Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Die SlideShare-Präsentation wird heruntergeladen. ×
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Nächste SlideShare
Matrius
Matrius
Wird geladen in …3
×

Hier ansehen

1 von 47 Anzeige
Anzeige

Weitere Verwandte Inhalte

Diashows für Sie (20)

Anzeige

Weitere von David Caparrós (20)

Anzeige

Aktuellste (20)

Determinants

  1. 1. DETERMINANTS Matemàtiques 2n Batx CCSS davidc
  2. 2. Donada una matriu quadrada de primer ordre (1x1): S’anomena determinant d’ A al mateix nombre real que forma la matriu 2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT Determinants d’ordre 1 11aA = )( 11aA = )6(−=A 66 −=−=A )9(=B 99 ==B )0(=C 00 ==C
  3. 3. Donada una matriu quadrada de segon ordre (2x2): S’anomena determinant d’ A al nombre real que resulta de multiplicar els elements de la diagonal principal i restar-li el producte dels elements de la diagonal secundària . 3 2 2 1 = 3·1 - 2·2 = 3 – 4 = -1 2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT Determinants d’ordre 2       = 12 23 A
  4. 4. 2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT Determinants d’ordre 2 1 -2 5 -1 = 1·(-1) - 5·(-2) = -1 +10=9       − − = 15 21 B       − − = 53 01 C -1 0 3 -5 = -1·(-5) - 0·3 = 5 - 0=5       −− −− = 73 24 D -4 -2 -3 -7 = -4·(-7) – (-2)·(-3) = 28 – 6= 22
  5. 5. Donada una matriu quadrada de segon ordre (3x3): S’anomena determinant d’ A al nombre real que resulta d’aplicar la regla de Sarrus: 2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT Determinants d’ordre 3
  6. 6. 2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT Determinants d’ordre 3 La regla de Sarrus permet recordar gràficament els productes que apareixen en la expresisón del determinante d’ ordren 3 i els seus signes. Els elements de la diagonal principal i les seves paralel.les, amb el seu signe i els de la diagonal secundària i les seves paralel.les canviades de signe.
  7. 7. 2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT Determinants d’ordre 3 La regla de Sarrus permet recordar gràficament els productes que apareixen en la expresisón del determinante d’ ordren 3 i els seus signes. Els elements de la diagonal principal i les seves paralel.les, amb el seu signe i els de la diagonal secundària i les seves paralel.les canviades de signe.
  8. 8. 2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT Determinants d’ordre 3 Exemple 1: 121 410 321 − = 1•(-1)•1+2•4•1+0•2•3-[3•(-1)•1+0•2•1+2•4•1]= = -1+8+0-(-3+0+8)=7-5 = 2
  9. 9. 1.1 CONCEPTE DE DETERMINANT Determinants d’ordre 3 Exemple 2: 432 524 322 − = 2•(-2)•4+2•5•2+4•3•3-[3•(-2)•2+4•2•4+3•5•2]= = -16+20+36-(-12+32+30)=40-50 = -10
  10. 10. 1.1 CONCEPTE DE DETERMINANT Determinants d’ordre 3 Exemple 3: 432 124 153 −− −− = 3•(-2)•(-4)+5•(-1)•2+4•(-3)•1-[1•(-2)•2+4•5•(-4)+(-3)•(-1)•3]= = 24-10-12-(-4-80+9)=2-(-75) = 2+75 = 77
  11. 11. 2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT Equacions amb determinants ordre 2 10 1 41 −= + +− xx xx ( ) [ ] 1 66 4106 1046 1044 1044 10)1()4(1 22 22 = ⇒−=− ⇒+−=− ⇒−=−− ⇒−=−−−−− ⇒−=+++−− ⇒−=+•+−•− x x x x xxxxx xxxxx xxxx
  12. 12. 2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT Equacions amb determinants ordre 3 ( )[ ] [ ] 5 11 55 5511 8476512 4786512 470865012 47)05()421(235120243 = ⇒= ⇒= ⇒+=−+ ⇒=−−+ ⇒=++−++ ⇒=••+••+••−••+••+•• x x x xxx xxx xxx xxxx 47 452 031 2 = xx
  13. 13. 2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS I. El determinant d’ una matriu amb dos files o columnes iguals o proporcionals és zero. Càlcul inmediat de determinants Exemples: • El determinant d’ una matriu A =        –1 4 –1 3 2 3 2 5 2 és igual a zero perquè la tercera i primera columnes són iguals. • El determinant d’ una matriu B =        2 4 –1 1 –2 3 3 –6 9 és igual a zero perquè la tercera fila és igual a la segona multiplicada per 3.
  14. 14. 2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS Càlcul inmediat de determinants II. El determinant d’ una matriu amb una fila o columnes nules és zero. Exemples: El determinant d’ una matriu A =        –1 0 –1 3 0 3 2 0 2 és igual a zero perquè la segona columna és nul.la. El determinant d’ una matriu B =        –1 0 –1 0 9 0 0 00 és igual a zero perquè la tercera fila és nul.la.
  15. 15. III. El determinant d’ una matriu en que una fila o columna es combinació lineal de les altres files o columnes és zero. 2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS Càlcul inmediat de determinants Exemple: El determinant d’ una matriu B =        2 4 0 1 3 –1 3 1 5 és igual a zero perquè la tercera columna és igual al doble de la primera menys la segona Exemple: El determinant d’ una matriu A =        1 4 0 1 3 –1 2 7 -1 és igual a zero perquè la tercera fila és igual a la suma de la primera més la segona 213 fff += 213 2 ccc −•=
  16. 16. IV. El determinant d’ una matriu triangular és igual al producte dels elements de la seva diagonal principal. Exemples: El determinant de la matriu A =        –1 0 –1 0 2 3 0 0 2 és igual –4. 2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS Càlcul inmediat de determinants El determinant de la matriu B =           − 587 026 003 és igual a 30
  17. 17. 2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS Càlcul inmediat de determinants V. El determinant de la matriz identitat=escalar=unitat és 1 Exemples: • El determinant de la matriu I 3 =        1 0 0 0 1 0 0 0 1 és igual a 1. • El determinant de la matriu I 5 =          1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 és igual a 1.
  18. 18. 2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS Operacions amb files i columnes VI. Si es multipliquen els elements d’ una fila o columna d’ una matriu per un nombre el determinant de la matriu es multiplica per aquest nombre Exemple: 2 3 4 20 = 2 3 4 . 1 4 . 5 = 4 2 3 1 5 28124034202 204 32 =−=•−•= 2874)310(4)3152(4 51 32 4 =•=−•=•−••=•
  19. 19. 2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS Operacions amb files i columnes 1385)8(52)4(51 52 41 =+=−−=•−−•= − VII. Si s’ intercanvien entre sí dos files o dos columnes d’ una matriu, el seu determinant canvia de signe. Exemple: 1 – 4 2 5 = – – 4 1 5 2 [ ] [ ] 13)13(58)51(24 25 14 =−−=−−−=•−•−−= − −
  20. 20. 2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS Operacions amb matrius VIII. El determinant d’una matriu es igual al de la seva transposada. t AA = 61824)0180(0024 653 021 032 =−=++−++==A 61824)0180(0024 600 523 312 =−=++−++==t A Exemple
  21. 21. 2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS Operacions amb matrius IX. El determinant del producte de dos matrius quadrades i multiplicables és igual al producte dels determinants de cada un d’elles. Exemple:      − = 05 32 A      − = 15 06 B       − =     − •     − =• 030 327 15 06 05 32 BA 15150 05 32 −=−= − =A 606 15 06 −=−−= − =B 90)90(0 030 327 =−−= − =• BA BABA •=• )6()15(90 −•−=
  22. 22. 2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS Operacions amb matrius Exemple: X.- Si una fila o columna és suma de diferents sumands, es descomposa en tants determinants com sumands hagi 123)68()96( 43 22 33 32 433 232 73 52 −=+−=−+−=+= + + = 11514 73 52 73 52 −=−==⇒      = AA 123)57()107( 71 51 72 51 712 511 73 52 −=+−=−+−=+= + + =
  23. 23. 2.3 MENORS I ADJUNTS D’ UNA MATRIU QUADRADA Menor d’una matriu quadrada Determinant que resulta en suprimir una fila i una columna d’una matriu quadrada. Tots els menors es denoten per Mij per indicar el determinant de la matriu que s’obté en suprimir La fila i i la columna j.      − = 53 21 A 5511 ==M 3312 ==M 2221 ==M 1122 −=−=M
  24. 24. 2.3 MENORS I ADJUNTS D’ UNA MATRIU QUADRADA Menors d’una matriu quadrada           − − = 411 202 311 A 2)2(0 41 20 11 =−−= − =M 628 41 22 12 =−==M 202 11 02 13 −=−−= − =M 7)3(4 41 31 21 =−−= − =M 734 41 31 22 −=−−= − =M 011 11 11 23 =−= − − =M 202 20 31 31 =−==M 862 22 31 32 −=−−= − =M 220 02 11 33 −=−= − =M
  25. 25. 2.3 MENORS I ADJUNTS D’ UNA MATRIU QUADRADA Matriu adjunta • S’anomena “Adjunt mi,j” d’ un element “ai,j” al determinant del menor Mi,j multiplicat per (-1)i+j • Donada la matriu quadrada A, s’anomena “matriu adjunta” de A i es representa A*, a la matriu que se obté en substituir cada element aij pel seu adjunt mij. ij ji ij Mm •−= + )1(      − = 53 21 A 5)1( 1111 11 11 ==•−= + MMm 3)1( 1212 21 12 −=−=•−= + MMm 2)1( 2121 12 21 −=−=•−= + MMm 1)1( 2222 22 22 −==•−= + MMm       −− − = 12 35* A Exemple 1
  26. 26. 2.3 MENORS I ADJUNTS D’ UNA MATRIU QUADRADA Matriu adjunta ij ji ij Mm •−= + )1( 2)1( 1111 11 11 ==•−= + MMm 6)1( 1212 21 12 −=−=•−= + MMm 7)1( 2121 12 21 −=−=•−= + MMm           − − = 411 202 311 A 2)1( 1313 31 13 −==•−= + MMm 7)1( 2222 22 22 −==•−= + MMm 00)1( 2323 32 23 =−=−=•−= + MMm 2)1( 3131 13 31 ==•−= + MMm 8)8()1( 3232 23 32 =−−=−=•−= + MMm 2)1( 3333 33 33 −==•−= + MMm           − −− −− = 282 077 262 * A Exemple 2
  27. 27. 2.3 MENORS I ADJUNTS D’ UNA MATRIU QUADRADA Matriu adjunta ij ji ij Mm •−= + )1( 21111 == Mm 61212 −=−= Mm 72121 −=−= Mm           − − = 411 202 311 A 21313 −== Mm 72222 −== Mm 002323 =−=−= Mm 23131 == Mm 8)8(3232 =−−=−= Mm 23333 −== Mm           − −− −− = 282 077 262 * A Exemple 2
  28. 28. 2.3 MENORS I ADJUNTS D’ UNA MATRIU QUADRADA Matriu adjunta ij ji ij Mm •−= + )1( 101 10 21 1111 =−=== Mm 2)02( 10 22 1212 −=−−=−=−= Mm 1)01( 10 11 2121 =−−−= − −=−= Mm           − = 100 212 111 B 0 00 12 1313 === Mm 101 10 11 2222 =−=== Mm 0 00 11 2323 = − −=−= Mm 312 21 11 3131 −=−−= − == Mm 0 22 11 3232 =−=−= Mm 3)2(1 12 11 3333 =−−= − == Mm           − − = 303 011 021 * B Exemple 3
  29. 29. 2.4 DESENVOLUPAMENT D’UN DETERMINANT PELS ELEMENTS D’ UNA LÍNIA Un determinant és igual a la suma dels elements d’una línia (fila o columna) multiplicat pels seus adjunts corresponents Exemple 1 9145)2120(610 411 103 212 −=−=++−+−= − 9613232131)1(2)03(2))1(12(1)10(2 11 03 2 41 13 1 41 10 2212212 411 103 212 131211131211 −=+−−=⋅+⋅−−⋅=−⋅+−−⋅−−⋅ = − ⋅+ − ⋅−⋅=⋅+⋅−⋅=⋅+⋅+⋅= − MMMmmm 1ª fila
  30. 30. 2.4 DESENVOLUPAMENT D’UN DETERMINANT PELS ELEMENTS D’ UNA LÍNIA Un determinant es igual a la suma dels elements d’una línia (fila o columna) multiplicat pels seus adjunts corresponents Exemple 1 9145)2120(610 411 103 212 −=−=++−+−= − 91621223)1(2)01(1)24(3)10(2 10 21 1 41 21 3 41 10 2132132 411 103 212 312111312111 −=−−−=⋅−⋅−−⋅=−⋅−−⋅−−⋅ =⋅−⋅−⋅=⋅−⋅−⋅=⋅−⋅+⋅= − MMMmmm 1ª columna
  31. 31. 2.4 DESENVOLUPAMENT D’UN DETERMINANT PELS ELEMENTS D’ UNA LÍNIA Un determinant es igual a la suma dels elements d’una línia (fila o columna) multiplicat pels seus adjunts corresponents Exemple 1 9145)2120(610 411 103 212 −=−=++−+−= − 9413)4(13 )62())1(12( 13 22 41 13 101 411 103 212 3212322212 −=+−=−−− =−−−−−=⋅− − ⋅−=−−=⋅+⋅+⋅= − MMmmm 2ª columna ( possibilitat que dóna menys feina)
  32. 32. 2.4 DESENVOLUPAMENT D’UN DETERMINANT PELS ELEMENTS D’ UNA LÍNIA Determinant 4x4 Exemple 2 [ ] [ ] [ ] [ ] 244201317)2(22)849(1283)01816(6016 121 432 321 212 043 232 1001 2121 0432 2321 1001 1411141114131211 −=−−=−−−−−=+−−++−−+−−−+−= = − − −− =−=+=⋅+⋅+⋅+⋅= −− MMmmmmmm
  33. 33. 2.4 DESENVOLUPAMENT D’UN DETERMINANT PELS ELEMENTS D’ UNA LÍNIA Determinant 4x4 Exemple 3 28618317120)61(3)17(602.... 542 223 432 3 542 423 432 1 542 423 223 2 3120312 5042 4323 2123 4232 33231343332313 −=−+−=−⋅+−−⋅−== = − −⋅+ − ⋅− − − ⋅− =⋅+⋅−⋅−=⋅+⋅+⋅+⋅−= − − − MMMmmmm
  34. 34. 2.5 RANG D’UNA MATRIU PER DETERMINANTS Matriu 1x1 El RANG d’ una matriu és l’ ordre del major dels menors diferents de zero. El rang d’ una matriu A es representa per rang(A). A = (3) rang A = 103 ≠=A B = (0) rang B = 000 ==B Matriu 2x2       = 21 12 C 0314 21 12 ≠=−==C Rang C =2       − − = 42 21 D 044 42 21 =−= − − =D Rang D ≠2 Rang D =1
  35. 35. 2.5 RANG D’UNA MATRIU PER DETERMINANTS Matriu 3x3 El RANG d’ una matriu és l’ ordre del major dels menors diferents de zero. El rang d’ una matriu A es representa per rang(A).           − − − = 121 112 301 E 010 ≠=E Rang E =3           −− − − = 213 112 301 F )ª3ª2ª1.(0 fffF =+= Rang F ≠3 Rang F =2 Perquè es pot agafar un menor d’ordre 2 amb determinant diferent a zero 01 12 01 ≠−= −
  36. 36. 2.5 RANG D’UNA MATRIU PER DETERMINANTS Matriu 3x3 El RANG d’ una matriu és l’ ordre del major dels menors diferents de zero. El rang d’ una matriu A es representa per rang(A).           −−−= 963 642 321 G )ª3ª2ª1.(0 fffG =−= Rang G ≠3 Tots els menors que s’agafin d’ordre 2 tenen com a determinant zero fet que implica que el rang és diferent a 2 0 42 21 = −− 0 64 32 = −− 0 63 42 = −− 0 96 64 = −− 0 63 21 = 0 96 32 = El rang G ≠ 2 rang G =1 perquè sempre es pot trobar un determinant d’ ordre 1 diferent a zero
  37. 37. 2.5 RANG D’UNA MATRIU PER DETERMINANTS Matrius no quadrades El RANG d’ una matriu és l’ ordre del major dels menors diferents de zero. El rang d’ una matriu A es representa per rang(A).           − − = 3 2 1 1 1 0 H H Rang H ≠3 Com a molt es poden fer menors d’ordre 2 01 21 10 ≠= − No es pot fer Rang H =2
  38. 38. 2.5 RANG D’UNA MATRIU PER DETERMINANTS Matrius no quadrades El RANG d’ una matriu és l’ ordre del major dels menors diferents de zero. El rang d’ una matriu A es representa per rang(A).           −− = 9 8 7 201 131 042 I I Rang I ≠4 Com a molt es poden fer menors d’ordre 3 )2.(0 201 131 042 321 ccc =+⋅−= − No es pot fer No serveix 014 920 813 704 ≠−= −− Rang I ≠3
  39. 39. 2.5 RANG D’UNA MATRIU PER DETERMINANTS Matrius no quadrades El RANG d’ una matriu és l’ ordre del major dels menors diferents de zero. El rang d’ una matriu A es representa per rang(A).               −−− −−= 11 8 5 2 0 6 631 521 J J Rang J ≠4 Com a molt es poden fer menors d’ordre 3. Tots ells tenen determinant zero ).(0 826 631 521 Sarrus= −−− −− No es pot fer ).(0 1150 631 521 321 fff =−=−− ).(0 1150 826 631 Sarrus=−−− −− Rang J ≠3 Provem si algun menor d’ordre 2 té determinant diferent a zero: Rang J = 205 31 21 ≠−= −
  40. 40. 2.5 RANG D’UNA MATRIU PER DETERMINANTS Matrius no quadrades Tècnica d’ orlament               −−− −−= 11 8 5 2 0 6 631 521 J |1|≠0 ).(0 826 631 521 Sarrus= −−− −− ).(0 1150 631 521 321 fff =−=−− Rang J ≠3 Per tant RangJ = 2 05 31 21 ≠−= − Rang J=1 com a mínim Rang J=2 com a mínim
  41. 41. 2.5 RANG D’UNA MATRIU PER DETERMINANTS Matrius no quadrades Tècnica d’ orlament             − = 0124 0130 0212 K |2|≠0 010 124 130 212 ≠−= − Rang K = 3 06 30 12 ≠= Rang K=1 com a mínim Rang K = 2 com a mínim
  42. 42. 2.6 MATRIU INVERSA Si A és una matriu quadrada, es diu que A–1 és la inversa de A si A . A–1 = A–1 . A = I, on I és la matriu identitat.La matriu inversa es representa per A–1 Exemple1:Si A =         2 –1 1 1 per obtenir A -1 =         x y z t s’ ha de cumplir         2 –1 1 1 .         x y z t =         1 0 0 1         2x– z 2y– t x + z y + t =         1 0 0 1 ⇔ 2x – z = 1 x + z = 0 2y – t = 0 y + t = 1 ⇔ x =1/3 y =1/3 z =–1/3 t =2/3 Per tant A -1 =        1 3 1 3 – 1 3 2 3
  43. 43. 2.6 MATRIU INVERSA Si A és una matriu quadrada, es diu que A–1 és la inversa de A si A . A–1 = A–1 . A = I, on I és la matriu identitat. La matriu inversa es representa per A–1 Exemple1:Si A =         2 –1 1 1 per obtenir -1 Donada una matriu quadrada A es pot obtenir la seva matriu inversa fent servir la següent fórmula: A–1 [ ])( 1 *1 A A A t •=− o [ ]*1 )( 1 A A A t •=− 312)1(2 =+=−−=A       − = 21 11* A       − = 21 11 )( * At [ ])( 1 *1 A A A t •=− [ ]           − =      − •=•=− 3 2 3 1 3 1 3 1 21 11 3 1 )( 1 *1 A A A t
  44. 44. 2.6 MATRIU INVERSA Si A és una matriu quadrada, es diu que A–1 és la inversa de A si A . A–1 = A–1 . A = I, on I és la matriu identitat. La matriu inversa es representa per A–1       − = 11 12 AExemple1 : Comprovació A . A–1 = A–1 . A = I           − =− 3 2 3 1 3 1 3 1 1 A A . A–1 =       =         =         +− −+ =           − •      − 10 01 3 3 3 0 3 0 3 3 3 2 3 1 3 131 3 2 3 2 3 1 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 11 12       =         =         +− −+ =      − •           − 10 01 3 3 3 0 3 0 3 3 3 2 3 1 3 131 3 2 3 2 3 1 3 2 11 12 3 2 3 1 3 1 3 1 A–1 •A =
  45. 45. 2.6 MATRIU INVERSA Si A és una matriu quadrada, es diu que A–1 és la inversa de A si A . A–1 = A–1 . A = I, on I és la matriu identitat. La matriu inversa es representa per A–1 154)5(4)308(004 =+−=−−−=++−−++−=A           − −− −− = 232 121 8127 * A           −− − −− = 218 3212 217 )( * At [ ])( 1 *1 A A A t •=− [ ]           −− − −− =           −− − −− •=•=− 218 3212 217 218 3212 217 1 1 )( 1 *1 A A A t           − − = 214 320 101 A Exemple 2
  46. 46. 2.6 MATRIU INVERSA Si A és una matriu quadrada, es diu que A–1 és la inversa de A si A . A–1 = A–1 . A = I, on I és la matriu identitat. La matriu inversa es representa per A–1 Exemple2 : Comprovació A . A–1 = A–1 . A = I A . A–1 =           =           −−++−++− +−−+−+ −+++−++− =           −− − −− •           − − 100 010 001 438224161228 66034024240 202101807 218 3212 217 214 320 101 A–1 •A =           =           −−++−++− +−−+−+ −+++−++− =           − − •           −− − −− 100 010 001 438224161228 66034024240 202101807 214 320 101 218 3212 217
  47. 47. Propietats de la matriu inversa I. Si las matrius A i B són inversibles (A. B)–1 = B–1 . A–1 II. Si A és una matriu inversible i k ≠ 0, (k . A)–1 = (1/k) . A–1 III. Si A és una matriu inversible, (A–1 )–1 = A IV. La matriz unitat és inversible i a més a més I–1 = I V. Si A és una matriu inversible, (A–1 )t = (At )–1 Condicions per a que una matriu tingui inversa 2.6 MATRIU INVERSA I. La matriu ha de ser quadrada II. El determinant de la matriu ha de ser diferent a zero

×