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- 2. 1. 대수 기초 2.함수 기초 3. 선형대수 기초 4.관계 기초 목차 2
- 3. 5. 그래프 기초 6. 삼각함수 7. 지수/로그 기초 8. 수열 기초 목차 3
- 4. 9. 집합 기초 10. 미분/적분 기초 11. 확률과 통계 기초 목차 4
- 6. 주요 기호 Moon Yong Joon 6
- 7. 그리스 문자 Α/α(알파) Β/β(베타) Γ/γ(감마) Δ/δ(델타) Ε/ε(엡실론) Ζ/ζ(제타) Η/η(에타) Θ/θ(쎄타) Ι/ι(요타) Κ/κ(카파) Λ/λ(람다) Μ/μ(뮤) Ν/ν(뉴) Ξ/ξ(크시) Ο/ο(오미크론) Π/π(피) Ρ/ρ(로우) Σ/σ(씨그마) Τ/τ(타우) Υ/υ(윕실론) Φ/φ(휘) Χ/χ(키 또는 카이) Ψ/ψ(프시) Ω/ω(오메가) 7
- 8. 집합기호 8
- 9. 명제기호 9
- 11. 수11
- 12. 수 자연수, 정수, 유리수, 무리수, 실수로 확장되는 수의 관계 12
- 13. 정수13
- 14. 정수 정수(整數, integer)는 자연수(1, 2, 3, ...)와 이들 의 음수(−1, −2, −3, ...)와 0으로 이루어진 수 체계이다. 정수는 자연수와 마찬가지로 가산 무 한 집합이며, 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대하여 닫혀 있 어 환을 이룬다. 14
- 15. 유리수15
- 16. 유리수 유리수(有理數, rational number)는 두 정수의 분수 형태(단 분모는 반드시 0이 아니다)로 나타 낼 수 있는 실수를 말한다. 유리수는 (0으로 나누는 것을 제외한) 사칙연산 (덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈)에 대해 닫혀있는 '최소 의' 집합이기도 하다 16
- 17. 무리수17
- 18. 무리수 무리수(無理數, irrational number)는 두 정수의 비의 형태로 나타낼 수 없는 실수를 말한다. 즉, 분수로 나타낼수없는 소수이다. 18
- 19. 실수19
- 20. 실수 실수 [實數, real number] 정수의 몫으로 정의되 는 유리수의 범위에서는 대소의 순서를 정할 수 있으며, 사칙연산을 자유로이 할 수 있다. 그러나 이 범위에서는 역시 불완전한 점이 많다. 이를테면, 단위의 길이를 가지는 정사각형의 대 각선의 길이(x＝2의 근)는 유리수로 나타낼 수 없 다. 이와 같은 결함을 보완하기 위하여 유리수에 무 리수를 첨가하여 수의 범위를 실수까지 확장한 것이다. 20
- 21. 복소수21
- 22. 복소수 복소수(複素數, complex number)는 다음 꼴로 나타낼 수 있는 수 이다. a+bi 이 때 a, b는 실수이고 i는 허수단위로 i2=-1을 만족한다. 실수 a를 그 복소수의 실수부, 실수 b 를 복소수의 허수부라고 부른다. 모든 실수는 복소수에 포함된다. 왜냐하면 모든 실수는 허수부가 0인 복소수로 표시할 수 있기 때 문이다. 22
- 23. 복소수 연산 복소수(複素數, complex number)는 다음 꼴로 23 나눗셈
- 24. 항등원,역수24
- 25. 항등원 항등원(恒等元)은 집합의 어떤 원소와 연산을 취 해도, 자기 자신이 되는 원소를 말한다. 쉽게 말해 서, 1개의 양을 전혀 달라 보이는 다른 양과 같게 만드는 수학적 관계를 말한다고 생각하면 된다. 25
- 26. 반수: 덧셈 반수(反數)는 그 수를 더했을 때 0이 되는 수를 말 한다. 예를 들면 7의 경우 -7에 7을 더하면 0이 되므로 7의 반수는 -7이다. 다르게 말하면 어떤 양수 n의 반수는 그와 절댓값 이 같은 음수라고 할 수 있으며 그 역도 성립한다. 정수, 유리수, 실수, 복소수는 음수가 있기 때문에 모두 반수가 있다. 26
- 27. 역수 : 곱셈 어떤 수의 역수(逆數,reciprocal) 또는 곱셈 역원 (-逆元, 영어: multiplicative inverse)은 그 수와 곱해서 1, 즉 곱셈 항등원이 되는 수를 말한다. x의 역수는 1/x 또는 x -1로 표기한다. 곱해서 1이 되는 두 수를 서로 역수 27
- 28. 절대값28
- 29. 절댓값은 거리의 개념이므로 반드시 0또는 양수이어야하며, 만약 실수 a가 음수라면, a에 (-1)을 곱해 양수화 절대값 absolute value 어떤 실수 a를 수직선에 대응시켰을 때, 수직선의 원점에서 실수 a까지의 거리를 의미한다. 이것을 기호로 |a|로 표시. 29
- 30. 비율30
- 31. 비율 비(比, ratio)는 어떤 수가 다른 한 수의 몇 배인지 를 나타내는 관계이다. 이 배수를 비율(比率, ratio)이라고 한다. 원주율 원의 지름에 대한 원주의 비율. 백분율 수를 100과의 비로 나타내는 것. 31
- 32. PYTHON SYMPY 수, 심벌, 전개식, 해 구하기 처리 Moon Yong Joon 32
- 34. sympy 모듈 이란 SymPy는 symbolic mathematics을위한 python 라이브러리입니다. SymPy는 가능한 한 간단하게 코드를 유지하는 것은 이해하기 쉽게 확장 할 수있는 a full- featured computer algebra system (CAS)처리 34
- 35. sympy 구조 SymPy는 symbolic mathematics를 처리하기 위 해 다양한 객체들로 구성해서 평가해 수학처럼 문제를 푸는 체계 35 Sympy는 정의한 것은 pi도 하나의 인스턴스 객체 이므 로 이 값을 처리를 위해서는 평가(evalf)를 해야 함
- 36. sympy 객체 Sympy객체를 변수에 할당해서 사용하지만 별도 의 객체로 역할 함 36 Symbol로 정의할 때 들어간 문자열의 실 제 name이고 할당 된 참조변수는 symbol 객체가 할당 된 변수라 이름이 달 라도 됨
- 37. Symbol 객체 이해37
- 38. sympy 구조 SymPy는 symbolic mathematics를 처리하기 위 해 다양한 객체들로 구성되며 이를 평가해 수학 처럼 문제를 푸는 체계 38 Sympy는 정의한 것은 pi도 하나의 인스턴스 객체 이므 로 이 값을 처리를 위해서는 평가(evalf)를 해야 함
- 39. 수 타입 체계39
- 40. 정수 : sympy 정수(整數, integer)는 자연수(1, 2, 3, ...)와 이들 의 음수(−1, −2, −3, ...)와 0으로 이루어진 수 체계이다. 40
- 41. 유리수 : sympy 유리수(有理數, rational number)를 분자(p)와 분모(q)로 관리 41
- 42. 실수 1 : sympy 실수 [實數, real number] 42
- 43. 실수 2 : sympy Sympify로 sympy 숫자 타입을 확인 43
- 44. 복소수 : sympy Sympify로 sympy 숫자 타입을 확인 44
- 45. 무한대 처리45
- 46. 무한대/pi를 심벌 처리 sympy는 oo로 무한대, pi로 파이 상수를 관리 46
- 48. symbol 처리 Sympy 는 명확히 수학적인 심벌을 표시 x = Symbol(’x’)는 심벌을 하나 정의 a, b, c = symbols(’a, b, c’)는 심벌을 여러 개 정의 48
- 49. symbol 처리 : 변수에 타입주기 symbols 정의시 이 변수에 들어갈 데이터 타입 을 부여할 수 있음 49
- 50. symbol 처리 : 함수명 symbols 정의시 cls 파라미터에 Function을 부 여하면 함수 변수가 됨 50
- 51. 전개식 처리51
- 52. expand 메소드 : 전개식 처리 표현식도 별도의 타입을 가지므로 expand메소 드를 사용하면 표현식이 전개됨 52
- 53. expand 함수 : 전개식 처리 표현식도 별도의 타입을 가지므로 expand메소 드를 사용하면 표현식이 전개됨 53 곱셈 전개시 동일 항에 대한 곱셈부 분도 전개가 필요 하며 force=True 처리
- 54. 해 구하기54
- 55. Solve 함수 : 해 구하기 표현식을 solve 함수에 넣으면 해를 구해 줌 55
- 56. PYTHON NUMBER DATA TYPE Moon Yong Joon 56
- 57. Numeric Type57
- 58. 숫자타입 숫자에 대한 객체를 관리하는 데이터 타입 Numberic Types int float long(2.x) complex 숫자타입도 하나의 객체이므로 1 이 생성 되면 동일한 context 내에서는 동일한 객체 id를 가지고 사용 58
- 59. 숫자타입 – 기본 연산자 및 함수 숫자 타입에 기본으로 처리 되는 함수, operator Operation Result Notes x + y sum of x and y x - y difference of x and y x * y product of x and y x / y quotient of x and y x // y (floored) quotient of x and y x % y remainder of x / y -x x negated +x x unchanged abs(x) absolute value or magnitude of x int(x) x converted to integer long(x) x converted to long integer float(x) x converted to floating point complex(re,im) a complex number with real part re, imaginary part im. im defaults to zero. c.conjugate() conjugate of the complex number c divmod(x, y) the pair (x // y, x % y) pow(x, y) x to the power y x ** y x to the power y 59
- 61. 숫자타입 - int int 타입 내의 operator 처리 내장 메소드 및 속 성들 61
- 62. 숫자타입 – int 예시 int 내부 속성에 대한 처리 real : int는 숫자를 관리하고 bit_length() : 이진수로 변환시 bit 길이 denominator : 분모 numerator : 분자 62
- 63. 숫자타입 – long 타입 python3버전에서는 통합되어 관리 Notes Python 2 Python 3 ① x = 1000000000000L x = 1000000000000 ② x = 0xFFFFFFFFFFFFL x = 0xFFFFFFFFFFFF ③ long(x) int(x) ④ type(x) is long type(x) is int ⑤ isinstance(x, long) isinstance(x, int) 63
- 65. 숫자타입 - float float 타입 내의 operator 처리 내장 메소드 및 속성들 65
- 66. 숫자타입 – float 예시 float 내부 속성에 대한 처리 • real : float는 숫자를 관리하고 • hex() : 16진수로 변환 • fromhex() : hex() 결과의 문자 열을 float로 전환 • is_integer() : 실수 중 소수점 이 하 값이 0일 경우 true • as_integer_ratio() : 현재 값을 denominator : 분모, numerator : 분자로 표시 66
- 68. 숫자타입 - complex float 타입 내의 operator 처리 내장 메소드 및 속성들 68
- 69. 숫자타입 – complex 예시 complex 내부 속성에 대한 처리 • real : float는 숫자를 관리하고 • imag: 허수부문 • conjugate () : 켤레복소수 구 하기 69
- 70. 분수계산하기70
- 71. 숫자타입 – fractions 표시 fractions 모듈을 이용해서 분수를 계산. Float 타입과 계산시에는 float 타입으로 전환 됨 71
- 72. 숫자타입 – fractions 연산 fractions 모듈을 이용해서 분수를 계산. Float 타입과 계산시에는 float 타입으로 전환 됨 72
- 74. 거듭제곱74
- 75. 거듭제곱 거듭제곱은 이항 연산으로, 하나의 수를 여러 번 곱하는 연산을 의미한다. 기호로는 an 으로 표기 하며, 이때 a를 밑, n을 지수라고 한다. 75
- 76. 거듭제곱의 지수 표현 거듭제곱은 지수가 음수이면 기존 거듭제곱이 역 수가 되가 분수인 경우는 제곱근 표현이 됨 지수가 음수인 경우 지수가 분수인 경우 76
- 77. 거듭제곱의 성질 거듭제곱은 반복적인 곱하기와 나누기 처리를 하 므로 아래의 성질을 준수 77
- 78. 제곱근78
- 79. 제곱근 x의 제곱근(제곱根)은 제곱하여 x가 되는 실수를 가리키며, 특히 이 가운데 양의 제곱근을 sqrt(x) 라고 표기하고 "제곱근 x"(루트 x)라고 읽는다. 79
- 80. 제곱근의 지수 표현 제곱근 x를 수치적인 표현으로는 지수 표현을 분 수식으로 나타내면 됨 x1/2로 표현 80
- 81. 일반적으로 실수 x에 대하여 값이 부호는 +/-를 가짐 제곱근의 부호 표현 제곱근의 부호 81
- 82. 제곱근 x에 대한 수의 성질 제곱근의 값 표현 제곱근의 표현 제곱근의 값 자연수 x에 대해 결과값 은 자연수이거나 무리수이 다 음이 아닌 실수 x가 제곱 근 내부의 제곱은 x가 됨 82
- 83. 제곱근 두수 x,y에 대한 곱셈과 나눗셈 처리 방식 제곱근의 성질 제곱근의 곱셈 제곱근의 나눗셈 83
- 85. 거듭제곱85
- 86. 밑 a, 지수 b에 대한 거듭 제곱을 구하는 것은 math.pow 함수와 연사자 **를 사용 거듭제곱 86
- 87. 제곱근87
- 88. 밑a이고 지수가 b일 경우 math.sqrt함수는 root2에 대한 값만 처리 하므로 **/pow에서 분 수를 이용해서 제곱근을 구함 제곱근 88
- 90. 기수법90
- 91. 기수법 기수법(記數法, numeral system)은 수를 시각적으 로 나타내는 방법으로, 기수법을 통해서 나타나는 각 각의 숫자는 다른 수들과 구별되는 표기 방식을 가진 다. 91
- 92. 진법92
- 93. 이진법 이진법(二進法, binary)은 두 개의 숫자만을 이용 하는 기수법이다. 관습적으로 0과 1의 기호를 쓰 며 이들로 이루어진 수를 이진수라고 한다. 93
- 94. 팔진법 팔진법 (octal number system , 八進法 ) 은 8을 밑으로 하는 기수법이다. 0부터 7까지의 숫자를 사용한다. 이진법 표기의 3자리와 팔진법 한 자리 가 일대일 대응 94
- 95. 십진법 십진법(十進法, 열올림법)은 10을 기수로 한 기수 법이다. 자리수로 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9를 쓴다. 95
- 96. 십육진법 십육진법(十六進法, hexadecimal)은 16을 밑으로 하는 기수법이다. 보통 0부터 9까지의 수와 A에서 F 까지의 로마 문자를 사용하고, 이때 대소문자는 구별 하지 않는다. 이진법 표기의 4자리와 십육진법 한 자 리가 일대일 대응하며, 2진수가 많이 쓰이는 컴퓨터 에서 2진수를 대신해 많이 쓰이고 있다. 96
- 98. 진법표현98
- 99. 진법 표현 bin, oct, hex를 이용해서 이진법, 팔진법, 16진 법을 표현함 99
- 100. Bit 연산100
- 101. 비트연산자 : and, or, xor Operator Description & Binary AND 서로 같은 비트가 있는 경우만 표시 | Binary OR 서로 같은 경우 또는 다른 경우도 전 부 표시 ^ Binary XOR 다른 경우만 표시 101
- 102. 비트연산자 : ~, <<, >> Operator Description ~ Binary Ones Co mplement 1의 보수 구하기 << Binary Left Shift 좌축으로 비트 이동. >> Binary Right Shi ft 우축으로 비트이동. 102
- 103. 대수의 법칙 Moon Yong Joon 103
- 104. 연산 우선순위104
- 105. 연산 우선순위 연산자에 대한 우선순위는 PEMDAS로 처리 105
- 106. 교환법칙106
- 107. 수학에서, 집합 S 에 이항연산 * 이 정의되어 있을 때, S의 임의의 두 원소 a, b 에 대해 a * b = b * a가 성립하면, 이 연산은 교환법칙(交換法則, commutative law)을 만족한다고 한다 교환법칙을 만족하는 연산의 예를 들어보면 다음과 같다. 유리수, 실수, 복소수에서 덧셈과 곱셈. 행렬, 벡터의 덧셈 집합의 교집합, 합집합 연산 교환법칙 수학에서 순서와 상관없이 다른 항을 바꿔 계산 해도 동일한 값이 나오는 법칙 107
- 108. 교환법칙 : 덧셈과 곱셈 수학에서 순서와 상관없이 다른 항을 바꿔 계산 해도 동일한 값이 나오는 법칙 108
- 109. 결합법칙109
- 110. 수학에서 결합법칙(結合 法則, associated law)은 한 식에서 연산 이 두 번 이상 연속될 때, 앞쪽의 연산을 먼저 계산한 값과 뒤쪽의 연산을 먼저 계산한 결과가 항상 같을 경우 그 연산은 결합법칙을 만족한다고 한다. 결합법칙을 만족하는 연산의 예를 들어보면 다음과 같다. 실수와 복소수, 사원수의 덧셈과 곱셈은 결합법칙이 성립한 다. 최대공약수와 최소공배수 함수는 결합법칙을 만족한다. 행렬 곱셈은 결합법칙을 만족한다. 결합법칙 연산이 두 번 이상 연속될 때 연산을 묶어서 처리 110
- 111. 결합법칙 연산이 두 번 이상 연속될 때 연산을 묶어서 처리 111
- 112. 분배법칙112
- 113. 집합 S와 S에 대해 닫혀있는 이항 연산 *가 정의되어 있을 때, S의 임의의 원소 a, b, c에 대해 a * (b + c) = (a * b) + (a * c)가 성립 하면 좌분배법칙이, (b + c) * a = (b * a) + (c * a)가 성립하면 우 분배법칙이 성립한다고 하며 양쪽모두 성립할 경우 집합 S에서 연 산 *에 대해 분배법칙이 성립한다고 한다. 분배법칙을 만족하는 연산의 예를 들어보면 다음과 같다. 임의의 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수의 곱셈 ×은 덧 셈 ＋에 대해 분배법칙이 성립한다. 합집합 연산 ∪은 교집합 연산 ∩에 대해 분배법칙이 성립하 고, 교집합 연산 ∩은 합집합 연산 ∪에 대해 분배법칙이 성 립한다. 또한, 교집합 연산은 대칭자 연산에 대해 분배법칙 이 성립한다. 분배법칙 수학에서 이항연산 *와 묶음이 있을 경우 분배하 면 동일한 처리값이 나오는 법칙 113
- 114. 분배법칙 수학에서 순서와 상관없이 다른 항을 바꿔 계산 해도 동일한 값이 나오는 법칙 114
- 115. 서로소115
- 116. 공약수/최대공약수 공약수, 최대공약수, 서로소 용어 정의 공약수 두 개 또는 그 이상의 자연수가 있을 때 그 자연수들의 공통인 약수. 최대공약수 공약수들 중에서 가장 큰 수.12의 약수={1,2,3,6,12} 16의 약수={1,2,4,8,16} 18의 약수={1,2,3,6,9,18} 에서 12와 16의 공약수 → 1,2,4 → 최대공약수는 4 12, 16, 18의 공약수 → 1,2 → 최대공약수는 2 서로소 공약수가 1 하나 뿐인 두 자연수 사이의 관계 (예) 8의 약수={1,2,4,8}, 9의 약수={1,3,9}에서 8과 9의 공약수는 1 한 개 뿐이므로 8과 9는 서로소 116
- 117. 서로소 최대공약수가 1인, 둘 이상의 양의 정수들은 서로 소(relatively prime)이라고 불린다. 두 정수가 1 이외에 양의 공약수를 가지지 않으면 서로소이다. 117
- 118. 대입118
- 119. 대입 대입(代入, substitution) 또는 변수변환(變數變 換, change of variables)은 수식의 특정 변수를 일정한 값 또는 다른 수식으로 치환하는 행위 119
- 120. 분모의 유리화120
- 121. 분모의 유리화 유리화(Rationalization)는 무리수가 있는 분수에 서, 분모 부분을 유리수로 바꾸는 과정을 말한다 121 분모와 분자에 분모를 곱하면 무리수가 유리 수로 변경됨
- 122. PYTHON 연산자와 OPERATOR 모듈의 대수의 법칙 Moon Yong Joon 122
- 123. 연산자 구조123
- 124. 연산자와 special method python 문법의 연산자는 각 type class 내부에 대 응하믄 special method가 존재 연산자 Special Method 각 타입별로 연산자는 special method와 매칭 124
- 125. 연산자 우선순위 순위 구분 Operator Description 0 그룹 ( ) Parentheses (grouping) 1 함수 f(args...) Function call 2 참조 x[index:index] Slicing 3 참조 x[index] Subscription 4 참조 x.attribute Attribute reference 5 산술 ** Exponentiation(제곱) 6 비트 ~x Bitwise not 7 부호 +x, -x Positive, negative 8 산술 *, /, % Multiplication, division, remainder 9 산술 +, - Addition, subtraction 10 비트 <<, >> Bitwise shifts 11 비트 & Bitwise AND 12 비트 ^ Bitwise XOR 13 비트 | Bitwise OR 14 비트 in, not in, is, is not, <, <=, >, >=,<>, !=, == Comparisons, membership, identity 15 논리 not x Boolean NOT 16 논리 and Boolean AND 17 논리 or Boolean OR 18 함수 lambda Lambda expression 125
- 126. 부호변환126
- 127. 부호연산 숫자 객체에 대한 부호 변환하는 연산 Operation 연산자 Function Method Negation (Arithmetic) - a neg(a) x.__neg__() Positive + a pos(a) x.__pos__() 127
- 128. 부호변환 예시 숫자 타입의 부호를 변환 128
- 129. 산술 연산129
- 130. 산술연산 : 정방향 숫자 객체들에 대한 수학적인 산술연산 Operation 연산자 Function Method addition x + y add(a, b) x.__add__(y) subtraction x - y sub(a, b) x.__sub__(y) multiplication x * y mul(a, b) x.__mul__(y) division x / y div(a, b) x.__div__(y) division x / y truediv(a, b) x.__truediv__(y) floor division x // y floordiv(a, b) x.__floordiv__(y) modulo (remainder) x % y mod(a, b) x.__mod__(y) floor division & modulo divmod(x, y) N/A x.__divmod__(y) raise to power x ** y pow(a, b) x.__pow__(y) 130
- 131. 산술연산 예시: operator 모듈 Operator 모듈을 import해서 사용 131
- 132. 산술연산 예시: int method Int class 내의 special method 이용해 계산 132
- 133. 산술연산 예시: 연산자 python 문법의 연산자 이용 133
- 134. 산술연산 : 역방향 수학적인 산출연산에 대한 역방향 메소드 제공 계산 결과는 정방향과 동일 Operation 연산자 Function Method addition x + y add(a, b) y.__radd__(x) subtraction x - y sub(a, b) y.__rsub__(x) multiplication x * y mul(a, b) y.__rmul__(x) division x / y div(a, b) y.__rdiv__(x) division x / y truediv(a, b) y.__rtruediv__(x) floor division x // y floordiv(a, b) y.__rfloordiv__(x) modulo (remainder) x % y mod(a, b) y.__rmod__(x) floor division & modulo divmod(x, y) N/A y.__rdivmod__(x) raise to power x ** y pow(a, b) y.__rpow__(x) 134
- 135. 산술연산 역방향 예시 사칙연산이 정방향이나 역방향이나 계산은 동일 135
- 136. 비트 연산136
- 137. 비트연산 설명 비트연산에 대해서는 실제 숫자의 비트를 가지고 연 산 Operation 연산자 설명 left bit-shift x << y y만큼 왼쪽으로 bit 이동 : 산식은 (x * (2** y) ) right bit-shift x >> y y만큼 오른쪽으로 bit 이동 : 산식은 (x // (2** y) ) bitwise and x & y x와 y이 동일한 비트값만(1 또는 0) 남고 동일하지 않으면 0 처리 bitwise xor x ^ y x와 y에서 서로 대응되지 않는 값만 남김 bitwise or x | y x와 y에서 1이 있는 값은 1로 처리 0이 동일한 경우 0 처리 Bitwise Inversion ~ a a의 비트를 반대로 표시 137
- 138. 비트연산 python 연산자,operator 모듈내의 함수와 int 메소 드간의 관계 Operation 연산자 Function Method left bit-shift x << y lshift(a, b) x.__lshift__(y) right bit-shift x >> y rshift(a, b) x.__rshift__(y) bitwise and x & y and_(a, b) x.__and__(y) bitwise xor x ^ y xor(a, b) x.__xor__(y) bitwise or x | y or_(a, b) x.__or__(y) Bitwise Inversion ~ a invert(a) x.__invert__() 138
- 139. 비트 연산 예시 비트연산 139
- 141. augmented operator python에서는 할당연산자와 일반연산자를 축약해 서 사용 X += Y X = X+ Y 141
- 142. 사칙연산 사칙연산 Operation 연산자 Function Method addition x += y iadd(a, b) x.__iadd__(y) subtraction x -= y isub(a, b) x.__isub__(y) multiplication x *= y imul(a, b) x.__imul__(y) division x /= y idiv(a, b) x.__idiv__(y) division x /= y itruediv(a, b) x.__itruediv__(y) floor division x //= y ifloordiv(a, b) x.__ifloordiv__(y) modulo (remainder) x %= y imod(a, b) x.__imod__(y) raise to power x **= y ipow(a, b) x.__ipow__(y) 142
- 143. 증가비트연산 비트연산과 할당연산을 같이 사용 Operation 연산자 Function Method left bit-shift x <<= y ilshift(a, b) x.__ilshift__(y) right bit-shift x >>= y irshift(a, b) x.__irshift__(y) bitwise and x &= y iand_(a, b) x.__iand__(y) bitwise xor x ^= y ixor(a, b) x.__ixor__(y) bitwise or x |= y ior_(a, b) x.__ior__(y) 143
- 144. 논리연산144
- 145. 논리연산 논리연산은 boolean 값을 비교해서 처리 Operation Syntax Function Method and Logical AND a and b NA NA or Logical OR a or b NA NA Negation (Logical) not a not_(a) NA 145
- 146. 논리연산 예시 논리연산 146
- 148. 방정식148
- 149. 방정식 방정식(方程式, equation)은 식에 있는 특정한 문 자의 값에 따라 참/거짓이 결정되는 등식이다. 이때, 방정식을 참이 되게 하는 특정 문자의 값을 해 또는 근이라 한다. 149 항등식 방정식 X의 해는 2,3
- 150. 상수항 상수항은 다항식이나 방정식에서 변수 또는 미지 수를 포함하지 않은 항이다. 예를 들면, 다항식 a0xn＋a1xn-1＋…＋an-1x＋an 에서는 변수 x를 포함하지 않은 항 an을, 또 방정 식 a0xn＋a1xn-1＋…＋an-1x＋an＝0에서는 미지 수 x를 포함하지 않은 항 an을 상수항이라 한다. 150
- 151. 다항방정식 일차방정식, 이차방정식, 삼차방정식, 고차방정 식 등과 같이 미지수에 대한 다항식으로만 이루 어진 방정식을 다항 방정식이라고 한다 151 다항 방정식 정의 다항 방정식 해
- 152. 일차방정식152
- 153. 일차방정식 일차방정식(Linear equation) 또는 선형 방정식 은 최고차항의 차수가 1인 방정식을 뜻한다. 153 a0x1+a1x0 a0 = a a1 = b n=1 일 경우
- 154. 일차방정식 풀이 일차방정식에서 상수를 좌변으로 이항한 후에 변 수앞에 있는 계수로 양변을 나누면 x 값을 정함. 154
- 155. 이차방정식155
- 156. 이차방정식 이차 방정식(二次方程式, quadratic equation)이 란, 최고차항의 차수가 2인 다항 방정식을 뜻한다 156 a0x2+a1x1+a2x0 a0 = a a1 = b a2 = c n=2 일 경우
- 157. 이차방정식의 해 이차 방정식은 아래처럼 상수항을 이용해서 근의 공식으로 해를 구할 수 있음 157 근의공식
- 158. 부등식158
- 159. 부등식 부등식(不等式, inequality)은 두 수에 대한 크기 비교를 나타내는 식이다. 부등식은 두 수 및 그 사 이의 부등호(不等號, inequality sign)로 구성된 다. 159
- 160. 추이적관계 임의의 세 원소 a, b, c에 대하여 정의된 이항관 계이 추이적 관계(推移的關係,transitive relation) 라 함 160
- 162. 수식값 부여162
- 163. 수식평가 : +/- 수식을 만들고 subs, evalf, replace로 평가하 기 163
- 164. 수식평가 : *, / 수식을 만들고 subs, evalf, replace로 평가하 기 164
- 165. 방정식 풀기165
- 166. 방정식 풀기 2차 방정식을 전개는 expand 함수로 처리하고 해는 solve 함수로 구함 166
- 168. 관계연산168
- 169. 관계연산 python 내의 객체 간의 순서와 동등 관계를 처리하 는 연산자 Operation 연산자 Function Method Ordering a < b lt(a, b) x.__lt__(y) Ordering a <= b le(a, b) x.__le__(y) Equality a == b eq(a, b) x.__eq__(y) Difference a != b ne(a, b) x.__ne__(y) Ordering a >= b ge(a, b) x.__ge__(y) Ordering a > b gt(a, b) x.__gt__(y) 169
- 171. 곱셈공식171
- 172. 곱셈 공식(-公式, multiplication) 다항식의 곱셈을 할 때 빠르고 편리하게 계산할 수 있도록 한 공식이다. 곱셈 공식의 양변을 바꾸 면 인수분해 공식이 된다. 172
- 173. 피타고라스 정리 피타고라스 정리를 이용해서 하나의 변수를 제곱 근 곱셈공식으로 전환해서 처리. 173
- 174. 제곱근 연산 제곱근 연산도 곱셈 공식을 이용해서 결과를 처 리 174
- 175. 인수분해175
- 176. 인수분해 인수 분해(因數分解, factorization)는 곱이 정의 된 집합내의 어떤 원소를 다른 원소들의 곱으로 표현하는 것을 가리킨다 176
- 177. 인수분해 공식 인수 분해 주요 공식 177
- 178. 인수분해 예시 인수 분해 주요 공식을 이용한 처리 예시 178
- 179. 이항정리179
- 180. 이항정리 이항정리(二項定理, binomial theorem)는 이항 다항식 x+y의 거듭제곱 (x+y)n에 대해서, 전개 한 각 항 xkyn-k의 계수 값을 구하는 정리 180
- 181. 이항정리 : 전개 다항식 (a+b)3의 전개식에서 각 항의 계수를 조 합의 수를 이용하여 나타내는 방법 (a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) =aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb =a3+3a2b+3ab2+b3 =a3+3C1a2b+3C2ab2+b3 3C1 = 3P1/1! = 3!/2!/1! = 3 3C2 = 3P2/2! = 3!/1!/2! = 3 181
- 182. 이항정리 : 파스칼 방식 다항식 (a+b)3의 전개식에서 각 항의 계수를 조 합의 수를 이용하여 나타내는 방법 182
- 184. 공통요소 제거184
- 185. cancel 함수 : 공통요소 제거 분모와 분자의 공통요소를 제거하는 함수는 cancel로 처리 185
- 186. 인수분해186
- 187. factor 함수 인수분해는 factor 함수를 사용하고 전개는 expand 함수를 사용하고 해는 solve함수를 사용 함 187
- 188. factor 함수 : modulus 인수분해를 위한 파라미터를 modulus로 사용하 면 인수분해 불가함 방정식을 조건에 따라 인수 분해 함 188
- 189. factor 함수 :가우시안정수 가우스 정수(Gauß整數, Gaussian integer)는 실 수부와 허수부가 모두 정수인 수이다. (a+bi)(a-bi)=a2+b2 로 표현이 가능한 수 189 = (0+i)(0 –i) = -i*I = -(i)**2 = 1 X**2+1은 인수분 해가 안되어서 가 우시안 수로 인수 분해
- 190. factor 함수 : extension 인수분해를 위한 값을 배정해서 처리 190
- 193. 함수193
- 194. 사상 사상(寫像, 영어: morphism)은 수학적 구조를 보 존하는 함수의 개념을 추상화한 것이다. 사상이라는 용어는 영어 map에 대응하기도 하는 데, 이 경우 맥락에 따라 함수(function)와 사상 (morphism) 모두의 의미로 사용될 수 있다. 194
- 195. 함수란? 함수(函數, function) f:X→Y란 집합X와 집합 Y의 원소 사이에 주어진 다음 성질을 만족하는 대응 으로 정의된다. 195
- 196. 정의역 어떤 함수의 공역(共域, codomain) 또는 공변역 (共變域)은 이 함수의 값들이 속하는 집합이다. 196
- 197. 공역/치역 어떤 함수의 정의역(定義域, domain)은 그 함수의 값이 정의된 집합이다. 함수의 치역(値域, range)이라고 하는 것은 함수의 모든 "출력"값의 집합 197
- 198. 함수의 종류198
- 199. 단사 함수란? 단사(injective) 또는 일대일(one-to-one)이라 하고 일대일인 함수를 단사함수(injection) 또는 일대일 함수(one-to-one function)이라 한다 199
- 200. 전사 함수란? 공역의 모든 원소에게 정의역의 적어도 하나의 원소 를 대응시킨다면(즉, 치역이 공역과 같다면) 전사 (surjective) 또는 X에서 Y 로(onto)의 함수라 한다. 전사인 함수를 전사함수(surjection)이라 한다. 200
- 201. 전단사 함수란? f:X→Y가 전사이고 단사일 때 f를 전단사(bijective) 라 한다. 전단사인 함수를 전단사함수(bijection) 또 는 일대일 대응(one-to-one correspondence)라 한 다. one-to-one & onto라고도 많이 사용한다. 201
- 202. 초월함수 초월함수(超越函數)란 대수함수와 대조적으로, 계수만으로 이루어진 다항식을 만족시키지 않는 함수이다. 초월함수란 유한한 가감승제의 대수 연산으로 표 현할 수 없기 때문에 대수적인 것을 초월하는 함 수이다. 초월함수의 예로 로그함수, 삼각함수 등이 있다. 202
- 203. 역함수203
- 204. 역함수 f:X→Y 함수에 대한 대응관계가 반대로 되는 것을 역함수 즉 f -1: Y → X. 204
- 205. 항등함수 항등함수와 함수를 합성하면 결과는 함수와 같다. 함수와 역함수를 합성하면 항등함수가 나옴 205 =
- 206. 함수의 합성206
- 207. 함수합성 function composition 함수의 합성(函數의合成, function composition)은 한 함수의 공역이 다른 함수의 정의역과 일치하는 경 우 두 함수를 이어 하나의 함수로 만드는 연산이다. 이렇게 얻어진 함수를 합성 함수(合成函數 composite function)라고 한다. 207
- 208. 교환법칙 함수의 교환법칙은 반드시 성립하지 않는다. 208
- 211. mapping Type211
- 212. Mapping 타입-dictionary Key/Value로 원소를 관리하는 데이터 타입이며 요소들은 변경가능함 참조 container Name 1 값 Name 2 contain er 참조 참조 : : Dictionary Type 212
- 213. Mapping 타입 - dict dict 내의 속성과 메소드들 213
- 214. Mapping 타입 – 사용자 클래스 정 의 사용자 클래스 내부에서 dict type 사용하기 214
- 215. Hash 처리215
- 216. key 값은 hash mapping 타입은 기본 hash 처리가 되는 경우 만 키값을 사용 tuple 내의 리스트 등 mutable이 들어오면 hash를 만들 수 없어 에 러 처리됨 216
- 217. dict 생성217
- 218. Map 타입 - 생성 직접 만들거나 dict 생성자를 통해 생성. 항상 key/value 쌍을 구성해야 함 218
- 219. dict 접근219
- 220. Mapping - Accessing Elements Key/Value로 원소를 관리하므로 Key를 index 로 원소를 검색 220
- 221. Mapping - Updating Elements 새로운 key에 할당하면 추가하고 기존 key로 변 경하면 기존 값을 변경함 새로운 key에 할당: 기 존에 없으므로 추가 기존 key에 할당: 기존 에 있는 값을 변경 221
- 222. Mapping - Delete Elements 원소 하나만 삭제, 모든 원소들을 삭제, dict instance 삭제 기존 원소 하나 삭제 Dict 삭제 모든 원소 삭제 222
- 223. dict 내장함수 처리223
- 224. Mapping– dict 지원 내장함수 Dictionary 타입에 원소 하나만 삭제, 원소들을 삭제, dictionary instance 삭제 Function Description cmp(dict1, dict2) Compares elements of both dict. len(dict) Gives the total length of the dictionary. This would be equal to the number of items in the dictionary. str(dict) Produces a printable string representation of a dictionary type(dict) Returns the type of the passed variable. If passed variable is dictionary, then it would return a dictionary type. dict(mapping) Converts a map into list. 224
- 225. Mapping -dict class 구조 확인 dict 내의 스페셜 메소드를 제외한 내장 속성 확 인 225
- 226. dict 메소드 처리226
- 227. Mapping -dictionary 메소드 Method Description dict.clear() Removes all elements of dictionary dict dict.copy() Returns a shallow copy of dictionary dict dict.fromkeys() Create a new dictionary with keys from seq and values set to value. dict.get(key, default=None) For key key, returns value or default if key not in dictionary dict.has_key(key) Returns true if key in dictionary dict, false otherwise dict.items() Returns a list of dict's (key, value) tuple pairs dict.keys() Returns list of dictionary dict's keys dict.setdefault(key, default=None) Similar to get(), but will set dict[key]=default if key is not already in dict dict.update(dict2) Adds dictionary dict2's key-values pairs to dict dict.values() Returns list of dictionary dict's values dict.iteritems() Iterable한 items를 만들기 227
- 228. dict.get() 사용 dict 내부의 키가 없을 경우 KeyError가 발생하 므로 get()메소드로 읽어서 처리하면 오류발생을 막을 수 있음 Key 조회시 default 값을 설 정할 수 있음 228
- 229. dict.setdefault()사용 dict에 내의 원소를 추가하거나 갱신할 때 default 값을 지정해서 처리 가능 229
- 230. dict.get/setdefault()사용 dict에 내의 원소를 추가하거나 갱신하고 이를 [] 연산자나 get 메소드로 호출해서 처리 230
- 231. dict.update() 사용 dict에 dict을 연결할때 사용하면 키값이 겹칠 경우는 인자로 전달 받은 값으로 갱신됨 231
- 232. iteritems/iterkeys/itervalues dict 타입을 iterable로 전환해서 처리하는 메소 드 232
- 233. 버전 변경233
- 234. 버전변경 keys,items 등이 메소드 결과가 리스트 타입에 서 객체타입으로 변경 Notes Python 2 Python 3 ① a_dictionary.keys() list(a_dictionary.keys()) ② a_dictionary.items() list(a_dictionary.items()) ③ a_dictionary.iterkeys() iter(a_dictionary.keys()) ④ [i for i in a_dictionary.iterkeys()] [i for i in a_dictionary.keys()] ⑤ min(a_dictionary.keys()) no change 234
- 235. 메소드 결과 타입 변경 keys, values, items 메소드 리턴타입이 list에 서 dict 타입으로 변경 235
- 236. dict.key/values/items() python 버전 변경에서 list 타입이 dict_keys, values,items 타입으로 변경되어 동일한 결과를 인지하려면 list()로 변환 필요 버전에 따 른 변경 236
- 237. dict.key/values/items: for문 python 3. 대에서도 for문에서는 실제 값만 처 리됨 237
- 238. dict.key: set 연산 python 3. 대에서도 set 연산을 이용해서 처리 가능 238
- 240. dict.viewitems() 사용 dict 타입 내의 키와 값을 view 타입으로 처리하 는 객체 버전3에서 통합 됨 240
- 241. viewitems/viewkeys() dict 타입에서 viewitems/viewkeys 메소드 처 리함 결과로 set 연산을 처리할 수 있음(3버전에 서는 keys()/items() 동일함) 241
- 243. Dict Comprehension 사전 정의시 값을 정하지 않고 호출 시 사전 내의 값들이 처리되도록 구성 A = {표현식 for (k,v) in sequence if 논리식} 243
- 244. Dict Comprehension : 단순 dict 타입에 대한 comprehension 생성 A = {표현식 for i in sequence if 논리식} 244
- 245. dict Comprehension : 다중 dict 내의 다중 for문을 이용해서 처리 A = {표현식 for i in sequence for j in sequence if 논리식} 245
- 246. PYTHON SYMPY 함수 그래프 Moon Yong Joon 246
- 247. plotting247
- 248. 1차 함수 그래프 1차 함수를 만들고 plot 함수로 그래프 그리기 248
- 249. 2차 함수 그래프 2차 함수를 만들고 plot 함수로 그래프 그리기 249
- 250. 여러 개 그래프 그리기250
- 251. 두개 함수 그래프 1차,2차 함수를 만들고 plot 함수로 그래프 그 리기 251
- 252. 그래프 선 색상 변경하기 plot 함수 결과에 line_color 변수에 색상을 할 당 252
- 253. x축 범위253
- 254. 1차 함수 그래프 : x축 범위 1차 함수를 만들고 plot 함수에서 (x,-5,5)를 제 공해서 x축 범위를 제한 254
- 255. Plot 함수에서 그래프 통합 축 제한 1차함수와 2차함수의 x축이 제한을 통합해서 제한하려면 튜플로 하나만 표시 255
- 256. Plot 함수에서 각 그래프별 축 제한 1차함수와 2차함수의 x축이 제한이 다르게 표 시하려면 각 그래프별로 x축에 대한 제한을 별도 로 넣어줘야 함 256
- 257. y축 범위257
- 258. 1차 함수 그래프 : y축 범위 1차 함수를 만들고 plot 함수에서 ylim=(y,-5,5) 를 제공해서 y축 범위를 제한 258
- 259. 그래프 꾸미기259
- 260. 그래프 설명자료:legend 그래프에 대한 설명자료 legend 260
- 261. 1차 함수 그래프 꾸미기 그래프 내의 텍스트 정보(title, xlabel, ylabel) 를 제공해서 그래프 꾸미기 261
- 262. 자동 show 차단하기262
- 263. 자동 그래프 표시 제한 sympy는 plot함수만 작동해도 그래프가 그려진 다. show=False 파라미터를 제공해서 자동 그 리기를 제한 263
- 264. Show 메소드 실행하기264
- 265. show메소드 사용 sympy는 plot함수만 작동해도 그래프가 그려진 다. show=False 파라미터를 제공해서 자동 그 리기를 제한 265
- 266. Multi plot 사용266
- 267. 다중 plot 사용하기 1 여러 plot 함수로 그래프를 그리면 각 plot별로 그래프가 그려짐 267
- 268. 다중 plot 사용하기 : 2 여러 plot 함수로 그래프 그리기 268
- 269. 하나의 plot에 여러 그래프 넣기 하나의 그래프에 산식을 여러 개 넣으면 하나의 plot에 그래프가 통합해서 그려짐 269
- 270. Multi plot 병합하기270
- 271. append로 plot 추가 append 메소드로 plot 처리를 하나로 합치기 271
- 272. extend로 plot 추가 extend 메소드로 plot 처리를 하나로 합치기 272
- 276. ndarray와 matrix 구분 다차원 배열을 생성하지만 matrix는 MATLAB 기능 을 지원 구분 ndarray matrix 차원 다차원 가능 2 차원 * 연산자 요소간 곱 행렬곱 numpy.multiply() 요소간 곱 요소간 곱 numpy.dot() 행렬곱 행렬곱 276
- 277. 배열과 vector 구분 : ndarray Array와 vector 구분 생성 277
- 278. ndarray와 matrix 연산 비교 Matrix는 dot/* 처리가 동일, ndarry는 */multiply 가 동일 278
- 280. 벡터란280
- 281. 스칼라/벡터/행렬 스칼라는 number, vector는 숫자들의 list(row or column), matrix는 숫자들의 array( rows, columns) 그리고 vector는 Matrix 281
- 282. 배열과 vertor 구분 ndarray 는 벡터 1xN, Nx1, 그리고 N크기의 1차원 배열이 모두 각각 다르며, 벡터는 그 자체로 특정 좌 표를 나타내기도 하지만 방향을 나타냄 scalar 배열 vector 양, 정적 위치 양, 정적 위치 변위, 속도, 힘(방향성) 1차원 N 차원 N 차원 단순 값 행,열 구분 없음 행벡터, 열벡터 282
- 284. 벡터란 크기(magnitude)와 방향(direction)을 표시 벡터는 tail부터 head까지의 유향선분으로 표시 284
- 285. 벡터 크기285
- 286. 벡터 크기 벡터의 크기는 ||v|| = sqrt(v0^2 + v1^2 + v2^2... + vn^2) 로 표현 벡터 b = (6,8) 의 크기 |b| = √( 62 + 82 ) = √( 36+64 ) = √100 = 10 286
- 287. Vector 크기 계산 벡터의 크기(Magnitude)는 원소들의 제곱을 더 하고 이에 대한 제곱근의 값 벡터의 크기는 x축의 변위와 y축의 변위를 이용 하여 피타고라스 정리 287
- 288. 단위벡터288
- 289. 단위벡터 단위벡터(unit vector)는 크기가 1인 벡터 크기가 1인 벡터 표기법은 문자에 모자(hat)을 사용해서 표시 모든 벡터는 단위벡터에 대해 sclae 배수 만큼의 크기를 가진 벡 터 289
- 290. 단위벡터 정규화 해당 벡터를 0 ~ 1의 값으로 정규화 290
- 291. 산술연산291
- 292. 벡터: + The vector (8,13) and the vector (26,7) add up to the vector (34,20) Example: add the vectors a = (8,13) and b = (26,7) c = a + b c = (8,13) + (26,7) = (8+26,13+7) = (34,20) a b a b c 292
- 293. Vector 연산: + 두 벡터 평행 이동해 평행사변형을 만든 후 가운데 벡터가 실제 덧셈한 벡터를 표시 e d f e d 293
- 294. 벡터 : - 벡터의 방향성을 반대로 이동한 실제 벡터를 처리 Example: subtract k = (4,5) from v = (12,2) a = v + −k a = (12,2) + −(4,5) = (12,2) + (−4,−5) = (12−4,2−5) = (8,−3) 294
- 295. Vector 연산: - 두 벡터 반대 방향으로 평행 이동해 평행사변형을 만든 후 가운데 벡터가 실제 덧셈한 벡터를 표시 e d g -e -e 295
- 296. 벡터: 스칼라곱 벡터의 각 원소에 스칼라값만큼 곱하여 표시 벡터 m = [7,3] A = 3m= [21,9] 296
- 297. Vector 연산: 스칼라곱 스칼라 배수 만큼 벡터 내의 원소값이 커짐 d 3d 297
- 298. 내적과 외적 비교298
- 299. 내적 vs 외적 구분 내적 외적 명칭 Inner product, dot product, scalar product Outer product, vector product, cross product 표기 .(Dot) X(cross) 대상 벡터 n 차원 3 차원 공식 a1 b1 + a2 b2 + …. + an bn (a2 b3 – a3 b2, a3 b1 – a1 b3, a1 b2 – a2 b1) |a||b| cos 각도 |a||b| sin각도 n 결과 scalar vector 299
- 300. 벡터 내적과 외적 이해하기 Moon Yong Joon 300
- 301. 스칼라곱301
- 302. 내적 산식 내적(Inner Product)산식은 두벡터의 크기에 cos각 을 곱한 결과 또는 두벡터간의 원소들이 곱의 합산 과 같은 결과 a · b = |a| × |b| × cos(θ) Where: |a| : vector a 크기 |b| : vector b 크기 θ : a and b 사이의 각 a · b = ax × bx + ay × by 302
- 303. 내적 수학적 예시 : 2 차원 두벡터에 내적 연산에 대한 수학적 처리 예시 a · b = |a| × |b| × cos(θ) a · b = 10 × 13 × cos(59.5°) a · b = 10 × 13 × 0.5075... a · b = 65.98... = 66 (rounded) a · b = ax × bx + ay × by a · b = -6 × 5 + 8 × 12 a · b = -30 + 96 a · b = 66 303
- 304. 3차원 내적 예시 1 Dot 연산을 통한 계산 a · b = ax × bx + ay × by + az × bz a · b = 9 × 4 + 2 × 8 + 7 × 10 a · b = 36 + 16 + 70 a · b = 122 304
- 305. 3차원 내적 예시 2 두벡터 사이의 각 구하기 a벡터의 크기 |a| = √(42 + 82 + 102) = √(16 + 64 + 100) = √180 b벡터의 크기 |b| = √(92 + 22 + 72) = √(81 + 4 + 49) = √134 내적 구하기 a · b = 9*4+ 2*8+ 7*10 = 36+16+70 = 122 각 구하기 a · b = |a| × |b| × cos(θ) 산식에 대입 122 = √180 × √134 × cos(θ) cos(θ) = 122 / (√180 × √134) cos(θ) = 0.7855... θ = cos-1(0.7855...) = 38.2...° 305
- 306. 내적(dot) 예시 두벡터에 대한 내적(dot) 연산은 같은 위치의 원 소를 곱해서 합산함 두벡터의 곱셈은 단순히 원소를 곱해서 벡터를 유지 306
- 307. vdot: vector 벡터(2차원)일 경우도 스칼라(dot)로 처리 307
- 309. 외적 벡터 a 와 b 의 외적은 a × b 로 정의된다. 외적의 결과로 나온 벡터 c 는 벡터 a 와 b 의 수직 인 벡터로 오른손 법칙의 방향 Vector product Cross product 309
- 310. 외적 산식 : 2차원 벡터의 원소간의 cross 적을 처리 v = [a1,a2] u = [b1,b2] a1 a2 b1 b2 a1*b2 – a2*b1 Example: The cross product of a = (2,3) and b = (5,6) c = a1b2 − a2b1 = 2×6− 3×5 = −3 Answer: a × b = -3 310
- 311. 외적 산식 : 3차원 벡터의 원소간의 cross 적을 처리 v = [a1,a2,a3] u = [b1,b2,b3] a2 a3 a1 a2 b2 b3 b1 b2 x 축 : a2*b3 – a3*b2 y 축 : a3*b1 – a1*b2 z 축 : a1*b2 – a2*b1 Example: The cross product of a = (2,3,4) and b = (5,6,7) cx = aybz − azby = 3×7 − 4×6 = −3 cy = azbx − axbz = 4×5 − 2×7 = 6 cz = axby − aybx = 2×6 − 3×5 = −3 Answer: a × b = (−3,6,−3) 311
- 312. 외적 산식예시 두벡터에 대한 외적(cross) 연산은 다른 위치의 원소를 곱해서 뺄셈 2차원 벡터는 스칼라 값으로 나옴 3차원 벡터이 상 표시 됨 312
- 314. inner 계산 방식 A = [[a1,b1] B = [[a2,b2]] numpy.inner(A,B) array([[a1*a2 + b1*b2]]) [[1*4+0*1]] 1 0 4 1 1 0 4 1 4=. 314
- 315. Inner 예시 벡터의 내부 곱한 것을 더해서 값을 표현 315
- 316. dot/inner: 예시 벡터(2차원)일 경우 2차원으로 표시 316
- 317. outer A = [[a1,b1]] B = [[a2,b2]] numpy.outer(A,B) array([[a1*a2 , a1*b2][ b1*a2, b1*b2]]) [[1*4,1*1] [0*4+0*1]] 1 0 4 1 1 0 4 1 4 1 0 0 = 317
- 318. outer 예시 벡터의 내부 곱한 것을 더해서 값을 표현 첫번째 벡터의 전치와 두번째 벡터와의 Dot 연 산과 같은 결과 318
- 319. PYTHON MATRIX CLASS로 VECTOR 이해하기 Moon Yong Joon 319
- 320. 벡터 산술연산320
- 321. Vector 연산: + 두 벡터 평행 이동해 평행사변형을 만든 후 가운데 벡터가 실제 덧셈한 벡터를 표시 e d f e d 321
- 322. Vector 연산: - 두 벡터 반대 방향으로 평행 이동해 평행사변형을 만든 후 가운데 벡터가 실제 덧셈한 벡터를 표시 e d g -e -e 322
- 323. Vector 연산: 스칼라곱 벡터를 스칼라 곱 만큼 커짐 d 3d 323
- 324. 벡터 크기324
- 325. Vector 크기 계산 벡터의 크기(Magnitude)는 원소들의 제곱을 더 하고 이에 대한 제곱근의 값 벡터의 크기는 x축의 변위와 y축의 변위를 이용 하여 피타고라스 정리 325
- 326. vector 내적326
- 327. Vector 연산: 내적(dot) 두벡터에 대한 내적(dot) 연산은 같은 위치의 원 소를 곱해서 합산함 327
- 328. vector 외적328
- 329. Vector 연산: 외적(cross) 두벡터에 대한 외적(cross) 연산은 다른 위치의 원소를 곱해서 뺄셈 2차원 벡터는 array로 나옴 3차원이상으 matrix로 표시 됨 329
- 331. 행렬이란331
- 332. 행렬 매트릭스라고도 하는데 행렬의 가로 줄을 행, 세 로 줄을 열로 표시함 332
- 333. Diagonal matrix333
- 334. 대각행렬 정사각행렬 A＝(aij)(i, j＝1, 2, 3,…, n)의 원소 aij가 aij=0(i≠j)을 만족시키는 행렬 A의 주대각선 위에 있는 원소(대각선원소) aij(i＝j) 외의 원소 aij(i≠j)가 모두 0인 행렬 334
- 335. Identity matrix335
- 336. 항등행렬 모든 행렬과 닷 연산시 자기 자신이 나오게 하는 단위행렬 import numpy as np a = np.array([[1,0],[0,1]]) b = np.array([[4,1],[3,2]]) print(np.dot(b,a)) print(np.dot(a,b)) [[4 1] [3 2]] [[4 1] [3 2]] 336
- 337. Triangular matrix337
- 338. 삼각행렬 상삼각 행렬(Upper triangular matrix) 과 하삼각 행렬(lower triangular matrix )을 총칭하여 일컫는 말. Upper triangular matrix lower triangular matrix 338
- 339. 행렬 산술연산339
- 340. 행렬 산술연산 두 행렬의 원소별로 산술연산(+/-/*) 처리 + - * / = + - * / + - * / + - * / + - * / + - * / + - * / 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 + = 1+1 2+2 3+3 4+4 5+5 6+6 = 2 4 6 8 10 12 340
- 341. 행렬 산술연산 예시 행렬에 대한 산술연식은 각 원소별로 +/-/* 처리 341
- 342. 행렬의 전치(transpose)342
- 343. 행렬 전치 전치: 행렬의 행과 열을 서로 바꾸는 것. 수학책에서는 위첨자 T로 행렬 A의 전치를 나타 낸다. 121110 987 654 321 A 12963 11852 10741 T A 343
- 344. 행렬 전치 예시 python은 기본 속성에서 T 변수를 제공하고 numpy 모듈에서 transpose 함수 제공 344
- 345. dot 연산345
- 346. dot vs inner 차이점(2차원이상) Dot와 inner 함수는 계산시 축 기준이 차이가 있어 실제 계산된 값이 다름 dot inner 행과 열로 계산 행과 행으로 계산 행벡터와 열벡터 간의 원소를 곱한후 덧셈 행벡터와 행벡터간의 원소를 곱한후에 덧셈 N*M 과 M*N 즉, 첫번째 열과 두번째 행이 동일 N*M과 N*M에 마지만 차원이 같은 경우 N*M . M*N 은 결과가 N*N N*M과 N*M 은 결과가 N*N 346
- 347. dot 처리 기준 1*p, p*1 두 행렬 A와 B의 행렬곱셈은 행렬 A의 각 행과 행 렬 B의 각 열끼리 곱해서 표시 AB 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 … 𝑎 𝑝 𝑏 𝑝 paaa 21A pb b b 2 1 B 1행*p열 P행1열 1행1열 347
- 348. dot 처리 기준 두 행렬 A와 B의 행렬곱셈은 행렬 A의 각 행과 행 렬 B의 각 열끼리 곱해서 표시 pnpjpp inijii nj nj mpmjmm ipijii pj pj bbbb bbbb bbbb bbbb aaaa aaaa aaaa aaaa 21 21 222221 111211 21 21 222221 111211 AB pm np nm 2 3 3 3 348
- 349. dot : 2차원 A = [[a1,b1],[c1,d1]] B = [[a2,b2],[c2,d2]] numpy.dot(A,B) array([[a1*a2 + b1*c2, a1*b2 + b1*d2], [c1*a2 + d1*c2, c1*b2 + d1*d2]) [[1*4+ 0*2, 1*1+0*2],[0*4+1*2, 0*1+1*2]] 1 0 0 1 4 1 2 2 1 0 0 1 4 1 2 2 4 1 2 2 =. 349
- 350. dot 예시 Numpy.dot 메소드 처리 350
- 351. 행렬식351
- 352. 행렬식(det) 정방행렬에 하나의 수를 대응시킴으로써, - 연립방정식의 해를 구하거나, - 연립방정식 해의 존재성을 살피려고 할 때 쓰여짐 352
- 353. 행렬식(det) : 2차원 행렬식 구하기 3 1 2 2 det = 3*2 – 1*2 = 4 353
- 354. 행렬식(det) : 3차원 행렬식을 계산시 앞에 두 열을 뒤에 복사 후 계산 3 1 3 3 1 2 2 3 2 2 1 1 1 1 1 = 3*2*1 – 3*2*1 + 1*3*1 – 3*3*1 + 3*2*1 – 1*2*1 = 6 – 6 + 3 -9 + 6 -2 = 15 – 17 = -2 354
- 355. 행렬식(det) : 3차원 n 355
- 356. minor determinant356
- 357. 소행렬식 2차원 i번째 행,j번째 열을 제거한 부분행렬의 행렬식 : Mij 2 1 1 2 M11 2 M12 M21 -1 -1 2 1 1 부호 + 부호 – 부호 – 부호 +M22 22 357
- 358. 소행렬식 3차원 i번째 행,j번째 열을 제거한 부분행렬의 행렬식 : Mij 3 1 3 2 2 3 1 1 1 M11 2*1 -3*1 -1 M12 M13 2*1 -3*1 -1 2*1 -2*1 0 2 3 1 1 2 3 1 1 2 2 1 1 = 3M11+(-1)* 1M12 + 3M13 = -3+1+0 = -2 부호 + 부호 – 부호 + 358
- 359. 소행렬식 예시 소행렬식을 구해서 행렬식 값 비교 359
- 360. 역행렬360
- 361. 여인수(cofactor) 소행렬식을 이용한 값을 여인수를 표시 3 1 3 2 2 3 1 1 1 소행렬식 부호 결과값 m11 2 3 1 1 2-3 -1 + -1 m12 2 3 1 1 2-3 -1 - 1 m13 2 2 1 1 2-2 0 + 0 m21 1 3 1 1 1-3 -2 - 2 m22 3 3 1 1 3-3 0 + 0 m23 3 1 1 1 3-1 2 - -2 m31 1 3 2 3 3-6 -3 + -3 m32 3 3 2 3 9-6 3 - -3 m33 3 1 2 2 6-2 4 + 4 361
- 362. 수반행렬(adj) 과 여인수행렬 소행렬식으로 계산된 원소 즉 여인수로 구성된 행렬 의 전치행렬을 수반행렬이라 함 -1 2 -3 1 0 -3 0 -2 4 -1 1 0 2 0 -2 -3 -3 4 T 여인수행렬 의 전치 수반행렬 362
- 363. 역행렬(inv) – 2차원 역행렬은 수반행렬에 행렬식으로 나눗값이 됨 [[ 0.66666667 -0.33333333] [-0.33333333 0.66666667]] 1/3 * 2 -1 -1 2 역행렬 2 1 1 2 -1 A−1=1/det(A) * CT 363
- 364. 역행렬(inv) – 3차원 역행렬은 수반행렬에 행렬식으로 나눗값이 됨 [[ 0.5 -1. 1.5] [-0.5 0. 1.5] [ 0. 1. -2. ]] - 0.5 * -1 2 -3 1 0 -3 0 -2 4 역행렬3 1 3 2 2 3 1 1 1 -1 A−1=1/det(A) * CT 364
- 366. Dot 연산366
- 367. Dot 처리 기준 두 행렬 A와 B의 행렬곱셈은 행렬 A의 각 행과 행 렬 B의 각 행끼리 곱한후 덧셈을 하여 표시 pnpjpp inijii nj nj mpmjmm ipijii pj pj bbbb bbbb bbbb bbbb aaaa aaaa aaaa aaaa 21 21 222221 111211 21 21 222221 111211 AB n*m n*m n*n 두행렬의 마지막 차원이 값으면 처리가 가능하고 결과는 마지막 차원을 제외해서 구성 367
- 368. dot 행렬 n*m 행렬 일 경우 2차원으로 표시 368
- 369. dot 예시 : 2차원 a(2,2) 행렬과 b(2,2)행렬의 마지막 차수가 같으 므로 계산결과는 n*m, m*n = n*n 369
- 370. cross product370
- 371. cross 계산 방식 A = [[a1,b1],[c1,d1]] B = [[a2,b2],[c2,d2]] numpy.cross(A,B) = A.T * B array([[a1*b2 - c1*a2 , b1*d2 – d1*c2]) [[1*1- 0*4,0*2-1*2]] 1 0 0 1 4 2 1 2 1 -2= 371
- 372. Cross 행렬 n*m 행렬 일 경우 2차원으로 표시 372
- 373. Inner 연산373
- 374. inner 계산 방식 A = [[a1,b1],[c1,d1]] B = [[a2,b2],[c2,d2]] numpy.inner(A,B) array([[a1*a2 + b1*b2, a1*c2 + b1*d2], [c1*a2 + d1*b2, c1*c2 + d1*d2]) [[1*4+0*1,1*2+0*2],[0*4+1*1, 0*2+1*2]] 1 0 0 1 4 1 2 2 1 0 0 1 4 1 2 2 4 2 1 2 =. 374
- 375. Inner 예시 : 2차원 a(2,2) 행렬과 b(2,2)행렬의 마지막 차수가 같으 므로 계산결과는 out.shape = a.shape[:-1] + b.shape[:-1] 375
- 376. Inner 예시 : 3차원 a(2,3,2) 행렬과 b(2,2)행렬의 마지막 차수가 같 으므로 계산결과는 out.shape = a.shape[:-1] + b.shape[:-1] 376
- 377. outer product377
- 378. outer 두개의 벡터를 가지고 벡터 크기를 행과 열로 만드 는 함수 1차원이 이상일 경우 1차원으로 만든 후에 행렬로 만듬 1 0 4 1 1 0 4 1 4 1 0 0 = 2 2 2*2 378
- 379. outer: 1 Out는 두개의 벡터에 대한 행렬로 구성 out[i, j] = a[i] * b[j] 379
- 380. outer: 2 첫번째 벡터가 행이되고 두번째 벡터가 열이 되 어 5*5행렬을 만듬 380
- 381. outer: 3 벡터의 값이 문자일 경우 문자 배수만큼 처리 381
- 382. tensordot382
- 383. tensordot Tensordot 함수에 axes를 0으로 줄 경우 tensor product을 연산 383
- 384. tensordot Tensordot 함수에 axes를 0으로 줄 경우 tensor product을 연산 = 1 0 0 1 4 1 2 2 1 0 0 1 4 1 2 2 4 1 2 2 4 1 2 2 4 1 2 2 = 4 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 1 2 2,2 2,2 2,2,2,2 384
- 385. tensordot: 예시 1 2차원 행렬 2개가 만나 4차원 행렬 구성 385
- 386. tensordot: 예시 2 axes = 0 tensor product, axes = 1 tensor dot product, axes = 2 tenser double contraction 즉 벡터연산 386
- 387. 대각행렬387
- 388. Trace : 3차원 행렬 3차원(2,2,2) 대각행렬의 합은 첫번째 차원의 1과 두번째의 마지막을 합산해서 출력 0 2 1 3 4 6 5 7 0 1 388
- 390. PYTHON MATRIX CLASS로 행렬 이해하기 Moon Yong Joon 390
- 391. 행렬 이해하기391
- 392. 행렬 n개의 실수의 순서쌍에 성분별로 덧셈과 실수상수 곱을 주면[2] 이는 "nn차원" 벡터공간이라 할 수 있 고(, 벡터공간에서 벡터공간으로 가는 함수 중 덧셈 과 상수배를 보존하는 함수를 선형사상을 행렬이라 함 392
- 393. 행렬 생성 Numpy matrix 를 이용해서 행렬 생성 393
- 394. 행렬 연산하기394
- 395. 행렬 : 내적 dot(곱셈) N*M 과 M* N인 행렬에 대한 dot 연산 처리 결과는 M*M으로 나옴 ( xij )( yij )=(∑kxikykj) a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 a1*b1+a1*b3 a2*b2+a2*b4 a3*b1+a3*b3 a4*b2+a4*b4 = . 395
- 396. 행렬 : dot 행렬에 대한 dot 연산 처리 396
- 397. 행렬 : 외적cross 행렬에 대한 cross는 동등한 행렬일 경우 연산 처리 397
- 398. 행렬 : +/- N*M 과 N*M인 행렬에 대한 +/- 연산 처리 결과는 N*M으로 나옴 a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 a1 +/- b1 a2 +/- b2 a3+/- b3 a4 +/- b4 = + / - 398
- 399. 행렬 : +/- 행렬에 대한 +/- 연산 처리 399
- 400. 행렬 : 상수 배 상수(k) 와 N*M 행렬에 대한 곱은 상수배만큼 증가 함 a1 a2 a3 a4 k* a1 k * a2 k* a3 k* a4 = k 400
- 401. 행렬 : 상수 배 행렬에 대한 k 상수만큼 원소별로 곱하는 연산 처리 401
- 402. 행렬 : 전치(transpose) N*M 행렬을 M*N을 변환하는 처리 a1 a2 a3 a4 a1 a3 a2 a4 = T 402
- 403. 행렬 : 전치(transpose) N*M 행렬을 M*N을 변환하는 방식은 T변수, transpose 메소드가 있음 403
- 404. matmul Matrix 타입일 경우 곱셈은 dot 연산과 동일한 결과를 생성함 404
- 405. Matmul: 차원계산 N*m, M*n 행렬에 따라 계산이 되지만 1차원인 경우는 행렬 계산을 처리 405
- 406. matrix_power matrix_power는 정방행렬에 대해 dot 연산을 제곱승만큼 계산하는 것 406
- 407. matrix_power: 예시 반복적인 dot 연산을 처리 407
- 408. PYTHON NUMPY LINALG 함수 이해하기 Moon Yong Joon 408
- 409. Matrix and vector products409
- 410. 주요 함수 선형대수에 대한 함수들 함수 설명 dot(a, b[, out]) n차원 행렬 n*m m*l에 대한 production(결과는 n*l) vdot(a, b) Vector에 대한 prodution inner(a, b) N 차원 행렬에 대한 Inner product (행렬이 동일해야 함). outer(a, b[, out]) 2개 벡터에 대해 계산 후 행렬로 표시. matmul(a, b[, out]) 두 행렬에 대한 Matrix product (dot과 동일한 결과) tensordot(a, b[, axes]) Compute tensor dot product along specified axes for arrays >= 1-D. linalg.matrix_power(M, n) Raise a square matrix to the (integer) power n. cross(a, b, axisa=-1, axisb=-1, axisc=-1, axis=None) 행렬에 대한 외적을 구함 einsum(subscripts, *operands[, out, dtype, ...]) Evaluates the Einstein summation convention on the operands. kron(a, b) Kronecker product of two arrays. 410
- 411. Decompositions411
- 412. 주요 함수 선형대수에 대한 함수들 함수 설명 linalg.cholesky(a) Cholesky decomposition. linalg.qr(a[, mode]) Compute the qr factorization of a matrix. linalg.svd(a[, full_matrices, compute_uv]) Singular Value Decomposition. 412
- 414. 주요 함수 선형대수에 대한 함수들 함수 설명 linalg.eig(a) Compute the eigenvalues and right eigenvectors of a square array. linalg.eigh(a[, UPLO]) Return the eigenvalues and eigenvectors of a Hermitian or symmetric matrix. linalg.eigvals(a) Compute the eigenvalues of a general matrix. linalg.eigvalsh(a[, UPLO]) Compute the eigenvalues of a Hermitian or real symmetric matrix. linalg.eig(a) Compute the eigenvalues and right eigenvectors of a square array. 414
- 415. Norms and other numbers415
- 416. 주요 함수 선형대수에 대한 함수들 함수 설명 linalg.norm(x[, ord, axis, keepdims]) Matrix or vector norm. linalg.cond(x[, p]) Compute the condition number of a matrix. linalg.det(a) Compute the determinant of an array. linalg.matrix_rank(M[, tol]) Return matrix rank of array using SVD method Rank of the array is the number of SVD sing ular values of the array that are greater than tol. linalg.slogdet(a) Compute the sign and (natural) logarithm of the determinant of an array. trace(a[, offset, axis1, axis2, dtype, out]) Return the sum along diagonals of the array. 416
- 417. Solving equations and inverting matrices 417
- 418. 주요 함수 선형대수에 대한 함수들 함수 설명 linalg.solve(a, b) Solve a linear matrix equation, or system of linear scalar equations. linalg.tensorsolve(a, b[, axes]) Solve the tensor equation a x = b for x. linalg.lstsq(a, b[, rcond]) Return the least-squares solution to a linear matrix equation. linalg.inv(a) Compute the (multiplicative) inverse of a matrix. linalg.pinv(a[, rcond]) Compute the (Moore-Penrose) pseudo-inverse of a matrix. linalg.tensorinv(a[, ind]) Compute the ‘inverse’ of an N-dimensional array. 418
- 420. 관계 기초 Moon Yong Joon 420
- 421. 관계421
- 422. 관계 집합론에서 관계(關係)는 "자연수 a가 b보다 작 다"와 같이 두 개의 대상으로 이루어진 튜플 사이 에 정의된 이항관계를 일반화한 것으로, 주어진 n-튜플에 대해 진리값을 부여한다. 앞의 경우와 같이 두 대상 사이에 주어지는 관계 는 이항관계라 하고, "점 a, b, c가 한 직선상에 놓 여있다"와 같이 세 대상 사이에 정의된 관계는 삼 항관계라 한다. 422
- 423. 관계 정의 a 는 b 에 대해 R 의 관계가 있음은 두 집합 A, B 에 대하여 A 에서 B 로의 이항관계(binary relation)가 AxB의 부분집합일 때 a∈A 이고 b∈B 인 (a, b)∈R , a Rb 로 나타내기도 함 (a, b)R 일 경우 또는 로 나타내기도 함 정의역(domain) 관계 R 의 순서쌍에서 모든 첫 번째 원소의 집합: dom(R) 치역(range) 모든 두 번째 원소의 집합: ran(R) 423
- 424. 관계표현424
- 425. 관계 표현 : 화살도표 화살도표(arrow diagram) 는 두 집합 A, B 가 있을 때 집 합 A 의 원소 a 와 집합 B 의 원소 b 사이에 관계가 성립 하는 경우 그 관계를 화살표로 그려서 나타내는 방법 425
- 426. 관계 표현 : 좌표도표 좌표도표(coordinate diagram)는두 집합 A, B 가 있 을 때 집합 A 의 원소 a 를 x 축 위의 점으로 표시하 고, 집합 B 의 원소 b 를 y 축 위의 점으로 표시하여 두 점이 좌표상에서 만나는 점을 나타내는 방법 426
- 427. 관계 표현 : 관계행렬 관계행렬(relation matrix)은 두 집합 A, B 에 대 한 관계를 행렬로 표현한 방법. 행렬 안의 모든 원 소들이 0 또는 1인 행렬을 부울행렬(boolean matrix)이라고 함 427
- 428. 관계 표현 : 방향그래프 방향그래프(directed graph)는 집합 A의 관계에 대한 방향 그래프를 그리고자 할 때 먼저 A의 원소들을 나타내는 정점 (vertex)을 그리고, 원소 (a, b)가 관계에 속하면 a에서 b로 화살표 모양의 에지(edge)를 그림 428
- 429. 관계의 종류429
- 430. 관계 종류: 1 1) 반사적 관계: 관계 R을 구성하는 집합 A에 대 해서 a ∈ A에 대해 (a,a) ∈ R이라면 관계 R은 반 사적 관계가 된다. 예) A = {a, b, c} R은 (a,a), (b,b), (c,c)의 원소를 모두 포함해야 지 반사적 관계가 성립된다. 2) 비반사적 관계: R을 집합 X에서의 어떤 이항 관계라고 하자. 만일 모든 x ∈ X에 대해 (x,x) !∈ R이면 R은 비반사적이라고 한다. 430
- 431. 관계 종류: 2 3) 대칭적 관계: 관계 R을 구성하는 집합 A에 대 해서 a, b ∈ A에 대해 (a,b) ∈ R이고 (b,a) ∈ R 이라면 관계 R은 대칭적 관계가 된다. 예) A = {a, b, c} R에 (a,b)의 원소를 포함하고 있다면 (b,a)의 원소를 가지고 있어야 대칭적 관계가 성립된다. 431
- 432. 관계 종류: 3 4) 반대칭적 관계: 관계 R을 구성하는 집합 A에 대해서 a, b ∈ A에 대해 (a,b) ∈ R, (b,a) ∈ R이고 a와 b가 같지 않 은 쌍이 한개이상 존재 하지 않을 경우 예) A = {a, b, c} R1 = { (a,b), (b,a) } 반대칭 관계가 아니다. R2 = { (a,b), (c,a) } 반대칭 관계이다. 5) 추이적 관계: 관계 R을 구성하는 집합 A에 대해서 a, b, c ∈ A에 대해 (a,b) ∈ R 그리고 (b,c) ∈ R 일때 (a,c) ∈ R 이라면 관계 R은 추이적 관계가 된다. 예) A = {a, b, c} R에 (a,b), (b,c)가 있다면 (a,c)가 R에 존재해야 추이적 관계가 된다. 432
- 433. 관계 종류: 4 6) 동치 관계: 반사적, 대칭적, 추이적인 이항 관 계를 뜻한다. 즉, 어떤 집합 X과 관계 ~이 있을 때, 임의의 원소 a, b, c에 대해 반사관계: a ~ a 대칭관계: a ~ b => b ~ a 추이관계: a ~ b, b ~ c => a ~ c가 성립한다는 것을 의미한다. 433
- 435. Sequence : Tuple Type435
- 436. Sequence - Tuple 기본 처리 tuple타입에 immutable 타입으로 내부 원소에 대해 갱신이 불가능하여 리스트처리보다 제한적 Slicing은 String 처럼 처리가능 Python Expression Results Description T =(1,) (1,) 튜플의 원소가 하나인 경우 생성 꼭 한 개일 경우는 뒤에 꼼마(,)를 붙여야 함 T = (1,2,3,4) (1, 2, 3, 4) 튜플 생성 len((1, 2, 3)) 3 Length 함수로 길이 확인 (1, 2, 3) + (4, 5, 6) (1, 2, 3, 4, 5, 6) 튜플을 합치기 Concatenation ('Hi!‘) * 4 'Hi!Hi!Hi!Hi!' 튜플의 반복을 string으로 표시 3 in (1, 2, 3) True 튜플 내의 원소들이 Membership for x in (1, 2, 3): print x, 1 2 3 튜플의 원소들을 반복자 활용 - Iteration 436
- 437. Sequence- Tuple 용 내장함수 내장함수 중에 tuple 타입을 처리 Function Description cmp(tuple1, tuple2) Compares elements of both tuples. len(tuple) Gives the total length of the tuple. max(tuple) Returns item from the tuple with max value. min(tuple) Returns item from the tuple with min value. tuple(seq) Converts a list into a tuple. str(tuple) Produces a printable string representation of a tuple type(tuple) Returns the type of the passed variable. If passed variable is tuple, then it would return a tuple type. 437
- 438. Tuple 속성처리 Tuple 내부 속성은 동일한 원소수(count), 특정 값에 대한 위치(index)를 처리만 함 438
- 439. 동일 객체 처리439
- 440. Tuple : 동일한 객체 처리 Tuple 을 동일한 객체로 처리하려면 별명을 사용 하거나 변수에 할당된 tuple을 copy 처리해야 동 일한 객체를 리턴함 list 특성을 가지고 있어 리터럴도 튜플 초기화시 다른 객체 로 인식 440
- 441. Tuple 처리 이슈441
- 442. Tuple 내의 mutable 사용 내장 타입 tuple은 immutable 이지만 원소가 mutable일 경우 값이 변경 가능함. 단, 객체는 변 경되지 않음 442
- 444. 그래프 기초 Moon Yong Joon 444
- 445. 그래프445
- 446. 그래프(Graph) 점을 선으로 연결한 것이다. 그래프 G는 꼭짓점 (vertex or node)들의 집합 V와 변(edge or line) 들의 집합 E로 이루어졌다. 집합 V : 공집합이 아닌 정점(vertex)들의 집합 집합 E : 에지(edge)들의 집합 446
- 447. 그래프(Graph) : 예시 집합 V, 집합 E의 그래프를 그리면 아래와 같다 447
- 448. 인접(adjacent) 인접(adjacent)은 무방향 그래프에서 정점 a, b에 대하여 간선(a,b)가 있으면, 정점 a 는 정점 b에 인접(adjacent)하다고 한다 448
- 449. 차수449
- 450. 차수(Degree) 각 정점에 연결된 간선의 수로 정점 v의 차수를 deg(v)로 표시하고 loop가 발생시 카운트는 2로 함 450
- 451. 전체 차수 그래프 G 의 정점의 수가 n 개, 에지의 수가 e 개 면 아래의 산식으로 계산 451
- 452. 경로와 길이452
- 453. 경로와 길이 경로(Path) : 정점과 에지의 연속으로 구성된 형 태 길이(length): 경로를 구성하는 에지의 개수 닫혀있다(closed) : 어떤 경로의 처음과 끝의 정 점이 같은 경우 순환(cycle): 닫혀있는 경로 453
- 454. 무방향 그래프454
- 455. 무향(무방향)그래프 방향이 없으면 무방향 그래프(undirected graph) 455
- 456. 무방향 그래프 표기법 구성요소는 정점, 간선, 매핑으로 구성한다 456 무방향성
- 457. 무향(무방향)그래프 표기 예시 주어진 그래프를 G 라고 하자. 그래프 G 는 무방향 그래프다. 457
- 458. 그래프 표현 Moon Yong Joon 458
- 459. 방향 그래프459
- 460. 유향(방향)그래프 digraph/ directed graph (유향그래프)유향그 래프란 그것의 각 변이 방향을 갖고 있는 그래프 를 의미한다. 460
- 461. 유향변(arc) 유향그래프란 V라는 유한 집합과 원소들이 V의 원 소들로 이루어진 순서쌍들인 집합 A로 이루어진 순 서쌍 (V,A)를 의미한다. V의 원소들을 꼭지점 (vertex)이라 부르고 A의 원소들을 유향변(arc)이 라고 부른다. 유향변 (a,b)이 주어졌을 때 a를 그 유 향변의 시작점(initial vertex), b를 종착점 (terminal vertex)이라고 부른다. 461
- 462. 무방향 그래프 표기법 구성요소는 정점, 간선, 매핑으로 구성한다 462 방향성
- 463. 유향(방향)그래프 표기 예시 주어진 그래프를 H 라고 하자. 그래프 H 는 방향 그래프므로 에지 순서에 유의해야 한다. 463
- 464. 그래프의 완전성464
- 465. 완전그래프 임의의 두 꼭짓점이 모두 단 하나의 변으로 연결된 그래프를 완전(complete) 그래프 465
- 466. 완전그래프의 간선 수 계산 정점이 3개인 그래프는 간선의 최대 갯수가 3개, 정점이 4개인 그래프는 간선의 최대 개수는 6개이 다. 466
- 467. 부분그래프 부분 그래프(subgraph 서브그래프)는 어떤 그래프 의 꼭짓점과 변 가운데 일부로 이루어진 그래프이 다. 467 G1, G2, G3 모두 G의 부분 그래프이다.
- 468. 유도된 그래프 부분그래프가 주어질 경우 정점집합과 간선집합이 주어졌을 때 그 그래프 내에서 유도된 그래프 468 G1, G2, G3 모두 G의 부분 그래프이다. G1 은 변 26을 포함하지 않으므로 유도 부분 그래프가 아니다. 반면, G2, G3 는 유도 부분 그래프이다. G3 는 G2, 의 유도 부분 그래프이다.
- 469. 그래프의 행렬표현469
- 470. 인접행렬 인접 행렬(adjacency matrix)은 그래프 G = (V,E), |V| = n(≥1)일 때 그래프를 이차원 행열에 다음과 같이 저장하는 방법이다. adj_mat[i][j] = “1” if (vi, vj)가 인접할 때(adjacent) “0” 인접하지 않을 경우 470
- 471. 인접행렬 예시 : 무방향 그래프 무방향 그래프는 대칭행렬로 표현됨 471
- 472. 방향 그래프는 연결된 시작점에서 연결된 종착점만 표 시하는 행렬로 표현 472 인접행렬 예시 : 방향 그래프
- 474. 삼각함수 기초 Moon Yong Joon 474
- 475. 각의 종류475
- 476. 각의 종류 각은 두 선상의 사이를 말하며, 이 각에는 예각, 직각, 둔각 등이 종류가 있음 476
- 477. 직각삼각형 기본477
- 478. 직각 삼각형을 이용 삼각형이 존재할 경우 총 각이 합은 180도 이고 각 A의 값을 삼각비로 구할 수 있다 A sin(각도) 의 값은 빗변분에 높이 즉 b/c cos(각도) 의 값은 빗변분에 높이 즉 a/c tan(각도) 의 값은 빗변분에 높이 즉 b/a 478
- 479. 직각삼각형 예시479
- 480. 삼각형을 이용 : 빗변 구하기 밑변과 높이를 알면 피타고라스 정리에 따라 빗 변을 구할 수 있다. 480
- 481. 삼각형을 이용 : 높이와 밑변 하나의 각과 빗변을 알고 있을 경우 빗변*sin()으 로 높이, 빗변*cos()으로 밑변을 구하기 481
- 482. 피타고라스 정리482
- 483. 피타고라스 정리 이용하기 밑변의 제곱과 높이이 제곱은 빗변의 제곱과 동 일 A 대신 rcosø B 대신 rsinø r값을 1로 전환하면 483
- 484. 피타고라스 정리 밑변 3, 높이 4 일 경우 빗변은 5가 됨 484
- 486. 원을 이용한 삼각함수486
- 487. 원을 이용한 삼각함수 정의 xy 좌표평면에서 반지름의 길이가 r인 원을 그리 고 임의의 점을 P일 경우 OP가 이루는 각에 대해 한가지 값을 결정 반지름이 1인 경우 487
- 488. 원을 이용한 정의 예시 선분은 sqrt(3**2 + 4**2)=5가 나오고 이를 이 용해서 각 ø 에 대한 삼각함수 값을 하나로 산출 488
- 489. 삼각함수 표489
- 490. 삼각함수 표 x축은 반지름*코사인 각도, Y축은 반지름*사인 각도로 원위의 점의 좌표를 알 수 있음 490
- 491. RADIAN & DEGREE Moon Yong Joon 491
- 493. degrees와 radians 변환 기준 단위원을 이용하여 degrees와 radians 변환 Degrees와 Radians 변환 규칙 493
- 494. degree와 radian 변환494
- 495. degrees와 radians 2π는 360도, 1radian은 57.3도 495
- 496. degrees와 radians: 변환 90, pi/2를 변환해보면 아래와 같다 496
- 497. radians <-> degrees : numpy np.deg2rad, np.rad2deg를 이용해서 radians 또는 degree로 전환 Π와 180도에 대한 값 전환 497
- 498. radians -> degrees : numpy np.degrees를 이용해서 radians 값을 degree 로 전환 np.degrees(radian, 출력) 498
- 499. degrees-> radians : numpy np.radians를 이용해서 degree 값을 radian로 전환 np.radians(radian, 출력) 499
- 500. 기본 삼각함수 Moon Yong Joon 500
- 501. cosine501
- 502. cosine 그래프 수평선의 길이를 코사인 값을 표시. 502
- 503. cosine 그래프 수평선의 길이를 코사인 값을 표시. 503
- 504. cosine 그래프 : numpy 수평선의 길이를 코사인 값을 표시. 504
- 505. cosine 그래프 수평선의 길이를 코사인 값을 표시. 505
- 506. sine506
- 507. sine함수 sine 함수에 radians을 넣어 값을 계산 507
- 508. sine 그래프 수직선의 길이를 코사인 값을 표시. 508
- 509. sine 그래프 : numpy 수직선의 길이를 코사인 값을 표시. 509
- 510. sine 그래프 수평선의 길이를 사인 값을 표시. 510
- 511. tangent511
- 512. tan 함수 tangent 함수에 radians을 넣어 값을 계산 512
- 513. tangent 그래프 수직선의 길이를 tan 값을 표시. 513
- 514. tangent 그래프 : numpy 수직선의 길이를 tan 값을 표시. 514
- 515. tangent 그래프 수직선의 길이를 tan 값을 표시. 515
- 516. 삼각함수 각의 변환 Moon Yong Joon 516
- 517. 각의 변환517
- 518. 각의 변화를 알아보기 각은 n*π/2 + θ 또는 90n + θ으로 변환해서 각의 위치에 따라 삼각함수를 변환 1. 나오는 각을 n*π/2 + θ 또는 90n + θ, 이때 n은 정수 이면 0< θ < π/2 , 0 < θ <90 2. n이 짝수이면 변하지 않지만 홀수이면 sin-> cos, cos-> sin, tan-> cot로 변환 3. 몇 사분면의 각이냐 에 따라 부호가(+,-)로 변환됨 1사분면 2사분면 3사분면 4사분면 sin + + - - cos + - - + tan + - + - 518
- 519. 삼각함수 사분면 부호 삼각함수의 사분면 위치에 따른 결과 값에 대한 부호 표시 519
- 520. 각의 변화 : 짝수 각은 n*π/2 + θ 또는 90n + θ에서 n이 짝수일 때는 부호만 변함 n=0, 동일함수, 4사분면 n=2, 동일 함수, 2사분면 sin(-x) = -sin(x) sin(π -x) = sin(x) cos(-x) = cos(x) cos(π-x) = -cos(x) tan(-x) = - tan(x) tan(π-x) = -tan(x) 520
- 521. 각의 변화 : 짝수예시 각은 n*π/2 + θ 또는 90n + θ에서 n이 짝수일 때는 부호만 변함 521
- 522. 각의 변화 : 홀수 각은 n*π/2 + θ 또는 90n + θ으로 n이 홀수일 경우 삼각함수가 변함 n=1, 다른 함수, 1사분면 n=3, 동일 함수, 3사분면 sin(π/2 -x) = cos(x) sin(3π/2 -x) = -cos(x) cos(π/2-x) = sin(x) cos(3π/2-x) = -sin(x) tan(π/2-x) = cot(x) tan(3π/2-x) = cot (x) 1 522
- 523. 각의 변화 : 홀수 예시 각은 n*π/2 + θ 또는 90n + θ으로 n이 홀수일 경우 삼각함수가 변함 523
- 524. π/2 :예각524
- 525. 삼각함수 변화 : π/2 각 A가 120도 일 경우는 π/2(90)+30의 값을 가지므로 sin일 경우 cos, cos일 경우는 –sin 으 로 바뀜 r a b A=120도 B=30도 525
- 526. 삼각함수의 변형 : 90도 이내 직각 삼각형의 성질을 이용하면 직각을 빼면 나머지 각이 90도인 것을 감안하면, 각 B를 기준을 sin 함수 의 결과는 각 A를 기준으로 cos 함수 결과와 동일 A B cos(A) = sin(B), sin(B) = cos(A) , tan(B) = cot(A) 와 동일 각 A + 각 B = 90도 각 B로 삼각함수 처리 526
- 527. 삼각함수의 변형 예시 π/2 – 예각에 대한 삼각함수 계산 527
- 528. 삼각함수의 변형 : 180도 이내 180도 이내의 각으로 삼각함수를 계산할 경우 90도 + 나머지 각으로 삼각함수를 계산할 수 있 음 r a b A=120도 B=30도 sin(A) = cos(B) = b/r cos(A) = - sin(B) = - a/r tan(A) = - cot(B) = -b/a 528
- 529. 삼각함수의 변형 예시 π/2 + 예각에 대한 삼각함수 계산 529
- 530. π 와 예각 연산530
- 531. Sin 주기 변화 sin 그래프의 주기적인 pi 와 2pi 배수 단위로 동일한 값을 처리 성질을 이용 531
- 532. cos 주기 변화 cos 그래프의 pi 와 2pi 배수 단위로 동일한 값 을 처리 성질을 이용 532
- 533. 삼각함수 변화 : π - 예각 180도 이내의 각으로 삼각함수를 계산할 경우 각 B에 대해 계산하는 것과 동일 r a b B=30도 sin(π-B) = sin(B) = b/r cos(π-B) = - cos(B) = - a/r tan(π-B) = - tan(B) = -b/a 533
- 534. 삼각함수 변화 : π + 예각 각 A가 120도 일 경우는 π(180)+30의 값을 가 지므로 sin일 경우 sin, cos일 경우는 –cos 으로 바뀜 r a b A=210도 B=30도 534
- 535. 2π 와 예각 연산535
- 536. 삼각함수 변화 : 2π - 각 A가 360도 일 경우는 2π(360)-30의 값을 가지므로 sin일 경우 -sin, cos일 경우는 –cos 으 로 바뀜 r a b A=360도 B=30도 536
- 537. 삼각함수 변화 : 2π + 삼각함수가 2 π 단위로 변경시는 항상 기존 예 각을 구하는 것도 동일한 값을 같는다. r a bA=360도 B=30도 537
- 538. 삼각함수 덧셈과 뺄셈공식 Moon Yong Joon 538
- 539. Sin 함수의 덧셈539
- 540. Sin 함수 덧셈 두개의 각을 sin으로 덧셈을 할 경우 sin함수별 로 덧셈과는 차이가 발생 r a b t s sin(α+ β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) = a/r * b/s + b/r * t/s sin(α) cos(β) = a/r * b/s cos(α) sin(β) = b/r * t/s sin(α) = a/r , sin(β) = t/s 540
- 541. Sin 함수 덧셈 예시 sin 함수 두개의 각을 더할 경우 아래의 공식으 로 계산 541
- 542. Sin 함수의 뺄셈542
- 543. Sin 함수 뺄셈 예시 sin 함수 두개의 각을 뺄 경우 아래의 공식으로 계산 Cos 90이 0값이 아니라도 아 주 작은 값이라 무시 543
- 544. cos 함수의 덧셈/뺄셈544
- 545. cos함수 덧셈 예시 cos 함수 두개의 각을 더할 경우 아래의 공식으 로 계산 545
- 546. cos함수 뺄셈 예시 cos 함수 두개의 각을 뺄 경우 아래의 공식으로 계산 546
- 548. 역수548
- 549. 역수 어떤 수의 역수(逆數, 영어: reciprocal) 또는 곱셈 역원(- 逆元, 영어: multiplicative inverse)은 그 수와 곱해서 1, 즉 곱셈 항등원이 되는 수를 말한다. x의 역수는 1/x 또는 x -1로 표기한다. 곱해서 1이 되는 두 수를 서로 역 수 549
- 550. 역수 구하기550
- 551. 역수 구하기 Python에는 역수에 대한 함수가 없어 역수 공식 에 따라 계산 551
- 552. 삼각함수*역수 = 1 삼각함수 * 역수 = 1인지 확인 552
- 554. 역함수 사용하기554
- 555. 역함수 함수의 정의역과 치역을 바꾸서 함수를 만드는 것을 역함수라고 함 555
- 556. 삼각함수의 역함수 삼각함수의 역함수가 역삼각함수 이름 표기법 정의 정의역 치역 아크사인 y = arcsin x 또는 y = sin-1 x x = sin y −1부터 +1 −π/2 ≤ y ≤ π/2 아크코사인 y = arccos x 또는 y = cos-1 x x = cos y −1부터 +1 0 ≤ y ≤ π 아크탄젠트 y = arctan x 또는 y = tan-1 x x = tan y 모든 실수 −π/2 < y < π/2 아크코탄젠트 y = arccot x 또는 y = cot-1 x x = cot y 모든 실수 0 < y < π 아크시컨트 y = arcsec x 또는 y = sec-1 x x = sec y −∞부터 −1과 1부 터 ∞ 0 ≤ y < π/2 or π/ 2 < y ≤ π 아크코시컨트 y = arccsc x 또는 y = csc-1 x x = csc y −∞부터 −1과 1부 터 ∞ −π/2 ≤ y < 0 or 0 < y ≤ π/2 556
- 557. arcsine557
- 558. arcsine 삼각함수의 역함수가 역삼각함수 이름 표기법 정의 정의역 치역 아크사인 y = arcsin x 또는 y = sin-1 x x = sin y −1부터 +1 −π/2 ≤ y ≤ π/2 558
- 559. arcsine : numpy 삼각함수의 역함수가 역삼각함수 이름 표기법 정의 정의역 치역 아크사인 y = arcsin x 또는 y = sin-1 x x = sin y −1부터 +1 −π/2 ≤ y ≤ π/2 559
- 560. arcsine : numpy 그래프 삼각함수의 역함수가 역삼각함수 560
- 561. arccosine561
- 562. arccosine : numpy 삼각함수의 역함수가 역삼각함수 이름 표기법 정의 정의역 치역 아크코사인 y = arccos x 또는 y = cos-1 x x = cos y −1부터 +1 0 ≤ y ≤ π 562
- 563. arccosine : numpy 그래프 삼각함수의 역함수가 역삼각함수 563
- 564. arctangent564
- 565. 삼각함수의 역함수 삼각함수의 역함수가 역삼각함수 이름 표기법 정의 정의역 치역 아크탄젠트 y = arctan x 또는 y = tan-1 x x = tan y 모든 실수 −π/2 < y < π/2 565
- 567. 삼각함수567
- 568. Sin 함수 처리 sin 함수 두개의 각을 더할 경우 아래의 공식으 로 계산 568
- 569. Sin 함수 뺄셈 예시 sin 함수 두개의 각을 뺄 경우 아래의 공식으로 계산 569
- 571. 지수함수 기초 Moon Yong Joon 571
- 572. 지수 함수572
- 573. 지수 함수란? x에 대한 지수함수(exponential function). a>0 커야 실수 값으로 처리되며 a=1일 경우 항 상 1인 상수가 됨 임의의 실수 x에 대해 함수 573
- 574. 임의의 실수 x에 대해 y = ex 5의 지수는 e5이고 약 148.413과 같습니다 자연지수함수 ex에서 e는 약 2.71828인 자연 로그의 밑이고, x는 입력하는 값으로 구성된 함수 574
- 575. 지수함수 그래프 지수함수는 a>0 크면 우상향 그래프 0<a<1 이 면 우하향 그래프가 됨 575
- 576. 지수 법칙576
- 577. 지수 법칙 동일한 상수의 곱일 경우 지수는 덧셈, 동일한 상수의 제곱에 제곱은 지수끼리 곱셈 처리 * =1 역수 577
- 578. 지수 법칙: 거듭제곱의 곱 동일한 밑에 대한 거듭제곱에 대한 곱셈은 지수 간의 덧셈과 동일 578
- 579. 지수 법칙: 거듭제곱의 거듭제곱 동일한 밑에 대한 거듭제곱의 거듭제곱은 지수 간의 곱셈처리 579
- 580. 지수 법칙 :python 예시580
- 581. 지수 법칙 : exp 자연로그에 대한 제곱승 계산 581
- 582. 지수 법칙 : exp 그래프 복리 이자, 방사선 감소 또는 모집단 성장과 같 이 일정한 지수 요인에 의해 증가 또는 감소하는 양을 모형화하는 데 자주 사용 582
- 583. 로그함수 기초 Moon Yong Joon 583
- 584. 로그함수란584
- 585. 로그함수 정의 어떤 수를 나타내기 위해 고정된 밑을 몇 번 곱하 여야 하는지를 나타내는 함수이면서 지수함수의 역함수가 로그함수 585
- 586. 로그함수 규칙 밑과 진수, 로그함수의 관계 586
- 587. 상용로그 밑(Base)이 10 인 로그를 상용로그(상용대수: Common Logarithm)라고 함 587
- 588. 상용로그 : log10 밑(Base)이 10 인 로그를 상용로그(상용대수: Common Logarithm)라고 함 588
- 589. 자연로그 밑이 e (오일러 상수: 약 2.718) 인 로그를 자연 로그(자연대수: Natural Logarithm) 정의 기초성질 589
- 590. 자연로그 : log 밑이 e (오일러 상수: 약 2.718) 인 로그를 자연 로그(자연대수: Natural Logarithm) 590
- 591. 로그함수 성질591
- 592. 로그함수의 성질 1 로그의 진수가 1인 경우 는 0, 로그의 진수와 밑 이 같으면 1 양변에 밑을 a로 하는 log 로 곱하면 = 592
- 593. 로그함수의 성질1 : 예시 Numpy.log10는 상용로그, numpy.log는 자연 로그로 처리 593
- 594. 로그함수의 성질 2 : 지수의 곱 로그의 진수가 M*N일 경우 log의 덧셈으로 분리 log100 = log10+log10 = 2 594
- 595. 로그함수의 성질 2: 지수의 나누기 로그의 진수가 M/N일 경우 log의 나누기으로 분 리 log100/100= log100- log100 = 1 ax =M, ay = N 이면 595
- 596. 로그함수의 성질 2: 상수 배 로그의 진수가 M*N일 경우 log의 상수배를 밖으 로 분리 log10**2= 2 log10 = 2 596
- 597. 로그함수의 성질 2 : 예시 Numpy.log10으로 사용로그를 처리 597