Ôn thi THPT Quốc Gia môn Đại số về Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Xem thêm phương pháp ôn thi các môn khác tại diemthi60s.com

1. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ
1
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
BẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀM SỐ
§1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số
A. Tóm tắt lý thuyết
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số, ta có hai quy tắc sau
đây:
1. Quy tắc 1 (Sử dụng định nghĩa)
Giả sử f xác định trên D  ¡ . Ta có
 max
x D
M f x

 
 
 0 0:
f x M x D
x D f x M
  

  
;  min
x D
m f x

 
 
 0 0:
f x m x D
x D f x m
  

  
.
2. Quy tắc 2 (Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn): Để tìm giá GTLN,
GTNN của hàm số f xác định trên đoạn  ;a b , ta làm như sau:
 B1 Tìm các điểm 1x , 2x , …, mx thuộc khoảng  ;a b mà tại đó hàm số f có đạo
hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
 B2 Tính  1f x ,  2f x , …,  mf x ,  f a ,  f b .
 B3 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là
GTLN của f trên đoạn  ;a b ; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của f
trên đoạn  ;a b .
 
            1 2
;
max max , , , , ,m
x a b
f x f x f x f x f a f b

 K .
 
            1 2
;
min min , , , , ,m
x a b
f x f x f x f x f a f b

 K .
Quy ước. Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số f mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập nào
thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của f .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
2 3 3
1
x x
y
x
 


trên đoạn  0;2 .

2. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ
2
Giải. Ta có
    
   
2 2
2 2
4 3 1 2 3 3 2 4
' 0
1 1
x x x x x x
y
x x
     
  
 
 0;2x  . Lại có  0 3y  ,
 
17
2
3
y  . Suy ra
 0;2
min 3
x
y

 ,
 0;2
17
max
3x
y

 .
Nhận xét.
 f đồng biến trên  ;a b 
 
   
 
   
;
;
min
max
x a b
x a b
f x f a
f x f b






;
 f nghịch biến trên  ;a b 
 
   
 
   
;
;
min
max
x a b
x a b
f x f b
f x f a






.
Ví dụ 2. [ĐHB03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2
4y x x   .
Giải.  2;2TXÑ   . Ta có
2
2 2
4
' 1
4 4
x x x
y
x x
 
  
 
(  2;2x  ).
Với mọi  2;2x  , ta có
' 0y   2
4 0x x    2
4 x x   2 2
0
4
x
x x


 
 2x  .
Vậy
        min min 2 ; 2 ; 2 min 2;2;2 2 2y y y y      , đạt được  2x   ;
        max max 2 ; 2 ; 2 min 2;2;2 2 2 2y y y y     , đạt được  2 .
Ví dụ 3. [ĐHD03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
1
1
x
y
x



trên đoạn  1;2 .
Giải. Ta có
 
 
2
2
2 2 2
1 1
11'
1 1 1
x
x x
xxy
x x x
  
 
  
.

3. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ
3
Với mọi  1;2x  ta có
' 0y   1x  .
Vậy
       3 5
min min 1 ; 2 ; 1 min 0; ; 2 0
5
y y y y
  
    
  
, đạt được  1x   ;
       3 5
max max 1 ; 2 ; 1 max 0; ; 2 2
5
y y y y
  
    
  
, đạt được  1x  .
Ví dụ 4. [ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
ln x
y
x
 trên đoạn 3
1;e   .
Giải. Ta có
2
2
2 2
ln
2 . ln
2ln ln
'
x
x x
x xx
y
x x
 
     .
Với mọi  3
1;x e ta có
' 0y   2
2ln ln 0x x   ln 0x  hoặc ln 2x 
 1x  hoặc 2
x e  2
x e (  3
1 1;e ).
Vậy       3 2
3 2
9 4
min min 1 ; ; min 0; ; 0y y y e y e
e e
 
   
 
, đạt được  1x  .
      3
3 2 2
9 4 4
max max 1 ; ; max 0; ;y y y e y e
e e e
 
   
 
, đạt được  2
x e .
Ví dụ 5. [ĐHD10] Tìm GTNN của hàm số 2 2
4 21 3 10y x x x x        .
Giải. TXÑx 
2
2
4 21 0
3 10 0
x x
x x
   

   

3 7
2 5
x
x
  

  
 2 5x   , suy ra  2;5TXÑ=  . Ta
có
2 2
2 2 3
'
4 21 2 3 10
x x
y
x x x x
 
  
     
.

4. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ
4
' 0y   2 2
2 2 3
4 21 2 3 10
x x
x x x x
 

     

 
2 2
2 2
4 4 4 12 9
4 21 4 3 10
x x x x
x x x x
   

     
      2 2 2 2
4 3 10 4 4 4 21 4 12 9x x x x x x x x          
 2
51 104 29 0x x   
1
3
x  hoặc
29
17
x  .
Thử lại, ta thấy chỉ có
1
3
x  là nghiệm của 'y .
 2 3y   ,  5 4y  ,
1
2
3
y
 
 
 
 min 2y  , đạt được 
1
3
x  .
C. Bài tập
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) 2
4y x  .
2) 2
2 5y x x   trên đoạn  2;3 .
3) 2
2 4y x x    trên đoạn  2;4 .
4) 3
3 3y x x   trên đoạn
3
3;
2
 
  
.
5) 3 21
2 3 4
3
y x x x    trên đoạn  4;0 .
6) 3 2
3 9 1y x x x    trên đoạn  4;4 .
7) 3
5 4y x x   trên đoạn  3;1 .
8) 4 2
8 16y x x   trên đoạn  1;3 .
9)
1
y x
x
  trên khoảng  0; .
10)
1
1
y x
x
 

trên khoảng  1; .
11)
1
y x
x
  trên nửa khoảng  0;2 .
12)
2
x
y
x


trên nửa khoảng  2;4 .
13)
2
2 5 4
2
x x
y
x
 


trên đoạn  0;1 .
14) 4 4
sin cosy x x  .
15) 2
2sin 2sin 1y x x   .

5. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ
5
16) 2
cos 2 sin cos 4y x x x   .
17) 3 2
cos 6cos 9cos 5y x x x    .
18) 3
sin cos2 sin 2y x x x    .
19) 3
sin3 3siny x x  
20)
2
2cos cos 1
cos 1
x
y
 



6. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ
6
§2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
A. Nguyên tắc chung
Việc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau:
 Xác định ẩn phụ t .
 Từ giả thiết, tìm miền giá trị của t .
 Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một
hàm biến t trên miền giá trị của t .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho x , 0y  thỏa mãn 4x y  . Tìm GTLN, GTNN của   3 3
1 1S x y   .
Giải. Đặt t xy , suy ra
 
2
0 4
4
x y
t

   . Ta có
S       
3 2
3 1xy x y x y xy     
   3 2
4 4 3 1t t      3
12 63t t  .
Xét hàm   3
12 63f t t t   , với  0;4t  . Ta có   2
' 3 12 0f t t    0;4t    f t đồng
biến trên  0;4 . Do đó

 
   0;4
min min 0 63
t
S f t f

    , đạt được khi và chỉ khi
4
0
x y
xy
 


    ; 4;0x y  hoặc    ; 0;4x y  .

 
   0;4
max max 4 49
t
S f t f

   , đạt được khi và chỉ khi
4
4
x y
xy
 


    ; 2;2x y  .
Ví dụ 2. Cho x , 0y  thỏa mãn 2 2
2x y  . Tìm GTLN, GTNN của S x y xy   .
Giải. Đặt t x y   0t  . Ta có
   22 2 2
2 4t x y x y      2t  ,
 
22 2 2 2 2
2 2t x y x y xy x y         2t  .
Suy ra 2;2t    . Lại có
   2 2 2
21
1
2 2
x y x y
xy t
  
      21
1
2
S f t t t     .

7. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ
7
Ta có  ' 1 0f t t    với mọi  2;2t  ,  2 1f  ,  
3
1
2
f  . Do đó
  min 2 1S f  , đạt được  2 2
2
2
x y
x y
 

 

1
1
x
y



.
  
3
max 1
2
S f  , đạt được  2 2
1
2
x y
x y
 

 

1 3
2
1 3
2
x
y
 



 
hoặc
1 3
2
1 3
2
x
y
 



 
.
Ví dụ 3. Cho x , 0y  thỏa mãn 2 2
8x y  . Tìm GTLN, GTNN của
1 1
x y
S
y x
 
 
.
Giải. Đặt t x y  , ta có
   2 2 2
2 2 8 16x y x y       4t  ,
 
2 2 2 2 2
2 8x y x y xy x y        2 2t  .
Suy ra 2 2 4t  . Lại có
   2 2 2 2
8
2 2
x y x y t
x y
   
   .
Ta có biến đổi sau đây
S
   
  
1 1
1 1
x x y y
y x
  

 
   
2
2
1
x y x y xy
x y xy
   

  
 2 2
2
8
8
1
2
t t t
t
t
  


 
2
8
2
2 6
t
t t

 
 
.
Xét hàm   2
8
2 6
t
f t
t t


 
với 2 2 4t  . Ta có
 
    
   
2 2
2 22 2
2 6 8 2 2 16 22
' 0
2 6 2 6
t t t t t t
f t
t t t t
       
  
   
, : 2 2 4t t   .
Suy ra f nghịch biến trên 2 2;4 
  . Do đó    2 2;4
2
min 4
3t
f t f
  
  .    max 2 2 2f t f  .
+)  2 2;4
4
2 min
3t
S f t
  
   , dấu bằng xảy ra 
2 2
8
4
x y
x y
  

 
 2x y  . Vậy
4
min
3
S  , đạt
được  2x y  .

8. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ
8
+)  2 2;4
2 max 4 2
t
S f t
  
   , dấu bằng xảy ra 
2 2
8
2 2
x y
x y
  

 

0
2 2
x
y



hoặc
2 2
0
x
y
 


.
Vậy
4
max
3
S  , đạt được 
0
2 2
x
y



hoặc
2 2
0
x
y
 


.
Ví dụ 4. Cho x , 0y  thỏa mãn 3x y xy   . Tìm GTLN, GTNN của
2 2
1
1 1 3
x y
S
y x x y
  
   
.
Giải. Đặt
t x y   2
3 0
3
4
xy t
t
t
  


 


3
2 3
xy t
t
 

 
.
Ta có
S 
  
3 3 2 2
1
1 1 3
x y x y
x y x y
  

   

     
 
3 2
3 2 1
1 3
x y xy x y x y xy
xy x y x y
     

    

   
 
3 2
3 3 2 3 1
3 1 3
t t t t t
t t t
    

   

3
2 7 1 3
4 4 3 2
t t
t
t
   

.
Xét hàm  
3
2 7 1 3
4 4 3 2
t t
f t t
t
    

,  2;3t  .
Ta có  
 
2
2
3 7 1
' 2 0
4 4 3
t
f t t
t
    

,  2;3t    1f đồng biến trên  2;3 .
Do đó
    
4
2
5
S f t f   . Dấu “” xảy ra 
3
2
x y xy
x y
  

 
 1x y 

4
min
5
S  , Đạt được  1x y  .
    
35
3
6
S f t f   . Dấu “” xảy ra 
3
3
x y xy
x y
  

 

0
3
x
y



hoặc
3
0
x
y



.

9. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ
9

35
max
6
S  , Đạt được 
0
3
x
y



hoặc
3
0
x
y



.
Ví dụ 5. Cho x , y thỏa mãn 2 2
1x xy y   . Tìm GTLN, GTNN của 2 2
S x xy y   .
Giải.
Cách 1. Từ giả thiết suy ra    
   
2 2
2 2 3
1
4 4
x y x y
x y xy x y
 
       . Do đó, nếu đặt
 t x y  thì 23
1
4
t  , hay
2 3 2 3
;
3 3
t
 
  
 
.
Ta có  
2 2
1 1xy x y t     , suy ra
   2 2 2 2
3 3 1 2 3S x y xy t t t         .
Xét hàm   2
2 3f t t   với
2 3 2 3
;
3 3
t
 
  
 
. Ta có  ' 4f t t  ,  'f t có nghiệm duy nhất
2 3 2 3
0 ;
3 3
t
 
    
 
.
Ta có  0 3f  ,
2 3 2 3 1
3 3 3
f f
   
        
   
.
Do đó

1
min
3
S  , đạt được chẳng hạn khi
2 2
2 3
3
1
x y
x xy y

 

   

 
2
2 3
3
1
x y
x y xy

 

   

2 3
3
1
3
x y
xy

 

 

  
1 1
; ;
3 3
x y
 
  
 
.
 max 3S  , đạt được khi và chỉ khi
2 2
0
1
x y
x xy y
 

  

 
2
0
1
x y
x y xy
 

  

0
1
x y
xy
 

 
    ; 1; 1x y   hoặc    ; 1;1x y   .

10. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ
10
Cách 2. Ta có
2 2
2 2
x xy y
S
x xy y
 

 
.
 Xét 0y  . Khi đó 1S  .
 Xét 0y  . Chia cả tử và mẫu của S cho 2
y và đặt
x
t
y
 , ta được
2
2 2
1 2
1
1 1
t t t
S
t t t t
 
  
   
.
Xét hàm   2
2
1
1
t
f t
t t
 
 
, ta có  
 
 
2
22
2 1
'
1
t
f t
t t


 
.
Bảng biến thiên của hàm  f t :
 
2
2
lim lim 1 1
1 1
1
t t
tf t
t t
 
 
 
   
  
 
.
Suy ra:
+)
1
min
3
S  , đạt được khi và chỉ khi
2 2
1
1
x
y
x xy y



   
  
1 1
; ;
3 3
x y
 
  
 
hoặc  
1 1
; ;
3 3
x y
 
   
 
.
+) max 3S  . Đạt được khi và chỉ khi
2 2
1
1
x
y
x xy y

 

   
    ; 1; 1x y   hoặc    ; 1;1x y   .
Ví dụ 6. [ĐHB09] Cho x , y thỏa mãn  
3
4 2x y xy   . Tìm GTNN của
   4 4 2 2 2 2
3 2 1A x y x y x y      .
Giải. Áp dụng bất đẳng thức    
22 2 3
4
a b ab a b    với 2
a x , 2
b y ta được
1
1
f t( )
f ' t( ) ++ _ 00
1
3
3
+∞1-1-∞t

11. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ
11
   
24 4 2 2 2 23
4
x y x y x y        
22 2 2 29
2 1
4
A x y x y     .
Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức  
2
4xy x y  , ta có
   
3 2
2x y x y          
2
1 2 2 0x y x y x y       
   1x y 
(do      
2 2
2 2 1 1 0x y x y x y         x , y ).
Đặt 2 2
t x y  
 
 
2
2
1
2 2
9
2 1
4
x y
t
A f t t t
 
 

    

.
Xét hàm   29
2 1
4
f t t t   ,
1
2
t  . Ta có  
9
' 2 0
2
f t t  
1
2
t    f t đồng biến trên
1
;
2
 
 
  
1 9
2 16
f t f
 
  
 
1
2
t  .
Như vậy
9
16
S  , dấu “” xảy ra khi và chỉ khi
2 2 1
2
x y
x y



 
  
1 1
; ;
2 2
x y
 
  
 
hoặc  
1 1
; ;
2 2
x y
 
   
 
.
Vậy
9
min
16
S  , đạt được   
1 1
; ;
2 2
x y
 
  
 
hoặc  
1 1
; ;
2 2
x y
 
   
 
.
Ví dụ 7. [ĐHB12] Cho các số thực x , y , z thỏa mãn các điều kiện 0x y z   và
2 2 2
1x y z   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 5 5
P x y z   .
Giải. Từ 0x y z   suy ra  z x y   , thay  z x y   vào đẳng thức thứ hai của giả thiết,
ta được
         
2 2 2 2 22 2 1 3
1 2 2 2
2 2
x y x y x y xy x y x y x y            
Do đó, nếu đặt t x y  thì ta có
23
1
2
t  
6 6
;
3 3
t
 
  
 
,
2
2 1
2
t
xy

 .
Biến đổi
P  
55 5
x y x y          
53 3 2 2 2 2
x y x y x y x y x y      
         
3 2 52 2
3 2x y xy x y x y xy x y x y x y            
   

12. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ
12
22 2 2
3 2 52 1 2 1 2 1
3 2
2 2 2
t t t
t t t t t
       
           
     
 35
2
4
t t   .
Xét hàm    35
2
4
f t t t   , với
6 6
;
3 3
t
 
  
 
. Ta có    25
' 6 1
4
f t t   có hai nghiệm là
6 6 6
;
6 3 3
t
 
    
 .
Ta có
6 5 6
3 36
f
 
   
 
,
6 5 6
6 36
f
 
    
 
,
6 5 6
6 36
f
 
  
 
,
6 5 6
3 36
f
 
   
 
.
Vậy
5 6
min
36
P   , đạt được chẳng hạn khi
6
6
x y  ,
6
3
z   .
Ví dụ 8. Cho x , y , 0z  thỏa mãn
3
2
x y z   . Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2
2 2 2
1 1 1
S x y z
x y y z z x
      .
Giải. Đặt 3t xyz . Ta có 0t  và
3
3
3
2
x y z xyz    
1
2
t  .
Suy ra
1
0;
2
t
 
  
.
Lại có
2 2 2 2 2 2 23
3 3x y z x y z t    , 3
2 2 2 2 2 2 3
1 1 1 1 1 1 3 3
3
x y y z z x x y y z z x xyz t
      
 2
3
1
3S t
t
 
  
 
.
Xét hàm   2
3
1
f t t
t
  với
1
0;
2
t
 
  
. Ta có  
5
4 4
3 2 3
' 2 0
t
f t t
t t

   
1
0;
2
t
 
   
, suy ra f
nghịch biến trên
1
0;
2
 
  
. Vậy
1 99
min 3
2 4
S f
 
  
 
, đạt được khi và chỉ khi

13. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ
13
3
1
2
x y z
xyz
 




1
2
x y z   .
Ví dụ 9. [ĐHA03] Cho x , y , 0z  thỏa mãn 1x y z   . Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82x y z
x y z
      .  1
Giải. Xét
1
;a x
x
 
 
 
r
,
1
;b y
y
 
 
 
r
,
1
;c z
z
 
 
 
r
, ta có
1 1 1
;a b c x y z
x y z
 
       
 
r r r
.
Từ a b c a b c    
r r r r r r
suy ra
 
2
22 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
x y z x y z
x y z x y z
 
           
 
Đến đây ta có hai cách đi tiếp:
Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
33x y z xyz   , 3
1 1 1 1
3
x y z xyz
   .
Do đó
 
9
1 9VT t
t
  , với  
2
3t xyz .
Ta có
2
1
0
3 9
x y z
t
  
   
 
.
Xét  
9
9f t t
t
  với
1
0;
9
t
 
  
. Ta có
  2
9
' 9 0f t
t
  
1
0;
9
t
 
   
  f t nghịch biến trên
1
0;
9
 
  
.
  
1
82
9
f t f
 
  
 
  1 ( ) 82VT f t  (ĐPCM).

14. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ
14
Cách 2.  
2
2 1 1 1
x y z
x y z
 
     
 
    
2
2 21 1 1
81 80x y z x y z
x y z
 
        
 
    
2
2 21 1 1
2 81 80x y z x y z
x y z
 
       
 
   
21 1 1
18 80x y z x y z
x y z
 
        
 
18.9 –80 82 .
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
C. Bài tập
Bài 1. [ĐHD09] Cho x , 0y  thỏa mãn 1x y  . Tìm GTLN, GTNN của
  2 2
4 3 4 3 25S x y y x xy    .
Bài 2. Cho x , 0y  thỏa mãn 1x y  . Tìm GTLN, GTNN của
1 1
x y
S
y x
 
 
.
Bài 3. Cho x , 0y  thỏa mãn 1x y  . Tìm GTLN, GTNN của
  2 2 2 2
1 1 1S x y x y      .
Bài 4. Cho x , 0y  thỏa mãn 3x y xy   . Tìm GTLN, GTNN của
6
2 2 1
x y
S
x y x y
  
   
.
Bài 5. Cho x , y thỏa mãn 2 2
1x y xy   . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
4 4 2 2
S x y x y   .
Bài 6. Cho x , y thỏa mãn 2 2
1x y  . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
1 1S x y    .
Bài 7. [ĐHD12] Cho x , y thỏa mãn    
2 2
4 4 2 32x y xy     . Tìm GTNN của
  3 3
3 1 2A x y xy x y      .
Bài 8. [ĐHA06] Cho 0x  , 0y  thỏa mãn   2 2
x y xy x y xy    . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức 3 3
1 1
A
x y
  .
Bài 9. [ĐHB08] Cho x , y thỏa mãn 2 2
1x y  . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
 2
2
2 6
1 2 2
x xy
P
xy y


 
.
Bài 10. Cho x , y thỏa mãn 2 2
1x y xy   . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

15. BÀI GIẢNG ÔNTHI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNGPHÁP HÀMSỐ
15
2 2
2S x xy y   .
Bài 11. Cho x , y thỏa mãn 2 2
2 1x y xy   . Tìm GTNN của biểu thức
2 2
S x y  .
Bài 12. Cho x , y , 0z  thỏa mãn
3
2
x y z   . Tìm GTNN của biểu thức
1 1 1
S x y z
x y z
      .
Bài 13. [ĐHB10] Cho a , b , 0c  thỏa mãn 1a b c   . Tìm GTNN của biểu thức
   2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 2M a b b c c a ab bc ca a b a         .
Bài 14. Cho x , y , 0z  thỏa mãn
3
2
x y z   . Tìm GTNN của biểu thức
5 5 5
2 2 2
x y x x y z
P
y z z x x y y z x
      .