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Projection d’un point sur un ensemble

Bonjour

Analyse Convexe : Projection d’un point sur un ensemble

Cours d'analyse convexe dans le cadre du master : Mathématiques et Applications de la FST de Settat - Université Hassan 1er.

https://youtu.be/hXxYcuKvppo

Cordialement

Pr JAOUAD DABOUNOU
FST DE SETTAT
UNIVERSITE HASSAN 1er

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Projection d’un point sur un ensemble

  1. 1. Analyse Convexe 1 Jaouad DABOUNOU-FSTS Projection d’un point sur un ensemble Définition (Projection d’un point sur un ensemble): Soit A un ensemble non vide de R n et xR n , on appelle projection euclidienne de x sur A, l’ensemble noté PA(x) et défini par : PA(x) = {yA | ||x - y|| = dA(x)}. Proposition : Soit A un ensemble fermé non vide de R n , alors pour tout xR n , PA(x) est non vide. Démonstration : Pour tout kN*, ykA tel que dA(x)  ||x - yk|| < dA(x) + 1 k Tous les termes de la suite (yk) appartiennent à la boule B(x , dA(x)+1). Donc on peut extraire de cette suite une sous-suite convergente (ykl), qui converge vers un élément y. A est fermé donc yA. Si on passe à la limite la relation dA(x)  ||x - ykl|| < dA(x) + 1 k on obtient: ||x - y|| = dA(x). Donc y PA(x). x̅2 - x̅1 , x̅2 - x̅1>  0. Donc nécessairement x̅2 = x̅1.

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