1. DOMUS_Apostila 02 - MATEMÁTICA II - Módulo 53 (Exercício 13)
Questão 04
Sejam P1 e P2 dois pontos quaisquer interiores a um
tetraedro regular. Sejam d1, a soma das distâncias de P1
Exercício 13
às faces do tetraedro regular, e d2, a soma das
distâncias de P2 às faces do tetraedro regular. Mostre
que d1 = d2.
Questão 01
Questão 05
Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta
lateral mede 5 cm e a altura mede 4 cm. Determine o
3 As duas pirâmides ilustradas a seguir (figura 1) têm
volume, em cm , da pirâmide.
base quadrada e faces laterais formadas por triângulos
equiláteros de lado 10 3 . As bases das pirâmides estão
Questão 02
no mesmo plano, têm pares de lados opostos paralelos
e distâncias indicadas na figura. Qual a menor distância
Na figura a seguir o cubo tem aresta igual a 9 cm e a a ser percorrida para se ir do vértice A de uma das
pirâmide tem um vértice no centro de uma face e como pirâmides ao vértice B da outra, caminhando ou sobre a
3
base a face oposta. Se V cm é o volume da pirâmide, superfície das pirâmides ou pelo plano?
Sugestão: Planifique as faces a serem percorridas para se obter
⎛ 1⎞
determine ⎜ ⎟ V. a menor distância como a seguir (figura 2).
⎝ 3⎠
Questão 03
Observe a figura.
Questão 06
Um recipiente cúbico, sem tampa, cujas arestas
medem 4 dm, contém 56 litros de água. Ao lado desse
recipiente, estão os seguintes sólidos, todos de aço
maciço:
3
- uma esfera de raio 2 dm;
- um cilindro circular reto com raio da base 2 dm e
altura 2 dm;
Essa figura representa um prisma reto de base - um paralelepípedo retangular de dimensões 3 dm,
triangular. O plano que contém os vértices B, D e F
3 dm e 7 dm; e
divide esse prisma em dois sólidos: DACFB, de volume
V1, e DEFB, de volume V2. - uma pirâmide reta de altura 5 dm e de base
V1 quadrada com lado 12 dm.
Assim sendo, a razão é:
V2 Qual desses sólidos, quando colocado no recipiente,
a) 1 NÃO fará com que a água transborde?
b) 3 a) A pirâmide
2 b) O cilindro
c) 2 c) O paralelepípedo
d) 5 d) A esfera
2
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2. DOMUS_Apostila 02 - MATEMÁTICA II - Módulo 53 (Exercício 13)
Questão 07 Questão 02
ABCDA1B1C1D1 é um paralelepípedo reto-retângulo de 81 cm
3
bases ABCD e A1B1C1D1, com arestas laterais AA1, BB1,
CC1 e DD1. Calcule a razão entre os volumes do tetraedro
Questão 03
A1BC1D e do paralelepípedo ABCDA1B1C1D1.
Letra C.
Questão 08
Questão 04
Sejam AB, BC e AC diagonais das faces de um cubo
de aresta 10 cm, conforme a figura a seguir.
Seja ABCD um tetraedro regular. Seja P um ponto
qualquer interior a esse tetraedro. Considere as
pirâmides ABCP, ABDP, BCDP e ACDP. A soma dos
volumes dessas quatro pirâmides é obviamente igual ao
volume do tetraedro. Sejam h1, h2, h3 e h4,
respectivamente, as alturas dessas pirâmides e h, a
altura do tetraedro. Temos:
Como o tetraedro é regular, os triângulos ABC, ABD,
a) Calcule a área do triângulo ABC. BCD e ACD são todos congruentes. Logo
b) Calcule a área total da pirâmide ABCD.
c) Calcule o volume da pirâmide ABCD. h1 + h2 + h3 + h4 = h
Questão 09 Como h1, h2, h3 e h4 são as distâncias de P às quatro
faces do tetraedro, provamos que independente da
Um faraó projetou uma pirâmide de 100m de altura, posição de P essa soma é constante e igual à altura do
cuja base é um quadrado de lado 100 m, dentro da qual tetraedro.
3
estaria seu túmulo. Para edificar 1000m a mão de obra
escrava gastava, em média, 72 dias. Nessas condições, Questão 05
o tempo necessário, em anos, para a construção dessa
pirâmide foi, aproximadamente, 39 unidades de comprimento
a) 76
b) 66 Questão 06
c) 56
d) 46
Letra C.
Questão 10 Questão 07
Em uma indústria de velas, a parafina é armazenada
1
em caixas cúbicas, cujo lado mede a.
Depois de derretida, a parafina é derramada em moldes 3
em formato de pirâmides de base quadrada, cuja altura
e cuja aresta da base medem, cada uma, a . Questão 08
2
Considerando-se essas informações, é CORRETO
a) 50 3 cm2
afirmar que, com a parafina armazenada em apenas
uma dessas caixas, enche-se um total de b) 50 (3 + 3 ) cm
2
a) 6 moldes.
500 3
b) 8 moldes. c) cm
c) 24 moldes. 3
d) 32 moldes.
Questão 09
GABARITO
Letra B.
Questão 01 Questão 10
24 Letra C.
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3. DOMUS_Apostila 02 - MATEMÁTICA II - Módulo 53 (Exercício 13)
3
Volume do cubo = a
2
1 ⎛ a ⎞ a a3
Volume da pirâmide = ⎜ ⎟ . =
3 ⎝ 2 ⎠ 2 24
Volume do cubo a3
Número de moldes = = 3 = 24
Volume da pirâmide a
24
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