1. FÍSICA
CINEMÁTICA EN UNA
DIMENSIÓN
COMPILADO POR: Dra. ZULLY CARVACHE, MSc.

2. Introducción.
La cinemática estudia los movimientos de los
cuerpos independientemente de las causas
que lo producen.
Magnitud física: Propiedad de un objeto que se puede
medir. Hay 2 tipos:
• Escalar: posee un nº natural y una unidad
• Vectorial: es un vector con dirección y punto de
aplicación
Movimientos.
Cambio de posición de un cuerpo o móvil puntual al
pasar el tiempo.
El sistema de referencia se define desde donde se
observa al móvil.
El movimiento se define siempre que cambie la

3. La trayectoria es el
camino que recorre
la partícula cuando
se traslada de una
posición a otra.
TRAYECTORIA

4. La trayectoria puede variar con el cambio de
referencia.
EJERCICIO:
Considere que usted está sentado en un autobús. En ese
momento, el bus está en una trayectoria lineal a
velocidad constante. De repente, un foco de luz del techo
cae. ¿Qué forma tendrá la trayectoria del foco para la
persona que va en el bus y que forma tendrá para una
persona en reposo fuera del mismo?
Respuesta
Para quien está en el autobús, la trayectoria descrita por la
lámpara será rectilínea. Pero a un extraño y en reposo respecto
a la Tierra, la trayectoria se verá como el arco de una parábola.

5. EL DESPLAZAMIENTO
Es el cambio de posición de una
partícula durante un intervalo de
tiempo

6. Físicamente el vector desplazamiento representa
la variación de la posición de una partícula
respecto a un sistema de referencia fijo, sin que
interese la forma de la trayectoria , la velocidad o
aceleración.
El desplazamiento total de una partícula puede
descomponerse en desplazamientos parciales y
analizarlos individualmente a cada uno de
ellos, de todas maneras el desplazamiento total
será la suma vectorial de los vectores

7. EJERCICIO
El desplazamiento total realizado por la
persona de la gráfica es:
a)28 m
b)12 m al
este
c)O m
d)(12 i - 8 j )
m

8. LA DISTANCIA
Es la longitud total de la trayectoria recorrida
por un cuerpo (partícula) al moverse de un
lugar a otro.
En una trayectoria rectilínea, el módulo del
desplazamiento será igual a la distancia
recorrida.

9. EJERCICIO
La casa de Pedro está ubicada en una calle que tiene
dirección norte – sur y tiene 10 m de ancho la calle. Pedro
sale de su casa y camina 30 m al norte, dobla a la derecha
y camina 40 m , dobla de nuevo a la derecha y camina 10
m; una vez más dobla a la derecha y camina 30 m.
Finalmente, dobla a la izquierda y camina 20 m. La posición
final y la distancia total recorrida respectivamente son:
a) 30 m al norte ; 70 m
b) (40 i + 30 j)m ; 50 m
c) 10 m al este; 130 m
d) Se encuentra en la salida
de su casa; 140 m

10.  Fue Galileo Galilei quien, estudiando
el movimiento de los cuerpos en un
plano inclinado, llegó a un concepto
de velocidad. Lo que hizo fue dividir la
distancia recorrida en unidades de
tiempo. Esto es, fijó un patrón de una
unidad de tiempo, como por ejemplo 1
segundo, y a partir de esto relacionó
la distancia recorrida por un cuerpo
en cada segundo. De esta
manera, Galileo desarrolló el
concepto de la velocidad como una
variación de la distancia recorrida por
VELOCIDAD

11. La velocidad es una de
las magnitudes físicas más
importante para el buen
rendimiento, se conoce como
una unidad vectorial que
expresa un desplazamiento en
una unidad de tiempo marcada

12. • La velocidad es una magnitud física
de carácter vectorial que expresa la
distancia recorrida por un objeto por
unidad de tiempo.
• Se representa por
• Sus dimensiones son [X]/[t], donde X
es la distancia recorrida o
desplazamiento y t es el tiempo en
recorrer dicha distancia
• Su unidad en el Sistema Internacional
es el m/s.
• En virtud de su carácter
vectorial, para definir la velocidad
deben considerarse la dirección del
desplazamiento y el módulo, el cual
se denomina celeridad o rapidez.
• De igual forma la velocidad es el ritmo
o tasa de cambio de la posición por
unidad de tiempo.

13. Velocidad media
La velocidad media o velocidad promedio es la velocidad
en un intervalo de tiempo dado. Se calcula dividiendo el
desplazamiento (Δr) entre el tiempo(Δt) empleado en
efectuarlo:
Esta es la definición de la velocidad media entendida
como vector (ya que es el resultado de dividir un vector
entre un escalar).
Por otra parte, si se considera la distancia recorrida sobre
la trayectoria en un intervalo de tiempo dado, tenemos la
velocidad media sobre la trayectoria o rapidez media, la
cual es una cantidad escalar. La expresión anterior se
escribe en la forma:
La velocidad media sobre la trayectoria también se suele
denominar «velocidad media numérica» aunque esta

14. El módulo de la velocidad media (entendida
como vector), en general, es diferente al valor de
la velocidad media sobre la trayectoria. Solo
serán iguales si la trayectoria es rectilínea y si el
móvil solo avanza (en uno u otro sentido) sin
retroceder. Por ejemplo, si un objeto recorre una
distancia de 10 metros en un lapso de 3
segundos, el módulo de su velocidad media
sobre la trayectoria es:

15. Velocidad instantánea
La velocidad instantánea permite conocer la velocidad de un móvil
que se desplaza sobre una trayectoria cuando el intervalo de tiempo
es infinitamente pequeño, siendo entonces el espacio recorrido
también muy pequeño, representando un punto de la trayectoria. La
velocidad instantánea es siempre tangente a la trayectoria.
En forma vectorial, la velocidad es la derivada del vector posición
respecto al tiempo:
donde es un vector (vector de módulo unidad) de dirección
tangente a la trayectoria del cuerpo en cuestión y es el vector
posición, ya que en el límite los diferenciales de espacio recorrido y
posición coinciden.

16. APLICACIONES DE LA VELOCIDAD
 El Movimiento Rectilíneo Uniforme es un
movimiento con trayectoria rectilínea y está
caracterizado por tener una velocidad
constante. O sea el móvil con M.R.U.
“recorre distancias iguales en tiempos
iguales”.
 En la siguiente aplicación interactiva se
ilustra las características del M.R.U. y se
grafican sus ecuaciones horarias.
MRU

17.  Esta ecuación permite predecir en un
momento futuro determinado cual será
la posición del móvil con M.R.U.
conociendo su velocidad, la posición
inicial del mismo y el instante inicial del
movimiento.
 En la mayoría de los ejercicios, se toma
para mayor simplicidad el instante
inicial igual a cero, lo cual equivale a
usar un cronómetro y ponerlo en cero
al inicio del experimento. La ecuación
horaria se transforma entonces en:

18. REPRESENTACIONES GRÁFICAS DEL
M.R.U.
 Esta última fórmula se puede
representar gráficamente en un sistema
de coordenadas cartesianas. La variable
independiente es “t” y se representa en
el eje horizontal y la función es “X” que
se representa en el eje de ordenadas
(vertical).

19.  La representación gráfica de X = f (t)
corresponde a una recta, cuya pendiente
es la velocidad del móvil y cuya ordenada
al origen es la posición inicial Xi.
 Vemos que los móviles A y B parten de la
misma posición inicial Xi = 1m y tienen
pendientes positivas, lo que indica que se
están alejando del origen (dado que la
posición inicial es positiva). A medida que
pasa el tiempo dichos móviles están cada
vez más lejos del origen de coordenadas.
Pero el móvil B tiene mayor velocidad que
el A, pues para incrementos de tiempo
iguales (por ejemplo 1(s)) tiene un mayor
desplazamiento Dx. Se observa que la
pendiente de la recta B es mayor que la de

20.  El móvil C arranca con una posición inicial
distinta Xi = 4m, más lejos del origen, pero
regresa a él pues su velocidad es negativa. A
medida que transcurre el tiempo este móvil se
halla cada vez más cerca del origen, o sea que
sufre desplazamientos “Dx” negativos hasta
llegar al origen; cosa que ocurre a los 5 (s) de
iniciado el movimiento. Luego de llegar al
origen continúa con M.R.U. dirigiéndose ahora
hacia posiciones negativas.
 El móvil D está en un estado de reposo, pues se
halla en la misma posición X = 1m en todo
momento. Vemos que su pendiente es cero,
correspondiendo a una recta horizontal:
velocidad nula.

21.  Las gráficas de las velocidades de
estos móviles serán:
 Como la velocidad es constante, estas
gráficas corresponden a rectas
horizontales y por esto no es muy
interesante esta representación.

22.  En este movimiento unidimensional, si bien la
velocidad es un vector, vamos a trabajar con él
como si fuera un escalar positivo o negativo. O
sea que mediante el signo indicaremos el
sentido del vector.
 Todo vector será positivo si está en el sentido
de crecimiento del eje de referencia. Y será
negativo si va en sentido contrario. Esto se
aplica tanto a velocidades, como a
desplazamientos o cualquier otro vector
(aceleración, fuerza, etc. como veremos más
adelante).

23.  Si el móvil está con una posición positiva (a la derecha
del origen en este ejemplo) y su velocidad es también
positiva, entonces se estará alejando del origen y si su
velocidad es negativa, se estará acercando al origen.
Pero si el móvil se halla con una posición negativa (a
la izquierda del origen en este ejemplo), la situación se
invierte: Si v es (+) se acercará al origen y si v es (-) se
alejará de él.
 O sea que no es sólo el signo de la velocidad (+ o -) el
que determina si se acerca o se aleja del origen, sino
la evaluación de este signo con el signo de la posición
: Si “v” y “X” tienen igual signo el móvil se aleja del
origen y si tienen distinto signo se acerca al origen.
 Es importante destacar que si bien el signo de un
vector depende del sistema de referencia, el sentido
de un vector no depende del sistema de referencia.
Por ejemplo, si el vector va hacia la derecha, seguirá

24. EJERCICIO
 Una partícula se mueve a lo largo del eje
X, de manera que su posición en
cualquier instante t está dada por
x=5·t2+1, donde x se expresa en metros y t
en segundos.
 Calcular su velocidad promedio en el
intervalo de tiempo entre:
2 y 3 s.
2 y 2.1 s.
2 y 2.01 s.
2 y 2.001 s.
2 y 2.0001 s.
 Calcula la velocidad en el instante t=2 s.

25. Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo
Δt→0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en
el instante t=2 s es una velocidad media calculada en un
intervalo de tiempo que tiende a cero.
Calculamos la velocidad en cualquier instante t
La posición del móvil en el instante t es x=5t2+1
La posición del móvil en el instante t+Dt es :
x'=5(t+Dt)2+1=5t2+10tDt+5Dt2+1

26.  El desplazamiento es Dx=x'-x=10tDt+5Dt2
 La velocidad media <v> es
 La velocidad en el instante t es el límite de la
velocidad media cuando el intervalo de
tiempo tiende a cero
 La velocidad en un instante t se puede
calcular directamente, hallando la derivada
de la posición x respecto del tiempo
 En el instante t=2 s, v=20 m/s

27. LA RAPIDEZ DE UN PARTÍCULA SE DEFINE COMO LA
MAGNITUD DE SU VELOCIDAD.
LA RAPIDEZ NO TIENE DIRECCIÓN ASOCIADA Y, EN
CONSECUENCIA, NO LLEVA SIGNO ALGEBRAICO.
LA RAPIDEZ ES UNA MAGNITUD ESCALAR QUE
RELACIONA LA DISTANCIA RECORRIDA CON EL
TIEMPO
EJ. SI UNA PARTÍCULA TIENE UNA VELOCIDAD DE +25
M/S Y OTRA UN VELOCIDAD DE – 25 M/S, LAS DOS
TIENEN UNA RAPIDEZ DE 25 M/S. EL VELOCÍMETRO
DE UN AUTOMÓVIL INDICA LA RAPIDEZ Y NO LA
VELOCIDAD.
RAPIDEZ

28. La rapidez puede ser definida como "la rapidez con
que algo se mueve" o se puede explicar de forma más
científica como "la distancia recorrida en una unidad
de tiempo". En la vida diaria utilizamos la primera
definición y decir que el objeto más rápido tiene una
velocidad más alta. La rapidez no nos muestra la
dirección del movimiento que sólo da la magnitud de
lo que la distancia tomada en un momento dado. En
otras palabras, es una magnitud escalar. Nosotros
usamos un símbolo para mostrar la rapidez v.
Permítanme formular lo que hablamos anteriormente;
De la fórmula anterior podemos decir que la rapidez es
directamente proporcional a la distancia e
inversamente proporcional al tiempo. Creo que es
( )
d
V rapidez
t

29. Una persona pasea desde A hasta B, retrocede hasta C y retrocede de nuevo para
alcanzar el punto D. Calcula su rapidez media
RAPIDEZ MEDIA
La velocidad media es igual a la distancia total recorrida dividida por el tiempo
necesario para recorrerla. Obviamente, la distancia total recorrida se obtiene
sumando la longitud de cada tramo. Con el tiempo total, otro tanto. Por lo
tanto, nuestro punto de partida es
Tramo A - B
distancia recorrida = 350 m
tiempo empleado = 3 min
Tramo B - C
distancia recorrida = 200 m
tiempo empleado = 2 min
Tramo C - D
distancia recorrida = 450 m
tiempo empleado = 5 min
Movimiento completo
distancia recorrida = 350 m + 200 m + 450 m = 1000 m
tiempo = 10 min
Rapidez media = distancia total/tiempo total = 1000 m/10 min = 100 m/min
12 tt
d
t
d
s

30. Rapidez instantánea
Rapidez media y rapidez instantánea
Un objeto en movimiento no tiene la misma rapidez durante su viaje. A veces se
acelera y, a veces se ralentiza. En un momento determinado instante lo que leemos
en el indicador de rapidez es la rapidez instantánea.
Por ejemplo, un coche se mueve con una rapidez constante viaja a otra
ciudad, que deben detenerse en las luces rojas en el tráfico, o se debe reducir la
rapidez cuando se producen situaciones no deseadas en el camino. Al final del
viaje, si queremos aprender la rapidez media del coche dividimos la distancia total
a tiempo total que el viaje dura.
Supongamos que el coche recorre 500 km en una hora 5. Cuando se calcula la
rapidez media se ve que es de 100 km / h. Por supuesto, el coche no se moverá
simultáneamente a 100 km / h constantes. Tiene muchas rapidez instantáneas y
100 km / h es el promedio de las rapidez instantáneas.

31. Rapidez instantánea
Se puede saber la rapidez del vehículo en cualquier momento mirando el
velocímetro del mismo.
La rapidez en cualquier instante se conoce como rapidez instantánea. El
velocímetro de un automóvil nos indica la rapidez instantánea que lleva el
automóvil en ese mismo instante. Puede recorrer una calle a
50km/h, reducir su velocidad a 0 km/h en un semáforo y luego aumentarla
solo 30 km/h a causa del tráfico.
El velocímetro de un auto proporciona lecturas de rapidez instantáneas en
mi/h y en km/h. Los odómetros indican las distancias en kilómetros
Se puede saber la rapidez instantánea del
vehículo en cualquier momento simplemente
mirando el velocímetro. El velocímetro
proporciona lecturas de rapidez instantáneas
en km/h Un automóvil no se desplaza siempre
con la misma rapidez

32. Ejemplo 1.- Un auto se mueve a una velocidad uniforme a través del
tiempo entre los puntos A y G según lo demuestra la siguiente imagen:
Hagamos ahora una gráfica de velocidad (o rapidez)
versus tiempo para el carro que se movía a una
velocidad uniforme entre los puntos A y G. Recuerda
que en cada uno de esos puntos la rapidez era de 5
m/s, así que nuestra tabla de datos es:

33. Punto tiempo
(s)
velocidad (m/s)
A 0 5
B 10 5
C 20 5
D 30 5
E 40 5
F 50 5
G 60 5

34. EJEMPLO 2. FÍJATE QUE LA GRÁFICA DE LA
DERECHA ES LA DE UNA LÍNEA RECTA HORIZONTAL.
ESTA ES LA FORMA QUE TIENE LA GRÁFICA DE
VELOCIDAD VERSUS TIEMPO PARA UN OBJETO QUE
SE MUEVE A UNA VELOCIDAD UNIFORME.
HAGAMOS ALGO NUEVO. CALCULEMOS EL ÁREA
DEL RECTÁNGULO DEFINIDO POR LA LÍNEA RECTA,
EL EJE DE X (TIEMPO) Y LOS PUNTOS A Y G. PARA
CALCULAR EL ÁREA DE UN RECTÁNGULO TODO
QUE TENEMOS QUE SABER SON LOS LARGOS DE SU
BASE Y SU ALTURA.

35. Tramo Forma Posició
n (m)
Tiempo
(s)
Rapidez
(m/s)
Velocida
d (m/s)
AB Lineal
Horizontal
Constante en
120m, N
Aumenta de 0
a 20
0, No hay
movimiento
+0m/s,
No hay
BC Lineal
Descendente
Disminuye de
120 a 20
Aumenta de
20 a 40
5m/s -5m/s
5m/s, Sur
CD Lineal
Horizontal
Constante en
20m, N
Aumenta de
40 a 60
0, No hay
movimiento
+0m/s, No hay
El calculo de la pendiente nos dará el valor de la
velocidad
2 1
2 1
y y
m
x x
Ejemplo.3
Explica el movimiento del
mismo en términos de su
posición, distancia, desplaz
amiento, rapidez y
velocidad. Indica en cuales
momentos de la gráfica no
hay movimiento.

36. Tramo Forma Posición
(m)
Tiempo
(s)
Rapidez
(m/s)
Velocida
d (m/s)
AB Lineal
Ascendente
Aumenta de
0 a 80m, N
Aumenta de
0 a 5
16m/s +16m/s, N
BC Lineal
Horizontal
Constante en
80m
Aumenta de
5 a 20
0m/s
No hay
0, no se mueve
CD Lineal
Descendente
Disminuye
80 a 40m,S
Aumenta
de 20 a 25
8m/s -8m/s
8m/s, S
DE Lineal
Ascendente
Aumenta de 40
a 60m, N
Aumenta
de 25 a 30
4m/s +4m/s, N
EF Lineal
Descendente
Disminuye
60 a o m, S
Aumenta
de 30 a 40
6m/s -6m/s
6m/s, S
Explica el movimiento del
mismo en términos de su
posición, distancia,
desplazamiento, rapidez y
velocidad. Indica en cuales
momentos de la gráfica no
hay movimiento.

38. En el M.R.U.V. la rapidez varía pero no
de cualquier manera, depende de la
aceleración y esta es constante. Si
miramos detenidamente la gráfica de la
aceleración en función del tiempo
(gráfico de la aceleración) podremos
darnos cuenta que, no importa el
instante elegido, "a« tendrá siempre el
mismo valor.

39. Otra forma de realizar el análisis del movimiento es
mediante la utilización del software Geogebra para
física

40. En este ambiente de aprendizaje podemos observar el movimiento de dos
móviles uno con MRU y otro con MRUV. Ponemos el cursor sobre la
deslizador del tiempo, hacemos clic derecho y tomamos la opción
animación automática, y se vera el movimiento.
Link de descarga.
http://www.geogebra.org/en/upload/index.php?action=downloadfile&filename=GeoGebra_P
hysics.ggb&directory=jlhneira&

41. Protocolo de construcción

42. Ejercicio: En la figura P2.3 se ilustra la grafica de
posición contra tiempo para cierta partícula que se
mueve a lo largo del eje x. Encuentre la velocidad
promedio en los intervalos:
(a) 0 a 2 seg.,
(b) 0 a 4 seg.,
(c)2 seg. a 4 seg.,
(d) 4 seg. a 7 seg.,
(e) 0 a 8 seg.,.

43. Ejercicio 2: Una persona camina primero a una
rapidez constante de 5 m/seg. a lo largo de una recta
del punto A al punto B, y luego regresa a lo largo de
la línea de B a A, a una rapidez constante de 3 m /
seg. CuaI es:
(a) su rapidez promedio en todo el viaje?
(b) cuál es su velocidad promedio en todo el viaje?
Sol:
a) 3.75 m/s
b) 0 m/s

44. Aceleración
Así como la velocidad describe la tasa de cambio de
posición con el tiempo, la aceleración describe la
tasa de cambio de velocidad con el tiempo. Al igual
que la velocidad, la aceleración es una cantidad
vectorial.

45. •Componentes intrínsecas de la aceleración
Otro sistema de referencia puede ser: conocida la
trayectoria y tomar un punto sobre ella (origen)
para medir la distancia.
En cualquier punto de la trayectoria puedo
asociar un sistema de referencia formado por dos
ejes: uno tangencial y otro perpendicular.

46. Aceleración media: es el consciente entre el cambio
de velocidad y el intervalo de tiempo transcurrido.
Tiene igual dirección y sentido que el incremento de
velocidad.
Si expresamos la velocidad en metros por segundo y
el tiempo en segundos, la aceleración media está en
metros por segundo por segundo, o bien (m/s)/s.
Esto se lee “metros por segundo al cuadrado”.

47. Aceleración instantánea: Si el incremento de
tiempo tiende a 0, el intervalo de tiempo se
aproxima a un instante y la aceleración sería
instantánea.
Como ejemplo, suponga que un piloto de
carreras acaba de entrar en una recta como se
muestra en la figura. Para definir la aceleración
instantánea en P1, tomamos el segundo punto
P2 en la figura, cada vez más cerca de P1, de
modo que la aceleración media se calcule en
intervalos cada vez más cortos.

48. Ejercicio: Una astronauta sale de una nave espacial
en orbita para probar una unidad personal de
maniobras. Mientras se mueve en línea recta, su
compañera a bordo mide su velocidad cada 2.0 s a
partir del instante t 5 1.0 s:
Calcule la aceleración media y diga si la
rapidez de la astronauta aumenta o disminuye
para cada uno de estos intervalos:
a) t1 5 1.0 s a t2 5 3.0 s; b) t1 5 5.0 s a t2 5 7.0
s; c) t1 5 9.0 s a t2 5 l l.0 s; d) t1 5 13.0 s a t2 5
15.0 s.

49. La aceleración instantánea es el límite
de la aceleración media conforme el
intervalo de tiempo se acerca a cero. En
el lenguaje del cálculo, la aceleración
instantánea es la tasa instantánea de
cambio de la velocidad con el tiempo.
Así,

50. Aceleración constante:
El movimiento acelerado mas sencillo es el rectilíneo
con aceleración constante. En este caso, la velocidad
cambia al mismo ritmo todo el tiempo. Se trata de
una situación muy especial, aun cuando ocurre a
menudo en la naturaleza.

51. Ejercicio 2: Suponga que la velocidad vx del auto
en la figura 2.11 en el tiempo t
esta dada por
a) Calcule el cambio de velocidad del auto en el
intervalo entre t1= 1.0 s y t2 = 3.0 s.
b) Calcule la aceleración media en este intervalo.
c) Obtenga la aceleración instantánea en t1 = 1.0 s
tomando Δt primero como 0.1 s, después como
0.01 s y luego como 0.001 s.
d) Deduzca una expresión para la aceleración
instantánea en cualquier instante y úsela para
obtener la aceleración en t = 1.0 s y t = 3.0 s.

52. Graficas de rapidez, aceleración y
posición