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Pascal, C o Basic, entre otros. Sin embargo, por su ella aparece X como un valor numérico que se tiene
misma sencillez, está limitado a que no que proporcionar como el primer tanteo de la función.
necesariamente el valor de X converja a un solo En este ejemplo se maneja una variable dependiente
punto. Dependiendo del orden de la relación (Y), pero como se ha descrito con anterioridad, se
funcional (func), no necesariamente existirá una sola pueden involucrar más variables. Las constantes
solución e inclusive, algunas de estas soluciones no Tolerancia y NumMaxIter son constantes internas
serían factibles (ya sean por ser imaginarias o predefinidas ya sea por el usuario o por el sistema en
físicamente imposibles). La figura 1 presenta cómo se el que se programe el algoritmo.
programaría una función basada en este método. En
Figura 1.- Método de Aproximación de Punto Fijo
datos del sistema hidráulico de tuberías son los
Metodología para la aplicación del Excel en la siguientes: se tiene una circulación de agua a una
determinación de diámetros de tuberías de temperatura de 10 ºC (ν 1.307 x 10-6 m /s) del
sistemas hidráulicos depósito (1), al depósito (2) a través de una tubería de
hierro fundido (coeficiente de rugosidad ε = 0.00026
El desarrollo general de la aplicación del m) de 20 m de longitud con un caudal (Q) igual a
Excel será el siguiente: se requiere determinar el 0.020 m/s. El sistema presenta pérdidas secundarias
diámetro de la tubería de un depósito a otro, como se en la entrada de borde esquinado (k1=0.5), en los
muestra en la figura 2, conociendo algunas codos estándares de 90° con rosca (k2=0.9) y en la
características geométricas del sistema (zl, z2, L, ε), salida del depósito (k3=1). La figura 2 muestra los
coeficientes para la detección de pérdidas menores de datos iniciales para el proceso de cálculo.
los accesorios utilizados (k1, k2, k3), las características
del flujo (p1, p2) y del fluido que circula (ν, δ). Los
(1) Z1
Elevación
6 codos rectos
2m
(2) Z2
L=20 m
Figura 2.- Sistema hidráulico de tuberías
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4. Artículo de Divulgación Zaragoza N., et. al. / Ingeniería 7-2 (2003) 55-64
Figura 3.- Datos de Inicio
Aplicando la ecuación de la energía entre las con la superficie del depósito inferior, se obtiene la
superficies libres de los dos depósitos, considerando relación de la ecuación 3 (Streeter, Wylie, Bedford,
que el plano horizontal de referencia (PHR) coincide 1999).
p1 V12 p V2 n
z1 + + = z 2 + 2 + 2 + hf + ∑ hri Ec. 3
γ 2g γ 2g 1
Simplificando la ecuación 3, se llega a la siguiente expresión de la ecuación 4.
V12 L n
z = f + ∑k Ec. 4
1 2g D 1 i
Proponiendo valores para el coeficiente de Poiseuille; pero se ha dejado para trabajos posteriores
fricción (f), se calcula la primera aproximación para el desarrollo de esta variante de cálculo.
D. Con este valor de D, se obtendrá el número de
Reynolds (Re) que se utilizará en la ecuación de
Colebrook- White, para luego obtener un nuevo valor Función Iterativa para la obtención del diámetro
de f. Si el nuevo valor de f coincide con el valor de la tubería
anterior, el cálculo del diámetro es correcto; en caso
contrario, se supondrá otro valor de f y se repetirá el Utilizando la ecuación de continuidad, se
cálculo hasta lograr la coincidencia de los valores de realizará el proceso para la obtención del valor de f.
f. Para ello se debe primero proponer el valor de D
inicial (se propondrá un valor 0.2 m), lo que conlleva
Cabe aclarar que se debe verificar si el flujo a proponer un valor inicial de f (una aproximación
en la tubería es turbulento para corroborar la aceptable sería f = 0.02).
aplicabilidad de la ecuación de Colebrook-White.
(García – Morales, 2003) En caso de que el flujo sea La velocidad del fluido estará dada por la
laminar entonces se deberá utilizar la fórmula de ecuación 5. Sustituyendo dicho valor en la ecuación
4, se obtiene la expresión mostrada en la Ec. 6.
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5. Artículo de Divulgación Zaragoza N., et. al. / Ingeniería 7-2 (2003) 55-64
2
4Q
4Q
V1 = Ec. 5 2 L n
2
z = πD f + ∑ k
πD Ec. 6
1 2g D i
i =1
De la ecuación anterior, se selecciona una de otra como la instancia del valor siguiente a obtener.
las instancias de D para ser el valor previo para el Esto transforma la ecuación 6 en la 7:
método de Aproximación de Punto Fijo, dejando la
2
4Q
D 2
L n
z1 = i f + ∑ ki Ec. 7
2π 2 g D i + 1 i = 1
de la ecuación 7, despejando Di+1 se obtiene la Ec. 8.
2
8×Q ×f × L
D = Ec. 8
i +1 n
z1 × D i × π × g − 8 × Q × ∑ k i
4 2 2
i =1
La ecuación 8 ya es susceptible de ser Función Iterativa para la obtención del coeficiente
resuelta mediante el método de Aproximación de f del sistema
Punto Fijo. Para ello se establece una tolerancia de
0.00001m, manejando un criterio de paro deltaD (que Con el valor de D obtenido con la función
involucra el valor del diámetro obtenido y el diámetro descrita en la figura 4, se calcula el valor de V
anterior) menor a la tolerancia, o en su defecto, si el utilizando la ecuación de continuidad (Eq. 9), se
número de iteraciones es mayor a 100. La relación obtendrá Re (Eq. 10) y en ese momento se verificará
presentada en la Ec. 8 se toma como la función si los valores de los coeficientes de fricción (f)
“func” del algoritmo. Ya con estos datos, se muestra supuestos son correctos, resolviendo la ecuación de
el algoritmo de solución para D en la figura 4a. Colebrook-White:
4Q
V= Ec. 9
πD 2
VD
Re = Ec. 10
ν
1 ε 2.51 1
= −2 log + × Ec. 11
f 3.70 D R f
e
Sustituyendo en la ecuación 11 el término ( 1 f ) por Xi y Xi+1, dicha relación se puede expresar de la
manera mostrada en la Ec. 12:
ε 2.51
X i +1 = −2 log + × X i Ec. 12
3.70D R
e
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La relación funcional de la Ec. 11 también es el diagrama de flujo de la figura 4, la función de
susceptible de ser resuelta con el método de aproximación de f queda descrita en la figura 4b.
Aproximación de Punto Fijo. Tomando como ejemplo
(a) (b)
Function AproxPuntoD (D,L,f,Q,Z1,SumK)
Function AproxPuntoF (D,Q,ni,epsilon,f)
D1 = D
X1 = 1/sqrt(f)
n = 0
V = 4 * Q / (PiD2)
Do
Re = VD/ni
Di+1 = func(Di,L,f,Q,Z1,SumK)
n = 0
Di+1 <> 0
no Do
si
Xi+1 = funcFdF(D, Xi, Re, epsilon)
Aprox = Abs((Di+1- Di)/Di+1)
Incrementar(n,1) Xi+1 <> 0
no
si
Aprox = Abs((Xi+1- Xi)/Xi+1)
Aprox < tolerancia OR
n > NumMaxIter Incrementar(n,1)
Di = Di+1
Aprox < tolerancia OR
n > NumMaxIter
Until (n > 100) Or
(deltaD < tolerancia)
Xi = Xi+1
If deltaD > tolerancia Then
AproxPuntoD = "El método no converge"
Else Until (n > 100) Or
AproxPuntoD = Di (deltaD < tolerancia)
End If
If deltaD > tolerancia Then
AproxPuntoF = "El método no converge"
Else
AproxPuntoF = 1/Xi2
End If
Figura 4. Función de convergencia de D (a) y de f (b), usando el Algoritmo de Punto Fijo
Dimensionamiento de la Tubería del Sistema muestran en las figuras 4a (para aproximar el valor de
D) y 4b (para aproximar el de f). La figura 5 muestra
Con base en la facilidad que proporciona el cómo el proceso de dimensionamiento de la tubería
Excel para realizar cálculos, fue posible programar del sistema se solucionó, utilizando las funciones
todo el proceso de obtención del valor de D, antes obtenidas.
utilizando las funciones cuyos algoritmos se
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Figura 6.- Entorno de Programación Visual Basic para Aplicaciones en Excel
Figura 7.- Utilizando la fórmula de dimensionamiento de tuberías en Excel
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