Persamaan Poisson digunakan untuk menentukan potensial listrik di dalam dan luar bola bermuatan. Potensial di luar bola berbentuk 1/r, sedangkan di dalam berbentuk fungsi r. Solusi umum persamaan Poisson memberikan rumus integral untuk potensial akibat sumber muatan apa pun. Contohnya, potensial titik di luar bola setara dengan 1/(r-arcosθ+a2).
4. • Operasi matematika “∇ ganda” pada persamaan poisson harus
diuraikan terlebih dahulu, setidaknya dalam koordinat persegi,
agar kita dapat menggunakannya. Dalam sistem koordinat
persegi:
Ax Ay Az
A
x y z
V V V
V ax ay az
x y z
• Oleh Karenanya :
V V V
V
X X Y Y Z Z
2V 2V 2V
2 2
X 2
Y Z
5. • Besarnya operator ∇.∇ dituliskan secara singkat sebagai ∇2
(diucapkan sebagai “del kuadrat”), yang sekaligus
mengindikasikan bahwa operasi ini melibatkan turunan derajat
kedua. Sehingga , diperoleh:
2V 2V 2V
V
2
2 2
X 2
Y z 0
6. Penggunaan Pers. Poisson dalam menetukan
potensial pada suatu bola.
• Suatu bola padat bermuatan homogen dengan rapat muatan
uniform. Tentukanlah potensial di luar dan di dalam bola.
• Persamaan poisson:
2
V
0
1 2 V 1 V 1 2V
V 2 r sin
2
r r r r 2 sin r 2 sin 2 2
• Karena rapat muatan tidak bergantung sudut, maka potensial
bersimetri bola:
1 d 2 dV r R
r
r dr dr
2
0
7. • Di luar bola ρ=0:
1 d 2 dV
0 V0 r A0
B0
r
r dr dr
2
r
• Di dalam bola:
d 2 dV r 2 Bi r 2
r Vi r Ai
dr dr 0 r 6 0
• Andaikan syarat batas: r 0V0 0 sehingga
A0=0
V0 r
B0
r
8. • Di pusat bola r=0, sehingga harus berlaku Bi=0
r 2
Vi r Ai
0
• V(r) harus kontinu di kulit bola, Vi(R)=Vo(R)
R 2 Bo Bo R 2
Ai Ai
6 0 R 6 0
Vo r
R Bo
r
Vi r
Bo R 2 6r 2
r 6 o
• Medan di sebelah dalam dan di sebelah luar permukaan bola
harus sama:
Vo Vi Bo R R 3
2 Bo
r r R r r R R 3 o 3 o
9. Akhirnya:
3R r
2 2
R Vi r
3
Vo r ; 6 o
3 o r
10. • Untuk persoalan yang mempunyai bentuk
persamaan Poisson, dapat diperoleh bahwa
∇2u(x, y,z) = f(x, y, z) solusinya adalah
1 f ( x' , y ' , z ' )
u ( x, y, z )
4 volume x x' y y' z z'
2 2 2
dx' dy' dz
11. Contoh:
• Bola konduktor yang digroundkan berada di pusat koordinat
dengan jari-jari R. Pada titik (0,0,a) diletakkan muatan titik
sebesar q. Tentukan bentuk potensial di seluruh ruang di luar
bola tersebut.
• Bentuk potensial dalam ruang dengan adanya sumber distribusi
muatan ρ dinyatakan dengan persamaan Poisson
• ∇ 2 V = −4πρ
• Dengan demikian bentuk solusi persamaan Poisson tersebut
adalah:
1 4 ( x' , y ' , z ' )
u ( x, y, z )
4 volume x x' y y' z z'
2 2 2
dx' dy' dz
12. • Karena sumber muatan adalah muatan titik sebesar
q yang terletak di (0,0,a), maka artinya
• ( x' , y ' , z ' ) = (0,0, a ) dan ρ = q, sehingga
Vq x, y, z
q
x 2 y 2 z a
2
• ini adalah bentuk potensial yang disebabkan oleh
muatan titik q yang terletak di (0,0,a)
13. • dengan menggunakan sistem koordinat bola dapat
dinyatakan
q
Vq
r 2ar cos a
2 2