Website: www.toanhocdanang.com Phone: 0935 334 225 Facebook: ToanHocPhoThongDaNang

1. DANAMATH
www.toanhocdanang.com
www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang
ĐẠI SỐ 11
GV:Phan Nhật Nam
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CUNG HẰNG SỐ

2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CUNG HẰNG SỐ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
Phương trình chứa cung hằng số
Dấu hiệu nhận dạng : Phương trình chứa các cung có dạng      1 1 2 2, ,..., n na x b a x b a x b  
Khi đó ta có 5 cách sử lý thường gặp
Cách 1: Sử dụng công thức cộng để bỏ cung hằng số (ít gặp)
sin( ) sin cos cos sina b a b a b   hoặc cos( ) cos cos sin sina b a b a b 
sin cos 2 sin
4
x x x
 
   
 
hoặc cos sin 2 cos
4
x x x
 
   
 
(cos trái dấu)
Ví dụ: giải phương trình:
sin 2 cos2 4 2 sin 3cos
4
1
cos 1
x x x x
x
 
    
  

Điều kiện: cos 1 2x x k    (*)
 sin 2 cos2 4 sin cos 3cos cos 1
sin 2 cos2 4sin 1 0
pt x x x x x x
x x x
      
    
 
2
2sin cos (1 2sin ) 4sin 1 0
2sin cos sin 2 0
sin 0
cos sin 2 cos 2 ( )
4
x x x x
x x x
x x k
x x x VN


     
   
  
            
Kết hợp với điều kiện (*) ta có 2x k   là nghiệm duy nhất của phương trình
Cách 2: Hạ bậc sau đó dùng công thức cộng nến phương trình chứ các số hạng có dạng
2
cos
4
ax
 
 
 
hoặc 2
sin
4
ax
 
 
 
2 1 cos2
2
a
sin a

 Hoặc 2 1 cos2
2
a
cos a


Có 2 lựa chon:
Ta phải chọn công thức nào có thể khử
được số 1 và quy về được dạng tích

3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CUNG HẰNG SỐ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com
Ví dụ: Giải phương trình 2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
x x
x
 
   
 
Điều kiện: cos 0
2
x x k

   
2
1 cos
1 cos2
tan 0
2 2
x
x
pt x
 
      
2
2
1 cos cos sin sin
sin 1 cos2 2
0
2 cos 2
x x
x x
x
  
      
 
2
2
1 cos
1 sin (1 cos ) 0
1 sin
x
x x
x

    

 (1 cos )(1 cos ) (1 cos ) 1 sin 0x x x x      
cos 1 2
(1 cos )(sin cos ) 0
sin 0
4 4
x x k
x x x
x x k
 
 

    
               
Cách 3: Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để quy về phương trình tích nếu phương
trình có cặp số hạng : sin ,
3
ax
 
 
 
3
2
hoặc
1
sin ,
6 2
ax
 
 
 
hoặc
1
cos ,
3 2
ax
 
 
 
hoặc
3
cos ,
6 2
ax
 
 
 
(bằng cách chuyển các số về giá trị lượng giác của cung tương ứng)
cos cos 2cos .cos cos cos 2sin .sin
2 2 2 2
sin sin 2sin .cos sin sin 2cos .sin
2 2 2 2
a b a b a b a b
a b a b
a b a b a b a b
a b a b
   
    
   
   
Ví dụ: Giải phương trình
2
1
cos22
3
cos 





 xx

(với
1
cos
2 3

 )
cos cos 2 2cos 0
3 3
pt x x
  
     
 
 2cos cos 2cos 0
3
x x x
 
   
 
2cos cos 1 0
3
x x
  
     
  

cos 0
2
cos 1 4
3
3
x x k
x
x k





               

4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CUNG HẰNG SỐ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 www.toanhocdanang.com
Cách 4: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng thông thường bước tiếp theo ta sẽ quy
phương trình về dạng bậc 2 hoặc bậc 3 theo một hàm lượng giác
 
 
 )sin()sin(
2
1
cos.sin
)cos()cos(
2
1
sin.sin
)cos()cos(
2
1
cos.cos
bababa
bababa
bababa



Ví dụ: Giải phương trình xxxx 2cos
6
sin
6
sin.cos4 













Ta có: 4cos .sin sin 2cos cos cos2 cos 2cos2 cos
6 6 3
x x x x x x x x
       
            
     
2 2
cos 2cos2 cos cos2 cos 2cos(2cos 1) 2cos 1pt x x x x x x x         
3 2
4cos 2cos 3cos 1 0x x x     2
(cos 1)(4cos 2cos 1) 0x x x    
2
cos 1 2
cos 1 5 1 5 1
cos arccos 2
4 44cos 2cos 1 0
5 1 5 1
cos arccos 2
4 4
x x k
x
x x k
x x
x x k



 
  
 
               
         
Cách 5: Đặt ẩn phụ :
Đặt i it a x b  với  1 2; ; ;i na Min a a a để chuyển về phương trình bậc 2, bậc 3
Ví dụ: Giải phương trình: 












2
3
10
sin
2
1
210
3
sin
xx 
Đặt:
3 3 3 9
2 3
10 2 5 2 10
x x
t x t t
  
        (vì
1 1 3
;
2 2 2
Min
 
  
 
)
 
1 9 1
sin sin 3 sin sin 3 2sin sin3
2 10 10 2
pt t t t t t t
 

 
         
 

5. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CUNG HẰNG SỐ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 www.toanhocdanang.com
3
sin 0 (1)
1
2sin 3sin 4sin sin (2)
2
1
sin (3)
2
t
t t t t
t

 

   


  

3
(1) 2
5
t k x k

     
4
2 4
6 15
(2)
5 7
2 4
6 30
t k x k
t k x k
 
 
 
 

    
 
      

13
2 4
6 15
(3)
7 26
2 4
6 15
t k x k
t k x k
 
 
 
 

     
 
      

Bài tập minh họa
1. Giải các phương trình sau (cách 1)
a.  
2 sin
4
1 sin 2 1 tan
cos
x
x x
x
 
 
    
b. sin 3 sin 2 sin
4 4
x x x
    
     
   
c.
sin 2 cos2 4 2 sin 3cos
4
1
cos 1
x x x x
x
 
    
  

d. 0
2
3
sin5
2
cos
2
5
sin2)3(sin3 22


















 xxxx


e. 2
sin os
1 6 3
cos sinx.tan
os 2 cos
x c x
x
x
c x x
    
     
        
 
2. Giải các phương trình sau (cách 2)
a.   2
1 2cos3 sin sin 2 2sin 2 0
4
x x x x
 
     
 
b. 1
1cos2
42
sin2cos)32( 2









x
x
x


6. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CUNG HẰNG SỐ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 www.toanhocdanang.com
c.    
   
 
2
2 os3 .cos + 3 1 s in2 2 3 os 2
4
c x x x c x
d.
2
sin3
3
2
sin
3
sin 22 x
xx















e. 








24
cos8
cos
)sin1(3
tantan3 2
2
3 x
x
x
xx

f.   2
2cos3 cos 3 1 sin 2 2 3 os 2
4
x x x c x
 
    
 
g. 2 2
2sin 1 4cos
2 4 3 6
x x    
      
   
3. Giải các phương trình sau (cách 3)
a.
2
1
sin3sin4
6
sin 





 xxx

b. 2 2 1
cos sin 2sin
3 6 4
x x x
    
       
   
c. 2
cos4 2cos sin 3 sin 1
3 3
x x x x
    
        
   
d. 2
cos4 2cos sin 3 sin 1
3 3
x x x x
    
        
   
e.
2
1
cos22
3
cos 





 xx

f. 23
os2 2 sinx sin 3 os 3 1 2sin 2
4 4 4
c x x c x x
        
            
      
4. Giải các phương trình sau (cách 4)
a. 4 4 3
cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x
    
        
   
b.
2
4sin .sin .sin 4 3.cos .cos .cos 2
3 3 3 3
x x x x x x
          
            
       
5. Giải các phương trình sau (cách 5)
a. sin 3 sin 2 .sin
4 4
x x x
    
     
   
b. xx 3cos
3
cos8 3








c. 217
sin 2 16 2 3sin cos 20sin
2 2 12
x
x x x
    
       
   
d. sin3 cos3 2 2 cos 1 0
4
x x x
 
     
 
e.
3
2 2 cos2 sin 2 cos 4sin 0
4 4
x x x x
    
       
   