Universidad Inca Garcilaso de
la Vega
Curso: Investigación Operativa II
Logro : “Al finalizar el curso el alumno podrá usar las técnicas de
investigación de operaciones para optimizar los procesos de una
empresa; ya sea esta de servicios o industrial a través de
estudio de casos, incentivando la profundidad del análisis y la
formulación de propuestas efectivas y eficaces”

Teoría de Colas
Curso Investigación Operativa
2
Logro :
“Al finalizar la unidad el alumno podrá aplicar las virtudes que ofrece el
poder diagnosticar el fenómeno de espera en los puntos de atención
permitiendo administrar la calidad, velocidad y homogeneidad de la
producción de bienes o servicios de manera eficiente y eficaz”

Agenda
1. Teoría de Colas
2. Ejercicios
3. Winqsb
3

Colas de Espera
Teoría de Colas

Teoría de Colas
 Personas esperando para realizar sus transacciones ante una
caja en un banco.
 Estudiantes esperando por obtener copias en la
fotocopiadora.
 Vehículos esperando pagar ante una estación de peaje o
continuar su camino, ante un semáforo en rojo.
 Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas.
Las líneas de espera, filas de espera o colas, son realidades
cotidianas:

COLAS MAS COMUNES
SITIO ARRIBOS EN COLA SERVICIO
Supermercado Compradores Pago en cajas
Peaje Vehículos Pago de peaje
Consultorio Pacientes Consulta
Sistema de Cómputo Programas a ser
corridos
Proceso de datos
Compañía de teléfonos Llamadas Efectuar
comunicación
Banco Clientes Depósitos y Cobros
Mantenimiento Máquinas dañadas Reparación
Muelle Barcos Carga y descarga

Sistemas de colas: modelo básico
• Si cuando el cliente llega no hay nadie en la cola, pasa
de una vez a recibir el servicio
• Si no, se une a la cola
• Es importante señalar que la cola no incluye a quien
está recibiendo el servicio

Sistemas de colas: modelo básico
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Instalación
del
servicio
Disciplina
de la cola
Salidas

Estructuras típicas de
sistemas de colas: una línea,
un servidor
Llegadas
Sistema de colas
Cola Servidor
Salidas

Estructuras típicas de
sistemas de colas: una
línea, múltiples servidores
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Servidor
Salidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas

Estructuras típicas de
colas: varias líneas,
múltiples servidores
Llegadas
Sistema de colas
Cola Servidor
Salidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Cola
Cola

Estructuras típicas de colas: una
línea, servidores secuenciales
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Servidor
Salidas
Cola
Servidor

Fuente de
entrada
• Tamaño de población: Es el número
total de clientes que pueden requerir
servicio en determinado momento, es
decir el número total de clientes
potenciales distintos (Infinito o Finito).
• Forma de las llegadas: Patrón
estadístico mediante el cuál se generan
los clientes a través del tiempo. La
suposición es que los clientes se
generan de acuerdo con un proceso
POISSON.
Los clientes que entran al sistema se generan a través
del tiempo en una fuente de entrada.
ENTRADA

Sistemas de colas: Las llegadas -
Distribución de Poisson
• Es una distribución discreta empleada con
mucha frecuencia para describir el patrón de
las llegadas a un sistema de colas
• Para tasas medias de llegadas pequeñas es
asimétrica y se hace más simétrica y se
aproxima a la binomial para tasas de llegadas
altas

Su forma algebraica es:
Donde:
 P(k) : probabilidad de k llegadas por
unidad de tiempo
  : tasa media de llegadas
 e = 2,7182818…
!
)(
k
e
kP
k 
 


K Llegadas por unidad de tiempo0
P

Cola
• Tamaño de la cola: Una cola
puede ser Finita o Infinita. El
estándar es infinita.
• Disciplina de la cola: Se refiere
al orden en el que se
seleccionan sus miembros para
recibir el servicio (FIFO Primero
en ingresar primero en salir),
(LIFO primero en ingresar
último en salir).
Una cola se caracteriza por el número máximo de
clientes que se pueden admitir.
COLA

Mecanismo de servicio
• Canal: Hace referencia al
número de servidores que hay
en el sistema (Serie, Paralelo).
• Tiempo de Servicio: Es el
tiempo que transcurre desde el
inicio del servicio para un
cliente hasta su terminación. La
distribución más usada para los
tiempos de servicio es la
EXPONENCIAL.
El mecanismo de servicio consiste en una o más
instalaciones de servicio.
SERVICIO

Notación de Kendall: A/B/c
La notación de Kendall, caracteriza un sistema de línea de espera en el
cual todas las llegadas esperan en una sola cola hasta que está libre
uno de los s servidores paralelos idénticos. Luego el primer cliente
en la cola entre al servicio, y así sucesivamente.
• A: Distribución de tiempos entre llegadas
• B: Distribución de tiempos de servicio
• M: distribución exponencial
• D: distribución degenerada
• Ek: distribución Erlang
• c: Número de servidores

SISTEMA SIMPLE
M / M / 1

SISTEMA MULTIPLE
M / M / s

SISTEMA SIMPLE
M / m / 1 / K

SISTEMA MULTIPLE
M / m / 1 / K



















1
servicio)detiempoesperade(tiempo
sistemaelenpermaneceunidadunaquepromedioTiempo
sistemadelnutilizaciódeFactor
sistemaelen(clientes)unidadesdepromedioNúmero
sistemaelenunidadesdenúmero
tiempodeperíodoporservidoscosasogentedepromedioNúmero
tiempodeperíodoporarribosdepromedioNúmero
S
S
SS
W
W
LL
n

 
 
 
 
1k
kn
kn
o
o
n
n
n
n
Sq
S
2
q
μ
λ
P
sistemaelenesténunidadesk""demásquedeadProbabilidP
ρ1
μ
λ
1P
vacía)estáserviciodeunidad(lasistemaelenunidadescerodeadProbabilidP
ρρ1
μ
λ
μ
λ
1P
sistemaelenesténclientesn""quedeadProbabilidP
Wρ
λμμ
λ
colalaenesperaunidadunaquepromedioTiempoW
Lρ
λμμ
λ
colalaenunidadesdepromedioNúmeroL


































Sistemas de colas: Las llegadas
•El tiempo que transcurre entre dos
llegadas sucesivas en el sistema de colas
se llama tiempo entre llegadas
•El tiempo entre llegadas tiende a ser muy
variable
•El número esperado de llegadas por
unidad de tiempo se llama tasa media de
llegadas ()

Sistemas de colas: Las llegadas
• El tiempo esperado entre llegadas es 1/
• Por ejemplo, si la tasa media de llegadas es  = 20
clientes por hora
• Entonces el tiempo esperado entre llegadas es 1/ =
1/20 = 0.05 horas o 3 minutos
!
)(
k
e
kP
k 
 
 : tasa media de llegadas
e = 2,7182818…

Sistemas de colas: Las llegadas
• Además es necesario estimar la distribución de
probabilidad de los tiempos entre llegadas
• Generalmente se supone una distribución exponencial
• Esto depende del comportamiento de las llegadas

Sistemas de colas:
Las llegadas – Distribución exponencial
•La forma algebraica de la distribución
exponencial es:
•Donde t representa una cantidad
expresada en unidades de tiempo (horas,
minutos, etc.)
t
etserviciodetiempoP 
 1)(

Sistemas de colas: Las
llegadas – Distribución
exponencial
Media Tiempo0
P(t)

Ejemplo: pedido de cervezas
 La cantidad de cervezas ordenadas por hora en el restaurante Dick.
Sigue una distribución de Poisson, con un promedio de 30 cervezas
por hora.
1. Estime la probabilidad de que se pidan exactamente 60 cervezas
entre las 10 y 12 de la noche.
2. Encuentre la de media y desviación estándar de cervezas pedidas
entre las 9 PM y 1 AM.

Solución: (1)
• La cantidad de cerveza pedida entre las 10 y las 12 de la noche, se apega a una
distribución de Poisson con parámetro 2(30)=60. (2 son dos horas entre las 10 y
las 12) y 30 cervezas que es el promedio por hora. Por lo que la probabilidad que
se pidan 60 cervezas entre las 10 y las 12 es:
Se puede usar la función de excel. POISSON(60,60,FALSO)= 0.05143174= 5.1%
• Resulta que λ=30 cervezas por hora; t=4 (9PM a 1AM). Por tanto la media de
cervezas ordenas en ese tiempo es 4(30)= 120. La desviación estándar en ese
período es (120)1/2 =10.95
05143174.0
!60
60
!
)(
6060


e
k
e
kP
k 


•La distribución exponencial supone una
mayor probabilidad para tiempos entre
llegadas pequeños
•En general, se considera que las llegadas
son aleatorias
•La última llegada no influye en la
probabilidad de llegada de la siguiente

Sistemas de colas: El servicio
• El tiempo esperado de servicio equivale a 1/
• Por ejemplo, si la tasa media de servicio es de 25
clientes por hora
• Entonces el tiempo esperado de servicio es 1/ = 1/25
= 0.04 horas, o 2.4 minutos

EJERCICIO 01
El departamento para caballeros de un gran almacén tiene un
sastre para ajustar los trajes adquiridos por los clientes. Parece
que el número de clientes que solicitan ajustes sigue una
distribución de Poisson con una tasa media de llegadas de 24
cli/hora. Los ajustes se realizan del tipo primero en llegar
primero en ser atendido. Los clientes siempre desean esperar,
ya que las modificaciones son gratis. Aparentemente el tiempo
que se tarda en realizar un ajuste se distribuye
exponencialmente con media 2 minutos entre clientes.
Calcular:
 Número promedio de clientes en la sala de ajustes.
 Cuanto tiempo tiene que esperar un cliente en la sala de ajustes.
 Porcentaje de tiempo que permanece ocioso el sastre.
 Cual es la probabilidad de que un cliente espere los servicios del
sastre más de 10 minutos.
 Cuanto tiempo deben esperar los clientes por los ajustes.

SOLUCION

SOLUCION

EJERCICIO 02
Una carnicería es atendida por el propietario de la misma. Aparentemente
el patrón de llegada de los clientes durante los sábados se comporta
siguiendo una distribución de Poisson con una tasa promedio de llegadas
de 10 personas por hora. A los clientes se les atiende siguiendo una política
FIFO, y debido al prestigio de la tienda, los clientes siempre están
dispuestos a esperar su turno. Se estima que el tiempo que se invierte en
atender a un cliente se distribuye exponencialmente con un tiempo de
servicio medio de 4 minutos entre clientes.
•Calcular:
Probabilidad de que se cree una cola de espera.
Longitud media de la cola.
Tiempo esperado de permanencia en cola por cliente.
Probabilidad de que un cliente permanezca menos de 12 minutos
en la tienda.

Práctica 1, con WQSB
 Un almacén tiene 2 cajeras que atienden a razón de
1.5 minutos por cliente siguiendo una distribución
exponencial. Los clientes llegan a este almacén
siguiendo una distribución Poisson a razón de 30 por
hora. Con esta información calcular: A)La
probabilidad de que el sistema esté lleno, B) La
intensidad de trafico.
Datos:
 Numero de servidores = 2
 =30 [cl/hr]
 =1/1.5 [cl/min]= 40 [cl/hr]
 El problema será del tipo M/M/2/FIFO//

Solución:
Procedimiento
• Se iniciará un nuevo problema en el modulo Análisis de Colas (QA).
• Se elegirá Sistema Simple M/M, por que es un modelo del que se
conocen todos los datos. Este se llamará Cajeras, eligiendo como
unidad de tiempo a horas:

Solución…
• En la hoja de cálculo se introducirá los datos conocidos como se
muestra:

Solución…
 En la hoja de cálculo se introducirá los datos conocidos como se muestra:
Los valores de M, representan que es un valor infinito

Solución…
• Al presionar el icono se verá la
ventana de los resultados:

Solución…
Para el Sistema: M/M/ de dos servidores de Fórmula
Promedio de cliente llegados por Hora λ= 30
Promedio de Servicio por servidor por Hora = 40
Tasas de llegadas eficaces al sistema global por hora = 30
Tasas de servicio eficaz del sistema global por hora = 30
Tasa de ocupación del sistema 37.50%
Número promedio de clientes en el sistema (L) = 0.8727
Número promedio de clientes en la cola(Lq) = 0.1227
Número promedio de clientes en la cola para un sistema ocupado(Lb) = 0.6
Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema (W) =
0.0291
Horas
Tiempo promedio que un clienta pasa en la cola(Wq) =
0.0041
Horas
Tiempo promedio que un cliente pasa en la cola para un sistema ocupado (Wb) =
0.0200
Horas
Probabilidad que todos los servidores estén ociosos (Po) = 45.45%
Probabilidad de un cliente espere al llegar al sistema(Pw) o sistema está ocupado(Pb) = 20.45%
Número promedio de clientes que no serán atendidos por el sistema por Hora = 0
Costo total del servidor ocupado por Hora = $0
Costo total del servidor ocioso por Hora = $0
Costo total clientes esperando por hora $0
Costo total de clientes que inician servicio por Hora = $0
Cosot total de clientes being balked per Hora = $0
Total queue space cost per Hora = $0
Costo total del sistema por Hora = $0
EnEspañol

Solución…
• Adicionalmente podemos realizar los siguientes
análisis:
• Observar las probabilidades estimadas de que
existan de 0 hasta 200 clientes en la cola:

Solución…
• También podemos realizar una simulación del
sistema:
• Si presionamos veremos la siguiente
ventana:
• En el que usaremos:
• La semilla de aleatoriedad por defecto
• Una disciplina de cola de tipo FIFO (PEPS)
• Un tiempo de simulación de cola de 24 horas (1
día).
• El momento que iniciará la recolección de
datos
será a las cero horas.
• La capacidad de la cola es infinita (M).
• El máximo de número de recolecciones de
datos será infinito (M).

Solución…
• Si presionamos OK, se llevará adelante la simulación y veremos
los siguientes resultados de la actuación de la cola durante 24 horas:

Solución…
• Las probabilidades estimadas para n clientes:

Solución…
• Otro de los análisis del que podemos disponer es el de Análisis de
sensibilidad.
•Si presionamos podremos observar la siguiente
ventana:

Solución…
• Si realizamos un análisis de sensibilidad, seleccionando como parámetro de
análisis a la tasa de llegadas , haciendo que esta cambie de 30 a 100 [cl/hr],
con un paso de 10 [cl/hr], utilizando el modelo de aproximación G/G/s,
podremos ver de que manera reacciona el sistema:
•Podemos observar claramente de que la utilización del sistema va en
incremento en una proporción de 10 [cl/hr], y cuando ésta llega a los 70 [cl/hr],
se da una utilización del 87.5% (Máxima utilización posible), pero si seguimos
incrementando hasta llegar a los 80 [cl/hr], el sistema se vuelve inestable, es
decir el número de servidores es insuficiente.

Solución…
También podemos ver el gráfico del análisis de sensibilidad de un
parámetro determinado en función del parámetro analizado:
Si presionamos en: Show Sensitivity Analysis - Graph
•Se abrirá la siguiente ventana:
En la que seleccionaremos como
variable independiente para el
gráfico a L (Número promedio de
clientes en el sistema), en función
de nuestro parámetro analizado ():

Solución…
En el que se puede ver un crecimiento exponencial.
Así sucesivamente se pueden ir analizando cada uno de los
parámetros, dependiendo que necesidades se tiene.

Solución…
• Otro análisis disponible es el de Análisis de Capacidad:
Como éste análisis se realiza a partir de costos, se asumirán los
siguientes costos
Costo de servidor ocupado por hora = 5 $
Costo de servidor ocioso por hora = 1 $
Costo por cliente en espera = 0.5 $
Costo por cliente servido por hora = 3 $
Costo por cliente no atendido = 1 $
Costo unitario por capacidad de cola = 3 $

Solución…
Si presionamos podremos observar la
siguiente ventana:
En el que variaremos el número de servidores de 2 a 8, con un paso
de 1, y en el que la capacidad de la cola es Infinita, seleccionando la
formula G/G/s de aproximación.

Solución…
c) Si presionamos en OK, la ventana de resultados será la siguiente:

Práctica 2, con WQSB
 Una cadena de supermercados es abastecida por un almacén central. La mercadería que llega a
este almacén es descargada en turnos nocturnos. Los camiones que descargan llegan en forma
aleatoria siguiendo una Poisson a razón de dos camiones por hora. En promedio 3 trabajadores
descargan 3 camiones por hora siguiendo una distribución exponencial. Si el número de
trabajadores del equipo es incrementado, la razón de servicio se incrementa en la misma
proporción. Cada trabajador recibe 5$ por hora durante el turno nocturno de 8 horas. El costo de
tener el chofer esperando ser servido, se estima en 20 $ por hora. Se desea determinar el
tamaño del equipo que minimiza el costo total.
 Datos:
 Numero de servidores = 2
 =2 [cl/hr]
 1= 3 [cl/hr], 2= 4 [cl/hr], 3= 5 [cl/hr]…………
 El problema será del tipo M/M/1/FIFO//
 CS = 5 [$/hr]
 CE = 20 [$/hr]

Tarea
• Formar grupos y presentar en
la siguiente clase 4
aplicaciones reales de teoría
de colas reales (Planteamiento
del problema y solución
calculada manualmente y/o
con winsqb).

Conclusiones generales
• La Teoría se colas es una herramienta
aplicable a un sin número de
actividades de negocios, sobretodo
en lo que es atención a clientes.
• El Winqsb permite cálculos de forma
rápida y sencilla los principales
parámetros que nos permitirán tomar
decisiones que afectan el nivel de
servicio y los costos.

Bibliografía recomendada
• “LOGÍSTICA – ADMINISTRACIÓN DE LA CADENA DE SUMINISTROS”
- RONALD H. BALLOU
Ed. Prentice Hall – México 2004
• “ADMINISTRACIÓN DE OPERACIONES” – ROGER G. SCHROEDER
Ed. Mc Graw Hill - España 1992
• “LA LOGÍSTICA EN LA ERA DEL CLIENTE” – ÁNGEL BECERRA
ESAN - Perú 1996
• “VENTAJA COMPETITIVA” – MICHAEL PORTER
CECSA – México 1987
• “ADMINISTRACIÓN LOGÍSTICA” – ARMANDO VALDEZ
SAGA – Perú 1990
• “SISTEMAS DE INFORMACIÓN GERENCIAL” – RAYMOND MCLEOD
Ed. Prentice Hall Hispanoamericana SA – México 2000