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Teoria de colas

11. Aug 2015
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Teoria de colas

  1. Universidad Inca Garcilaso de la Vega Curso: Investigación Operativa II Logro : “Al finalizar el curso el alumno podrá usar las técnicas de investigación de operaciones para optimizar los procesos de una empresa; ya sea esta de servicios o industrial a través de estudio de casos, incentivando la profundidad del análisis y la formulación de propuestas efectivas y eficaces”
  2. Teoría de Colas Curso Investigación Operativa 2 Logro : “Al finalizar la unidad el alumno podrá aplicar las virtudes que ofrece el poder diagnosticar el fenómeno de espera en los puntos de atención permitiendo administrar la calidad, velocidad y homogeneidad de la producción de bienes o servicios de manera eficiente y eficaz”
  3. Agenda 1. Teoría de Colas 2. Ejercicios 3. Winqsb 3
  4. Colas de Espera Teoría de Colas
  5. Teoría de Colas  Personas esperando para realizar sus transacciones ante una caja en un banco.  Estudiantes esperando por obtener copias en la fotocopiadora.  Vehículos esperando pagar ante una estación de peaje o continuar su camino, ante un semáforo en rojo.  Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas. Las líneas de espera, filas de espera o colas, son realidades cotidianas:
  6. COLAS MAS COMUNES SITIO ARRIBOS EN COLA SERVICIO Supermercado Compradores Pago en cajas Peaje Vehículos Pago de peaje Consultorio Pacientes Consulta Sistema de Cómputo Programas a ser corridos Proceso de datos Compañía de teléfonos Llamadas Efectuar comunicación Banco Clientes Depósitos y Cobros Mantenimiento Máquinas dañadas Reparación Muelle Barcos Carga y descarga
  7. Sistemas de colas: modelo básico • Si cuando el cliente llega no hay nadie en la cola, pasa de una vez a recibir el servicio • Si no, se une a la cola • Es importante señalar que la cola no incluye a quien está recibiendo el servicio
  8. Sistemas de colas: modelo básico Llegadas Sistema de colas Cola Instalación del servicio Disciplina de la cola Salidas
  9. Estructuras típicas de sistemas de colas: una línea, un servidor Llegadas Sistema de colas Cola Servidor Salidas
  10. Estructuras típicas de sistemas de colas: una línea, múltiples servidores Llegadas Sistema de colas Cola Servidor Salidas Servidor Servidor Salidas Salidas
  11. Estructuras típicas de colas: varias líneas, múltiples servidores Llegadas Sistema de colas Cola Servidor Salidas Servidor Servidor Salidas Salidas Cola Cola
  12. Estructuras típicas de colas: una línea, servidores secuenciales Llegadas Sistema de colas Cola Servidor Salidas Cola Servidor
  13. Fuente de entrada • Tamaño de población: Es el número total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento, es decir el número total de clientes potenciales distintos (Infinito o Finito). • Forma de las llegadas: Patrón estadístico mediante el cuál se generan los clientes a través del tiempo. La suposición es que los clientes se generan de acuerdo con un proceso POISSON. Los clientes que entran al sistema se generan a través del tiempo en una fuente de entrada. ENTRADA
  14. Sistemas de colas: Las llegadas - Distribución de Poisson • Es una distribución discreta empleada con mucha frecuencia para describir el patrón de las llegadas a un sistema de colas • Para tasas medias de llegadas pequeñas es asimétrica y se hace más simétrica y se aproxima a la binomial para tasas de llegadas altas
  15. Su forma algebraica es: Donde:  P(k) : probabilidad de k llegadas por unidad de tiempo   : tasa media de llegadas  e = 2,7182818… ! )( k e kP k    
  16. K Llegadas por unidad de tiempo0 P
  17. Cola • Tamaño de la cola: Una cola puede ser Finita o Infinita. El estándar es infinita. • Disciplina de la cola: Se refiere al orden en el que se seleccionan sus miembros para recibir el servicio (FIFO Primero en ingresar primero en salir), (LIFO primero en ingresar último en salir). Una cola se caracteriza por el número máximo de clientes que se pueden admitir. COLA
  18. Mecanismo de servicio • Canal: Hace referencia al número de servidores que hay en el sistema (Serie, Paralelo). • Tiempo de Servicio: Es el tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su terminación. La distribución más usada para los tiempos de servicio es la EXPONENCIAL. El mecanismo de servicio consiste en una o más instalaciones de servicio. SERVICIO
  19. Notación de Kendall: A/B/c La notación de Kendall, caracteriza un sistema de línea de espera en el cual todas las llegadas esperan en una sola cola hasta que está libre uno de los s servidores paralelos idénticos. Luego el primer cliente en la cola entre al servicio, y así sucesivamente. • A: Distribución de tiempos entre llegadas • B: Distribución de tiempos de servicio • M: distribución exponencial • D: distribución degenerada • Ek: distribución Erlang • c: Número de servidores
  20. SISTEMA SIMPLE M / M / 1
  21. SISTEMA MULTIPLE M / M / s
  22. SISTEMA SIMPLE M / m / 1 / K
  23. SISTEMA MULTIPLE M / m / 1 / K
  24.                   1 servicio)detiempoesperade(tiempo sistemaelenpermaneceunidadunaquepromedioTiempo sistemadelnutilizaciódeFactor sistemaelen(clientes)unidadesdepromedioNúmero sistemaelenunidadesdenúmero tiempodeperíodoporservidoscosasogentedepromedioNúmero tiempodeperíodoporarribosdepromedioNúmero S S SS W W LL n
  25.         1k kn kn o o n n n n Sq S 2 q μ λ P sistemaelenesténunidadesk""demásquedeadProbabilidP ρ1 μ λ 1P vacía)estáserviciodeunidad(lasistemaelenunidadescerodeadProbabilidP ρρ1 μ λ μ λ 1P sistemaelenesténclientesn""quedeadProbabilidP Wρ λμμ λ colalaenesperaunidadunaquepromedioTiempoW Lρ λμμ λ colalaenunidadesdepromedioNúmeroL                                 
  26. Sistemas de colas: Las llegadas •El tiempo que transcurre entre dos llegadas sucesivas en el sistema de colas se llama tiempo entre llegadas •El tiempo entre llegadas tiende a ser muy variable •El número esperado de llegadas por unidad de tiempo se llama tasa media de llegadas ()
  27. Sistemas de colas: Las llegadas • El tiempo esperado entre llegadas es 1/ • Por ejemplo, si la tasa media de llegadas es  = 20 clientes por hora • Entonces el tiempo esperado entre llegadas es 1/ = 1/20 = 0.05 horas o 3 minutos ! )( k e kP k     : tasa media de llegadas e = 2,7182818…
  28. Sistemas de colas: Las llegadas • Además es necesario estimar la distribución de probabilidad de los tiempos entre llegadas • Generalmente se supone una distribución exponencial • Esto depende del comportamiento de las llegadas
  29. Sistemas de colas: Las llegadas – Distribución exponencial •La forma algebraica de la distribución exponencial es: •Donde t representa una cantidad expresada en unidades de tiempo (horas, minutos, etc.) t etserviciodetiempoP   1)(
  30. Sistemas de colas: Las llegadas – Distribución exponencial Media Tiempo0 P(t)
  31. Ejemplo: pedido de cervezas  La cantidad de cervezas ordenadas por hora en el restaurante Dick. Sigue una distribución de Poisson, con un promedio de 30 cervezas por hora. 1. Estime la probabilidad de que se pidan exactamente 60 cervezas entre las 10 y 12 de la noche. 2. Encuentre la de media y desviación estándar de cervezas pedidas entre las 9 PM y 1 AM.
  32. Solución: (1) • La cantidad de cerveza pedida entre las 10 y las 12 de la noche, se apega a una distribución de Poisson con parámetro 2(30)=60. (2 son dos horas entre las 10 y las 12) y 30 cervezas que es el promedio por hora. Por lo que la probabilidad que se pidan 60 cervezas entre las 10 y las 12 es: Se puede usar la función de excel. POISSON(60,60,FALSO)= 0.05143174= 5.1% • Resulta que λ=30 cervezas por hora; t=4 (9PM a 1AM). Por tanto la media de cervezas ordenas en ese tiempo es 4(30)= 120. La desviación estándar en ese período es (120)1/2 =10.95 05143174.0 !60 60 ! )( 6060   e k e kP k  
  33. •La distribución exponencial supone una mayor probabilidad para tiempos entre llegadas pequeños •En general, se considera que las llegadas son aleatorias •La última llegada no influye en la probabilidad de llegada de la siguiente
  34. Sistemas de colas: El servicio • El tiempo esperado de servicio equivale a 1/ • Por ejemplo, si la tasa media de servicio es de 25 clientes por hora • Entonces el tiempo esperado de servicio es 1/ = 1/25 = 0.04 horas, o 2.4 minutos
  35. EJERCICIO 01 El departamento para caballeros de un gran almacén tiene un sastre para ajustar los trajes adquiridos por los clientes. Parece que el número de clientes que solicitan ajustes sigue una distribución de Poisson con una tasa media de llegadas de 24 cli/hora. Los ajustes se realizan del tipo primero en llegar primero en ser atendido. Los clientes siempre desean esperar, ya que las modificaciones son gratis. Aparentemente el tiempo que se tarda en realizar un ajuste se distribuye exponencialmente con media 2 minutos entre clientes. Calcular:  Número promedio de clientes en la sala de ajustes.  Cuanto tiempo tiene que esperar un cliente en la sala de ajustes.  Porcentaje de tiempo que permanece ocioso el sastre.  Cual es la probabilidad de que un cliente espere los servicios del sastre más de 10 minutos.  Cuanto tiempo deben esperar los clientes por los ajustes.
  36. SOLUCION
  37. SOLUCION
  38. EJERCICIO 02 Una carnicería es atendida por el propietario de la misma. Aparentemente el patrón de llegada de los clientes durante los sábados se comporta siguiendo una distribución de Poisson con una tasa promedio de llegadas de 10 personas por hora. A los clientes se les atiende siguiendo una política FIFO, y debido al prestigio de la tienda, los clientes siempre están dispuestos a esperar su turno. Se estima que el tiempo que se invierte en atender a un cliente se distribuye exponencialmente con un tiempo de servicio medio de 4 minutos entre clientes. •Calcular: Probabilidad de que se cree una cola de espera. Longitud media de la cola. Tiempo esperado de permanencia en cola por cliente. Probabilidad de que un cliente permanezca menos de 12 minutos en la tienda.
  39. Práctica 1, con WQSB  Un almacén tiene 2 cajeras que atienden a razón de 1.5 minutos por cliente siguiendo una distribución exponencial. Los clientes llegan a este almacén siguiendo una distribución Poisson a razón de 30 por hora. Con esta información calcular: A)La probabilidad de que el sistema esté lleno, B) La intensidad de trafico. Datos:  Numero de servidores = 2  =30 [cl/hr]  =1/1.5 [cl/min]= 40 [cl/hr]  El problema será del tipo M/M/2/FIFO//
  40. Solución: Procedimiento • Se iniciará un nuevo problema en el modulo Análisis de Colas (QA). • Se elegirá Sistema Simple M/M, por que es un modelo del que se conocen todos los datos. Este se llamará Cajeras, eligiendo como unidad de tiempo a horas:
  41. Solución… • En la hoja de cálculo se introducirá los datos conocidos como se muestra:
  42. Solución…  En la hoja de cálculo se introducirá los datos conocidos como se muestra: Los valores de M, representan que es un valor infinito
  43. Solución… • Al presionar el icono se verá la ventana de los resultados:
  44. Solución… Para el Sistema: M/M/ de dos servidores de Fórmula Promedio de cliente llegados por Hora λ= 30 Promedio de Servicio por servidor por Hora = 40 Tasas de llegadas eficaces al sistema global por hora = 30 Tasas de servicio eficaz del sistema global por hora = 30 Tasa de ocupación del sistema 37.50% Número promedio de clientes en el sistema (L) = 0.8727 Número promedio de clientes en la cola(Lq) = 0.1227 Número promedio de clientes en la cola para un sistema ocupado(Lb) = 0.6 Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema (W) = 0.0291 Horas Tiempo promedio que un clienta pasa en la cola(Wq) = 0.0041 Horas Tiempo promedio que un cliente pasa en la cola para un sistema ocupado (Wb) = 0.0200 Horas Probabilidad que todos los servidores estén ociosos (Po) = 45.45% Probabilidad de un cliente espere al llegar al sistema(Pw) o sistema está ocupado(Pb) = 20.45% Número promedio de clientes que no serán atendidos por el sistema por Hora = 0 Costo total del servidor ocupado por Hora = $0 Costo total del servidor ocioso por Hora = $0 Costo total clientes esperando por hora $0 Costo total de clientes que inician servicio por Hora = $0 Cosot total de clientes being balked per Hora = $0 Total queue space cost per Hora = $0 Costo total del sistema por Hora = $0 EnEspañol
  45. Solución… • Adicionalmente podemos realizar los siguientes análisis: • Observar las probabilidades estimadas de que existan de 0 hasta 200 clientes en la cola:
  46. Solución… • También podemos realizar una simulación del sistema: • Si presionamos veremos la siguiente ventana: • En el que usaremos: • La semilla de aleatoriedad por defecto • Una disciplina de cola de tipo FIFO (PEPS) • Un tiempo de simulación de cola de 24 horas (1 día). • El momento que iniciará la recolección de datos será a las cero horas. • La capacidad de la cola es infinita (M). • El máximo de número de recolecciones de datos será infinito (M).
  47. Solución… • Si presionamos OK, se llevará adelante la simulación y veremos los siguientes resultados de la actuación de la cola durante 24 horas:
  48. Solución… • Las probabilidades estimadas para n clientes:
  49. Solución… • Otro de los análisis del que podemos disponer es el de Análisis de sensibilidad. •Si presionamos podremos observar la siguiente ventana:
  50. Solución… • Si realizamos un análisis de sensibilidad, seleccionando como parámetro de análisis a la tasa de llegadas , haciendo que esta cambie de 30 a 100 [cl/hr], con un paso de 10 [cl/hr], utilizando el modelo de aproximación G/G/s, podremos ver de que manera reacciona el sistema: •Podemos observar claramente de que la utilización del sistema va en incremento en una proporción de 10 [cl/hr], y cuando ésta llega a los 70 [cl/hr], se da una utilización del 87.5% (Máxima utilización posible), pero si seguimos incrementando hasta llegar a los 80 [cl/hr], el sistema se vuelve inestable, es decir el número de servidores es insuficiente.
  51. Solución… También podemos ver el gráfico del análisis de sensibilidad de un parámetro determinado en función del parámetro analizado: Si presionamos en: Show Sensitivity Analysis - Graph •Se abrirá la siguiente ventana: En la que seleccionaremos como variable independiente para el gráfico a L (Número promedio de clientes en el sistema), en función de nuestro parámetro analizado ():
  52. Solución… En el que se puede ver un crecimiento exponencial. Así sucesivamente se pueden ir analizando cada uno de los parámetros, dependiendo que necesidades se tiene.
  53. Solución… • Otro análisis disponible es el de Análisis de Capacidad: Como éste análisis se realiza a partir de costos, se asumirán los siguientes costos Costo de servidor ocupado por hora = 5 $ Costo de servidor ocioso por hora = 1 $ Costo por cliente en espera = 0.5 $ Costo por cliente servido por hora = 3 $ Costo por cliente no atendido = 1 $ Costo unitario por capacidad de cola = 3 $
  54. Solución… Si presionamos podremos observar la siguiente ventana: En el que variaremos el número de servidores de 2 a 8, con un paso de 1, y en el que la capacidad de la cola es Infinita, seleccionando la formula G/G/s de aproximación.
  55. Solución… c) Si presionamos en OK, la ventana de resultados será la siguiente:
  56. Práctica 2, con WQSB  Una cadena de supermercados es abastecida por un almacén central. La mercadería que llega a este almacén es descargada en turnos nocturnos. Los camiones que descargan llegan en forma aleatoria siguiendo una Poisson a razón de dos camiones por hora. En promedio 3 trabajadores descargan 3 camiones por hora siguiendo una distribución exponencial. Si el número de trabajadores del equipo es incrementado, la razón de servicio se incrementa en la misma proporción. Cada trabajador recibe 5$ por hora durante el turno nocturno de 8 horas. El costo de tener el chofer esperando ser servido, se estima en 20 $ por hora. Se desea determinar el tamaño del equipo que minimiza el costo total.  Datos:  Numero de servidores = 2  =2 [cl/hr]  1= 3 [cl/hr], 2= 4 [cl/hr], 3= 5 [cl/hr]…………  El problema será del tipo M/M/1/FIFO//  CS = 5 [$/hr]  CE = 20 [$/hr]
  57. Tarea • Formar grupos y presentar en la siguiente clase 4 aplicaciones reales de teoría de colas reales (Planteamiento del problema y solución calculada manualmente y/o con winsqb).
  58. Conclusiones generales • La Teoría se colas es una herramienta aplicable a un sin número de actividades de negocios, sobretodo en lo que es atención a clientes. • El Winqsb permite cálculos de forma rápida y sencilla los principales parámetros que nos permitirán tomar decisiones que afectan el nivel de servicio y los costos.
  59. Bibliografía recomendada • “LOGÍSTICA – ADMINISTRACIÓN DE LA CADENA DE SUMINISTROS” - RONALD H. BALLOU Ed. Prentice Hall – México 2004 • “ADMINISTRACIÓN DE OPERACIONES” – ROGER G. SCHROEDER Ed. Mc Graw Hill - España 1992 • “LA LOGÍSTICA EN LA ERA DEL CLIENTE” – ÁNGEL BECERRA ESAN - Perú 1996 • “VENTAJA COMPETITIVA” – MICHAEL PORTER CECSA – México 1987 • “ADMINISTRACIÓN LOGÍSTICA” – ARMANDO VALDEZ SAGA – Perú 1990 • “SISTEMAS DE INFORMACIÓN GERENCIAL” – RAYMOND MCLEOD Ed. Prentice Hall Hispanoamericana SA – México 2000
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