de ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ na forma de determinante. Deduza, a partir dela, as seguintes propriedades de simetria: ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ Prove que o valor do triplo produto é igual ao volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Resolução: Sejam: ⃗ ̂ ̂ ̂ ⃗ ̂ ̂ ̂ ⃗ ̂ ̂ ̂ Temos então que: ̂ ̂ ̂ ⃗ ⃗ ⃗ ( ̂ ̂ ̂ ) | | ̂ ̂ ̂ [( )̂ ̂ ( )̂ ] ( ) | | | | | |. Pelo teorema de Laplace, temos que a expressão acima é o resultado do seguinte determinante: | | Logo: ⃗ ⃗ ⃗ | | Das propriedades de determinante: quando trocamos a posição de duas filas de uma matriz o valor do determinante da nova matriz obtida é o oposto do determinante da matriz anterior.
  • 2. Temos então: ⃗ ⃗ ⃗ | | | | | | ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ | | | | | | ⃗ ⃗ ⃗ Logo: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Agora vamo provar que o triplo produto é igual ao volume do paralelepípedo formado pelos 3 vetores. Para isso, considere a disposição dos 3 vetores como na figura que segue: ⃗𝑉 𝑥𝑉 ⃗ ∙ ⃗𝑉 ⃗𝑉 θ ⃗𝑉 O volume do parelalepípedo é dado pelo produto entre a área da base e a sua altura. Seja volume, a área da base e a altura do parelalepípedo. Temos: || ⃗ ⃗ || || ⃗ || || ⃗ ⃗ || || ⃗ || , em que , é o menor ângulo entre os vetores ⃗ ⃗ e⃗ . como: ⃗ ⃗ ⃗ || ⃗ ⃗ || || ⃗ || Temos que: ⃗ ⃗ ⃗ || ⃗ ⃗ || || ⃗ || ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ || ⃗ ⃗ || || ⃗ ||
  • 3. 3.20)Prove que: ⃗ (⃗ ⃗ ) (⃗ ⃗ )⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Resolução: Sejam: ⃗ ̂ ̂ ̂ ⃗ ̂ ̂ ̂ ⃗ ̂ ̂ ̂ ⃗ ⃗ ⃗ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ⃗ ⃗ | | ( )̂ ̂ ( )̂ ̂ ̂ ̂ ⃗ ⃗ | | ( )̂ ̂ ( )̂ Temos então: Logo: ⃗ ⃗ ( ( ) )̂ ( )̂ ( )̂ ( ) ̂ ( ) ̂ ̂ ̂ ( ) ̂ ( ) ̂ Adicionando e subtraindo ̂ ̂ e ̂ a equação fica: ⃗ ⃗ ( ) ̂ ( ) ̂ ( ) ̂ ( ) ̂ ( ) ̂ ( ) ̂ ⃗ ⃗ ( )( ̂ ̂ ̂ ) ( ) ̂ ̂ ̂ ⃗ ⃗ (⃗ ⃗ )⃗ (⃗ ⃗ )⃗
  • 4. 3.22)Determine a distância do ponto P(4,5,-7) à reta que passa por Q(-3,6,12) e paralela ao vetor ⃗ ̂ ̂ ̂ . Calcule também a distância do ponto P ao plano perpendicular a ⃗ que passa por Q. Resolução: ⃗⃗⃗⃗⃗ ̂ ̂ ̂ Seja um ponto sobre a reta, tal que: ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̂ ̂ ̂ Seja o triângulo com lado sobre a reta dada e área . Temos que: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ Seja a distância entre e a reta. Temos que: ⃗⃗⃗⃗⃗ Igualando as duas equações temos que: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̂ ̂ ̂ ||⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ || ‖ ‖ ̂ ̂ ̂ √ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̂ ̂ ̂ √ Logo: √ Como o plano é perpendicular ao vetor ⃗ podemos escrever uma equação do plano da seguinte forma: Como pertence ao plano podemos substituir suas coordenadas na equação anterior e achar
  • 5. Logo, uma equação do plano é: Então, usando a fórmula de distância de ponto temos: √ √ 3.29)Dados três vetores não coplanares ⃗ ⃗ e ⃗ , os vetores ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ , ⃗ , ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ São chamados de vetores recíprocos. Prove que e onde i e j assumem os valores 1, 2 e 3. Discuta a disposição geométrica dos vetores recíprocos ⃗ ⃗ ⃗ em relação a ⃗ ⃗ ⃗ . Resolução: Sejam: ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ vetores não complanares. Da questão 3.19 temos que Fazendo , onde α é um escalar, temos: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Logo Do exercício 3.19, temos também que: | |. Temos, então: | |
  • 6. Das propriedades de determinantes temos que se duas filas de uma matriz quadrada são iguais, então seu determinante é zero. Logo: Usando o mesmo processo provamos que , onde e assumem os valores 1, 2e3e . Como , onde e assumem os valores 1, 2 e 3 e . Temos que é perpendicular a e , é perpendicular a e e é perpendicular a e . 3.32)Prove que ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Resolução: Sejam ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ , ⃗ ⃗ ⃗ , ⃗ ⃗ ⃗ Denominando: , um escalar, temos: [ ] [ ] Porém: Logo: [ ] [ ]
  • 7. Logo: Como demostrado no exercício 3.29: Logo: