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Guia operaciones unitarias 2

  1. 1. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 44CAPITULO 5“ECUACION GENERAL DE LA ENERGIAYPERDIDAS MAYORES”Algunas de las restricciones que se establecieron por el uso de la ecuación de Bernoulli, sepueden eliminar al expandir la ecuación a lo que se conoce como ecuación general deenergía.5.1 PÉRDIDA Y ADICION DE ENERGIACuando se desarrollo la ecuación de Bernoulli se mencionaron cuatro restricciones paraesa ecuación: Es válida solamente para fluidos incomprensibles. No puede haber dispositivos mecánicos entre las dos secciones de interés. No puede haber transferencia de calor hacia el fluido o fuera de éste. No puede haber pérdidas de energía debida a la fricción.Para el sistema de flujo como el que se presenta en la figura posterior, existendefinitivamente algunas pérdidas y adiciones de energía entre las dos secciones deinterés. Para sistemas como éste, ya no es válida la ecuación de Bernoulli.5.2 NOMENCLATURA DE PÉRDIDAS Y ADICIONES DE ENERGIAPara las pérdidas y las adiciones de energía utilizaremos: la letra h, cuando se hablede pérdidas y adiciones de energía. Específicamente los términos siguientes seusaran:hA = Energía añadida o agregada al fluido mediante un dispositivo mecánico como puede seruna bomba.hR = Energía removida o retirada del fluido mediante un dispositivo mecánico, podría ser unmotor de fluido.hL = Pérdida de energía por parte del sistema, debida a fricción en los conductos, opérdidas menajes debidas a la presencia de válvulas y conectores.
  2. 2. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 4521 EhhhE LRA  2222121122ZgvPHHHZgvPLRA5.3 ECUACION GENERAL DE LA ENERGIALa ecuación general de la energía, es simplemente una expansión de la ecuación deBernoulli, que hace posible resolver problemas en los que se presentan pérdidas yadiciones de energía. La interpretación lógica de la ecuación de la energía se puede ver en lafigura adjunta, que presenta un sistema de flujo. Los términos El y E2 denotan la energía queposee el fluido por unidad de peso en las secciones 1 y 2 respectivamente. También semuestran las adiciones, remociones y pérdidas de energía hA, hR, hL. Para tal sistema, laexpansión del principio de conservación de la energía es:La energía que posee el fluido por unidad de peso es:Reemplazando se obtiene:Las unidades en el SI son N*m/N o metros. Las unidades en el Sistema Británico deUnidades Ib*pie/lb ó pie.Es de suma importancia que la ecuación general está escrita en la dirección de flujo, esdecir desde el punto de referencia, en la parte izquierda de la ecuación y el puntocorrespondiente, en el lado derecho. Los signos algebraicos juegan un papel crítico,debido a que el lado izquierdo de la ecuación establece que un elemento de Fluido que
  3. 3. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 46QhPott Bomba ** QhPott Bomba **;356.11 Wspielb;5001spielbhp Whp 7.7451 tenga una cierta cantidad de energía por unidad de peso en la sección 1, puede tener unaadición de energía (+hA), una remoción de energía (-hR) o pérdida de energía (-hL), antesde que alcance la sección 2. En tal punto contiene una cantidad diferente de energía porunidad de peso según lo indican los términos de la parte derecha de la ecuación.5.4 POTENCIA REQUERIDA POR BOMBASLa potencia se define como la rapidez con que se realiza un trabajo. En la mecánica defluidos podemos modificar este enunciado y considerar que la potencia es la rapidez conque la energía está siendo transferida. La unidad de potencia en el SI es el watt (W), quees equivalente a 1.0 N*m/s y en el sistema Britanico es lb-pie/s, en la práctica es comúnreferirse a la potencia en caballos de fuerza (hp-Horse Power). Con el fin de calcular lapotencia transferida, debemos determinar cuántos newton de fluido están fluyendo porla bomba en un intervalo de tiempo. A esto se le conoce como rapidez de flujo de peso.La potencia se calcula multiplicando la energía transferida por la rapidez de flujo de peso.Es decir:Considerando el rendimiento5.5 NUMERO DE REYNOLDSEl flujo de un liquido en una tubería puede ser despacio, flujo laminar (también conocidocomo flujo viscoso). En este tipo flujo las capas o láminas no causan turbulencia. Dado quecuando el caudal aumenta, la velocidad aumenta el flujo puede cambiar de laminar aturbulento esto puede ser debido a la inyección de flujo a la tubería. Un importanteparámetro adimencional es el número de Reynolds que es usado para clasificar el tipo deflujo en la tubería. El número de Reynolds es calculado mediante la siguiente ecuación:Donde:
  4. 4. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 47V = Velocidad media, m/s, ft/sD = Diámetro interno de la tubería, m, ftρ = Densidad del liquido, kg/m3, slugs/ft3μ = Viscosidad Absoluta, N-s/m2, lb-s/ft2R = Numero de Reynolds, adimencionalDado que la viscosidad cinematica es: ν = μ/ρ el numero de Reynolds puede ser expresadode la siguiente forma:Donde:ν = Viscosidad Cinematica, m2/s, ft2/sSe debe tener cuidado en las unidades usadas en la ecuación debido a que el Numero deReynolds es adimensional.5.6 REGÍMENES DE FLUJOEl flujo a través de una tubería está clasificado dentro tres regímenes de flujo, y puedenser distinguidos de la siguiente manera:1. Laminar: Numero Reynolds <20002. Critico: Numero Reynolds >2000 y Numero Reynolds <40003. Turbulento: Numero Reynolds >4000Como el líquido fluye a través de la tubería, la energía es pérdida debido a la fricción entrela superficie de la tubería y el líquido y debido también a la interacción entre las moléculasdel líquido. De esta forma se refiere a la energía por fricción perdida como perdida depresión debido a la fricción, La perdida de presión por fricción depende del caudal, deldiámetro de la tubería, de la rugosidad, la gravedad especifica del liquido y de laviscosidad. Además la pérdida de presión por fricción también depende del número deReynolds y el régimen de flujo. El objetivo es calcular la pérdida por fricción dado por lafricción, propiedades del líquido y regímenes de flujo.5.7 PERDIDAS MAYORESLa pérdida de presión debido a la fricción en una longitud de tubería, expresada en metroso pies de líquido puede ser calculada usando la ecuación de Darcy-Weisbach:
  5. 5. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 48Donde:f = Factor de fricción de Darcy, adimencional, usualmente el número varía entre 0.008 y0.10L = Longitud de la tubería, ftD = Diámetro interno de la tubería, ftV = Velocidad media del liquido, ft/sg = Aceleración debido a la gravedad, 32.2 ft/s2en unidades inglesasEn un flujo laminar, el factor de fricción “f” solo depende del número de Reynolds. En unflujo turbulento “f” depende del diámetro de la tubería, de la rugosidad de la tubería ydel número de Reynolds, como se mostrara.5.8 FACTOR DE FRICCIÓNPara flujo laminar, con un número de Reynolds R<2000, el factor de fricción de Darcy escalculado mediante la siguiente relación:Para un flujo laminar el factor de fricción solo depende del número de Reynolds y esindependiente de las condiciones internas de la tubería.Para un flujo turbulento, Cuando el numero de Reynolds es R > 4000, el factor de fricciónf no solo depende del número de Reynolds, sino también del la rugosidad en el interior dela tubería. Dado que la rugosidad incrementa, así también los hace el factor de fricción.Por eso una tubería lisa tiene menor factor de fricción comparada con una tubería rugosa.Mas correctamente, el factor de fricción depende de la rugosidad relativa (e/D) donde ees la rugosidad absoluta de la tubería.Existen varias relaciones para hallar el valor del factor de fricción f . Estos están basadosen experimentos realizados por científicos e ingenieros en los últimos 60 años. Una buenaecuación propuesta para un flujo turbulento (donde R>4000) es la ecuación de Colebrook-White:[√]Donde:f=Factor de fricción de Darcy, adimensionalD=Diámetro interno de la tubería, in.e=Rugosidad absoluta de la tubería, in.R=Numero de Reynolds, adimesionalTodos los términos en la ecuación son adimensionales
  6. 6. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 49Esta ecuación puede verse que el cálculo no es fácil, dado que el factor de fricción faparece en ambos lados de la ecuación. Para lo cual se debe resolver con un error. Sepuede empezar a asumir un valor de f (0.02) y sustituir en el lado derecho de la ecuación.Esto llevara a una segunda aproximación de f, la cual puede ser usada para re calcular elvalor de f por sucesiva iteración. Generalmente, de tres a cuatro iteraciones pueden darun valor satisfactorio de f. (correcto con 0.001 decimales)Durante las dos últimas décadas varias formulas del factor de fricción para flujoturbulento han sido propuestas por varios investigadores. Todas estas facilitan el cálculodel factor de fricción comparada con la ecuación de colebrook-White estas requieren unerror y son llamadas ecuación de Churchill y Swamee-Jain.En la zona critica, donde el numero de Reynolds está entre 2000 y 4000, Generalmente laformula no es aceptada, esto es debido a que es una zona inestable y por eso el factor defricción es indeterminado. Pero es más comúnmente calculado como si fuera flujoturbulento.Para denotar mejor, la zona de flujo turbulento (R>4000) actualmente consiste en tresdiferentes zonas: Flujo Turbulento en tubería lisa Flujo Turbulento en tubería totalmente rugosa Flujo de Transición en una tubería lisa y rugosa5.8.1 Para flujo turbulento en tubería lisa, La rugosidad en la tubería tiene un efectodespreciable en el factor de fricción f. Por eso, el factor de fricción en esta región solodepende del número de Reynolds como sigue:[√]5.8.2 Para Flujo Turbulento en tubería totalmente rugosa, el factor de fricción f parecedepender menos del numero de Reynolds como la rugosidad aumento de valor. En estecaso solo dependerá de la rugosidad y el diámetro. Y este puede ser calculado mediante lasiguiente ecuación:[ ]5.8.3 Para la zona de transición entre un Flujo turbulento en tubería lisa y un flujoturbulento en tubería rugosa, el factor de fricción f es calculado usando la ecuación deColebrook-White dado anteriormente:
  7. 7. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 50[√]La ecuación discutida arriba puede ser graficada sobre un Diagrama de Moddy. Larugosidad relativa es definida como e/D, y es el resultado de simplemente dividir larugosidad absoluta entre el diámetro interno de la tubería. Los términos de la rugosidadrelativa son adimencionales. El diagrama de Moddy refleja un mapa completo para la zonade flujo laminar y turbulento dentro la tubería. El diagrama de Moddy no es confiabledebido a que se usa un error para resolver la ecuación para el cálculo del factor de fricciónf. Para usar el diagrama de moddy, paraFigura Diagrama de Moody para el factor de fricción.determinar el factor de fricción f. Primero se debe calcular el número de Reynolds R, luegolocalizar en el eje horizontal el valor del numero de Reynolds y dibujar una línea verticalhasta interceptar con la apropiada curva de rugosidad relativa (e/D). Desde este punto deintersección sobre (e/D), leer el valor del factor de fricción f sobre el eje vertical de laizquierda.
  8. 8. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 51Antes de salir de la discusión del factor de fricción, se debe mencionar un términoadicional: El factor de fricción de Fanning. Algunos usan este factor de fricción en vez delfactor de fricción de Darcy. El factor de fricción de Fanning está definido como sigue:Donde:ff=Factor de fricción de Fanningfd= factor de fricción de DarcyPROBLEMAS RESUELTOSNumero de ReynoldsP-5.1 Un conducto de 4 pulgadas de diámetro lleva 0.20 pies3/s de glicerina (SG=1,26) a100ºF. ¿Es el flujo Laminar o Turbulento?DATOS: SOLUCION:D =0,333piesµ (100ºF)=7,45*10-3Lb*s/pie2(Tabla)SG= 1,26Q=0.20 pie3/sINCOGNITAS:NR=?QFlujoDDiametro
  9. 9. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 52P-5.2 Calcule la rapidez de flujo de volumen máximo de aceite combustible a 45ºC a la cualel flujo seguirá siendo laminar en un conducto de 100mm de diámetro. Para el aceiteutilice SG= 0,895 y una viscosidad dinámica de 4,0 *10-2Pa-s.DATOS:D =100 mmµ (45ºc)=4,0*10-2Pa*sSG= 0,895INCOGNITAS:NR=?SOLUCION:Considerando flujo laminar NR < 2000Calculo del caudal empleando la ecuación de continuidad:[ ][ ]P-5.3 Aire con un peso especifico de 12,5 N/m3y una viscosidad dinámica de 2,0*10-5Pa*s,fluye a través de la parte sombreada del ducto de la figura, con una rapidez de 150 m3/h.Calcular el número de Reynolds del flujo.DATOS:ν= 2,0*10-5Pa*sγ= 12,5 N/m3Q =150 m3/hINCOGNITAS:NR=?SOLUCION:Superficie del área sombreada:
  10. 10. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 53{[ ( )] }Velocidad de flujo promedio:Perímetro mojado:√Calculo del radio hidráulico para sección irregular, para ello se reemplaza los valores deárea y perímetro mojado en la siguiente relación:Calculo del NR empleando la siguiente relación:[ ]P-5.4 En el sistema mostrado en la Figura la bomba BC debe producir un caudal de 160 l/sde aceite, Dr = 0,762, hacia el recipiente D. Suponiendo que la pérdida de energía entre Ay B es de 2,50 m y entre C y D es de 6,50 m, a) ¿qué potencia en HP debe suministrar labomba a la corriente? b) Dibujar la línea de alturas totales.AB CDcmD 30cmD 30Figuram3m60m15
  11. 11. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 54 DDDperdBAAAZgvPHHZgvP2222   60.0)5,65,2(15.0  desprecHdesprec BmHB 0.54  WmsmmNHQWattPotencia BOMBA 9,645850,54*)16.0(*)81.9*1000*762.0(**33 HPWHPWHPPotencia 58.867461*9,64585)( HPPotencia 58.86DATOS: SOLUCION:Q=160 [l/s]Dr=0,762HA-B=2,5mHC-D=6,5mINCÓGNITAS:a) Pott=?b) Líneas de alturasb)P-5.5 Una tubería que transporta aceite crudo (SG=0.93) a 1200 l/min está hecha conconducto de acero de 6 plg, Calibre 80. Las estaciones de Bombeo están espaciadas 3,2Km entre sí. Si el aceite esta a 10 ºC, Calcule: (a) La caída de presión entre estaciones y (b)La potencia requerida para mantener la misma presión en la entrada de cada bomba.a) La velocidad de las partículas en A y D es tan pequeña que puededespreciarse las alturas de velocidad.Ecuación de energía entre A y D:AB CDFiguram60m3m15m5.66m5.12
  12. 12. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 55DATOS:D (6plg)= 146.3 mm (Tabla)µ (10ºC)= 1.5*10-1N*s/m2(Tabla)SG= 0.93Q= 1200 l/minL= 3,2 KmINCOGNITAS:a) ΔP=?b) Pott=?SOLUCION:a) Caída de presión entre los puntos A y BAplicando la ecuación de energía en los puntos A y B:Despejando de la ecuación de energía la diferencia de presión se tiene:[ ]Velocidad en el conducto:[ ][ ]Se sabe que la perdida de energía (hL) en el conducto es:Numero de Reynolds:Calculo de factor de fricción:QFlujoBomba Bombam3200A BAPesionPr BPesionPr
  13. 13. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 56Sustituyendo el factor de fricción “f” en (2):Reemplazando la pérdida de energía en (1):[ ] [ ][ ]b) Calculo de la potencia de la bomba para mantener la misma presión a la entradade cada bomba.( )P-5.6 A través de una tubería nueva de fundición esta circulan de agua a 20°C y a unavelocidad de 4,2(m/s), la tubería es de 150mm de diámetro y tiene una longitud de 400m.Determine la perdida de carga debida a la fricción.DATOS:SOLUCIÓN: Calculo del Número de Reynolds:
  14. 14. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 57 Calculo de la rugosidad relativa: Calculo del factor de fricción::fDf Re*51.2*71.3log*21 81.9*22.4*15.0400*024.0*2**22)( gvDLfH tuberiaLmH tuberiaL 54.57)( P-5.7 Desde un punto 2 de elevación o cota 66,66 m se está descargando gasolina através de una tubería, El punto 1, localizado a 965,5 m en la tubería a partir del punto 2,tiene una cota de 82,65 m, y la presión es de 2,50 kPa. Si la tubería tiene una rugosidadde.0,500 mm ¿qué diámetro de tubería es necesario para descargar un caudal de 0,10m3/s de gasolina (Peso especifico = 7,05 kN/m3,µ = 2,92.10-4Ns/m2,ρ = 719 kg/m3)?DATOS: SOLUCION:Z2=66,66mL=965.5mZ1=82.65mP1=2,50 kPae=0.500mmQ=0,10 m3/sγ = 7,05 kN/m3µ = 2,92.10-4Ns/m2ρ = 719 kg/m3INCÓGNITAS:D=?m66.66?DL12m65.82
  15. 15. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 58 2222121122ZgvPHZgvPperd mdesprecHmdesprecm perd 66.66.065.82.70502500. mHperd 34.16. );......(22. gvDLfH perd 225422.**8***8 gQDLfDgQDLfH perd)......(**4422 DQDQAQv 522. **8gQHLfDperd)1.....(..........*81.91.0*834.165.965522fD);.......(**Re  DV)2.....(..........**10*92,2719*1.0*4Re 4D)......(**42 DQV DQ****4Re)3.....(..........0005.0DmDe Aplicando la formula de Darcy-WeisbachRemplazando β en α:Despejando el diámetro “D”Reemplazando valores: Calculo del Número de Reynolds:Reemplazando β en γ se tiene:Reemplazando valores: Calculo rugosidad relativa:a) La velocidad de las partículas en 1 y 2 es tan pequeña que puededespreciarse, la presión P2/γ=0 (da a la atmosfera).Ecuación de energía entre 1 y 2:
  16. 16. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 59)4.....(..........Re51.271.3log21calcal fDef][26 cmD Ecuación de Colebroock:Este valor de f(supuesto) coincide con el valor de f(calculado). De aquí que el valor correcto de“D” diámetro requerido es 0.25928mP-5.8 Para una tubería de acero de 4 pulgadas Calibre 80 de 25 pies de longitud estáfluyendo agua a 100ºF. Calcule la velocidad de flujo de volumen máxima permitida si lapérdida de energía debido a la fricción de la tubería se limitará a 13.061 pies lb/lb.Encontrando los valores:4" 0.3188[ ]D pies , 41.5 10 [ ]pies   , 6 27.37 10 [ ]v pies s SOLUCION: Despejando de Darcy la velocidad de flujo expresado en función de f:2f2LL VhD g   ⟹2fLh D gVL 2 2 213.061[ ] 0.3188[ ] 2 32.2[ ] 10.726[ ]25[ ] f fpies pies pies s pies sVpies   (1) Número de Reynolds en el conducto en función a la velocidad de flujo:44 20.3188[ ]4.326 107.37 10 [ ]RD V m VN Vv pies s     (2) Rugosidad relativa:f(supuesto) “D” ec. (1) Re ec. (2) e/D ec. (3) f(calculado) ec.(4)0.020 0.24999 1251081.8 0.002000 0.0240.024 0.25928 1209176.3 0.001928 0.024Para el cálculo del diámetro se procederá:1. Se efectuara el cálculo por tanteo de un valor “ f(supuesto) ” (factor de fricción), determinando “D” por laecuación (1).2. Se determinara Re y (e/D) para el valor de “D” con las ecuaciones (2) y (3).3. Se determinara el valor de “ f(calculado) ” en función de Re y (e/D) con el diagrama de Moody o con laecuación de colebroock. En caso de que este valor coincida con el valor del supuesto este será el diámetrobuscado, en caso contrario será necesario efectuar un nuevo tanteo, suponiendo ahora el “ f ” calculado.
  17. 17. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 6044107059.4][3188.0][105.1  xpiespiesxDCon el NR y la rugosidad relativa se procede al procedimiento de iteración mediante laecuación de colebroock con valores de prueba inicial de f ó también del diagrama deModdy f 0.023 y sustituyendo f en (1)2 210.726[ ]21.6[ ]0.023pies sV pies s El número de Reynolds se obtiene sustituyendo la velocidad de flujo en (2)4 54.326 10 21.6 9.34 10RN     Obteniendo el nuevo factor de f 0.0175 y sustituyendo en (1)2 210.726[ ]24.76[ ]0.0175pies sV pies s Cálculo del nuevo número de Reynolds bajo la sustitución de V en (2)4 54.326 10 25.12 1.087 10RN     Obteniendo nuevo factor de f 0.017En vista que el valor de f permanece inalterado que la anterior prueba por tanto se aceptala velocidad de flujo de 25.12[ ]pies sCálculo de la velocidad de flujo de volumen: 20.3188[ ]25.12[ ]4piesQ AV pies s    ⟹32.0[ ]Q pies sP-5.9 A través de una tubería de acero con un diámetro exterior de 2pulg y un grosor depared de 0.083 pulgadas se encuentra fluyendo un aceite hidráulico. Una caída de presiónde 68 kPa se observa entre dos puntos en la tubería situada a 30m entre si. El aceite tieneuna gravedad especifica de 0.90 y una viscosidad dinámica de 3.0×10-5m. Calcule lavelocidad de flujo de aceite.
  18. 18. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 6145107059.4][046584.0][103  xmmxDDATOS: SOLUCION:D=2 pulgEspesor=0.083 plgΔP=68 KPaLA-B=30mGE=0.90δ=3.0*10-5mINCÓGNITAS:V=?2 22 2A A B BA L BREF REFP V P VZ h Zg g      Despejando de la pérdida de energía:22 2.( )2A B B AL B AAC H H OP P V VH Z ZSg g        Sustituyendo los valores y considerando 0B AZ Z  y  2 22 0B AV V g 2368[ ]7.702[ ]0.9 9.81[ ]LkN mH mkN m    Despejando de Darcy la velocidad de flujo expresado en función de f:2f2LL VhD g   ⟹2fLh D gVL 2 2 27.702[ ] 0.046584[ ] 2 9.81[ ] 0.23465[ ]30[ ] f fm m m s m sVm   (1)Calculo del Número de Reynolds en el conducto en función a la velocidad de flujo:4.30.046584 0.9 10001.398 103.0 10AC HRD V VN V         (2)Rugosidad relativa:Con el NR y la rugosidad relativa se procede al procedimiento de iteración. Como valoresde prueba inicial de f se obtuvo del diagrama de Moddy f 0.03 y sustituyendo en (1)Empleando la ecuación de la energía en A y en B
  19. 19. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 622 20.23465[ ]2.797[ ]0.03m sV m s El número de Reynolds se obtiene bajo el sustituto de la velocidad de flujo en (2)4 41.398 10 2.797 3.91 10RN     Obteniendo el factor nuevo de f del diagrama de Moddy f 0.024 y remplazando en (1)2 20.23465[ ]3.13[ ]0.024m sV m s Cálculo del nuevo NR bajo el remplazo de V en (2)4 41.398 10 3.13 4.38 10RN     Obteniendo el factor nuevo de f del diagrama de Moddy f 0.0235 y sustituyendo en (1)2 20.23465[ ]3.16[ ]0.0235m sV m s Cálculo del nuevo NR bajo el remplazo de V en (2)4 41.398 10 3.16 4.42 10RN     Obteniendo el nuevo factor de f del diagrama de Moddy f 0.0235 . En vista que el valor fpermanece inalterado que la anterior prueba por lo tanto se acepta la velocidad de flujode:3.16[ ]V m s .P-5.10 En un sistema de procesamiento químico, el flujo de glicerina a 60ºF (sg=1.24) enun tubo para que este permanezca laminar con un numero de reynolds aproximadamenteigual a 300, pero sin exceder este valor. Determine el tamaño de conducto quetransportara una rapidez de flujo de 0.90 spie / . Entonces, para un flujo de 0.90 spie /3en el tubo que usted ha calculado, calcule la caída de presión entre dos puntos separadosentre si a una distancia de 55.0pies, si el tubo está en posición horizontal.Valor encontrado. 22/*10*62.4 pieslb
  20. 20. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 63DATOS: SOLUCION:Sg=1.24Re=300v=0.90 pie/sL=55.0 pie22/*10*62.4 pieslbINCÓGNITAS:ΔP=?4** 2DQAQvvAQ ………………………(Ec-1)Numero de Reynolds:GLICRvDN** ……………..(Ec-2)Sustituyendo (2) en (1)y despejando D:GLICRDQDN*4** 2 =DQDQGLICGLIC***4**4***4RGLICNQD  ………..(Ec-3)Reemplazando los valores en 3:piespieslbpieslugsspieD 199.0*)*10*62.4(*300/24.1*/9.0*42233Sustituyendo valores en (1) se tiene la velocidad de flujo:spiespiesspiev 94.284)199.0(*9.023Empleando la ecuación de la energía en A y B:gVZPhgVZP BBGLICBLAAGLICA2222Despejando la diferencia de presiones:GLILABABBA hZZgVVPP *)(222 …………….(Ec-4)Calculo de la perdida de energía Lh en el conducto empleando Darcy:gVDLfhL2**2 ……….(Ec-5)Expresando la velocidad de flujo en función del diámetro:55 pies
  21. 21. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 64Calculo de f empleando la siguiente relación (flujo laminar):2133.03006464RNfSustituyendo el factor f en 5 y se obtiene la pérdida de energía:piesspiespiepiepieshL 68.7662.32*2)94.28(*199.055*2133.0 22Se obtiene la diferencia de presiones bajo el sustituto de los valores en (4):  32.64*24.1*68.76600pielbPP BA 222lg96.411lg)12(1*63.59322pulbpupiepielbPP BA P-5.11 En la figura se muestra una bomba que hace circular 300gal/min de aceite delubricación para maquina, herramientas pesadas a 104ºF (sg=0.890) con el fin de probar laestabilidad de aceite (pesado) y cuya viscosidad cinemática es de 2.15* spie /10 22. Lalongitud total del conducto de 3 pulgadas es de 75 pies. Calcule la potencia transmitidapor la bomba de aceite.SOLUCION:Encontrando valores:piesD 2557.03  (Tabla)piesD 3355.04  (Tabla) Empleando la ecuación de la energía en los puntos (1) y (2):gVZPhhgVZPACALAC 2222222111Bomba22 piesFlujo15 pies6piesLínea dedescargaconductode acero de3’’. Calibre40Línea desucción deacero de 4’’calibre 40
  22. 22. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 65Despejando la energía añadida ( Ah ):LACA hgVVZZPPh 2)(21221212…………….. (Ec.-1) La velocidad en el conducto de impulso es:spiepiessmpieLmgalLgalV 015.134)2557.0(*60min/1*)3048.0/(1*1000/1*1/785.3min*30023332 Velocidad en el conducto de succión es:spiepiessmpieLmgalLgalV 56.74)3355.0(*60min/1*)3048.0/(1*1000/1*1/785.3min*30023332  Calculo de la perdida de energía en el conducto de succión:gVDLfhL2**2444 …………………. (Ec.-2) Numero de reynolds:118010*15.256.7*335.0*2244 spiesspiespiesvVDNR Factor de fricción:0542.011806464RNfSustituyendo valores en (2) y se obtiene Lh :piesspiespiepiepiehL 584.32.32*2)55.7(*3355.025*0542.0 224  Calculo de la perdida de energía en el conducto de impulsión:gVDLfhL2**23333  ………….Ec.-3 Numero de Reynolds:154810*15.2015.13*2557.0*2233 spiesspiespiesvVDNR Factor de fricción:0413.011486464RNfSustituyendo valores en (3) y se obtiene 4Lh :
  23. 23. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 66piessmhL 863.312.32*2)13005(*2557.075*0413.0 223 Se tiene 4h bajo el sustituido de los valores en (1):piespiespiepiehA )863.31584.3(2.32*20)015.13(010 22pieshpiepiepieh AA 08.3945.3563.21  Calculo de la potencia de la bombaAA hQP **piesielbspiesPA 08.39*4.62*890.0*6683.0 32HpspielbHPspielbPA 637.2*5501**44.1450 P-5.12 Va a fluir agua a 60° F por gravedad entre dos puntos ubicados a 2 millas uno delotro a una velocidad de 13500 gal/min. El extremo superior es 130 pies más alto que elextremo interior. ¿Cuál es el tamaño de tubería de concreto que se requiere?Asuma que la presión en ambos extremos de la tubería es despreciable.DATOS:v = 1,21*10-5pies2/sξ = 1,5*10-4piesSOLUCION:AB2 millasFlujo130 pies
  24. 24. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 67 Empleando la ecuación de la energía en A y B.Despejando la perdida de energía (hL) y considerando VA= VB y (PA – PB) = 0[ ] Expresando la perdida de energía en términos de velocidad, utilizando la ecuación deDarcy:Expresando la velocidad en términos de caudal y el diámetro de la tubería:Sustituyendo la velocidad de flujo en la ecuación de Darcy ó (3) en (2)( )Despejando el diámetro del conducto:( )⁄Sustituyendo los valores:( )⁄⁄ Expresando el número de Reynolds en términos del diámetro:( )Sustituyendo los valores:1. Asumiendo un valor de prueba inicial f = 0,0200.2. Calculo del diámetro del conducto bajo el sustituto de f en (4)⁄
  25. 25. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 683. El numero de Reynolds se obtiene bajo el reemplazo de D en (5)4. Rugosidad relativa:5. Obteniendo de nuevo valor de fricción f del diagrama de Moddy (f = 0,0208).6. Compare el nuevo valor de f con el que se asumió en el paso 1 y repita lospasos 1 a 6 hasta que no pueda detectar un cambio significativo en f.Calculo del nuevo diámetro del conducto sustituyendo f en (4)⁄ Donde en nuevo NR se tiene bajo la sustituto de D en (5) Nueva rugosidad relativa: Obteniendo el nuevo valor de fricción f del diagrama de Moddy (f = 0,0233). Calculo del nuevo diámetro del conducto bajo la sustitución de f en (4)⁄ El nuevo NR se tiene reemplazando D en (5) Nueva rugosidad relativa: Determinado el nuevo valor de fricción f del diagrama de Moddy (f = 0,0233)Comparando el nuevo valor de f con el anterior se ve que existe cambios, por lo tanto seacepta el diámetro calculado (D = 2,123 pies). pieD 123.2
  26. 26. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 69gvKhL22CAPITULO 6“PERDIDAS MENORES”En este capítulo se tratara sobre las pérdidas menores debido a la presencie de válvulas,junturas, cambios en el tamaño de la trayectoria de flujo y cambios en la dirección.6.1 FUENTES DE PÉRDIDAS MENORESEn la mayor parte de los sistemas de flujo, la pérdida de energía primaria se debe a lafricción del conducto, como se describió anteriormente. Los demás tipos de pérdidas deenergía son pequeñas en comparación, y por consiguiente se hace referencia a ellas comopérdidas menores. Las pérdidas menores ocurren cuando hay un cambio en la seccióncruzada de la trayectoria de flujo o en la dirección de flujo, o cuando la trayectoria de flujose encuentra obstruida, como sucede con una válvula. La energía se pierde bajo estascondiciones debido e fenómenos físicos bastantes complejos.6.2 COEFICIENTE DE RESISTENCIALas pérdidas de energía son proporcionales a la cabeza de velocidad del flujo al fluir éstealrededor de un codo, a través de una dilatación o contracción de la sección de flujo, o através de una válvula. Los valores experimentales de pérdida de energía generalmente sereportan en términos de un coeficiente de resistencia K, de la siguiente forma:Donde:hL = Pérdida de energía menorK = Coeficiente de resistencia (adimensional)V = Velocidad de flujo promedio en el conducto en la vecindad dondese presenta la perdida menor.En algunos casos, puede haber más de una velocidad de flujo, como las dilataciones o enlas contracciones. Es muy importante que usted sepa qué velocidad se debe utilizar delconducto menor.6.2.1 DILATACIÓN SÚBITAAl fluir un ruido de un conducto menor a uno mayor a través de una dilatación súbita, su
  27. 27. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 70gvKhL221velocidad disminuye abruptamente ocasionando una turbulencia que genera una pérdidade energía. Por consiguiente, la cantidad de pérdida de energía depende del cociente delos tamaños de los dos ductos.La pérdida menor se calcula empleando la siguiente ecuación:Donde: v1 es la velocidad de flujo promedio en el conducto menor que está delante de ladilatación. Las pruebas han demostrado que el valor del coeficiente de perdida K dependede la proporción de los tamaños de los dos conductos como de la magnitud de lavelocidad de flujo. La tabla 1 muestra los valores del coeficiente de resistencia.Tabla 1. COEFICIENTES DE RESISTENCIA-DILATACION SUBITAD2/D1Velocidad 10.6 m/s2 pie/s1.2 m/s4 pie/s3 m/s10 pie/s4.5 m/s15 pie/s6 m/s20 pie/s9 m/s30 pie/s12 m/s40 pie/s1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.01.2 0.11 0.10 0.09 0.09 0.09 0.09 0.081.4 0.26 0.25 0.23 0.22 0.22 0.21 0.201.5 0.40 0.38 0.35 0.34 0.33 0.32 0.321.8 0.51 0.48 0.45 0.43 0.42 0.41 0.402.0 0.60 0.56 0.52 0.51 0.50 0.48 0.472.5 0.74 0.70 0.65 0.63 0.62 0.60 0.583.0 0.83 0.78 0.73 0.70 0.69 0.67 0.654.0 0.92 0.87 0.80 0.78 0.76 0.74 0.725.0 0.96 0.91 0.84 0.82 0.80 0.77 0.7510.0 1.00 0.96 0.89 0.86 0.84 0.82 0.80- 1.00 0.96 0.91 0.86 0.86 0.83 0.81Fuente: HW. King E. F. Brater 1963 y copia de Robert Mott 1996
  28. 28. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 716.2.2 DILATACIÓN GRADUALEs la transición de un conducto menor a uno mayor menos abrupto. Esto normalmente sehace colocando una sección cónica entre los dos conductos como se muestra en la figura.Las paredes en pendiente del cono tienden a guiar el fluido durante la desaceleración yexpansión de la corriente del flujo.La pérdida de energía pare una dilatación gradual se calcula a partir de:gvKhL221Donde: V1 es la velocidad del conducto menor que está delante de la dilatación. Lamagnitud de K depende de la proporción de diámetro D2/D1 como del ángulo de cono, LaTabla 2 muestra los diferentes valores de resistencia (K).Tabla 2 COEFICIENTES DE RESISTENCIA – DILATACION GRADUALD2/D1ANGULO DEL CONO θ2º 6º 10º 15º 20º 25º 30º 35º 40º 45º 50º 60º1.1 0.01 0.01 0.03 0.05 0.10 0.13 0.16 0.18 0.19 0.20 0.21 0.211.2 0.02 0.02 0.04 0.09 0.16 0.21 0.25 0.29 0.31 0.33 035 0351.4 0.02 0.03 0.06 0.12 0.23 0.30 0.36 0.41 0.44 O.47 0.50 0.501.6 0.03 0.04 0.07 0.14 0.26 0.35 0.42 0,47 0.51 0.54 0.57 0.571.8 0.03 0.04 0.07 0.15 0.28 0.37 0.44 0.50 0.54 0.58 0.61 0.612.0 0.03 O.O4 0.07 0.15 0.29 0.38 0,46 0.52 0.56 0.60 0.63 0.632.5 0.03 0.04 0.08 0.16 0.30 0.39 0.43 0.54 0.53 0.62 0.65 0.653.0 0.03 0.04 0.08 0.16 0.31 O.40 0.48 0.55 0.59 0.63 0.66 0.66- 0.03 0.05 0.08 0.16 0.31 0.40 0.49 0.56 0.60 O.64 0.67 0.72Fuente: HW. King E. F. Brater 1963 y copia de Robert Mott 19966.2.3 CONTRACCION SÚBITALa pérdida de energía debido a una contracción súbita bastante complejo, como laesbozada en la figura adjunta se calcula a partir de:
  29. 29. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 72gvKhL222DONDE: V1 es la velocidad del conducto menor a partir de la contracción. El coeficientede resistencia K depende de los tamaños de los dos conductos y de la velocidad de flujo.La Tabla muestra diferentes valores de resistencia para contracción súbita.D1/D2Velocidad 10.6 m/s2 pie/s1.2 m/s4 pie/s1.8 m/s6 pie/s2.4 m/s8 pie/s3 m/s10 pie/s4.5 m/s15 pie/s6 m/s20 pie/s9 m/s30 pie/s12 m/s40 pie/s1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.01.1 0.03 0.04 0.04 0.04 0.04 O.O4 0.05 0.05 0.061.2 0.07 0.07 0.07 0.07 0.08 0.08 0.09 0.10 0.111.4 0.17 0.17 0.17 0.17 0.18 0.18 0.18 0.19 0.201.6 0.26 0.26 0.26 0.26 0.26 0.25 0.25 0.25 0.241.8 0.34 0.34 0.34 0.33 0.33 0.32 0.31 0.29 0.272.0 0.38 0.37 0.37 0.36 0.36 0.34 C.33 C.31 0.292.2 O.40 O.40 0.39 0.39 0.38 0.37 0.35 0.33 0.302.5 0:42 0.42 0.41 0.40 0.40 OJ3 0.37 0.34 0.313.0 O.44 0.44 0.43 0.42 0.42 0.40 0.39 0.36 0.334.0 O.47 0.46 0.45 0.45 0.44 0.42 O.41 O.37 0.345.0 0.48 0.47 0.47 0.46 0.45 0.44 0.42 0.38 0.3510.0 0.49 0.48 0.48 0.47 0.46 O.45 0.43 0.40 0.36- 0.49 0.48 0.48 0.47 0.47 0.45 0.44 0.41 0.38Fuente: HW. King E. F. Brater 1963 y copia de Robert Mott 19966.2.4 CONTRACCIÓN GRADUALLa pérdida de energía en una contracción puede disminuir sustancialmente haciendo lacontracción más gradual. La figura muestra una contracción de este tipo, formadamediante una sección cónica entre los diámetros con cambios abruptos en las junturas.
  30. 30. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Aux. José Luis Huanca P. Página 73Los cálculos se realizan empleando la misma relación de la dilatación gradual y el mismoprincipio.gvKhL222El coeficiente K depende de la proporción de diámetros D1/D2 y el ángulo del cono, lafigura. Muestra diferentes valores K a ser interpolados.Figura. COEFICIENTE DE RESISTENCIA – CONTRACCION GRADUALFuente: Robert Mott 1996
  31. 31. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 746.2.5 PERDIDAS DE SALIDADurante la salida del flujo de un fluido de un conducto hacia un gran depósito o tanque,como se muestra en la figura su velocidad disminuye hasta casi cero. En el proceso laenergía cinética que el fluido poseía en el conducto, indicada por la cabeza de velocidadv2/2g, se disipa. Por lo tanto, la pérdida de energía para esta condición es:gvKhL221Ésta se denomina la pérdida de salida. El coeficiente de resistencia es igual a uno (K =1,0) Y dicho valor se usa sin importar la forma de la salida donde el conducto se conectacon la pared del tanque.6.2.6 PERDIDAS DE ENTRADAUn caso especial de una can tracción ocurre cuando el fluido fluye desde un depósito otanque relativamente grande hacia un conducto. El fluido debe acelerar desde unavelocidad relativamente despreciable a la velocidad de flujo del conducto. La facilidad conque se realiza la aceleración determina la cantidad de pérdida de energía y por lo tanto, elvalor del coeficiente de resistencia de entrada depende de la geometría de la entrada. Lafigura siguiente muestra cuatro configuraciones diferentes y el valor sugerido de K paracada uno.
  32. 32. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 75Los valores del coeficiente K para la entrada redondeada son las siguientes:r/D2 K0.000.020.040.060.10>0.150.500.280.240.150.090.01 (Bien redondeada)Después seleccionar un valor para el coeficiente de resistencia da la figura, podemoscalcular la pérdida de energía en una entrada a partir de:gvKhL222Donde V2 es la velocidad de flujo en el conducto.6.2.7 COEFICIENTE DE RESISTENCIA PARA VALVULAS Y JUNTURASSe dispone muchos tipos diferentes de válvulas y junturas de varios fabricantes paraespecificación e instalación en sistemas de flujos y pueden ser válvulas de verificación ymuchas más. Las junturas dirigen la trayectoria de flujo y ocasionan un cambio en eltamaño de la trayectoria de flujo. Se incluyen los codos de varios diseñes, te, reductores,boquillas y orificios.La pérdida de energía incurrida con flujos de fluido a través de una válvula o juntura se
  33. 33. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 76calcula utilizando la ecuación para pérdidas menores ya analizadas. Sin embargo, elmétodo para determinar el coeficiente de resistencia K es diferente. El valer de K sereporta en la forma:TfDLeK El valor de Le/ D, llamado la proporción de longitud equivalente, se reporta en la tablaque se muestra posteriormente y se considera que es una constante para un tipo dado deválvula o juntura. El valor de Le, también se denomina la longitud equivalente y es lalongitud del conducto recto del mismo diámetro nominal como la válvula que tendría lamisma resistencia que esta. El termino D es el diámetro interno real del conducto.El termino fT es el factor de fricción en el conducto al cual está conectada la válvula ojuntura, tomando en la zona de turbulencia completa, como se observa en el diagrama deModdy donde el factor de fricción es independiente del numero de Reynolds.RESISTENCIA EN VALVULAS Y EN JUNTURAS EXPRESADA COMO LONGITUDEQUIVALENTE EN DIAMETROS DE CONDUCTOS, Le/DTIPOLONGITUD EQUIVALENTE ENDIAMETROS DE CONDUCTO Le/DVálvula de globo-completamente abierta 340Válvula de ángulo-completamente abiertaVálvula de Compuerta-completamente abiertaa) ¾ abiertab) ½ abiertac) ¼ abierta150835160900Válvula de verificación-tipo giratorio 100Válvula de verificación-tipo bola 150Válvula de mariposa-completamente abierta 45Codo estándar 90º 30Codo de radio largo de 90º 20Codo de calle de 90º 50Codo estándar de 45º 16Codo de calle de 45º 26Codo de devolución cerrada 50Te estándar-con flujo a través de un tramo 20Te estándar-con flujo a través de una rama 60Fuente: Válvulas de sifón, IL, Robert Mott 1996Los valores de fT varían con el tamaño de conducto y de la válvula, ocasionando que elvalor del coeficiente de resistencia K también varié. La tabla siguiente enumera losvalores de fT para tamaño estándar de conductos de acero comercial nuevo limpio.
  34. 34. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 77FACTOR DE FRICCION EN ZONA DE TURBULENCIA COMPLETA PARA CONDUCTO DEACERO COMERCIAL NUEVO Y LIMPIOTAMAÑO DECONDUCTONOMINAL (plg)FACTOR DEFRICCIONfTTAMAÑO DECONDUCTONOMINAL (plg)FACTOR DEFRICCIONfT½ 0.027 4 0.017¾ 0.025 5 0.0161 0.023 6 0.0151 ¼ 0.022 8-10 0.0141 ½ 0.021 12-16 0.0132 0.019 18-24 0.0122 ½, 3 0.018Fuente: Robert Mott 19966.2.8 CODOS DE TUBERIAA menudo es más conveniente curvar, un conducto o tubo que instalar un codo comercial-mente hecho. La resistencia al flujo de un codo depende de la proporción del radio r delcodo con el conducto dentro del diámetro D. La figura siguiente muestra que la resistenciamínima ocurre cuando la proporción r/D es aproximadamente tres. La resistencia se da entérminos de la proporción de Longitud equivalente Le/D, y por lo tanto, la ecuaciónK=(Le/D)*fT debe usarse para calcular el coeficiente de resistencia. La resistencia mostradaen la figura incluye tanto la resistencia del codo como la resistencia debido a la longituddel conducto en el codo.Cuando calculamos la proporción r/D, r se define como el radio a la línea del centro delconducto o tubo, denominado el radio medio. Donde r se procede a calcular bajo lassiguientes relaciones:2DoRir 2DoRor  2RiRor
  35. 35. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 78Figura. COEFICIENTE DE RESISTENCIA CODO DE RADIO LARGOFuente: Robert Mott 1996
  36. 36. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 79PROBLEMAS RESUELTOSP-6.1 Determine la pérdida de energía cuando 30.04[ ]m s de agua fluye de un conductoestándar Calibre 40 de 6pulg en un depósito grande.SOLUCION:Encontrando los valores:6 154.1[ ]D mmCoeficiente de resistencia a la salida 1.0K Velocidad de flujo en el conducto:320.04[ ]2.145[ ](0.1541[ ]) 4Q m sV m sA m  Cálculo de la pérdida de energía: 2222.145[ ]1.02 2 9.8[ ]Lm sVh Kg m s  ⟹ 0.2345[ ]Lh mP-6.2 Determine la pérdida de energía cuando petróleo de una gravedad especifica de0.87 fluye de un conducto de 4pulg a uno de 2pulg a través de una contracción súbita si lavelocidad de flujo en el conducto mayor es de4.0[ ]pies s .SOLUCION:Cociente de los diámetros 4 2D D424[ ]22[ ]D pulgD pulg Velocidad de flujo en el conducto de 2pulg:2 4Q Q ⟹ 2 2 4 4V A V A   ⟹ 2 22 2 4 44 4V D V D   2242 42(2) 4.0[ ] 16.0[ ]DV V pies s pies sD       Obteniendo K de tablas mediante interpolación para una velocidad de 16.0 [pies/s] en elconducto de 2pulg y para un cociente de diámetro de 2, tenemos K=0.34
  37. 37. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 80Cálculo de la pérdida de energía: 222216[ ]0.342 2 32.2[ ]Lpies sVh Kg pies s  ⟹ 1.35[ ]Lh piesP-6.3 Determine la pérdida de energía para una contracción gradual de un conducto deacero Calibre 80 de 5pulg a uno de 2pulg para un caudal de 500 [L/min]. El Angulo de conopara la contracción es 105º.SOLUCION:Encontrando los valores:5 122.3[ ]D mm ; 2 49.3[ ]D mmVelocidad de flujo en el conducto de 2pulg:3 32 228.33 10 [ ]4.366[ ](0.0493[ ]) 4Q m sV m sA m  Cociente de los diámetros 4 2D D52122.3[ ]2.4849.3[ ]D mmD mm Obteniendo K de tablas mediante interpolación para un cociente de diámetro de 2.48 y unángulo de cono de 105º, tenemos K=0.23Cálculo de la pérdida de energía: 22224.366[ ]0.232 2 9.81[ ]Lm sVh Kg m s  ⟹ 0.223[ ]Lh mP-6.4 Determine la pérdida de energía que ocurrirá si fluye agua de un depósito hacia unconducto con una velocidad de 3 m/s si la configuración de la entrada es un conducto deproyección hacia adentro.SOLUCION:Encontrando los valores:Coeficiente de resistencia de entrada 1.0K Cálculo de la pérdida de energía empleando lasiguiente relación:
  38. 38. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 81 2223.0[ ]1.02 2 9.81[ ]Lm sVh Kg m s  ⟹ 0.459[ ]Lh mP-6.5 Determine la longitud equivalente en metros de conducto de una válvula decompuerta completamente abierta colocada en un conducto Calibre 40 de 10pulg.SOLUCION:Encontrando los valores:10 254.5[ ]D mmLongitud equivalente válvula de compuerta 8Le D Factor de fricción conductos nuevos de acero 10Tf 0.014Calculo de K para la compuerta completamente abierta empleando la siguiente relación.T= f 8 0.014 0.112LeKD   Determinando la longitud equivalente en metros, empleando la siguiente relación:8 8 0.2545[ ]Le D m    ⟹ 2.036[ ]Le mP-6.6 Calcule la diferencia a través de una válvula de un ángulo completamente abiertacolocada en un conducto de acero Calibre 40 de 5pulg que lleva 650 [gal/min] de petróleo(sg=0.9).SOLUCION:Encontrando los valores:5 0.4206[ ]D piesLongitud equivalente válvula de ángulocompletamente abierta 150Le D Factor de fricción conductos nuevos de acero 5Tf 0.016Empleando la ecuación de la energía en los puntos 1 y 22 21 1 2 21 22 2LPET PETP V P VZ h Zg g      Despejando la diferencia de presión
  39. 39. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 822 22 11 2 2 1( )2L PETV VP P Z Z hg        (1)Cálculo de la pérdida de energía debida a la válvula de ángulo:2 2Tf2 2LV Le Vh Kg D g   (2)Velocidad de flujo en el conducto:321.448[ ]10.442[ ](0.4206[ ]) 4Q pie sV pies sA pies  Sustituyendo valores en la ecuación (2) se tiene hL 2210.422[ ]0.016 150 4.048[ ]2 32.2[ ]Lpies sh piespie s   Reemplazando hL en la ecuación (1) y considerando 2 1 0Z Z  y 2 22 1 2 0V V g  por serel mismo diámetro en ambos puntos y por constituirse en un mismo nivel.  31 2 0 0 4.048[ ] 0.9 62.4[ ]P P pies lb pie     31 2 21227.3412lb pieP Ppie pulg   ⟹21 2 1.579[ ]P P lb pulg P-6.7 De un depósito grande fluye agua a 10 ºC a una velocidad de 2 21.5 10 [ ]m s através del sistema que se muestra en la figura. Calcule la presión en B.DATOS:4" 97.97[ ]D mm ,61.5 10 [ ]m   ,6 21.30 10 [ ]v m s Longitud equivalentes codo estándar30Le D INCÓGNITAS:PB=?SOLUCION:Sabiendo que la velocidad de flujo es:
  40. 40. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 832 321.5 10 [ ]2.0[ ](0.09797[ ]) 4Q m sV m sA m   Empleando la ecuación de la energía en A y en B2 22 22 2A A B BA L BH O H OP V P VZ h Zg g      Despejando de la ecuación de energía BP y considerando 0AP 22 2( )2A BB A B L H OV VP Z Z hg       (1) Cálculo de Lh para el cual existen tres componentes:1 2 3Lh h h h   (2)Donde:2 21 1.02 2B BV Vh Kg g  Pérdida a la entrada2 2 2280.5[ ]f f 821.68 f2 0.09797[ ] 2 2B B BV V VL mhD g m g g      Pérdida por fricción2 2 23 T T Tf 3 f 30 3 90 f2 2 2B B BV V VLehD g g g                 Perdida por codos estándarSustituyendo las perdidas de energia en (2)2 2 2T1.0 821.68 f 90 f2 2 2B B BLV V Vhg g g     2T1.0 821.68 f 90 f2BLVhg     (3) Cálculo de fT para un conducto de 2 pulg de cobre considerando completaturbulenciaT12log(3.7 )fD  ⟹2 2T1 1f 0.00862log(3.7 ) 2log(3.7 65313)D            Número de Reynolds:55 20.09797[ ] 1.99[ ]1.5 101.30 10 [ ]RDV m m sNv m s   
  41. 41. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 84 Rugosidad relativa:[ ][ ] Obteniendo f del diagrama de Moddy f 0.016 y reemplazando los valores en (3) 22(2.0[ ])1.0 821.68 0.0165 90 0.0085 3.126[ ]2 9.81[ ]Lm sh mm s      Sustituyendo valores en (1) se tiene BP .232(2.0[ ])(12[ ] 0[ ]) 3.126[ ] 9.81[ ]2 9.81[ ]Bm sP m m m KN mm s       3(12 0.204 3.126)[ ] 9.81[ ]BP m KN m   ⟹ 85.05[ ]BP KPaP-6.8 Del sistema mostrado en la figura se bombeará keroseno ( 0.82sg  ) a 20ºC, deltanque A al tanque B incrementando la presión en el tanque sellado A sobre keroseno. Lalongitud total de la tubería de acero calibre 40 de 2 pulg. es de 38m, los codos sonestándar. Calcule la presión que se requiere en el tanque A para causar una velocidad deflujo de 435L/min.DATOS:2" 52.50[ ]D mm ,54.6 10 [ ]m   ,31.30 10 [ ]v Pa s  Longitud equivalentes válvulacheck 150Le D Longitud equivalentes válvulade ángulo 150Le D SOLUCION:Velocidad de flujo:32435[ min] 1[m ] 1000[ ] 1[min] 60[ ]3.35[ ](0.0525[ ]) 4Q l l sV m sA m    Empleando la ecuación de la energia en A y en B22 22 2A A B BA L BKER H OP V P VZ h Zg g      Despejando de la ecuación de energía AP y considerando 0BP 
  42. 42. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 852 2( )2B AA B A L KERV VP Z Z hg       (1) Cálculo de Lh para el cual existen tres componentes:1 2 3 4 5 6Lh h h h h h h      (2)Donde:2 21 1.02 2V Vh Kg g  Pérdida a la entrada2 22 T Tf f 1502 2Le V VhD g g     Pérdida por válvula check2 23 T Tf f 1502 2Le V VhD g g     Perdida por codos estándar2 24 T Tf f 302 2Le V VhD g g      Pérdida por codo estándar2 25 1.02 2BV Vh Kg g    Pérdida por salida22 2638[ ]f f 723.81 f2 0.0525[ ] 2 2BVL V m VhD g m g g      Perdida por fricciónSustituyendo las pérdidas de energía en (2)2 2 2 2 2 2T T T1.0 150 f 150 f 30 f 1.0 723.81 f2 2 2 2 2 2LV V V V V Vhg g g g g g          2T T T1.0 1 150 f 150 f 30 f 1 723.81 f2LVhg          2T2 330 f 723.81 f2BLVhg     (3)Se obtiene de la misma forma que el caso anterior f 0.019T  para un conducto de 2 pulgde acero nuevo. Número de Reynolds:C Rugosidad relativa:[ ][ ] Obteniendo f del diagrama de Moddy f 0.023 y reemplazando los valores en (3) 22(3.35[ ])2 330 0.019 723.81 0.023 14.253[ ]2 9.81[ ]Lm sh mm s      Sustituyendo valores en (1) y considerando  2 22 0A BV V g  se tiene AP .
  43. 43. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 86AVálvula de globocompletamenteabiertaB12 piesCodoestándar  34.5[ ] 0 14.253[ ] 0.82 9.79[ ]AP m m kN m     ⟹150.5[ ]AP KPaP-6.9 El agua del tanque mostrado en la figura se va a hacer fluir hacia un drenaje.Determine el tamaño de la tubería de acero Calibre 40 que transportará al menos 400gal/min del agua a 80° F a través del sistema mostrado. La longitud total de tubería es de75 pies.Datos:Q=400 gal/minL=75 piev = 9,15*10-6pies2/sξ = 1,5*10-4piesSOLUCION: Empleando la ecuación de la energía en A y en BDespejando la perdida de energía (hL) y considerando PA – PB/γ = 0 y VA = 0[ ]⁄ Donde los componentes de la perdida de energía son:Donde:
  44. 44. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 87Sustituyendo los componentes de la pérdida de energía en (2)Sustituyendo (3) en (1) y despejando el factor f:( )[ ] [ ] Por continuidadSustituyendo (5) en (4)Esta ecuación (6) se utilizará para iterar el diámetro D. Puesto que nopodemos despejar D en términos de f, la iteración se llevará a cabo como sigue: Calculo del número de Reynolds en función del diámetro:( ) Calculo de la rugosidad relativa en función de D: Procedimiento de Iteración1. Asúmase el valor de D2. Calcule f en la ecuación (6)3. Calcule la rugosidad relativa (D/E) empleando la ecuación (8)4. Calcule el numero de Reynolds empleando la ecuación (7)
  45. 45. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 885. Evalué f y compárelo con el valor calculado en el paso 26. Ajuste D de forma que disminuya la diferencia entre los valores de f y repita lospasos 2-5 hasta que se llegue a un acuerdo con los sucesivos de f.1. Empecemos con el valor de prueba 0,1723 pies para el diámetro interno,correspondiendo a una tubería de 2” pulg.Prueba D (Pies) f (Ec.-6) D/ξ NR f (Moddy) Cambio req. en D1 0.1723 -0.0184 1143.667 719664.655 0.0196 Aumenta2 0.2557 -0.0100 1704.667 484936.332 0.0183 Aumenta3 0.3355 -0.0161 2236.667 369592.310 0.0178 Aumenta**4 0.4206 -0.0883 2804.000 294113.696 0.0175 DisminuyeLas pruebas 3 y 4 muestran que el valor adecuado de D es mayor que 0.3355 pies (4”)pero menor que 0.4206 pies (5”), en vista que no existe una tubería comercial de 4 ½” seacepta la prueba 3 cuyo D = 4 Pulg Calibre 40.
  46. 46. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 89CAPITULO Nº7“SISTEMAS DE LINEAS EN TUBERIAS EN SERIE”Este capítulo es la culminación de los capítulos anteriores, en los cuales trato el flujo de fluidos entuberías y tubos, donde se han desarrollado los conceptos de velocidad de flujo de fluidos, laecuación de continuidad, la ecuación de Bernoulli y la ecuación general de la energía. Se handefinido los fluidos turbulentos y laminar, consecuentemente se ha utilizado el número deReynolds para determinar el tipo de fluido en un sistema dado, Se ha dado la forma de calcular laspérdidas de energía debido a la fricción. Asimismo, hemos establecido los diferentes tipos depérdidas secundarias del flujo de fluidos a través de válvulas y herrajes y para cambios develocidad o dirección del fluido.Por supuesto, los sistemas reales de flujo de fluidos con frecuencia contienen varias pérdidassecundarias así como pérdida de energía debido a la fricción conforme el fluido es entregado deun punto a otro. Puede utilizarse más de un tamaño de tubería. A tales sistemas se les llamasistema de línea de tubería en serie.7.1 CLASIFICACIONES DE SISTEMASLa mayoría de los sistemas de flujo de tubería involucran grandes pérdidas menores. Si el sistemaes arreglado de tal forma que el fluido fluye a través de una línea continua sin ramificaciones, éstese conoce con el nombre de sistema en serie. Por otro lado, si el flujo se ramifica en dos o máslíneas, se lo conoce con el nombre de sistema en paralelo.Este capítulo trata solamente los sistemas en serie como el que se ilustra en la figura que semuestra a continuación. Si la ecuación de le energía se escribe para este sistema, utilizando lasuperficie de cada depósito como punto de referencia, se asemejaría a lo siguiente:
  47. 47. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 90gvZPhhgvZPLA2222222111Los primeros tres términos del lado izquierda de esta ecuación representan la energía queposee en el punto 1 en la forma de cabeza de presión, cabeza de elevación y cabezavelocidad. De manera similar, los términos del Iado derecho de la ecuación representan laenergía que posee el fluido en el punto 2. Los dos términos hA, y hL indican la energíaagregada al fluido y la energía perdida del sistema en cualquier lugar entre los puntos dereferencia 1 y 2. En este problema, hA es la energía agregada por la bomba. La energía sepierde debido a diferentes condiciones. Podemos decir que:ctteQ 654321 hhhhhhhL Donde:hL =Pérdida de energía total.h1 =Pérdida en la entrada.h2 =Pérdida por fricción en la línea de succión.h3 =Pérdida de energía en la válvula.h4 = Pérdida de energía en los dos codos a 90°.h5 =Pérdida de energía por fricción en la línea de descarga.H6 =Pérdida en la salida.Q = Caudal.En una línea de tubería en serie la perdida de energía total es la suma de las pérdidasindividuales grandes y pequeñas.
  48. 48. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 91En el diseño o análisis de un sistema de flujo de tubería existen seis parámetros básicosinvolucrados, llamados:1. Las pérdidas de energía del sistema o la adición de energía al sistema.2. La velocidad de flujo de volumen del fluido o la velocidad del fluido.3. El tamaño de la tubería.4. La longitud de la tubería.5. La rugosidad de la pared de la tubería, ε.6. Las propiedades del fluido como peso específico, densidad y viscosidad.Normalmente, se determinará uno de los parámetros mientras que los demás se conocen opueden especificarse por el diseñador. El método de llevar a cabo, el diseño o completar elanálisis es diferente dependiendo de lo que no se sabe. Los métodos que describimos eneste texto se clasifican de la siguiente manera: Se determinarán las pérdidas o adiciones de energía. Se determinará la velocidad del flujo de volumen. Se determinará el diámetro de la tubería.PROBLEMAS RESUELTOSP-7.1 Según la figura mostrada calcular el caudal en litros/seg y la potencia de la bombaen HP tomando en cuenta que la presión en el punto 2 es 175 KPa.DATOS:tramo Diámetro(Pulg.)Longitud(m)1-2 3 1002-3 2 60e=4.6*10-5mViscosidad cinemática υ= 1.0007*10-6[m2/s]INCÓGNITAS:a) Q=?b) Pott.=?BFigura)1()2()3(95.0. compvalk 80.0tbtkk 00.1tktbk64.0º90 codok Acompval %100..m5m15
  49. 49. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 923.1 .0.0 ZdesprecHHZdesprec bombaperd 3233121122ZgVPHHZgVPbombaperd )1...(..........)31()31(   ZHH Lbomba3233)32(222222ZgVPHZgVPL  3)32(2222ZHgVPL  322222222*2ZgVKDLfgVP 32..º902222222**22ZgVKKKDLfgVPtktbcompvalcodo  1581.9*2*00.195.064.0*20508.06081.9*29810175000 2222VfV)2.....(..........00.195.064.0*20508.060181.9*2*981017500015232fV 23232*ReDV )3.....(..........10*0007.10508.0*Re 632V000906.00508.0000046.032mDe)4.....(..........Re51.271.3log21calcal fDefSOLUCION:Balance de energía entre los puntos 2 y 3:Despejamos la velocidad en función del factor de fricción:Numero de ReynoldsRugosidad Relativaa) La velocidad de las partículas en 1 y 3 es tan pequeña que puededespreciarse, la presión P1/γ=0 y P3/γ=0 (da a la atmosfera).Balance de energía entre los puntos 1 y 3:
  50. 50. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 93slQ 83.2 smDVQ3322323210*8272.240508.0**3849.14** )1...(..........)31()31(   ZHH Lbomba)31()32()21(   ZHHH LLbomba)5...(..........222)31(232.323232221212121   ZgVKKKDLfgVKDLfH tktbvalcodotbtkbomba14.4686910*0007.10762.0*0762.00508.0*3849.1***Re 62212213232212121  DDDVDV000604.00762.0000046.01mDe0226.021 f1081.9*23849.1195.064.0*20508.0600226.081.9*26155.08.00762.01000226.0 bombaHmHbomba 08.13WattmsmmNHQP bombabomba 79.36208.13*10*83.2*9810**333 HPPbomba 49.0Ya despejada las ecuaciones se procederá a la iteración:Como el f(supuesto)= f(calculado) → V2-3 =1.3849 m/sAhora se procederá a calcular el Caudal:Calculo Potencia de la Bomba de Ec. (1):Calculo f1-2:Con la ecuación de colebrook:Remplazando en Ec. (5)f(supuesto) V2 ec. (2) Re ec. (3) f(calculado) ec.(4)0.0200 1.4678 74514.35 00.02260.0226 1.3877 70447.63 0.02270.0227 1.3849 70304.23 0.0227
  51. 51. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 94P-7.2 Se encuentra fluyendo agua a 40°C de A hacia B a través del sistema mostrado en lafigura. Determine la velocidad de flujo de volumen del agua si la distancia vertical entre lassuperficies de los depósitos es de 10 m. Ambas tuberías son de hierro cubiertas de asfalto.Los codos son estándar.Encontrando los valores:ν=6,56*10-7m2/sξ=1,2*10-4mLongitud equivalente vál. Mariposa completamente abierta Le/D=340Longitud equivalente de codo estándar de 90° Le/D=30Asumiendo D6/D3=1.82 y la velocidad de flujo en el conducto de 3” de 3,5 m/sencontramos K=0,45SOLUCION:Empleando la ecuación de energía en A y en B:Despejando la pérdida de energía:[ ]Sustituyendo los valores y considerando PA-PB/γAGUA=0 y VA2- VB2/2g=0hL = 10m……………………………………………………………………………………….... (Ec.- 1)Velocidad de flujo en ambos conductos:Q6 = Q3 => A6*V6 = A3*V3AB10mTubería de 5”DI=165.2 mmLongitud total=30mTubería de 3”DI=90.9 mmLongitud total=55mFlujoAlargamiento RepentinoVálvula de mariposacompletamenteabierta
  52. 52. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 95V62= (0.3028*V3)2 => V62= 0.0917V32…………………………………………... (Ec.- 2)Perdida de energía en el sistema para el cual existen 8 componentes:hL = h1 + h2 + h3 + h4 + h5 + h6 + h7 + h8………………………………………….... (Ec.- 3)Donde:( ) ( )(Perdida por fricción, 6”)(Perdida por salida)Calculo de f3T y f6T, considerando completa turbulencia[( ⁄ )] [ ]
  53. 53. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 96[( ⁄ )] [ ]Sustituyendo los componentes de la perdida de energía en (3) bajo una factorización dela velocidad de ambos conductos.………………….….. (Ec.- 4)Sustituyendo (1) y (2) en (4)⁄√⁄………………………………………………………………. (Ec.- 5)Numero de Reynolds en el conducto de 3”:⁄…………………………….… (Ec.- 6)Rugosidad relativa conducto de 3”:Comienza el proceso de iteración como prueba inicial f3 = 0.023.Numero de Reynolds en el conducto de 6”:⁄……………………………….………….. (Ec.- 7)Rugosidad relativa conducto de 6”:
  54. 54. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 97Comienza el proceso de iteración como prueba inicial f6 = 0.0205.Sustituyendo f3 y f6 en (5)√⁄Calculo de NR para el flujo en ambos conductos, bajo el reemplazó de las velocidades en(6) y (7).Obteniendo los nuevos factores f3=0.0217, f6=0.0197 y sustituyendo en (5)√⁄Calculo del nuevo NR bajo el reemplazando de la velocidad de flujo de ambos conductosen (6) y (7)Obteniendo de nuevo factores f3=0.02166, f6=0.01967 y sustituyendo en (5)√⁄Calculo del nuevo NR bajo el reemplazando de la velocidad de flujo de ambos conductosen (6) y (7)
  55. 55. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 98Obteniendo de nuevo factores f3=0.02166, f6=0.01967, donde y estas se encuentraninalteradas que la anterior prueba por lo tanto se acepta la velocidad de flujo de 3.463m/s.Calculo de la velocidad de flujo de Volumen en el sistema:Nota: No existe diferencia significativa en el coeficiente de resistencia (K) asumido parael alargamiento repentino, por lo tanto no es necesario realizar una corrección en lavelocidad.
  56. 56. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 99CAPITULO 8“SISTEMAS DE LINEAS DE TUBERIAS EN PARALELO”El sistema de línea de tubería se presenta cuando el fluido recorre en una línea continuasin ramificaciones a esto se le llama sistema en serie. Por el contrario si el sistema provocaque el fluido se ramifique en dos o más líneas, se llama sistema en paralelo.8.1 PRINCIPIOS QUE RIGEN LOS SISTEMAS EN PARALELOEl análisis de los sistemas de línea de tubería paralelos requiere el uso de la ecuacióngeneral de la energía junto con las ecuaciones que relacionan las velocidades de flujo devolumen en las diferentes ramas del sistema y las expresiones para las pérdidas de carga alo largo del sistema. Las ecuaciones siguientes establecen los principios que relacionan lasvelocidades de flujo de volumen y las pérdidas de cabeza, Refiriéndose a la siguientefigura se tienen las siguientes relaciones:)1(..........21 cba QQQQQ )2.(..........21 cbaLhhhh La ecuación 1 establece la condición de continuidad. El flujo total que entra al sistema Q1se divide en los tres flujos ramales, Qa, Qb y Qc. Después estos salen por una tubería desalida donde la velocidad de flujo es Q2. Por el principio de continuidad, el flujo de salidaen la sección 2 es igual al flujo de entrada en la sección 1.En la ecuación 2 el término hL1-2 es la perdida de energía por unidad de flujo entre lospuntos 1 y 2 de las líneas principales. Los términos ha, hb y hc son las pérdidas de energía
  57. 57. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 100por unidad de flujo en cada rama del sistema. Se puede demostrar escribiendo la ecuaciónde energía utilizando los puntos 1 y 2 como puntos de referencia:)3...(..........2222222111gvZPhgvZPL PROBLEMAS RESUELTOSP-8.1 Un sistema de conducción de agua está constituido por tres tuberías que partiendodel punto A convergen en el punto B. Las características de las tuberías son:Tubería Longitud [m] Diámetro [in] e/D1 1600 6 0.00032 1000 5 0.00043 800 4 0.0005El caudal del agua a través del sistema es de 100 m3/h. La presión en A y B es la atmosféricay el nivel de A está situado 3 m por debajo del nivel de B. Determínese el caudal a través decada tubería y la potencia teórica de la bomba a instalar.DATOS:Q=100m3/sZA=3mINCOGNITAS:Q1, Q2, Q3=?Pott=?1) Caudal supuesto a través de la tubería de 6”2)m3
  58. 58. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 1013) Para la tubería de 5”√√√
  59. 59. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 102CVPbomba 74.27)
  60. 60. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 103P-8.2 Por una tubería de 25 cm de diámetro interno se transporta petróleo a lo largo deuna longitud total de 30 Km con un caudal de 1000 m3/día. Con objeto de aumentar elcaudal conservando las mismas presiones de entrada y de salida se conecta a la tuberíaprimitiva, 5 Km antes del lugar de descarga, otra tubería del mismo diámetro y paralela ala primitiva. Si en las condiciones de transporte la densidad del petróleo es 920 Kg/m3 y suviscosidad 5 poises. Determínese el aumento de caudal.DATOS:D=25cmL1=30KmQ=1000m3/dL2=5kmρ=920Kg/m3INCÓGNITAS:Aumento de Caudal=?SOLUCION:1LLongitudDDiametroQFlujo1Pr Pesion 2Pr Pesion2LLongitudDDiametro
  61. 61. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 104[ ]P-8.3 Se encuentra fluyendo 100 gal/min de agua a 60 ºF en una tubería de acero Calibre40 de 2 pulg. en la sección 1. El intercambiador de calor en la rama tiene un coeficientede pérdida de k=7.5 basado en la cabeza de velocidad de la tubería. Las tres válvulas estánabiertas completamente. La rama b es una línea de bypass compuesta de tubería de aceroCalibre 40 de 1 ¼ pulg. Los codos son estándar. La longitud de la tubería entre los puntos 1y 2 en la rama b es de 20 pies. Debido al tamaño del intercambiador de calor, la longitudde la tubería en la rama es muy corta, por lo que se pueden despreciar las pérdidas defricción. De este arreglo, determine:
  62. 62. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 105a) La velocidad de flujo de volumen de agua en cada rama.b) La caída de presión entre los puntos 1 y 2.SOLUCION:Se desconocen las dos velocidades va y vb, puesto que Q=Av:De los datos proporcionados, Aa=0,02333 pies2, Ab=0,01039 pies2, Q1=100 gal/min.Expresado Q1 en las unidades de pies3/s obtenemos:⁄⁄⁄⁄ ⁄ ⁄áSe conoce los siguientes datos:faT =0,019 para una tubería Calibre 40 de 2 pulg.Le/D = 30 para cada uno de los codos.Le/D = 340 para una válvula de globo abierta completamente.Entonces:⁄ ⁄ ⁄Para la rama b:⁄ ( ⁄ ) ⁄ ( ⁄ ) ⁄ ( ⁄ )áLos datos conocidos son:FbT =0,022 para una tubería Calibre 40 de 1 ¼ pulg.Le/D = 30 para cada uno de los codos.Le/D = 340 para una válvula de globo abierta completamente.Entonces:( ⁄ ) ( ⁄ ) ⁄ ( ⁄ )( ⁄ )Esta ecuación presenta la incógnita adicional, fb. Podemos utilizar el proceso de iteración.La rugosidad relativa de la rama b ayudará en la estimación del primer valor de la pruebapara fb.⁄ ⁄
  63. 63. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 106Del diagrama de Moody una estimación lógica para el factor de fricción fb=0,023.Sustituyendo este en la ecuación para hb obtenemos:( ⁄ ) ( ⁄ )Ahora tenemos:⁄ ( ⁄ )Despejando va obtenemos:Entonces:Después tenemos que:⁄[ ]⁄⁄⁄Puesto que realizamos estos cálculos utilizando un valor supuesto para fb, deberíamosverificar la exactitud del supuesto.Podemos evaluar el número de Reynolds para la rama b.⁄De tablas =1.21*10-5pies2/s. Entonces:⁄Utilizando este valor y la rugosidad relativa de 767 de ante, en el diagrama de Moodyobtenemos un nuevo valor para fb=0,25. Debido a que este valor es muy diferente delvalor supuesto de 0,023, podemos repetir los cálculos:( ⁄ ) ( ⁄ )⁄Igualando las pérdidas de cabeza en las dos ramas:⁄ ⁄Despejando las velocidades:
  64. 64. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 107Sustituyendo este valor en la ecuación de vb utilizada anteriormente obtenemos:⁄[ ]⁄⁄⁄Al volver a calcular el número de Reynolds para la rama b obtenemos:⁄⁄No existe un cambio significativo en el valor de fb. Por lo tanto, los valores de las dosvelocidades calculadas anteriormente son correctos.Ahora calculamos las velocidades de flujo de cabeza Qa y Qb:⁄ ⁄⁄ ⁄Convirtiendo estos valores a las unidades de gal/min obtenemos Qa=74,5 gal/min yQb=25,5 gal/minPara calcular la caída de presión, podemos escribir la ecuación de la energía utilizando lospuntos 1 y 2 como puntos de referencia. Puesto que las velocidades y elevaciones son lasmismas en estos puntos, la ecuación de la energía es: Despejando la caída de presión obtenemos:Puesto que hL1-2=ha=hb:Entonces:⁄ ⁄Observe que esto no toma en cuenta las pérdidas secundarias. Entonces tenemos que: ⁄⁄
  65. 65. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 108CAPITULO 9“CONDUCCIONES RAMIFICADAS”9.1 Conducciones ramificadas.- Cuando dos o más tuberías convergen en uno o máspuntos y el fluido circula por el conducto principal y las ramificaciones, el sistema deconducción se denomina ramificado. Los problemas que pueden presentarse en este casoson muy variados, y para su resolución puede seguirse el método indicado en el siguienteejemplo.PROBLEMAS RESUELTOSP-9.1. Una instalación- petrolífera descarga el petróleo en dos depósitos A y B situados a25m y 10m de altura sobre un tercer depósito almacén C. De los depósitos A y B partensendas tuberías de 30 cm de diámetro que confluyen en un punto D, conectándose allí conuna tubería de diámetro 50 cm que va hasta el depósito C. La longitud de las tuberías queparten de los depósitos A y B es de 800 m, y la que va desde la confluencia de las tuberíasanteriores hasta C mide 200 m. Si en las condiciones del transporte la viscosidad delpetróleo es 7.10-4Kg/m*seg, y la densidad 870 Kg/m3, determínese el caudal horario depetróleo descargado en C.SOLUCION:Considerando como nivel de referencia para las alturas el del depósito más bajo, yprescindiendo de las cargas cinéticas, la aplicación de la ecuación de energía a cadaramificación entre cada depósito y el punto de confluencia de las tuberías, nos lleva a1fADADhZZPP2fBDBDhZZPP3fDCDhZPPTeniendo en cuenta que PA= PB = PC= presión atmosférica, las cargas de presión sonABm25m10CFiguraD
  66. 66. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 109análogas en las ecuaciones anteriores; Designando por Dh a l suma de la carga de presióny la carga de altura en D, tendremos:El problema podemos resolverlo por tanteo, dando un valor arbitrario a Dh ,determinando los valores de las cargas de fricción para este valor de Dh , y calculandodespués los valores de 1Q , 2Q y 3Q , según el método indicado en el ejemplo 1-8.Si tomamos para Dh un valor menor que Dz ha de cumplirse que:321 QQQ  [A]En caso de no cumplirse esta igualdad, si resultamenormayornos indica que el valortomado para Dh esaltobajo, siendo necesario variar el valor de Dh hasta que se cumpla laigualdad [A].Si tomamos para Dh un valor mayor que Bz , ha de cumplirse que:321 QQQ  [B]En caso de no cumplirse esta igualdad, si resultamenormayornos indica que el valortomado para Dh esaltobajo, siendo necesario variar el valor de Dh hasta que se cumpla laigualdad [B].1ertanteo: valor supuesto para Dh =5m Ramificación AD511410*53.1342608003.0*81.9*210*7870*3.0Re   ffhhf00016.0D5.81fsegmhfu f /30.3*0867.0111 hmQ /820 31  Ramificación BD410*66.7Re f00016.0D321fDfDBfDAhhhhzhhz
  67. 67. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 1102.81fsegmu /57.12 hmQ /410 32  Ramificación DC5353410*83.210*267.12005.0*81.9*210*7870*5.0Re   ffhhf00009.0D0.91fsegmhfu f /46.4*221.0133 hmQ /3150 33 Como este valor de 3Q es mayor que 123021 QQ , hemos tomado para Dh un valormuy alto.2dotanteo: valor supuesto para Dh =2m Ramificación AD510*64.1Re f5.81fsegmu /46.31 hmQ /920 31  Ramificación BD510*06.1Re f2.81fsegmu /96.12 hmQ /520 32  Ramificación DC510*80.1Re f7.81fsegmu /73.23 hmQ /1930 33 
  68. 68. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 111Par el valor tomado de Dh =2m, aun resulta 3Q mayor que la suma 144021 QQ ;sin embargo, ya nos encontramos ante valores próximos, y podemos observar que, aunsiendo muy diferentes los valores encontrados para 3Q en los tanteos anteriores, el valorde f/1 varia poco, siendo también pequeña la variación relativa de 21 QQ  frente a lade 3Q . Esto nos lleva a poder invertir el razonamiento y suponer para 3Q un valor próximoal de 21 QQ  encontrado en el segundo tanteo, y calcular el valor de Dh que lecorresponde a este caudal, efectuando el tercer tanteo con el valor calculado de Dh .TomamoshmQ /1500 33 segmu /20.23 mhf 25.13 3ertanteo: valor supuesto Dh =1.25m Ramificación AD510*67.1Re f5.81fsegmu /51.31 hmQ /936 31  Ramificación BD510*01.1Re f4.81fsegmu /11.22 hmQ /570 32  Ramificación DC510*42.1Re f65.81fsegmu /14.23 hmQ /1513 33 El valor de hmQQ /1506 321  ; por tanto, para este valor de Dh =1.25m se cumple laconcordancia deseada, y podemos tomar para el caudal total el valor de hm /1506 3.
  69. 69. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 112P-9.2 Para el sistema de tres ramas que se muestra en la figura, determine la distribuciónde flujo de Qi de agua y la carga piezometrica H en la unión. El aporte de potencia al fluidopor parte de la bomba es constante, e igual a γQHp=20kW. Suponga factores de fricciónconstantes.Tubo L [m] D [m] f ∑K1 50 0.15 0.020 22 100 0.10 0.015 23 300 0.10 0.025 1SOLUCION:Los equivalentes de los coeficientes de resistencia se calculan de la siguiente forma:Considerando:Se tiene:Suponiendo las direcciones de flujo que se indican. La ecuación de energía para el tubo 1desde el depósito hasta la unión B es:Donde H es la carga piezometrica en B. Sustituyendo los parámetros conocidos ydespejando H se obtiene:Figuramalt 20malt 5malt 13 2 3 1PB  mxLe 15202.015.01   mxLe 7.61015.010.02   mxLe 41025.010.03  523521 /1042.115.081.96502.08msxxxxxR   524522 /1032.110.081.97.106015.08msxxxxxR   524523 /1028.610.081.9304025.08msxxxxxR 522222842DxxgLxfxDxvgvDLxfQhR Li2111 QRHHZ P 213131042.19800102010 QxQxH 21114204.210 QQH 
  70. 70. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 113Para la iteración se estima un valor de Q1; luego se calcula H y se evalúa Q2 y Q3 con lasrelaciones:En la última columna de la tabla se utiliza un balance de continuidad para verificar laexactitud de la estimación de Q1. La tercera estimación de Q1 se basa en una interpolaciónlineal haciendo ∑Q=0 y utilizando valores de Q1 y ΔQ de la dos primeras iteraciones.Iteración Q1 H Q2 Q3 ΔQ= Q1--Q2-Q31 0.050 47.25 0.0362 0.0227 -0.00892 0.055 42.80 0.0311 0.0210 +0.00293 0.054 43.64 0.0322 0.0214 +0.0004La solución aproximada es H=43.6m, Q1=54 l/s, Q2=32 l/s, Q3=21 l/s.2/142/12221032.130  xHRZHQ2/142/13331028.615  xHRZHQ
  71. 71. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 114CAPITULO 10“FLUJO DE FLUIDOS COMPRESIBLES”En los ejemplos indicados anteriormente hemos hecho aplicación de la Ec. de energíaconsiderando los fluidos incompresibles; en el caso de flujo de gases no podemos hacer esasuposición, para la deducción de una ecuación aplicable para estos casos podemos partir de la Ec.de energia, que escrita en forma diferencial (suponiendo que el flujo es horizontal y que no realizatrabajo ni se le suministra calor), se convierte en:022gDdLufdpguduEsta ecuación no puede integrarse directamente debido a que la velocidad u varia al variar p, quea su vez es función de la longitud L.Es conveniente poner la ecuación anterior en función de la velocidad másica G, que es la misma encualquier punto de la canalización. Tendremos en cuenta las relaciones que indicamosseguidamente para su sustitución en la ecuación anterior: 102,,22DdLgVGfVdpgggGdVGVGdvduAWGuuVuGcDividiendo por V2 20222DdLgGfVdpggVdVgG cPara integrar esta expresión es necesario tener en cuenta que f es función del Re = DG/μ, que esindependiente de la densidad del fluido, pero que depende de la viscosidad del mismo. De todosmodos, la variación de f con la viscosidad es pequeña, y prácticamente podemos tomar la mediaaritmética de los valores correspondientes a las condiciones extremas:221 fffY considerar este valor constante para efectos de integración. En tales condiciones la integraciónde la Ec. [1-27] entre los estados 1 y 2 nos lleva a: 302ln221122  DLgGfVdpggVVgG cFlujo isotermo de un gas ideal.- En este caso particular 421112122211121VpppdppVpVdp  Y2112ppVV
  72. 72. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 115Luego 5022ln2112122212DLgGfVpppggppgG cSi designamos por Vm el volumen especifico a la presión media, podemos escribir:11212VpVppm Y      612212111212112122ppVVpppppVpppmEntonces 702ln212212DLgGfVppggppgGmcSi la caída de presión a lo largo de la canalización es pequeña en relación con la presióntotal, el primer termino de la Ec. [1-32], que representa el aumento de la energía cinéticadel fluido, será pequeño y despreciable frente a los otros dos, y en tales condiciones 802212DLgGfVPPcmY de aquí:DLgGfVPPcm2*212 92121*222DLugfDLVugfV mmmmcm Siendo um y γm la viscosidad y el peso especifico del fluido a la presión media de p1 y p2.Donde:P1= Presión de entrada a la tuberíaP2= Presión de salida de la tuberíaVm= [1/γm] Volumen especifico promedio a Pm (P1+P2/2)γm= Peso especifico promedio a Pm (P1+P2/2)f= factor de fricciónL= Longitud de la tuberíaD= Diámetro interno de la tuberíaG=GastoR= Constante universal de los gasesM= Peso molecular del gasρ= Densidadv= Velocidad
  73. 73. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 116PROBLEMAS RESUELTOSP-10.1 Desde una instalación productora de acetileno hasta el lugar de ampliación situadoa 5000 [ ] se transporta este a razón de100 [ ] (Medidos en condiciones normales) poruna tubería de hierro de 5´´. Determine ser la presión a que se encuentra el acetilenocuando entra en la tubería si en el lugar de aplicación (a la salida de la tubería) ha deencontrarse a 1 [ ] de presión.El flujo del acetileno a través de la tubería es isotermo a 25(La densidad del acetileno a 0 y 1 [ ] es 1.1708 [ ], y su viscosidad a 25 Espoises. Las características de la tubería se dan en la tabla a-19.)SOLUCIÓN:[ ]Haciendo uso de la Ec.[ ] [ ]A continuación se determina el valor de correspondiente a la presión media,efectuándose el cálculo por tanteo:1er. Tanteo: presión supuesta, [ ][ ][ ]mgGDLfPP*2*221 
  74. 74. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 1172do. Tanteo: presión supuesta, [ ][ ][ ]3er. Tanteo: presión supuesta, [ ][ ][ ]Como resultado encontramos que la presión a que ha de entrar en la tubería ha de ser11,80[ ].P-10.2 Por tubería de hierro de 3 ´´ circula una corriente de hidrógeno con un caudal de500 , medido a 0 y 1 [ ]. La longitud total de la tubería, incluidos los accesorios,es de 400 [ ] Y la presión de entrada del hidrógeno en la tubería es de 30 [ ].Determine ser la presión de salida si el flujo es isotérmico a 20 .El factor de compresibilidad para el hidrógeno a 20 . En función de la presión es elindicado en la tabla siguiente.Presión Atm z1 1.073210 1.079120 1.085530 1.092040 1.0985La viscosidad puede suponerse invariable con la presión, y a 20 . Vale 0.009 cent poises.La densidad a 0 y 1 Atm. es 0.0898 [ ].SOLUCIÓN:A partir de la Ec. [7] despreciando el primer término y haciendo , tenemos:En las condiciones del problema:[ ] [ ]
  75. 75. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 118Sustituyendo en Ec. [1-35][ ] [ ]Por tanto, la presión vendrá dada por:La resolución de esta ecuación la efectuaremos por tanteo:1er. Tanteo: presión supuesta, [ ][ ]1er. Tanteo: presión supuesta, [ ][ ]La presión debida es de 24 [ ] O sea que la pérdida de presión por fricción a lo largo dela tubería es de 6 [ ]En realidad, podíamos haber resuelto el problema admitiendo que el hidrógeno secomporta como gas perfecto en este intervalo de presiones, ya que aproximadamente esasí, podemos observar en la pequeña diferencia del factor de compresibilidad respecto ala unidad para el intervalo de presiones que hemos considerado.P-10.3 De llevarse aire a 25 Por una tubería de 3´´ a lo largo de una conducción de 2000[ ] De longitud total.El aire entra en la tubería a 2 [ ] De sobrepresión, y se desea conocer la presión desalida si en el lugar de aplicación se necesitan 1000 [ ] (Las características del tubo y delfluido se dan en tablas)SOLUCIÓN:Teniendo en cuenta que el fluido es isotérmico y suponiendo que el gas se comporta comoideal, haremos uso de la Ec. [7], calculando, en primer lugar, el último término de estaecuación, que es correspondiente a la fricción.
  76. 76. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 119En las condiciones del problema:[ ] [ ]El término correspondiente a la fricción valdrá:[ ]La primera aproximación podemos escribir el término cinético( )quedando entonces:[ ]Que podemos poner de la forma:̅Siendo ̅̅ La presión media entre resolviendo la ecuación anterior por tanteotenemos:P supuesta [Atm] P calculada [Atm]2 2.852.85 2.442.50 2.58256 2.56Con esta presión calculada determinaremos ahora el valor del término cinético.( )Observamos que éste término resulta casi despreciable frente al correspondiente al de lafricción, siendo innecesario efectuar corrección alguna para el valor de este término queno hemos tenido en cuenta en primera aproximación.Si este término resultara significativo, sería necesario incluirlo al efectuar el cálculo portanteo. En general, suele ser despreciable, y su supresión facilita los cálculos.
  77. 77. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 120CAPITULO 11“MEDIDORES DE CAUDAL”P-11.1 Un tubo de pitot se introduce en el centro de una tubería de acero calibre 80 ydiámetro de 2 plg que conduce N2 registrándose una lectura de 50 mm de agua en unmanómetro inclinado (1/15) en conexión con el pitot la temperatura del nitrógeno es 15ºCy la presión es 850 mmhg. Determine el caudal referido a condiciones normales de presióny temperatura.DATOS: SOLUCION:D (3”)= 77.9mmh= 50mmH2OPendiente= (1/15)T= 15ºCP= 850mmHgIncógnitas:Q=?Calculo de la densidad:3/32.1/32.1288***4.62/28*850mkglgKmolKlmmHgmolgmmHgRTPMCalculo de la diferencia de presión entre A y B:2332 /62.32/)1000*81.9(*10*326.3* mNmNmhP OH  Balance de energía entre A y B: BBBAAAZgvPZgvP222202002gvPP BBADespejando la velocidad: 2*2*PgPvB smvB /03.72*32.1623.32Calculo del caudal: 22)0779.0(4*/03.74** msmDvAvQ BBB smQ /0335.0 3Calculo del ángulo:º814.3151151 1 tgtg msenmsenLh 310*326.3º814.3*05.0*  hL
  78. 78. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 121P-11.2 En una tubería de acero de diámetro interno 22 cm, que conduce agua a 10 ºC, sehace una exploración en 10 puntos con un tubo de Pitot. El manómetro indicadorempleado tiene en una de sus ramas tetra cloruro de carbono (ρ=1,60). Para explorar demodo adecuado la sección normal del conducto se divide aquella en cuatro anillosconcéntricos y un círculo central, todos de la misma área. Se hacen las lecturas a lo largode un diámetro, en la intersección con la circunferencia bisectriz de cada anillo (y en la delcírculo central), obteniéndose los resultados siguientes:Distanciaal centrodel tubo,% delradioLectura delmanómetro, mm------------ --------------31,6 ………………………………. 22854,8 ………………………………. 20470,7 ………………………………. 16883,7 ………………………………. 13294,8 ………………………………. 84Determínese:a) El caudal de agua, en m3/h;b) La lectura manométrica que obtendríamos situando el tubo de Pitot en el centrode la tubería.SOLUCIÓN:a) La carga cinética vendrá dada por la expresión mhhhOHOHCClK4310*6**10*224 En los cinco puntos explorados las cargas cinéticas valen: mhK 1368,0228*10*6 41   mhK 1224,0204*10*6 42   mhK 1008,0168*10*6 43   mhK 0792,0132*10*6 44   mhK 0504,084*10*6 45  Las velocidades en cada uno de los puntos serán:KghPgu 2)(2 segmu 639,11  segmu 550,12 
  79. 79. UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245Guía Página 122 segmu 406,13  segmu 247,14  segmu 994,05 La velocidad media correspondiente a estos cinco valores es segmu 367,1El caudal será   hmsegmQ 332187052,011,0**367,1   hmQ 3187b) 5310*31,210*3,11000*22,0*367,1 eR81,0máxuu segmumáx 688,1145,022guhK mmh 2426,010*145,0 3Tiempo de descarga.- Cuando un depósito en el que esta contenido un líquido se estádescargando, desciende el nivel del líquido en el mismo; la velocidad de salida disminuiráa medida que va descendiendo el nivel del líquido, y por tanto el tiempo de descarga deun volumen determinado de líquido dependerá de aquel nivel. En el ejemplo siguientehacemos un estudio de este problema.P-11.2 Un deposito cilíndrico de 1 m de diámetro y 4m de altura está lleno de agua a 200C.Perpendicularmente al fondo del depósito esta conectando un tubo de 1.5´´ y 5 m delongitud a través del cual de vacía. Calcúlese el tiempo que tarda en descender 1 m el nivelde agua en el depósito.SOLUCIÓN:Considerando un punto del depósito a una altura z, al descender al nivel dz en el tiempodt, el caudal vendrá dado por:dtdzAQ dep [A]En este instante, a través del tubo de sección A2, circulara el mismo caudalQ = A2 u2 [B]
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