1.
Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat

2.
Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat

3.
Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Часть 2. Десятая проблема Гильберта
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat

4.
Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Часть 2. Десятая проблема Гильберта
Четвёртая лекция
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat

5.
Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема)
Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое
перечислимое множество является диофантовым.

6.
Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема)
Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое
перечислимое множество является диофантовым.
Теорема (Davis-Putnam-Robinson [1961]). Каждое
перечислимое множество M имеет экспоненциально
диофантово представление
a1 , . . . , an ∈ M ⇐⇒
⇐⇒ ∃x1 . . . xm {EL (a1 , . . . , an , x1 , x2 , . . . , xm ) =
= ER (a1 , . . . , an , x1 , x2 , . . . , xm )}

7.
Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема)
Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое
перечислимое множество является диофантовым.
Теорема (Davis-Putnam-Robinson [1961]). Каждое
перечислимое множество M имеет экспоненциально
диофантово представление
a1 , . . . , an ∈ M ⇐⇒
⇐⇒ ∃x1 . . . xm {EL (a1 , . . . , an , x1 , x2 , . . . , xm ) =
= ER (a1 , . . . , an , x1 , x2 , . . . , xm )}
a = b c ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {P(a, b, c, x1 , . . . , xm ) = 0}

8.
Рекуррентные последовательности второго порядка
αb (0) = 0
αb (1) = 1
αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n)
b≥2

9.
Рекуррентные последовательности второго порядка
αb (0) = 0
αb (1) = 1
αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n)
0 < 1 < αb (2) < · · · < αb (n) < αb (n + 1) < . . .
b≥2

10.
Диофантовость последовательности αb (k)
Основная лемма. Существует многочлен Q(x, b, k, x1 , . . . , xm )
такой что
b ≥ 4 & x = αb (k) ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) = 0}

11.
Диофантовость последовательности αb (k)
Основная лемма. Существует многочлен Q(x, b, k, x1 , . . . , xm )
такой что
b ≥ 4 & x = αb (k) ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) = 0}

12.
Скорость роста
αb (0) = 0
αb (1) = 1
αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n)
(b − 1)αb (n + 1) ≤ αb (n + 2) ≤ bαb (n + 1)
b≥2

13.
Скорость роста
αb (0) = 0
αb (1) = 1
αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n)
(b − 1)αb (n + 1) ≤ αb (n + 2) ≤ bαb (n + 1)
(b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n
b≥2

14.
Скорость роста
αb (0) = 0
αb (1) = 1
αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n)
b≥2
(b − 1)αb (n + 1) ≤ αb (n + 2) ≤ bαb (n + 1)
(b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n
bd − 1
d +1
n
≤
αbd+1 (n + 1)
αbd (n + 1)
≤ bn ≤
≤
αd+1 (n + 1)
αd (n + 1)
bd + 1
d −1
n

15.
Скорость роста
αb (0) = 0
αb (1) = 1
αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n)
b≥2
(b − 1)αb (n + 1) ≤ αb (n + 2) ≤ bαb (n + 1)
(b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n
bd − 1
d +1
n
≤
αbd+1 (n + 1)
αbd (n + 1)
≤ bn ≤
≤
αd+1 (n + 1)
αd (n + 1)
bd + 1
d −1
n
a = b n ⇐⇒
⇐⇒ ∃d
αbd (n + 1)
αbd+1 (n + 1)
αbd (n + 1)
1
≤a≤
≤
+
αd+1 (n + 1)
αd (n + 1)
αd+1 (n + 1) 2

16.
Матричное представление
αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n)

17.
Матричное представление
αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n)
Ab (n) =
αb (n + 1)
−αb (n)
αb (n)
−αb (n − 1)

18.
Матричное представление
αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n)
Ab (n) =
αb (n + 1)
−αb (n)
αb (n)
−αb (n − 1)
Ab (n + 1) = Ab (n)Ψb

19.
Матричное представление
αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n)
Ab (n) =
αb (n + 1)
−αb (n)
αb (n)
−αb (n − 1)
Ab (n + 1) = Ab (n)Ψb
Ψb =
b −1
1 0

20.
Матричное представление
αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n)
Ab (n) =
αb (n + 1)
−αb (n)
αb (n)
−αb (n − 1)
Ab (n + 1) = Ab (n)Ψb
Ψb =
b −1
1 0

21.
Матричное представление
αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n)
Ab (n) =
αb (n + 1)
−αb (n)
αb (n)
−αb (n − 1)
Ab (n + 1) = Ab (n)Ψb
Ψb =
b −1
1 0
Ab (n) = Ψn

22.
Характеристическое уравнение
2
det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1)
2
2
= αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n)
2
2
= αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n)
= det(Ψn )
b
= (det Ψb )n
= 1

23.
Характеристическое уравнение
2
det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1)
2
2
= αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n)
2
2
= αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n)
= det(Ψn )
b
= (det Ψb )n
= 1
x 2 − bxy + y 2 = 1

24.
Характеристическое уравнение
2
det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1)
2
2
= αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n)
2
2
= αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n)
= det(Ψn )
b
= (det Ψb )n
= 1
x 2 − bxy + y 2 = 1
x = αb (n + 1)
y = αb (n)
x = αb (n − 1)
y = αb (n)

25.
Характеристическое уравнение
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1, то найдется число n такое, что
x = αb (n + 1)
y = αb (n)
или же
x = αb (n)
y = αb (n + 1)

26.
Характеристическое уравнение
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1, то найдется число n такое, что
x = αb (n + 1)
y = αb (n)
или же
x = αb (n)
y = αb (n + 1)
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).

27.
Диофантово представление множества чисел αb
Следствие леммы:
x ∈ Mb
⇐⇒
x ∈ {0, 1, b, . . . , αb (n), . . . }

28.
Диофантово представление множества чисел αb
Следствие леммы:
x ∈ Mb
⇐⇒
x ∈ {0, 1, b, . . . , αb (n), . . . }
⇐⇒
∃y {x 2 − bxy + y 2 = 1}

29.
Диофантово представление множества чисел αb
Следствие леммы:
x ∈ Mb
⇐⇒
x ∈ {0, 1, b, . . . , αb (n), . . . }
⇐⇒
∃y {x 2 − bxy + y 2 = 1}

30.
Диофантово представление множества чисел αb
Следствие леммы:
x ∈ Mb
⇐⇒
x ∈ {0, 1, b, . . . , αb (n), . . . }
⇐⇒
∃y {x 2 − bxy + y 2 = 1}
Требуется:
x, k ∈ Nb
⇐⇒
x = αb (k)

31.
Диофантово представление множества чисел αb
Следствие леммы:
x ∈ Mb
⇐⇒
x ∈ {0, 1, b, . . . , αb (n), . . . }
⇐⇒
∃y {x 2 − bxy + y 2 = 1}
Требуется:
x, k ∈ Nb
⇐⇒
x = αb (k)
⇐⇒
?

32.
Новые свойства делимости
Лемма (доказанная).
2
αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m

33.
Новые свойства делимости
Лемма (доказанная).
2
αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m
Лемма (обратная).
2
kαb (k) | m ⇒ αb (k) | αb (m)

34.
Новые свойства делимости
Лемма (доказанная).
2
αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m
Лемма (обратная).
2
kαb (k) | m ⇒ αb (k) | αb (m)

35.
Новые свойства делимости
kαb (k) | m

36.
Новые свойства делимости
kαb (k) | m
m=k

37.
Новые свойства делимости
kαb (k) | m
m=k
αb (k) |

38.
Новые свойства делимости
kαb (k) | m
Ab (m) = Ab (k)
m=k
αb (k) |

39.
Новые свойства делимости
kαb (k) | m
m=k
αb (k) |
Ab (m) = Ab (k)
=
αb (k + 1)
−αb (k)
αb (k)
−αb (k − 1)

40.
Новые свойства делимости
kαb (k) | m
m=k
αb (k) |
Ab (m) = Ab (k)
=
αb (k + 1)
−αb (k)
αb (k)
−αb (k − 1)
=
bαb (k) − αb (k − 1)
−αb (k)
αb (k)
−αb (k − 1)

41.
Новые свойства делимости
kαb (k) | m
m=k
αb (k) |
Ab (m) = Ab (k)
=
αb (k + 1)
−αb (k)
αb (k)
−αb (k − 1)
=
bαb (k) − αb (k − 1)
−αb (k)
αb (k)
−αb (k − 1)
=
αb (k)
b −1
1 0
− αb (k − 1)
1 0
0 1

42.
Новые свойства делимости
kαb (k) | m
m=k
αb (k) |
Ab (m) = Ab (k)
=
αb (k + 1)
−αb (k)
αb (k)
−αb (k − 1)
=
bαb (k) − αb (k − 1)
−αb (k)
αb (k)
−αb (k − 1)
=
αb (k)
b −1
1 0
− αb (k − 1)
1 0
0 1
= [αb (k)Ψb − αb (k − 1)E ]

43.
Новые свойства делимости
kαb (k) | m
m=k
αb (k) |
Ab (m) = Ab (k)
=
αb (k + 1)
−αb (k)
αb (k)
−αb (k − 1)
=
bαb (k) − αb (k − 1)
−αb (k)
αb (k)
−αb (k − 1)
=
αb (k)
b −1
1 0
− αb (k − 1)
1 0
0 1
= [αb (k)Ψb − αb (k − 1)E ]
=
(−1)
i=0
−i
i
i
αb (k)αb−i (k − 1)Ψib

44.
Новые свойства делимости
kαb (k) | m
m=k
αb (k) |
Ab (m) = Ab (k)
=
αb (k + 1)
−αb (k)
αb (k)
−αb (k − 1)
=
bαb (k) − αb (k − 1)
−αb (k)
αb (k)
−αb (k − 1)
=
αb (k)
b −1
1 0
− αb (k − 1)
1 0
0 1
= [αb (k)Ψb − αb (k − 1)E ]
=
(−1)
i=0
−i
i
i
αb (k)αb−i (k − 1)Ψib

45.
Новые свойства делимости
αb (m + 1)
−αb (m)
αb (m)
−αb (m − 1)
=
(−1)
i=0
−i
i
= Ab (m)
i
αb (k)αb−i (k − 1)Ψib

46.
Новые свойства делимости
αb (m + 1)
−αb (m)
αb (m)
−αb (m − 1)
=
(−1)
i=0
−i
i
= Ab (m)
i
αb (k)αb−i (k − 1)Ψib
≡ (−1) αb (k − 1)E + (−1)
−1
2
αb (k)αb−1 (k − 1)Ψb (mod αb (k))

47.
Новые свойства делимости
αb (m + 1)
−αb (m)
αb (m)
−αb (m − 1)
=
(−1)
−i
i=0
i
= Ab (m)
i
αb (k)αb−i (k − 1)Ψib
≡ (−1) αb (k − 1)E + (−1)
= (−1) αb (k − 1)
+(−1)
−1
1 0
0 1
−1
2
αb (k)αb−1 (k − 1)Ψb (mod αb (k))
+
αb (k)αb−1 (k − 1)
b −1
1 0
2
(mod αb (k))

48.
Новые свойства делимости
αb (m + 1)
−αb (m)
αb (m)
−αb (m − 1)
=
(−1)
−i
i=0
i
= Ab (m)
i
αb (k)αb−i (k − 1)Ψib
≡ (−1) αb (k − 1)E + (−1)
= (−1) αb (k − 1)
+(−1)
−1
1 0
0 1
−1
+
b −1
1 0
2
(mod αb (k))
αb (k)αb−1 (k − 1)
2
(mod αb (k))
αb (k)αb−1 (k − 1)
αb (m) ≡ (−1)
−1
2
αb (k)αb−1 (k − 1)Ψb (mod αb (k))

49.
Новые свойства делимости
αb (m + 1)
−αb (m)
αb (m)
−αb (m − 1)
=
(−1)
−i
i=0
i
= Ab (m)
i
αb (k)αb−i (k − 1)Ψib
≡ (−1) αb (k − 1)E + (−1)
= (−1) αb (k − 1)
+(−1)
−1
1 0
0 1
−1
+
b −1
1 0
2
(mod αb (k))
αb (k)αb−1 (k − 1)
2
(mod αb (k))
αb (k)αb−1 (k − 1)
αb (m) ≡ (−1)
−1
2
αb (k)αb−1 (k − 1)Ψb (mod αb (k))
αb (k) |

50.
Новые свойства делимости
αb (m + 1)
−αb (m)
αb (m)
−αb (m − 1)
=
(−1)
−i
i=0
i
= Ab (m)
i
αb (k)αb−i (k − 1)Ψib
−1
≡ (−1) αb (k − 1)E + (−1)
= (−1) αb (k − 1)
+(−1)
−1
1 0
0 1
+
b −1
1 0
2
(mod αb (k))
αb (k)αb−1 (k − 1)
2
(mod αb (k))
αb (k)αb−1 (k − 1)
αb (m) ≡ (−1)
−1
2
αb (k)αb−1 (k − 1)Ψb (mod αb (k))
αb (k) |
2
αb (k) | αb (m)

51.
Новые свойства делимости
Лемма.
2
αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m

52.
Новые свойства делимости
Лемма.
2
αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m
Лемма (обратная).
2
kαb (k) | m ⇒ αb (k) | αb (m)

53.
Новые свойства делимости
Лемма.
2
αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m
Лемма (обратная).
2
kαb (k) | m ⇒ αb (k) | αb (m)
Следствие.
2
kαb (k) | m ⇔ αb (k) | αb (m)

54.
Диофантовость последовательности αb (k)
Основная лемма. Существует многочлен Q(x, b, k, x1 , . . . , xm )
такой что
b ≥ 4 & x = αb (k) ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) = 0}

55.
Диофантовость последовательности αb (k)
Основная лемма. Существует многочлен Q(x, b, k, x1 , . . . , xm )
такой что
b ≥ 4 & x = αb (k) ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) = 0}

56.
Основная лемма. Для любого числа b, такого что b ≥ 4, и
любых чисел x и k, равенство x = αb (k) имеет место тогда и
только тогда, когда существуют числа B, r , s, t, u, v , X , Y такие,
что
u 2 − but + t 2 = 1,
s 2 − bsr + r 2 = 1,
r < s,
u 2 | s,
v = bs − 2r ,
v | B − b,
u | B − 2,
B ≥ 4,
2
X − BXY + Y 2 = 1,
2x < u,
x = arem(X , v ),
k = arem(X , u).

57.
Первый шаг
x, k ∈ Nb
⇐⇒
x = αb (k)
⇐⇒
?

58.
Первый шаг
x, k ∈ Nb
⇐⇒
x = αb (k)
⇐⇒
?
α2 (n) =

59.
Первый шаг
x, k ∈ Nb
⇐⇒
x = αb (k)
⇐⇒
?
α2 (n) = n

60.
Первый шаг
x, k ∈ Nb
⇐⇒
x = αb (k)
⇐⇒
?
α2 (n) = n

61.
Первый шаг
x, k ∈ Nb
⇐⇒
x = αb (k)
⇐⇒
?
α2 (n) = n
N2 = { k, k : k ∈ N}

62.
Первый шаг
x, k ∈ Nb
⇐⇒
x = αb (k)
⇐⇒
?
α2 (n) = n
N2 = { k, k : k ∈ N}
= { α2 (k), α2 (k) : k ∈ N}

63.
Первый шаг
x, k ∈ Nb
⇐⇒
x = αb (k)
⇐⇒
?
α2 (n) = n
N2 = { k, k : k ∈ N}
= { α2 (k), α2 (k) : k ∈ N}
= { x, x : x ∈ M2 }

64.
Первый шаг
x, k ∈ Nb
⇐⇒
x = αb (k)
⇐⇒
?
α2 (n) = n
N2 = { k, k : k ∈ N}
= { α2 (k), α2 (k) : k ∈ N}
= { x, x : x ∈ M2 }
N∗ = { αb (k), αb (k) : k ∈ N}
b

65.
Первый шаг
x, k ∈ Nb
⇐⇒
x = αb (k)
⇐⇒
?
α2 (n) = n
N2 = { k, k : k ∈ N}
= { α2 (k), α2 (k) : k ∈ N}
= { x, x : x ∈ M2 }
N∗ = { αb (k), αb (k) : k ∈ N}
b
= { x, x : x ∈ Mb }

66.
Второй шаг
N∗ = { αb (k), αb (k) : k ∈ N}
b
= { x, x : x ∈ Mb }

67.
Второй шаг
N∗ = { αb (k), αb (k) : k ∈ N}
b
= { x, x : x ∈ Mb }
Nb = { αb (k), α2 (k) : k ∈ N}

68.
Сравнение последовательностей
αb (0) = 0
αb (1) = 1
αb (n + 2) = b αb (n + 1) − αb (n)
αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = b αb (n + 1) − αb (n)

69.
Сравнение последовательностей
αb (0) = 0
αb (1) = 1
αb (n + 2) = b αb (n + 1) − αb (n)
αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = b αb (n + 1) − αb (n)
b ≡ b (mod b − b )

70.
Сравнение последовательностей
αb (0) = 0
αb (1) = 1
αb (n + 2) = b αb (n + 1) − αb (n)
αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = b αb (n + 1) − αb (n)
b ≡ b (mod b − b )
αb (n) ≡ αb (n) (mod b − b )

71.
Функции rem и arem
z = rem(y , x) ⇐⇒ y ≡ z (mod x)&z ≤ x − 1

72.
Функции rem и arem
z = rem(y , x) ⇐⇒ y ≡ z (mod x)&z ≤ x − 1
z = arem(y , x) ⇐⇒
y ≡ z (mod x) or y ≡ −z (mod x) &2z ≤ x

73.
Сравнение последовательностей
b ≡ b (mod b − b )

74.
Сравнение последовательностей
b ≡ b (mod b − b )
αb (n) ≡ αb (n) (mod b − b )

75.
Сравнение последовательностей
b ≡ b (mod b − b )
αb (n) ≡ αb (n) (mod b − b )

76.
Сравнение последовательностей
b ≡ b (mod b − b )
αb (n) ≡ αb (n) (mod b − b )
rem(αb (n), b − b ) = rem(αb (n), b − b )

77.
Сравнение последовательностей
b ≡ b (mod b − b )
αb (n) ≡ αb (n) (mod b − b )
rem(αb (n), b − b ) = rem(αb (n), b − b )

78.
Сравнение последовательностей
b ≡ b (mod b − b )
αb (n) ≡ αb (n) (mod b − b )
rem(αb (n), b − b ) = rem(αb (n), b − b )
αb (n) = rem(αb (n), b − b ) provided αb (n) < b − b

79.
Второй шаг
N∗ = { αb (k), αb (k) : k ∈ N}
b

80.
Второй шаг
N∗ = { αb (k), αb (k) : k ∈ N}
b
= { x, x : x ∈ Mb }

81.
Второй шаг
N∗ = { αb (k), αb (k) : k ∈ N}
b
= { x, x : x ∈ Mb }
Nb = { αb (k), α2 (k) : k ∈ N}

82.
Второй шаг
N∗ = { αb (k), αb (k) : k ∈ N}
b
= { x, x : x ∈ Mb }
Nb = { αb (k), α2 (k) : k ∈ N}
N∗∗ = { x, rem(x, b − 2) : x ∈ Mb }
b

83.
Третий шаг
N∗∗ = { x, rem(x, b − 2) : x ∈ Mb }
b

84.
Третий шаг
N∗∗ = { x, rem(x, b − 2) : x ∈ Mb }
b
N∗∗∗ = { rem(x, B − b), rem(x, B − 2) : x ∈ MB }
b

85.
Периодичность
αb (0), αb (1), . . . , αb (n), . . .

86.
Периодичность
αb (0), αb (1), . . . , αb (n), . . .
αb (0) (mod v ), αb (1) (mod v ), . . . , αb (n) (mod v ), . . .

87.
Периодичность
αb (0), αb (1), . . . , αb (n), . . .
αb (0) (mod v ), αb (1) (mod v ), . . . , αb (n) (mod v ), . . .
αb (m) ≡ αb (m + p) (mod v )

88.
Периодичность
αb (0), αb (1), . . . , αb (n), . . .
αb (0) (mod v ), αb (1) (mod v ), . . . , αb (n) (mod v ), . . .
αb (m) ≡ αb (m + p) (mod v )
αb (m + 1) ≡ αb (m + 1 + p) (mod v )

89.
Периодичность
αb (0), αb (1), . . . , αb (n), . . .
αb (0) (mod v ), αb (1) (mod v ), . . . , αb (n) (mod v ), . . .
αb (m) ≡ αb (m + p) (mod v )
αb (m + 1) ≡ αb (m + 1 + p) (mod v )
αb (m + 2) ≡ αb (m + 2 + p) (mod v )

90.
Периодичность
αb (0), αb (1), . . . , αb (n), . . .
αb (0) (mod v ), αb (1) (mod v ), . . . , αb (n) (mod v ), . . .
αb (m) ≡ αb (m + p) (mod v )
αb (m + 1) ≡ αb (m + 1 + p) (mod v )
αb (m + 2) ≡ αb (m + 2 + p) (mod v )
αb (m + 3) ≡ αb (m + 3 + p) (mod v )

91.
Периодичность
αb (0), αb (1), . . . , αb (n), . . .
αb (0) (mod v ), αb (1) (mod v ), . . . , αb (n) (mod v ), . . .
αb (m − 1) ≡ αb (m − 1 + p) (mod v )
αb (m) ≡ αb (m + p) (mod v )
αb (m + 1) ≡ αb (m + 1 + p) (mod v )
αb (m + 2) ≡ αb (m + 2 + p) (mod v )
αb (m + 3) ≡ αb (m + 3 + p) (mod v )

92.
Периодичность
αb (0), αb (1), . . . , αb (n), . . .
αb (0) (mod v ), αb (1) (mod v ), . . . , αb (n) (mod v ), . . .
αb (m − 1) ≡ αb (m − 1 + p) (mod v )
αb (m) ≡ αb (m + p) (mod v )
αb (m + 1) ≡ αb (m + 1 + p) (mod v )
αb (m + 2) ≡ αb (m + 2 + p) (mod v )
αb (m + 3) ≡ αb (m + 3 + p) (mod v )
αb (n) ≡ αb (n + p) (mod v )

93.
Специальный период
v = αb (m + 1) − αb (m − 1)

94.
Специальный период
v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v )

95.
Специальный период
v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v )
αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v )

96.
Специальный период
v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v )
αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v )
.
. ≡ .
.
.
.

97.
Специальный период
v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v )
αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v )
.
. ≡ .
.
.
.
αb (m) ≡ αb (m) (mod v )

98.
Специальный период
v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v )
αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v )
.
. ≡ .
.
.
.
αb (m) ≡ αb (m) (mod v )
αb (m + 1) ≡ αb (m − 1) (mod v )

99.
Специальный период
v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v )
αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v )
.
. ≡ .
.
.
.
αb (m) ≡ αb (m) (mod v )
αb (m + 1) ≡ αb (m − 1) (mod v )
αb (m + 2) ≡ αb (m − 2) (mod v )

100.
Специальный период
v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v )
αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v )
.
. ≡ .
.
.
.
αb (m) ≡ αb (m) (mod v )
αb (m + 1) ≡ αb (m − 1) (mod v )
αb (m + 2) ≡ αb (m − 2) (mod v )
αb (m + 3) ≡ αb (m − 3) (mod v )

101.
Специальный период
v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v )
αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v )
.
. ≡ .
.
.
.
αb (m) ≡ αb (m) (mod v )
αb (m + 1) ≡ αb (m − 1) (mod v )
αb (m + 2) ≡ αb (m − 2) (mod v )
αb (m + 3) ≡ αb (m − 3) (mod v )
.
. ≡ .
.
.
.

102.
Специальный период
v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v )
αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v )
.
. ≡ .
.
.
.
αb (m) ≡ αb (m) (mod v )
αb (m + 1) ≡ αb (m − 1) (mod v )
αb (m + 2) ≡ αb (m − 2) (mod v )
αb (m + 3) ≡ αb (m − 3) (mod v )
.
. ≡ .
.
.
.
αb (2m − 1) ≡ αb (1) (mod v )

103.
Специальный период
v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v )
αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v )
.
. ≡ .
.
.
.
αb (m) ≡ αb (m) (mod v )
αb (m + 1) ≡ αb (m − 1) (mod v )
αb (m + 2) ≡ αb (m − 2) (mod v )
αb (m + 3) ≡ αb (m − 3) (mod v )
.
. ≡ .
.
.
.
αb (2m − 1) ≡ αb (1) (mod v )
αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v )

104.
Специальный период
v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v )
αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v )
.
. ≡ .
.
.
.
αb (m) ≡ αb (m) (mod v )
αb (m + 1) ≡ αb (m − 1) (mod v )
αb (m + 2) ≡ αb (m − 2) (mod v )
αb (m + 3) ≡ αb (m − 3) (mod v )
.
. ≡ .
.
.
.
αb (2m − 1) ≡ αb (1) (mod v )
αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v )
αb (2m + 1) ≡ αb (−1) = −1 = −αb (1) (mod v )

105.
Специальный период
αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v )

106.
Специальный период
αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v )
αb (2m + 1) ≡ αb (−1) = −1 = −αb (1) (mod v )

107.
Специальный период
αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v )
αb (2m + 1) ≡ αb (−1) = −1 = −αb (1) (mod v )
αb (2m + 2) ≡ −αb (2) (mod v )

108.
Специальный период
αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v )
αb (2m + 1) ≡ αb (−1) = −1 = −αb (1) (mod v )
αb (2m + 2) ≡ −αb (2) (mod v )
.
. ≡ .
.
.
.

109.
Специальный период
αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v )
αb (2m + 1) ≡ αb (−1) = −1 = −αb (1) (mod v )
αb (2m + 2) ≡ −αb (2) (mod v )
.
. ≡ .
.
.
.
αb (2m + n) ≡ −αb (n) (mod v )

110.
Специальный период
αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v )
αb (2m + 1) ≡ αb (−1) = −1 = −αb (1) (mod v )
αb (2m + 2) ≡ −αb (2) (mod v )
.
. ≡ .
.
.
.
αb (2m + n) ≡ −αb (n) (mod v )
.
. ≡ .
.
.
.

111.
Специальный период
αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v )
αb (2m + 1) ≡ αb (−1) = −1 = −αb (1) (mod v )
αb (2m + 2) ≡ −αb (2) (mod v )
.
. ≡ .
.
.
.
αb (2m + n) ≡ −αb (n) (mod v )
.
. ≡ .
.
.
.
αb (4m + n) ≡ −αb (2m + n) ≡ αb (n) (mod v )

112.
Специальный период
αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v )
αb (2m + 1) ≡ αb (−1) = −1 = −αb (1) (mod v )
αb (2m + 2) ≡ −αb (2) (mod v )
.
. ≡ .
.
.
.
αb (2m + n) ≡ −αb (n) (mod v )
.
. ≡ .
.
.
.
αb (4m + n) ≡ −αb (2m + n) ≡ αb (n) (mod v )
При v = αb (m + 1) − αb (m − 1) последовательность
αb (0)
(mod v ), αb (1)
имеет период длины 4m
(mod v ), . . . , αb (1)
(mod v ), . . .

113.
Специальный период
αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v )
αb (2m + 1) ≡ αb (−1) = −1 = −αb (1) (mod v )
αb (2m + 2) ≡ −αb (2) (mod v )
.
. ≡ .
.
.
.
αb (2m + n) ≡ −αb (n) (mod v )
.
. ≡ .
.
.
.
αb (4m + n) ≡ −αb (2m + n) ≡ αb (n) (mod v )
При v = αb (m + 1) − αb (m − 1) последовательность
αb (0)
(mod v ), αb (1)
(mod v ), . . . , αb (1)
(mod v ), . . .
имеет период длины 4m, а последовательность
arem(αb (0), v ), arem(αb (1), v ), . . . , arem(αb (n), v ), . . .
имеет период длины 2m.

114.
Четвертый шаг
N∗∗∗ = { rem(x, B − b), rem(x, B − 2) : x ∈ MB }
b

115.
Четвертый шаг
N∗∗∗ = { rem(x, B − b), rem(x, B − 2) : x ∈ MB }
b
N∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, B − 2) : x ∈ MB }
b

116.
Четвертый шаг
N∗∗∗ = { rem(x, B − b), rem(x, B − 2) : x ∈ MB }
b
N∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, B − 2) : x ∈ MB }
b
v = αb (m + 1) − αb (m − 1)

117.
Четвертый шаг
N∗∗∗ = { rem(x, B − b), rem(x, B − 2) : x ∈ MB }
b
N∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, B − 2) : x ∈ MB }
b
v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
v |B − b

118.
Четвертый шаг
N∗∗∗ = { rem(x, B − b), rem(x, B − 2) : x ∈ MB }
b
N∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, B − 2) : x ∈ MB }
b
v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
v |B − b

119.
Пятый шаг
N∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, B − 2) : x ∈ MB }
b

120.
Пятый шаг
N∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, B − 2) : x ∈ MB }
b
v = αb (m + 1) − αb (m − 1)

121.
Пятый шаг
N∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, B − 2) : x ∈ MB }
b
v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
v |B − b

122.
Пятый шаг
N∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, B − 2) : x ∈ MB }
b
v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
v |B − b
N∗∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, u) : x ∈ MB }
b

123.
Пятый шаг
N∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, B − 2) : x ∈ MB }
b
v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
v |B − b
N∗∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, u) : x ∈ MB }
b
u|B − 2

124.
Ключевая идея

125.
Ключевая идея
N∗∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, u) : x ∈ MB }
b
v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
v |B − b
u|B − 2

126.
Ключевая идея
N∗∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, u) : x ∈ MB }
b
v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
v |B − b
u|B − 2
Последовательность
arem(αB (0), v ), arem(αB (1), v ), . . . , arem(αB (n), v ), . . .
имеет период длины 2m; последовательность
arem(αB (0), u), arem(αB (1), u), . . . , arem(αB (n), u), . . .
имеет период длины u;

127.
Ключевая идея
N∗∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, u) : x ∈ MB }
b
v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
v |B − b
u|B − 2
Последовательность
arem(αB (0), v ), arem(αB (1), v ), . . . , arem(αB (n), v ), . . .
имеет период длины 2m; последовательность
arem(αB (0), u), arem(αB (1), u), . . . , arem(αB (n), u), . . .
имеет период длины u; мы хотим, чтобы u | m.

128.
Ключевая идея
N∗∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, u) : x ∈ MB }
b
v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
v |B − b
u|B − 2
Последовательность
arem(αB (0), v ), arem(αB (1), v ), . . . , arem(αB (n), v ), . . .
имеет период длины 2m; последовательность
arem(αB (0), u), arem(αB (1), u), . . . , arem(αB (n), u), . . .
имеет период длины u; мы хотим, чтобы u | m.
u = αb ( )
u 2 |αb (m)

129.
Основная лемма. Для любого числа b, такого что b ≥ 4, и
любых чисел x и k, равенство x = αb (k) имеет место тогда и
только тогда, когда существуют числа B, r , s, t, u, v , X , Y такие,
что
u 2 − but + t 2 = 1,
s 2 − bsr + r 2 = 1,
r < s,
u 2 | s,
v = bs − 2r ,
v | B − b,
u | B − 2,
B ≥ 4,
2
X − BXY + Y 2 = 1,
2x < u,
x = arem(X , v ),
k = arem(X , u).

130.
Часть “тогда”
Если b ≥ 4 и числа x, k, B, r , s, t, u, v , X , Y удовлетворяют
условиям
u 2 − but + t 2 = 1,
s 2 − bsr + r 2 = 1,
v = bs − 2r ,
r < s,
2
u | s,
B ≥ 4,
X 2 − BXY + Y 2 = 1,
v | B − b,
u | B − 2,
2a < u,
x = arem(X , v ),
k = arem(X , u).
то x = αb (k).

131.
Часть “тогда”
u 2 − but + t 2 = 1

132.
Часть “тогда”
u 2 − but + t 2 = 1
⇒ u = αb ( )

133.
Часть “тогда”
u 2 − but + t 2 = 1
s 2 − bsr + r 2 = 1,
r <s
⇒ u = αb ( )

134.
Часть “тогда”
u 2 − but + t 2 = 1
s 2 − bsr + r 2 = 1,
r <s
⇒ u = αb ( )
⇒ s = αb (m),
r = αb (m − 1)

135.
Часть “тогда”
u 2 − but + t 2 = 1
s 2 − bsr + r 2 = 1,
v = bs − 2r
r <s
⇒ u = αb ( )
⇒ s = αb (m),
r = αb (m − 1)

136.
Часть “тогда”
u 2 − but + t 2 = 1
s 2 − bsr + r 2 = 1,
v = bs − 2r
r <s
⇒ u = αb ( )
⇒ s = αb (m),
r = αb (m − 1)
⇒ v = bαb (m) − 2αb (m − 1)

137.
Часть “тогда”
u 2 − but + t 2 = 1
s 2 − bsr + r 2 = 1,
v = bs − 2r
r <s
⇒ u = αb ( )
⇒ s = αb (m),
r = αb (m − 1)
⇒ v = bαb (m) − 2αb (m − 1)
⇒ v = αb (m + 1) − αb (m − 1)

138.
Часть “тогда”
u 2 − but + t 2 = 1
s 2 − bsr + r 2 = 1,
r <s
v = bs − 2r
⇒ u = αb ( )
⇒ s = αb (m),
r = αb (m − 1)
⇒ v = bαb (m) − 2αb (m − 1)
⇒ v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
u2 | s

139.
Часть “тогда”
u 2 − but + t 2 = 1
s 2 − bsr + r 2 = 1,
r <s
v = bs − 2r
⇒ u = αb ( )
⇒ s = αb (m),
r = αb (m − 1)
⇒ v = bαb (m) − 2αb (m − 1)
⇒ v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
u2 | s
⇒ (αb ( ))2 | αb (m)

140.
Часть “тогда”
u 2 − but + t 2 = 1
s 2 − bsr + r 2 = 1,
r <s
v = bs − 2r
⇒ u = αb ( )
⇒ s = αb (m),
r = αb (m − 1)
⇒ v = bαb (m) − 2αb (m − 1)
⇒ v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
u2 | s
⇒ (αb ( ))2 | αb (m)
⇒ u|m

141.
Часть “тогда”
B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1

142.
Часть “тогда”
B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1
⇒ X = αB (n)

143.
Часть “тогда”
B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1
⇒ X = αB (n)
⇒ X ≡ αb (n) (mod B − b)

144.
Часть “тогда”
B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1
⇒ X = αB (n)
⇒ X ≡ αb (n) (mod B − b)
⇒ X ≡ n (mod B − 2)

145.
Часть “тогда”
B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1
⇒ X = αB (n)
⇒ X ≡ αb (n) (mod B − b)
⇒ X ≡ n (mod B − 2)
v |B −b

146.
Часть “тогда”
B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1
⇒ X = αB (n)
⇒ X ≡ αb (n) (mod B − b)
⇒ X ≡ n (mod B − 2)
v |B −b
⇒ X ≡ αb (n) (mod v ),

147.
Часть “тогда”
B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1
⇒ X = αB (n)
⇒ X ≡ αb (n) (mod B − b)
⇒ X ≡ n (mod B − 2)
v |B −b
u |B −2
⇒ X ≡ αb (n) (mod v ),

148.
Часть “тогда”
B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1
⇒ X = αB (n)
⇒ X ≡ αb (n) (mod B − b)
⇒ X ≡ n (mod B − 2)
v |B −b
u |B −2
⇒ X ≡ αb (n) (mod v ),
⇒ X ≡ n (mod u)

149.
Часть “тогда”
Пусть j = arem(n, 2m), то есть,
n = 2 m ± j,
j ≤m

150.
Часть “тогда”
Пусть j = arem(n, 2m), то есть,
n = 2 m ± j,
Ab (n) = Ψn
b
j ≤m

151.
Часть “тогда”
Пусть j = arem(n, 2m), то есть,
n = 2 m ± j,
j ≤m
Ab (n) = Ψn
b
= Ψ2
b
m±j

152.
Часть “тогда”
Пусть j = arem(n, 2m), то есть,
n = 2 m ± j,
j ≤m
Ab (n) = Ψn
b
= Ψ2
b
=
m±j
[Ψm ]2 Ψ±j
b
b

153.
Часть “тогда”
Пусть j = arem(n, 2m), то есть,
n = 2 m ± j,
j ≤m
Ab (n) = Ψn
b
= Ψ2
b
m±j
=
[Ψm ]2 Ψ±j
b
b
=
[Ab (m)]2 [Ab (j)]±1

154.
Часть “тогда”
Ab (n) =
[Ab (m)]2 [Ab (j)]±1

155.
Часть “тогда”
Ab (n) =
Ab (m) =
[Ab (m)]2 [Ab (j)]±1
αb (m + 1)
−αb (m)
αb (m)
−αb (m − 1)

156.
Часть “тогда”
Ab (n) =
Ab (m) =
[Ab (m)]2 [Ab (j)]±1
αb (m + 1)
−αb (m)
αb (m)
−αb (m − 1)
≡ −
−αb (m − 1)
αb (m)
−αb (m)
αb (m + 1)
(mod v )

157.
Часть “тогда”
Ab (n) =
Ab (m) =
[Ab (m)]2 [Ab (j)]±1
αb (m + 1)
−αb (m)
αb (m)
−αb (m − 1)
≡ −
−αb (m − 1)
αb (m)
−αb (m)
αb (m + 1)
= −[Ab (m)]−1
[Ab (m)]2 ≡ −E (mod v )
Ab (n) ≡ ±[Ab (j)]±1 (mod v )
(mod v )

158.
Часть “тогда”
Ab (n) =
Ab (m) =
[Ab (m)]2 [Ab (j)]±1
αb (m + 1)
−αb (m)
αb (m)
−αb (m − 1)
≡ −
−αb (m − 1)
αb (m)
−αb (m)
αb (m + 1)
= −[Ab (m)]−1
[Ab (m)]2 ≡ −E (mod v )
Ab (n) ≡ ±[Ab (j)]±1 (mod v )
X ≡ αb (n) ≡ ±αb (j) (mod v )
(mod v )

159.
Часть “тогда”
x = arem(X , v ) = αb (j)

160.
Часть “тогда”
x = arem(X , v ) = αb (j)
2αb (j) ≤ 2αb (m) ≤ (b − 2)αb (m) < bαb (m) − 2αb (m − 1) = v

161.
Часть “тогда”
x = arem(X , v ) = αb (j)
2αb (j) ≤ 2αb (m) ≤ (b − 2)αb (m) < bαb (m) − 2αb (m − 1) = v
k = arem(X , u) = arem(n, u) = j

162.
Часть “тогда”
x = arem(X , v ) = αb (j)
2αb (j) ≤ 2αb (m) ≤ (b − 2)αb (m) < bαb (m) − 2αb (m − 1) = v
k = arem(X , u) = arem(n, u) = j
2j ≤ 2αb (j) = 2x < u

163.
Часть “тогда”
x = arem(X , v ) = αb (j)
2αb (j) ≤ 2αb (m) ≤ (b − 2)αb (m) < bαb (m) − 2αb (m − 1) = v
k = arem(X , u) = arem(n, u) = j
2j ≤ 2αb (j) = 2x < u
x = αb (k)

164.
Часть “только тогда”
Для любых b ≥ 4, xk, если x = αb (k) то найдутся числа
B, r , s, t, u, v , X , Y такие, что
u 2 − but + t 2 = 1,
s 2 − bsr + r 2 = 1,
r < s,
v = bs − 2r ,
u 2 | s,
B ≥ 4,
X 2 − BXY + Y 2 = 1,
v | B − b,
u | B − 2,
2x < u,
x = arem(X , v ),
k = arem(X , u).

165.
Часть “только тогда”
u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1

166.
Часть “только тогда”
u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1
велико ⇒ 2x < u

167.
Часть “только тогда”
u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1
велико ⇒ 2x < u
u ≡ 1 (mod 2)

168.
Часть “только тогда”
u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1
велико ⇒ 2x < u
u ≡ 1 (mod 2)
s = αb (m + 1),
r = αb (m) ⇒ s 2 − bsr + r 2 = 1
⇒ r <s

169.
Часть “только тогда”
u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1
велико ⇒ 2x < u
u ≡ 1 (mod 2)
s = αb (m + 1),
r = αb (m) ⇒ s 2 − bsr + r 2 = 1
⇒ r <s
m = u ⇒ u2 | s

170.
Часть “только тогда”
u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1
велико ⇒ 2x < u
u ≡ 1 (mod 2)
s = αb (m + 1),
r = αb (m) ⇒ s 2 − bsr + r 2 = 1
⇒ r <s
m = u ⇒ u2 | s
v = bs − 2r

171.
Часть “только тогда”
u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1
велико ⇒ 2x < u
u ≡ 1 (mod 2)
s = αb (m + 1),
r = αb (m) ⇒ s 2 − bsr + r 2 = 1
⇒ r <s
m = u ⇒ u2 | s
v = bs − 2r
≥ 4αb (m) − 2αb (m − 1)

172.
Часть “только тогда”
u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1
велико ⇒ 2x < u
u ≡ 1 (mod 2)
s = αb (m + 1),
r = αb (m) ⇒ s 2 − bsr + r 2 = 1
⇒ r <s
m = u ⇒ u2 | s
v = bs − 2r
≥ 4αb (m) − 2αb (m − 1)
> 2αb (m) ≥ 0

173.
Часть “только тогда”
B ≥ 4,
v | B − b,
B ≡ b (mod v ),
u |B −2
B ≡ 2 (mod u)

174.
Часть “только тогда”
B ≥ 4,
v | B − b,
B ≡ b (mod v ),
u |B −2
B ≡ 2 (mod u)
d |u
d |v

175.
Часть “только тогда”
B ≥ 4,
v | B − b,
B ≡ b (mod v ),
u |B −2
B ≡ 2 (mod u)
d |u
d |v
2
u |s ⇒ d |s

176.
Часть “только тогда”
B ≥ 4,
v | B − b,
B ≡ b (mod v ),
u |B −2
B ≡ 2 (mod u)
d |u
d |v
2
u |s ⇒ d |s
v = bs − 2r
⇒ d | 2r

177.
Часть “только тогда”
B ≥ 4,
v | B − b,
B ≡ b (mod v ),
u |B −2
B ≡ 2 (mod u)
d |u
d |v
2
u |s ⇒ d |s
v = bs − 2r
⇒ d | 2r
u ≡ 1 (mod 2) ⇒ d | r

178.
Часть “только тогда”
B ≥ 4,
v | B − b,
B ≡ b (mod v ),
u |B −2
B ≡ 2 (mod u)
d |u
d |v
2
u |s ⇒ d |s
v = bs − 2r
⇒ d | 2r
u ≡ 1 (mod 2) ⇒ d | r
2
s − bsr + r 2 = 1 ⇒ d | 1

179.
Часть “только тогда”
B ≥ 4,
v | B − b,
B ≡ b (mod v ),
u |B −2
B ≡ 2 (mod u)
d |u
d |v
2
u |s ⇒ d |s
v = bs − 2r
⇒ d | 2r
u ≡ 1 (mod 2) ⇒ d | r
2
s − bsr + r 2 = 1 ⇒ d | 1
⇒ d =1

180.
Часть “только тогда”
X = αB (k), Y = αB (k + 1) ⇒ X 2 − BXY + Y 2 = 1

181.
Часть “только тогда”
X = αB (k),
Y = αB (k + 1)

182.
Часть “только тогда”
X = αB (k),
Y = αB (k + 1)
x = arem(X , v )

183.
Часть “только тогда”
X = αB (k),
Y = αB (k + 1)
x = arem(X , v )
αB (k) ≡ αb (k) (mod B − b)

184.
Часть “только тогда”
X = αB (k),
Y = αB (k + 1)
x = arem(X , v )
αB (k) ≡ αb (k) (mod B − b)
X
≡ x (mod B − b)

185.
Часть “только тогда”
X = αB (k),
Y = αB (k + 1)
x = arem(X , v )
αB (k) ≡ αb (k) (mod B − b)
X
v |B −b ⇒X
≡ x (mod B − b)
≡ x (mod v )

186.
Часть “только тогда”
X = αB (k),
Y = αB (k + 1)
x = arem(X , v )
αB (k) ≡ αb (k) (mod B − b)
X
v |B −b ⇒X
≡ x (mod B − b)
≡ x (mod v )

187.
Часть “только тогда”
X = αB (k),
Y = αB (k + 1)
x = arem(X , v )
αB (k) ≡ αb (k) (mod B − b)
X
v |B −b ⇒X
v = bs − 2r
≡ x (mod B − b)
≡ x (mod v )
≥ 4αb (m) − 2αb (m − 1)

188.
Часть “только тогда”
X = αB (k),
Y = αB (k + 1)
x = arem(X , v )
αB (k) ≡ αb (k) (mod B − b)
X
v |B −b ⇒X
v = bs − 2r
≡ x (mod B − b)
≡ x (mod v )
≥ 4αb (m) − 2αb (m − 1)
> αb (m) = αb ( u)

189.
Часть “только тогда”
X = αB (k),
Y = αB (k + 1)
x = arem(X , v )
αB (k) ≡ αb (k) (mod B − b)
X
v |B −b ⇒X
v = bs − 2r
≡ x (mod B − b)
≡ x (mod v )
≥ 4αb (m) − 2αb (m − 1)
> αb (m) = αb ( u)
≥ αb ( ) = u > 2x

190.
Часть “только тогда”
X = αB (k),
Y = αB (k + 1)

191.
Часть “только тогда”
X = αB (k),
Y = αB (k + 1)
k = arem(X , u)

192.
Часть “только тогда”
X = αB (k),
Y = αB (k + 1)
k = arem(X , u)
αB (k) ≡ α2 (k) (mod B − 2)

193.
Часть “только тогда”
X = αB (k),
Y = αB (k + 1)
k = arem(X , u)
αB (k) ≡ α2 (k) (mod B − 2)
X ≡ k (mod B − 2)

194.
Часть “только тогда”
X = αB (k),
Y = αB (k + 1)
k = arem(X , u)
αB (k) ≡ α2 (k) (mod B − 2)
X ≡ k (mod B − 2)
u | B − 2 ⇒ X ≡ k (mod u)

195.
Часть “только тогда”
X = αB (k),
Y = αB (k + 1)
k = arem(X , u)
αB (k) ≡ α2 (k) (mod B − 2)
X ≡ k (mod B − 2)
u | B − 2 ⇒ X ≡ k (mod u)

196.
Часть “только тогда”
X = αB (k),
Y = αB (k + 1)
k = arem(X , u)
αB (k) ≡ α2 (k) (mod B − 2)
X ≡ k (mod B − 2)
u | B − 2 ⇒ X ≡ k (mod u)
2x < u